Musterlösungen (ohne Gewähr)

Transkript

1 Seite 1/14 Frage 1 ( Punkte) Geben Sie die Fächenträgheitsmomente beügich der y- und der -Achse an! a a a Gegeben: a. y a I yy = I = Fächenträgheitsmoment beügich der y-achse: ( ) I yy = aa a(a) 1 + = a4. Fächenträgheitsmoment beügich der -Achse: ( ) I yy = aa (a)a a a = a

2 Seite /14 Frage ( Punkte) Der geeigte Baken mit quadratischem Querschnitt wird durch die Streckenast q 0 beastet. Geben Sie den Betrag der maimaen Spannung im Träger an! Gegeben: a,, q 0. y a q 0 σ ma = y a Betrag der Spannung in der Randfaser des Trägers: σ() = M() W () Widerstandsmoment: W () = a 6 Biegemoment: M() = q 0 q 0 maimaes Biegemoment bei = σ ma = 6q 0 8a

3 Seite /14 Frage ( Punkte) Gegeben ist der Beastungsustand eines Bauteis und der ugehörige Mohr sche Spannungskreis. a) Ermitten Sie die größte Hauptspannung! y y y yy y y y yy 1 N mm 1 N mm yy y σ I = b) Wie groß ist der Betrag des Winkes α wischen der ugehörigen Hauptrichtung und der -Achse im Bautei? α =

4 Seite 4/14 yy 1 N mm y y y y y y yy 1 N mm N/mm yy y σ I = N mm α = arctan( ) = 0 oder = π

5 Seite 5/14 Frage 4 ( Punkte) Gegeben ist fogender Spannungsustand σ τ y τ σ = τ y σ yy τ y = N. mm τ τ y σ Berechnen Sie die Vergeichsspannung nach der Vergeichsspannungshypothese für spröde Werkstoffe! σ v = Ebener Spannungsustand Sprödes Materia Normaspannungshypothese ( ) σ v = 1 σ + σ yy + (σ yy σ ) + 4τy ( ) (80 50) + 4(0) = 1 = 1 = 1 ( ) N ( ) N mm = 90 N mm mm N mm

6 Seite 6/14 Frage 5 ( Punkte) Gegeben ist fogender Beastungsfa eines beidseitig geagerten Stabes mit dem dargesteten Querschnitt. Die Kraft F wirkt im Fächenschwerpunkt. y b h Gegeben:, E, I yy, I, F, b > h. a) In weche Richtung wird der Stab bei angsamer Steigerung der Kraft F uerst ausknicken? y F b) Kreuen Sie die korrekten Randbedingungen für den dargesteten Stab an! w( = 0) = 0 w( = ) = 0 w ( = 0) = 0 w ( = ) = 0 w ( = 0) = 0 w ( = ) = 0 c) Ermitten Sie die kritische Kraft F krit! F krit =

7 Seite 7/14 a) -Richtung b) w( = 0) = 0 w( = ) = 0 w ( = 0) = 0 w ( = ) = 0 w ( = 0) = 0 w ( = ) = 0 c) Euer-Knickfa F krit =.0457 EIyyπ

8 Seite 8/14 Aufgabe 6 ( 8 Punkte) Eine Wee (Eastiitätsmodu E, Wärmeausdehnungskoeffiient α) mit kreisförmiger, verändericher Querschnittsfäche so durch geichmäßige Abkühung in eine starre Fassung eingepasst werden. D / d / D a) Um wechen Betrag ϑ muss die Wee abgeküht werden, damit sie durch die engste Stee hindurch passt? b b b) Weche Normakraft F wirkt nach dem Einbau wischen Wee und Fassung, wenn die Wee wieder die Ausgangstemperatur erreicht hat? -a c) Wie groß ist die maimae Spannung in der Wee im eingebauten Zustand? Gegeben: D, d,, a, b, E, α. Hinweis: für n 1 git: (a + b) n d = (a + b)n+1 a(n + 1) + C

9 Seite 9/14 σ() a) = + α ϑd = α ϑ 0 E Zwangsbedingung: = b + a ϑ = b + a α b) = a und ϑ = 0 = 0 0 σ() E + α ϑd = F 0 EA() d = a Es muss nur der Bereich von 0 bis / betrachtet werden, da aufgrund von Symmetrie F / git: EA() d = F EA() d 0 / D ( ) d 1 (D d) Durchmesser as Funktion von : δ( 1 ) = D 1 oder δ( ) = d + ( D Querschittsfäche as Funktion von : A( 1 ) = π ( 4 d + π 4 ) (D d) / ( 4F a = D 0 πe a = 8F πe a = 8F πe [ F = πddea 4 ( D (D d) (D d) ) (D d) d = 8F πe ) 1 (D d)d (D d)d ( ( D (D d) 0 ] (D d) = 8F πe D (D d) ) 1 (D d) ( + 1) ) 1 (D d) ) (D d) 1 oder A( ) = [ ] D d = 4F (D d)dd πedd / 0 c) σ ma = F A min = 4F πd

10 Seite 10/14 Aufgabe 7 ( 5 Punkte) Gegeben sind die beiden skiierten dünnwandigen Träger (Wandstärke t), wobei Profi 1 geschossen und Profi geschitt (offen) ist. Die Träger werden mit einem Torsionsmoment M T beastet. Bestimmen Sie das Verhätnis der Verdrehungen der Endquerschnitte! 1 a a t a a M T t Gegeben: a,, t, G, M T. a a Verdrehung: ϑ = 0 M t GI t d = M t GI t Verhätnis der Verdrehungen der Endquerschnitte: ϑ offen ϑ geschossen = I t,geschossen I t,offen Geschossenes Profi: A m = a + πa = ( + π )a I t,geschossen = aa m s i = t( + π b i )a Offenes Profi: i I t,offen = 1 b i s i = t a( + π ) i Verhätnis ausrechnen: I t,geschossen I t,offen = a t

11 Seite 11/14 Aufgabe 8 ( 9 Punkte) Ein Baken (Eastiitätsmodu E, Fächenträgheitsmoment I yy ) ist wie skiiert durch eine Streckenast beastet. a) Geben Sie für den Bereich wischen den Lagern A und B die Biegeinie w() an! b) Weche Ausenkung ergibt sich für das freie Bakenende C? Zu den Aufgabenteien a) und b): y A B / q 0 1/ C c) Die Ausenkung des freien Endes so nun durch eine usätich wirkende Einekraft F voständig kompensiert werden. Wechen Betrag muss diese Kraft haben, wenn sie wie skiiert im Punkt C angreift? Gegeben:, I yy, E, q 0. Zu Aufgabentei c): A B q 0 F C Zu Aufgabentei b): A B 1/ C f Zu Aufgabentei c): A B C = C A (Biegefa 7) B f + A (Biegefa 8) B C f *

12 Seite 1/14 a) w() = q ( ) 4 0 4EI ( 1 ) + ( ) b) tan α = q ( 0 ) 4EI tan α = f 1 f = q 04 4EI c) Superposition mit Fa 8 aus FS: f = F ( ) EI f = f ( 1 ) ( ) F = 7EIf F = q

13 Seite 1/14 Aufgabe 9 ( 8 Punkte) Gegeben ist ein beastetes Stabwerk (Stabquerschnitt A, Eastiitätsmodu E). Ermitten Sie die Verschiebungen u und w des Kraftangriffspunktes in Foge der Kraft F! Gegeben:, A, E, F. F w u 0-System 1-System S S 4 5 1/ S 4 S 4, S 4, S S 4 S 1 S, S, S 1 K 1 S S S 4, S 4, S F w K u S 1 S, S, S 1 S 4, S 4, 1 S K S 1 S K w u Stabkräfte bedingt durch reae Kraft F : Knoten K : F K = 0 : S + S 4, = 0 S = S 4, F K = 0 : F S 4, = 0 S 4, = F Aus Geometrie: 4 = 5, tan α = 1 S 4 S 4 = 5F S 4, S 4, S 4 = 5 1 = 5 S 4, = F S = S 4, = F Knoten K 1 : F K 1 = 0 : S, = 0 S = S, = 0 F K 1 = 0 : S 1 S, + S = 0 S 1 = S = F

14 Seite 14/14 Arbeitssat: 1 F w = 1 EA 4 i=1 S i i w = 1 F EA 4 Si i i=1 [ 1 w = F EA ( F ) + ( F ) ( 5F ) 5 ] = F ( ) EA = ( ) F EA Stabkräfte bedingt durch virtuee Kraft 1: Knoten K : K F = 0 : S 4, = 0 S 4 = S 4, = 0 K F = 0 : 1 S S 4, = 0 S = 1 Knoten K 1 : K 1 F = 0 : S, = 0 S = S, = 0 K 1 F = 0 : S 1 S, + S = 0 S 1 = S = 1 Arbeitssat: 1 u = 1 EA 4 S i S i i i=1 u = 1 F ( F 1 F ) = 4 EA EA Geometrischer sweg: 1 = 4F, EA = 5F EA 1 P P' u = 1 = 4F EA w = + u mit tan α = 1 sin α tan α w = ( ) F EA