Komplexe Zahlen - Rechenregeln

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1 Technische Universität Dresden Fakutät Maschinenwesen / IFKM Professur für Getriebeehre Prof. Dr. rer. nat. habi. Moder Kompexe Zahen - Rechenregen Rechenregen Kompexe Zahen = x + iy = r e e i = cos + isin = x iy = r e e i = cos isin = x + y Kompexes Produkt (Drehstreckung) i( α +β ) ( x + i y )( x + i y ) = e = = kommutativ ( ) C = C + C ( ) C ( C) i( α β ) = ( a b) e π i e = i + distributiv = assoziativ a =, b = Inneres Produkt (Skaarprodukt, Punktprodukt) (, ) = ( + ) = x x + y y = cos( α β ) ( ) ( ), =, ( +, C) = (, C) + (, C) ((, ), C) (, (, C) ) Äußeres Produkt (Vektorprodukt, Kreuzprodukt) [, ] = ( ) i = x y y x = sin( β α ) [, ] [, ] [ +, C] = [, C] + [, C] [ [, ], C] [, [, C] ] = aternierend Weitere Rechenregen (, ) = Re (, ) = = x + y = ( i, ) = [, ] [, ] = Im (, ) + i [, ] = [, i] = (, ) [, ]( C, D) = [ C, D] + [ D C],,, =, +, = [ ]( ) [ ] [ ] [, ] _, _ ( _, _ ) und [_, _ ], c = c, = c, C, C = CC, = CC,, C = C,, i = i, e, e =, Drehrege

2 Zwangauf und Getriebefreiheitsgrad Der Getriebefreiheitsgrad F gibt die nzah der ntriebsparameter eines Getriebes an, damit ae Getriebegieder eindeutige ewegungen ausführen. Die meisten Getriebe haben den Getriebefreiheitsgrad F =. Lehrsatz: Ein Getriebe ist zwangäufig, wenn der Steung des ntriebsgiedes bzw. der ntriebsgieder die Steungen der übrigen Getriebegieder eindeutig zugeordnet sind. gemeine Zwangaufgeichung F = b( n ) ( b f ) e g= f id Im Raum mit b = 6 und 5 f Freiheiten fogt: F = 6( n ) ( 6 f ) e g= f id Ebene Getriebe In der Ebene mit b = und e f Freiheiten fogt : = ( n ) ( F f ) g= Ebene Getriebe, die nur Dreh- und Schubgeenke mit dem Geenkfreiheitsgrad f = aufweisen, werden mit dem Zwangaufkriterium nach GRÜLER bewertet: F ( n ) e =. Ebene Getriebe, die Dreh- und Schubgeenke mit dem Geenkfreiheitsgrad f = und Kurvengeenke mit f = aufweisen, werden mit dem Zwangaufkriterium nach LT bewertet: F ( n ) e e =. e - nzah der Geenke mit f = ( Drehgeenke, Schubgeenke ) e - nzah der Geenke mit f = ( Kurvengeenke ) Professur für Getriebeehre Umdruckbatt

3 Übertragungswinke nach LT Der Übertragungswinke tritt im Geenkpunkt zwischen Übertragungsgied und angetriebenem Gied auf. Er ist stets der spitze Winke zwischen absouter und reativer ewegungsrichtung dieses Geenkpunktes Übertragungsgied t a n r t r angetriebenes Gied 0 keine ewegung mögich 90 optimae ewegungsübertragung 0 n a Koppegetriebe : Kurvengetriebe : 0 as grober Richtwert min 50 as grober Richtwert min Der minimae Übertragungswinke min tritt beim Viergeenkgetriebe in einer der Gesteagen (Deckage oder Streckage von Geste und ntriebsgied ) auf. eispie = 89 = 9 = min Professur für Getriebeehre Umdruckbatt

4 Poygonmethode Die Poygonmethode ist ein graphisches Verfahren zur Ermittung von Momentanpoen. Insbesondere bei höhergiedrigen Getrieben besteht eine bessere Übersicht hinsichtich der Reihenfoge der zu ermittenden Poe. Vorgehensweise ) ezeichnung aer Getriebegieder im Lagepan (Geste, ntrieb usw. bis Gied n). ) Zeichnen des Poygons as n-eck mit den n Getriebegiednummern. ) Kennzeichnen der sofort erkennbaren Momentanpoe (Strukturpoe bzw. Geenke) durch Verbinden der jeweis entsprechenden Poygonpunkte. ) Ermitten und Markieren weiterer Momentanpoe der Pokonfiguration durch entsprechende Verbindungsinien im Poygon. Nach dem Theorem von RONHOLD/KENNEDY (Satz von den Momentanpoen) ergibt sich ein gesuchter Momentanpo im Schnittpunkt zweier Pogeraden. Diese Pogeraden können im Lagepan gezeichnet werden, wenn im Poygon über der dem gesuchten Momentanpo entsprechenden Verbindungsinie bereits zwei "Dreiecke" existieren. z.. Momentanpo : Dreieck mit den Seiten Dreieck mit den Seiten eispiee Lagepan Lagepan Poygon 6 Poygon usw Professur für Getriebeehre Umdruckbatt

5 Postreckenverfahren Das Postreckenverfahren ist ein graphoanaytisches Verfahren zur Ermittung von Übersetzungsverhätnissen. Das Übersetzungsverhätnis wird as Quotient zweier Winkegeschwindigkeiten definiert und ässt sich as Verhätnis zweier Postrecken darsteen. Pobahn C() C() r r Pobahn Die reative ewegung der Gieder und ist durch das broen der zu diesen Giedern C ( ) C( ) gehörigen Pobahnen bestimmt. Im Momentanpo iegen die Punkte und der Gieder und. Die etrachtung der Reativbewegung der Ebenen, und führt zu fogenden eziehungen. Prinzip der zykischen Vertauschung C v = C + v + v 0 C C v = v + v C C C C ( ) ( ) C 0 Da und im Po iegen, ist v v = v. C = und C C v v C C = r mit = r = r mit = r = M M = i = = r r Die Postrecken sind gerichtete Strecken. geichgerichtet positive Übersetzung entgegengesetzt gerichtet negative Übersetzung Professur für Getriebeehre Umdruckbatt

6 Drehschubstrecke Die Drehschubstrecke nach HIN entspricht einer Postrecke und ist stets positiv. s einfache Drehschubstrecke stet sie den Zusammenhang bei der Reativbewegung dreier Ebenen dar, wobei eine Ebene eine Transationsbewegung ausführt. Damit existiert ein formemäßiger Zusammenhang zwischen einer Geschwindigkeit v und einer Winkegeschwindigkeit. v C = v C = v = v r r - = C v Für das gezeigte Getriebe autet die Drehschubstrecke : v r = = = r M mit M as Zeichenmaßstab. Hereitung Im Po wird ein Punkt C angenommen, der sowoh zu Gied as auch zu Gied v v v C C C gehört. Die Reativgeschwindigkeit ist geich Nu, nicht aber und. vc = v = v C Da ein Punkt, der zu zwei Ebenen gehört, die geiche Geschwindigkeit besitzt, git : v = C Mit vc = v = v v C v C = fogt = v v =. bzw. v = Professur für Getriebeehre Umdruckbatt 5

7 Winkehebeprinzip v - Ermittung über das Winkehebeprinzip am zweipunktig gesteuerten Dreigeenkbogen Geg.: v, v, n, Ges.: v, n C C n P C n C t C n C v C P C v C v v v v * n C n C n 0 v v * v C v-pan v C v C = v v v + v = v + v C C C C v = v + v C C v + Für den Fa v = 0 oder v = 0 iegt der einpunktig gesteuerte Dreigeenkbogen vor. Professur für Dynamik und Mechanismentechnik Umdruckbatt 6

8 Normabescheunigung Eine Mögichkeit zur graphischen Ermittung der Normabescheunigung ist der wechsende Paraeenzug in seinen zwei Varianten. Der Vektor der Normabescheunigung zeigt stets zum Drehpunkt. Punktfoge: S V T Z n Variante ρ v v V Z a n T t beiebige Wah des Punktes S (S 0 ) 0 S Variante V T v ρ Z a n beiebige Wah des Punktes S (S 0 ) n S 0 Professur für Getriebeehre Umdruckbatt 7

9 ewegungsanayse in kompexen Zahen Gegeben : Gesucht : Viergeenkgetriebe mit Rast- und Gangsystem, Getriebeabmessungen Übertragungsgeichung, Übertragungsfunktionen y y P usgehend von den beiden Vektorzügen zum Geenkpunkt, + +, iψ e e = e und der Mutipikation der konjugiert kompexen Größen iψ e = + e e iψ e = + e e fogt die Übertragungsgeichung ( ψ ) = 0 = + + cos + cosψ cos( ψ ) F., Vereinfacht autet sie : cos mit = ( cos ) 0 = ψ + sinψ + C 0 0 ψ x x = sin Unter nwendung der Theoreme für sin und cos mit C = + + cos. tan fogt ± = arctan + C C ψ Übertragungsfunktion 0. Ordnung Die Übertragungsfunktionen. und. Ordnung auten ψ = ψ = sin + sinψ + cos + sin sin ( ψ ) ( ψ ) ( ψ ) cos( ψ ) sinψ + sin( ψ ) ψ cosψ ÜF. Ordnung ÜF. Ordnung Die zeitabhängigen ewegungsgrößen sind ψ & ψ & = Winkegeschwindigkeit & ψ = ψ & + ψ & Winkebescheunigung Professur für Getriebeehre Umdruckbatt 8

10 ewegungsanayse der Schubkurbe Gegeben : Gesucht : Schubkurbegetriebe mit Rastsystem, Getriebeabmessungen Schubweg s, Geschwindigkeit s und escheunigung s des Geitsteins a 0 y,s s x,a 0 nsatzgeichung: i i e e a i s mit s s, t Schubweg (Steung des Geitsteins im Koordinatensystem) s sin a cos a, cos Geschwindigkeit s s v s s cos a sin s sin escheunigung s s a t cos s a ssin s s sin s s Professur für Getriebeehre Umdruckbatt 9

11 Leistungssatz mit Übersetzung (PSV) Momentenbestimmung nach dem Prinzip der virtueen Leistung Gegeben : Lagepan einer Kurbeschwinge,, M Gesucht : M M r M r nsatzgeichung + M M 0 = M = M mit = = = = + W i r r M = + W M Hinweis: Die Vorzeichen in der nsatzgeichung sind durch die Orientierung der Momente bestimmt. Für den Fa, dass eine Kraft (z.. F ) an einem Getriebegied angreift, so ist die Umrechnung in das Moment M P (z.. ) vorzunehmen. Die Lage des Momentanpos (z.. ) bestimmt die wirksame Hebeänge. Professur für Getriebeehre Umdruckbatt 0

12 Leistungssatz mit Drehschubstrecke Momentenbestimmung nach dem Prinzip der virtueen Leistung Gegeben : Lagepan einer Schubkurbe,, F Gesucht : M F (=F ) r r M (M ) r - nsatzgeichung + M ( + ) F v 0 = v M = F mit = r = = + W v M = F r Hinweis: Die Vorzeichen in der nsatzgeichung sind durch die Orientierung F der Momente bestimmt. Die Kraft wird dabei as betrachtet F und erzeugt damit ein Moment um den Po P. Das eingekammerte Vorzeichen in der nsatzgeichung resutiert aus dem momentan positiven Übersetzungsverhätnis i = r r. Professur für Getriebeehre Umdruckbatt

13 Leistungssatz mit h - Strecken Kräftebestimmung nach dem Prinzip der virtueen Leistung Gegeben : Lagepan einer Schubkurbe,, = + rad s v F = F, Wirkungsinie F, Gesucht : F = F F =F F =F v h WL F h v 0 0 nsatzgeichung + F h F h = 0 F = F h h Hinweis: Die Vorzeichen in der nsatzgeichung sind durch die Orientierung der Kraft um die Spitze der gedrehten Geschwindigkeit des jeweiigen Kraftangriffspunktes bestimmt. Die darsteende Größe der ntriebsgeschwindigkeit kann beiebig gewäht werden. Die maßstabsunabhängige h i - Strecke ist der otrechte bstand der Kraftwirkungsinie zur Spitze der gedrehten Geschwindigkeit. Professur für Getriebeehre Umdruckbatt