80 Schwingende Saiten

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1 80 Schwingende Saiten Schwingende Saiten 80.1 Probem. Es werden die Schwingungen einer (Geigen-) Saite der Länge > 0 und Massendichte ρ(x) > 0, 0 x, untersucht. Ist diese in den Punkten x = 0 und x = fest eingespannt, so erfüt ihre Ausenkung u(x,t) an der Stee x [0,] zur Zeit t R die Weengeichung t 2u(x,t) = 1 ρ(x) 2 xu(x,t) (1) und die Randbedingung u(0,t) = u(,t) = 0. (2) Aus der Kenntnis von Lage und Geschwindigkeit u(x,0) = A(x), t u(x,0) = B(x) (3) zur Zeit t = 0 so nun die Lösung u(x,t) für ae Zeiten t bestimmt werden, d.h. es so das Anfangs-Randwertprobem (1) (3) geöst werden. Wegen (2) und (3) muß natürich A(0) = A() = 0 vorausgesetzt werden Eigenwerte und Eigenfunktionen. a) Für eine Lösung von (1) macht man den den Produktansatz u(x,t) = f(x)g(t) (4) mit nur von der Orts- bzw. Zeitvariaben abhängigen, genügend oft differenzierbaren Funktionen f und g. Aus (1) fogt dann f(x) g(t) = 1 ρ(x) f (x)g(t), x,t R. b) Für eine Lösung u 0 von (1) der Form (4) gibt es t 0 R mit g(t 0 ) 0. Mit λ := g(t 0) g(t 0 ) erfüt dann f die gewöhniche Differentiageichung f (x)+λρ(x)f(x) = 0, x R, (5) und daraus ergibt sich für g die Differentiageichung g(t)+λg(t) = 0, t R. (6) c) Abjetzt (indiesem Abschnitt) sei diemassendichte ρ > 0 konstant.dielösungen von (5) sind f(x) = c 1 +c 2 x für λ = 0 und f(x) = c 1 sin ρλx+c 2 cos ρλx für λ 0. Nun impiziert die Randbedingung (2) sofort f(0) = f() = 0, aso f = 0 im Fa λ = 0 und c 2 = 0 sowie ρλ πz für λ 0. Das Randwertprobem f (x)+ρλf(x) = 0, f(0) = f() = 0, (7) besitzt aso nicht triviae Lösungen nur im Fa λ = λ k = π2 ρ 2 k 2 für ein k N; (8)

2 332 XII. Differentiageichungen diese Zahen λ k heißen die Eigenwerte des Randwertprobems (7), und die entsprechenden Eigenfunktionen sind gegeben durch ϕ k (x) := c k sin π kx, k N, c k C. (9) d) Mit c := 1 ρ sind für λ = λ k die Lösungen von (6) gegeben durch g k (t) = a k cosc π kt+b k sinc π kt, (10) die entsprechenden Lösungen von (1), (2) dann durch u k (x,t) = (a k cosc π kt+b k sinc π kt) sin π kx, k N. (11) Die Eigenfunktionen ϕ k schwingen aso mit den Frequenzen c π k, k N. Ae vorkommenden Frequenzen sind offenbar ganzzahige Viefache der Grundfrequenz c π Reihenentwickungen. a) Der Einfachheit wegen wird ab jetzt = π für die Länge der Saite angenommen. Man möchte weitere Lösungen von (1) (3) durch Überagerungen der u k konstruieren: u(x,t) = u k (x,t) = (a k cosckt+b k sinckt) sinkx. (12) Man hat absoute und geichmäßige Konvergenz dieser Reihe und der Reihen der Abeitungen der Ordnung 2 auf ganz R 2 im Fa k 2 ( a k + b k ) <. (13) Dann ist u C 2 (R 2 ) eine Lösung von (1) und (2), und man hat u(x,0) = a k sinkx, t u(x,0) = ckb k sinkx. (14) b) Funktionen F : [0,π] R mit F(0) = F(π) = 0 besitzen ungerade Fortsetzungen auf [ π,π] und diese dann 2π-periodische Fortsetzungen auf R, die hier mit F bezeichnet werden. In der reeen Fourier-Entwickung von F verschwinden die geraden Terme, und man hat (vg. (71.9)) F(x) F k sinkx mit F k := 2 π π 0 F(x) sinkxdx. (15) c) Wäht man aso in (12) a k = A k und b k = B k mit den Fourier-Koeffizienten von ck A und B gemäß (15), so erhät man eine Lösung des Anfangs-Randwertprobems (1) (3), fas die Bedingung (13) erfüt ist. In der Tat genügen sogar etwas schwächere Annahmen über die Anfangsdaten A und B für die

3 80 Schwingende Saiten Lösung des Probems (1) (3). a) Es sei B = 0 und A C 2 [0,π] mit A(0) = A(π) = 0 und A (0) = A (π) = 0. (16) Dann fogt Ă C2 2π (R). Wegen cosckt sinkx = 1 2 sink(x+ct)+ 1 2 sink(x ct) iefert die Reihe gemäß (12) die Funktion u A (x,t) = A k cosckt sinkx = 1 A 2 k sink(x+ct)+ 1 A 2 k sink(x ct) = 1 Ă(x+ct)+ 1 Ă(x ct). (17) 2 2 Wegen Ă C2 (R) git u A C 2 (R 2 ), und man rechnet sofort nach, daß u A eine Lösung der Weengeichung (1) ist. Offenbar sind auch (2) und (3) (mit B = 0) erfüt. Man erhät aso u A, indem man jeweis die Häfte der Wee Ă mit der Geschwindigkeit c nach inks und nach rechts aufen äßt und dann überagert. b) Nun wird der Fa A = 0 behandet. Ist B C 1 [0,π] mit B(0) = B(π) = 0, (18) so fogt B C2π 1 (R) und insbesondere B k <. Die Funktion u B (x,t) := B k ck sinckt sinkx (19) iegt dann in C 1 (R 2 ) und erfüt (2) und (3) (mit A = 0). Ähnich wie in (17) ist t u B (x,t) = B k cosckt sinkx = 1 B(x+ct)+ 1 B(x ct) und (20) 2 2 x u B (x,t) = B k c sinckt coskx = 1 B(x+ct) 1 B(x ct), aso (21) 2c 2c u B (x,t) = 1 x+ct 2c x ct B(y) dy; (22) somit git sogar u B C 2 (R 2 ), und man rechnet wieder nach, daß u B eine Lösung der Weengeichung (1) ist. c) Für Anfangsdaten A und B wie in (16) und (18) iefert u A + u B offenbar eine Lösung des agemeinen Probems (1) (3). Auch schwingende Saiten unendicher Länge assen sich eicht behanden: 80.5 Satz. Jede Lösung u C 2 (R 2 ) der Weengeichung 2 tu(x,t) = c 2 2 xu(x,t) (23) hat die Form u(x,t) = f(x+ct)+g(x ct), f,g C 2 (R). (24)

4 334 XII. Differentiageichungen 80.6 Satz. Für A C 2 (R) und B C 1 (R) besitzt das Anfangs- oder Cauchy- Probem (23), (3) die eindeutige Lösung u(x,t) = 1 2 A(x+ct)+ 1 2 A(x ct)+ 1 2c x+ct x ct B(y)dy. (25) 80.7 Beispie. Für A(x) = A cosx und B(x) = B cosx hat man u(x,t) = 1 A cos(x+ct)+ 1 A cos(x ct)+ B 2 2 2c = A cosx cosct+ B cosx sinct c = x+ct x ct cosydy A 2 + B2 c 2 cosx cos(ct+ϕ), ϕ = arctan( B Ac ); dies beschreibt eine stehende Wee Charakteristiken. a) Eine durch f(x ± ct) gegebene Wee ist konstant auf jeder durch x±ct = K, K konstant, gegebenen Geraden. Diese Geraden der Steigung 1 c in der (x,t)-ebene heißen Charakteristiken der Weengeichung (23). b) Für einen Punkt P = (ξ,τ) R 2 mit τ > 0 sei D das Dreieck mit den Eckpunkten P = (ξ,τ), P 1 := (ξ cτ,0) und P 2 := (ξ +cτ,0). Dann ist eine Lösung u der Weengeichung in D eindeutig bestimmt durch ihre Anfangswerte u(x,0) und t u(x,0) im Interva [ξ cτ,ξ+cτ] {0} oder ihre Werte u(ξ ±ct,τ t) auf den Schenken von D Bemerkungen. a) Im Gegensatz zum Fa der Wärmeeitungsgeichung iefern die Formen (17), (22) und (25) Lösungen auch für t < 0; in der Tat ist die Weengeichung gegen die Zeitumkehr t t invariant. b) Während die (periodischen) Lösungen der Wärmeeitungsgeichung für beiebige Anfangsdaten in L 1 für t > 0 automatisch C sind, ist die Weengeichung nur für genügend gatte Anfangsdaten (kassisch) ösbar. Einfache Beispiee zeigen, daß die Formen (24) oder (25) auch für unstetige Anfangsdaten sinnvoe Lösungen der Weengeichung iefern können. Dies ist ein Anaß zu einer Erweiterung des Lösungsbegriffs für Differentiageichungen im Rahmen der Theorie der Distributionen (vg. HM 4) Energiemethoden. a) Für Anfangs-Randwertprobeme für die Weengeichung hat man Eindeutigkeit und Stabiität der Lösungen, auch im Fa mehrerer Ortsvariaber. Gegeben seien ein Gebiet mit fast übera gattem Rand endichen Inhats in Rn, z.b. n = 1,2,3, sowie die Differentiageichung ( 2 t c 2 x )u(x,t) = F(x,t), x G, t R (26) mit den Rand- und Anfangsbedingungen u(x,t) = R(t), x G, (27) u(x,0) = A(x), t u(x,0) = B(x), x G. (28)

5 80 Schwingende Saiten 335 Sind u 1,u 2 C 2 (G R) Lösungen von (26) (28), so ist u := u 1 u 2 eine Lösung zu den Anfangsdaten F = R = A = B = 0, und es ist u = 0 zu zeigen. b) Aufgrund der Greenschen Forme Forme (63.10) und t u(x,t) = 0 für x G git c 2 d dt G grad xu 2 dx = 2c 2 G grad xu,grad x t u dx = 2c 2 G tu n udσ 2c 2 G tu x udx = 2 G tu t 2udx = d dt G ( tu) 2 dx. Fogich ist die Energie E(t) := G ( tu(x,t) 2 +c 2 grad x u(x,t) 2 )dx (29) zeitich konstant. Wegen E(0) = 0 ist aso E(t) = 0 für ae t R und somit t u(x,t) = grad x u(x,t) = 0 für ae x G und t R. Somit ist u konstant, und die Rand- und Anfangsbedingungen iefern u = 0.