Theoretische Physik I: Mechanik

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1 Ergänzungsvorlesung zu Theoretische Physik I: Mechanik Sommersemester Wolfram Weise, Thomas Hell. Mai Technische Universität München (Thomas Hell) Überblick In dieser Zentralübung wenden Sie die Keler-Gesetze auf ein aktuelles Problem der Satellitentechnik an. Geostationäres und Quasi-Zenit-Satelliten-System Um die globalen Navigationssatellitensysteme (GNSS) in den Hochhäuserschluchten zu unterstützen, lant Jaan ein sog. Quasi-Zenit-Satelliten-System (QZSS) aufzubauen. Dabei kommen drei Satelliten (mit einer Masse von etwa je 4 kg) zum Einsatz, wobei sich stets ein Satellit direkt über Jaan befindet. Die Satelliten kreisen dabei auf einer Umlaufbahn um die Erde, die um den Winkel θ 45 bez. der Erdäquator-Ebene geneigt ist. Im Folgenden wollen wir die Projektion der Satellitenbahnen auf die rotierende Erde berechnen.. Betrachten Sie zunächst einen geostationären Satelliten, dessen Bahn in der Erdäquator- Ebene liegt. (a) Ein geostationärer Satellit dreht sich genau mit der Erde, d. h. er befindet sich von der Erde aus betrachtet immer über demselben Punkt. Bestimmen Sie die Umlaufzeit T für einen solchen Satelliten. (b) In welcher Höhe h a R umkreist er die Erde (hier bezeichnen a den Abstand des Satelliten vom Erdmittelunkt und R den Erdradius)?. Die Bahnebene des geostationären Satelliten aus sei nun um einen (beliebigen) Winkel θ bez. der Äquatorialebene geneigt. Wählen Sie Ihr Koordinatensystem (ϱ, θ, ϕ) derart, dass der Satellit im Zeitunkt t den größten Abstand von der Schnittlinie der Bahn- mit der Äquatorialebene hat und dass der Polarwinkel θ der geograhischen Breite entsricht. Bestimmen Sie die Projektion der Satellitenbahn auf die rotierende Erde. D. h. welche Satellitenbahn beobachtet ein Betrachter, der sich mit der Erde mitbewegt? 3. Wir wenden uns nun dem QZSS zu: (a) Warum ist ein wie in beschriebenes System nicht gut dazu geeignet, die GNSS in einem Land mittleren Breitengrads (wie z. B. Jaan) zu stabilisieren? (b) Überlegen Sie sich zunächst qualitativ (unter Zuhilfenahme des Zweiten Keler schen Gesetzes), wie die kreisförmige Umlaufbahn abgewandelt werden muss, damit ein Satellit möglichst lange über einem kleinen Bereich der Erde (z. B. einem Land) verharrt.

2 (c) Um das Problem quantitativ zu lösen, können Sie die allgemeine Lösung für geschlossene Keler-Bahnen, r(φ) ± ε cos φ, benützen. Weiterhin gilt Drehimulserhaltung, l µr φ. Dabei sind der Halbarameter und ε die Exzentrizität, sowie µ die reduzierte Masse. Setzen Sie φ(t ) und wählen Sie das Vorzeichen in r(φ) so, dass sich der Satellit für t im Ahel befindet (also den größten Abstand vom Erdmittelunkt hat). Drücken Sie weiter den Parameter und den Drehimuls l als Funktionen der großen Halbachse a sat und der Exzentrizität ε aus. (d) Der Satellit soll sich auf einer geosynchronen Bahn bewegen, d. h. T sat T (mit T aus a); bestimmen Sie a sat. (e) Neigen Sie nun die Ellise um den Winkel θ um die Schnittlinie von Äquatorialebene und Bahnebene. (f) Projizieren Sie die geneigte Satellitenbahn auf die Erde (hier zunächst ohne Berücksichtigung deren Rotation). Führen Sie dazu wieder Kugelkoordinaten (ϱ, θ, ϕ) ein, wobei θ der geograhischen Breite entsrechen soll. (g) Berechnen Sie die Laufzeit t des Satelliten in Abhängigkeit des Azimutwinkels φ. (h) Geben Sie damit die Projektion der Satellitenbahn auf die rotierende Erde als Funktion der Exzentrizität ε an. 4. Schließlich bestimmen wir das notwendige ε so, dass drei Satelliten für das Gesamtsystem ausreichen. Wählen Sie dabei das Koordinatensystem so, dass sich der Satellit in t im Ahel direkt über Jaan befindet, also bei einer geograhischen Länge ϕ(t ) : ϕ 36 (Ost). (a) Aufgrund der Wahl des Koordinatensystems befindet sich der Satellit in t im Ahel und damit direkt über Jaan. Zu welchem Zeitunkt t befindet sich der Satellit erneut auf derselben geograhischen Länge? Begründen Sie, warum es sinnvoll ist, t : t als den Zeitraum anzunehmen, in dem ein Satellit das GNSS in Jaan unterstützt. (b) Welche Beziehung muss gelten, wenn drei Satelliten im Einsatz sein sollen? Berechnen Sie daraus die Exzentrizität der Bahn. (Hinweis: Es ist ausreichend, die auftretende Funktion nur bis zur zweiten Ordnung in ε zu entwickeln.) (c) Stellen Sie schließlich die Projektion der Bahnen der drei Satelliten auf die Erde grahisch dar. Welche Länder außer Jaan könnten von diesem System mitrofitieren?

3 Lösung der Ergänzungsvorlesung zu Theoretische Physik I: Mechanik Sommersemester Wolfram Weise, Thomas Hell. Mai Technische Universität München (Thomas Hell) Überblick In dieser Zentralübung wenden Sie die Keler-Gesetze auf ein aktuelles Problem der Satellitentechnik an. Geostationäres und Quasi-Zenit-Satelliten-System. (a) Um die Umlaufzeit des geostationären Satelliten zu berechnen, müssen wir die Zeit T bestimmen, in der sich die Erde einmal um 36 um die Erdachse dreht (siderischer Tag). Hierbei ist es wichtig, zwischen siderischem und sog. bürgerlichem Tag zu unterscheiden: Der bürgerliche Tag ist definiert als die Zeit, die ein fester Punkt auf der Erde benötigt, um wieder in demselben Winkel zur Sonne zu stehen (ohne Einschränkung kann dabei davon ausgegangen werden, dass die Sonne im Zenit steht). Ein bürgerlicher Tag dauert er definitionem 4 Stunden. Um nun T zu berechnen, beachten wir, dass die Erde zwei Rotationsbewegungen ausführt: eine um die Erdachse, die andere um die Sonne. Deshalb hat sich die Erde in einem bürgerlichen Tag um den Winkel 36 + δ gedreht, wobei δ durch die jährliche Rotation der Erde um die Sonne gegeben ist: δ wobei a d die Dauer eines Jahres ist (und d für einen bürgerlichen] Tag steht). Damit ist dann T d δ.9973 d 3h 56 min 4. s. (.) (b) Ein geostationärer Satellit soll sich immer über demselben Punkt des Äquators befinden, deshalb gilt für seine Umlauffrequenz ω Ω : π T. Da weiter Drehimulserhaltung gilt, µa ω const., bleibt damit auch der Abstand vom Mittelunkt der Erde zum Satelliten konstant (µ mm ist die reduzierte Masse). Der Abstand a m+m berechnet sich aus dem Gleichgewicht von Zentrietal- und Gravitationskraft: µ(aω) G mm ( ) G(m + M ) /3 a a a Ω km, (.) wobei ω Ω verwendet wurde. Für den säteren Gebrauch drücken wir die Umlauffrequenz Ω noch durch a aus: G(m + M Ω ) a 3. (.3)

4 Bemerkung: Wir gehen hier von einem Zweikörerroblem aus, und betrachten hier nur die Relativkoordinate r, also den Abstand vom Mittelunkt der Erde zum (Schwerunkt des) Satelliten. Die Bewegung des Schwerunkts ist nicht von Bedeutung für die folgenden Betrachtungen. Die Gleichgewichtsbedinung von Zentrietal- und Gravitationskraft kann aus den Bewegungsgleichung für r und φ berechnet werden: µ( r r φ ) G mm r ṙ φ + r φ. Die zweite Gleichung ist äquivalent zur Drehimulserhaltung l µr φ const. Weiter gilt im Falle von Kreisbahnen r a const. und r und ϕ ω const., sodass wir in der Tat wieder die Gleichgewichtsbedingung µ(aω) a G mm a erhalten. Verwenden wir schließlich noch den mittleren Erdradius R 6378 km, so befindet sich ein geostationärer Satellit auf einer Höhe h a R 3579 km (.4) über der Erdoberfläche.. Wir wählen zunächst die y-achse als Schnittgerade von Äquatorial- und Bahnebene des Systems Erde-Satellit. In einem dreidimensionalen Koordinatensystem (xyz) liege die Kreisbahn des geostationären Satelliten, der sich mit (beliebiger) Frequenz Ω S bewegt, anfangs in der Äquatorialebene, cos φ r a sin φ mit φ Ω S t. Der Punkt mit größtem Abstand von der Schnittgeraden (Ahel) liegt also für t auf der x-achse. Die Drehung um einen Winkel θ bez. der y-achse erfolgt durch Multilikation von r mit der Drehmatrix cos θ sin θ D y, (.5) sin θ cos θ also cos θ cos(ω S t) r D y r a sin(ω S t) sin θ cos(ω S t). (.6) Um die mit t arametrisierte Bahn auf die Erdoberfläche zu rojizieren, schreiben wir sin ( π r θ) cos(ϕ ϕ ) : ϱ sin ( cos (θ) cos(ϕ ϕ ) π θ) sin(ϕ ϕ ) cos ( ϱ cos (θ) sin(ϕ ϕ ), (.7) π θ) sin (θ)

5 wobei φ die geograhische La nge des Punktes am A quator angibt, u ber dem der Satellit kreist. Der Winkel θ wurde so gewa hlt, dass er der geograhischen Breite entsricht, also vom A quator aus gemessen wird. Der Vergleich von Gl. (.6) mit Gl. (.7) liefert die Zusammenha nge %a tan(ωs t) ϕ ϕ + arctan cos θ θ arcsin sin θ cos(ωs t)]. (.8) Ein Beobachter an der geograhischen La nge ϕ, der sich mit der Erde (Winkelgeschwindigkeit Ω) mitbewegt, beobachtet demnach die (durch t, T ) arametrisierte) Bahn tan(ωs t) Ωt ϕ ϕ + arctan cos θ θ arcsin sin θ cos(ωs t)]. (.9) Fu r geostationa re Satelliten gilt seziell ΩS Ω. Die Grahik zeigt, dass der Satellit eine acht -fo rmige Schleife zwischen den Breitengraden ±θ durchla uft. Der Einfachheit halber haben wir ϕ gesetzt. Die Kurven zeigen (von außen nach innen) die Bahnen fu r θ 6, 45, 3. deg D deg D Bemerkung: Wir ko nnen diese Formeln auch auf GPS-Satelliten anwenden. GPS-Satelliten umkreisen die Erde (auf Kreisbahnen) zwei Mal ro (siderischen) Tag, also gilt TGPS T /. Gema ß drittem Keler-Gesetz ergibt sich der entsrechende Radius agps (TGPS /T )/3 ags /3 ags 656 km, was einer Ho he von etwa km entsricht. Setzt man in Gl. (.9) ΩS ΩGPS Ω ein, ergibt sich die unten dargestellte Bahn. 3 π TGPS

6 deg D deg D (a) Das gerade beschriebene System einer kreisfo rmigen Bahn eignet sich nicht gut, um den Satellitenemfang u ber einem beschra nkten Gebiet mittleren Breitengrads zu unterstu tzen, weil sich ein Satellit mit konstanter Winkelgeschwindigkeit bewegt und somit nur fu r relativ kurze Zeit u ber einem Land verharrt. Das ha tte zur Folge, dass viele Satelliten zum Einsatz kommen mu ssten. (b) Man kann Abhilfe schaffen, indem man anstelle einer kreisfo rmigen Bahn eine ellitische Bahn (mit Exzentrizita t ε) verwendet, da man damit die Verweildauer des Satelliten in der Umgebung des Ahels mo glichst groß wa hlen kann. Gema ß Zweitem Keler schen Gesetz u berstreicht der Fahrstrahl (die Verbindung von Erde zu Satellit) in gleichen Zeitabschnitten gleich große Fla chen: Ist die Entfernung Erde-Satellit also groß, so muss sich im Umkehrschluss der Satellit mit kleiner Geschwindigkeit auf seiner Bahn bewegen. (c) Wir legen das Koordinatensystem wie im Falle des geostationa ren Satelliten, d. h. die Ellise liege zuna chst in der A quatorialebene mit der Erde im Ursrung des Koordinatensystems, was gleichzeitig dem Brennunkt der Ellise entsricht. Das Ahel liege auf der (ositiven) x-achse. Die Keler-Ellise ist also gegeben durch r(φ). ε cos φ (.) Das Ahel liegt demnach bei x ε. Die Anfangsbedingung lautet φ(t ). Aus der Vorlesung sind die folgenden Beziehungen zwischen großer und kleiner Halbachse, asat bzw. b, und Bahnarameter und Exzentrizita t ε bekannt: GmM ε E ` b asat. ε µ E asat Daraus erha lt man einfach asat ( ε ) s ` E µasat mm 4 Gasat ( ε ). m + M (.)

7 (d) Damit sich der Satellit auf einer geosynchronen Bahn bewegt, gilt einerseits T sat T, und andererseits mithilfe des Dritten Keler-Gesetzes: ( asat ) ( ) 3 T a sat a. (.) a T sat (e) Wir drehen nun wieder die Ellise wie in : Sei zunächst cos φ r r(φ) sin φ. Nun wird diese Ellise um den Winkel θ um die y-achse gedreht (also um eine Achse durch die Erde, die im Brennunkt der Ellise liegt, arallel zur kleinen Halbachse) durch Multilikation mit der Drehmatrix (.5): cos θ cos φ r D r r(φ) sin φ sin θ cos φ. (.3) (f) Die Projektion auf die Erde erfolgt wieder wie im Falle des geostationären Satelliten durch Einführen der Kugelkoordinaten (ϱ, θ, ϕ), Gl. (.7); der Vergleich von Gl. (.3) mit Gl. (.7) liefert die Relationen ϱ(φ) r(φ) θ arcsin sin θ cos φ] ] ϕ ϕ + arctan tan φ. cos θ (.4) Hier sei bemerkt, dass wir im Folgenden die Höhe des Satelliten, also ϱ ϱ(φ), nicht weiter beachten, sondern nur geograhische Länge und Breite des Satelliten in Betracht ziehen. (g) Im Gegensatz zum geostationären Satelliten besteht nun kein linearer Zusammenhang zwischen Azimutwinkel φ und Zeit t. Dieser kann aber aus der Drehimulserhaltung, l µr φ und der Parametrisierung (.) mit den Ausdrücken Gl. (.) erhalten werden: dt µ l r dφ a 3 ( ε ) 3 t(φ) G(m + M ) φ dφ ( ε cos φ ). (.5) Das Integral kann analytisch ausgeführt werden und ergibt mit Gl. (.3) ( )] + ε φ Ω t(φ) arctan tan + ε ε sin φ ε ε cos φ. (.6) (h) Aufgrund der Rotation der Erde, beobachtet ein mitrotierender Betrachter die folgende Länge und Breite der Satellitenosition: ] ϕ ϕ + arctan tan φ Ωt(φ) cos θ (.7) θ arcsin sin θ cos φ], wobei es günstig ist, die Bahn mithilfe der Winkelkoordinate φ zu arametrisieren, d. h. t(φ) muss noch aus Gl. (.6) eingesetzt werden. 5

8 4. (a) Der Satellit kehrt wieder direkt über Jaan zurück, d. h. auf die geograhische Länge des Ahels, wenn ϕ ϕ gilt. Dies geschehe zum Zeitunkt t t. Dafür gilt: ϕ ϕ tan φ(t ) cos θ tan(ωt ). (.8) Nachdem sich der Satellit in der Umgebung des Ahels am langsamsten bewegt, verweilt er in dieser Position für längere Zeit in etwa auf gleicher geograhischer Breite. Da genau drei Satelliten zum Einsatz kommen sollen, muss t T 3 gelten. Dann folgt aus Gl. (.8) mit t T 6 φ(t ) arctan cos θ tan(ωt )] arctan cos θ tan π ]. (.9) 3 Mithilfe dieser Beziehung können wir die Breitengrade θ berechnen, die der Satellit in der Zeit von t bis t t T 6 überstreicht: θ θ arcsin sin θ cos φ(t )] ] sin θ θ arcsin + tan φ(t ) ] sin θ θ arcsin cos θ (.) Damit erstreckt sich diese Schleife in etwa über die gesamte jaanische Inselkette (45 Nord (Hokkaido) bis Nord (Okinotorishima)) und t t ist ein gutes Maß für die Verweilzeit eines Satelliten über Jaan. (b) Wir berechnen nun mithilfe von Gl. (.9) die notwendige Exzentrizität der Ellisenbahn. Dazu werten wir Gl. (.5) bei t t T 6 aus. Mit Gl. (.9) und tan π 3 3 erhalten wir: T 6 a 3 ( ε ) 3 G(m + M ) arctan 3 cos θ ] dφ ( ε cos φ ). Wie im Hinweis angegeben, entwickeln wir wegen ε, ) die rechte Seite bis O(ε ): ( ε ) 3/ ( ε cos φ) 3 ] ε + O(ε 4 ) + ε cos φ + 3ε cos φ + O(ε 3 ) ] ( + ε cos φ + 3ε cos φ ) + O(ε 3 ). Das Integral über die trigonometrischen Funktionen kann einfach ausgeführt werden und man erhält: T G(m + M ) 6 a 3 arctan( 3 cos θ ) + ε sin arctan( ] 3 cos θ ) ε sin arctan( (.) ] 3 cos θ ) + O(ε 3 ). Die Lösung dieser quadratischen Gleichung für θ 45 ergibt eine Exzentrizität von ε ().993. (.) (Die zweite negative] Lösung der Gleichung ist nicht sinnvoll.) Dieser Wert ist bereits sehr nah am vollständigen Ergebnis ε

9 Schließlich ko nnen wir damit auch den den gro ßten und kleinsten Abstand des Satelliten von der Erde ausrechnen: rmin a( ε) 3795 km R km +ε (.3) rmax a( + ε) 4639 km R + 4 km. ε (c) Die Projektion der Bahn dieses Satellitensystems auf die Erde sieht wie in der Grahik dargestellt aus. Hier wurde fu r die geograhische La nge Jaans ϕ 36 (Ost) eingesetzt. Aufgrund des Bahnverlaufs bietet es sich an, das auch La nder in Su dostasien sowie Australien dieses System nutzen ko nnen. 4 deg D deg D 5 6 Wir schließen ab, indem wir noch weitere Kenngro ßen des Satelliten berechnen: Im Ahel hat der Satellit bez. seiner Bahnebene die Winkelgeschwindigkeit s ` ` ε Ω, φ A ΩAhel µ(a( + ε)) ( + ε)3 µrahel im Perihel φ P ΩPerihel ` µrperihel ` µ(a( ε)) s +ε Ω. ( ε)3 Bezogen auf die rotierende Erde, muss allerdings die Azimutgeschwindigkeit ϕ mithilfe von Gl. (.4) berechnet werden: ϕ φ. cos θ cos φ + tan φ cos θ Im Ahel ist φ und φ ΩA, also mit θ 45 und ε. s ε ϕ A ΩA Ω.6 Ω ; cos θ ( + ε)3 7 (.4)

10 im Perihel gilt andererseits φ π, φ ΩP, damit ϕ P Ω P + ε cos θ ( ε) 3 Ω.73 Ω. Weiter berechnen wir ϕ im Zeitunkt t : ϕ(t ) + 3 cos θ cos θ 4 φ(t ), wobei mithilfe der Drehimulserhaltung folgt: φ(t ) l µ r (t ) l µ ( ε cos φ(t )) Alles zusammengenommen liefert ϕ(t ).79 Ω < Ω. Ω ε 3 ε + 3 cos θ ]. Wir erkennen also, dass der Satellit im Ahel (bezogen auf die Rotationsachse der Erde) sich leicht schneller bewegt als die Erde. Im Kreuzungsunkt t bewegt er sich langsamer, was klar ist, und nimmt schließlich bis zum Erreichen des Perihels deutlich an Geschwindigkeit zu. Schließlich zeigt das numerische Lösen der Bedingung ϕ Ω, dass sich die obere (über Jaan liegende) Schleife über 6.5 Längengrade, die untere (über Australien liegende) Schleife sich über etwa 35 Längengrade erstreckt. 8