b) Bestimmen Sie den Geschwindigkeitsbetrag beim Auftreffen in B und die Beschleunigung

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1 Institut für Mechanik Prof. Dr.-Ing. habi. P. Betsch Prof. Dr.-Ing. habi. Th. Seeig Prüfung in Dynamik 11. März 25 Aufgabe 1 (ca. 20 % der Gesamtpunkte) A α g β B Ein Motorschitten, angenommen as Massenpunkt, verässt mit der Geschwindigkeit v A die Aufschüttung in A. Der Winke zwischen der Geschwindigkeit v A und der Horizontaen ist α und der Neigungswinke der schiefen Ebene ist β. a) Bestimmen Sie die Fugzeit von A nach B und die Strecke. b) Bestimmen Sie den Geschwindigkeitsbetrag beim Auftreffen in B und die Bescheunigung entang der Fugbahn AB. Gegeben: v A = 8 m s,α = π 4,tanβ = 1 4,g = 10m s 2.

2 Institut für Mechanik Prof. Dr.-Ing. habi. P. Betsch Prof. Dr.-Ing. habi. Th. Seeig Prüfung in Dynamik 11. März 25 Aufgabe 2 (ca. 25 % der Gesamtpunkte) m 2 k g a S 2 ϕ a m 1 d S 1 a D a Zwei starr miteinander verbundene Stäbe der Masse m 1 und m 2 sind drehbar im Punkt D geagert. Der dargestete Dämpfer mit Dämpfungskonstante d ist an dem Schwerpunkt S 1 des ersten Stabes befestigt. Am Ende des zweiten Stabes ist eine Feder mit Steifigkeit k angebracht. Das System befindet sich im Erdanziehungsfed. Für ϕ = 0 sei die Feder entspannt, zudem ist durch den Aufbau gegeben, dass die Feder und der Dämpfer nur horizontae Ausenkungen erfahren. Es darf angenommen werden, dass das System nur keine Ausenkungen ausführt, d.h. ϕ 1. a) Schneiden Sie das System frei (Freikörperbid). b) Geben Sie die inearisierte Bewegungsgeichung in ϕ an. c) Wie autet die Eigenkreisfrequenz ω, sowie der Dämpfungsgrad D des Systems? d) Wie groß muss k mindestens sein, damit eine stabie Geichgewichtsage gewähreistet ist? Geg.: m 1 = 2m, m 2 = m, g, d, k, a

3 Institut für Mechanik Prof. Dr.-Ing. habi. P. Betsch Prof. Dr.-Ing. habi. Th. Seeig Prüfung in Dynamik 11. März 25 Aufgabe 3 (ca. 20 % der Gesamtpunkte) h g A m masseos ϕ B M R Ein Massenpunkt m wird im Punkt A aus der Ruhe osgeassen, bewegt sich reibungsfrei eine Rampe der Höhe h hinunter und trifft schießich in Punkt B auf den dargesteten masseosen, starren und drehbar geagerten Hebe. Bei der anschießenden Bewegung drehen sich Hebe und Massenpunkt gemeinsam um das Drehager. Der Drehbewegung des Hebes wirkt ein konstantes Reibmoment M R entgegen. Die Parameter des Systems seien so vorgegeben, dass von keinen Ausenkungen des Hebes auszugehen ist, d.h. ϕ 1. Ermitten Sie den maximaen Verdrehwinke ϕ max des Hebes unter Annahme keiner Ausenkungen. Geg.: m, g, h,, M R

4 Institut für Mechanik Prof. Dr.-Ing. habi. P. Betsch Prof. Dr.-Ing. habi. Th. Seeig Prüfung in Dynamik 11. März 25 Aufgabe 4 (ca. 35 % der Gesamtpunkte) m m k k M k M m k m k M k M ϕ ψ Das Schwingungsverhaten eines Zweifedträgers der Länge 2 so untersucht werden. Dazu wird die Gesamtmasse des Trägers in 4 Einzemassen der Masse m bzw. M konzentriert; ebenso wird die Steifigkeit durch drei Drehfedern der Steifigkeit k modeiert. Der Träger sebst wird dann as starr und masseos angenommen. Die Drehfedern sind entspannt wenn der Träger in horizontaer Lage iegt. Man bestimme bei Vernachässigung des Gewichtspotentias: a) die kinetische und potentiee Energie des Systems. b) die Bewegungsgeichungen des Systems mit Hife der Lagrangeschen Geichungen. c) die inearisierten Bewegungsgeichungen des Systems unter der Annahme keiner Ausenkungen. Rechnen Sie mit fogender Form der Bewegungsgeichungen weiter: [ ][ ] [ ][ ] [ ] 2 m ϕ 0 +k = 8 0 M ϕ ψ 1 5 ψ 0 d) Berechnen Sie die Eigenkreisfrequenzen des Systems und die zugehörigen Ampitudenverhätnisse für M = m. d) Skizzieren Sie die Eigenformen. Gegeben: M, m, k,, g

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6 Lösung zu Aufgabe 2 Die Linearisierung kann direkt bei der kinematischen Betrachtung erfogen, oder nachdem man die nichtinearen Bewegungsgeichungen aufgestet hat. Legende: vorher nachher a) FKB m 2 g F f m 1 g F d A H b) Bewegungsgeichung bzg. ϕ Federkraft Dämpferkraft F f = ku = 4akϕ 4aksinϕ F d = dẋ S1 = Massenträgheitsmoment bzg. Punkt D da ϕ dacosϕ ϕ θ (D) = θ (D) Stab(1) +θ(d) Stab(2) = 1 12 m 1 2 +m 1 a m 2 2 +m 2 (3a) 2 = m(2a)2 +2ma m(2a)2 +m(3a) 2 = 12ma 2

7 Drasatz bzg. Punkt D ( Momentanpo) θ (D) ϕ m 1gaϕ m 1 gasinϕ m 2g3aϕ m 2 g3asinϕ+ 2mgaϕ θ (D) ϕ 2mgasinϕ mg3asinϕ+ mg3aϕ Linearisierung (-) c) Eigenkreisfrequenz & Dämpfungsgrad F f 4a F f 4acosϕ+ 4akϕ 4a 4aksinϕ 4acosϕ+ θ (D) ϕ 5mgaϕ+16a 2 kϕ+da 2 ϕ = 0 ϕ+ da2 θ (D) ϕ+ 16a2 k 5mga θ (D) ϕ = 0 ω = 16a2 k 5mga θ (D) F d a F d acosϕ = 0 da ϕ a dacosϕ ϕ acosϕ = 0 d) Bedingung für stabies GG 2Dω = da2 θ (D) D = da2 2θ (D) ω 16a 2 k 5mga k 5mga 16ka

8 Lösung zu Aufgabe 3 a) Energiesatz A B ; NN bei B (E k ) A = 0 (E p ) A = mgh (E k ) B = 1 2 mv2 B (E p ) B = 0 Eingesetzt (E k ) A +(E p ) A = (E k ) B +(E p ) B mgh = 1 2 mv2 B v B = 2gh b) Vopastischer Stoß (e = 0) Kinematik v B = v B = 2gh (1) Arbeitssatz B C (ϕ max ) ; NN bei B ϕ = v B (2) Reibarbeit (E k ) B = 1 2 θ ϕ2 = 1 2 m2 ( v B )2 (E p ) B = 0 (E k ) C = 0 (E p ) C = mg(1 cosϕ) ϕ 1 = 0 Eingesetzt ϕc WBC R = M R dϕ = M R ϕ C 0 (E k ) B +(E p ) B +WBC R = (E k) C +(E p ) C 1 ( v 2 m2 B )2 M R ϕ C = 0 ϕ C = 1 ( v 2 m2 B 1 )2 = mgh M R M R

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