Berechnung von Wurzeln

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1 Sieginde Fürst Berechnung von Wurzen Rekursive Fogen Zinseszinsforme; Heronverfahren Inhate Berechnung eines mit Zinsesezins verzinsten Kapitas auf zwei Arten Heronforme Einschranken von Wurzen Ziee Erernen von rekursiven Darsteungen Wurzen as irrationae Zahen verstehen: Der Weg ist das Zie! Methode des Einschrankens verstehen An Hand eines mit Zinseszins angeegten Kapitas wird die zweifache Darsteungsmögichkeit, nämich einerseits aus dem Anfangskapita (am TI mittes y-editor oder Sequence-Modus) oder andererseits aus dem vorhergegangenen Kapita (nur im Sequence-Modus mögich) hergeeitet. Auf dieser rekursiven Darsteung aufbauend wird die Heronforme erarbeitet. As zweite Mögichkeit der Errechnung von Wurzen wird das Einschranken geich mittes TI durchgeführt.

2 Wurzerechnen, Fürst Seite Zinseszinsrechnung SEQUENCEMODUS am TI-9 BEISPIEL: Ein Kapita von wird zu 5% p.a. n Jahre angeegt. Stee eine Forme für K(n) auf: Gib mit Hife des TI-9 den jeweiigen Kapitastand der ersten 5 Jahre an: n = 0 K(0) n = 1 K(1) n = K() n = 3 K(3) n = 4 K(4) n = 5 K(5) Wir erhaten eine Foge ( eng. sequence) von Kapitaständen. Es gibt zwei Mögichkeiten, die Gieder dieser Foge zu berechnen: (1) immer vom Ausgangskapita ausgehend (Forme!) () vom Kapita des Vorjahres ausgehend ( Nachtei?) Nr. hat den Nachtei, dass... Für Neugierige: Diese Art der Festegung von Fogengiedern heißt rekursiv. K(n) berechnet aus K(0) K(n) berechnet aus K(n-1) Für Darsteungen dieser Art steen wir am TI-9 um. MODE: Graph...SEQUENCE. υ Y= zeigt nun statt Funktionen (nämich y(x) =...) Fogen ( u(n) =...) an. Die Darsteung beginnt immer mit mit n =1, wir brauchen n = 0. Wir steen dies um! Dazu geben wir im Window-Fenster nmin=0 ein. (Siehe später!) EINGABE für: K(n) berechnet aus K(0) K(n) berechnet aus K(n-1) u1(n) = 4000 * 1.05 n u(n) = u(n-1) * 1.05 ui = 4000 HINWEIS: Für die erste Darsteung muß kein Anfangswert eingegeben werden. Vergeiche nun deine neuen Tabeenwerte mit den bereits notierten! Mit fogenden Einsteungen kannst du das Anwachsen des Kapitas auch graphisch Veranschauichen: Der Staat verangt von dem Kapitaertrag (aso den Zinsen) jährich 5% KAPITALERTRAGSSTEUER (= ). Berechne den effektiven Zinssatz und stee damit neue Formen auf.

3 Wurzerechnen, Fürst Seite 3 Berechnen von Wurzen Du weißt schon: x = 4 heißt: Wir suchen jene Zah, für die git, dass x = 4 ist. ( oder: Wir suchen jene Zah, die mit sich sebst mutipiziert, 4 ergibt.) 4 =, wei. = 4 ist. Die Wurze aus 4 ist eine ganze Zah :! x = heißt: Wir suchen jene Zah, für die git, dass x =. Die Wurze aus kann...zah sein! Wie kann man berechnen? (Heute ist das mit dem Taschenrechner keine Kunst, aber wie rechnet der Taschenrechner oder wie könnte er rechnen?) 1. Das Heron Verfahren Heron von Aexandria, griechischer Mathematiker und Physiker um 10 v. Chr.: Erfinder des Heronsbas (mittes Druckuft entsteht ein Springbrunnen), der as Windkesse noch heute bei Wasserpumpen verwendet wird, Erfinder der Heronschen Dreiecksforme und des Heronverfahren zum Wurzeberechnen Heron sagt: Ich suche die Seitenänge eines Quadrates, das den Fächeninhat hat. A = s = und s = Ein Rechteck mit A =. b = ässt sich eicht angeben, man könnte = und b = 1 wähen. Würde man die Länge etwas kürzen und die Breite etwas verängern, käme man dem gesuchten Quadrat schon näher. s s s b b neu s neu s Man geht von den Rechtecksformen aus : * b = b = Um zu einem Quadrat zu kommen wäht Heron den Mittewert von und b: s = + b = 1 * ( + b) und wei b = ergibtdas s = 1 *( + ) Ausgerechnet, ergibt das ein Quadrat mit der Seitenänge : s =... und einer Fäche A =... Dieses Quadrat hat eine zu große Fäche!! Wäht man aber diese Quadratseite as Länge eines neuen Rechtecks mit Fächeninhat, so ist dieses Rechteck dem gesuchten Quadrat schon ähnicher (. Zeichnung!). Wird dieses Verfahren immer wieder durchführt, müsste irgendwann doch die gesuchte Seite s = erreicht sein. Rechne nun mit dem TI-9 und trage deine Werte as Bruch und as gerundete Zah in die Tabee ein. Gib deine Einsteung der Dezimasteen an! MODE...

4 Wurzerechnen, Fürst Seite 4 Länge Breite b=/ S=1/*(+/) As Bruch s as Dezimazah A = s as Dezimazah Wie groß ist? =... Am Computer kann man abesen ist sicher keine endiche Dezimazah, sie scheint auch nicht periodisch zu sein. ist deshab nicht as Bruch darstebar. ist wie ae anderen Wurzezahen, die nicht ganzzahige Werte ergeben, keine rationae Zah. ist eine irrationae Zah. Irrationae Zahen assen sich nie genau angeben, sie assen sich nur beiebig nahe annähern. Das Heronverfahren ist ein soches Näherungsverfahren. Wi man die wissen, denkt man sich eine Rechtecksfäche von der Größe, aus der man Schritt für Schritt ein Quadrat mit der Fäche macht. s 1 = 1 / * ( + / ), s = 1 / * ( s 1 + / s 1 ), s 3 = 1 / * ( s + / s ), s 4 = 1 / * ( s 3 + / s 3 ),... Ausgehend vom Wert = (Anfangswert = initia vaue), erhaten wir eine Foge von Näherungswerten : s 1, s, s 3, s 4,... Diese Zahenfoge ist...gegeben, d.h. der n-te Wert berechnet sich aus dem vorhergegangenen (n-1) ten Wert. Die Forme für den n-ten Wert s n heißt: Um nicht die sondern a g emein die a ( a...rechtecksfäche) berechnen zu können: Weche Vorgangsweise mit dem TI-9 bietet sich an?

5 Wurzerechnen, Fürst Seite 5 Berechne mit dem TI-9: 5, 15, 108. Übertrage aus der Tabee und gib die von dir gewähten Anfangswerte an. Nimm unterschiediche Anfangswerte! Gibt es Änderungen in der Anzah der Schritte, bis du keine Änderung des Wertes mehr feststeen kannst? Zah Forme Anfangswert Ergebnis Schrittanzah Das Einschranken von Wurzen Überegung: 1 = 1 und 4 = Die muss irgendwo dazwischen iegen. 1 < < ,0 1,1 1, 1,5 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,75 1,8 1,9,0 Wir überegen, ob auf der Zahenstrecke in der inken oder in der rechten Häfte iegt. Wir befragen dazu den Taschenrechner, der aber keine fortaufenden Ungeichungen annimmt. Daher:

6 Wurzerechnen, Fürst Seite 6 Wir sehen die muss im inken Interva iegen. Wir woen es noch genauer wissen und teien das inke Interva nochmas. Wei es einfacher ist habieren, wir es nicht sondern teien es ungefähr in der Häfte, aso bei 1, oder bei 1,3. Wir können erkennen, dass die zwischen 1,3 und 1,5 iegen muss, und wenn man weiter einschrankt, erkennt man 1,4 < < 1,5 d.h. = 1,4... Wir wissen bereits genau die Ziffer an der Zehntestee, nämich 4! Das Verfahren wird fortgesetzt. Wir teien das Interva von 1,4 bis 1,5 wieder in 10 Teie (Hundertstestee) und fragen inkes Interva: 1,40 < < 1,45 oder rechtes Interva: 1,45 < < 1,5? Antwort:... Wir schranken genauer ein: 1,40 < < 1,43 oder 1,43 < < 1,5 Antwort:... Wir schranken auf zwei aufeinanderfogende Hundertste ein.... Wir wissen bereits genau die Ziffer an der Hundertstestee, nämich...! = 1,4... Errechne die Ziffer an der Tausendstestee! = 1,4...