Mechanik der Kontinua Guido Schmitz,

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1 Mechanik der Kontinua Guido Schmitz, Mechanik des Festkörers Die iskosiktät ist das entscheidende Merkma, das Füssigkeiten von Festkörern unterscheidet. Bei Füssigkeiten beibt die iskosität endich, während sie für einen Festkörer unendich wird. Auch nach anger inwirkung einer Last so der Festkörer seine Form beibehaten. As Konvention wird übicherweise eine iskosität von 0 3 Poise as unteres Limit für einen Festkörer angesehen. Bei amorhen gasartigen Systemen bestimmt dieses Limit den Übergang zwischen der Schmeze und dem festen Gas. Wir werden in diesem Kaite jedoch sehen, dass auch der Festkörer auf äussere Kräfte durch Formänderung reagiert. Jedoch sind diese Formänderungen entweder reversibe oder treten erst bei Überschreiten einer gewissen kritischen Beastung ein. Dabei ist das mechanische erhaten des Festkörers ausserordentich faccettenreich. s wird uns mehrere oresungen beschäftigen. 4. Begriffsbestimmung eränderung der iskosität verschiedener Schmezen. Die Temeratur, bei der die iskosität auf 0 3 Poise ansteigt, wird as rstarrungstemeratur (T g ) definiert. Um die verschiedenen Phänomene der Deformation von FK einzuordnen, wurden in der oresung eine Reihe von Modeversuchen durchgeführt. Härtemessung: indruck von yramidischem Diamantrüfkörer bei definierter Kraft. Je geringer die indringtiefe desdo härter das Materia. Kerbschagversuch: in Pende zerschägt eine Probe des Materias. Die kinetische nergie des Pende wird teiweise aufgezehrt durch erformungsvorgänge, die in der Probe vor dem Bruch abaufen. Die Menge der aufgenommenen nergie ist ein Mass für die Zähigkeit des Materias. Das ersagen der Probe erfogt entweder durch einen duktien (hohe Zähigkeit) oder durch einen sröden Bruch (verschwindende Zähigkeit). Für ein gegebenes Materia gibt es mit steigender Temeratur einen Sröde-Dukti-Übergang. Die Zähigkeit/Härte von Stah ässt sich durch eine thermische Behandung einsteen. Abschrecken von hoher Temeratur ässt ihn hart und sröde werden, eine Anassbehandung bei tiefer Temeratur macht ihn weich und zäh.

2 Zugversuch: in Kuferdraht wird zunehmend durch Gewichte beastet. Der Draht verängert sich. Wir beobachten zwischen der Zugsannung und der Längenänderung etwa ein erhaten wie in der nebenstehenden Abbidung. Unterhab einer reativen Längenänderung / von etwa Promie, bzw. kritischen Sannung (σ S, Streckgrenze ) sind die Längenänderungen voständig reversibe (eastisch). Die Längenänderung der Probe ist zunächst roortiona zur Zugsannung, die Formänderung fogt raktisch instantan der Kraft. Bei höherer Sannung setzt dann astische (d.h. beibende) erformung ein, die der eastischen Dehnung überagert ist. Wenn jetzt die Probe entastet wird, geht sie nicht mehr auf ihre Ausgangsänge zurück. Auch bei astischer erformung geht die erängerung der Probe zunächst mit einer Zunahme der Zugsannung einher. Diese sogenannte Katverfestigung (eng. "work hardening ) ist ein wichtige igenschaft von Metaen, die sie zum bevorzugten Konstruktionsmateria für technische Geräte macht. Das Materia wird dort besonders fest, wo es beansrucht wird. (Modeversuch: Hin- und Rückbiegen von Auminiumstreifen. Das Rückbiegen erfogt an einer anderen Stee as die erste Biegung) Die erfestigungsrate des Drahtes nimmt mit zunehmender erängerung ab. Schiessich kommt es bei einer Bruchdehnung ε B bzw. Bruchsannung σ B zum Reissen des Drahtes. Die astische erformung erfogt nicht voständig instantan. iemehr verängert sich die Probe bei konstanter Last mit der Zeit. Der Festkörer zeigt hier Fiessverhaten, wie wir es von einer sehr viskosen Füssigkeit erwarten würden. Dieses Fiessen auf angen Zeitskaen wird von Materiawissenschaftern as Kriechen bezeichnet. rmüdungsversuch: Die Probe wird einer Wechseverformung unterworfen (einfachste Mögichkeit: Probe rotieren assen und geichzeitig einseitig beasten). Die Bruchsannung nimmt mit der Anzah der erformungszyken deutich ab. Für das rmüdungsverhaten ist die Oberfächenquaität von entscheidender Bedeutung. (Wichtig für rotierende oder schwingende Maschinenteie) 4. astizitätstheorie Wir woen jetzt die reversibe, instantane erformung bei keinen Längenänderungen quantitativ beschreiben. xerimentee Untersuchungen rechtfertigen einen inearen Ansatz in der agemeinen Form Kraft erformung Modu bzw. erformung Kraft Comiance.

3 Dieser ineare Ansatz ist immer gerechtfertigt für genügend keine reative erformungen. (ty. /<0.00) (Beweis Taior-ntwickung), d.h. wir beschäftigen uns im Prinzi mit einer Näherungstheorie erster Ordnung. Je nach der Geometrie des Probems müssen jedoch verschiedene Modun und Konstanten berücksichtigt werden. 4.. astizitätsmodu ( Young Modu ) Wir betrachten einachsige Längenänderungen unter einer Zug- oder Druckkraft. Zunächst haben wir aufgrund unseres Ansatzes F Die absoute Längenänderung hängt jedoch von der Ausgangsänge der Probe ab, wie das Gedankenexeriment mit zwei Probenhäften zeigt. Die Längenänderungen der γ F beiden Häften sind geich. Füge beide Böcke zusammen, so fogt für die Längenänderung: + Aber auch für die Ausgangsänge + Normiert man aso die Änderung auf die Ausgangsänge, so erhaten wir einen von der Länge der Probe unabhängigen Wert. In ähnicher Weise zeigt man, dass auch auf den Querschnitt der Probe normiert werden muss, um das Modu as eine sezifische Materiakonstante einzuführen. Die sinnvoe Definition des astizitätsmodu ist aso: σ ε (4.) : astizitätsmodu, ε: Dehnung (strain), σ: Sannung (stress) 4.. astische nergie Wie eine Feder seichert ein eastisch gedehnter Draht nergie. Unter Rückgriff auf das Hooksche Federgesetz, Definition einer Federkonstanten D, können wir diese nergie sofort abeiten: Sannenergie einer Feder F D D A W w D W w : ε A A (4.)

4 (Sebstverständich hätten wir G. 4. auch direkt abeiten können über die an dem Draht geeistet Arbeit Fd, keine Übungsaufgabe). Wir sehen, durch die gewähte Definition der eastischen Modun ergibt sich natüricherweise auch für die nergie ein sezifischer Ausdruck, aso eine nergiedichte. Wi man die Gesamtenergie eines eastisch versannten Körers bestimmen, so muss man w über das oumen integrieren Querkontraktion W Ziehen wir an einem Quader mit einer Zugsannung in x-richtung, so beobachten wir in dieser Richtung eine erängerung des Körers, in den beiden orthogonaen Richtungen jedoch eine erkürzung (Modeversuch: Schaumstoff- oder Gummi- Quader). Im Rahmen der inearen Theorie ist die erkürzung roortiona zur angeegten Kraft und damit auch roortiona zur erängerung in Zugrichtung. Wir definieren deshab mit b h ν (4.3) b h die Querkontraktionszah ν (Poisson s ratio). Überegen wir uns, wie groß müsste n sein, damit der Körer bei einer Dehnung sein oumen beibehät? bh d inige tyische eastische Konstanten sind in der Tabee widergegeben. Körer d db + + b d d ν ν 0 wd d bh d + h db + b dh dh! 0 h 0 ν /GPa ν Streckgrenze /MPa Schmezunkt /K Auminium 69 0, Kufer 8 0, Bei 4 0, Wofram 340 0, isen 0 0, In der Tat zeigt sich exerimente ν>0, dh. ine erängerung in einer Richtung zieht eine erkürzung in den dazu senkrechten Richtungen nach sich. s gibt aber keine grundegendes Prinzi was dies erzwingt. Andererseits git für eastische erformung in der Rege nicht die oumenerhatung. Wird an einem Körer einachsig gezogen, so vergrössert sich sein oumen (ν</). Für einen isotroen Festkörer beschreiben die beiden Konstanten und ν das eastische erhaten voständig. Aerdings definiert man oft angeasst an seziee ersuchsgeometrien andere Konstanten, die sich dann auf und ν zurückführen

5 assen. Das werden wir im Fogenden an zwei Beisieen demonstrieren. Wird das eastische erhaten anisotro, so werden im xtremfa bis zu (!) unterschiediche Materiakonstanten erforderich um das eastische erhaten voständig zu beschreiben. Dazu säter mehr Beisie : Komressionsmodu (Buk-Moduus) r beschreibt die Reaktion einer Probe auf einen aseitigen (hydrostatischen) Druck, aso eine isotroe Kraft. Das zugehörige Modu können wir auf und ν zurückführen in dem wir das Suerositionsrinzi der inearen astizitätstheorie ausnutzen: i) Kraft auf die Stirnfächen: ii) iii) Kraft vorn-hinten: Kraft oben-unten: wie (ii) Das Probem ist symmetrisch in den drei Raumrichtungen. Aso ν ν ( ν ) b h + + b h 3 ν ( ) (4.4) Das Komressionsmodu wird übicherweise definiert durch K Damit aso K 3( ν ) (4.5) Für ein stabies System müssen wir verangen K>0. Adernfas würde ein Körer sich sontan gegen den äusseren Druck ausdehnen und wir könnten ihn fogich Arbeit eisten assen. Wir sehen aso für die Querkontraktion muss geten ν</. (rinnerung: in.. hatten wir die Komressibiität κ definiert. κk - )