1. Aufgabe (ca. 26 % der Gesamtpunktzahl)

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1 Institut für Mechanik Prof. Dr.-In. habi. P. Betsch Prof. Dr.-In. habi. Th. Seei Moduprüfun Dynamik 08. März 207. Aufabe (ca. 26 % der Gesamtpunktzah) A m v A C h A B v B α h B h C D Ein as Punktmasse m ideaisierter Radfahrer (vernachässien Sie die Höhe des Rades und des Fahrers) möchte erade so über ein Hindernis der Höhe h C sprinen. Dazu fährt er in A mit seinem Rad mit der horizontaen Anfanseschwindikeit v A = 5m/s reibunsfrei eine Rampe der Höhe h A hinunter um bei einer keineren Rampe der Höhe h B = m unter dem Winke α = 30 und der Geschwindikeit v B abzusprinen. Der Radfahrer beibt bei seinem Stunt eine Zeitspanne von T =, 5s in der Luft bis er in D auf dem Boden aufkommt. Die Fukurve ist durch die estrichete Linie darestet. a) Wie roß ist die Geschwindikeit v B des Radfahrers am Ende der keinen Rampe? b) Weche Höhe h A muss die Startrampe haben? c) Weche horizontae Strecke überwindet der Radfahrer bevor er auf dem Boden in D andet? d) Wie roß ist die Höhe h C des Hindernisses? e) Wie roß ist die Auftreffeschwindikeit des Radfahrers am Boden in D? Geeben: h B = m,t =,5s,α = 30,v A = 5m/s, = 0m/s 2.

2 Musterösun - Aufabe (2 Punkte). Aufabe a) y C v B B α h C x h B D y D = y B +v By t BD + 2 a yt 2 BD = y B +v B sin(α)t 2 T2 [ ] [ ] vbx cos(α) mit v B = = v B ; t sin(α) BD = T =,5s; y D = h B = m; a y = b) v By v B = sin(α)t [y D y B + 2 T2 ] = sin(30 ),5s [ m 0m+ 2 9,8m s 2 (,5s)2 ] = 3,38 m s A h A B z NN h B E K = 2 mv2 a E P = m(h a h b ) E K2 = 2 mv2 b E P2 = 0

3 Eneriebianz: E K +E P = E K2 +E P2 2 mv2 a +m(h a h b ) = 2 mv2 b h a = h b + 2 (v2 b v2 a ) = m+ 2 9,8 m [(3,38 m s )2 (5 m s )2 ] = 8,85m s 2 c) x D = x B +v Bx t BD = ; v Bx = v B cos(α) = 3,38 m s cos(30 ),5s = 7,38m mit x B = 0 (KOS in B) d) v 2 C y! = 0 = v 2 B y +2 a y [y C y B ] = (3,38 m s )2 sin 2 (30 ) 2 9,8 m s 2[(h C m) 0m] e) h C = 2 9,8 m s 2 (3,38 m s sin(30 )) 2 +m = 3,28m v Dx = v Bx = v B cos(α) = 3,38 m s cos(30 ) =,59 m s v Dy = v Cy 2h C = 8,02 m s

4 Institut für Mechanik Prof. Dr.-In. habi. P. Betsch Prof. Dr.-In. habi. Th. Seei Moduprüfun Dynamik 08. März Aufabe: (ca. 22 % der Gesamtpunkte) ϕ ϕ 2 c R 2 R c 2 R 2 3c R m m 2 Geeben ist das darestete System bestehend aus einem starren Stab (Masse m 2, Läne 2R), wecher sich an der Wand über zwei Federn mit den Federsteifikeiten c und 3c abstützt, und eine Waze (Masse m, Radius R), die mit dem starren Stab durch eine weitere Feder mit der Steifikeit c 2 verbunden ist. Die Federveränerun ist nur in horizontaer Richtun zu berücksichtien. Bestimmen Sie unter Verwendun der Koordinaten ϕ und ϕ 2 : a) die potentiee Enerie, b) die kinetische Enerie, c) die Beweunseichunen für roße Ausenkunen, d) die inearisierten Beweunseichunen des Systems (ϕ, ϕ 2 ). Geeben: c,c 2,m,m 2,R,

5 Musterösun - Aufabe 2 (0 Punkte) a) ϕ ϕ2 c R x c 2 x 2 x 3 R/2 R/2 3c m m 2 R MGP A E P Lae = m 2 ( cosϕ 2 )R EFeder P = 2 4c ( 3 2 Rsinϕ 2) 2 + }{{} 2 c 2(ϕ R Rsinϕ }{{}}{{} 2 x x 2 E P = E P Lae +EP Feder x 3 ) 2 = m 2 ( cosϕ 2 )R+ 9 2 c R 2 sin 2 ϕ c 2R 2 (ϕ sinϕ 2 ) 2 b) E K = 2 ΘA Stab ϕ ΘMGP Waze ϕ2 = 2 3 m 2R 2 ϕ m R 2 ϕ 2 mit Θ A Stab = 2 m 2(2R) 2 +m 2 R 2 = 4 3 m 2R 2 ; Θ MGP Waze = 2 m R 2 +m R 2 = 3 2 m R 2 c) Larane-Funktion: d dt ( ) L L q q = 0 mit q = [ ϕ ϕ 2 ] d dt ( E K q )+ EP q = 0

6 q = ϕ : E K = 3 ϕ 2 m R 2 ϕ ( ) d E K = 3 dt ϕ 2 m R 2 ϕ E P = c 2 R 2 (ϕ sinϕ 2 ) ϕ q 2 = ϕ 2 : E K = 4 ϕ 2 3 m 2R 2 ϕ 2 ( ) d E K = 4 dt ϕ 2 3 m 2R 2 ϕ 2 E P = m 2 sinϕ 2 R+9c R 2 sinϕ 2 cosϕ 2 c 2 R 2 (ϕ sinϕ 2 )cosϕ 2 ϕ m R 2 ϕ +c 2 R 2 (ϕ sinϕ 2 ) = m 2R 2 ϕ 2 m 2 sinϕ 2 R+9c R 2 sinϕ 2 cosϕ 2 c 2 R 2 (ϕ sinϕ 2 )cosϕ 2 = 0 d) Linearisierun: sinϕ ϕ; cosϕ ; sinϕcosϕ ϕ 3 2 m R m 2R 2 ] [ [ ϕ c2 R + 2 c 2 R 2 ϕ 2 c 2 R 2 m 2 R+9c R 2 +c 2 R 2 ][ ϕ ϕ 2 ] = [ ] 0 0

7 Institut für Mechanik Prof. Dr.-In. habi. P. Betsch Prof. Dr.-In. habi. Th. Seei Moduprüfun Dynamik 08. März Aufabe: (ca. 22 % der Gesamtpunkte) ϕ m m 2 a c 2 ϕ 2 Oben ist das mechanische System einer Rückschakappe eeben, das aus zwei masseosen Pendestanen der Länen, 2 mit Kopfmassen m, m 2 besteht. Die Pende sind so befestit, dass sich die Kopfmassen in der vertikaen Geichewichtsae erade so berühren. In der vertikaen Geichewichtsae des unteren Pendes ist die Drehfeder c entspannt und die untere Kopfmasse besitzt den Abstand a zur Wand. Beim Schießvoran bewet sich das obere Pende aus der waaerechten Ruheae (Anfansbedinunen ϕ,0 = π/2 und ϕ,0 = 0) unebremst auf das untere Pende (Anfansbedinunen ϕ 2,0 = 0 und ϕ 2,0 = 0) zu wobei es zum teieastischen Stoß beider Kopfmassen mit der Stoßzah e kommt. a) Bestimmen Sie die Geschwindikeit v der oberen Kopfmasse unmittebar vor dem Stoß. b) Bestimmen Sie die Geschwindikeiten v und v 2 beider Kopfmassen unmittebar nach dem teieastischen Stoß. Verwenden Sie für die weitere Berechnun = 2 = und v = 2 v 2 = 2. c) Weche maximaen Ausschäe ϕ,max und ϕ 2,max erreichen beide Kopfmassen nach dem Stoß? Unter wechen Vorrausetzunen kommt es zur Koision des unteren Pendes mit der Wand? (Hinweis: 2 a bzw. ϕ 2 darf anenommen werden) Geeben: m, m 2,, 2, ϕ,0 = π/2, ϕ,0 = ϕ 2,0 = ϕ 2,0 = 0, e,,

8 Musterösun - Aufabe 3 (0 Punkte) a) 2 NN m ) E K, = 0 E P, = 0 2) E K,2 = 2 m v 2 E P,2 = m Enerieerhatun: 0 = 2 m v 2 m v = 2 b) Impusbianz Masse : Impusbianz Masse 2: m (v v ) = ˆF () m 2 (v 2 0) = ˆF (2) Stoßzah: e = v v 2 v v 2 = v v 2 v v 2 = e v +v (3) (),(2) und (3): m (v v ) = m 2 v 2 = m 2 (e v +v ) v = m m 2 e v = m m 2 e 2h m +m 2 m +m ( ) 2 m m 2 e m m v 2 = +e v = (+e) v = (+e) 2 m +m 2 m +m 2 m +m 2 c) oberes Pende NN ϕ,max 2 m v = 2

9 ) E K, = 2 m v 2 E P, = 0 2) E K,2 = 0 E P,2 = m [ cos(ϕ,max )] Eneriebianz: (oder anao Aufabentei a mit ϕ = π 2 ) unteres Pende 2 m v 2 = m [ cos(ϕ,max )] cos(ϕ,max ) = 0 ϕ,max = π 2 x 2 2 NN c ϕ 2 m 2 ) E K, = 2 m 2v 2 2 E P, = 0 2) E K,2 = 0 E P,2 = 2 cϕ2 2,max [ cos(ϕ 2,max )]m 2 }{{} ϕ 2,max << 0 Eneriebianz: v 2 = m 2v 2 2 = 2 cϕ2 2,max ϕ 2,max = m2 8 c x 2 = sin(ϕ 2,max ) ϕ 2,max = m2 8 3 c a m2 8 3 Koosion unter der Bedinun a c

10 Institut für Mechanik Prof. Dr.-In. habi. P. Betsch Prof. Dr.-In. habi. Th. Seei Moduprüfun Dynamik 08. März Aufabe: (ca. 8 % der Gesamtpunkte) F(t) y x EI m Das oben darestete System ist das mechanische Mode einer Deckenkonstruktion mit einer Gesamtäne von 2. Vereinfachend kann die Gesamtmasse der Decke as konzentrierte Einzemasse m in Fedmitte anenommen werden. Des Weiteren sei die Bieesteifikeit mit EI eeben. Die Decke wird durch eine harmonische Erreun beastet. F(t) = F 0 cos(ωt) t 0 a) Zeichnen Sie das Ersatzsystem und berechnen Sie die Ersatzfedersteifikeit k (siehe Hinweis). Für die nachfoenden Berechnunen nehmen Sie die Ersatzfedersteifikeit mit k an. b) Steen Sie mithife der synthetischen Methode die Beweunseichun der Decke bezüich der Absoutkoordinate y auf. c) Zum Zeitpunkt t = 0 befindet sich die Decke in der statischen Ruheae. Lösen Sie die in b) aufestete Beweunseichun für die Absoutkoordinate y für t 0. Beachten Sie hierbei, dass das System um die Ruheae schwint. d) Was passiert wenn die Eienfrequenz in der Nähe der Erreerfrequenz iet? Mit wecher konstruktiven Maßnahme ässt sich die Eienfrequenz beeinfussen, ohne dabei die Steifikeit des Systems zu verändern? Hinweis: F f Für die Mittendurchbieun f it: f = F3 48EI Geeben:, m, F 0, EI, Ω,

11 Musterösun - Aufabe 4 (8 Punkte) a) aus Hinweis: aternativ: f = F(2)3 48EI = F3 6EI k = F f = 6EI 3 F f F/2 2 F f = M 2 2 EI dx = 2 23 ( 2 F)2 EI = F2 3 2EI f = F3 6EI k f = F k = F f = 6EI 3 b) ) 2) 3) y y st m y re m ) entastet 2) statische Ruheae 3) aemeine Lae aemeine Lae: Fiy = mÿ : F(t) ky +m = mÿ () mit y = y st +y re ẏ = 0+ẏ re ÿ = 0+ÿ re F(t) k(y st +y re )+m = mÿ re

12 statische Ruheae: Fiy = 0 : k st y st +m = 0 (2) (2) in (): ÿ re +ω 2 y re = F 0 k k m cos(ωt) = y re,0 ω 2 cos(ωt) mit ω 2 = k,y m re,0 = F 0 k Aternativ : ÿ +ω 2 y = y re,0 ω 2 cos(ωt)+ (3b) (3a) c) Lösen der Beweunseichun (3a): partikuärer Ansatz: y re,p = Ccos(Ωt) in (3a): CΩ 2 cos(ωt)+cω 2 cos(ωt) = y re,0 ω 2 cos(ωt) CΩ 2 +Cω 2 = y re,0 ω 2 C = y re,0 ω 2 ω 2 Ω 2 homoener Ansatz: Gesamtösun: y re,h = Acos(ωt)+Bsin(ωt) y re = y re,h +y re,p = Acos(ωt)+Bsin(ωt)+Ccos(Ωt) Anfansbedinunen y re (t = 0) =! 0 A = C ẏ re (t = 0) =! 0 Bω +0 = 0 B = 0 mit y = y re +y st fot y re = y re,0 ω 2 ω 2 Ω 2[cos(Ωt) cos(ωt)] ω 2 m y = y re,0 ω 2 Ω2[cos(Ωt) cos(ωt)]+ k Aternativ: Lösen der Beweunseichun (3b): partikuärer Ansatz: y re,p = Ccos(Ωt)+b in (3b): CΩ 2 cos(ωt)+cω 2 cos(ωt)+ω 2 b = y re,0 ω 2 cos(ωt)+ ω 2 C = y re,0 ω 2 Ω 2; b = m ω2 = k ansonsten anao zu (3a) bis auf y(t = 0) =! m k

13 d) Resonanzkatastrophe Erhöhun der Masse

14 Institut für Mechanik Prof. Dr.-In. habi. P. Betsch Prof. Dr.-In. habi. Th. Seei Moduprüfun Dynamik 08. März Aufabe: (ca. 2 % der Gesamtpunkte) Bitte beantworten Sie die Kurzfraen auf dem Lösunsboen. a) Betrachtet werde ein diskretes mechanisches System mit n Freiheitsraden. Geeben seien der Geschwindikeitsvektor v sowie die Massenmatrix M des Systems. ) Wie autet die Forme für die kinetische Enerie des Systems? 2) Benennen Sie zwei wesentiche Eienschaften der Massenmatrix. b) Was versteht man unter eneraisierten (Minima-)Koordinaten? c) Weche Kasse von Kräften tritt nicht im Prinzip der virtueen Verschiebunen auf? Warum ist dies so? d) Der Drasatz für einen starren Körper autet im Fa ebener Beweun M A = L A. Um weche Größe handet es sich bei M A und L A? Weche ausezeichneten Bezuspunkte können ewäht werden, damit der Drasatz in der aneebenen Form it? e) Was versteht man unter einer Führunskraft (auch Reaktions- oder Zwanskraft enannt)?

15 Musterösun - Aufabe 5 (5 Punkte) a) a) E kin = 2 vt Mv oder E kin = 2 Mi v 2 i a2) positiv definit/ invertierbar; symmetrisch b) Voneinander unabhänie Koordinaten (entsprechen der Anzah der Freiheitsrade) Generaisierte Koordinaten sind n inear unabhänie Koordinaten eines Systems mit n Freiheitsraden mit denen sich ae Ortsvektoren r i aer Massen M i darsteen assen. c) Führunskräfte/ Zwanskräfte treten nicht im Prinzip der virtueen Verschiebunen auf. Diese Kräfte stehen senkrecht zur Bahn und verrichten daher keine Arbeit. d) M A : Moment um Punkt A L A : Impusmoment/ Drehimpusvektor/ Dravektor um Punkt A raumfester Punkt oder Schwerpunkt e) Führunskräfte sind Kräfte, die dafür soren, dass eine voreebene Bahn einehaten wird.