Theoretische Physik I: Mechanik

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1 Lösung der Ergänzungsvoresung zu Theoretische Physik I: Mechanik Sommersemester Wofram Weise, Thomas He. Mai Technische Universität München E-Mai (Thomas He) Überbick In dieser Zentraübung wenden Sie die Keer-Gesetze auf ein aktuees Probem der Sateitentechnik an. Geostationäres und Quasi-Zenit-Sateiten-System. (a) Um die Umaufzeit des geostationären Sateiten zu berechnen, müssen wir die Zeit T bestimmen, in der sich die Erde einma um 36 um die Erdachse dreht (siderischer Tag). Hierbei ist es wichtig, zwischen siderischem und sog. bürgerichem Tag zu unterscheiden: Der bürgeriche Tag ist definiert as die Zeit, die ein fester Punkt auf der Erde benötigt, um wieder in demseben Winke zur Sonne zu stehen (ohne Einschränkung kann dabei davon ausgegangen werden, dass die Sonne im Zenit steht). Ein bürgericher Tag dauert er definitionem 4 Stunden. Um nun T zu berechnen, beachten wir, dass die Erde zwei Rotationsbewegungen ausführt: eine um die Erdachse, die andere um die Sonne. Deshab hat sich die Erde in einem bürgerichen Tag um den Winke 36 + δ gedreht, wobei δ durch die jähriche Rotation der Erde um die Sonne gegeben ist: δ wobei a d die Dauer eines Jahres ist (und d für einen bürgerichen] Tag steht). Damit ist dann T d δ.9973 d 3h 56 min 4. s. (.) (b) Ein geostationärer Sateit so sich immer über demseben Punkt des Äquators befinden, deshab git für seine Umauffrequenz ω Ω : π T. Da weiter Drehimuserhatung git, µa ω const., beibt damit auch der Abstand vom Mitteunkt der Erde zum Sateiten konstant (µ mm ist die reduzierte Masse). Der Abstand a m+m berechnet sich aus dem Geichgewicht von Zentrieta- und Gravitationskraft: µ(aω) G mm ( ) G(m + M ) /3 a a a Ω km, (.) wobei ω Ω verwendet wurde. Für den säteren Gebrauch drücken wir die Umauffrequenz Ω noch durch a aus: G(m + M Ω ) a 3. (.3)

2 Bemerkung: Wir gehen hier von einem Zweikörerrobem aus, und betrachten hier nur die Reativkoordinate r, aso den Abstand vom Mitteunkt der Erde zum (Schwerunkt des) Sateiten. Die Bewegung des Schwerunkts ist nicht von Bedeutung für die fogenden Betrachtungen. Die Geichgewichtsbedinung von Zentrieta- und Gravitationskraft kann aus den Bewegungsgeichung für r und φ berechnet werden: µ( r r φ ) G mm r ṙ φ + r φ. Die zweite Geichung ist äquivaent zur Drehimuserhatung µr φ const. Weiter git im Fae von Kreisbahnen r a const. und r und ϕ ω const., sodass wir in der Tat wieder die Geichgewichtsbedingung µ(aω) a G mm a erhaten. Verwenden wir schießich noch den mitteren Erdradius R 6378 km, so befindet sich ein geostationärer Sateit auf einer Höhe h a R 3579 km (.4) über der Erdoberfäche.. Wir wähen zunächst die y-achse as Schnittgerade von Äquatoria- und Bahnebene des Systems Erde-Sateit. In einem dreidimensionaen Koordinatensystem (xyz) iege die Kreisbahn des geostationären Sateiten, der sich mit (beiebiger) Frequenz Ω S bewegt, anfangs in der Äquatoriaebene, cos φ r a sin φ mit φ Ω S t. Der Punkt mit größtem Abstand von der Schnittgeraden (Ahe) iegt aso für t auf der x-achse. Die Drehung um einen Winke θ bez. der y-achse erfogt durch Mutiikation von r mit der Drehmatrix cos θ sin θ D y, (.5) sin θ cos θ aso cos θ cos(ω S t) r D y r a sin(ω S t) sin θ cos(ω S t). (.6) Um die mit t arametrisierte Bahn auf die Erdoberfäche zu rojizieren, schreiben wir sin ( π r θ) cos(ϕ ϕ ) : ϱ sin ( cos (θ) cos(ϕ ϕ ) π θ) sin(ϕ ϕ ) cos ( ϱ cos (θ) sin(ϕ ϕ ), (.7) π θ) sin (θ)

3 wobei φ die geograhische La nge des Punktes am A quator angibt, u ber dem der Sateit kreist. Der Winke θ wurde so gewa ht, dass er der geograhischen Breite entsricht, aso vom A quator aus gemessen wird. Der Vergeich von G. (.6) mit G. (.7) iefert die Zusammenha nge %a tan(ωs t) ϕ ϕ + arctan cos θ θ arcsin sin θ cos(ωs t)]. (.8) Ein Beobachter an der geograhischen La nge ϕ, der sich mit der Erde (Winkegeschwindigkeit Ω) mitbewegt, beobachtet demnach die (durch t, T ) arametrisierte) Bahn tan(ωs t) Ωt ϕ ϕ + arctan cos θ θ arcsin sin θ cos(ωs t)]. (.9) Fu r geostationa re Sateiten git sezie ΩS Ω. Die Grahik zeigt, dass der Sateit eine acht -fo rmige Scheife zwischen den Breitengraden ±θ durcha uft. Der Einfachheit haber haben wir ϕ gesetzt. Die Kurven zeigen (von außen nach innen) die Bahnen fu r θ 6, 45, 3. deg D deg D Bemerkung: Wir ko nnen diese Formen auch auf GPS-Sateiten anwenden. GPS-Sateiten umkreisen die Erde (auf Kreisbahnen) zwei Ma ro (siderischen) Tag, aso git TGPS T /. Gema ß drittem Keer-Gesetz ergibt sich der entsrechende Radius agps (TGPS /T )/3 ags /3 ags 656 km, was einer Ho he von etwa km entsricht. Setzt man in G. (.9) ΩS ΩGPS Ω ein, ergibt sich die unten dargestete Bahn. 3 π TGPS

4 deg D deg D (a) Das gerade beschriebene System einer kreisfo rmigen Bahn eignet sich nicht gut, um den Sateitenemfang u ber einem beschra nkten Gebiet mitteren Breitengrads zu unterstu tzen, wei sich ein Sateit mit konstanter Winkegeschwindigkeit bewegt und somit nur fu r reativ kurze Zeit u ber einem Land verharrt. Das ha tte zur Foge, dass viee Sateiten zum Einsatz kommen mu ssten. (b) Man kann Abhife schaffen, indem man anstee einer kreisfo rmigen Bahn eine eitische Bahn (mit Exzentrizita t ε) verwendet, da man damit die Verweidauer des Sateiten in der Umgebung des Ahes mo gichst groß wa hen kann. Gema ß Zweitem Keer schen Gesetz u berstreicht der Fahrstrah (die Verbindung von Erde zu Sateit) in geichen Zeitabschnitten geich große Fa chen: Ist die Entfernung Erde-Sateit aso groß, so muss sich im Umkehrschuss der Sateit mit keiner Geschwindigkeit auf seiner Bahn bewegen. (c) Wir egen das Koordinatensystem wie im Fae des geostationa ren Sateiten, d. h. die Eise iege zuna chst in der A quatoriaebene mit der Erde im Ursrung des Koordinatensystems, was geichzeitig dem Brennunkt der Eise entsricht. Das Ahe iege auf der (ositiven) x-achse. Die Keer-Eise ist aso gegeben durch r(φ). ε cos φ (.) Das Ahe iegt demnach bei x ε. Die Anfangsbedingung autet φ(t ). Aus der Voresung sind die fogenden Beziehungen zwischen großer und keiner Habachse, asat bzw. b, und Bahnarameter und Exzentrizita t ε bekannt: GmM ε E ` b asat. ε µ E asat Daraus erha t man einfach asat ( ε ) s ` E µasat mm 4 Gasat ( ε ). m + M (.)

5 (d) Damit sich der Sateit auf einer geosynchronen Bahn bewegt, git einerseits T sat T, und andererseits mithife des Dritten Keer-Gesetzes: ( asat ) ( ) 3 T a sat a. (.) a T sat (e) Wir drehen nun wieder die Eise wie in : Sei zunächst cos φ r r(φ) sin φ. Nun wird diese Eise um den Winke θ um die y-achse gedreht (aso um eine Achse durch die Erde, die im Brennunkt der Eise iegt, arae zur keinen Habachse) durch Mutiikation mit der Drehmatrix (.5): cos θ cos φ r D r r(φ) sin φ sin θ cos φ. (.3) (f) Die Projektion auf die Erde erfogt wieder wie im Fae des geostationären Sateiten durch Einführen der Kugekoordinaten (ϱ, θ, ϕ), G. (.7); der Vergeich von G. (.3) mit G. (.7) iefert die Reationen ϱ(φ) r(φ) θ arcsin sin θ cos φ] ] ϕ ϕ + arctan tan φ. cos θ (.4) Hier sei bemerkt, dass wir im Fogenden die Höhe des Sateiten, aso ϱ ϱ(φ), nicht weiter beachten, sondern nur geograhische Länge und Breite des Sateiten in Betracht ziehen. (g) Im Gegensatz zum geostationären Sateiten besteht nun kein inearer Zusammenhang zwischen Azimutwinke φ und Zeit t. Dieser kann aber aus der Drehimuserhatung, µr φ und der Parametrisierung (.) mit den Ausdrücken G. (.) erhaten werden: dt µ r dφ a 3 ( ε ) 3 t(φ) G(m + M ) φ dφ ( ε cos φ ). (.5) Das Integra kann anaytisch ausgeführt werden und ergibt mit G. (.3) ( )] + ε φ Ω t(φ) arctan tan + ε ε sin φ ε ε cos φ. (.6) (h) Aufgrund der Rotation der Erde, beobachtet ein mitrotierender Betrachter die fogende Länge und Breite der Sateitenosition: ] ϕ ϕ + arctan tan φ Ωt(φ) cos θ (.7) θ arcsin sin θ cos φ], wobei es günstig ist, die Bahn mithife der Winkekoordinate φ zu arametrisieren, d. h. t(φ) muss noch aus G. (.6) eingesetzt werden. 5

6 4. (a) Der Sateit kehrt wieder direkt über Jaan zurück, d. h. auf die geograhische Länge des Ahes, wenn ϕ ϕ git. Dies geschehe zum Zeitunkt t t. Dafür git: ϕ ϕ tan φ(t ) cos θ tan(ωt ). (.8) Nachdem sich der Sateit in der Umgebung des Ahes am angsamsten bewegt, verweit er in dieser Position für ängere Zeit in etwa auf geicher geograhischer Breite. Im Ahe hat der Sateit die Winkegeschwindigkeit ω Ahe µr Ahe µ(a( + ε)) ( + ε) Ω, im Perihe ω Perihe µr Perihe µ(a( ε)) ( ε) Ω. Das zeigt, dass der Sateit in t eine Geschwindigkeit φ > Ω haben muss, und damit seine reativ stabie Position verässt, wenn er bei t wieder auf die geograhische Länge des Ahes zurückkehrt. Aufgrund der Symmetrie der Bahn ist t t ein gutes Maß für die Verweidauer über einer beschränkten Region. (b) Da genau drei Sateiten zum Einsatz kommen soen, muss t T 3 geten. Dann fogt aus G. (.8) mit t T 6 φ(t ) arctan cos θ tan(ωt )] arctan cos θ tan π ]. (.9) 3 Um damit die notwendige Exzentrizität der Eisenbahn zu berechnen, werten wir G. (.5) bei t t T 6 aus. Mit G. (.9) und tan π 3 3 erhaten wir: T 6 a 3 ( ε ) 3 arctan 3 cos θ ] dφ G(m + M ) ( ε cos φ ). Wie im Hinweis angegeben, entwicken wir wegen ε, ) die rechte Seite bis O(ε ): ( ε ) 3/ ( ε cos φ) 3 ] ε + O(ε 4 ) + ε cos φ + 3ε cos φ + O(ε 3 ) ] ( + ε cos φ + 3ε cos φ ) + O(ε 3 ). Das Integra über die trigonometrischen Funktionen kann einfach ausgeführt werden und man erhät: T G(m + M ) 6 a 3 arctan( 3 cos θ ) + ε sin arctan( ] 3 cos θ ) ε sin arctan( ] 3 cos θ ) + O(ε 3 ). (.) Die Lösung dieser quadratischen Geichung für θ 45 ergibt eine Exzentrizität von ε ().993. (.) (Die zweite negative] Lösung der Geichung ist nicht sinnvo.) Dieser Wert ist bereits sehr nah am voständigen Ergebnis ε

7 (c) Die Projektion der Bahn dieses Sateitensystems auf die Erde sieht wie in der Grahik dargestet aus. Hier wurde fu r die geograhische La nge Jaans ϕ 36 (Ost) eingesetzt. Aufgrund des Bahnveraufs bietet es sich an, das auch La nder in Su dostasien sowie Austraien dieses System nutzen ko nnen. 4 deg D deg D 5 6