Theoretische Mechanik

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1 Prof. Dr. R. Ketzmerick/Dr. R. Schumann Technische Universität Dresden Institut für Theoretische Physik Sommersemester 2008 Theoretische Mechanik 7. Übung Lösungen 7.1 Pende im Fahrstuh In einem Fahrstuh, der in vertikaer Richtung geichmäßig bescheunigt wird, befindet sich ein mathematisches Pende. Bestimmen Sie die Schwingungsdauer in Abhängigkeit von der Bescheunigung a = a e z! Körper im Fahrstuh spüren zusätzich zur normaen Schwerkraft noch die Trägheitskraft. m r = mg e z + F T = mg e z ma e z Die DGL ergibt sich damit zu L = r F. Wäht man die x-z-ebene as Schwingungsebene, so ergibt sich mit x = sinϕ und z = cos ϕ m 2 ϕ = m(g + a) sin ϕ = ϕ + Für keine Ausenkungen findet man aso g + a ω 0 = = T = 2π g + a (g + a) sin ϕ = 0 Diskussion: Für a + g > 0 ist die untere Geichgeichtsage stabi. Um diese können Schwingungen ausgeführt werden. Für a + g = 0 ist die Kraftsumme auf das Pende Nu. Der Körper ist schwereos Die Schwingungsdauer divergiert. Fas eine Anfangs(-winke)-geschwindigkeit voriegt, rotiert der Massepunkt geichförmig. Für a + g < 0 wird die untere Geichgewichtsage abi und die obere stabi, um die dann Schwingungen ausgeführt werden können. 7.2 Rotierendes Bezugssystem Betrachtet werden zwei Koordinatensysteme Σ und Σ, von denen sich das zweite reativ zum ersten mit konstanter Winkegeschwindigkeit um die gemeinsame z-achse dreht, wobei zum Zeitpunkt t=0 die Systeme zusammenfaen soen. a) Steen Sie die Basisvektoren des gestrichenen Systems durch e x, e y und e z durch die Basisvektoren des ungestrichenen Systems e x, e y und e z dar und umgekehrt.

2 Aus der Zeichnung iest man sofort ab: e y e y ωt e x = e x cos ωt + e y sin ωt ωt e x e x e y = e x sin ωt + e y cos ωt bzw. e z = e z e x e y e z = e x cos ωt e y sin ωt = e x sinωt + e y cos ωt = e z b) Ein Körper bewege sich in Σ geradinig und geichförmig entang der x-achse, wobei er sich bei t=0 im Ursprung befindet. Weche Kraft wirkt auf ihn? In Σ git x(t) = v 0 t = a = 0 = F = 0. Damit verschwindet die Kraft. c) Berechnen Sie die Bahnkurve r im rotierenden System! Fertigen Sie eine Skizze an! r(t) = v 0 t e x = v 0 t cos ωt e x v 0t sinωt e y = x (t) e x + y (t) e y + z (t) e z = x (t) = v 0 t cos ωt, y (t) = v 0 t sin ωt und z (t) = 0 Die Bahnkurve iegt in der Ebene z = 0. Die Form sieht man eicht, wenn man zu Zyinderkoordinaten oder Kugekoordinaten (mit ϑ = π/2) übergeht. x 2 + y 2 = r 2 = v 2 0t 2 = r (t) = v 0 t tan ϕ = y x = tan ωt = ϕ (t) = ωt Eiminieren von t führt zu r = v 0 ω ϕ. Es handet sich aso um eine archimedische Spirae. Siehe: Archimedes von Syrakus, De spiraibus (Über Spiraförmige Linien), Sebstverag, Syrakus, ca. 200 v.chr.. Und hier noch etwas Heimatkunde für Dresdner Studenten : Das rechte Bid Portrait des Archimedes wurde 1620 von Domenico Fetti in Mantua gemat und wurde 1743 für die Dresdner Sammungen angekauft. Es befindet sich in der Gemädegaerie Ate Meister.

3 y x d) Weche Kraft erfährt der Körper im rotierenden System? In Σ berechnet man die Kraft am besten in Zyinderkoordinaten: Wegen und F = F r e r + F ϕ e ϕ = m( }{{} r r ϕ 2 ) e r + m(2ṙ ϕ + r = 0 = m ω 2 r e r 2m v 0 ω e ϕ. ϕ }{{} = 0 ) e ϕ m ω ( ω r ) = m ω ( ω r ) +m ω 2 r = m ω 2 r e }{{} r = 0 2m ω v = 2m ṙ ω e z e r 2m r ω ϕ e z e ϕ = 2mv 0 ω e ϕ 2m r ω 2 e r äßt sich das in die in der Voresung hergeeitete agemeine Form F = m ω ( ω r ) 2m ω v umschreiben. 7.3 Winkeabweichung der Erdbescheunigung Ein Körper befinde sich an einem Punkt der Erdoberfäche mit der nördichen Breite θ in Ruhe. a) Weche Kräfte wirken auf ihn (von einem Erdenbürger aus betrachtet!)? Der Erdenbürger befindet sich in einem bescheunigten Bezugssystem. Da der Körper ruht, tritt zusätzich zur Gravitationskraft F G nur noch die Zentrifugakraft F Z auf.

4 b) Vergeichen Sie die Beträge der auftretenden Kräfte! Wecher keine Parameter äßt sich biden? Der Betrag der Gravitationskraft für die as Kuge angenommenen Erde ist ω θ F G θ mg F Z r F G = γ mm r 2 E =: m g. Für den Betrag der Zentrifugakraft ergibt sich F Z = mω 2 r E cos θ = m gδ cos θ, wobei eine keine dimensionsose Konstante δ = ω 2 r E / g = eingeführt wurde. c) Bestimmen Sie die Betragsabweichung der (scheinbaren) Erdbescheunigung g der rotierenden Erde von derjenigen g, die bei einer ruhenden Erde auftreten würde. Gehen Sie dabei von der vereinfachenden Annahme aus, daß die Erde eine starre, homogene Kuge sei. Für den Betrag der Gewichtskraft findet man aus dem Cosinussatz mg = FG 2 + F Z 2 2F G F Z cos θ g = F G 1 2 F Z cos θ + ( F m F G Z ) 2 F G }{{} δ 2 m g ( 1 δ cos 2 θ ). d) Wie hängt die Winkeabweichung θ von der geographischen Breite θ ab? Für die Winkeabweichung θ findet man aus dem Sinussatz, wenn wieder Größen δ 2 vernachässigt werden, sin θ mg = sin θ F z = θ sin θ F z mg sinθ δ cos θ sin θ = δ 2 sin2θ Die Winkeabweichung ist aso bei 45 nördicher (südicher) Breite am größten! e) Diskutieren Sie quaitativ die Form der Äquipotentiafächen der resutierenden Gesamtkraft? Für die Äquipotentiafächen muß mgh = const. geten, wobei hier h r E die Höhe. über der kugeigen Erde sei. Das bedeutet, daß mgh = m gh ( 1 δ cos 2 θ ) = const. = h = const. 1 m g 1 δ cos 2 θ const. m g ( 1 + δ cos 2 θ ) Man iest aso ab, daß an den Poen (θ = ±90 ) die Äquipotentiafächen gegenüber dem Maximawert am Äquator abgepattet sind.

5 Was wird passieren, wenn die Erde as pastisch deformierbarer Körper angenommen wird? Die Erdmassen werden sich so verschieben, daß g übera senkrecht auf der Erdoberfäche steht. Damit weicht die Form der Erde von der Kugegestat ab, was dann wiederum zu einer Änderung von g führt usw. usf.. Um dieses Probem zu ösen, reicht es nicht mehr aus, die Erde as kugesymmetrisch zu betrachten (und erst recht nicht as Massepunkt!). Das Potentia der Gravitationskraft kann dann i.a. nur noch numerisch (oder unter vereinfachenden Annahmen über eine Mutipoentwickung) berechnet werden. Das führt zu sehr kompizierten Geichungen, die sebstkonsistent geöst werden müssen. Geht man noch weiter ins Detai, so müssen auch noch die eastischen Eigenschaften, die Inhomogenitäten der Dichte, die durch Temperaturgradienten bedingten Masseverschiebungen im Inneren usw. usf. berücksichtigt werden. Ein weites Fed foucautsches Pende Es so die Bewegung eines mathematischen Pendes der Länge, und der Masse m auf der mit der Winkegeschwindigkeit ω = konst. rotierenden Erde näherungsweise berechnet werden. Der Koordinatenursprung des Bezugssystems Σ werde in den Aufhängepunkt des Pendes geegt, der sich an einem Ort auf nördicher geografischer Breite θ befindet. Die z Achse zeige vom Erdmittepunkt weg, die x Achse weise nach Süden, die y Achse nach Osten. a) ϕ oben e z e y e x Süd Z Ost mg Steen Sie die Bewegungsgeichungen für die Koordinaten auf. Begründen Sie, dass Terme der Ordnung ω 2 vernachässigbar sind. Vernachässigen Sie ferner die vertikae Bewegung des Pendes (Weshab ist dies sinnvo?). Bestimmen Sie mit diesen Näherungen die inearisierten Bewegungsgeichungen. Infoge seiner Trägheit behät ein mathematisches Pende seine Schwingungsbene bei (vom Inertiasystem aus beschrieben). Zeichnet man (Beobachter auf der rotierenden Erde!) die Pendebewegung auf einer darunter befindichen Unteragea auf, s werden Bahnen registriert, die so aussehen, as würde sich unter Berücksichtigung der Erdrotation die Unterage angsam unter dem Pende drehen. Dies so näherungsweise berechnet werden, wobei zunächst die Bewegungsgeichung für den Pendekörper hergeeitet wird. Den Haupttei der Zentrifugekraft kann man dadurch berücksichtigen, daß man die scheinbare Erdbescheunigung betrachtet (Siehe Aufgabe 7.3). Die Zusatzterme, die durch die Ausenkung des Pendes hinzukommen sind sehr kein und können vernachässigt werden.

6 Wenn die Ruheage des Pendes mit r 0 und die Ausenkung des Pendes mit δ r bezeichnet werden, sind die Beiträge durch die Ausenkung F( r 0 + δ r) F( r ( 0 ) = δ r F( r) ) Man findet aso für die Kraft F( r 0 + δ r) r= r 0. m g + m ω 2 (½ e ω e ω ) δ r + 2m g δ r r E 2mω e ω v, wobei v = δ r die Geschwindigkeit des Massepunktes darstet. Die Abkürzungen für g und g sind wie in Aufgabe 7.3 gewäht. Das Verhätnis der durch die Ausenkung bedingten Zusatzterme von Zentrifugakraft zu Coriois-Kraft schätzt man zu F Z F mω2 δ r C 2mω k δ r = ω 2k 10 4 ab, wobei über v k δ r die Kreisfrequenz des mathematischen Pendes k = g/ eingeführt wurde, und für 67 m gewäht wurde. Man kann aso die Zusatzbeiträge der Zentrifugakräfte vernachässigen. Die Bewegungsgeichung autet damit in dieser Näherung m r = Z + m g 2m ω r Zur Gewichtskraft tritt noch die Zwangskraft Z des Fadens hinzu, die erforderich ist, um den Pendekörper im festen Abstand vom Aufhängepunkt zu haten:. Z ist jedoch zunächst unbekannt, da die Beastung des Fadens von der Geschwindigkeit des Pendekörpers abhängt (Sie ist im unteren Durchgangspunkt am größten!). Die Geschwindigkeit ist aber erst nach Lösen der Bewegungsgeichung bekannt, in die aber Z eingeht! Um eine anaytische Lösung des Probems zu finden, ist man deshab auf Näherungen angewiesen. Das fogende Vorgehen zur Lösung des Probems ist ein Beispie für Störungsrechnung in der Mechanik. Zunächst werden die vektorieen Größen im Koordinatensystem Σ (siehe Abbidung) in Komponenten angeschrieben (das Pende befindet sich am Ort mit der geografischen Breite θ): m g = mg e z (1) ω = ω ( e z sin θ e x cos θ) Z = Z x e x Z y e y + Z z e z ω r = ω sin θ ẏ e x + ω (cos θ ż + sin θ ẋ) e y ω cos θ ẏ e z Dies ergibt ein System von 3 miteinander gekoppeten Differentiageichungen: mẍ = Z x + 2m ω ẏ sinθ (2) mÿ = Z y 2m ω (ẋ sin θ + ż cos θ) (3) m z = Z z mg + 2m ω ẏ cos θ (4)

7 Näherung: Die Ausenkung ρ = x 2 + y 2 des Pendes sei stets kein gegenüber der Pendeänge. Es git damit im z = 2 ρ 2 = eft(1 1 ρ Die Bewegung erfogt bis zu Termen erster Ordnung in der x y - Ebene. Weiterhin ż = z = 0. (Projektion der Bewegung auf die x y - Ebene) Aus Geichung (3) kann damit in dieser Näherung die Zwangskraft bestimmt werden: Z = mg 2mẏ ω cos θ. Einsetzen von Z in (1) und (2) ergibt zwei miteinander gekoppete nichtineare Differentiageichungen: ẍ = x g + 2 x ÿ = y g + 2 y ẏ ω cos θ + 2ẏ ω sin θ (5) ẏ ω cos θ 2ẋ ω sinθ (6) Wei ω,x und y keine Größen sind, sind die Produktterme xẏ und y ẏ erst recht kein und können vernachässigt werden, so dass sich endgütig ein inearisiertes Geichungssystem ergibt: ẍ = x ÿ = y g + 2ẏ ω sin θ g 2ẋ ω sin θ b) Lösen Sie die Bewegungsgeichung für die Größe u x + iy mit den Anfangsbedingungen x (0) = a, y (0) = 0,ẋ (0) = ẏ (0) = 0 und interpretieren Sie das Ergebnis. Zunächst kann es in kompakter Form mit der Größe u x+iy geschrieben werden: ü = g u 2iω sinθ u. Diese Differentiageichung hat diesebe Form wie die der gedämpften freien Schwingung! Die Lösungsmethode ist aus der Voresung bekannt (Voresung Kap ). Mit dem Ansatz u = C e λ t ergibt sich u(t) = Ae λ 1 t + B e λ 2 t λ 1,2 = iα ± ik α ω sin θ,k 2 g/. Dabei wurde benutzt, dass α 2 k 2 git. Die Integrationskonstanten A,B werden durch die Anfangsbedingungen, z.b. u(0) = a, u = 0 festgeegt. Wir erhaten in diesem Fae u(t) = a 2k { } (k α)e it(α+k ) + (k + α)e it(α k ) = a 2 e iαt { (1 α k )eikt + (1 + α k )e ikt} ae iαt cos kt!! = e iαt u 0 (t)..

8 Dabei wurde wieder α k genutzt. Mit u 0 (t) wurde die Bewegung ohne Berücksichtigung der Erdrotation (Bewegung eines Pendes mit der Ampitude a und mit der Frequenz k 2 = g/) bezeichnet. Der Exponent der kompexen Exponentiafunktion enthät den Einfuss der Corioiskraft in der betrachteten Näherung. Der etzte Ausdruck (Diskussion in der gauss schen Zahenebene ; geometrische Veranschauichung der Mutipikation zweier kompexer Zahen!) beschreibt, daß sich die x y Ebene mit der Kreisfrequenz α = ω sin θ dreht. Auf der nördichen Erdhabkuge ist dies eine Drehung im Uhrzeigersinn, auf der südichen Erdhabkuge eine Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn. Die Projektion der Pendebewegung auf die x y Ebene ergibt dabei Rosettenbahnen, deren genaue Form jedoch entscheidend von den Anfangsbedingungen abhängt.