Mitschrift Thermodynamik

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1 Mitschrift hermodynamik Herleitung für den Gasdruck Berechnung des oberen Kreisradius d cosϕ dϕ dψ d N eilchen im Gesamtvolumen dn d N Aufschlagswahrscheinlichkeit eines eilchens Fläche df df sinϕ Gesamte Kugelfläche π dn auf df df sinϕ dn π

2 Änderung des Imulses beim Aufschlag eilchen mu sinϕ der Imuls ändert sich beim Aufschlag mal m Masse des eilchens u sinϕ effektive Geschwindigkeit Das ganze jetzt für N eilchen: dn df eilchen dn m u sinϕ df Zusammenfügen Jetzt können wir den Druck für df berechnen. Für den gesamten muss man über alle integrieren. N df sinϕ cosϕ dϕ dψ d mu sinϕ π d dn Nauf df Jetzt wird integriert: dψ π / Imulsänderung π / sin ϕ sin ϕ cos { ϕ α d sin ϕ α Änderung des Imulses Kürzen! N df π u dt mu π N u dt df mu Das Ganze dividieren wir durch df und dt.

3 mu N u m N etische nergie eines eilchens Wir dividieren durch die Loschmidtsche Zahl ( 6, ): mol N v L { L n v n L k { L k J Gaskonstante ( 8,5 ) mol K emeratur J k Boltzmann Konstante (,8 ) K Atommassen u, kg Masse von einem Zwölftel. Zufuhr von nergie für ein Gasmolekül: d k d für ein Mol: Wir erweitern die Gleichung mit der Avogadro-Loschmidt-Zahl und erhalten dadurch die Formel für ein Mol.

4 ( L) d ( L) k L d L d d { L { k Molwärme bei konstantem olumen Freiheitsgrade u u x u m u y u z Koordinate, Freiheitsgrad Statistisch sind u x, u y und u z gleich. Alles hat eine nergie von man jeder ichtung k k k k k. k, weshalb zuordnen kann Summe k Freiheitsgrad unabhängige Bewegungsrichtung ( e z kann nicht aus e x und e y zusammen gesetzt werden.) Das alles gilt für einatomige Gase. Jetzt gibt es Moleküle mit Atomen (z.b.: O ). Hier gibt es zwei Bewegungen mehr (otation um sich selbst). 5 5 k Hier wird 5 mal addiert. Man würde das auch erhalten, wenn man in die Formel vom Anfang ( Imulsänderung cosϕ dϕl), wo wir nur Freiheitsgrade eingesetzt hatten (x, y und z) mehr Freiheitsgrade einsetzt. Man kommt dann auch auf ro Freiheitsgrad.

5 v n v n mol mol lch k mol { L k Achtung: Am Schluss für eilchen daher die Loschmidtzahl L. je Bewegungsrichtung: [ x] d L d { mol [ x] [ y] [ z] k Moleküle rotieren um Achsen: vernachlässigt otation um x otation um y otation um z Für atomige Gase mit otation um x und y rechnen, bei oder mehr Atomen auch für z.

6 Sind mehrere Atome in einer eihe (O ), kann man die z-ichtung auch vernachlässigen. Zusätzlich zur otation treten ranslationsschwingungen auf (otentielle nergie ot, etische nergie ) Die Atome bewegen sich relativ zueinander. I ω ot L ω I L ω I L ot I I m r l i i Bohr sches Atommodell: L h n h h π Um ein lektron auf eine höhere Schale zu bekommen, benötigt man die nergiedifferenz. Umgekehrt wird die nergiedifferenz frei, wenn ein Atom auf eine niedrigere Schale wechselt. Der Drehimuls von L ot ist an diese quantenmechanischen orgänge I gebunden. Das Atom kann also nicht mit beliebigen Geschwindigkeiten ω rotieren.

7 Hautsätze der hermodynamik. Hautsatz der hermodynamik d du dw erster Hautsatz der hermodynamik zugeführte Wärme U innere nergie dw vom Gas nach außen geleistete Arbeit andere Schreibweise in Literatur: du dw Innere nergie wird durch zufuhr von Wärme oder durch Zufuhr von Arbeit erhöht. du ist abhängig von emeratur und olumen du U U (, ) d d const const für ideales Gas c, weil olumsänderung nicht die ematische nergie stört. Hautsatz: ntroie ds. Hautsatz (Nernst-Satz) unerreichbar. Hautsatz (auch. Hautsatz) Haben wir ein System A im thermodyn. Gleichgewicht ist ( A B ) und ein System ( A ), dann gilt ( B ). Zwei Systeme sind im thermodynamischen Gleichgewicht, wenn sie die gleiche emeratur haben.

8 Zustandsänderungen isochor: d isobar: d isotherm: d adiabatisch: isobar d d d d d { d d v d d d ( ) d P P Molwärme bei konstantem Druck P P (Kaa) P Änderung der ntroie: d ds P d ds ΔS P P ntroiedifferential: ds isochor d d d { Integrieren: Anfangszustand Q ) ndzustand ( Änderung der ntroie: d ds ds ΔS

9 isotherm d { d d einsetzen: Q d ntroieänderung: d d S Δ adiabatisch { d d d d P Wir dividieren durch. ( ) d d P durch : ( ) ( ) ( ). const d d d d d d P

10 .. const const weil eine Konstante ist, fällt es weg arnot scher Kreisrozess adiabat und isotherm Wir dividieren durch: S Δ beim isothermen Übergang S Δ beim isothermen Übergang dreht man das um, wird der negativ Δ S

11 Wirkungsgrad Arbeitsleistung η Aufgenommene Leistung η Sterling Motor Wie funktioniert der Sterling Motor? Statt der Gummihaut verwendet man einen Kolben, der rauf und runter geht. Ist der Luftverdräger (unterer Kolben) unten, ist die Luft im oberen Bereich (kalt). Schiebt man den erdränger nach oben, geht die Luft nach unten und wird heiß.

12 Wirkungsgrad für Arbeit nach oben bringen: Q η η größer Q Q iertaktmotoren Kolben wandert nach oben, dann Zündung. Danach wird das heiße Gas ausgestoßen und neues (kaltes) angesaugt. Bei Dieselmotoren wird sehr viel mehr Druck erzeugt, Deshalb sritzt man das Gas nur so ein, dass der Druck gleich bleibt.

13 eale Gase ideal Hier sind das igenvolumen der Moleküle und die Wechselwirkungen zwischen den Atomen vernachlässigt. umgeformt: Näherung für reale Gase: B B... ² B irialkoeffizienten sind emirische Wert x andere Möglichkeit: a ( b) van der Waals-Gleichung Diese Möglichkeit ist sehr viel besser als die mit irialkoeffizienten. a und b erhält man aus abellen. 6 kpa dm [ a] mol dm [] b mol a b Diese van der Waals-Gleichung gilt für mol. für n-mol: n a n nb n n a v nb v Mol n v n Mol ( ) n ( ) n