2.4 Starrer Körper mit freier Drehachse

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1 1 Voresung Experimentaphysik I am und J. Ihringer.4 Starrer Körper mit freier Drehachse Man weiß aus Erfahrung, daß die Bahn eines auf dem Tisch zur Rotation gebrachten Kreises, im Gegensatz zu der eines geradinig bescheunigten Körpers, kaum vorhersehbar veräuft. Versuch 1 Unterschiediche Kreise werden auf dem Tisch mit geichgerichtetem Drehimpus gestartet. Ihre Bahn wird beobachtet. Vergeich mit der Bahn bei geradiniger Bescheunigung. Auf geradiniger Bahn ist die Geschwindigkeit durch Mutipikation mit der skaaren Masse an die Erhatungsgröße des Impuses gekoppet, beide sind immer geichgerichtet. Dagegen iegt bei Rotationsbewegungen der Vektor der Winkegeschwindigkeit nicht immer in Richtung der Erhatungsgröße, dem Drehimpus: Sie sind durch das Trägheitsmoment gekoppet, das von Richtung und Lage der Achse und damit von der räumichen Verteiung der Massen abhängt. Nur für drei speziee Achsen sind Winkegeschwindigkeit und Drehimpus geichgerichtet. Für andere Achsen ist das Trägheitsmoment nicht as Skaar darstebar. Impus p Drehimpus L p = m v L = J ϖ Geschwindigkeit, J Trägheitsmoment, ϖ Win- Tabee 1 Impus und Drehimpus. M Masse, v kegeschwindigkeit. Die drei bevorzugten Richtungen zeigen die drei Haupträgheitsachsen, die ae durch den Schwerpunkt veraufen und zueinander senkrecht stehen. Die drei Trägheitsmomente in diesen Richtungen definieren das Trägheitseipsoid. Für eine stabie Rotation muß die Drehachse in einer von zwei dieser Richtungen iegen. Abbidung 1 Links: Wetraumrad, (Werner von Braun 195) die Zentrifugakraft bei Drehung um seine Achse ersetzt die Schwerkraft. Rechts: Die Raumstation ISS wird nur geradinig bewegt, die Bewegungsgesetze sind vie einfacher. Eine sehr ausführiche Hereitung der mit der Rotation starrer Körper verbundenen Begriffe findet sich in Gönnenwein. ( - Gönnenwein). Information zur ISS (Fahrpan etc.):

2 .4.1 Das Trägheitseipsoid Das Trägheitseipsoid beschreibt für die Rotationsbewegung den Einfuß der Verteiung der Massen auf den Vektor der Winkegeschwindigkeit. Man erhät es, indem man zunächst für ae durch den Schwerpunkt veraufenden Achsen das Trägheitsmoment bestimmt. Ausgehend vom Schwerpunkt zeichnet man für jede Richtung einen Strah, auf dem der Kehrwert der Wurze des für diese Richtung gefundenen Trägheitsmoments abgetragen wird. J z 1 J z z J y 1 J x 1 J y y J x x Abbidung Drehimpuse (gebgrüne Pfeie) in Richtung der Hauptträgheitsachsen und Trägheitseipsoid für einen Quader. Nur die Richtungen x und z des größten und keinsten Trägheitsmoments sind mögiche Achsen für stabie, freie Rotation. Für beiebig geformte Körper erhät man auf diese Weise immer ein Eipsoid, das sich der Gestat des Körpers anschmiegt. Bevorzugte Richtungen dieses Trägheitseipsoids sind die drei Hauptachsen: Nur um Achsen in Richtungen des größten und des keinsten Trägheitsmoments rotiert der Körper stabi. Bei stabier Rotation ändert die freie Drehachse ihre Lage im Körper nicht. Die Rotation um die Achse des mitteren Trägheitsmoments ist abi, eine keine Störung genügt, um die Rotationsachse zu verschieben. In Letzterem und aen andern Fäen eiert der Körper. Versuch Vier Jo-Jo Aufbauten mit unterschiedichen Trägheitseipsoiden Abbidung 3 Schema der vier Jo-Jo Aufbauten mit den dazugehörigen Trägheitseipsoiden. Die Achse der Rotation iegt in den Konstruktionen inks in Richtung des größten bzw. des keinsten Trägheitsmoments, rechts sind ae Achsen geichberechtigt: Das Jo-Jo äuft stabi. Darunter: Rotation um die mittere Achse des Trägheitseipsoids: Das Jo-Jo äuft instabi.

3 3 Versuch 3 Wurf mit Rotation eines Quaders: Nur um die Achsen größten und keinsten Trägheitsmoments rotiert er stabi (vg. Abb. ). Versuch 4 Mit Hife einer Bohrmaschine werden unterschiediche Körper in Rotation versetzt: a) Eine Kette b) Ein Stab c) Ein Hozring. Ae rotieren nach einer Anfahrzeit um die Achse ihres größten Trägheitsmoments..4. Drehimpus für beiebige Drehachsen: Die Poinsot Konstruktion Für eine vorgegebene Richtung der Drehachse eraubt das Trägheitseipsoid die Ermittung der Richtung des Drehimpuses nach der Poinsot-Konstruktion : Der Drehimpus steht immer senkrecht auf der Tangentiaebene des Trägheitseipsoids im Durchstoßpunkt der Drehachse. z Richtung von Drehachse und Winkegeschwindigkeit ϖ y Richtung des Drehimpuses L x Abbidung 4 Poinsot Konstruktion zur Bestimmung der Richtung des Drehimpuses: Der Drehimpus L steht senkrecht auf der Tangentiaebene. Diese invariante Ebene tangiert den Trägheitstensor im Durchstoßpunkt von ϖ. Man beachte, daß die Richtung von Drehachse bzw. Winkegeschwindigkeit nicht immer die Richtung des Drehimpuses ist. Mathematisch wird die Verknüpfung zwischen Winkegeschwindigkeit und Drehimpus durch den Trägheitstensor J ausgedrückt. ( - Tensor).5 Kreise Ein Kreise ist ein rotierender, rotationssymmetrischer Körper. Man unterscheidet den kräftefreien Kreise und den Kreise unter dem Einfuß eines Drehmoments. Einige Bewegungszustände kann man mit dem Drehimpuserhatungssatz bei entsprechender Zeregung oder Addition der Vektoren für Drehimpuse und Drehmomente verstehen. Zur Charakterisierung der Kreisebewegung gibt es außer der Dreh- noch den Begriff der Figurenachse..5.1 Der kräftefreie Kreise Der kräftefreie Kreise ist im Schwerpunkt geagert. Sein Trägheitseipsoid zeigt eine ausgezeichnete Richtung, die auch die Figurenachse ist. Unter ideaen Bedingungen rotiert er um die Figurenachse mit konstantem Drehimpus. Die Figurenachse iegt in Richtung der Drehachse ϖ und in Richtung des konstanten Drehimpuses L.

4 4 Winkegeschwindigkeit ϖ Raumfester Drehimpus L Invariante Ebene Figurenachse Abbidung 5 Kreise und Trägheitseipsoid bei Drehung um die Achse des größten Trägheitsmoments. Die Richtung der Winkegeschwindigkeit zeigt die momentane Drehachse. Versuch 5 Künsticher Horizont: Ein kardanisch aufgehängter Kreise wird in schnee Rotation versetzt. Bei beiebiger Bewegung behät der Drehimpus seine Richtung bei. Wirkt bei dem idea rotierenden Kreise kurzzeitig ein Drehmoment senkrecht zur Figurenachse, etwa bei einem Stoß, dann kommt die Achse ϖ außerhab der Figurenachse zu iegen. Die Poinsot-Konstruktion zeigt die dazu gehörende Lage des Drehimpuses L, der zeitich konstant beibt. Figurenachse Invariante Ebene Raumfester Drehimpus L Winkegeschwindigkeit ϖ Abbidung 6 Nutationsbewegung eines im Schwerpunkt geagerten Kreises: Die Drehachse iegt außerhab der Figurenachse. Die Figuren- und die momentane Drehachse aufen in Kreisbahnen auf der invarianten Ebene um deren Normae, den invarianten Vektor L des Drehimpuses: Das Trägheitseipsoid rot auf der invarianten Ebene ab.

5 5 Versuch 6 Luftkissenkreise: a) Im Stand wird die Kräftefreiheit überprüft b) Der Kreise wird in Rotation versetzt: Die Drehachse ist die Figurenachse c) Ein Stoß auf die Figurenachse enkt die Drehachse aus: Der Kreise beginnt eine Nutationsbewegung..5. Präzession des Kreises Wirkt auf einen Kreise ein Drehmoment, dann ergibt sich daraus, entsprechend dem Kraftstoß bei der inearen Bewegung, ein in Richtung des Drehmoments weisender Beitrag zum Drehimpus des kräftefreien Kreises. Drehmoment T = r F Drehimpus L bei freier Rotation Resutierender Drehimpus r Schwerkraft F = m g Drehimpus L bei freier Rotation Beitrag des Drehmoments zum Drehimpus: dl = T dt Abbidung 7 Zur Präzession des Kreises. Links: Ein Kreise sei im Schwerefed im Abstand r vom Schwerpunkt geagert, der Drehimpus sei L (grün). Rechts: Die Schwerkraft (orange) erzeugt ein Drehmoment (grün strichiert). Rechts: Drehimpuse in Foge der inks gezeigten Kraftwirkung. Die vektoriee Addition der Drehimpuse ergibt die Richtung des resutierenden Drehimpuses, die Achse des Kreises stet sich in diese Richtung ein. Dauert die Wirkung des Drehmoments an, dann dreht sich die Kreiseachse senkrecht zu sich sebst und zur Richtung der Kraftwirkung: Der Kreise führt eine Präzessionsbewegung aus. Versuch 7 Kreise mit Aufbau der Abbidung oben. a) Im Schwerpunkt unterstützt, freier Kreise b) Präzession bei Lagerung außerhab des Scherpunkts: Die Schwerkraft verursacht ein Drehmoment. Versuch 8 Luftkissenkreise mit Scheibe, die seinen Schwerpunkt verschiebt: Präzessionsbewegung.5..1 Der Kreisekompass Beim Kreisekompass wird durch eine entsprechende Lagerung die Achse immer parae zur Erdoberfäche gehaten. Bezügich eines außerhab der Erde iegenden Koordinatensystems wird die Kreiseachse bei der Rotation der Erde um die Nord Süd Achse verkippt. Die Kreiseachse weicht diesem Drehmoment durch eine Präzessionsbewegung aus, die soange anhät, bis die Kreiseachse in Nord Süd Richtung iegt. Es gibt kein Drehmoment, wenn der Kreise um seine Rotationsachse verkippt. Wegen der Drehimpuserhatung behät der Kreise diese Ausrichtung bei Der Kreisekompass ist wegen seiner Größe nur auf Schiffen eine Aternative zum magnetischen Kompass: Eisenteie führen nicht zu Missweisung.

6 6 Nach Norden Drehimpuskomponente nach Norden Längenkreis Abbidung 8 Der Kreisekompass: Zwischen dem Bid inks und rechts kippt die Erdrotation Kreiseachse um die strichierte, von Süd nach Nord weisende Achse nach unten. Dieses Drehmoment verursacht eine nach Norden weisende Komponente zum Drehimpus. Der Kreise weicht diesem Drehmoment durch eine Präzessionsbewegung aus, bis die Kreiseachse in der strichierten Achse iegt. Die freien Achsen und ihre Lagerungen sind grün gezeichnet. Versuch 9 Kreisekompass, entsteht aus dem der kardanisch aufgehängten Kreise bei Bockierung eines Geenks: Bei Drehung des Gobus richtet sich die Kreiseachse nach Norden aus..5.3 Dynamisches Auswuchten Eine wichtige Anwendung der Theorie stabier Rotationen ist das Auswuchten von Rädern oder rotierenden Maschinenteien. Für ruhigen Lauf muß die Hauptträgheitsachse in der Drehachse iegen. Meistens ist die Drehachse konstruktiv vorgegeben. Beim statischen Auswuchten wird zuerst der Schwerpunkt auf die Drehachse gebracht. Beim anschießenden dynamischen Auswuchten wird durch Zusatzgewichte oder Materiaentnahme die Verteiung der Massen soange verändert, bis die Drehachse auch Hauptträgheitsachse ist. 3 Mechanik deformierbarer Medien Die Voresung über Mechanik begann mit der Untersuchung der Bewegungseigenschaften des Massenpunktes. Es genügte eine Dimension, reaisiert in der Luftkissenfahrbahn, um die Gesetze zu studieren. Drei Dimensionen wurden für die Achsagen bei der Rotation starrer Körper berücksichtigt: Eine einzige Zah für jede Richtung beschreibt das Trägheitsmomente bezügich der Achse. Die unterschiedichen Mögichkeiten zur Anordnung der Atome in drei Dimensionen, die Grundage der viefätigen Formen und Erscheinungen unserer Wet, werden untersucht, um die Auswirkung von Kräften auf die Gestat der Körper zu verstehen. 3.1 Der Aufbau der Materie Atome sind die Bausteine der Materie, sie setzen sich aus den Atomkernen mit der für jedes Eement spezifischen Ladungszah und der Eektronenhüe zusammen. Die Vorgänge in der

7 7 Eektronenhüe bestimmen das Erscheinungsbid und viee Eigenschaften der Materie, z. B. Farbe, chemische Bindung, Magnetismus, eektrische Leitfähigkeit. Während die Eektronenhüe das Voumen vorgibt, kann man sich die Masse der Atome im Kern vereinigt denken Die Massen von Eektron ( 9,11 10 kg) zu Proton oder Neutron ( 1,67 10 kg) verhaten sich wie 1: Kräfte zwischen den Bausteinen der Materie Die Atomkerne sind aus den eektrisch positiv geadenen Protonen und eektrisch neutraen Neutronen aufgebaut, Kräfte der starken Wechsewirkung mit kurzer Reichweite haten die Kernbausteine zusammen. Die eektromagnetische Couombkraft mit anger Reichweite hät die Eektronen auf ihren Bahnen um den Kern. Ist die Kernadung nicht voständig durch eine entsprechende Eektronenzah neutraisiert, dann bewirkt die Couomb-Kraft die angreichweitige Bindung zwischen Ionen. 1,0 nm Abbidung 9 Mode starrer Kugen für ein kubisches Metagitters ( z. B. A, Fe, Cu, Au), dichteste Kugepackung: Jede Kuge wirkt auf ae Nachbarn anziehend. Kräfte Beschreibung Beispie Van der Waas Bindung Couomb Kraft Kovaente Bindung Meta Bindung Isotrope, kurzreichweitige schwache Bindungskraft zwischen aen Atomen Isotrope, angreichweitige Wechsewirkung zwischen Ladungen, im Atom zwischen Kern und E- ektronen, im Krista zwischen Ionen, (z. B. NaC Krista) Gerichtete Bindung durch gemeinsame Eektronen Isotrope Bindung der Metaatome mit freien Eektronen im Eektronengas Tabee Bindungskräfte zwischen Atomen und Ionen Reae Gase, Bindung in Kristaen der Edegase Kern und Eektronen NaC-Krista Si-Krista, organische Moeküe Ae metaischen Leiter Zwischen aen Atomen gibt es Bindungskräfte, aber auch abstoßende Kräfte kurzer Reichweite. Letztere assen die Atome as starre Kugen erscheinen, die durch Federn aneinander gebunden sind. Stabie Strukturen ergeben sich bei Geichgewicht von Anziehung und Abstoßung. Aerdings ordnen sich die Atome nur dann zu Strukturen mit fester Gestat, wenn die thermische Energie keiner as die Bindungsenergie ist. Beginnt man bei tiefen Temperaturen mit sehr keiner thermischen Energie (der Nupunktsenergie der Quantenmechanik), dann findet man zunächst den festen Zustand.

8 8 Versuch 10 Zwei unterschiediche Kugepackungen entstehen bei der dichtesten Stapeung von Tischennisbäen Versuch 11 Korngrenzen im Kugemode Idea Gas Rea Füssigkeit Amorph Fester Körper Kristain Wechsewirkung zwischen den Atomen oder Moeküen keine Schwach Stärker as im Gas, schwächer as im Krista: Ungerichtete Bindung der Teichen aneinander Hohe Wechsewirkung, aber keine Fernordnung: Erstarrte Füssigkeit Hohe Wechsewirkung, Fernordnung zwischen den Bausteinen Bewegichkeit der Teichen Hoch, Teichen bewegen sich unabhängig voneinander Die Teichen sind gegeneinander eicht zu verschieben Die Atome oder Moeküe sind ortsfest, schwingen aber um ihre Ruheage (Thermische Bewegung) Für den Zustand charakteristische physikaische Größe bei konstanter Temperatur und gegebener Teichenzah Antwort des Materias auf mechanische Krafteinwirkung Geschwindigkeit der Teichen Hohe Kompressibiität, viskose Strömung Voumen Geringe Kompressibiität, viskoses Fießen Gestat Eastizität Dichte bei Normadruck und ~300 K ~0,001 g/cm 3 ~ 1g/cm 3 Tabee 3Einige Eigenschaften der unterschiedichen Aggregatzustände Festkörper zeigen Gestatstabiität, bei keinen Ausenkungen im eastischen Bereich git das Hookesche Gesetz zwischen Ausenkung und Kraft. Die in diesem Bereich makroskopisch messbaren Zusammenhänge von Kraft und Verformung sind das Thema der Eastomechanik. Werden die Kräfte zu groß, dann verässt man den Bereich der Gütigkeit des Hookeschen Gesetzes. An manchen Steen geiten die Teichen schießich aufeinander ab, der Körper verformt sich irreversibe und zerbricht am Ende, beibt aber fest. Erst bei Erhöhung der Temperatur geht der Festkörper am Schmezpunkt in den füssigen Zustand über. Dann geiten die Teichen so müheos aneinander ab, daß die Gestat ihrer Gesamtheit durch die Schwerkraft oder irgendeine andere Kraft, z. B. die Druckkräfte der Gefäßwände, gegeben wird. Wird die Temperatur bis zum Siedepunkt erhöht, dann öst sich der Kontakt zwischen den Teichen voständig. Im jetzt erreichten gasförmigen Zustand ist für

9 9 eine gegebene Teichenzah nur die Verteiungsfunktion der Geschwindigkeiten durch die Temperatur bestimmt. Druck und Voumen werden erst durch äußere Bedingungen definiert. Die mechanischen Materiaeigenschaften im festen, füssigen und gasförmigen Zustand sind das Thema der nächsten Abschnitte. Abbidung 10 Die eastischen Wechsewirkungskräfte zwischen den Teichen eines Krista - Gitters können as Federkräfte zwischen den atomaren Teichen modeiert werden. Für keine Ausenkungen git das Hookesches Gesetz. ( Zur besseren Übersichtichkeit wurden - im Vergeich zum atomaren Mode- einige Teichen weggeassen). 3. Eastomechanik fester Körper Die Gestat fester Körper verformt sich unter der Wirkung einer geeigneten Kraft. Eastisch heißt die Verformung, wenn der Körper ohne Kraft seine ursprüngiche Gestat wieder annimmt Dehnungseastizität Die Eastizität hängt von der atomaren Ordnung des festen Körpers ab. Mit der Temperaturführung bei Wärmebehandung kann man die Anzah der Fehsteen steuern. Versuch 1 Die Eastizität eines waagrecht eingespannten Drahtes wird durch vokommene Rücksteung nach be- und entasten mit einem Gewicht gezeigt. Danach wir der Draht mit der Famme eines Bunsenbrenners ausgegüht: Die Anzah der Fehsteen erhöht sich stark. Bei Beastung nach Abkühung knickt der Draht pastisch ab. Recken ordnet das Gefüge, der Draht wird wieder eastisch. Die Anzah der Fehsteen erhöht sich aber auch bei zu hoher mechanischer Beastung: Das kristaine Gefüge öst sich auf, das Materia beginnt zu fießen. Baster wissen, daß die ersehnte Bewegung einer sehr fest sitzenden Schraube das Fießen vor dem Bruch anzeigen kann. Forme Einheit Eräuterung F N Spannung σ = 1 A m F 1 N Kraft A 1 m Fäche

10 10 Tabee 4 Definition der mechanischen Spannung Im Gütigkeitsbereich des Hookeschen Gesetzes ist die Spannung über den Eastizitätsmodu inear an die Dehnung gekoppet: Forme Einheit Eräuterung σ = ε E N 1 Spannung m ε = 1 Dehnung, reative Längenänderung N 1 m E Tabee 5 Definition des Eastizitätsmodus Eastizitätsmodu, Beispiee: Materia E [ N/m ] Fe A Gas Eschen Hoz Gummi Zugkraft F d d d Abbidung 11 Dehnung eines Stabes mit Querschnitt A Bei größerer Last wird die Verformung irreversibe, schießich nimmt die Zugfestigkeit ab, bei zunehmendem Zug schnürt sich das Materia oka ein und reißt an der dünnsten Stee. Versuch 13 Dehnung eines Stahdrahts bis zum Bruch. Verängerung Dehnung Zugkraft Tabee 6 Dehnung und Spannung eines Stahdrahts Versuch 14 Gütigkeit des Hookeschen Gesetzes: Ein 11,5m anger Stahdraht wird eastisch gedehnt. Kraft F Verängerung E F F = A π r =

11 11 Tabee 7 Berechnung des Eastizitätsmodus für den Stahdraht Abbidung 1 Bereiche der Dehnung im Festkörper. Im Einsatz rechts ist ε e die eastische, ε b die beibende Dehnung (Aus Netz, Formen der Technik,. Aufage). Grün: Bereich der Gütigkeit des Hookeschen Gesetzes. Wird das Materia verängert, dann wird sein Durchmesser keiner, wei das Voumen annähernd konstant beibt. Das Verhätnis der reativen Änderungen des Durchmessers und der Länge heißt Faktor der Querkontraktion oder Poisson Zah. Sie iegt zwischen 0, und 0,5. Forme Eräuterung = V d Länge mit quadratischem Voumen eines Materias der Querschnitt, Kantenänge d V V V = d + d Voumenänderung bei Variation V = d d + d der Länge und d des Durchmessers V d = + V d Bei V = 0 fogt: d d = d d d d d = 1 = µ = µ Der Faktor der Querkontraktion heißt Poissonsche Zah, bei V = 0 fogt µ = 0, 5 Meistens wächst das Voumen, V 0, deshab git 0, < µ < 0,5

12 1 Tabee 8 Definition und Abschätzung der Poisson Zah µ Versuch 15 Demonstration der Querkontraktion an einem eastischen Sei Biegung eines Bakens Bei der Biegung eines Bakens bekommt er annähernd die Gestat eines Kreisbogens. An seiner Außenseite wird das Materia verängert, an der Innenseite gestaucht: Dazwischen iegt die Neutrae Faser, deren Länge konstant beibt. Deren Beschaffenheit trägt offensichtich nicht zur Festigkeit bei: Man kann das Materia in diesem Bereich sogar aushöhen, ohne daß sich die Biegung wesentich ändert. Versuch 16 Die Neutrae Faser wird im poarisierten Licht an einem in der Mitte beasteten, zweiseitig eingespannten Gasbaken gezeigt. Unter Spannung stehende Bereiche drehen die Poarisationsebene. Man erkennt, daß ein Gebiet im Inneren des Bakens, das der Neutraen Faser, ohne Spannung beibt. Das wichtige Ergebnis ist, daß die Biegung von der dritten Potenz der Höhe a abhängt. Bei Wah eines doppet so hohen Bakens geht die Ausenkung bei geichbeibender Beastung auf 1/8 zurück. Bei vorgegebener Materiamenge erreicht man mit einem innen hohen, hohen Profi die geringste Durchbiegung. Das Materia im ausgehöhten Bereich, nahe der neutraen Faser, hätte ohnehin wenig zur Biegesteifigkeit beigetragen. In der Natur sind die Röhrenknochen in dieser Hinsicht optimiert, die wesentich zur Leichtbauweise der Vöge beitragen. Versuch 17 Biegung eines hohen und eines ausgefüten Stabes von geicher Materiamenge. Der Hohstab ist vie stabier. Ausenkung Art der Lagerung 4 F h = 3 E b a Einseitig F h = 3 4 E b a Beidseitig h a b E F Durchbiegung Last Höhe Länge Breite Eastizitätsmodu Tabee 9 Ausenkung eines Bakens bei Biegung.

13 13 b Eastizitätsmodu des Materias: E a Ausenkung h Last F Abbidung 13 Biegung eines einseitig eingespannten Bakens: Die Höhe a geht mit 3. Potenz in die Ausenkung h ein. Versuch 18 Bakenbiegung: Hochkant und quer dazu eingespannt. Hochkant ist die Durchbiegung vie geringer. 3.. Schub- und Torsionseastizität Ein Körper wird unter der Wirkung einer tangentia angreifenden Kraft geschert, er steht unter Schubspannung. Die Maß für die Scherung ist der Scherwinke α. Fäche A Scherkraft F Scherwinke α Abbidung 14 Scherspannung an einem quaderförmigen Körper, an dessen oberer Fäche eine Kraft angreift. Versuch 19 Zeen werden geschert, indem die geiche Kraft in unterschiedicher Höhe von der Basis angreift: Geiche Kraft führt zu geichem Scherwinke, trotz unterschiedichem Drehmoment.

14 14 Ein zyinderförmiger Körper wird unter einer tangentia angreifenden Kraft auf Torsion oder Driung beansprucht. Radius R Die physikaischen Vorgänge auf atomarer Ebene sind bei Dehnung, Scherung, Torsion und Querkontraktion die geichen. Im eastischen Bereich gibt es reversibe Änderungen des Abstandes zwischen den Atomen. Im ineastischen Bereich Beginnen irreversibe Gefügeände- Drehmoment T Torsionswinke ϕ Abbidung 15 Torsion eines zyinderförmigen Körpers, an dessen oberer Fäche ein Drehmoment wirkt. Für Scherungs- und Torsionswinke geten die nachfogend gezeigten Zusammenhänge zwischen Materiadimensionen und Materiakonstanten, Torsions- oder Scherungsmodu. Bei einem zyindrischen Stab hängt der Torsionswinke von der vierten Potenz des Radius ab. (Anwendung: Drehstabfederung) Forme Einheit Eräuterung F τ = A 1 [ N/m ] Schubspannung Im eastischen Bereich git: τ α = G 1 [ ] N/m Schubspannung G 1 [ N/m ] Torsionsmodu α Neigungswinke Für einen zyindrischen Stab mit Radius R git: T ϕ = Torsionswinke π 4 G R T 1 [ Nm] Drehmoment Tabee 10 Definition von Schubspannung, Scherung- und Torsionsmodu Versuch 0 Torsion, Hookesches Gesetz

15 15 rungen, bei denen sich Versetzungsinien biden oder verschieben, die Atome ihre Lage verändern bis sie schießich an der Fießgrenze aufeinander abgeiten. Das erkärt die Verknüpfung zwischen der Poissonschen Zah, dem Torsions- und dem Dehnungsmodu. Man findet aus geometrischen Überegungen die fogende Beziehung: G = E (1 + µ ) Torsionsmodu as Funktion des Eastizitätsmodus und der Poissonschen Zah 3..3 Eastische Nachwirkung In manchen Stoffen stet sich das Geichgewicht nach Beastung erst nach einiger Zeit ein oder es beibt sogar eine Ausenkung bestehen. Wenn das Materia erst durch eine entgegengesetzt wirkende Kraft wieder zurückgestet werden kann, dann zeigt es Hysterese. Bei eastischer Verformung wird die Energie zur Ausenkung bei der Rücksteung wieder gewonnen. Bei Hysterese ist auch zur voständigen Rückführung Energie aufzuwenden. Versuch 1 Demonstration der Hysterese: Eastische Nachwirkung Beibende Dehnung ohne Krafteinwirkung Dehnung Zugspannung Zugspannung, die aufzuwenden ist, um die Dehnung zurückzusteen Abbidung 16 Eastisches (stark gezeichnete Gerade) und Hysterese Verhaten. Die Fäche im Bereich der Hysterese Kurve ist ein Maß für die bei einem Zykus aufgewendete Arbeit. Die Hysterese Kurve beginnt nur bei der ersten Ausenkung im Ursprung.