9.2.3 Durchbiegen eines Balkens ******

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1 9.2.3 ****** 1 Motivtion Ein einseitig eingespnnter Blken wird m offenen Ende belstet. Die Durchbiegung hängt von der Orientierung und dmit vom Flächenträgheitsmoment des Blkens b. 2 Experiment b b s 1 b s 2 Abbildung 1: mit Querschnitt = 10 mm, b = 20 mm. 1

2 Ein einseitig eingespnnter Holzblken mit Querschnitt = 10 mm, b = 20 mm wird mit einem Gewicht der Msse m = 2 kg m offenen Ende belstet (siehe Abb. 1). Wird der Blken hochknt belstet (oberes Bild), erfährt er die kleine Auslenkung um die Strecke r 1. Liegt er dgegen quer uf (unteres Bild), erfährt er eine grosse Auslenkung r 2. Die Auslenkung s beträgt s = l3 3EJ F, (1) wobei l = 1,5 m die Länge, E = 70 GP den Elstizitätsmodul und J ds Flächenträgheitsmoment des Bretts bedeuten. Die horizontle Achse längs des Bretts sei x, die vertikle y. Dnn sind die Flächenträgheitsmomente für die beiden oben ufgeführten Anordnungen gleich Die Auslenkungen verhlten sich dmit wie J (1) x = b (2) J (2) x = 1 12 b3 (3) s 2 s 1 = 3 Theorie: Grundlgen der Festigkeitslehre 3.1 Verformungen: Elstizität und Plstizität ( ) b 2 = 4 (4) Wir denken uns ein Buelement n einer beliebigen Stelle ufgeschnitten und greifen n der Schnittstelle ds (unendlich klein gedchte) Flächenelement herus 1. Auf dieses Flächenelement wirkt dnn bei Belstung eine Krft df, die wir in eine Normlkomponente df n und eine Tngentilkomponente df t zerlegen (siehe Abb. 2): Wir definieren nun ls Normlspnnung σ, bzw. ls Schubspnnung τ: σ := df n τ := df t (5) Je nch Vorzeichen von σ bezeichnet mn die Normlspnnung uch ls Zug- oder Druckspnnung. Unter der Wirkung dieser Spnnungen treten Deformtionen des festen Körpers uf, die wir im Folgenden besprechen werden. Wählen wir ein kleines Zylinderchen (oder Quderchen) mit der Länge l und üben eine Zugspnnung σ us (siehe Abb. 3), so finden wir in der Regel eine Verlängerung von l 0 um die Strecke l. Für die reltive Verlängerung ε l := l l (6) 1 Wir stellen ds Flächenelement ls Normlenvektor dr. Dieser ist lso senkrecht zur Oberfläche, sein Betrg ist =. 2

3 df t df df n Abbildung 2: Normlkomponente df n und Tngentilkomponente df t einer m Festkörper ngreifenden Krft F. findet mn im Experiment ds folgende Verhlten (siehe Abb. 4): Flls σ > σ B, wobei σ B die Bruchspnnung ist, bricht oder reisst ds Mteril. Bei zähen Mterilien verformt sich ds Werkstück (duernd, plstisch), flls σ > σ F, wobei σ F die Fliessspnnung ist. Im elstischen Bereich finden wir meist bei nicht llzu grossen Verformungen einen lineren Zusmmenhng zwischen ɛ l und σ: ɛ l = l l = σ E Hookesches Gesetz (7) Die Proportionlitätskonstnte E wird ls Elstizitätsmodul bezeichnet. Im SI-System hben σ, τ, σ B, σ F, E lle die Einheit P = N/m 2 ; häufig wird in der Festigkeitslehre ber uch noch mit dem techn. Msssystem gerechnet (Spnnungen etc. in kp/m 2 oder kp/cm 2 ). Typische Werte für diese Grössen sind in der nchstehenden Tbelle ngeben: σ σ l l Abbildung 3: Verlängerung eines mssiven Zylinders durch die Zugspnnung σ. 3

4 ε l Sprödes Mteril ε l Zähes Mteril ε 6 ε 5 ε 4 ε 3 ε 2 ε 1 σ ε 2 ε 1 σ σ 1 σ 2 σ B σ 1 σ 2 Abbildung Abbildung 4: Plstische 6.1: Plstische und elstische und elstische Verformung Verformung unter demunter Einfluss demeiner Einfluss Zugspnnung einer σ. Sprödes Zugspnnung Mteril bricht σ. Sprödes bei der Bruchspnnung Mteril bricht σ B bei. der Bruchspnnung σ b Tbelle 1: Mechnische Eigenschften verschiedener Stoffe (typische Werte). Mteril Dichte Bruch oder Fliess Elstizitätmodul Poissonzhl [kg/m 3 ] Spnnung [MN/m 2 ] [GN/m 2 ] Aluminium ,345 Weicheisen ,293 Sthl ,283 Messing (70/30) ,350 Fichtenholz Qurz , Flächenträgheitsmomente Bevor wir uf Biegung eingehen können, bruchen wir die Definition der Flächenträgheitsmomente J i (siehe dzu Abb. 5): J x := J y := J 0 := y 2 x 2 r 2 = J x + J y (8) Dbei bedeutet r den Abstnd des Flächenstücks von der Drehchse. Ds Flächenstück liegt in einer zur Drehchse senkrechten Ebene. 2 Der longitudinle Elstizitätsmodul beträgt etw E L = GN/m 2, der rdile E R = 0, 4 0, 9 GN/m 2 und der tngentile E T = 0, 4 0, 6 GN/m 2. 4

5 r P Abbildung 5: Zur Definition des Flächenträgheitsmoments. Die Drehchse verläuft senkrecht zur Bildebene und geht durch den Punkt P. Als Beispiele berechnen wir die Flächenträgheitsmomente für ein Rechteck und für einen Kreis 3. Ds Zentrum unseres Koordintensystems soll im Schwerpunkt der jeweiligen Fläche liegen. y y b P r x P r x Abbildung 6: Flächenträgheitsmoment für ds Rechteck und für den Kreis. 3 Übungsufgbe: Wie gross sind J x, J y, J 0 für einen Kreisring mit den Rdien R und R b? 5

6 ) Rechteck J x = dx + b 2 b 2 J y = b 3 12 J 0 = b 12 (2 + b 2 ) dy y 2 = b3 12 (9) b) Kreis 2π R J 0 = dϕ dr r 3 = π 2 R4 0 0 J x = J y = 1 2 J 0 = π 4 R4 (10) Aus Symmetriegründen sind J x und J y gleich gross! Bei den im Buwesen üblicherweise verwendeten Buelementen (z.b. T - und I - Blken 4 ) findet mn die Flächenträgheitsmomente und eine Reihe von ndern i.f. noch nützlichen Angben üblicherweise in den Herstellerktlogen (siehe Anhng IV). Benötigt mn ds Flächenträgheitsmoment einer vorgegebenen Fläche A für eine Achse, die um die Strecke s gegenüber der Achse durch den Schwerpunkt verschoben ist, so gilt wiederum der Stz von Steiner: J y = J y + s 2 A (11) 3.3 Drehmoment und Widerstndsmoment beim einseitig belsteten Blken Wir betrchten einen Blken, der in der (vertiklen) yz-ebene mit verschiedenen Kräften (F ) belstet ist. Wir denken uns diesen Blken n einer beliebigen Stelle z ufgeschnitten (siehe Abb. 7). Aus der Sttik (Gleichgewicht der Kräfte und Momente, Beispiele s.u.) können wir dnn ds in diesem Schnitt wirkende Moment M x usrechnen. Am oberen Ende wird der Blken uf Zug, m untern uf Druck bensprucht (siehe Abb. 8). In der Mitte (y = 0) befindet sich die sog. neutrle Fser, wo keine Spnnungen vorhnden sind. Wir mchen deshlb den Anstz σ(x, y) = c y, (12) 4 Die Form des I-Blkens wurde offensichtlich so gewählt, dss mn ein reltiv grosses Flächenträgheitsmoment J x erhält, ohne dss ds Gewicht pro Länge llzu strk nwächst. 6

7 y x F z Abbildung 7: Einseitig belsteter Blken wobei c ein vorerst unbeknnter, konstnter Fktor ist. Ds Moment M x lässt sich wie folgt mit den Spnnungen verknüpfen: M x = σ(x, y) y = c y 2 = c J x (13) Flls wir ds Flächenträgheitsmoment kennen, können wir drus c und die Spnnungen σ berechnen: Die mximle Spnnung erhlten wir, wenn y mximl ist: c = M x J x (14) σ(x, y) = M x J x y (15) σ mx = M x J x y mx = M x W x (16) Die Grösse W x := J x y mx (17) heisst Widerstndsmoment und ist ebenflls häufig in den Tbellen (neben J x, J y,...) ufgeführt. 7

8 y σ(y) x M z Abbildung 8: Zugspnnung σ(y) und Drehmoment M uf einer Querschnittsfläche des einseitig belsteten Blkens. 8