Fachbereich Mathematik Hochschule Regensburg. Kurz-Skriptum zu Fourierreihen. Prof. Dr. Michael Fröhlich

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1 Fachbereich Mathematik Hochschule Regensburg Kurz-Skriptum zu Fourierreihen Prof. Dr. Michael Fröhlich

2 Inhaltsverzeichnis p-periodische Funktionen und trigonometrische Reihen 4. p-periodische Funktionen Approximation periodischer Funktionen durch trigonometrische Reihen Fourier-Reihen. Bestimmung der Fourier-Koeffizienten für π-periodische Funktionen Fourier-Reihen für π-periodische Funktionen Fourier-Reihen für p-periodische Funktionen Fourier-Reihen für komplexwertige Funktionen

3 Fourierreihen, Michael Fröhlich, HS Regensburg 3 Prof. Dr. Michael Fröhlich Fakultät Informatik und Mathematik Hochschule Regensburg Postfach Regensburg michael.froehlich@hs-regensburg.de Tel.: / Raum U 3, Sammelgebäude, Universitätsstraße 3.

4 Kapitel p-periodische Funktionen und trigonometrische Reihen In vielen Bereichen der Physik spielen periodische Vorgänge eine wichtige Rolle (Schwingungen, Wellenausbreitungen, Wechselstrom). Zu ihrer Beschreibung verwendet man in der Mathematik periodische Funktionen.. p-periodische Funktionen Definition von p-periodisch: Man nennt eine Funktion f : R C periodisch mit Periode p (oder einfach p-periodisch), falls ein p R > existiert mit Bemerkung: f (x + p) = f (x) für alle x R. Perioden sind für eine Funktion f nicht eindeutig bestimmt: Ist p eine Periode von f, so sind auch alle Vielfachen kp mit k N Perioden von f. Die kleinste Periode von f heißt Grundperiode bzw. primitive Periode. Beispiele für p-periodische Funktionen Die vielleicht wichtigsten Beispiele periodischer Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen: Die Funktionen f (x) = sin x und f (x) = cos x haben die Grundperiode π, während f (x) = tan x und f (x) = cot x die Grundperiode π haben. Die jeweiligen Umkehrfunktion Arcussinus usw. sind nicht p-periodisch. Eine konstante Funktion f : R R, x c ist p-periodisch für jedes p >. Die komplexwertige Funktion f : R C, x e jx ist π-periodisch. Bemerkung: Eine p-periodische Funktion f ist durch ihre Werte f (x) auf einem beliebigen Intervall der Länge p bestimmt. Man verwendet als Grundintervall meistens [, p[ oder [ p, p [. 4

5 Fourierreihen, Michael Fröhlich, HS Regensburg 5 Definition von p-periodischer Fortsetzung: Ist eine Funktion zunächst nur durch ihre Werte g(x) mit x < q oder a x < a erklärt, so kann man sie direkt zu einer p-periodischen Funktion f : R R mit p = q oder p = a wie folgt fortsetzen: oder f (x) := g(x np) für geeignetes n Z mit np x < (n + )p. f (x) := g(x np) für geeignetes n Z mit a x np < a... Sätze über p-periodische Funktionen: Sei im folgenden f : R R eine Funktion.. Hat f die Periode p, so gilt für alle k Z : f (x + kp) = f (x). Ist g(x) p-periodisch und c R konstant, dann ist auch f (x) = g(x c) p-periodisch. 3. Sind f und g periodisch mit Periode p und c, c R, so ist c f + c g auch p-periodisch. 4. Ist f periodisch mit Periode p, so ist auch jede zusammengesetzte Funktion g f periodisch mit Periode p. 5. Hat f Periode p, so sind für beliebige c R \ {} und d R die Funktionen d f (cx) periodisch mit Periode p c. 6. Seien f bzw. f periodische Funktionen mit Periode p bzw. p. Wenn z, z Z \ {} existieren mit p p = z z, dann ist f ± f periodisch mit Periode p := z p = z p. 7. Hat f Periode p, ist reellwertig und integrierbar, dann gilt für alle a R: a+p f (x)dx = p f (x)dx. (=konstant) a 8. Hat f Periode p, ist reellwertig und integrierbar, dann gilt für alle a R: a+p f (x)dx = p f (x)dx = a+ p f (x)dx. a p a p Beweis: Zu.: Sei k Z. Falls k >, folgt f (x + kp) = f ((x + (k )p) + p) = f (x + (k )p) = f (x + (k )p) =... = f (x + p) = f (x). Falls k <, folgt f (x + kp) = f ((x + kp) + p) = f (x + (k + )p) = f (x + (k + )p) =... = f (x + p) = f (x).

6 Fourierreihen, Michael Fröhlich, HS Regensburg 6 Zu : Es gilt f (x + p) = g((x + p) c) = g((x c) + p) g p periodisch = g(x c) = f (x). Zu 3: Folgt direkt aus Definition von p-periodisch. Zu 4.: Es gilt (g f )(x + p) = g( f (x + p)) f p periodisch = g( f (x)) = (g f )(x). Zu 5: Man setze g(x) := d f (cx). Dann gilt Zu 6.: Wegen. gilt ( g x + p ) ( ( = d f c x + p )) = d f (cx + p) f p periodisch = d f (cx) = g(x). c c ( f ± f )(x + p) = f (x + p) ± f (x + p) = f (x + z p ) ± f (x + z p ). = f (x) ± f (x) = ( f ± f )(x). Zu 7.: Sei a R. Da f Periode p hat, folgt mit der Substitution g(x) = x p: a+p f (x)dx = a+p f (x p)dx = a f (x)dx. p p Addition von p a f (x)dx auf beiden Seiten der Gleichung ergibt die Behauptung. 8. folgt direkt aus 7. für p anstelle von a bzw. a p anstelle von a. Bemerkung: Die Grundperiode von g f kann kleiner als die Grundperiode von f sein: Für f = sin und g der Betragsfunktion ist z.b. die Grundperiode von f gleich π und von g f gleich π, da (g f )(x) = sin x. Beispiele zu obigem Satz. sin x ist π-periodisch, also ist sin(3x) gemäß 5. aus (..) dann π 3 -periodisch.. sin(3x) ist π 3 -periodisch, also ist gemäß. aus (..) sin(3x ) auch π 3 -periodisch. 3. sin(x) und cos(x) sind π-periodisch, also ist gemäß 3. aus (..) 3 sin(x) 5 cos(x) auch π-periodisch. 4. Rechteckfunktion : Mit signum wird die sogenannte Vorzeichenfunktion für x > signum(x) = für x = für x <. bezeichnet. sin(x) ist periodisch mit Periode π, also ist gemäß 4. aus (..) auch signum(sin(x)) periodisch mit Periode π:

7 Fourierreihen, Michael Fröhlich, HS Regensburg 7 5. Überlagerung von Sägezahnfunktionen: Die Funktion untere Gaußklammer x := max {z Z z x} ist eine nicht periodische Treppenfunktion. Aber die sogenannte Sägezahnfunktion f (x) := x x ist periodisch mit Periode. Somit hat f (x) := 3x 3x nach 5. in (..) die Periode 3, und die Überlagerung f (x) f (x) = x x + 3x hat nach 6. in (..) die Periode. 6. Die Funktion f (x) = sin(3x) sin(7x) ist π-periodisch: Man verwende die Identität sin(a) sin(b) = (cos(a b) cos(a + b)) und erhält Definition sin(3x) sin(7x) = (cos(4x) cos(x)). Mit Hilfe von 6. aus (..) folgt die Behauptung. Eine Funktion f : R C heißt gerade (achsensymmetrisch zur y-achse, falls f reellwertig), falls f (x) = f ( x) für alle x R gilt. Eine Funktion f : R C heißt ungerade (punktsymmetrisch zum Nullpunkt, falls f reellwertig), falls f (x) = f ( x) für alle x R gilt. Eine gerade oder ungerade p-periodische Funktion f ist durch ihre Werte f (x) auf einem beliebigen Intervall der Länge p bestimmt. Man verwendet als Grundintervall meistens [, p [.

8 Fourierreihen, Michael Fröhlich, HS Regensburg 8 Funktionsgraphen der p-periodischen Funktionen Sägezahn-, Dreiecks- und Rechteckfunktion: Zur Wiederholung Exkurs über Additionstheoreme und deren Folgerungen: Für alle x, y R gilt:. Additionstheorem: sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x.. Additionstheorem: cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y. Folgerungen: sin(x) sin(y) = ( ) cos(x y) cos(x + y). cos(x) cos(y) = ( ) cos(x + y) + cos(x y). sin(x) cos(y) = ( ) sin(x + y) + sin(x y). Trigonometrischer Pythagoras: sin x + cos x = für alle x R.

9 Fourierreihen, Michael Fröhlich, HS Regensburg 9. Approximation periodischer Funktionen durch trigonometrische Reihen Periodische, meist zeitabhängige Vorgänge spielen in Naturwissenschaft und Technik eine wichtige Rolle. In der Physik lassen sich einfache, zeitlich periodische Vorgänge wie z.b. die Schwingung eines Federpendels durch die allgemeine Sinusfunktion der Form f (x) = a sin(bx + c) + d mit a, b R \ {}, c, d R beschreiben. Einfluß der Konstante a auf die Sinuskurve: Jeder Funktionswert der Grundfunktion sin x wird mit a multipliziert. Dies bedeutet graphisch eine Streckung für a > bzw. Stauchung für a < in y-richtung. Man bezeichnet den Wert a auch als Amplitude. Einfluß der Konstante b auf die Sinuskurve: Der Faktor b bewirkt eine Änderung der Periodenlänge p = π b. Graphisch bedeutet dies eine Streckung für b < bzw. Stauchung für b > in x-richtung mit dem Faktor b. Man bezeichnet den Wert b auch als Frequenz. Einfluß der Konstante c auf die Sinuskurve: Die additive Konstante c im Argument des Sinus bewirkt eine Phasenverschiebung. Graphisch bedeutet dies eine Verschiebung auf der x-achse um c b : nach links, falls c > und nach rechts, falls c <.

10 Fourierreihen, Michael Fröhlich, HS Regensburg Einfluß der Konstante d auf die Sinuskurve: Zu jedem Funktionswert wird die Konstante d dazu addiert. Graphisch bedeutet dies eine Verschiebung parallel der y-achse um d: Der Graph schwingt um die Gerade y = d. Analoges gilt für die allgemeine Cosinus-Funktion f (x) = a cos(bx + c) + d mit a, b R \ {}, c, d R. In den Anwendungen, z.b. der Akkustik, werden oft eine Grundschwingung (bzw. harmonische Schwingung mit Grundfrequenz ω > ) f (x) = a cos(ωx) + b sin(ωx) mit dazugehörigen endlich vielen Oberschwingungen f k (x) = a k cos(kωx) + b k sin(kωx), k =,..., n überlagert, und man erhält dann als sogenannte Überlagerung (Superposition) die Funktion: S n (x) = n (a k cos(kωx) + b k sin(kωx)) Definition trigonometrisches Polynom vom Grad n N: Sei ω >, a, a k, b k R für k N, k n. Die Funktion T n (x) := a n + (a k cos(kωx) + b k sin(kωx)), x R heißt trigonometrisches Polynom vom Grad n. Die Zahlen a, a k, b k heißen die Koeffizienten des trigonometrischen Polynoms. Konvergiert die Folge der Partialsummen ((T n (x)) n N für alle x R, so wird durch T(x) := a + (a k cos(kωx) + b k sin(kωx)), x R eine π ω -periodische Funktion definiert. Man nennt T(x) eine (unendliche) trigonometrische Reihe. Im folgenden wird gezeigt, daß auch die Umkehrung gilt: Fast jede p-periodische Funktion läßt sich als trigonometrische Reihe darstellen: Besonders in der Elektrotechnik treten zeitabhängige Vorgänge auf, die zwar periodisch aber nicht mehr sinusförmig verlaufen, z.b. die Kippschwingung bzw. Sägezahnimpuls. Kann man solch eine nichtsinusförmige Schwingung aus harmonische Einzelschwingungen zusammensetzen? Ja, unter gewissen Voraussetzungen ist es möglich, einen Schwingungsvorgang (p-periodische Funktion f ) in eine trigonometrisches Reihe zu entwickeln :

11 Fourierreihen, Michael Fröhlich, HS Regensburg f (x) = a + (a k cos(kωx) + b k sin(kωx)), x R Diese Darstellung heißt Fourier-Reihe, und die Entwicklung einer periodischen Funktion in eine Fourier-Reihe bezeichnet man als Fourier-Analyse. Die Koeffizienten a, a k und b k für k N heißen Fourier-Koeffizienten. Sie geben die Amplituden der einzelnen Frequenzkomponenten an. Exkurs unendliche Reihen Bemerkungen zur Konvergenz von trigonometrischen Reihen:. Es existieren trigonometrischen Reihen, die für alle x divergieren.. Sind die beiden Reihen a k und b k konvergent, so konvergiert die zugehörige k= trigonometrische Reihe, und die durch die Reihe definierte Funktion ist stetig. (ein hinreichendes Konvergenzkriterium) 3. Es gibt trigonometrische Reihen, die für alle x R konvergieren, obwohl die zugehörigen Koeffizientenreihen nicht konvergieren. Beispiel sin(kx) k.

12 Kapitel Fourier-Reihen Fourier-Reihen (nach Jean Baptiste Joseph Fourier, ) werden verwendet, um periodische Funktionen als unendliche Reihe von Sinus - und Cosinusgliedern darzustellen. Bei der Taylorschen Reihenentwicklung (MA Vorlesung) wird die Entwicklung einer Funktion nach dem Funktionssystem {x i i N } durchgeführt. Diese Entwicklung funktioniert nicht, falls die zu interpolierende Funktion oder ihre Ableitungen Unstetigkeitsstellen aufweisen. Im folgenden Kapitel werden einige periodische Funktionen mit Unstetigkeitsstellen mit Hilfe des Funktionssystems {sin(mx), cos(nx) n, m N } in eine Fourier-Reihe entwickelt. Ist eine p-periodische Funktion gegeben, stellt sich die Frage, unter welchen Voraussetzungen diese als Fourier-Reihe darstellbar ist, und wie dann die Koeffizienten a, a k, b k für k N berechnet werden können:. Bestimmung der Fourier-Koeffizienten für π-periodische Funktionen Sei f : R C eine π-periodische Funktion, d.h. f (x) = f (x + π) für alle x R. Bestimmt werden sollen die Fourier-Koeffizienten a k und b k aus folgendem Ansatz: ( ) f (x) = a + a k cos(kx) + b k sin(kx). D.h. welcher Zusammenhang besteht zwischen der Funktion f (x) und den Koeffizienten a, a k, b k, wenn f (x) eine trigonometrische Reihe ist? Es wird hier stillschweigend vorausgesetzt, daß nur solche Koeffizienten a, a k, b k gewählt werden, für welche die unendlichen Reihen, die sich beim Einsetzen von reellen Zahlen x ergeben, immer konvergieren. Zur Berechnung der Fourier-Koeffizienten a k und b k benötigt man folgende bestimmte Integrale:

13 Fourierreihen, Michael Fröhlich, HS Regensburg 3.. Lemma (Orthogonalität der Sinus - und Cosinusfunktionen):.. 3. π π sin(nx)dx = = cos(nx)dx für alle n N. π π für m n cos(nx) cos(mx)dx = π für m = n für m n sin(nx) sin(mx)dx = π für m = n = πδ(n m) = πδ(n m) 4. π cos(nx) sin(mx)dx =. Das in. und 3. verwendete Kronecker-Symbol δ : Z {, } ist definiert durch für k = δ(k) = für k Z \ {} Beweis:. folgt durch Nachrechnen. Für. und 3. erhält man mit Hilfe der Formeln cos α cos β = (cos(α + β) + cos(α β)) und sin α sin β = (cos(α β) cos(α + β)) und zusammen mit. für m n die Behauptungen. Für m = n folgt mit partieller Integration cos (nx)dx = π = sin (nx)dx. 4. folgt mit Hilfe der Formel sin α cos β = (sin(α + β) + sin(α β)) und aus. Bestimmung von a : Gliedweise Integration von Gleichung ( ) im Intervall [, π] liefert mit.+. aus Lemma (.): und es folgt f (x)dx = = a dx + a k a dx = a π, cos(kx)dx + a = f (x)dx. π b k sin(kx)dx Insbesondere ist a der Mittelwert der Funktion f (x) über dem Periodenintervall π.

14 Fourierreihen, Michael Fröhlich, HS Regensburg 4 Bestimmung von a k : Multiplikation von f (x) in der Darstellung von ( ) mit cos(kx), k N und anschließende Integration über das Intervall [, π] liefert Es folgt f (x) cos(kx)dx = a = Bestimmung von b k : cos(kx)dx + n= a n cos(nx) cos(kx)dx + a n πδ(n k) = πa k nach.,. und 4. aus Lemma (..) n= a k = π f (x) cos(kx)dx für k N. n= b n sin(nx) cos(kx)dx Multiplikation von f (x) in der Darstellung von ( ) mit sin(kx), k N und anschließende Integration über das Intervall [, π] liefert Es folgt f (x)sin(mx)dx = a = sin(kx)dx + n= a n cos(nx) sin(kx)dx + b n πδ(n k) = πb k nach., 3. und 4. aus Lemma (..). n= b k = π f (x) sin(kx)x für k N.. Fourier-Reihen für π-periodische Funktionen Dirichlet (85-859) hatte folgenden Konvergenzsatz bewiesen: n= b n sin(nx) sin(kx)dx Ist die p-periodische Funktion f : [a, b] C stückweise stetig differenzierbar, dann konvergiert die Fourier-Reihe von f für alle x [a, b] gegen ( f l(x) + f r (x)). Folgende zwei von Dirichlet entwickelten Voraussetzungen gewährleisten also, daß die Fourier- Reihe einer π-periodischen Funktion f überall gegen f konvergiert, so daß der Grenzwert a + a k cos(kx) + b k sin(kx)

15 Fourierreihen, Michael Fröhlich, HS Regensburg 5 jeweils mit f (x) übereinstimmt: Voraussetzung : f : [a, b] C heißt stückweise stetig differenzierbar, wenn f bis auf endlich viele Stellen x < x <... < x n in [a, b] stetig differenzierbar ist und in diesen Stellen die einseitigen Grenzwerte von f (x) (und f (x) ) existieren: f l (x k ) = lim f (x k ɛ) bzw. f r (x k ) = lim f (x k + ɛ). ɛ,ɛ> ɛ,ɛ> Es sind also Sprungstellen in der Funktion bzw. Ableitung erlaubt, aber keine Polstellen. Voraussetzung : Es gelte die sogenannte Mittelwerteigenschaft für die Funktion f : R C: Bemerkung: f (x) = ( f l(x) + f r (x)) für alle x R. ( f l(x) + f r (x)) ist das arithmetische Mittel des rechts- und linksseitigen Grenzwertes von f (x). An den Stetigkeitsstellen x von f gilt immer ( f l(x ) + f r (x )) = f (x ), und an den endlichen Unstetigkeitsstellen x k definiert man f (x k ) durch dieses arithmetische Mittel.

16 Fourierreihen, Michael Fröhlich, HS Regensburg 6 Zusammenfassend mit den Berechnungen der Fourierkoeffizienten (Euler-Fourier Formeln) und den beiden Dirichlet-Voraussetzungen erhalten wir den Darstellungssatz von Dirichlet für π-periodische Funktionen:.. Satz Sei f : R C eine π-periodische und stückweise stetig differenzierbare Funktion, und für alle x R sei die Mittelwerteigenschaft erfüllt. Dann konvergiert die Fourier-Reihe von f überall, und es gilt für alle x R mit den Fourier-Koeffizienten f (x) = a + a k cos(kx) + b k sin(kx). a = f (x)dx. π a k = f (x) cos(kx)dx für k N. π b k = f (x) sin(kx)dx für k N. π Bemerkungen: Da für eine π-periodische Funktion f gemäß (..) gilt

17 Fourierreihen, Michael Fröhlich, HS Regensburg 7 π f (x) cos(kx)dx = π+a a f (x) cos(kx)dx und π f (x) sin(kx)dx = π+a a f (x) sin(kx)dx für alle a R, kann für die Berechnung der Fourier-Koeffizienten ein beliebiges Periodenintervall der Länge π ausgewählt werden. Man wählt das Intervall [ π, π]. Insbesondere vereinfacht sich dann die Berechnung der Fourier-Koeffizienten für symmetrische Funktionen: Ist f gerade, d.h. f (x) = f ( x) für alle x, dann ist f cos auch eine gerade Funktion aber f sin ungerade, d.h. f (x) sin(x) = f ( x) sin( x) für alle x. Wählt man als Integrationsintervall [ π, π], so folgt für die Fourier-Koeffizienten: a = π π f (x)dx, also a = π π f (x)cos(x)dx. b k = π π π f (x)sin(kx)dx = für k N. a k = π π f (x)cos(kx)dx für k N. Die Fourier-Reihe einer geraden Funktion ist also eine reine Cosinus-Reihe. Ist f ungerade, d.h. f (x) = f ( x) für alle x, dann ist f cos auch eine ungerade Funktion aber f sin gerade. Wählt man als Integrationsintervall wieder [ π, π], so folgt für die Fourier- Koeffizienten: b k = π a = = a k für k N. π f (x) sin(kx)dx für k N. Die Fourier-Reihe einer ungeraden Funktion ist also eine reine Sinus-Reihe. Lemma: Jede beliebige Funktion f : R C läst sich in eine Summe aus einer geraden Funktion f g mit einer ungeraden Funktion f u zerlegen. Beweis: f g : R R, f g (x) := f (x) + f ( x) ist eine gerade Funktion.

18 Fourierreihen, Michael Fröhlich, HS Regensburg 8 f u : R R, f u (x) := f (x) f ( x) und es gilt f (x) = f g (x) + f u (x) für alle x R. ist eine ungerade Funktion, Bemerkung: Diese im Lemma beschriebene Zerlegung einer beliebigen Funktion in einen geraden und einen ungeraden Anteil entspricht aufgrund der obigen Bemerkungen eine Zerlegung einer π-periodischen Funktion in eine Cosinus - und eine Sinusreihe. Beispiele für Fourier-Reihen von π-periodischen Funktionen. Gegeben ist folgende Rechteckfunktion g: für < x < π g(x) = für x =, π, π für π < x < π. g ist π-periodisch auf R fortsetzbar zur Funktion f := signum (sin). Gesucht ist die Fourier-Reihe von f : Somit gilt a k = für alle k N. f ist stückweise stetig differenzierbar und erfüllt in allen Punkten die Mittelwerteigenschaft. Außerdem ist f ungerade, d.h. punktsymmetrisch zum Ursprung. Berechnung der Fourier-Koeffizienten b k : Da f ungerade, ist f sin gerade. Nach (..) und aufgrund der Achsensymmetrie von f sin folgt für alle k N b k = π = π = π π f (x) sin(kx)dx sin(kx)dx [ k cos(kx) ] π = πk ( cos(kπ) + cos()) = πk ( ( )k + ), da cos(kπ) = ( ) k und cos() =. Es folgt b k = falls k gerade 4 πk falls k ungerade.

19 Fourierreihen, Michael Fröhlich, HS Regensburg 9 Die Fourier-Reihe von f lautet somit f (x) = k= 4 sin((k + )x). (k + )π Insbesondere verhalten sich die Koeffizienten der Fourier-Reihe proportional zu k.. Gegeben ist folgende Funktion g: g(x) = x für x < π für x = π, π x π für π < x < π. g ist π-periodisch auf R fortsetzbar. Sei f die π-periodische Fortsetzung Gesucht ist die Fourier-Reihe von f : Somit gilt a k = für alle k N. f ist stückweise stetig differenzierbar und erfüllt in allen Punkten die Mittelwerteigenschaft. Außerdem ist f ungerade, d.h. punktsymmetrisch zum Ursprung. Berechnung der Fourier-Koeffizienten b k : Wegen (..), der Achsensymmetrie von f sin und unter Verwendung der partiellen Integration erhält man für alle k N b k = π f (x) sin(kx)dx = π π f (x) sin(kx)dx π = x sin(kx)dx π = [ x cos(kx) π k ] π π cos(kx) n dx = nπ (( π cos(kπ) ) ) = k ( )k = k ( )k+, da cos(kπ) = ( ) k. Folglich ist die Fourier-Reihe von f :

20 Fourierreihen, Michael Fröhlich, HS Regensburg f (x) = ( ) k+ k sin(kx). Insbesondere verhalten sich die Koeffizienten der Fourier-Reihe proportional zu k. 3. Interessantes Nebenergebnis: Sei g : [, π] R, g(x) = π (x π). Indem man in die Fourier-Reihe der π-periodischen Fortsetzung f : R R spezielle Werte einsetzt, kann man beweisen, daß und k = π 6 ( ) k k = π. Zunächst berechnet man die Fourier-Reihe von f im Intervall [, π]: f ist stückweise stetig differenzierbar und erfüllt die Mittelwerteigenschaft. Außerdem ist f gerade, d.h. achsensymmetrisch zur y-achse. Somit gilt b k = für alle k N. Für den Koeffizient a erhält man a = π π (x π) dx = [ ] π π 3 (x π)3 = 3 π. Berechnung der Fourier-Koeffizienten a k, k N: Wegen (..) und der Achsensymmetrie von (x π) cos(kx) gilt für alle k N a k = π π Zweimalige partielle Integration liefert a k = [ π (x π) ] π k sin(kx) = 4 π π (x π) sin(kx)dx k = 4 π k = [ π (x π) cos(kx)dx (x π) k cos(kx) ] π ( 4 ) ( π π ) = 4 k k πk. π (x π) k sin(kx)dx π k cos(kx)dx

21 Fourierreihen, Michael Fröhlich, HS Regensburg Somit lautet die Fourier-Reihe von f : f (x) = π π k cos(kx). Insbesondere verhalten sich die Koeffizienten der Fourier-Reihe proportional zu k. Es folgt π = f () = π π Außerdem gilt = f (π) = π π k und also n= k = π 6 ( ) k und also k ( ) k k = π... Gibbsches Phänomen Entwickelt man Funktionen, die einen Sprung als Unstetigkeitsstelle haben, in eine Fourier- Reihe, so kann man das sogenannte Gibbsche Phänomen beobachten: Alle Partialsummen S n der Fourier-Reihe über- und unterschwingen für große n an den Unstetigkeitsstellen um rund 9 % der Sprunghöhe. Als Beispiel diene folgende Rechteckfunktion: für < x < g(x) = für x = für < x < ist -periodisch auf R fortsetzbar zur Funktion f, und es gilt analog zum. Beispiel für die Fourier-Reihe von f : f (x) = 4 π k= sin((k + )πx. (k + ) Im Folgenden ist die Interpolation der Funktion f durch einige Partialsummen der Fourier- Reihe graphisch dargestellt.

22 Fourierreihen, Michael Fröhlich, HS Regensburg Man erkennt, daß der erste Überschwinger bei größerem k (wenn man noch mehr Glieder der Fourier-Reihe mit hinzunimmt) nicht kleiner wird und immer näher an die Unstetigkeitsstellen der Funktion f heranrückt, und man kann zeigen, daß sich der erste Überschwinger für große k auf ca.,8 einpendelt, was genau 9% der Sprunghöhe entspricht...3 Parsevalsche Gleichung Sei f : R C eine π-periodische Funktion, welche für alle x R gegen ihre Fourier-Reihe mit den Koeffizienten a, a k und b k konvergiert. Dann gilt: ( ) a + Anwendungsbeispiele Aufgabe 7, Übungsblatt. ( a k + ) π b k = f (x) dx. π..4 Differentation und Integration von Fourier-Reihen Differentation: Man kann eine Fourier-Reihe zwar ohne weiteres gliesweise differenzieren, aber die daraus resultierende Fourier-Reihe muß ohne zusätzliche Voraussetzungen nicht notwendig konvergieren oder die Ableitung der Funktion darstellen: sin(kx) k ist z.b. die Fourier-Reihe der π-periodischen Fortsetzung f der Sägezahnfunktion g(x) = π x. Die gliedweise Ableitung der Fourier-Reihe ergibt die Reihe Intervall (, π) nicht konstant ist, aber es ist g (x) =. cos(kx), die im

23 Fourierreihen, Michael Fröhlich, HS Regensburg 3 Wenn die π-periodische Funktion f stetig und stückweise stetig differenzierbar ist, erhält man die Fourier-Reihe von f durch gliedweise Differentation der Fourier-Reihe von f. Beispiel: f (x) = sin x. Die Fourier-Reihe der Ableitung f cos x π x < (x) = cos(x) x < π Differentation von π 4 π cos(kx) 4k zu 4 π k sin(kx) 4k. ergibt sich durch gliedweise Integration: Man kann auch unter obigen Voraussetzungen bei der Differentation die Summe einer Reihe bestimmen, die durch gliedweise Integration einer Fourier-Reihe entsteht: Z.B. ergibt sich aus der Fourier-Reihe sin(kx) k der Sägezahnfunktion f (x) = π x durch gliedweises Ersetzen der Stammfunktionen die Fourier-Reihe f (x) = (π x) 4 + C. Wegen cos(kx) k zur Funktion folgt f (x)dx = cos(kx) k dx = π k cos(kx)dx = ( (π x) 4 + C ) dx = π3 6 + πc = und also C = π, d.h. cos(kx) (π x) k = π 4. Bemerkung: Analoges Vorgehen bei Aufgabe 7, Übungsblatt...5 Wie verändern sich die Fourier-Koeffizienten einer π periodischen Funktion, wenn man die Funktion skaliert? Siehe Vorlesung..3 Fourier-Reihen für p-periodische Funktionen.3. Satz von Fourier für p-periodische Funktionen: Sei f : R C eine p-periodische und stückweise stetig differenzierbare Funktion, und für alle x R sei die Mittelwerteigenschaft erfüllt. Dann konvergiert die Fourier-Reihe von f für alle x R und stimmt mit f wie folgt überein: f (x) = a + a k cos (k πp ) x + b k sin (k πp ) x.

24 Fourierreihen, Michael Fröhlich, HS Regensburg 4 Die Fourier-Koeffizienten sind: a = p p a k = p p f (x)dx f (x) cos (k πp x ) dx für k N b k = p p f (x) sin (k πp x ) dx für k N. Beweis von (.3.): Setze F : R C, F(x) := f ( p π x). Dann gilt F(x + π) = f ( p π (x + π) ) = f ( p π x + p ) = f ( p π x ) = F(x). Also ist F eine π-periodische Funktion, die aufgrund der Definition eine stückweise stetig differenzierbare Funktion ist, und für alle x R ist die Mittelwerteigenschaft erfüllt. Satz (..) liefert für alle x R: mit den Fourier-Koeffizienten Es folgt F(x) = a + a k cos(kx) + b k sin(kx) a = F(x)dx π a k = π b k = π F(x) cos(kx)dx F(x) sin(kx)dx. f (x) = F( π p x) = a + a k cos(k π p x) + b k sin(k π p x).

25 Fourierreihen, Michael Fröhlich, HS Regensburg 5 Mit der Substitution y = p πx erhält man die Fourier-Koeffizienten von f : a = F(x)dx = ( p ) f π π π x dx = p p a k = π b k = π F(x) cos(kx)dx = π F(x) sin(kx)dx = π f f f (y)dy ( p π x ) cos(kx)dx = p ( p π x ) sin(kx)dx = p p p f (y) cos f (y) sin (k πp y ) (k πp y ) Bemerkung: Aus den Beweisschritten des Satzes (.3.) folgt, daß man jede p-periodische Funktion auf eine π-periodische Funktion zurückführen kann, und insbesondere gelten für p-periodische Funktionen analoge Aussagen zu den Bemerkungen des Satzes (..) über π-periodische Funktionen. dy dy. Anwendungsbeispiel: Fourier-Zerlegung T-periodischer Signale Sei f (t) (Zeitvariable wird üblicherweise mit t benannt) eine periodische Schwingung mit Periode T (Schwingungsdauer). Dann gilt gemäß (.3.) zu jedem Zeitpunkt t folgende Fourier- Zerlegung: f (t) = a + a k cos (k π ) T t + b k sin (k π ) T t. Man bezeichnet in den Naturwissenschaften ω := π T als Grundfrequenz. Fourier-Reihen sind der zentrale Gegenstand in der Signalverarbeitung. Die Entwicklung des Zeitsignals f (t) in unendlich viele Sinus - und Cosinusfunktionen bedeutet aus physikalischer Sichtweise eine Zerlegung des Signals in seine harmonischen Bestandteile, und man spricht von einem diskreten Spektrum für ein periodisches Signal: Dieses Spektrum besteht aus der Grundschwingung mit Frequenz ω und den harmonischen Oberschwingungen mit Frequenz kω für k N. Die Fourier-Koeffizienten a k und b k bestimmen dabei die Amplituden (der niedrigen Frequenzen für kleines k und hohen Frequenzen für großes k) dieser harmonischen Teilschwingungen und damit den Beitrag der Oberschwingungen zum Signal. In der Akkustik stellen die Amplituden z.b. die Lautstärke der Töne dar, und ein tiefer Ton hat kleine Frequenz, ein hoher Ton große Frequenz. Da man zunächst zu einer Frequenz kω zwei Koeffizienten a k, b k erhält, geht man über zu einer Darstellung a k cos(kω t) + b k sin(kω t) = A k cos(kω t φ k ), wobei A k = a k + b k und tan φ k = b k a k, falls a k.

26 Fourierreihen, Michael Fröhlich, HS Regensburg 6 Man nennt φ k die Nullphase, und A k ist die gesuchte Amplitude. Begründung: Das Kosinus-Additionstheorem liefert a k cos(kω t) + b k sin(kω t) = A k cos(kω t φ k ) = A k cos(kω t) cos φ k + A k sin(kω t) sin φ k. Ein Koeffizientenvergleich ergibt a k = A k cos φ k und b k = A k sin φ k. Daraus folgt unmittelbar tan φ k = b k a k, falls a k, und durch Quadrieren beider Gleichungen erhält man und es folgt A k = a k + b k sowie: a k + b k = A k cos φ k + A k sin φ k = A k, arctan( b k a k ), falls a k > arctan( b k a k ) ± π, falls a k < φ k = π, falls a k =, b k <. π, falls a k =, b k >, falls a k = = b k In den Anwendungen benutzt man häufig die sogenannte Spektral-Darstellung von f : mit A = a, A k = Bezeichnungen: f (t) = A + A k sin(kω t + φ k ). a k + b k, k N und sin φ k = a k A k, cos φ k = b k A k, φ k < π. A k heißt Gesamtamplitude, mit der die Frequenz kω im Signal vorkommt. φ k ist die zugehörige Phase. Die Folge (A k ) k N heißt Amplitudenspektrum. Die Folge (φ k ) k N heißt Phasenspektrum. Das Bestimmen von Amplituden- und Phasenspektrum zu einer Funktion f heißt harmonische Analyse. Die Informationen über das Signal f werden im diskreten Spektrum von f veranschaulicht: Man trägt dabei die Amplituden A k bzw. Phasen φ k im Stabdiagramm als Werte über den diskreten Frequenzen kω, k N bzw. k N ab. Dies ist die graphische Darstellung von Amplituden- und Phasenspektrum zu einer Funktion f. Der Koeffizient a p = p f (t)dt entspricht dem Mittelwert der Funktion während einer Schwingungsdauer / Periode p und wird als Gleichspannungsanteil bezeichnet.

27 Fourierreihen, Michael Fröhlich, HS Regensburg 7.4 Fourier-Reihen für komplexwertige Funktionen Eine besonders einfache Gestalt nimmt die Fourier-Darstellung in komplexer (C) Schreibweise an..4. Satz von Fourier für komplexwertige Funktionen Sei f : R C eine komplexwertige Funktion mit reeller Periode p und eine stückweise stetig differenzierbare Funktion, und für alle x R sei die Mittelwerteigenschaft erfüllt. Dann konvergiert die komplexe Fourier-Reihe für alle x R gegen f (x): f (x) = c k e jk π p x k= Die komplexen Fourier-Koeffizienten sind gegeben durch: c k = p p f (x)e jk π p x für k Z. Beweis: Sei x R. Aus den Eulerschen Formeln e jx = cos x + j sin x und cos x = ejx + e jx und sin x = ejx e jx und da cos x, sin x R, folgt mit (.3.) für die reelle Fourier-Reihe von f : f (x) = a ( + a k e jk π p x + e jk π x) p + = a + (a k jb k )e jk π x p + = k= j b k (e jk π p x e jk π x) p j (a k + jb k )e jk π p x c k e jk π p x (a k jb k ) falls k N mit c k := (a k + jb k ) falls k Z \ N a falls k = Satz (.3.) liefert c = a p = p f (x)dx und für k > : c k = (a k jb k ) = p f (x) cos(k π p p x)dx j p = p = p p p f (x) p (cos(k πp x) j sin(kπp x) ) f (x)e jk π p x dx. f (x) sin(k π p x)dx dx.

28 Fourierreihen, Michael Fröhlich, HS Regensburg 8 Für k < gilt c k = (a k + jb k ) = p f (x) cos( k π p p x)dx + j p p p (cos( k πp x) + j sin( kπp x) ) = f (x) dx p f (x) sin( j π p x)dx = p p f (x)e jk π p x dx. Bemerkungen zu (.4.):. Es existiert wegen (.4.) eine einheitliche Formel für die Koeffizienten c k.. c = a stellt den Gleichstromanteil des Signals dar. 3. c k = c k für alle k N, d.h. die Koeffizienten zu negativem k sind komplex-konjugiert zu den entsprechenden Koeffizienten zu positivem k, und es folgt c k = a k + b k = c k für alle k N. Somit repräsentiert der Betrag der komplexen Koeffizienten das Amplitudenspektrum jeweils zur Hälfte von bis und von bis. 4. Für die Phase φ k der komplexen Fourier-Koeffizienten gilt für a k : b k tan φ k = Im(c k) Re(c k ) = a k = b k. a k Bis aufs Vorzeichen ist dies das Phasenspektrum. 5. Für die Umrechnung der komplexen Fourier-Koeffizienten zu den reellen Fourier- Koeffizienten gilt für alle k N: a = c a k = c k + c k b k = j(c k c k ). Anwendungsbeispiel: Gesucht ist die komplexe Fourier-Reihe der Funktion f, welche die T-periodische Fortsetzung auf R ist von der hier abgebildeten Rechtecksignal-Funktion.

29 Fourierreihen, Michael Fröhlich, HS Regensburg 9 Für ω := π T sind die komplexen Fourier-Koeffizienten für k N gegeben durch c k = T T f (t)e jkω t dt = T T e jkω t dt = T ( jkω ) [e jkω T ]. T Da ω T = π und ω = π, folgt e jkω T = e jkπ = ( ) k und also ( c k = ( ) k ) jkπ falls k ungerade = jkπ falls k gerade. Der Gleichstromanteil des Signals ist anschaulich gleich, also c =. Es folgt f (t) = + k= Das Amplitudenspektrum von f ist gegeben durch jkπ ejkω t. a = c = und A k = c k = kπ falls k ungerade falls k gerade.