Der Casimir-Effekt in der Kugel-Kugel-Geometrie: Theorie und Anwendung auf das Experiment

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1 Der Casimir-Effekt in der Kuge-Kuge-Geometrie: Theorie und Anwendung auf das Experiment Dissertation zur Erangung des akademischen Grades Dr. rer. nat. eingereicht an der Mathematisch-Naturwissenschaftich-Technischen Fakutät der Universität Augsburg von Stefan Umrath Augsburg, den 7. Jui 2016

2 2 1. Gutachter: Prof. Dr. Gert-Ludwig Ingod 2. Gutachter: Prof. Dr. Thio Kopp Tag der mündichen Prüfung:

3 I N H A LT S V E R Z E I C H N I S i eineitung 5 1 motivation 7 ii theorie 13 2 die maxwe-geichungen in kugekoordinaten Divergenzfreie eektromagnetische Feder Die sphärische Mutipoentwickung Transation der Mutipo-Lösungen Streuung an Kugen Mie-Streuung Inverse Mie-Streuung Streuung an beschichteten Kugen Speziee Anwendung mehrfach beschichteter Kugen: Pasmonic Coaking Der eektromagnetische Response von Festkörpern Übersetzung auf imaginären Frequenzen Transationskoeffizienten Streukoeffizienten Dieektrischer Response Der quasistatische Limes Der Hochfrequenz-Limes 40 3 die casimir-wechsewirkung in der streutheorie Queenbasierte Interpretation des Roundtrip-Operators Die Roundtrip-Matrix der Kuge-Kuge-Geometrie Beschränkung der Mutipobasis Numerische Berechnung der freien Casimir-Energie Die Singe-Roundtrip-Approximation Die Roundtrip-Matrix der Patte-Patte Geometrie Die Proximity Force Approximation 64 iii ergebnisse 67 4 die externe kuge-kuge-geometrie F und S perfekt eitfähiger Kugen im Dipoimes Negative Casimir-Entropie in den Geometrien Kuge- Kuge, Kuge-Patte und Patte-Patte Zusammenhang von negativer Entropie und abstoßenden thermischen Kraftbeiträgen Grenzfäe der Kuge-Kuge-Geometrie Der Dipo-Patte-Limes Der Übergang von der Kuge-Kuge- zur Kuge-Patte- Geometrie 87 3

4 4 Inhatsverzeichnis Der Übergang vom Hochtemperatur- zum Tieftemperaturbereich Vergeich mit der PFA bei keinen Abständen Bezug zum Experiment Poystyren Wasser Quecksiber Poystyren Wasser Poystyren Drude Pasma Kontroverse der casimir-effekt in der internen kuge-kuge-geometrie Der Patte-Patte- und Dipo-Patte-Übergang bei hohen Temperaturen Der Patte-Patte-Grenzfa Der Übergang zur Dipo-Patte-Geometrie Eine Godkuge im Wassertropfen 119 iv schuss diskussion 127 v anhang 131 a speziee funktionen 133 a.1 Die skaare Hemhotz-Geichung in Kugekoordinaten 133 a.1.1 Kugefächenfunktionen 133 a.1.2 Sphärische Bessefunktionen 134 a.1.3 Modifizierte sphärische Bessefunktionen 135 a.2 Die vektoriee Hemhotz-Geichung in Kugekoordinaten 136 a.3 Die Queen der Dipostrahung 136 a.3.1 Der eektrische Dipo 137 a.3.2 Der magnetische Dipo 138 a.4 Gaunt-Koeffizienten 138 b vektorfeder in kugekoordinaten 141 b.1 Die Hansen-Mutipoe 141 b.2 Darsteung der ebenen Wee durch Hansen-Mutipoe 142 b.2.1 Berechnung der Q TE m 142 b.2.2 Berechnung der Q TM m 143 b.3 Die Vektor-Kugefächenfunktionen 143 b.4 Darsteung der Hansen-Mutipoe in Vektor-Kugefächenfunktionen 144 c wichtige beziehungen in kugekoordinaten 145 c.1 Beziehungen zwischen sphärischen und kartesischen Einheitsvektoren 145 c.2 Differentiaoperatoren in Kugekoordinaten 145 d verwendete materiaparameter 147 d.1 Lorentz-Osziator Mode-Parameter 147 iteraturverzeichnis 149

5 Tei I E I N L E I T U N G

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7 1 M O T I VAT I O N Die Fertigung von mikroskopischen eektromechanischen Systemen, sogenannter MEMS, ist in Bereiche vorgedrungen, in denen die ordnungsgemäße Funktion der Maschinen nicht mehr aein auf Basis von Aussagen der kassischen Mechanik und Eektrotechnik gewähreistet werden kann. Ein Effekt, der für MEMS unter anderem berücksichtigt werden muss, beruht auf einer Kraft, die von Hendrik Casimir 1948 vorhergesagt [1] wurde: F Cas = hcπ2 A. (1.1) 240L4 Die Casimir-Kraft (1.1) wirkt am absouten Temperaturnupunkt zwischen perfekt eitenden paraeen Metapatten mit der Oberfäche A, die sich im Abstand L voneinander befinden. Sie ist so gerichtet, dass sich die Metapatten gegenseitig anziehen. Das Panck sche Wirkungsquantum h und die Vakuumichtgeschwindigkeit c verdeutichen, dass es sich um einen quantenmechanischen Effekt handet, der durch das eektromagnetische Fed vermittet wird. Auf Grund des starken Wachstums mit der inversen vierten Potenz des Abstands dominiert die Casimir-Kraft typischerweise bei Abständen im Submikrometerbereich andere Kräfte, wie z. B. die Gravitation und eektrostatische Erscheinungen. Bei der Konstruktion von immer keineren MEMS muss der Casimir-Effekt daher ebenso berücksichtigt werden [2], wie bei Messungen, die die Gütigkeit der bekannten Gesetze der Physik bei keinen Abständen untersuchen. Dazu zähen Versuche, die im Submikrometerbereich nach Abweichungen von bekannten physikaischen Effekten suchen, um entweder Hinweise auf eine fünfte fundamentae Wechsewirkung 1 zu finden, oder diese in bestimmten Parameterbereichen auszuschießen [3 15]. Die Casimir-Kraft (1.1) kann zu den Dispersionswechsewirkungen im weiteren Sinne gezäht werden, zu denen u. a. die van-der-waas sche [16], London sche [17, 18] und die Casimir-Poder-Wechsewirkung [19] zähen. Robert Jaffe vom Massachusetts Institute of Technoogy fasst den Zusammenhang zwischen der van-der-waas- und der Casimir-Wechsewirkung durch die Aussage Die Casimir-Kraft ist eine reativistische, retardierte vander-waas-kraft zwischen den Metapatten zusammen [20] 2. Jaffes Interpretation fogend, kann die Casimir-Wechsewirkung zweier makroskopischer Objekte bei Temperatur Nu dadurch verstanden werden, 1 Die vier bisang bekannten fundamentaen Wechsewirkungen sind die Gravitation, die eektromagnetische Wechsewirkung, die schwache Wechsewirkung und die starke Wechsewirkung. 2 Durch den Verfasser dieser Arbeit aus dem Engischen übersetzt. 7

8 8 motivation dass quantenmechanische Fuktuationen innerhab der Objekte durch den Austausch eektromagnetischer Feder miteinander korreiert sind. Wird von einem Objekt ein Fed ausgesandt, so führt dieses in einem zweiten Objekt dazu, dass eine makroskopische Anzah an Atomen auf das einfaende Fed reagiert. Im Rahmen der Streutheorie [21] kann dann die kassische Eektrodynamik dazu benutzt werden diejenigen Feder zu beschreiben, die zwischen den beiden Objekten hin und her refektiert werden und dabei die Casimir-Wechsewirkung vermitten. Für Metapatten ässt sich deren materiaabhängige Pasmafrequenz as maximae Frequenz interpretieren, bis zu der die Eektronen im Meta an das eektromagnetische Fed koppen. Es ist bemerkenswert, dass Casimirs Resutat (1.1) sebst dann eine endiche Kraft vorhersagt, wenn im Grenzfa perfekt eitfähiger Patten ae Frequenzen von Nu bis Unendich zum Casimir-Effekt beitragen. Vom oben beschriebenen Casimir-Effekt sind der namensverwandte dynamische und der kritische Casimir-Effekt zu unterscheiden. Der 1970 vorhergesagte [22] dynamische Casimir-Effekt [23, 24] besagt, dass im Rahmen der Quantenmechanik von bescheunigten Spiegen Photonen erzeugt werden können. Der Effekt wurde im Jahr 2011 experimente nachgewiesen [25] und unterscheidet sich vor aem durch die dynamischen Randbedingungen vom hier behandeten Casimir-Effekt. Weiterhin muss der kritische Casimir-Effekt abgegrenzt werden. Er tritt in binären Füssigkeiten nahe des kritischen Punktes d. h. nahe eines Phasenübergangs auf, wurde 1978 vohergesagt [26] und 2008 gemessen [27]. Der Effekt entspringt im Gegensatz zum hier behandeten und zum dynamischen Casimir-Effekt rein kassischer Physik und ist verantwortich für Kräfte zwischen Oberfächen, die sich bei Abständen im Mikrometerbereich in einer Füssigkeit befinden. Erste Experimente zur Messung des Casimir-Effekts, der Gegenstand dieser Arbeit ist, fanden bereits in den 50er Jahren statt. Sie gehen auf Overbeek [28], Derjaguin [29] und Sparnaay [30] zurück. In diesen frühen Experimenten stete sich jedoch heraus, dass die Messung der Casimir-Kraft sehr diffizi ist. So konstatierte beispiesweise Sparnaay seinem Experiment nur eine quaitative Übereinstimmung mit der Theorie und deutete seine Messergebnisse in Foge von Messunsicherheiten zurückhatend as nicht im Widerspruch mit Casimirs Vorhersage. Kritischen Einfuss auf die Messgenauigkeit in Casimir-Experimenten haben beispiesweise eektrostatische Kräfte, die von Oberfächenadungen hervorgerufen werden [31, 32]. Außerdem ist die Messung von Kräften zwischen Objekten im Submikrometerbereich anspruchsvo. Das hängt unter anderem damit zusammen, dass die entsprechenden Experimente von Vibrationen abgeschirmt werden müssen, die beispiesweise durch Fahrstühe oder den Straßenverkehr erzeugt werden. Der experimentee Nachweis des Casimir-Effekts wird erst späteren Messungen von Lamoreaux [33] und Mohideen [34] in den Jahren 1997 und 1998 zugeschrieben [35, Kapite 9, Seite 530]. Lamoreaux und Mohideen verwen-

9 motivation 9 deten anstatt zweier Patten eine Patte und eine Kuge. Dadurch ässt sich das Probem vermeiden, mikroskopische Patten parae auszurichten. Praktisch ae heutigen Hochpräzisionsexperimente verwenden eine Patte und eine Kuge bzw. ein Kugesegment und benutzen dabei Torsionspende [33], Rasterkraftmikroskopie [34] und Mikroosziatoren [36] zur Kraftmessung. Typischerweise decken obige Experimente eine Messung der Casimir-Kraft für Oberfächenabstände L ab, die vie keiner sind as der Krümmungsradius R der Kuge. Da die Casimir-Kraft zwischen einer Kuge und einer Patte mit dem Kugeradius wächst, kann für L/R 10 3 bei Mikrometerabständen ein messbares Kraftsigna erreicht werden. Eine Einführung in die experimente verwendeten Techniken zur Messung der Casimir-Kraft geben z. B. [37, Kapite 8-10] und [35, Tei III]. Kontinuieriche Verbesserungen der Versuchsaufbauten haben dazu geführt, dass derzeit Messgenauigkeiten im Bereich einiger Prozent erreicht werden. Damit ist es unter anderem mögich zu studieren, wie der Casimir- Effekt von den Leitfähigkeitseigenschaften der verwendeten Oberfächen abhängt. Auch ist es mögich, den Einfuss thermischer Photonen zu untersuchen. Diese verursachen den Casimir-Effekt, wenn der Oberfächenabstand L die thermische Weenänge λ T = hc/2πk B T übersteigt [38]. k B und T stehen dabei für die Botzmann sche Konstante und die absoute Temperatur in Kevin. Für den Vergeich von Theorie und Experiment wird für keine L/R meist die Derjaguin-Näherung [39] verwendet, weche im Zusammenhang mit dem Casimir-Effekt besser bekannt ist as Proximity Force Approximation (PFA) [40 42]. Die PFA baut auf der Annahme auf, dass sich die Casimir- Energie zweier beiebig geformter Objekte as Integra über die Patte-Patte- Energie paarweise paraeer Oberfächeneemente berechnen ässt. Sie vernachässigt Beugungseffekte, Randeffekte und die Tatsache, dass die Casimir- Wechsewirkung prinzipie nicht additiv ist. Die zu erwartenden Feher der PFA wurden in verschiedenen Geometrien diskutiert [43 55] und sind bis dato Gegenstand der Forschung. Denn sowoh Rechnungen, die für Objekte hoher Symmetrie adäquat sind [21, 56, 57], as auch Methoden der numerischen Eektrodynamik [58 65], die Vorhersagen in beiebigen Geometrien erauben, werden auf Grund von angen Rechenzeiten und enormem Speicherbedarf bei keinen Abständen probematisch. Besonders unbefriedigend ist jedoch, dass es eine Uneinigkeit gibt, was die Beschreibung der Permittivität von Metaen bei tiefen Frequenzen betrifft. Während die in [66, 67] beschriebenen Experimente darauf hindeuten, dass die Permittivität bei tiefen Frequenzen nach dem dissipationsosen Pasma-Mode beschrieben werden muss, werden die Experimente [38, 68] zu Gunsten des dissipativen Drude-Modes interpretiert. Diese Diskrepanz wiegt sehr schwer, da sich die Verwendung des Drude- bzw. Pasma-Modes stark auf die Casimir-Wechsewirkung bei hohen Temperaturen auswirkt. Das Hochtemperaturregime wird bei Raumtemperatur T = 293 K für Abstände oberhab von etwa einem Mikrometer erreicht. Für sehr gut eitende Pasma-Metapatten im Vakuum fogt bei hohen Temperaturen eine dop-

10 10 motivation Abb. 1: Verwendeter Versuchsaufbau zur Messung von Casimir-Kräften in der Kuge-Kuge-Geometrie. Eine Kuge mit dem Radius R 1 wird im Laserstrah einer optischen Pinzette eingefangen. Eine große Kuge mit dem Radius R 2 wird auf einem Gassubstrat fixiert. Die Casimir- Kraft zwischen den beiden Kugen kann berechnet werden, indem mit Hife eines optischen Mikroskops die Ausenkung der eingefangenen Kuge aus dem Fokus des Laserstrahs bestimmt wird. (nach Abb. 1 aus [76]) pet so große Casimir-Kraft wie für entsprechende Drude-Patten [69]. Der Faktor zwei zwischen den beiden Kraftvorhersagen begründet sich darin, dass im Drude-Mode nur quasistatische Feder transversa-magnetischer Poarisation eine Roe spieen, wohingegen in einem entsprechenden Pasma- Mode zusätzich auch transversa-eektrisch poarisierte Feder berücksichtigt werden müssen. Befürworter des Pasma-Modes argumentieren, dass die Verwendung des Drude-Modes für Metae in Kombination mit perfekten Kristagittern auf negative Casimir-Entropie am absouten Nupunkt führt und damit den dritten Hauptsatz der Thermodynamik veretzt [70]. Diesem Argument für das Pasma-Mode steht jedoch gegenüber, dass Metae über eine endiche Geichstromeitfähigkeit verfügen, weche nicht durch ein Pasma-, jedoch durch ein Drude-Mode beschrieben werden kann. Weiterhin wird bei der Hereitung der Lifshitz-Forme [71, 72], weche die Grundage für die Berechnung von Casimir-Wechsewirkungen darstet, Dissipation vorausgesetzt [73, 74]. Einen Einbick in die Entropie-Kontroverse verschaffen z. B. [75] und [37, S. 299 ff.]. Im Jahr 2015 wurde an der Universidade Federa do Rio de Janeiro (UFRJ) ein neuartiges Experiment vorgeschagen [76], weches erstmas die Messung von Casimir-Wechsewirkungen zwischen zwei Kugen ermögicht. Der Versuchsaufbau ist in Abb. 1 skizziert. Er verwendet eine optische Pinzette und zwei Kugen, deren Radien R 1 und R 2 im Mikrometerbereich iegen.

11 motivation 11 Beide Kugen befinden sich zwischen Gaspatten in einer wässrigen Lösung mit dem Brechungsindex n Md. Eine der beiden Kugen ist dieektrisch, hat den Brechungsindex n 1 und besteht im Experiment aus Poystyren. Die Poystyrenkuge kann im Laserstrah einer optischen Pinzette eingefangen und in die Nähe der zweiten Kuge gebracht werden. Diese ist auf einer Gasoberfäche fixiert und ihr Materia kann im Prinzip beiebig gewäht werden. Kräfte zwischen den beiden Kugen können berechnet werden, indem die Ausenkung der dieektrischen Kuge aus dem Fokus des Laserstrahs mit Hife eines optischen Mikroskops erfasst wird. Da die effektive Federkonstante der Laserfae bei nur wenigen Miiwatt Lasereistung sehr gering ist, assen sich Femto-Newton (10 15 N) Kräfte zwischen den Kugen detektieren [77]. Neben der Fexibiität, das Materia einer Kuge und das des füssigen Mediums zwischen den Kugen praktisch beiebig wähen zu können, ergibt sich die Mögichkeit von Messungen bei Werten von L/R, die einerseits außerhab des Gütigkeitsbereichs der PFA iegen und für die andererseits thermische Beiträge zur Casimir-Kraft eine wichtige Roe spieen. Die voriegende Arbeit beschäftigt sich mit der Berechnung der Casimir- Wechsewirkung zweier Kugen im Rahmen der Streutheorie. Es wurde eine Software entwicket, weche es für beiebige Materiaeigenschaften eraubt Casimir-Wechsewirkungen zwischen radiasymmetrischen Objekten zu bestimmen. Auf Grund der Variierbarkeit zweier Kugeradien R 1, R 2 und des Abstands L ist es in der Kuge-Kuge-Geometrie mögich das Dipo-Dipo- Regime (L R 1, R 2 ) ebenso studieren, wie das Dipo-Patte-artige Casimir- Poder (R 2 L R 1 ) und das durch die PFA beschriebene Patte-Patte- Regime (L R 1, R 2 ). Auf Grund dieser Fexibiität können die Ursachen für negative Casimir-Entropie in den drei Geometrien Kuge-Kuge, Kuge- Patte und Patte-Patte diskutiert werden [78, 79]. Neben diesen theoretischen Fragesteungen besteht ein Bedarf an theoretischen Kraftvorhersagen für Materiakombinationen, die im Experiment der UFRJ eingesetzt werden. Die Verwendung eines wässrigen Mediums zwischen einer metaischen und einer dieektrischen Kuge ermögicht es, in ein und derseben Geometrie zwischen Casimir-Anziehung und Casimir- Abstoßung umzuschaten, indem der Sazgehat des Wassers variiert wird. Ein theoretisches Verständnis dieses Effekts ist daher nicht nur für das Experiment, sondern auch im Hinbick auf die Anwendung in künftigen Mikromaschinen von großem Interesse. Diese Arbeit besteht aus fünf Teien. Tei II iefert eine Einführung in die Eektrodynamik in Kugekoordinaten. In den Kapiten werden einige wichtige Eigenschaften sphärischer Mutipofeder ebenso besprochen, wie die Streuung eektromagnetischer Ween an sphärischen Objekten und die Modeierung dieektrischer Materiaeigenschaften. Eine Übersetzung auf imaginäre Frequenzen in Kapite 2.6 schießt den Grundagentei ab und ermögicht den Anschuss an Kapite 3, weches den Matsubara-Formaismus zur Bestimmung der Casimir-Wechsewirkung zweier Objekte bei rein imaginären Matsubara-Frequenzen einführt. Die im Grundagentei eingeführten

12 12 motivation Mutipofeder werden hier benutzt, um die Casimir-Wechsewirkung zweier Kugen im Rahmen der Streutheorie zu bestimmen und einige Schüsseeemente der numerischen Impementierung zu erkären. Anschießend wird die Patte-Patte-Geometrie aufgegriffen und die PFA für zwei Kugen beschrieben. In Tei III werden die Ergebnisse dieser Arbeit präsentiert. Kapite 4 beschäftigt sich mit der Casimir-Wechsewirkung zweier räumich getrennter Kugen. Bei großen Abständen zwischen den Kugen wird die Casimir- Energie in die Beiträge unterschiedicher Poarisationen des eektromagnetischen Feds zeregt. In Kapite 4.1 wird die Poarisationsanayse benutzt, um der Ursache negativer Casimir-Entropie auf den Grund zu gehen. Während für zwei Metapatten negative Casimir-Entropie auf Dissipation in den Patten [80, 81] zurückgeführt werden kann, tritt in der Patte-Kuge- [82] und in der Kuge-Kuge-Geometrie [83] negative Casimir-Entropie schon für perfekt eitfähige Objekte auf. Damit ist für zwei Kugen bzw. eine Kuge und eine Patte bereits aein die Geometrie für negative Casimir-Entropie verantwortich. Eine Diskussion negativer Casimir-Entropie geometrischen [78] und zusätzich dissipativen Ursprungs [79] ermögicht es zu verstehen, wie in den drei genannten Geometrien negative Entropie entstehen kann. Für zwei Kugen mit sehr unterschiedichen Kugeradien wird im Abschnitt 4.2 außerdem der Kuge-Patte-Grenzfa studiert und für geringe Oberfächenabstände die Gütigkeit der PFA untersucht. Kapite 4.3 widmet sich der freien Casimir-Energie und der Casimir-Kraft in Bezug auf Experimente an der UFRJ, die Poystyren- und Quecksiberkugen in Wasser verwenden. In Kapite 5 wird die interne Kuge-Kuge-Geometrie behandet. Sie besteht aus einer sphärischen Kavität und einer darin enthatenen Kuge. Bei hohen Temperaturen wird anaytisch der Patte-Patte- und der Dipo-Patte- Grenzfa untersucht und es wird gezeigt, dass ein Godpartike in einem sphärischen Wassertropfen auf Grund der Casimir-Kraft schweben kann, wenn sich der Tropfen an Luft befindet. Eine Zusammenfassung aer Resutate erfogt in Tei IV. Rechnungen, die sebst für den Theorietei zu forma erscheinen, befinden sich in Tei V, dem Anhang.

13 Tei II T H E O R I E

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15 2 D I E M A X W E L L - G L E I C H U N G E N I N K U G E L K O O R D I N AT E N Um den Casimir-Effekt für zwei Kugen verstehen zu können, muss ein eektromagnetisches Zweikörper-Streuprobem geöst werden. Da sich die Streuung an einer Kuge am einfachsten in Kugekoordinaten beschreiben ässt, iefert dieses Kapite eine kompakte Einführung in Lösungen der Maxwe- Geichungen in Kugekoordinaten. Anschießend wird die Mutipoentwickung besprochen, wie sich Mutipoösungen bei Transationen des Koordinatensystems entang der z-achse verhaten und wie sich die Streuung eektromagnetischer Ween an Kugen beschreiben ässt. Da die Streuung an einer Kuge von den Materiaeigenschaften des Kugematerias abhängt, wird das Drude-Lorentz-Mode für die reative Permittivität kurz eräutert. Der Matsubara-Formaismus zur Beschreibung der Casimir-Wechsewirkung erfordert Rechnungen bei rein imaginären Frequenzen ω = iξ mit der imaginären Einheit i = 1 und ξ R. Daher schießt der Theorietei damit ab, die genannten Ausdrücke auf imaginäre Frequenzen zu übersetzen. divergenzfreie eektromagnetische feder Die Grundage für jedes Probem des Eektromagnetismus sind die Maxwe- Geichungen, weche unter Berücksichtigung geeigneter Randbedingungen die eektrischen und magnetischen Feder 1 E und H bzw. die eektrische und die magnetische Fussdichte D und B beschreiben, wenn eine Ladungsdichte ρ und eine Stromdichte j vorhanden sind: D = ρ, (2.1a) B = 0, (2.1b) E = t B, (2.1c) H = j + t D. (2.1d) 1 Vektoren und Vektorfeder sind durchweg fett gesetzt und ihre Abhängigkeit von der Zeit t und dem Ort r wird bis auf einige Ausnahmen nicht expizit ausgeschrieben. Einheitsvektoren sind durch das Tragen eines Dachs gekennzeichnet (z. B. ˆr). 15

16 16 die maxwe-geichungen in kugekoordinaten Abb. 2: Die verwendete Konvention der Kugekoordinaten. Der Ortsvektor r eines Punktes P wird in Kugekoordinaten durch die Länge r des Pfeis und durch Angabe des Poarwinkes θ und Azimutwinkes φ angegeben. Diese beschreiben den Winke zwischen r und der positiven z-achse, θ [0, π], bzw. den Winke zwischen der Projektion von r in die xy-ebene und der positiven x-achse, φ [0, 2π).

17 2.1 divergenzfreie eektromagnetische feder 17 Während die erste und die zweite Maxwe-Geichung die Divergenz der Fussdichten festegen, beschreiben die dritte und die vierte Maxwe-Geichung die Rotation der Fedstärken. Die Fussdichten hängen dabei über die Beziehungen D = ɛ 0 E + P, (2.2a) B = µ 0 (H + M) (2.2b) mit der makroskopischen Poarisation P und der Magnetisierung M zusammen, die in Materie auftreten können. ɛ 0 und µ 0 bezeichnen die Permittivität bzw. Permeabiität des Vakuums. Unter Benutzung der Fourier-Zeregung ässt sich jedes zeitiche Signa in Frequenzanteie mit der Kreisfrequenz ω zeregen. Dies ermögicht eine getrennte Bestimmung der Ortsabhängigkeit der Feder aus (2.1) für jede Frequenz ω E (r, t) = e iωt E (r). (2.3) Die Wah des negativen Vorzeichens für die harmonische Zeitabhängigkeit ist eine gängige Konvention in der theoretischen Physik. Um die Maxwe-Geichungen in Materie ösen zu können, muss ein Zusammenhang zwischen den Fussdichten und Fedstärken spezifiziert werden. Lineare und isotrope Materiaien zeichen sich dadurch aus, dass die Fussdichten D und B inear von den Fedstärken E und H abhängen D = ɛe = ɛ 0 ɛ r E, (2.4a) B = µh = µ 0 µ r H. (2.4b) Die reative Permittivität ɛ r und die reative Permeabiität µ r sind dann ortsunabhängige Skaare, weche beschreiben, wie das jeweiige Materia auf äußere eektrische und magnetische Feder reagiert. Sie nehmen für Luft annähernd ihren Vakuumwert ɛ r = µ r = 1 an. Aternativ ist eine Beschreibung über die eektrischen und magnetischen Suszeptibiitäten χ e bzw. χ m mögich, die im Rahmen der inearen Response Theorie beschreiben, weche Poarisation P bzw. Magnetisierung M P(ω) = ɛ 0 χ e (ω)e(ω) (2.5a) M(ω) = χ m (ω)h(ω) (2.5b) von den Fourierkomponenten zur Frequenz ω des eektrischen bzw. magnetischen Feds E bzw. H in einem Medium hervorgerufen werden. Da in dieser Arbeit nur isotrope Materiaien betrachtet werden, hängen die Gn. (2.5a) und (2.5b) nicht expizit vom Ort r ab. Für ɛ r und χ e bzw. µ r und χ m ergibt sich mit Hife der Gn. (2.4a,2.4b) und (2.2a,2.2b) der Zusammenhang ɛ r = 1 + χ e, (2.6a)

18 18 die maxwe-geichungen in kugekoordinaten µ r = 1 + χ m. (2.6b) Maxwes Wirbegeichungen (2.1c, 2.1d) führen unter Benutzung von (2.4) im adungs- und stromfreien Raum (ρ = 0, j = 0) nach Anwendung der Rotation sowoh für das eektrische, as auch für das magnetische Fed auf die homogene vektoriee Hemhotzgeichung (s. Anhang A.2) ( ) { } + ω 2 E µɛ = 0. (2.7) H Divergenzfreie Vektorfeder F, weche (2.7) erfüen und auseinander durch Anwendung der Rotation hervorgehen, können in Kugekoordinaten auf Grund der Beziehung F = 0 eicht konstruiert werden. Die Hansen-Mutipoe [84] M m = rz (kr)y m = ( + 1) [ ˆθ sin θ ] φ Y m ˆφ θ Y m z (kr) ( + 1), (2.8a) ( N m = 1 k M 1,m = kr ( + 1) ˆr ( + 1) kr [ ] ) + ˆθ θ + ˆφ 1 krz sin θ φ (kr) (kr)y m, (2.8b) sind auf Grund ihrer Divergenzfreiheit und der Eigenschaften M m = N m /k, N m = M m /k idea, um eektromagnetische Feder im queenfreien Raum in Kugekoordinaten (s. Abb. 2) zu beschreiben. M m und N m sind nur für 1 normierbar und für = 0 geich Nu zu wähen. Die Weenzah k = ωn/c gibt an, wie stark sich die Vektorfeder M m und N m mit dem Ort ändern, wenn sich ein Fed der Frequenz ω im Medium mit dem Brechungsindex n ausbreitet. Sie hängen über die Kugefächenfunktionen Y m [85] vom Azimutwinke φ und dem Poarwinke θ ab. Sphärische Bessefunktionen [86] z bzw. die Funktion z (x) = d dx [ xz (x) ] (2.9) beschreiben die Abhängigkeit von der Radiakoordinate r. Mit Hife von (2.9) ässt sich das Vektorfed N m noch etwas kompakter schreiben: [ 1 N m = kr ˆr( + 1)z (kr) + ( + 1) ˆθ θ + ˆφ 1 sin θ ] φ z (kr) Y m. (2.10) Die Beziehung rψ = r ψ zeigt, dass das Vektorfed M m keine radiae Komponente besitzt und nur transversa zur Ausbreitungsrichtung schwingt.

19 2.1 divergenzfreie eektromagnetische feder 19 Sowoh M m as auch N m sind Eigenfunktionen des Quadrats des Drehimpusoperators L = ir bzw. seiner z-komponente L z : { } L 2 Mm = ( + 1) N m { } Mm L z = m N m { Mm { Mm N m N m }, (2.11a) }. (2.11b) Die Parameter und m können daher as Drehimpus bzw. z-komponente des Drehimpuses der Vektorfeder (2.8a) und (2.8b) bezeichnet werden. Wird M m verwendet um das eektrische Fed zu beschreiben, so spricht man von transversa-eektrisch- bzw. TE-poarisierten Federn. Anaog steht der Begriff des transversa-magnetisch bzw. TM-poarisierten Feds für die Situation H M m. Die Abhängigkeit von der radiaen Koordinate r erfogt nur über die sphärischen Bessefunktionen z, weche so gewäht werden können, dass die Vektorfeder M m und N m entweder reguär im Ursprung sind, z = j, oder ausaufende Feder beschreiben im r e iωt h (1) (kr) = i 1 ei(kr ωt) kr, (2.12) deren Weenfronten, d. h. Oberfächen konstanter Phase kr ωt, sich in weiter Entfernung vom Koordinatenursprung radia nach außen ausbreiten. G. (2.12) zeigt, dass die Interpretation der h (1) as ausaufende Feder an die weiter oben vereinbarte Konvention für die Zeitabhängigkeit exp ( iωt) gebunden ist. Die gewähte Schreibweise [87, S. 697] des Vektorfeds N m in G. (2.8b) macht deutich, dass der Betrag der Radiakomponente N m ˆr gegenüber den Winkeanteien N m ˆθ und N m ˆφ für kr 1 unterdrückt ist: N m ˆr N m ˆφ N m ˆr N m ˆθ 1 kr. (2.13) Somit besitzen sowoh M m, as auch N m einige Weenängen vom Ursprung entfernt in guter Näherung keine radiae Komponente mehr. Die eingeführten Hansen-Mutipoe erfüen für z = h (1) daher die Sommerfed sche Ausstrahungsbedingung und der Poynting-Vektor S = E H, (2.14) wecher die vom Fed transportierte Leistung pro Fäche angibt, zeigt in weiter Entfernung vom Ursprung radia nach außen. steht dabei für die kompexe Konjugation. Weitere Detais zu den verwendeten Konventionen bzg. der spezieen Funktionen finden sich im Anhang A.

20 20 die maxwe-geichungen in kugekoordinaten die sphärische mutipoentwickung Mit Hife der Vektorfeder M m und N m assen sich divergenzfreie Vektorfeder darsteen. Um auch beiebe eektrische Feder in Anwesenheit von Fedqueen beschreiben zu können muss zu den Hansen-Mutipoen das divergenzbehaftete ongitudinae Vektorfed L m = ˆrY m z (kr) hinzugenommen werden (s. Anhang B.3). Ein agemeines eektrisches Fed E kann dann as Linearkombination von L m, M m und N m dargestet werden: E (r) = =0 m= Q ong m L m(r) + Q TE m M m(r) + Q TM m N m(r). (2.15) Die Mutipo-Koeffizienten Q m assen sich auf Grund der Orthogonaitätseigenschaften der Vektor-Kugefächenfunktionen (siehe Anhang B.3) berechnen zu: Q ong m = 1 dω E L m L m, (2.16a) B(1) Q TE m = 1 dω E M m M m, (2.16b) B(1) Q TM m = 1 dω E N m N m. (2.16c) B(1) B(1) bezeichnet die Oberfäche der Einheitskuge B(1) und dω = sin(θ)dθdφ ist das Oberfächeneement in Kugekoordinaten. Die Normierungen betragen: L m = dω L m 2 = 1, (2.17a) N m = B(1) M m = B(1) B(1) dω M m 2 = z 2 (kr), (2.17b) dω N m 2 = 1 (kr) 2 [ ( + 1)z 2 (kr) + ( kr krz (kr) ) 2 ]. (2.17c) Sind keine eektrostatischen Fedqueen vorhanden, so verschwinden die ongitudinaen Koeffizienten Q ong = 0. Die Summe über startet dann erst m bei = 1, da M 00 und N 00 geich Nu sind. Möchte man das Fed E innerhab eines queenfreien Voumens beschreiben, weches den Koordinatenursprung enthät, so darf die Radiaabhängigkeit nur durch sphärische Bessefunktionen erster Art j beschrieben werden, da andernfas eine unphysikaische Divergenz im Koordinatenursprung voriegen würde. Bei Streuprobemen kann das Gesamtfed E außerhab des Streuzentrums geschrieben werden as mit dem im Ursprung reguären einfaenden Fed E = E ein + E streu, (2.18) E ein j (kr), (2.19a)

21 2.2 die sphärische mutipoentwickung 21 und dem gestreuten ausaufenden Fed E streu h (1) (kr), (2.19b) weches sich radia nach außen ausbreitet. As Beispie für die sphärische Mutipoentwickung so nun eine x-poarisierte ebene Wee durch die Hansen-Mutipoe ausgedrückt werden. Die Propagation der Wee erfoge in z-richtung, womit sich der eektrische Fedvektor der Wee schreiben ässt as: E = E 0 ˆxe iωt+ikr cos θ. (2.20) E 0 bezeichnet die Ampitude der eektrischen Fedstärke und das zu (2.20) gehörende Magnetfed berechnet sich gemäß H = i µω E zu: H = 1 µc E 0ŷe iωt+ikr cos θ. (2.21) Der über eine Schwingungsperiode gemittete Poynting-Vektor S = 1 2 R (E H ), (2.22) definiert die Richtung des Energiefusses obiger ebener Wee. R bedeutet dabei, dass der Reatei des Kreuzprodukts zu nehmen ist. S zeigt für die ebene Wee (2.20,2.21) in die Richtung der positiven ẑ-achse, wie dies bei einer Propagation in z-richtung erwartet wird: S = n E2 2µc 0ẑ. (2.23) Es git nun, nach G. (2.15) die Mutipokoeffizienten Q TE m und QTM m aus den Gn. (2.16c, 2.16b) zu finden. Da die ebene Wee divergenzfrei ist verschwindet der ongitudninae Koeffizient Q ong m. Am einfachsten geingt die Berechnung der TE- und TM-Mutipokoeffizienten, indem der Einheitsvektor ˆx in Kugekoordinaten dargestet wird (siehe G. (C.6)). Die reevanten Integrationsschritte befinden sich im Anhang B.2 und enden in Q TE,x m = E 0i +1 (2 + 1)πδ m,±1, (2.24a) Q TM,x m = ±Q TE,x m, (2.24b) wobei das Superskript x expizit die Poarisation der Wee notiert. Die Mutipodarsteung einer y-poarisierten ebenen Wee erhät man sehr einfach durch Anwendung der Rotation auf (2.15): Q TE,y m = iqtm,x m (2.25a) Q TM,y m = iqte,x m (2.25b)

22 22 die maxwe-geichungen in kugekoordinaten r 1 P y r 2 y x x z d z O 1 O 2 Abb. 3: In zwei Koordinatensystemen O 1 bzw. O 2, die gegeneinander entang der gemeinsamen z-achse verschoben sind, besitzt der Punkt P verschiedene Ortsvektoren r 1 bzw. r 2. Während in kartesischen Koordinaten nur die z-koordinate des Punktes P in beiden Koordinatensystemen verschieden ist, weichen in Kugekoordinaten sowoh der Winke θ, as auch der Abstand vom jeweiigen Koordinatenursprung r in beiden Koordinatensystemen voneinander ab. Erhaten ist jedoch der Azimutwinke φ. transation der mutipo-ösungen Die Mutipoentwickung des vorangegangen Abschnitts eignet sich besonders gut für die Beschreibung von eektromagnetischen Federn, weche von okaisierten Strahungsqueen ausgesandt werden. As Queen fungieren in diesem Sinne auch Objekte, die sich in einem äußeren Fed befinden und dieses streuen. Sind mehrere socher Streuer vorhanden, so macht die Beschreibung wechseseitiger Streuvorgänge einen Wechse des Koordinatensystems erforderich. Das Fed, weches in einem Koordinatensystem O 1 ausgesandt wird, so dabei in einem verschobenen Koordinatensystem O 2 ausgedrückt werden. Abb. 3 zeigt den Wechse des Koordinatensystems für Verschiebungen entang der z-achse. Bei derartigen Transationen ist die Drehimpuszah m der Hansen-Mutipoe erhaten. Im queenfreien Raum assen sich eektromagnetische Feder aein aus den Vektorfedern M m und N m zusammensetzen. Die Transationskoeffizienten T sind dann Lösungen der Geichungen M m (r 1 ) = Tm, PP m (d)m m (r 2) + Tm, PP m (d)n m (r 2), (2.26) m N m (r 1 ) = Tm, PP m (d)n m (r 2) + Tm, PP m (d)m m (r 2). (2.27) m Sie beschreiben, weche Gestat ein Mutipofed mit den Drehimpuseigenwerten (, m) im Koordinatensystem O 1 im verschobenen Koordinatensystem O 2 besitzt.

23 2.4 streuung an kugen 23 Die Koeffizienten wurden auf unterschiediche Weise und in sehr verschiedenen Darsteungen berechnet [88 93] und können für Transationen entang der z-achse geschrieben werden as: T PP 1, 2 ;m 1 (d) = T PP 1, 2 ;m (d) ( 1)m π(±i) ( 1 + 1) 2 ( 2 + 1) Y 1, 2, m,m,0 i (2 + 1) = 1 2 { j (kd) c PP 1, 2,,m h (1) (kd) }. (2.28) Da sich der Winke φ bei Transationen in z-richtung nicht ändert ist die Drehimpuszah m bei derartigen Transationen erhaten. Die geschweifte Kammer ässt Transationen der Hansen-Mutipoe zu, bei denen ihr Charakter entweder erhaten beibt (j j bzw. h (1) h (1) ) oder sich verändert (h (1) j ). Der Koeffizient { } { c PP 1, 2,,m = 1 ( 1 + 1) + 2 ( 2 + 1) ( + 1) für 2im(±1)kd P = P P = P } (2.29) sieht für Poarisationserhatung P = P und für Poarisationsmischung P = P unterschiedich aus. Die sechsfach indizierten Koeffizienten Y in (2.28) sind Gaunt-Koeffizienten [94], weche im Anhang A.4 genauer beschrieben werden. Im Vorzeichenfaktor ± steht (+) für eine Transation entang der positiven z-achse und (-) für eine Transation in die entgegengesetzte Richtung. Eine wichtige Eigenschaft der Transationskoeffizienten (2.28) ist, dass bei Verschiebungen entang der z-achse die Projektion m des Drehimpuses auf die z-achse erhaten ist, woh aber die Poarisationen bei einem Wechse des Koordinatensystems mischen. streuung an kugen Die Streuung eektromagnetischer Strahung an Kugen wurde bereits von Ludvig Lorenz um 1890 beschrieben [95]. Sie ist heute besser bekannt unter dem Begriff Mie-Streuung, benannt nach ihrem Neuentdecker Gustav Mie [96]. Die Streuung von eektromagnetischen Ween an einem makroskopischen Objekt kommt dadurch zu Stande, dass im Kugemateria negativ geadene Eektronen und positiv geadene Atomrümpfe auf das einfaende eektromagnetische Fed reagieren. Diese Reaktion äußert sich in Form eines gestreuten eektrischen Feds E streu, weches sich im Außenraum des Streuers mit dem einfaenden Fed E ein zum Gesamtfed E e = E ein + E streu (2.30) überagert. Die zugehörigen Magnetfeder ergeben sich mit Hife der dritten Maxwe-Geichung (2.1c) aus dem eektrischen Fed. Das gestreute Fed muss die Sommerfed sche Ausstrahungsbedingung erfüen [87, S. 724], da

24 24 die maxwe-geichungen in kugekoordinaten es Energie vom Streuzentrum radia nach außen transportiert, während das einfaende Fed außerhab seines Quebereichs reguär sein muss. Während in einem guten Leiter freie Ladungsträger so weit verschoben werden, dass sein Innenbereich fedfrei wird, E i = 0, sind Dieektrika nicht in der Lage, Feder voständig aus ihrem Inneren zu verdrängen. Ganz agemein assen sich die Randbedingungen des eektrischen und magnetischen Feds durch die Geichungen [97, S. 18 ff.] (E i E e ) = 0, (2.31a) tan (H i H e ) = 0 tan (2.31b) erfassen, weche aussagen, dass die tangentiaen Fedkomponenten auf beiden Seiten einer stromfreien Grenzfäche stetig sind. Im Fae der Streuung an einer Kuge bezeichnen E i und H i das eektrische Fed bzw. magnetische Fed im Kugeinneren und E e bzw. H e sebige im Außenraum. Nachfogend werden die obigen Randbedingungen für Mutipofeder geöst und dabei zwei sehr unterschiediche Streusituationen betrachtet. Zunächst wird die gewöhniche Mie-Streuung behandet, bei der Strahung von einer Quee außerhab einer Kuge ausgeht und anschießend auf die Kuge trifft. Dort angekommen dringt die Strahung zum Tei in die Kuge ein und wird refektiert (s. Abb. 4a)). Im Anschuss wird die inverse Situation betrachtet (s. Abb. 4b)). Hier befindet sich eine Strahungsquee im Inneren einer Kuge und es sind die in das Kugeinnere zurück gestreuten, sowie die in den Außenraum transmittierten Feder gesucht. Abgeschossen wird dieses Kapite durch die Formuierung der Streuung an beschichteten Kugen und einer Anwendung mehrfach beschichteter Kugen, der pasmonischen Tarnung. Mie-Streuung Der Ausgangspunkt für die Beschreibung der Mie-Streuung ist die Darsteung des von einer Strahungsquee emittierten Feds E ein in der Basis der transversa-eektrischen und transversa-magnetischen Hansen-Mutipoe. Da das einfaende Fed im Außenbereich seiner jeweiigen Quee beschrieben wird, kommen nur reguäre Bessefunktionen für seine Radiaabhängigkeit in Frage. Auf Grund der Orthogonaität von M m und N m bezügich der Integration über die Oberfäche der Einheitskuge ist die Streuung an einer isotropen Kuge mit skaarer Permittivität ɛ i und Permeabiität µ i in der Mutipobasis diagona. Es vermischen demnach weder die Poarisationen, noch die Drehimpuse bei der Streuung. Daher assen sich die Randbedingungen für eektromagnetische Feder, deren eektrischer Fedvektor durch M m bzw. N m beschrieben wird, unabhängig voneinander formuieren. Wie sich zeigen wird, hängen die Streueigenschaften einer Kuge stark von dem dimensionsosen Parameter ρ = 2πnR/λ ab, der den Kugeradius R zur We-

25 2.4 streuung an kugen 25 gestreutes Fed transmittiertes Fed gestreutes Fed transmittiertes Fed Strahungsquee Strahungsquee a) b) Abb. 4: a) Bei der gewöhnichen Mie-Streuung befindet sich eine Strahungsquee außerhab einer Kuge. Eektromagnetische Ween, die von der Quee erzeugt werden und auf die Kugeoberfäche treffen werden einerseits ins Kugeinnere transmittiert und andererseits refektiert. b) Die inverse Mie-Streuung beschreibt die Situation einer Strahungsquee, weche im Inneren einer kugeförmigen Kavität patziert ist. Beim Auftreffen von Strahung auf der Kugeinnenseite kommt es zu einer Refexion zurück in das Kugeinnere und zu einer Transmission in den Außenraum. enänge λ/n mit dem Brechungsindex n des Mediums (ρ = ρ e ) bzw. der Kuge (ρ = ρ i ) ins Verhätnis setzt. Die Stetigkeitsbedingungen (2.31) assen sich auf einer Kugeoberfäche mit Radius r = R anschreiben, indem jeweis entweder das eektrische oder das magnetische Fed proportiona zum rein transversaen Vektorfed M angesetzt wird. Für den TE-poarisierten Antei einer einfaenden eektromagnetischen Wee ergeben sich aus der Kontinuität des E- und H-Feds die Geichungen b h (1) (ρ e ) + B j (ρ e ) = c j (ρ i ), (2.32a) b h(1) (ρ e )/µ e + B j (ρ e )/µ e = c j (ρ i )/µ i. (2.32b) Die entsprechenden Geichungen für den TM-poarisierten Antei des einfaenden Feds auten: a h (1) (ρ e ) + A j (ρ e ) = d j (ρ i ) (2.33a) a h(1) (ρ e )/ɛ e + A j (ρ e )/ɛ e = d j (ρ i )/ɛ i (2.33b) Die inke bzw. rechte Seite der Geichungen (2.32,2.33) steen die Radiaabhängigkeit der Feder direkt außerhab der Kuge (ρ = ρ e ) bzw. an der Innenseite der Kugeoberfäche (ρ = ρ i ) dar. Im Kugeinneren finden nur reguäre Bessefunktionen j (ρ) bzw. j (ρ) = ρ ρj (ρ) Verwendung, da die Kuge as ungeaden angenommen wurde und dementsprechend die Fedstärken im Ursprung endich sein müssen. Im Außenraum kann die Radiaabhängigkeit

26 26 die maxwe-geichungen in kugekoordinaten der Feder gemäß G. (2.30) aus einer Überagerung von reguären einfaenden E ein j (ρ) bzw. E ein j (ρ) und gestreuten Fedanteien E streu h (1) h (1) bzw. E streu (ρ) angesetzt werden. A und B bzw. a und b stehen für die Ampituden des TM- und des TE-poarisierten Anteis des einfaenden bzw. refektierten Feds. c und d beschreiben die TE- und TM-poarisierten Fedanteie im Kugeinneren. Sie verschwinden für perfekt eitfähige (PC) Kugen (c PC = d PC = 0. ), da deren Permittivität divergiert ɛ i (ω) und somit eine Transmission ins Kugeinnere unterbunden wird. In diesem Fa ergeben sich die Streuampituden a PC = A j (ρ e ) h(1) (ρ e ), (2.34a) b PC j = B (ρ e ) h (1) (ρ e ). (2.34b) In einem konkreten Streuprobem ist die Gestat der einfaenden Wee gegeben, womit A und B den Mutipomomenten Q TM m und QTE m aus Kapite 2.2 entsprechen. Die Streuung einer perfekt eitfähigen Kuge hängt somit nur noch über ρ e vom Brechungsindex n e des Mediums ab, das die Kuge umgibt. Für homogene Kugen, deren Materiaeigenschaften im Agemeinen durch eine frequenzabhängige Permittivität und Permeabiität beschrieben werden müssen, ergibt das Aufösen der Gn. (2.32,2.33) die Koeffizienten a, b, c und d : j a = A (ρ i )j (ρ e )ɛ e j (ρ e )j (ρ i )ɛ i j (ρ i )h (1), (2.35a) (1) (ρ e )ɛ e h (ρ e )j (ρ i )ɛ i j b = B (ρ i )j (ρ e )µ e j (ρ e )j (ρ i )µ i j (ρ i )h (1), (2.35b) (1) (ρ e )µ e h (ρ e )j (ρ i )µ i [ h(1) ] (ρ e )j (ρ e ) j (ρ e )h (1) (ρ e ) µ i c = B j (ρ i )h (1), (2.35c) (1) (ρ e )µ e h (ρ e )j (ρ i )µ i [ h(1) ] (ρ e )j (ρ e ) j (ρ e )h (1) (ρ e ) ɛ i d = A j (ρ i )h (1). (2.35d) (1) (ρ e )ɛ e h (ρ e )j (ρ i )ɛ i Die Geichungen (2.35) steen die voständige Lösung des externen Streuprobems dar, bei dem eine reguäre einfaende Wee in eine ausaufende Wee gestreut wird. Die TM-Mutipoanteie A einer einfaenden Wee regen in der Kuge eektrische Mutipoe, d. h. Osziationen der Ladungsdichte an, während die TE-Mutipoanteie B im Kugeinneren Ringströme verursachen. In dieses Bid passt, dass a und b bzw. d und c auseinander hervorgehen, wenn in den Koeffizienten (2.35) die Roe der eektrischen und magnetischen Materiaeigenschaften vertauscht, d. h. die Ersetzungen ɛ µ vorgenommen werden.

27 2.4 streuung an kugen 27 Der Grenzfa, dass das einfaende Fed E ein kaum über den Querschnitt der Kuge variiert, d. h. λ/n e R, verdient bei der Diskussion der Mie- Streuung eine gesonderte Behandung. Um Redundanz zu vermeiden, wird diese Diskussion an das Ende von Kapite 2.6 verschoben. Inverse Mie-Streuung Ein in der Literatur nur seten diskutiertes Probem ist die Beschreibung der Streuung einer Wee, die sich im Inneren einer Kuge radia nach außen ausbreitet und an der Kugeinnenseite refektiert bzw. transmittiert wird. Dieses Probem tritt im Rahmen des Casimir-Effekts auf, wenn sich Objekte innerhab einer kugeförmigen Kavität befinden. Das Fed, weches von einer Quee im Inneren der Kavität ausgesendet wird, ist hierbei as bekannt anzunehmen. Gesucht sind die Ampituden für die Transmission in den Außenbereich der Kuge bzw. für das in den Innenraum zurück refektierte Streufed. In Anaogie zur gewöhnichen Mie-Streuung assen sich die Stetigkeitsbedingungen für die TE-poarisierten Anteie c 1 h (1) (ρ e ) = B h (1) (ρ i ) + b 1 j (ρ i ) (2.36a) c 1 h(1) (ρ e )/µ e = B h(1) (ρ i )/µ i + b 1 j (ρ i )/µ i und für die TM-poarisierten Anteie des einfaenden Feds anschreiben d 1 h (1) (ρ e ) = A h (1) (2.36b) (ρ i ) + b 1 j (ρ i ) (2.37a) d 1 h(1) (ρ e )/ɛ e = A h(1) (ρ i )/ɛ i + b 1 j (ρ i )/ɛ i (2.37b) In der gewähten Notation bezeichnen a 1 und b 1 die TE- und TM-Mie- Koeffizienten für das inverse Streuprobem, während d 1 und c 1 die zugehörigen Transmissionskoeffizienten sind. d 1 und c 1 beschreiben die Transmission in den Außenraum der Kavität. Die rechte bzw. inke Seite der Gn. (2.36, 2.37) steen die Fedstärken an der Außen- bzw. Innenseite der kugeförmigen Grenzfäche dar. Die Aufösung nach den unbekannten Koeffizienten a 1, b 1, c 1 und d 1 iefert: a 1 b 1 = A h(1) (ρ i )h (1) (ρ e )ɛ e j (ρ i )h (1) (ρ e )ɛ e = B h(1) (ρ i )h (1) (ρ e )µ e j (ρ i )h (1) (ρ e )µ e c 1 = B h (1) (ρ e )h (1) (ρ i )ɛ i, (2.38a) (1) h (ρ e )j (ρ i )ɛ i h (1) (ρ e )h (1) (ρ i )µ i, (2.38b) (ρ e )j (ρ i )µ i ] h (1) [ h(1) (ρ i )j (ρ i ) j (ρ i )h (1) (ρ i ) µ e j (ρ i )h (1), (2.38c) (1) (ρ e )µ e h (ρ e )j (ρ i )µ i

28 28 die maxwe-geichungen in kugekoordinaten ( ) ɛ 5 r, µ 5 r ( ) ɛ 4 r, µ 4 r ( ) ɛ 3 r, µ 3 r ( ) ɛ 2 r, µ 2 r ( ) ɛ 1 r, µ 1 r R 4 R 3 R 2 R 1 B (4) B (3) B (2) B (1) Abb. 5: Für beschichtete Kugen werden die Brechungsindizes des i-ten Mediums von innen nach außen nummeriert: n i (ω) = ɛr(ω)µ i r(ω). i R i markiert den Radius der i-ten Kuge-Grenzfäche, an der Streuung auftritt. B (i) ist die Refexionsampitude der i-ten Grenzfäche für den TE-poarisierten Antei des einfaenden Feds. Anaog wird die Bezeichnung A (i) für die entsprechende Refexionsampitude TMpoarisierter Fedanteie verwendet. d 1 = A [ h(1) ] (ρ i )j (ρ i ) j (ρ i )h (1) (ρ i ) ɛ e j (ρ i )h (1). (2.38d) (1) (ρ e )ɛ e h (ρ e )j (ρ i )ɛ i Streuung an beschichteten Kugen Dieser Abschnitt widmet sich der Streuung an einer Kuge, die aus mehreren konzentrischen Kugeschaen beiebiger Materiaien besteht. Die Kompexität dieses Probems nimmt im Vergeich zur Streuung an einer Vokuge deutich zu, da im Agemeinen an jeder Grenzfäche sowoh Transmissionen as auch Refexionen auftreten und die Materiaeigenschaften aer Kugeschaen gekoppet werden. Damit die eementaren Streu- und Transmissionsprozesse, deren Ampituden bereits abgeeitet wurden, benutzt werden können, wird ab sofort vereinbart, dass ein Koeffizient p (i) mit p {a, a 1, b, b 1, c, c 1, d, d 1 } aus den jeweiigen Koeffizienten der Geichungen (2.35, 2.38) hervorgeht, indem dort die Ersetzungen ρ e = ωr i n i+1 /c, ρ i = ωr i n i /c und A = B = 1 vorgenommen werden. Die Nummerierung der Radien der Grenzfächen bzw.

29 2.4 streuung an kugen 29 der Materiaien erfogt von innen nach außen mit den Indizes 1 bis N bzw. 1 bis N + 1. Der Brechungsindex n N+1 steht in dieser Notation für den Brechungsindex des Mediums, in wechem sich die N-fach beschichtete Kuge befindet. Abb. 5 zeigt eine dreifach beschichtete Kuge im Schnitt und führt den Koeffizienten B (i) as Refexionskoeffizienten der i-ten Grenzfäche für TEpoarisierte Fedanteie ein. Da dieser Koeffizient seinerseits von den Transmissionen C (j) (j i) und den Refexionskoeffizienten tieferer Grenzfächen (j < i) abhängt, bietet sich eine rekursive Bestimmung des gesuchten Streukoeffizienten B (N) von innen nach außen an. Die Randbedingungen assen sich anaog zum gewöhnichen Mie-Probem formuieren. Sie werden nur noch für TE-Poarisation angeschrieben, da sich entsprechende Geichungen für TM-Poarisation durch die Substitution µ ɛ ergeben. Der Drehimpusindex, wecher an jedem der auftretenden Koeffizienten stehen müsste, wird ab sofort aus Patzgründen unterdrückt. Die Rekursion startet mit den Kontinuitätsgeichungen an der Oberfäche des Kugekerns: B (j) B (1) h (1) (ρ 2 ) + C (2) j(ρ 2 ) = C (1) j(ρ 1 ), (2.39a) B (1) h(1) (ρ 2 )/µ 2 + C (2) j (ρ 2 )/µ 2 = C (1) j (ρ 1 )/µ 1. (2.39b) Im Vergeich zum gewöhnichen Mie-Probem hat sich im Wesentichen die Ampitude des auf die Grenzfäche 1 einfaenden Feds geändert. Während sie in Abschnitten und bekannt war, hängt sie jetzt über C (2) von aen anderen Grenzfächen ab. Aufösen nach dem Koeffizienten C (1), der die Transmission TE-poarisierter Feder in den Kugekern beschreibt bzw. nach dem Refexionskoeffizienten B (1) des Kerns ergibt: C (1) = C (2) c (1), (2.40a) B (1) = C (2) b (1). (2.40b) Hier treten die bekannten Refexions- und Transmissionskoeffizienten einer homogenen Kuge mit Brechungsindex n 1 auf, weche sich in einem Medium mit dem Brechungsindex n 2 befindet. Die Kontinuitätsbeziehungen an aen höheren Grenzschichten führen auf die Geichungen: B (i) h(ρ i+1 ) + C (i+1) j(ρ i+1 ) = C (i) j(ρ i ) + B (i 1) h(ρ i ), (2.41a) B (i) h(1) (ρ i+1 ) µ i+1 + C(i+1) j(ρ i+1 ) µ i+1 = C(i) j(ρ i ) µ i + B(i 1) h(1) (ρ i ) µ i. (2.41b) Das Aufösen nach den Refexions- und Transmissionsampituden iefert: B (i) = c (i) 1 B i 1 + b (i) C (i+1), (2.42a)

30 30 die maxwe-geichungen in kugekoordinaten C (i) = b (i) 1 B i 1 + c (i) C (i+1). (2.42b) Für eine einfach beschichtete Kuge ergibt sich damit der Streukoeffizient B (2) = C (3) c(2) b (1) c (2) 1 1 b (2) 1 b (1) + b(2). (2.43) G. (2.43) ässt sich interpretieren as Mehrfachrefexionen innerhab der Kugeschae (erster Term) und der direkten Refexion (zweiter Term). Da die Koeffizienten b, c 1 und c zum Tei identische Nenner besitzen, ist es für die computerbasierte Berechnung günstiger sie zusammenzufassen. Dies führt für den i-ten Streukoeffizienten TE-poarisierter Strahung beispiesweise auf: B (i) = C (i+1) [ ] j(ρ i+1 ) h (1) (ρ i )µ i+1 j (ρ i+1 )h(ρ i )µ i B (i 1) + [ h(1) ] (1) (ρ i )h(ρ i+1 )µ i+1 h (ρ i+1 )h(ρ i )µ i B (i 1) + j (ρ i )j(ρ i+1 )µ i+1 j (ρ i+1 )j(ρ i )µ i. (2.44a) (1) j (ρ i )h(ρ i+1 )µ i+1 h (ρ i+1 )j(ρ i )µ i A (i) = B (i) (µ ɛ, C D, B A) (2.44b) Die rechte Seite dieser zweizeiigen Geichung ist as ein einziger Bruch zu verstehen. Die Refexionsampituden für TM-Poarisation, G. (2.44b), ergeben sich aus (2.44a), indem die Permeabiität durch die Permittivität und die jeweiigen TE-Koeffizienten B, b und C, c durch die entsprechenden TM- Koeffizienten A, a und D, d ersetzt werden. An Hand zweier einfacher Grenzfäe ässt sich verstehen, wie der Ausdruck (2.44a) für die Refexion an einer beschichteten Kuge in die gewöhnichen Mie-Koeffizienten für die Streuung an einer Vokuge über geht. B (i 1) = 0: In diesem Fa tritt an der (i 1)-ten Grenzfäche keine Refexion auf. Dies kann z. B. der Fa sein, wenn die dieektrischen Eigenschaften der Medien i und i 1 identisch sind. In diesem Szenario überebt in (2.44a) nur der Term in der zweiten Zeie. Er entspricht dem Streukoeffizienten einer Vokuge des Materias i, weche sich im Medium i + 1 befindet. ρ i = ρ i+1 : Hier verschwindet die Refexion an der äußeren Grenzfäche; ae Terme bis auf B i 1 kürzen sich. Es beibt nur die Refexion am Kern übrig.

31 2.4 streuung an kugen 31 Der zu B i gehörende Transmissionskoeffizient für TE-Poarisation ässt sich schreiben as: ] (1) µ i [ j (ρ i+1 )h(ρ i+1 ) h C (i) = C (i+1) (ρ i+1 )j(ρ i+1 ) [ h(1) ] (1) (ρ i )h(ρ i+1 )µ i+1 h (ρ i+1 )h(ρ i )µ i B (i 1) +, (2.45) (1) h(ρ i+1 ) j (ρ i )µ i+1 h (ρ i+1 )j(ρ i )µ i wobei die rechte Seite dieser Geichung erneut as ein einziger Bruch zu verstehen ist. Damit die Koeffizienten (2.44a) und (2.45) für eine unbeschichtete Kuge in die gewöhnichen Mie-Koeffizienten übergehen, müssen die Koeffizienten zu i = 0, B (0) = C (0) = A () = D (0) geich Nu gewäht werden. Der Transmissionskoeffizient für TM-Poarisation ässt sich erneut durch die Ersetzungen µ ɛ und B (i 1) A (i 1) gewinnen: D (i) = C (i) (µ ɛ, B (i 1) A (i 1) ). (2.46) Speziee Anwendung mehrfach beschichteter Kugen: Pasmonic Coaking Der Formaismus für die Streuung an mehrfach beschichteten Kugen kann benutzt werden, um die Schichtdicken und Materiaien derart aufeinander abzustimmen, dass bei bestimmten Frequenzen keine oder deutich abgeschwächte Refexionen auftreten. Diese Art von Beschichtung wird pasmonische Tarnung bzw. pasmonic coaking [98 100] genannt und unterscheidet sich von anderen Tarnmechanismen [101, 102], weche optische Anisotropie und Metamateriaien benötigen. Die Idee der pasmonischen Tarnung ist es Objekte zu tarnen, deren typische Abmessungen kein im Vergeich zur einfaenden Weenänge sind. Dabei nutzt die Methode aus, dass für derartige keine Streuer die Dipo- Streuampituden dominieren und sich beispiesweise in den Gn. (2.44) die Schichtdicke R 2 R 1 einer einfach beschichteten Kuge so auf die Berechungsindizes n 2, n 1 und n 3 abstimmen ässt, dass einer der beiden Koeffizienten A (2), oder B (2) verschwindet. Für reaistische Materiaien erfogt die Streuung angweigen Lichts hauptsächich über die Anregung eektrischer Dipoe. Nachfogend werden aus diesem Grund Geichungen abgeeitet, weche den Koeffizienten A (2) zum Verschwinden bringen. Aus (2.44b) erhät man in Übereinstimmung mit [98] im quasi-statischen Limes ω 0 für den Radius der Beschichtung R 2 = 3 (ɛ 2 ɛ 1 )(2ɛ 2 + ɛ 3 ) (ɛ 2 ɛ 3 )(2ɛ 2 + ɛ 1 ) R 1, (2.47) um den Dipo-Koeffizienten A (2) 1 einer einfach beschichteten Kuge zum Verschwinden zu bringen. Für eine Kuge mit metaischem Kern (ɛ 1 (0) ) hat (2.47) nur dann eine physikaische, reee, Lösung, wenn ɛ 3 (0) > ɛ 2 (0)

32 32 die maxwe-geichungen in kugekoordinaten ist. Während sich eine Kuge im Vakuum (ɛ 3 (0) = 1) aso nur bei einer Beschichtung mit Meta-Materiaien (ɛ 2 (0) < 1) verstecken ässt, ergibt sich in Wasser (ɛ 3 (0) 80) bei Beschichtung mit Poystyren (ɛ 2 (0) 2.4): R 2 = 1.03R 1. (2.48) Eine Godkuge, die sich in Wasser befindet und Radius R 1 = 1 µm besitzt, streut bei einer Beschichtung mit 30 nm Styropor fogich keine eektromagnetischen Ween, so ange ihr Radius R 2 vie keiner ist as die Weenänge λ der einfaenden Strahung. In Kapite wird sich zeigen, dass sich die pasmonische Tarnung im Rahmen des Casimir-Effekt benutzen ässt, um auf Basis eines Experiments entscheiden zu können, ob die Tieffrequenzeigenschaften von Metaen entweder durch ein dissipatives Drude- oder durch ein nicht-dissipatives Pasma-Mode beschrieben werden müssen. Die Charakteristika beider Modee werden im nächsten Kapite kurz beschrieben. der eektromagnetische response von festkörpern Beim Aufsteen der Fedgeichungen (2.7) und bei der Beschreibung der Refexion an einer Kuge treten die materiaspezifische Permeabiitität µ und Permittivität ɛ auf. Dies macht deutich, dass die Ausbreitung und die Refexion eektromagnetischer Ween von den Materiaeigenschaften des Ausbreitungsmediums und des streuenden Objekts abhängen. In dieser Arbeit werden nur nicht-magnetische Materiaien (µ = µ 0 ) betrachtet, deren reative Permittivität sich gut im Rahmen eines Drude-Lorentz- Modes mit N Osziatoren beschreiben ässt [103, 104]: ɛ r (ω) = 1 + N i=1 ω 2 P,i ω 2 1,i iωγ i ω 2. (2.49) ω P,i, ω 1,i und γ i steen Fitparameter dar, weche gewäht werden können, wenn experimente die Messung von Transmissions- bzw. Refexionseigenschaften in Abhängigkeit der Frequenz ω erfogt ist. Das Drude-Lorentz-Mode (2.49) ist ein kassisches Mode für die Permittivität. As soches vernachässigt es, dass der Einfuss eektromagnetischer Feder auf Atome und deren Eektronenhüe prinzipie as quantenmechanisches Probem formuiert werden muss. Abb. 6 zeigt schematisch den Rea- bzw. Imaginärtei ɛ r(ω) bzw. ɛ r (ω) der reativen Permittivität (2.49) für ein Mode mit zwei Osziatoren. Für jeden Osziator ist deutich zu erkennen, dass der Reatei ɛ (ω) unterhab der Resonanzen ω 1,i ansteigt und danach stark abfät. Der Imaginärtei ɛ (ω) hingegen hat die typische Form einer Lorentz-Kurve, weche um die jeweiige Resonanzfrequenz ω 1,i zentriert ist. Bei fester Resonanz bzw. Pasmafrequenz skaiert die Breite der Lorentz-Kurve mit γ, wie ein Vergeich der bauen Kurve in den Umgebungen von ω = ω 1,1 und ω = ω 1,2 verdeuticht. Für gute eektrische Leiter, wie God, Siber oder Kupfer, reicht es im einfachsten Fa aus nur einen einzigen Osziator zu betrachten. ω P = ne 2 ɛ 0 m

33 2.5 der eektromagnetische response von festkörpern ɛ r(ω), ɛ r (ω) ɛ r(ω) ɛ r (ω) 1 ω 1,1 ω 1, ω Abb. 6: Der Reatei (rot) und der Imaginärtei (bau) der reativen Permittivität ɛ r (ω) für ein Lorentz-Mode, charakterisiert durch (ω P,i, ω 1,i, γ i ) für zwei Osziatoren mit den Parametern (1.5, 2, 0.3), (0.5, 0.6, 0.03). kann dann as Pasmafrequenz und γ as Dissipationsfrequenz interpretiert werden. ω P hängt nur von der Permittivität des Vakuums ɛ 0, der Masse m des Osziators und der Osziatordichte n ab, was ungefähr der Eektronendichte entspricht [105, 106]. Die Leitungseektronen von Metaen können näherungsweise as frei betrachtet werden. Da auf ungebundene Eektronen keine Rückstekraft wirkt ist die Resonanzfrequenz ω 1,i geich Nu zu setzen und es fogt die Drude-Permittivität [107]: ɛr Dr ωp 2 (ω) = 1 ω 2 + iωγ. (2.50) Das Drude-Mode ist in der Lage die endiche Geichstromeitfähigkeit σ 0 = ɛ 0 ωp 2 /γ von Metaen ebenso zu beschreiben, wie die einsetzende Transparenz für Frequenzen oberhab der Pasmafrequenz ω P. Für Frequenzen ω γ wird der Imaginärtei der Drude-Permittivität (2.50) kein im Vergeich zu ihrem Reatei. In diesem Grenzfa ergibt sich das sogenannte Pasma-Mode für die reative Permittivität ɛ P r (ω) = 1 ω2 P ω 2. (2.51) Das Pasma-Mode ist ebenfas in der Lage, die Hochfrequenz-Transparenz von Metaen zu beschreiben, nicht jedoch deren endiche Geichstromeitfähigkeit. Das Drude-Mode findet seine Anwendung für sehr gute Leiter, in denen die die Refexions- und Leitfähigkeitseigenschaften durch freie Eektronen gut wiedergegeben werden können. Das sind die metaischen Materiaien, die in den meisten Casimir-Experimenten bisang verwendet werden. An der UFRJ werden seit kurzem jedoch auch Experimente mit reativ schecht eitenden Quecksiberkugen durchgeführt.

34 34 die maxwe-geichungen in kugekoordinaten ω P [s 1 ] γ [s 1 ] c Tab. 1: Drude-Smith Parameter für die Permittivität von füssigem Quecksiber gemäß [111]. Experimentee Messungen der eektrischen Eigenschaften von Quecksiber ergeben, dass das Drude-Mode die Materiaeigenschaften von Quecksiber nicht befriedigend beschreibt [108, 109]. Es wurde von Smith daher ein modifiziertes Mode vorgeschagen [110], weches heute as Drude-Smith- Mode bekannt ist. In diesem Mode autet die reative Permittivität ɛr Sm (ω) = 1 ω 2 P ω 2 + iωγ ( 1 + iγc 1 ω + iγ ) (2.52) [111], wobei die Materiaparameter ω P, c 1 und γ für Quecksiber in Tabee 1 zusammengefasst sind. übersetzung auf imaginären frequenzen Die in den vorherigen beiden Abschnitten präsentierten Ausdrücke werden benötigt, um eektromagnetische Streuprobeme bei reeen Frequenzen zu beschreiben. Der Matsubara-Formaismus, wecher in Kapite 3 eingeführt wird, basiert jedoch auf Rechnungen bei wickrotierten, rein imaginären Frequenzen ω = iξ bzw. rein imaginären Weenzahen κ = ik. Im Wesentichen ergeben sich die benötigten Transations- und Streukoeffizienten auf der imaginären Achse mit Hife der Beziehungen [86] j (iρ) = i i (ρ), h (1) (iρ) = 2 π i k (ρ) (2.53) weche die sphärischen Bessefunktionen erster Gattung j und die sphärische Hankefunktion erster Gattung h (1) für rein imaginäre Argumente iρ mit den entsprechenden modifizierten sphärischen Bessefunktionen erster und zweiter Art, i bzw. k verknüpfen. Transationskoeffizienten In den Transationskoeffizienten (2.28) für Transationen entang der z-achse führt die Ersetzung (2.53) auf T P,P 1, 2 ;m 1 (d) = T P,P 1, 2 ;m (d) ( 1)m π(±i) ( 1 + 1) 2 ( 2 + 1) Y 1, 2, m,m,0 i (2 + 1) c P,P 1, 2,,m = 1 2 } { i i (κd) 2 π i k (κd), (2.54)

35 2.6 übersetzung auf imaginären frequenzen 35 { } { } c P,P 1, 2,,m = 1 ( 1 + 1) + 2 ( 2 + 1) ( + 1) P = P für 2m(±1)κd P = P, (2.55) wobei die erste Zeie der geschweiften Kammer in (2.54) zu verwenden ist, wenn bei der Transation eine Umwandung ausaufender in ausaufende und reguärer in reguäre Hansen-Mutipoe erfogt. Diese Art der Transationen wird beispiesweise benötigt, wenn die wechseseitige Streuung zwischen einer Kuge im Inneren einer Kavität erfogt. Die zweite Zeie findet bei gewöhnichen Streusituationen Verwendung, bei der sich der Charakter der Hansen-Mutipoe bei Transation ändert und ausaufende in reguäre bzw. reguäre in ausaufende Hansen-Mutipoe umgerechnet werden. Streukoeffizienten In den Streukoeffizienten äußert sich eine Wickrotation ebenfas durch die Ersetzungen (2.53). Für die TM- bzw. TE-Streu-Koeffizienten, weche in dieser Arbeit am wichtigsten sind, fogt damit a = ( 1) π ĩ (ρ i )i (ρ e )ɛ e ĩ (ρ e )i (ρ i )ɛ i 2 ĩ (ρ i )k (ρ e )ɛ e k, (2.56) (ρ e )i (ρ i )ɛ i ( ) b = a ɛ µ (2.57) für die gewöhnichen Mie-Koeffizienten und a 1 b 1 = ( 1) 2 k (ρ i )k (ρ e )ɛ e k (ρ e )k (ρ i )ɛ i π ĩ (ρ i )k (ρ e )ɛ e k, (2.58) (ρ e )i (ρ i )ɛ i = a 1 ( ) ɛ µ (2.59) für die Koeffizienten des inversen Mie-Probems. Die Ampituden A und B des einfaenden Feds wurden jeweis geich Eins gesetzt. Die Wick-Rotation für die entsprechenden Koeffizienten beschichteter Kugen kann ganz anaog durchgeführt werden. Für perfekte Leiter ergeben sich: a PC b PC = 1/a PC 1 = ( 1) π ĩ (ρ e ) 2 k (ρ e ), = 1/b PC 1 = ( 1) π i (ρ e ) 2 k (ρ e ). (2.60a) (2.60b) Dieektrischer Response Die Mie-Koeffizienten hängen im Agemeinen von den optischen Eigenschaften des Mediums und der streuenden Kuge ab. Im Rahmen dieser Arbeit werden ae dieektrischen Materiaeigenschaften durch das Lorentz- Osziator-Mode aus Abschnitt 2.49 beschrieben. Die Wickrotation hat an

36 36 die maxwe-geichungen in kugekoordinaten dieser Stee die angenehme Konsequenz, dass ɛ r (iξ) zu einer rein reeen Funktion von ξ wird. Mit Hife der Kramers-Kronig-Reationen [112, 113] ässt sich die Wick-rotierte reative Permittivität schreiben as [114] ɛ r (iξ) 1 = 2 π 0 dω ωɛ (ω) ω 2 + ξ 2. (2.61) Die reative Permittivität ɛ r (iξ) ist eine monoton faende Funktion, da sie aus dem Integra über den strikt positiven Imaginärtei ɛ (ω) der reativen Permittivität für reee Frequenzen ɛ r (ω) = ɛ (ω) + ɛ (ω) berechnet wird. Im Hinbick auf durchgeführte Experimente stet (2.61) jedoch ein gewisses Probem dar, da der Imaginärtei der Permittivität, ɛ nur innerhab endicher Grenzen gemessen werden kann und prinzipie auch von Probe zu Probe Variationen unteriegt. Beispiesweise zeigen die in [115] hinteregten Datensätze für God große Variationen je nach Methodik der Messung und des Hersteungsverfahrens der Probe. Dem Probem, Permittivitäten bei imaginären Frequenzen zu bestimmen, widmet sich u. a. [116]. Für die Permittivität gemäß des Drude-, Pasma- und Drude-Smith-Modes ergeben sich ε Dr (iξ) = 1 + ω2 P ξ 2 + ξγ, (2.62a) ε P (iξ) = 1 + ω2 P ξ 2, (2.62b) ( ɛr Sm (iξ) = 1 + ω2 P ξ γc ) 1. (2.62c) + ξγ ξ + γ Im quasistatischen Grenzfa ξ 0 ergeben sich übera dort, wo in den modifizierten sphärischen Bessefunktionen der Brechungsindex n(iξ) auftritt (für unmagnetische Medien git n(iξ) = ɛ r (iξ)) die fogenden Argumente: ξ im ξ 0 c ndr (iξ)r = ξ c nsm (iξ)r = 0, (2.63a) ξ im ξ 0 c np (iξ)r = ω PR. (2.63b) c Während im Drude- und Drude-Smith-Mode der quasistatische Limes auf verschwindende Argumente führt, reduziert sich das Pasma-Mode auf den Wert ω P R/c, wecher für perfekte Leiter mit ω P sogar divergiert. Dieser deikate Unterschied zwischen den dissipativen und nichtdissipativen Permittivitäten hat einen starken Einfuss auf den nachfogend diskutierten quasistatischen Limes der (inversen) Mie-Koeffizienten. Abbidung (7) zeigt einige ausgewähte Permittivitäten bei imaginären Frequenzen. Die zugehörigen Materiaparameter wurden [116] entnommen. Das dort angegebene Mode für Wasser wurde so korrigiert, dass die korrekte statische Permittivität ɛ(0) = 80.7 erreicht wird.

37 2.6 übersetzung auf imaginären frequenzen 37 ɛ(iξ) God (Dr.) Wasser Poystyren Ethano Siikon Quecksiber Quecks. (P.) Abb. 7: Die Permittivitäten ausgesuchter Materiaien as Funktion imaginärer Frequenzen ω = iξ. Gebe, baue, magenta, rote, und graue Linien zeigen God im Drude-Mode und Wasser, Poystyren sowie Ethano im Lorentz-Osziator-Mode mit den Parametern aus Anhang D. Quecksiber gemäß des Drude-Smith-Modes ist as graue durchgezogene Linie bzw. gemäß des Pasma-Modes as gestrichete Linie eingezeichnet. Das Pasma-Mode für Quecksiber geht aus G. (2.62c) durch c 1 = γ = 0 hervor. Für Frequenzen unterhab der ɛ P r Dämpfungsfrequenz γ divergieren ɛr Dr und ɛr Sm wie 1/ξ, während wie 1/ξ 2 divergiert. Diese Abweichungen sind für die sehr unterschiedichen quasistatischen Limites (2.63a,2.63b) verantwortich. ξ

38 38 die maxwe-geichungen in kugekoordinaten Der quasistatische Limes Die Transationskoeffizienten hängen nur vom Produkt κn(κ)d aus der imaginären Weenzah κ = iξ/c, dem Abstand d und dem Brechnungsindex n(κ) des Mediums ab, in dem die Transation stattfindet. Da sich diese Arbeit auf dieektrische Medien zwischen den Kugestreuern beschränkt führt der quasistatische Limes κ 0 darauf, dass die Argumente der modifizierten sphärischen Bessefunktionen kein werden und diese daher geschrieben werden können as (A.17) i (ρ) = k (ρ) = π 2 ρ (2 + 1)!!, (2.64a) (2 1)!! ρ +1. (2.64b) (x)!! steht dabei für die Doppefakutät (x)!! = x (x 2) (x 4)... Diese Ersetzung macht deutich, dass sich bei imaginären Frequenzen, im quasistatischen Limes die Summe über in (2.54) auf den Term = 1 2 für interne Transationen und = für externe Transationen reduziert. Es treten dann sehr speziee Gaunt-Koeffizienten auf, weche sich über die Beziehung zu den Wigner-3j-Symboen [117] schreiben assen as: (21 + 1)( )( ) Y 1, 2, m,m,0 = ( )!(2 1 )!(2 2 )!( )! 1! 2!( )! 4π 1 ( 1 + m)!( 1 m)!( 2 + m)!( 2 m)!, (2.65a) Y 1, 2, > < m,m,0 = ( 1) m >!(2 < )!(2 > 2 < )! ( > < )! <!(2 > + 1)!( > < )!. (2.65b) ( > m)!( > + m)! ( < m)!( < + m)! Dabei wurden die Abkürzungen > = max{ 1, 2 } und < = min{ 1, 2 } benutzt. Für keine Frequenzen ξ 0 werden die Streukoeffizienten von Kugen deren Permittivität gemäß des Pasma- bzw. Drude-Modes beschrieben wird zu ( µ Md + ω PR c µ i ( + 1) (iξ) ρ 2+1 ( 1) e (2 1)!! 2 (2 + 1) b P (iξ) ρ 2+1 ( 1) e (2 1)!! 2 (2 + 1) b Dr ) i 1 (ω P R/c) i (ω P R/c) µ i + µ Md ( + ω PR c i 1 (ω P R/c) i (ω P R/c) ), (2.66a) ( + 1)(µ i µ e ) (µ i + µ e ) + µ e. (2.66b)

39 2.6 übersetzung auf imaginären frequenzen 39 Der häufigste Fa ist der unmagnetischer Medien µ e = µ 0 und unmagnetischer Kugen µ i = µ 0. In diesem Fa sagt das Drude-Mode verschwindende magnetische Streubeiträge vorher, während aus dem Pasma-Mode endiche magnetische Beiträge fogen. Im Grenzfa ω P werden die modifizierten Bessefunktionen i 1 und i aus (2.66a) geichem Maß asymptotisch und ihr Verhätnis zu Eins. Das Pasma-Mode iefert dann den Grenzfa eines perfekten Leiters: im ω P bp (iξ) = b PC (iξ) ( 1) ρ 2+1 e (2 1)!! 2 (2 + 1) (2.67) Die eektrischen TM-Streukoeffizienten nehmen auf Grund des expiziten Auftretens der Kuge-Permittivität ɛ i im Drude- und Pasma-Mode identisch den Grenzwert eines perfekten Leiters an: a Dr (iξ) = ap (iξ) = apc (iξ) ( 1) +1 ρe 2+1 (2 1)!! 2 (2 + 1) ( + 1) (2.68) Für die inversen Mie-Koeffizienten erhät man b P 1 (iξ) ( 1) (2 1)!!2 (2 + 1) ρ 2+1 e µ e + µ i ( + ω PR c ( + 1)µ e µ i ( + ω PR c ) k 1 (ω P R/c) ωp R k (ω P R/c) c(2 1) k 1 (ω P R/c) k (ω P R/c) ) ωp R c(2 1) (2.69a), b Dr 1 (iξ) ( 1) (2 1)!!2 (2 + 1) ( µ i (0) µ e (0) ) ρ 2+1 e (µ i (0) + µ e (0)) + µ e (0). (2.69b) Auch hier verschwinden für nicht-magnetische Medien bzw. Medien geicher Permeabiität µ e = µ i die TE-Streukoeffizienten im Drude-Mode, iefern jedoch im Pasma-Mode einen Beitrag, der für ω P dem eines perfekten Leiters geicht: im ω P bp 1 (iξ) = b PC 1 1 (iξ) = b PC (iξ). (2.70) Im quasi-statischen Grenzfa ist die Ampitude gestreuter TM-poarisierter Strahung proportiona zum keinen Parameter ρe 2+1 = (n e (0)κR) 2+1, wobei n e (0) für den Brechungsindex des unmagnetischen Mediums bei Frequenz Nu steht. Dies ist der Grund dafür, dass in diesem Fa nur der TM-Dipokoeffizient a 1 für Drude-Metae, bzw. zusätzich der TE-Dipokoeffizient b 1 für perfekte oder Pasma-Metae nennenswert beiträgt. Die Dipokoeffizienten für perfekt eitfähige Kugen ergeben sich aus (2.68,2.66a) für = 1 im quasistatischen Limes ξ 0 bzw. κ 0 zu a PC 1 2 ( κne (0)R ) 3, (2.71a) 3 b1 PC 1 ( κne (0)R ) 3. (2.71b) 3

40 40 die maxwe-geichungen in kugekoordinaten Daran ässt sich erkennen, dass der Betrag der TM-Streukoeffizienten doppet so groß ist wie der Betrag der TE-Koeffizienten. Für dissipative Kugen sind die beiden Koeffizienten nicht von der geichen Größenordnung. Während der TM-Koeffizienten dem des perfekten Leiters (2.71a) entspricht, autet der TE-Koeffizient b1 Dr 1 κrω 2 ( P κne (0)R ) 3. (2.72) 45 γc Da b1 Dr von der Ordnung κ 4 ist kann für Drude-Materiaien der TE-Koeffizient b1 Dr im Vergeich mit dem TM-Koeffizienten a Dr 1 für κ 0 vernachässigt werden. Der Hochfrequenz-Limes Im Grenzfa, dass das Produkt aus der Weenzah κ und den geometrischen Längen d (Transationsdistanz) bzw. R (Kugeradius) sehr vie größer ist as ae auftretenden Drehimpuszahen, können die asymptotischen Entwickungen (A.18) für die modifizierten sphärischen Bessefunktionen benutzt werden. In den Transationskoeffizienten ist nur die geschweifte Kammer in (2.54) betroffen. Sie wird zu: i 1 2κd eκd i 1 κd e κd. (2.73) Die Asymptotik der Bessefunktionen für große Argumente führt für die Streukoeffizienten perfekt eitfähiger Kugen auf exponentiees Verhaten: im ξ apc = 1/ im a PC 1 = ( 1) +1 1 ξ 2 e2ρ e, (2.74a) im ξ bpc = 1/ im b PC 1 = ( 1) 1 ξ 2 e2ρ e. (2.74b) Handet es sich um Kugen mit einer endichen Pasmafrequenz, so wird für ξ schießich ξ ω P und die reative Permittivität nimmt ihren Vakuumwert ɛ i = ɛ e = 1 an. In diesem Fa streben die Streukoeffizienten unabhängig vom verwendeten Mode gegen Nu. Die vorangegangene Diskussion baute darauf auf, dass bei der Refexion von Ween an Kugen, die kein im Vergeich zur Weenänge sind, nur die quasi-statische Permittivität der Kugen die Refexionskoeffizienten bestimmt. Hierfür ist es ausreichend die = 1 Mie-Koeffizienten für keine Frequenzen zu entwicken. Es existiert jedoch ein Frequenzbereich, in dem zwar die Beiträge von Mutipoen zu > 1 im Vergeich zu den = 1 Beiträgen vernachässigt werden können, jedoch die Dipo-Refexion nicht im quasistatischen Grenzfa beschrieben werden darf. Um diesen Sachverhat zu veranschauichen zeigen Abb. 8a) bzw. Abb. 8b) das Verhätnis aus TM-

41 2.6 übersetzung auf imaginären frequenzen 41 bzw. TE-Mie-Koeffizienten für eine Godkuge mit dem Radius R = 10 µm und ɛ r gemäß des Drude-Modes dividiert durch die entsprechenden Koeffizienten eines perfekten Leiters. Die Normaisierung auf die Streukoeffizienten des perfekten Leiters (PC) verdeuticht, dass die dipoare TM-Refexion bei niedrigen Frequenzen den größten Beitrag zur Streuung iefert, da die TE-Koeffizienten b Dr im Vergeich zu den a PC unterdrückt sind. Dieses Regime, in dem nur TM-Dipobeiträge a 1 reevant sind, wird Rayeigh-Regime genannt. Wie in Abschnitt gezeigt wurde, nimmt das Verhätnis b P/aP für perfekt-eitfähige Kugen bei = 1 den Wert 1/2 an. Bei großen Drehimpusen hingegen strebt es gegen 1 und für mittere Drehimpuse interpoieren die entsprechenden Verhätnisse zwischen 0.5 und 1. Für einen Drude-Leiter git bei niedrigen Frequenzen auf Grund des Skin-Effekts b Dr/aPC 1 [118], wohingegen für Frequenzen zwischen der Dissipationsund der Pasmafrequenz das Verhätnis perfekter Leiter genau dann erreicht wird, wenn die Pasmafrequenz ω P R/c sehr groß ist. Dieser Bereich zeigt sich in Abb. 8b) für die durchgezogene Linie zu = 1 as ein Pateau im Interva 10 3 κr Für niedrige Drehimpuse, = 1, 2,... kann beobachtet werden, dass sich die Höhe des Pateaus von 0.5 in Richtung 1 verschiebt. Auf Grund dieser Verschiebung ist die Ausprägung des Pateaus für = 1 stärker as für > 1. Die gestrichpunktete Kurve zu = 50 zeigt jedoch, dass die Tendenz b Dr/aPC 1 für bei einer endichen Pasmafrequenz nicht für beiebig hohe Drehimpuse anhät. TE-Refexion ist für reaistische Kugen mit einer endichen Pasmafrequenz daher nie genauso stark wie TM Refexion und der Grenzwert 1 kann nie erreicht werden. Der Gütigkeitsbereich der Rayeigh-Näherung iegt bei keinen κr 1, bei denen die TE Refexion im Vergeich zur TM Refexion stark unterdrückt ist. Für die Dipokoeffizienten muss b1 Dr a Dr 1 geten, wodurch sich der Gütigkeitsbereich der Rayeigh-Näherung zu ergibt. Mit Hife der quasistatischen Skintiefe κr 30c Rσ 0 (2.75) δ(κ) = kann G. (2.75) schießich geschrieben werden as: ( ) 2c 1/2 (2.76) σ 0 κ R 15δ, (2.77) wodurch kar wird, dass dissipative Kugen keine TE-poarisierte Strahung refektieren, wenn ihr Radius deutich keiner as die Skintiefe ist. Für wachsende κr schießt an das Rayeigh-Regime der agemeinere Dipo- Bereich an, in dem eektrische und magnetische Dipostreuung vergeichbare Beiträge iefern, während die führenden Quadrupo-Beiträge, a 2 im Vergeich mit a 1 noch unterdrückt sind.

42 42 die maxwe-geichungen in kugekoordinaten Bei Frequenzen κr 1 befindet man sich schießich im Mutipo-Bereich, in dem die Streuung an einer Kuge nicht mehr in Diponäherung beschrieben werden kann, sondern auch Drehimpuse > 1 wichtig werden. Ab Frequenzen, die von der Größe der Pasmafrequenz (vertikae, Strichinie) sind, nimmt die Refektivität von Metaen stark ab. Dieser Sachverhat geht auf die eintretende Transparenz von Metaen im hohen UV-Bereich zurück und git für ae Refexionskoeffizienten unabhängig von der Poarisation und der Ordnung. Die Normaisierung auf den TM Beitrag perfekt eitfähiger Kugen zeigt diesen Sachverhat. Die angesprochenen Eigenschaften der Streukoeffizienten deuten darauf hin, dass die Poarisationsanayse im Großabstandsbereich dazu benutzt werden kann zu diskutieren, wie Casimir Wechsewirkungen von Materiaeigenschaften abhängen. Es ist eine Untersuchung des Wechsespies zwischen Temperatur T und den Kuge-Parametern, Radius R, Pasmafrequenz ω P und Dissipationsfrequenz γ zugängich.

43 2.6 übersetzung auf imaginären frequenzen 43 a) a Dr /apc b) Rayeigh Dipo Mutipo 0.5 a Dr 1 /a PC 1 a Dr 50 /a PC 50 Pasmafrequenz b Dr /apc b Dr 1 /a PC 1 b Dr 2 /a PC 2 b Dr 10 /a PC 10 b Dr 50 /a PC Abb. 8: a) TM-Mie-Koeffizienten as Funktion der dimensionsosen Weenzah κr für eine Drude-Godkuge mit dem Radius R = 10 µm dividiert durch den entsprechenden TM-Koeffizienten einer perfekt eitfähigen Kuge. b) TE-Mie-Koeffizienten für die geiche Drude-Godkuge as Funktion von κr dividiert durch den TM- Koeffizienten der perfekt eitfähigen Kuge. Bei niedrigen Frequenzen nimmt der TM-Koeffizient a Dr für ae den Grenzwert des perfekten Leiters an, während die TE-Koeffizienten b Dr für Frequenzen unterhab der Dissipationsfrequenz γ unterdrückt sind. Der Bereich unterdrückter TE-Refexion definiert für κr 1 das Rayeigh- Regime, in dem bei Drude-Leitern nur TM-Poarisation refektiert wird. Im agemeineren Dipo-Regime wird die TE-Unterdrückung ab Frequenzen oberhab der Dissipationsfrequenz γ unwirksam und sowoh TE- as auch TM-poarisierte Feder werden refektiert. Ab κr 1 tragen auch höhere Mutipoe zur Streuung an einer Kuge bei - das Mutipo-Regime wird erreicht. κr

44 44 die maxwe-geichungen in kugekoordinaten

45 3 D I E C A S I M I R - W E C H S E LW I R K U N G I N D E R S T R E U T H E O R I E Die Casimir-Wechsewirkung kann durch die freie Casimir-Energie F quantifiziert werden. F definiert über die thermodynamischen Beziehungen S = df dt, F = df dl (3.1) durch Differentiation nach der Temperatur T die Casimir-Entropie S und durch Abeitung nach dem Abstand L der Objekte die Casimir-Kraft F. Die Berechnung der freien Casimir-Energie zweier Objekte 1 und 2 erfogt im Rahmen der Streutheorie bei Temperaturen oberhab des absouten Temperaturnupunkts durch die Auswertung einer Summe über rein imaginäre Frequenzen ω n = iξ n, den sogenannten Matsubara-Frequenzen ξ n = 2πk B Tn/ h [119, 21, 57, 35] F = k B T n=0 D(ξ n ) = k B T n=0 [ ] n det I M(ξ n ). (3.2) Der Strich am Summenzeichen bedeutet, dass der nute Term, D(0) mit habem Gewicht gewertet werden muss. Die Matsubara-Frequenzen setzen sich zusammen aus der Botzmann-Konstante k B, dem Panck schen Wirkungsquantum h, der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c und der absouten Temperatur T. Der Operator M(ξ n ) kann für zwei Objekte geschrieben werden as M(ξ) = R 1 T 12 R 2 T 21, (3.3) mit den Transationsoperatoren T 21 und T 12, die die Ausbreitung eektromagnetischer Ween vom Objekt 1 zum Objekt 2 und zurück beschreiben und den Refexionsoperatoren R 1 und R 2 der beiden Objekte. Die Frequenzabhängigkeit der Transmissions- und Refexionsoperatoren wurde dabei nicht expizit ausgeschrieben. Von rechts nach inks geesen fasst M die fogenden vier Schritte zusammen: 1 Propagation eines Feds von Objekt 1 zu Objekt zwei: T 21, 2 Refexion des bei Objekt 2 ankommenden Feds: R 2, 3 Propagation des von Objekt 2 refektieren Feds zu Objekt 1: T 12, 4 Refexion des auf Objekt 1 einfaenden Feds: R 1. 45

46 46 die casimir-wechsewirkung in der streutheorie M wird daher as Roundtrip-Operator bezeichnet, der die Refexion und Ausbreitung eektromagnetischer Ween zwischen zwei Objekten beschreibt. Die Summation in (3.2) ist über den Index n = 0, 1, 2, 3,... auszuführen. Der Summand D(ξ) besitzt angenehme Eigenschaften, denn er ist eine gatte Funktion von ξ n und Beiträge hoher Matsubara-Frequenzen, n 1, werden im Agemeinen rasch kein. Die erste Matsubara-Frequenz, ξ 1 definiert über den Zusammenhang mit der Matsubara-Weenzah κ n = ξ n /c eine charakteristische dimensionsose Größe κ 1 L = 2πk BTL, (3.4) hc weche ein Maß dafür ist, wie viee Terme in der Matsubara-Summe bei festem Abstand und fester Temperatur berücksichtigt werden müssen. Sie kann entweder as dimensionsose Temperatur oder as dimensionsoser Abstand interpretiert werden. Abb. 10 zeigt einen typischen Verauf des Summanden D as Funktion von κl für tiefe Temperaturen, κ 1 L = 0.1 (keine Symboe) und mittere Temperaturen, κ 1 L = 1 (große Symboe) für zwei perfekt eitfähige Kugen mit identischem Radius R, deren Oberfächen sich im Abstand L = R voneinander befinden. Die Normierung auf den Beitrag der nuten Matsubara-Frequenz, D(0), verdeuticht, dass D(κL) bei mitteren Temperaturen nur reativ grob abgetastet wird und die Beiträge D(ξ n ) der Matsubara-Frequenzen für n > 0 rasch abnehmen. Für den Grenzfa sehr hoher Temperaturen κ 1 L bedeutet dies, dass bereits die erste Matsubara Frequenz einen verschwindenen Beitrag iefert D(ξ 1 ) D(ξ 0 ). Die freie Energie wird in diesem Fa aein durch D(0) bestimmt und ist inear in der Temperatur F HT = im T F = 1 2 k BTD(0). (3.5) Die Abwesenheit des Panck schen Wirkungsquantums in (3.5) verdeuticht, dass der Casimir-Effekt bei hohen Temperaturen nicht mehr quantenmechanischer, sondern kassischer Natur ist. Experimente 1 zur Messung von Casimir Kräften werden typischerweise im Abstandsbereich L = µm bei Raumtemperatur T = 293 K durchgeführt. Einen Überbick über die Abstandsbereiche einiger ausgewähte Experimente gibt Abb. 9. Im Hinbick auf die beitragenden Matsubara-Frequenzen entsprechen diese Experimente etwa den Kurvenveräufen für tiefe bzw. mittere Temperaturen κ 1 L = 0.1 bzw. κ 1 L = 1 aus Abb. 10. Dem kassischen Limes steht der Grenzfa tiefer Temperaturen gegenüber. Hier müssen sehr viee Terme in (3.2) berücksichtigt werden, bevor die Summe abgebrochen werden kann. Für T 0 iegen die D(ξ n ), über die sum- 1 Referenzen: Sparnaay [30], Derjaguin [29], Lamoreaux [33], Mohideen [34], Ederth [120], Chan 01 [121], Decca 03 [8], Decca 07 [66], Chan 08 [36], Masuda [122], Bao [123], Sushkov [38], Torricei 2011 [124], Garcia [68], Banishev [67, 125]

47 die casimir-wechsewirkung in der streutheorie 47 Abb. 9: Einige Experimente in denen die Casimir-Kraft gemessen wurde chronoogisch sortiert. Die Strichänge unter dem Namen des Experimentators gibt den Abstandsbereich des Experiments wieder. Die Referenzen zu den Experimenten finden sich in der Fußnote κ 1 L = 0.1 κ 1 L = 1.0 D(κL)/D(0) L R κl Abb. 10: Der Casimir-Summand D as Funktion von κl für zwei unterschiediche dimensionsose Temperaturen κ 1 L = 2πk B TL/ hc. Keine Symboe entsprechen mit κ 1 L = 0.1 einer tiefen Temperatur, während große Symboe mit κ 1 L = 1 einer reativ hohen Temperatur entsprechen. Exemparisch sind die Verhätnisse für perfekt eitende Kugen mit identischen Radien R 1 = R 2 = R gezeigt, die sich im Abstand L = R voneinander befinden.

48 48 die casimir-wechsewirkung in der streutheorie miert werden muss, so dicht, dass am absouten Nupunkt die Matsubara- Summe in das Integra F 0 = im T 0 F = h [ ] dξ n det I M(ξ) 2π 0 (3.6) übergeht. Mit Hife der Gn. (3.2,3.6) assen sich Casimir-Wechsewirkungen prinzipie exakt berechnen, fas es geingt das zentrae Objekt, den Roundtrip-Operator M aufzusteen. queenbasierte interpretation des roundtrip-operators Im Rahmen der Streutheorie wird die Casimir-Wechsewirkung zweier Objekte durch fuktuierende eektromagnetische Feder verursacht, die zwischen den beiden Objekten hin und her refektiert werden. Es ist jedoch äquivaent die Ursache der Casimir-Wechsewirkung in den Queen ebendieser eektromagnetischen Feder zu suchen. Die Queen der Mutipostrahung sind eektrische und magnetische Mutipoe, d. h. Osziationen der Ladungsdichte bzw. Ringströme. An Hand des Beitrags eektrostatischer Feder, aso des Beitrags der nuten Matsubara-Frequenz, kann die Bedeutung des Roundtrip-Operators und das Vorzeichen der Casimir-Kraft im Rahmen der queenbasierten Interpretation der Casimir-Wechsewirkung verstanden werden. Zu diesem Zweck zeigt Abb. 11 zwei keine unmagnetische Kugen mit den statischen Permittivitäten ε 1 und ε 2, die sich in einem Medium mit der Permittivität ε Md befinden. Die Ladungsdichte der beiden Kugen unteriegt quantenmechanischen und bei T > 0 zusätzich thermischen Fuktuationen und es biden sich spontan Mutipomomente in den Kugen aus. Mutipofeder zum Drehimpus = 1 (Dipofeder) faen angsamer mit dem Abstand ab, as Mutipofeder zu > 1. Zwei Kugen assen sich bei großen Abständen daher näherungsweise wie fuktuierende Dipoe behanden. Eine Korreation der Fuktuationen von D 1 und einem zweiten Dipo D 2 kommt dadurch zu Stande, dass das Fed, weches von einem fuktuierenden Dipomoment P fukt. 1 erzeugt wurde den zweiten Dipo poarisiert und dessen induziertes Dipomoment zurück auf D 1 wirkt. Abb. 11 zeigt die Situation für zwei keine Kugen deren statische Permittivität größer ist as die des Mediums zwischen ihnen ε r,(1,2) > ε r,md. In diesem Fa besitzen beide Dipoe vor dem Hintergrund des Mediums eine positive Poarisierbarkeit und richten sich jeweis entang des Dipofeds des anderen Dipos aus. Da sich positive und negative Ladungen der Dipoe gegenüberstehen kommt es zur Dipo-Dipo-Anziehung. Sebiges git für den Fa zweier Dipoe deren statische Permittivität keiner ist as die des Mediums zwischen ihnen. Für den Fa, dass ε r,1 > ε r,md und ε r,2 < ε r,md git, sind die Dipomomente von D 1 und D 2 parae, da sich einer der beiden Dipoe entgegen der Fedinen des anderen Dipos ausrichtet und es kommt zur Dipo-Dipo- Abstoßung.

49 3.1 queenbasierte interpretation des roundtrip-operators Abb. 11: Tritt auf Grund von Fuktuation der Ladungsdichte in einem Objekt ein fuktuierendes eektrisches Dipomoment P fukt. 1 auf, so induziert das eektrische Dipofed in einem entfernten Objekt ebenfas einen eektrischen Dipo. Die beiden Dipomomente sind für ɛ 2 > ɛ Md antiparae und für ɛ 2 < ɛ Md parae ausgerichtet, was zu Dipo- Dipo-Anziehung bzw. Abstoßung führt. ɛ Md bezeichnet dabei die Permittivität des Mediums, das die beiden fuktuierenden Dipoe umgibt.

50 50 die casimir-wechsewirkung in der streutheorie Die Abstoßungsbedingung wurde bereits 1961 für paraee Patten gefunden [72] und ässt sich as Bedingung für die reativen Permittivitäten bei imaginären Frequenzen ω = iξ mit ξ > 0 schreiben as ɛ r,1 (ξ) > ɛ r,md (ξ) > ɛ r,2 (ξ), bzw. ɛ r,2 (ξ) > ɛ r,md (ξ) > ɛ r,1 (ξ), (3.7) was bedeutet, dass die Permittivität des Mediums bei imaginären Frequenzen zwischen den entsprechenden Permittiviäten der beiden wechsewirkenden Objekte iegen muss, damit die Casimir-Wechsewirkung abstoßend ist. Anzumerken ist jedoch, dass es auch andere Mechanismen gibt, bei denen entweder nur die Geometrie [126], oder die Kombination von magnetischen und metaischen Objekten [127, 128] zu abstoßenden Casimir-Kräften führt. Die obige Argumentation bezieht sich nur auf eektrische Dipofuktuationen bei Frequenz Nu, die nur Casimir-Energie bei hohen Temperaturen beitragen. Bei endichen Temperaturen muss in der Matsubara-Summe jedoch die Frequenzabhängigkeit der reative Permittivität berücksichtigt werden und es kann nur Casimir-Abstoßung auftreten, wenn (3.7) für eine ausreichende Anzah an Matsubara-Frequenzen git. Bei dynamischen Fuktuationen ist ωl/c nicht zwangsäufig kein, sondern kann beiebig groß sein. Dann muss die Information der Phasenage der beiden Dipomomente berücksichtigt werden und es müssen außerdem auch höhere Mutipomomente berücksichtigt werden, da nicht mehr aein Dipofeder dominieren. Sind die beiden Objekte ungeaden, so gibt es zwei unterschiediche Poarisationen der Mutipofeder, die zwischen den beiden Objekten refektiert werden können. Bei sphärischer Symmetrie sind das die Hansen-Mutipoe aus Kapite 2.1. Den induzierten Dipomomenten aus Abb. 11 entsprechen die eektrischen und magnetischen Mutipomomente, die bei der Refexion von eektromagnetischen Ween an Kugen angeregt werden. Die eektromaqnetischen Feder breiten sich nach der Refexion jeweis von einer zur anderen Kuge aus und führen Rundäufe (Roundtrips) zwischen den Streuern durch. die roundtrip-matrix der kuge-kuge-geometrie In der Kuge-Kuge-Geometrie ässt sich der Roundtrip-Operator M am einfachsten in der sphärischen Mutipobasis darsteen. In Kapite 2.4 wurden in dieser Basis die Mie-Koeffizienten für die Streuung an einer Kuge gefunden. Sie entsprechen in der Kuge-Kuge-Geometrie den abstrakten Streuoperatoren R. Da die Streuoperatoren in der Mutipobasis für zwei verschobene Kugestreuer nur in den Koordinatensystemen mit Ursprung im jeweiigen Kugemittepunkt diagona sind, müssen Mutipofeder transatiert werden. Das Auftreten der Transationskoeffizienten (2.6.1) trägt dieser Transation für Koordinatensysteme Rechnung, die entang ihrer gemeinsamen z-achse gegeneinander verschoben sind. Sie sind die Darsteung der Transationsoperatoren T in der Mutipobasis.

51 3.2 die roundtrip-matrix der kuge-kuge-geometrie 51 Der Roundtrip-Operator M ässt sich im Poarisationsraum TE- bzw. TMpoarisierter Feder für jede Quantenzah m as eine 2 2-Matrix darsteen: M (m) = ( M EE M ME M EM M MM ). (3.8) Da TE- bzw. TM-poarisierte Mutipostrahung von magnetischen (M) bzw. eektrischen (E) Mutipoen erzeugt wird, werden TE und M bzw. TM und E von nun an synonym verwendet. M ist nicht diagona, sondern enthät Koppungsterme M EM,ME, die dafür verantwortich sind, dass eektrische- und magnetische Mutipofuktuationen in der Kuge-Kuge-Geometrie mischen (s. Kapite 2.3). Im Drehimpusraum ist jeder der Einträge in (3.8) wiederum eine Matrix, deren Einträge sich gemäß M (m) 1, 2 = ( b a 1 ) ( T EE 1, ;m T ME 1, ;m T EM 1, ;m T MM 1, ;m ) ( b 0 0 a ) ( T EE 2, ;m T ME 2, ;m T EM 2, ;m T MM 2, ;m (3.9) bestimmen assen. G. (3.9) ist unmittebar anzusehen, dass es durch den transationsbedingten Basiswechse zur Poarisationsmischung kommt. Die Koppung der Poarisationen in der Kuge-Kuge Geometrie ist ein nichttriviaer Unterschied, den die Roundtrip-Matrix der Kuge-Kuge-Geometrie im Gegensatz zum entsprechenden Ausdruck einer Geometrie mit zwei paraeen Patten aufweist. In Kapite 4.1 wird sich zeigen, dass die poarisationsmischenden Einträge der Roundtrip-Matrix dafür verantwortich sind, dass für zwei perfekt eitfähige Kugen negative Casimir-Entropie auftreten kann, während die entsprechende Entropie zweier perfekt eitfähiger Metapatten stets positiv ist. Die Lage der Koordinatenursprünge von O 1 und O 2 kann so gewäht werden, dass der Transationsvektor d = dẑ entang der gemeinsamen z-achse zeigt. Diese speziee Wah garantiert, dass die z-komponente m des Drehimpuses bei einem Wechse zwischen den beiden Koordinatensystemen erhaten und die Roundtrip-Matrix diagona in jedem Drehimpus-Unterraum (m) ist. Die Determinante (3.2) zerfät dann in eine Summe über die Beiträge der einzenen m-unterräume: F = 2k B T m=0 [ ] n det I M (m) (ξ n ). (3.10) n=0 Der Term 2 m berücksichtigt, dass auf Grund der Rotationssymmetrie um die z-achse, abgesehen vom m = 0-Beitrag, jeder Beitrag zu m 1 zweifach entartet ist. ) Beschränkung der Mutipobasis Aus numerischer Sicht muss (3.10) in dreierei Hinsicht approximiert werden:

52 52 die casimir-wechsewirkung in der streutheorie Abb. 12: a) Die interne Kuge-Kuge-Geometrie besteht aus einer Hohkuge des Innenradius R 2, in wecher sich eine keinere Kuge mit dem Radius R 1 befindet. Für den Abstand, den die beiden Kugemittepunkte entang der gemeinsamen z-achse besitzen git d R 2 R 1. b) In der externen Kuge-Kuge-Geometrie sind die Kugemittepunkte zweier Kugen um die Länge d R 1 + R 2 gegeneinander verschoben.

53 3.2 die roundtrip-matrix der kuge-kuge-geometrie Eine Obergrenze ξ max muss für die Matsubara-Summe bzw. das entsprechende T = 0 Integra gewäht werden. 2. Der Drehimpusraum der Mutipobasis in O 1 muss beschränkt werden auf den maximaen Drehimpus max, der für die Streuung an der Kuge K 1 berücksichtigt wird, 3. Ein maximaer Drehimpus max für die Transation in das Koordinatensystem O 2 muss gewäht werden. Er entspricht dem maximaen Drehimpus der für die Refexion an K 2 Berücksichtigung findet. Um diese drei Aufgaben zu bewerksteigen sind der quasistatische und der Hochfrequenz-Limes aus Abschnitt (2.6) sehr hifreich. Für die nachfogenden Betrachtungen ist es ausreichend perfekt refektierende Kugen zu betrachten, da hier die Konvergenzkriterien strenger sind as für Kugen endicher Refektivität. Aus dem Skaierungsverhaten der Refexions- bzw. Transationskoeffizienten (s. Abschnitt 2.6.5) bei hohen Frequenzen ξ bzw. Weenzahen κ = ξ/c geht hervor, dass die Einträge der Roundtrip-Matrix für große κ in der externen Kuge-Kuge-Geometrie (s. Abb. 12b)) skaieren wie im M(κ) κ e2κr 1 e κd e 2κR 2 e κd = e 2κL. (3.11) In der internen Geometrie (s. Abb. 12a)) ergibt sich gemäß des Abschnitts das geiche Skaierungsverhaten: im M(κ) κ e2κr 1 e κd e 2κR 2 e κd = e 2κL. (3.12) Auf Grund dieses Skaierungsverhatens beschränkt der Abstand L die zum Casimir-Effekt beitragendeng Weenzahen auf κl 1. Der empirische Zusammenhang [129, 130] max kr (3.13) iefert zusätzich eine Bedingung an die erforderiche Anzah max, die benötigt wird, um die Streuung einer eektromagnetischen Wee mit Weenzah k an einer Kuge mit Radius R zu beschreiben. In der Konsequenz assen sich κ max und max durch eine Konstante η parametrisieren [131] κ max = η 1 L, max = R 1 κ max = η R 1 L, max = R 2 κ max = η R 2 R 1 max, die entsprechend der gewünschten Genauigkeit groß genug zu wähen ist. Da max die Dimension der Roundtrip-Matrix festegt, ist es günstig, den Roundtrip-Operator im Koordinatensystem der Kuge mit dem keineren Radius R 1 < R 2 darzusteen. Dies hängt damit zusammen, dass die

54 54 die casimir-wechsewirkung in der streutheorie ( ) 3 Berechnung der Determinanten einer max max -Matrix O max Rechenoperationen erfordert und damit den gesamten Rechenaufwand dominiert. Abbidung 13 zeigt den Logarithmus des reativen Fehers ε(κ) = wecher bei der Berechnung von D(κ, η) 1, (3.14) D(κ, η ) D(κ) = max [ ] n det I M (m) (κ) m=0 (3.15) im Rahmen der Berechnung der freien Casimir-Energie (3.10) für zwei perfekt eitfähige Kugen mit den Radien R 1 = R 2 = R entsteht, wenn der maximae Drehimpus gemäß max = ηr 1 /L gewäht wird. Für die Berechnung des exakten Referenzwerts D(κ, η ) wurde max = 200 gewäht, womit das Ergebnis sebst beim keinsten Abstand nach einer Erhöhung von max auf 210 auf sieben Ziffern genau ist. In Abb. 13 ist der reative Feher für keine Abstände L/R 1 = 0.05 und L/R 1 = 0.1 bzw. mittere Abstände L/R 1 = 1 bzw. L/R 1 = 2 as schwarze durchgezogene und gestrichete bzw. baue durchgezogene und gestrichete Linie zu sehen. Da die durchgezogenen und gestricheten Linien für keine Abstände sehr dicht zusammen iegen hängt ε bei keinen Abständen kaum vom Abstand ab. Die schwarze durchgezogene Linie wurde in der voriegenden Arbeit daher benutzt, um für keine Abstände einen Zusammenhang zwischen gewünschter Präzision ε und dem zu wähendem maximaen Drehimpus zu finden. Wird eine Präzision von ε = 10 4 gewünscht, so ässt sich an Abb. 13 abesen, dass η 5 gewäht werden muss. Bei großen Abständen wird mit dieser einfachen Parametrisierung des Abschneidedrehimpuses max jedoch der Dipoimes zu früh erreicht. Auf Erfahrungswerten basierend wurde für den Zusammenhang zwischen der gewünschten Präzision ε beim Abstand L/R und dem dafür erforderichen maximaen Drehimpus max der Zusammenhang ( ) max (1) exp og 10 (ε) 1 3 = + 3 R1 L max + 4, 1 (3.16) 13 verwendet, wecher für ε = 10 5 bzw. ε = 10 3 (baue durchgezogene bzw. gestrichete Linie) in Abb. 14 mit dem Ausdruck (2) max = η R 1 L (3.17) für η = 7.5 bzw. η = 4.0 (schwarze durchgezogene bzw. gestrichete Linien) vergichen wird. Es wird deutich, dass die beiden Ausdrücke für geringe Abstände sehr ähniche Vorhersagen für den maximaen Drehimpus iefern. Dass die gewünschte Präzision mit Hife des Ausdrucks (3.16) auf jeden

55 3.2 die roundtrip-matrix der kuge-kuge-geometrie 55 ε(κ = 0) L/R = 0.05 L/R = 0.10 L/R = 1.00 L/R = η Abb. 13: Der reative Feher ε, G. (3.14), der bei der Berechnung von D bei Weenzah Nu für perfekt eitfähige Kugen mit den Radien R 1 = R 2 = R in Abhängigkeit des Parameters η entsteht. Schwarze durchgezogene bzw. gestrichete Linien entsprechen den Abständen L/R = 0.05 bzw. L/R = 0.1; baue durchgezogene bzw. gestrichete Linien stehen für L/R = 1 bzw. L/R = 2. Ein Vergeich der schwarzen und der bauen Kurven zeigt, dass ε für keine Abstände L/R 1 1 nur schwach vom Abstand abhängt, während dies für Abstände L R nicht mehr der Fa ist.

56 56 die casimir-wechsewirkung in der streutheorie max (L/R1) (1) max(ɛ = 10 5 ) (2) max(η = 7.5) (1) max(ɛ = 10 3 ) (2) max(η = 4.0) L/R 1 Abb. 14: Vergeich des beim Abstand L/R 1 benötigten Drehimpuses, um gemäß (3.16) eine Präzision von ε = 10 5 bzw. ε = 10 3 zu erreichen (baue durchgezogene bzw. gestrichete Linien) mit dem gemäß (3.16) vorhergesagten Abschneidedrehimpus für η = 7.5 bzw. η = 4 (schwarze durchgezogene bzw. gestrichete Linie). Die Stufenform der bauen Linien spieget wider, dass nur ganzzahige positive Werte as Abschneidedrehimpus sinnvo sind. Fa erreicht wird, ässt sich daher an Hand der schwarzen Linie in Abb. 13 verifizieren. Der Offset +4 in (3.16) verhindert, dass bei großen Abständen der Dipoimes zu früh erreicht wird und die Präzision nachässt. Die Stufenform der bauen Kurven spieget die Tatsache wider, dass nur ganzzahige Werte für den Abschneidedrehimpus zugeassen sind. Numerische Berechnung der freien Casimir-Energie Für die stabie numerische Berechnung der Roundtrip Matrix muss erhebicher Aufwand betrieben werden. Das hat vor aem damit zu tun, dass für die Berechnung der Casimir-Wechsewirkung zweier Kugen das eektromagnetische Kuge-Kuge-Streuprobem für eine große Anzah an Frequenzen und eine Anzah Mutipomomenten geöst werden muss, die gemäß Abb. 14 für keine Abstand sehr stark ansteigt. As besonders kritisch haben sich dabei die fogenden Faktoren herausgestet: Die stabie Definition modifizierter sphärischer Bessefunktionen i, k, die performante und stabie Berechnung von Gaunt-Koeffizienten, die bei der Transation von Vektor-Mutipoen auftreten,

57 3.2 die roundtrip-matrix der kuge-kuge-geometrie 57 a T 2,m,PP 1,m κ 0 (κr) 2+1 (κd) 1 2 κ exp (2κR) exp ( 2κd) Tab. 2: Skaierungsverhaten des Betrags der Streu- bzw. Transationskoeffizienten für keine und große Argumente. die Berechnung der Determinanten von Matrizen, deren Einträge von sehr unterschiedicher Größenordnung sind. berechnung modifizierter bessefunktionen Die in der Bockmatrix auftretenden Matrixeemente setzen sich aus einem Produkt von Streu- und Transationsmatrizen zusammen. Diese haben für große und keine imaginäre Frequenzen die Eigenschaften aus Tab. 2, weche im Kern durch die modifizierten sphärischen Bessefunktionen verursacht werden. In Foge dieses Skaierungsverhatens ist sowoh die Berechnung der Streukoeffizienten probematisch, da ihr Betrag sehr groß wird, as auch die Berechnung der Transationskoeffizienten, da diese sehr kein werden. Numerisch ergibt sich dadurch die Kompikation, dass zwar der Ausdruck n det [I M] (3.10) einwandfrei as Fießkommazah darstebar ist, die Bestandteie aus denen er aufgebaut wird jedoch einerseits numerisch nu werden und andererseits divergieren. Die Abhängigkeiten aus Tabee 2 geten so im Wesentichen auch für TE- Mie-Koeffizienten, b. Im internen Mie-Probem vertauscht sich das Skaierungsverhaten der Streu- und Transationskoeffizienten und die oben beschriebene Probematik beibt erhaten. Die Diagonaeemente der Roundtrip-Matrix sind trotz der unterschiedichen Größenordnungen der einzenen Faktoren insgesamt ungefähr von der Größenordnung Eins. Auf der Nebendiagonaen faen die Größenunterschiede der Matrixeemente jedoch riesig aus. Mit Fießkommazahen 2 assen sich nur Zahen zwischen ungefähr ± darsteen. Diese Spannbreite reicht wegen des einerseits exponentieen und andererseits divergenten Verhatens der Bestandteie des Roundtrip-Operators jedoch nicht für die Darsteung der Matrixeemente aus. Dieses Probem wurde in der voriegenden Arbeit dadurch geöst, dass nicht die modifizierten Bessefunktionen i und k, sondern deren natüriche Logarithmen berechnet wurden. Während sich für die Ordnungen = 0 und = 1 einfache anaytische Ausdrücke benutzen assen, erfogt die Berechnung von modifizierten sphärischen Bessefunktionen höherer Ordnung durch Aufwärtsrekursion. Im Fae der i wurden zusätzich die Eigenschaf- 2 Für die Numerik werden Foat-Variaben der Python Standardbibiothek bzw. für die meisten Programmteie 64-bit NumPy-Foats verwendet.

58 58 die casimir-wechsewirkung in der streutheorie ten der Wronski-Determinante [132] benutzt, die sich in Impementierungen für die Kuge-Patte-Geometrie [131, 133] bewährt hat. So ergibt sich beispiesweise: ( ) n i +1 (x) = n π 2x 2 n k exp n k (x) n k +1 (x) +1(x) n + 1 f (x) (3.18) wobei hier benutzt wurde, dass sich das Verhätnis aus modifizierten sphärischen Bessefunktionen i as Kettenbruch f (x) = i +1(x) i (x) = x x (3.19) berechnen ässt [ ]. Für die Berechnung von natürichen Logarithmen der modifizierten sphärischen Bessefunktionen k können direkt die Rekursionsbeziehungen [137] benutzt werden: n k (x) = n k 1 (x) + n [ ( ) exp n k 2 (x) n k 1 (x) ]. (3.20) x Bei der Berechnung von Mie-Koeffizienten in dieektrischen Medien entsteht das Probem, dass diese Nu werden können. Da der Logarithmus von Mie-Koeffizienten somit nicht immer definiert ist, muss ein kritischer Faktor abgespaten werden, wecher neben eines im Agemeinen auch negativen Vorzeichens eben diesen Nudurchgang enthät. Die Produkte der Streu- und Transationskoeffizienten wurden mit den ogarithmierten Bessefunktionen berechnet und anschießend durch eine orthogonae Transformation spur- bzw. determinanteninvariant reskaiert. 3 Die Stabiität der numerischen Berechnung der ogarithmierten Bessefunktionen wurde durch zahreiche Unittests verifiziert. berechnung der transationskoeffizienten Neben den modifizierten sphärischen Bessefunktionen verangt die Transation des Koordinatensystems in der Mutipobasis auch die Berechnung von Drehimpus-Koppungskoeffizienten, den Gaunt-Symboen (s. Anhang A.4). Für diese wurde die rekursive Berechnung nach [139] verwendet, deren Stabiität in den erforderichen Parameterbereichen ebenfas durch Unittests abgesichert ist. berechnung der determinanten Die freie Casimir-Energie wird im Rahmen der Streutheorie durch die Berechnung einer Determinante bestimmt, weche den Roundtrip-Operator 3 Die Idee für die Verwendung von Logarithmen für die Berechnung der Bestandteie der Roundtrip-Matrix geht auf Michae Hartmann [138] zurück.

59 3.3 die singe-roundtrip-approximation 59 enthät. Neben den oben beschriebenen Kompikationen zeigte sich jedoch, dass eine direkte Berechnung der Determinanten mittes QR-Zeregung auf Grund der Größenunterschiede der Matrixeemente numerisch instabi ist. Abhife konnte in diesem Punkt die Baancierung der Roundtrip-Matrix direkt vor der Berechnung der Determinanten schaffen. Die verwendete Transformation mit einer orthogonaen Matrix wurde in [140] as Agorithmus Nr. 3 für die stabie numerische Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren vorgeschagen und eraubte die stabie Berechnung der auftretenden Determinanten. berechnung der casimir-kraft und entropie Während die freie Casimir-Energie bei Temperaturen T > 0 durch die Auswertung der Matsubara-Summe (3.2) bzw. bei T = 0 durch Integration (3.6) berechnet wird, erfogt im Rahmen dieser Arbeit die Berechnung der Casimir-Kraft F bzw. der Casimir-Entropie S durch numerische Differentiation der freien Casimir-Energie F nach dem Abstand bzw. der Temperatur. Es werden Finite-Differenzen zweiter Ordnung der NumPy-Funktion numpy.gradient aus NumPy v verwendet. Diese Berechnung hat sich im Rahmen der voriegenden Arbeit bewährt, da die freie Energie fast immer as Funktion des Abstands mit einer feinmaschigen Abtastung berechnet wurde. Außerdem wurde ausgenutzt, dass die Berechnung der freien Casimir-Energie bei endichen Temperaturen die Berechnung einer Summe über Viefache der ersten Matsubara-Frequenz ξ 1 = 2πk B T/ h erfordert. Dementsprechend ässt sich die freie Energie bei der doppeten, dreifachen... Temperatur erhaten, in dem nur jeder zweite, dritte,... Term D(ξ n )) der Matsubara-Summe zur Temperatur T gezäht wird. An Steen, an denen die Casimir-Kraft nicht as Funktion des Abstands, sondern entweder as Funktion der Temperatur, oder der Kugeradien, berechnet wurde, sind Finite-Differenzen vierter Ordnung verwendet worden. Die Casimir-Kraft zweier Kugen im Abstand L autet dann F(L) 1 12 F(L + 2 ) F(L + ) F(L + 2 ) 2 3F(L + ), (3.21) benötigt die freie Casimir-Energie bei den Abständen L ± und L ± 2 und ist mit einem Feher der Größenordnung 4 behaftet. die singe-roundtrip-approximation Die freie Casimir-Energie ist eine kompizierte Funktion der gewähten Materiaparameter und der Geometrie. Die Geometrie iefert in der Kuge-Kuge- Anordnung die Längen R 1, R 2 und den Mittepunktabstand d. Bei endichen Temperaturen definiert die erste Matsubara-Frequenz die thermische Weenänge λ T = hc/2πk B T, weche bei Raumtemperatur, T = 293 K, ungefähr 1.2 µm beträgt. Zusätzich steuert die Beschreibung von metaischen Kugen im Rahmen des einfachen Drude-Modes zwei Frequenzen, die Pasmafre-

60 60 die casimir-wechsewirkung in der streutheorie quenz ω P und die Dissipationsfrequenz γ bei. Insgesamt ergeben sich mit der korrespondierenden Pasma-Weenänge λ P = 2πc/ω P und Dissipations- Weenänge λ γ = 2πc/γ insgesamt sechs unabhängige Längenskaen. Auf Grund des Zusammenspies vieer unterschiedicher Längenskaen und der Tatsache, dass die Roundtrip-Matrix gemäß Abb. 14 bei keinen Abständen rasch sehr groß wird, ässt sie sich die freie Energie im Agemeinen nur durch eine numerische Berechnung der Matsubara-Summe bestimmen. Bei großen Abständen L/R 1 1 tritt jedoch der Dipoimes ein und M schrumpft auf eine 2 2 Matrix zusammen. Die Identität n det = Tr n kann im Dipo-Limes dazu benutzt werden, den Ausdruck der freien Casimir Energie (3.2) durch eine Reihenentwickung des Logarithmus anzunähern: n det [ I M(κ n ) ] Tr M(κ n ) 1 2 Tr M(κ n) , (3.22) wobei der führende Term nur die Berechnung der Spur (Tr) der Roundtrip- Matrix erfordert. Die Summe über Potenzen der Matrix M kann as Addition immer höherer Rundäufe eektromagnetischer Ween zwischen den Streuern interpretiert werden. In der inearisierten Version autet die freie Casimir-Energie F SRA = k B T m=0 Tr M (m) (κ n ) (3.23) n=0 und es findet nur ein einfacher Roundtrip (singe round trip) eektromagnetischer Ween zwischen den beteiigten Objekten Berücksichtigung. Die Nebendiagonaeemente von M spieen auf Grund der Spur dabei keine Roe. Geichung (3.9) iefert die Diagonaeinträge von M, die in Singe-Roundtrip- Näherung (SRA) beitragen. In der externen Kuge-Kuge-Geometrie fogt M MM [ ] 1, 2 = b 1 T MM 1, ;m b MM T, 2 ;m + T ME 1, ;m a EM T, 2 ;m, (3.24a) =1 M EE [ ] 1, 2 = a 1 T EE 1, ;m a EE T, 2 ;m + T EM 1, ;m b ME T, 2 ;m, (3.24b) =1 wohingegen in der internen Geometrie die entsprechenden Matrixeemente M MM [ ] 1, 2 = b 1 T MM 1 1, 1 ;m b T MM 1, 2 ;m + T ME 1 1, ;m a 1 T EM, 2 ;m 1, (3.25a) =1 M EE [ ] 1, 2 = a 1 T EE 1 1, ;m a 1 T EE 1, 2 ;m + T EM 1 1, 1 ;m b T ME, 2 ;m 1, (3.25b) =1 auten. Die inversen Mie-Koeffizienten treten in der internen Kuge-Kuge-Geometrie dabei in Kombination mit den inversen Transationskoeffizienten T 1

61 3.3 die singe-roundtrip-approximation 61 i auf. T beschreibt die Umwandung von reguären (ausaufenden) Mutipofedern in O 1 zu reguären (ausaufenden) Mutipofedern in O 2, während T 1 bei der Transation reguäre in ausaufende und ausaufende in reguäre Mutipofeder umwandet. Damit wird der Tatsache Rechnung getragen, dass bei Roundtrips zwischen K 1 und K 2 in der internen Kuge-Kuge-Geometrie ausaufende bzw. reguäre Feder in O 1 in O 2 auf der Kugeoberfäche K 2 ebenfas as ausaufende bzw. reguäre Feder dargestet werden müssen. Anaog besitzen die Feder, die von K 2 in den Kugeinnenraum zurückgeworfen werden keine Queen im Ursprung von O 2 und sind daher sowoh in O 2, as auch O 1 reguär. In der externen Kuge-Kuge-Geometrie müssen dagegen Feder, die in O 1 bzw. O 2 ausaufend sind, in O 2 bzw. O 1 as reguäre Feder beschrieben werden, da sich die Fedquee nicht im jeweis verschobenen Koordinatenursprung befindet. Für den Refexionskoeffizienten inks des Summenzeichens in den Gn. (3.24,3.25) versteht sich die Verwendung von R 1 für den reevanten Kugeradius der Kuge K 1, während rechts des Summenzeichens R 2 as Radius der Kuge K 2 benutzt werden muss. In SRA existieren im Poarisationsraum drei eementare Beiträge bezügich der Poarisationen, weche auf den beiden Kugen refektiert werden: Erhatung eektrischer (bzw. TM-) Poarisation (E E), Erhatung magnetischer (bzw. TE-) Poarisation (M M), Poarisationsmischung (E M, M E). Besitzen beide Kugen den geichen Radius und identische Materiaeigenschaften, so können die beiden skizzierten Mögichkeiten für Poarisationsmischung nicht voneinander unterschieden werden. Die Unterscheidung der Streuvorgänge bzg. der Poarisationskanäe wurde für Nanopartike mit anisotropen Poarisierbarkeiten in [141] und für zwei Kugen bzw. eine Kuge und eine Patte erstmas [78] durchgeführt. Die Gütigkeit der SRA wird in Abb. 15 für die externe und die interne Kuge-Kuge-Geometrie zweier perfekt eitfähiger Kugen am Beispie der Casimir-Energie bei Temperatur Nu, F 0 as Funktion des Abstands L/R 1 iustriert. Das Verhätnis der beiden Kugeradien beträgt R 2 /R 1 = 4. In der internen Kuge-Kuge-Geometrie sind die Beiträge von Roundtrips höherer Ordnung beim seben Oberfächenabstand größer as in der externen Geometrie. Verstehen ässt sich das dadurch, dass in der internen Geometrie Strahung, weche an der Hohkuge refektiert wird, nicht ins Unendiche entweichen kann, sondern stets zur keinen Kuge zurückgeworfen wird. Die SRA (3.23) ist für ae gezeigten Abstände ausgesprochen genau, wenn man bedenkt, dass hier nur die Diagonaeinträge des Roundtrip-Operators berücksichtigt werden. In der internen Geometrie ist die Konvergenz der SRA jedoch nur für R 2 /R 1 1 zu erwarten, da andernfas keine beiebig großen Oberfächenabstände L/R 1 mögich sind.

62 62 die casimir-wechsewirkung in der streutheorie 1 R 2 L R 1 F SRA /F exakt 0 SRA 0 exakt R 2 R 1 L 0.94 externe Geometrie interne Geometrie L/R 1 Abb. 15: Das Verhätnis der Casimir-Energie bei Temperatur Nu in SRA F0 SRA und dem exakten Wert F0 exakt as Funktion des Oberfächenabstands L/R 1. As durchgezogene und gestrichete Linie sind die externe bzw. interne Geometrie für die Kugeradien R 2 = 4R 1 gezeigt. In der internen Geometrie konvergiert die SRA auf Grund der geometrischen Einschränkung L/R 1 R 2 /R 1 1 nur für sehr große Kavitäten R 2 /R 1 1 gegen den exakten Wert der freien Energie.

63 3.4 die roundtrip-matrix der patte-patte geometrie 63 Die SRA wird in Kapite (4.1) benutzt, um die Casimir-Energie F und Entropie S poarisationsaufgeöst zu studieren. die roundtrip-matrix der patte-patte geometrie In Kapite wird die Casimir-Entropie zweier Kugen der entsprechenden Entropie S PP = T F PP zweier Metapatten gegenübergestet. Die freie Casimir-Energie zweier unendich ausgedehnter pan-paraeer Patten (s. Abb. 16) im Abstand L kann as Energie pro Pattenoberfäche [71, 35] F PP A = k BT 2π P=TE,TM n=0 0 dκ κ [1 r P 1 rp 2 e 2κ MdL ] (3.26) geschrieben werden. Die Streuung an pan-paraeen Patten und räumiche Transationen ässt sich sehr einfach in der Basis ebener Ween darsteen. Diese Basis wird daher gewäht, um den Roundtrip-Operator in der Patte- Patte-Geometrie darzusteen. κ bezeichnet die Projektion des Weenvektors κ in die von den Metapatten aufgespannte Ebene. Die Abkürzung κ Md = (κ ) 2 + (ξn Md /c) 2 (3.27) steht für die Weenzah eektromagnetischer Ween im Medium zwischen den Patten, während κ i = (κ ) 2 + (ξn i /c) 2 (3.28) mit i = 1, 2 die entsprechende Weenzah eektromagnetischer Ween in den beiden Patten bezeichnet. Die Streuoperatoren der beiden Patten werden in der Basis ebener Ween zu transversa-eektrischen (P = TE) bzw. transversa-magnetischen (P = TM) Fresne-Koeffizienten. Jede der beiden Transationen iefert einen Faktor exp( κ Md L). Für den Fa unendich dicker Patten nehmen die Fresne- Koeffizienten bei imaginären Frequenzen ω = iξ die Gestat [142] ri TM (ξ, κ ) = ɛ iκ Md ɛ Md κ i ɛ i κ Md + ɛ Md κ i (3.29a) ri TE (ξ, κ ) = µ iκ Md µ Md κ i, (3.29b) µ i κ Md + µ Md κ i an, wobei der Index i die Werte 1 und 2 annehmen kann und den entsprechenden Fresne-Koeffizienten der ersten bzw. zweiten Patte bezeichnet. n 1 und n 2 bzw. n Md stehen für die Brechungsindizes der beiden Patten bzw. des Mediums zwischen den Patten. Eine anaoge Indizierung git auch für die Permittivitäten und Permeabiitäten. Die Fresne-Koeffizienten (3.29) sind as Refexionskoeffizienten unendich dicker gatter Patten des Brechungsindex n P im Medium mit dem Brechungsindex n Md zu verstehen. Ausdrücke für beschichtete Patten bzw. Patten mit endicher Dicke finden sich z. B. in [142].

64 64 die casimir-wechsewirkung in der streutheorie Abb. 16: In der Patte-Patte-Geometrie stehen sich zwei pan-paraee Patten im Abstand L gegenüber. Die Materiaeigenschaften der Patten werden durch die Brechungsindizes n 1 und n 2 bzw. durch eine anaog indizierte Permittivität bzw. Permeabiität beschrieben. Der Brechungsindex des Mediums zwischen den Patten autet n Md. Die Oberfäche A der Metapatten sei sehr groß und die Patten dick genug um Randeffekte vernachässigen zu können. In der Patte-Patte-Geometrie entkoppen die beiden Poarisationen TE und TM in der gewähten Basis ebener Ween. Die Bedeutung des Abstands L wird im Ausdruck der freien Casimir-Energie (3.26) sehr transparent. Beiträge großer Weenzahen, κ Md L 1, werden durch den Abstand L exponentie unterdrückt. Der Berechnung der freien Casimir-Energie in der Patte-Patte-Geometrie kommt heutzutage nicht nur Bedeutung auf Grund der Tatsache zu, dass es sich um die Geometrie handet, die Casimir ursprüngich betrachtete. Viemehr ist G. (3.26) ein Ausgangspunkt zur Abschätzung von Casimir- Wechsewirkungen in Geometrien die geringere Symmetrie aufweisen as paraee Patten. die proximity force approximation Die sogenannte Derjaguin [39] bzw. Proximity Force Approximation [40 42] (PFA) kann bei keinen Oberfächenabständen benutzt werden die Casimir- Kraft F bzw. die Casimir-Energie F abzuschätzen. Die freie Casimir-Energie zweier Kugen berechnet sich in PFA aus dem Integra F PFA = dσ F PP (T, z) A (3.30) über die beiden Kugeoberfächen. Für zwei Kugen ist es beispiesweise mögich das Integra in Zyinderkoordinaten (ρ, φ, z) über die zwei Habkugen auszuführen [35, Kapite 6.5], die sich in Abb. 17 zugewandt sind.

65 3.5 die proximity force approximation 65 Abb. 17: In PFA kann die freie Casimir-Energie as ein Integra der freien Casimir-Energie pan-paraeer Patten pro Pattenfäche F PP /A über die Oberfäche der wechsewirkenden Kugen berechnet werden. In Zyinderkoordinaten ässt sich die Integration über die Oberfäche der keineren Kuge R 1 < R 2 besonders einfach mit Hife der Koordinate ρ schreiben, 0 ρ R 1. Zwei Kreisringe auf den Kugeoberfächen haben dabei den Abstand z(ρ) = L + R 1 R 1 1 (ρ/r1 ) 2 + R 2 R 2 1 (ρ/r2 ) 2. Mit dem Oberfächeneement dσ = ρdρdφ in Zyinderkoordinaten ässt sich die Integration über den Winke φ trivia ausführen und es ergibt sich: R1 F PFA = 2π dρ ρ F PP ( T, z(ρ) ). (3.31) 0 A An dieser Stee muss angemerkt werden, dass die oben getroffene Wah der Integration über die Oberfäche der keineren Kuge R 1 < R 2 nicht die einzige mögiche Wah ist [131, Anhang B]. In G. (3.31) wird der Krümmung der Kugen zumindest teiweise durch den okaen Abstand der Kreisringe Rechnung getragen, obgeich über F PP nur die Eektrodynamik für die Refexion an einer panen Oberfäche einfießt. Die PFA-Kraft F PFA kann durch Differentiation nach dem Abstand aus der freien PFA-Energie (3.31) erhaten werden. In der Literatur wird jedoch unter F PFA fast ausschießich eine Näherung verwendet, die aus einer Entwickung des Oberfächenabstands z(ρ) in der Koordinate ρ hervorgeht: z L + R ( 1R 2 ρ 2 + O ρ 4). (3.32) 2R 1 R 2 Motivieren ässt sich diese Entwickung dadurch, dass die Casimir-Energie bei keinen Abständen i. d. R. mindestens wie 1/L 2 vom Abstand abhängt und daher der Hauptantei des Oberfächenintegras von keinen ρ getragen wird. Der Abbruch nach dem quadratischen Gied iefert ρdρ = R 1R 2 R 1 +R 2 dz und G. (3.31) wird zu F PFA 2πR 1R 2 R 1 + R 2 L+R1 +R 2 L dz F PP (T, z). (3.33) A

66 66 die casimir-wechsewirkung in der streutheorie Die Definition der Casimir-Kraft, F = F L, iefert unmittebar den Integranden aus (3.33) an den Integrationsgrenzen [ F PFA 2πR 1R 2 F PP (T, L) F ] PP (T, L + R 1 + R 2 ), (3.34) R 1 + R 2 A A wobei der zweite Term in der eckigen Kammer für keine Abstände L/R 1,2 1 immer vernachässigt werden kann. In der internen Kuge-Kuge-Geometrie muss die Summe R 1 + R 2 im Vorfaktor der Gn. (3.33,3.34) durch R 2 R 1 ersetzt werden [143]. Wie gewohnt bezeichnet R 2 den Radius der größeren Kuge, d. h. in der internen Geometrie den Radius der Kavität. Im Rahmen dieser Arbeit wird die Gütigkeit der PFA in Kapite für verschiedene Materiakombinationen untersucht. As PFA-Kraft F PFA wird G. (3.34) verstanden, wenn der zweite Term in der eckigen Kammer vernachässigt wird.

67 Tei III E R G E B N I S S E

68

69 4 D I E E X T E R N E K U G E L - K U G E L - G E O M E T R I E Die im Rahmen des Casimir-Effekts am häufigsten diskutierte Geometrie ist die zweier paraeer Patten. Gefogt wird die Patte-Patte- von der Kuge- Patte-Geometrie, da diese bisang in den meisten Experimenten verwendet wird. Der Vergeich gemessener Kräfte und theoretischer Kraftvorhersagen erfogt in diesen Experimenten auf Basis der PFA, da bei den reaisierten Abständen L/R 100 die Berechnung exakter Ergebnisse bisang nicht mögich ist. Im Jahr 2015 wurde von der Arbeitsgruppe um Pauo Maia Neto von der Universidade Federa do Rio de Janeiro (UFRJ) die Verwendung optischer Pinzetten zur Messung der Casimir-Kraft zwischen Kugen erstmas eingesetzt. Auf Grund der hohen Kraftsensitivität ergibt sich die Mögichkeit von Messungen in Abstandsbereichen, in denen exakte Resutate numerisch berechnet werden können und es muss nicht auf die PFA zurückgegriffen werden. Die verwendete Geometrie ist schematisch in Abb. 18 dargestet und besteht im einfachsten Fa aus zwei homogenen Kugen K 1 und K 2, weche durch ihre Radien R 1 und R 2, sowie durch ihre reativen Permittivitäten bzw. Permeabiitäten ɛ 1 und ɛ 2 bzw. µ 1 und µ 2 beschrieben werden können. Da im Rahmen dieser Arbeit nur unmagnetische Materiaien (µ = µ 0 ) untersucht werden reicht eine Beschreibung der Materiaien durch den jeweiigen Brechungsindex n = ɛ r aus. Die Entfernung der beiden Kugemittepunkte beträgt d. Somit befinden sich die beiden Kugeoberfächen im Abstand L = d R 1 R 2 und für den Abstand zwischen dem Kugemittepunkt der Kuge K 1 und der Oberfäche der Kuge K 2 ergibt sich L = d R 2. Zwischen den Kugen befindet sich ein homogenes Medium mit dem Brechungsindex n Md, weches im Experiment Wasser ist. In der Literatur ist die Casimir-Wechsewirkung zwischen Kugen bisang nur für Kugen mit identischen Radien [83, 144] und bei sehr hohen Temperaturen [145] über die PFA hinaus diskutiert. Dies hat vor aem damit zu tun, dass erst jüngst auch die Kuge-Kuge-Geometrie experimentee Reevanz besitzt. Die voriegende Arbeit konzentriert sich in Kapite 4.1 zunächst darauf, die freie Casimir-Energie für zwei sehr keine Kugen im Rahmen der Diponäherung in die Beiträge unterschiedicher Poarisationen des eektromagnetischen Feds zu zeregen. Teie dieses Abschnitts wurden bereits in [78] 69

70 70 die externe kuge-kuge-geometrie Abb. 18: In der externen Kuge-Kuge Geometrie stehen sich zwei Kugen der Radien R 1, R 2 gegenüber. Die Kugen bestehen aus Materiaien mit den Brechungsindizes n 1 und n 2. Zwischen den Kugen befindet sich ein Medium mit dem Brechungsindex n Md. Die Kugemittepunkte sind um den Abstand d gegeneinander verschoben. pubiziert. Für metaische Kugen in Luft eraubt die Poarisationsanayse eine Identifikation von Beiträgen zur freien Energie, die entweder sensitiv auf die Leitfähigkeitseigenschaften der Kugen, oder auf die sphärische Geometrie der Streuer sind. Die Zeregung in verschiedene Poarisationskanäe wird im Abschnitt benutzt, um den Ursachen negativer Casimir- Entropie in der Patte-Patte-, Patte-Kuge- und Kuge-Kuge-Geometrie auf den Grund zu gehen. Die wesentichen Resutate wurden in [79] pubiziert. Das geichzeitige Auftreten von abstoßenden thermischen Kraftbeiträgen und negativer Entropie ist Diskussionsgegenstand von Abschnitt Der Abschnitt 4.2 beschäftigt sich mit verschiedenen Grenzfäen der Kuge- Kuge-Geometrie. In wird bei festem Oberfächenabstand L der Kugeradius R 2 vergrößert und dabei sowoh für sehr hohe Temperaturen, as auch Temperatur Nu der Übergang zur Kuge-Patte-Geometrie studiert. Bei fester Temperatur befindet sich die freie Casimir-Energie bei großen Abständen im Hochtemperatur- und bei geringen Abständen im Tieftemperatur- Regime. Der Übergang zwischen diesen beiden Abstandsbreichen wird in Kapite diskutiert. Kapite beschäftigt sich bei keinen Abständen L R 1, R 2 mit der Gütigkeit der PFA für perfekt eitfähige und metaische Kugen. Die Benutzung optischer Pinzetten zur Messung von Casimir-Kräften zwischen zwei Kugen [76] gibt aktueen Anass dazu, unterschiediche Materiakombinationen und den Einfuss von Krümmungseffekten der Kugeoberfächen zu untersuchen. Im Rahmen dieser Arbeit wurde daher großer Aufwand betrieben, um die freie Casimir-Energie und die Kraft numerisch für beiebige Materiakombinationen und Kugeradien berechnen zu können. Ergebnisse, die einen unmittebaren Bezug zu Experimenten haben, die an der UFRJ durchgeführt wurden, befinden sich in Kapite 4.3 und sind in Abb. 4 und Abb. 5 von [76] eingefossen.

71 4.1 F und S perfekt eitfähiger kugen im dipoimes 71 F und S perfekt eitfähiger kugen im dipoimes In Kapite 3 wurde gezeigt, dass die Einträge der Roundtrip-Matrix M bei großen Kuge-Kuge-Abständen d/r 1, d/r 2 1 vie keiner as Eins sind und die freie Energie in Singe Roundtrip Approximation berechnet darf. 1 Die Vernachässigung von Mehrfachrefexionen zwischen den Kugen eraubt es die freie Casimir-Energie in Beiträge zu zeregen, bei denen entweder beide Kugen TE- bzw. TM-poarisierte Feder refektieren, oder die von den beiden Kugen refektierte Poarisation unterschiedich ist. Da magnetische bzw. eektrische Mutipoe eektromagnetische Feder erzeugen, die TE- bzw. TM-poarisiert sind, werden nachfogend die Bezeichnungen E E bzw. M M as Abkürzung für Poarisationskanäe benutzt, bei denen beide Kugen TM- bzw. TE-poarisierte Feder refektieren. Entsprechend stehen E M bzw. M E für Poarisationskanäe, bei denen sich die Feder, die von den Kugen refektiert werden, in ihrer Poarisation unterscheiden. Das Skaierungsverhaten der Transationskoeffizienten im Großabstandsimes d/r 1, d/r 2 1, führt dazu, dass nur niedrige Frequenzen bzw. Weenzahen κ 1/d zur Matsubara-Summe beitragen und die Streuung der Kugen in Diponäherung beschrieben werden kann. Der Roundtrip-Operator wird dann zu einer 2 2-Matrix und die freie Casimir-Energie autet im Rahmen der SRA (s. Kapite 3.3) in Dipo-Dipo-Näherung F D.D. = 2k B T n=0 1 ) b 1 (T1,1;m PP b 1T1,1 PP ;m + T 1,1;m PP a 1T1,1;m PP + m=0 a 1 (T PP 1,1;m a 1T PP 1,1;m + T PP 1,1;m b 1T PP 1,1;m ). (4.1) Der Strich am Summenzeichen bedeutet, dass sowoh m = 0, as auch n = 0 in der jeweiigen Summe nur habes Gewicht tragen. Der Faktor zwei vor der Summe über n berücksichtigt, dass Mutipofeder zu m 1 auf Grund der Rotationssymmetrie um die z-achse zweifach entartet sind. Die auftretenden Produkte der Transationskoeffizienten assen sich schreiben as: ( 1 T1,1;0 PP T 1,1;0 PP = 9e 2κd (κd) ) 2 (κd) 3, (4.2a) T1,1;1 PP T 1,1;1 PP = 9 ( 1 4 e 2κd κd + 1 (κd) ) 2 (κd) 3 (4.2b) ( 1 T1,1;1 PP T 1,1;1 PP = 9 4 e 2κd κd + 1 ) 2 (κd) 2, (4.2c) 1 Der Gütigkeitsbereich der Singe Roundtrip Approximation ässt sich an Abb. 15 abesen. Für zwei perfekt eitfähige Kugen ist der Feher, der durch die Berechnung der freien Casimir-Energie in SRA entsteht, für L/R 1 > 0.1 keiner as 5 % des exakten Werts, der auch Mehrfachrefexionen berücksichtigt.

72 72 die externe kuge-kuge-geometrie wobei P und P as Patzhater für die mögichen Poarisationen E und M stehen, die eektromagnetische Feder in den Koordinatensystemen O 1 und O 2 besitzen können. An (4.2) ässt sich erkennen, dass Poarisationsmischung für κ 0 nicht zur Casimir-Energie beitragen kann, da (4.2c) nur 1/κ 4 ist, während (4.2a) und (4.2b) jeweis 1/κ 6 sind. Das Verschwinden poarisationsmischender Beiträge bei Frequenz Nu bzw. Weenzah Nu kann dadurch verstanden werden, dass der Limes κ 0 und d 0 für die Gn. 4.1 forma identisch sind und es bei verschwindender Verschiebung der Koordinatensysteme zu keiner Poarisationsmischung kommen kann. Die TM- und TE-Refexionskoeffizienten a PC 1 und b1 PC perfekt eitfähiger Kugen, die sich in Luft befinden, verhaten sich bei keinen Frequenzen κr 1 gemäß a PC (κr)3, (4.3a) b PC (κr)3, (4.3b) woran sich erkennen ässt, dass der TM-Koeffizient für = 1 betragsmäßig doppet so groß ist wie ein entsprechender TE-Koeffizient. Da die Einträge der Roundtrip-Matrix quadratisch in den Refexionskoeffizienten sind, beiben ae Ergebnisse unberührt von der Vorzeichenkonvention, die im Abschnitt 2.4 für die Mie-Koeffizienten vereinbart wurde. Mit Hife der dimensionsosen Temperatur ν = 2πk B Td/ hc (4.4) kann die freie Casimir-Energie in Dipo-Dipo-Näherung geschrieben werden as [78] F D.D. = hc 2πd ( ) R1 R 3 [ ] 2 d 2 f (0) E E + f (0) M M + f (1) E E + f (1) M M + f (1) E M + f (1) M E, (4.5) wobei das Superskript die Quantenzah m notiert und berücksichtigt wurde, dass die Beiträge von m = ±1 identisch sind. Unter Benutzung der Abkürzung g(ν) = ν/ sinh(ν) auten die Beiträge aus (4.5): f (0) E E = 2g(ν) cosh(ν) + 2g(ν)2 + g(ν) 3 cosh(ν), (4.6a) f (1) E E = 1 [ ( ) 2g(ν) cosh(ν) + 2g(ν) 2 + 3g(ν) 3 cosh(ν) + g(ν) 4 2 cosh 2 (ν) ( + g(ν) 5 cosh(ν) cosh 2 (ν) + 2) ], (4.6b) f (0,1) M M = 1 4 f (0,1) E E (4.6c)

73 4.1 F und S perfekt eitfähiger kugen im dipoimes 73 f (1) E M = 1 [ ( ) g(ν) 3 cosh(ν) + g(ν) 4 2 cosh 2 (ν) ( + g(ν) 5 cosh(ν) cosh 2 (ν) + 2) ], (4.6d) f (1) M E = f (1) E M. (4.6e) Die freie Energie perfekt eitfähiger Kugen ergibt sich im Dipoimes für beide Kugen für ae Temperaturen ν aus der Summe über die Kanabeiträge (4.6). Das Verhaten von F bei tiefen Temperaturen ässt sich durch eine Entwickung um ν = 0 gewinnen. In Übereinstimmung mit [83] autet die freie Tieftemperaturenergie perfekt eitender Kugen bei großen Abständen F D.D. TT F0 D.D. + F T D.D. = 143 hcr3 1 R3 2 16πd 7 8 hcπ5 R 3 1 R3 2 27d ( ) kb T 6 ( + O T 8), hc (4.7) wobei F0 D.D. die Nupunkts-Casimir-Energie und F T D.D. die führenden Tieftemperaturkorrekturen bezeichnet. F0 D.D. entspricht im Hinbick auf seine Abstandsabhängigkeit der Casimir-Poder-Wechsewirkungsenergie E CP = 23 hcα3 1 α3 2 4πd 7 (4.8) zweier eektrisch poarisierbarer Atome mit den Poarisierbarkeiten α 1 und α 2. Es ist bemerkenswert, dass die quantenmechanische Behandung der Wechsewirkungsenergie zweier Atome quaitativ der Casimir-Energie zweier makroskopischer Kugen entspricht, die sich in großem Abstand voneinander befinden. Da Casimir und Poder rein eektrisch poarisierbare Atome betrachten, assen sich F0 D.D. und E CP besser vergeichen, wenn die magnetischen Mie-Koeffizienten b 1 geich Nu gesetzt und nur eektrisch poarisierbare Kugen betrachtet werden: F e,d.d. 0 = 23 hcr3 1 R3 2 16πd 7. (4.9) Daran ässt sich erkennen, dass die Casimir-Wechsewirkung zweier makroskopischer Objekte, die aus vieen Atomen bestehen, bei großen Abständen forma identisch ist mit der Casimir-Poder Wechsewirkung zweier Atome der eektrischen Poarisierbarkeiten α 1 = R 3 1 /2 und α 2 = R 3 2 /2. Dem Grenzfa tiefer Temperaturen, G. (4.7), steht der Hochtemperaturfa gegenüber. Hier wird die freie Casimir-Energie aein durch die nute Matsubara-Frequenz ξ 0 = 0 und damit in einem eektrostatischen Limes bestimmt. Für ν nimmt (4.5) den Wert FHT D.D. = k BT 15R3 1 R3 2 4d 6 (4.10) an. Die Casimir-Wechsewirkung wird bei hohen Temperaturen nicht mehr durch quantenmechanische, sondern durch thermische Fuktuationen bestimmt. Die Energieskaa hc/d, die für den Casimir-Effekt bei Temperatur

74 74 die externe kuge-kuge-geometrie Nu charakteristisch ist, wird bei hohen Temperaturen durch die thermische Energie k B T ersetzt. Die Abwesenheit der Lichtgeschwindigkeit geht damit einher, dass es sich bei den eektromagnetischen Federn zur nuten Matsubara-Frequenz ξ 0 = 0 um eektrostatische Feder handet, die sich praktisch verzögerungsfrei zwischen den beiden Streuern ausbreiten. In Anaogie zum Ergebnis von Fritz London hängt die Casimir-Energie zweier Kugen bei hohen Temperaturen wie 1/d 6 vom Abstand d ab. Aus der führenden Tieftemperaturkorrektur F T D.D. G. (4.7) fogt, dass die Casimir-Energie zweier dipoarer Kugen bei tiefen Temperaturen zunächst mit der Temperatur sinkt. Dieses Verhaten der freien Energie as Funktion der Temperatur hät jedoch nicht für ae Temperaturen an. Abb. 19 zeigt die freie Casimir-Energie F D.D. as Funktion der dimensionsosen Temperatur ν = 2πk B Td/ hc as schwarze Linie. Es ässt sich erkennen, dass die freie Energie im Temperaturinterva 2 ν 4 nicht sinkt, wie es G. (4.7) vermuten ässt, sondern wächst. Die negative Tieftemperaturkorrektur F T D.D. ist visue in der gewähten Darsteung nicht auszumachen. As baue und grüne Kurve ist die Summe aus poarisationserhatenden Kanäen für m = 0 bzw. m = 1 dargestet. Die rote Kurve zeigt die poarisationsmischenden Beiträge, weche nur für m = 1 existieren. Die Summe der in Farbe dargesteten Kanäe ergibt die schwarz eingezeichnete gesamte freie Energie im Dipo-Dipo-Limes. Während ae Kanäe aus Abb. 19 bei tiefen Temperaturen einen negativen Wert zur freien Casimir-Energie beitragen, verschwinden poarisationsmischende Kanabeiträge bei hohen Temperaturen. Ursächich ist hierfür, dass bei hohen Temperaturen nur die nute Matsubara-Frequenz einen Beitrag iefert, dieser jedoch nach Gn. (4.2) für die poarisationsmischenden Kanäe E M und M E geich Nu ist. Ein negativer Beitrag zur freien Energie bei Temperatur Nu und ein verschwindender Beitrag bei hohen Temperaturen führen dazu, dass F(T) bei mitteren Temperaturen wachsen muss und somit die Casimir-Entropie S = T F in einem endichen Temperaturinterva negativ wird. Die zu Abb. 19 gehörenden Entropiebeiträge s (m) P P = T f (m) P P sind in Abb. 20a) zu sehen. Die Zeregung in Poarisationskanäe verdeuticht, dass die poarisationsmischenden Kanabeiträge eine positive Steigung der freien Energie as Funktion der Temperatur verursachen und somit ausschaggebend dafür sind, dass die Casimir-Entropie zweier perfekt eitfähiger Kugen bereits aein auf Grund der Geometrie negative Werte annehmen kann. In Abb. 20b) ist eine Darsteung der Casimir-Entropie as Funktion der Temperatur gewäht, die es eraubt die führende negative Tieftemperaturkorrektur der freien Energie FTT D.D. T 6 aus G. 4.7 zu erkennen. Diese ist dafür verantwortich, dass die Casimir-Entropie bei tiefen Temperaturen zunächst positiv ist, bevor sie abknickt und im Temperaturinterva 1 ν 3 negative Werte annimmt. In Abb. 21 ist die skaierte Casimir-Entropie S/k B (d/r) 6 as Funktion der Temperatur ν und R/d gezeigt. Die gezeigten Resutate gehen über den Di-

75 4.1 F und S perfekt eitfähiger kugen im dipoimes 75 0 F 2πd 7 / c(r1r2) F D.D. f (0) E E + f (1) E E f (0) M M + f (1) M M f (1) E M + f (1) M E ν Abb. 19: Die skaierte freie Casimir-Energie as Funktion der dimensionsosen Temperatur ν = 2πk B Td/ hc für perfekt eitfähige Kugen mit den Radien R 1 = R 2 = R im Abstand d/r = 20. Die Farbkodierung zeigt eine Zeregung in die Poarisationskanäe, weche für m = 0 und m = 1 existieren. Die Summe der poarisationserhatenden TMbzw. TE-Kanäe für m = 0 und m = 1 ist as baue bzw. grüne Linie dargestet, während die Summe der poarisationsmischenden Kanäe der roten Kurve entspricht.

76 76 die externe kuge-kuge-geometrie a) S R 6 /kbd S D.D. s (0) E E + s(1) E E s (0) M M + s(1) M M s (1) E M + s(1) M E S R 6 /kbd 6 b) S D.D ν Abb. 20: Die skaierte Casimir-Entropie as Funktion der dimensionsosen Temperatur ν = 2πk B Td/ hc für perfekt eitfähige Kugen mit den Radien R 1 = R 2 = R im Abstand d/r = 20 (schwarze Linie). As baue bzw. grüne Linie sind die Entropiebeiträge poarisationserhatender E E- bzw. M M-Kanäe abgebidet, während die grüne Linie dem Beitrag poarisationsmischender Kanäe entspricht. (nach Abb. 7 aus [78])

77 4.1 F und S perfekt eitfähiger kugen im dipoimes 77 poimes hinaus, da der maximae Drehimpus gemäß G mit ε = 10 5 gewäht wurde. Der geometrische Skaierungsfaktor (d/r) 6 ist nach G. (4.5) typisch für das Abstandsverhaten der Casimir-Wechsewirkung im Dipo- Dipo-Limes. An Hand von Abb. 21 ässt sich daher erkennen, dass negative Casimir-Entropie (bau) bei großen Abständen besonders ausgeprägt ist, obgeich der Betrag von S bei großen Abständen kein wird, da er wie 1/d 6 vom Abstand d der Kugemittepunkte abhängt. In den weißen Bereichen wurden keine Daten berechnet. Im Kapite wird sich zeigen, dass sich die freie Casimir-Energie zweier Kugen bei keinen Abständen im Rahmen der PFA berechnen ässt. Da in PFA die freie Energie zweier Kugen die Temperaturabhängigkeit paraeer Patten, F PP aufweist wird die Entropie in Abb. 21 für reativ keine Abstände, d. h. reativ große Werte R/d 0.4 positiv. Da bei keinen Abständen immer mehr Mutipoe bei der Berechnung der freien Casimir-Energie berücksichtigt werden müssen, unterstreicht die Positivität von S bei keinen Abständen noch einma den Dipocharakter negativer Casimir-Entropie geometrischen Ursprungs. In der Tat ässt sich zeigen, dass sich das Entropieminimum der poarisationsmischenden Kanäe für Dipo-Quadrupo, Quadrupo-Quadrupo und aen weiteren Mutipobeiträgen zu höheren Temperaturen verschiebt. Da bei hohen Temperaturen die positiven Entropiebeiträge der E E und M M-Kanäe dominieren [79] nimmt die Casimir-Entropie perfekt eitfähiger Kugen bei keinen Abständen positive Werte an [144]. Werden die perfekt eitfähigen Kugen durch dissipative Kugen ersetzt, so verschwinden für d ae Poarisationskanäe, in denen mindestens ein TE-Refexionskoeffizient b1 Dr auftritt. Die Ursache hierfür ist, dass TEpoarisierte eektromagnetische Feder nur von Materiaien refektiert werden können, in denen magnetische Mutipoe angeregt werden können. Da magnetische Mutipoe zu = 1 mit einer ringförmigen Stromdichte einhergehen (s. Anhang A.3), kann die Refexion TE-poarisierter Strahung an einer dissipativen Kuge nur für Frequenzen ω γ erfogen. Andernfas dissipiert binnen einer Schwingungsperiode die einfaende Strahungsenergie in Form von Joue scher Wärme. Dies ist nach G. ((s. G. (2.75) der Fa, wenn die quasistatische Skintiefe δ vie größer ist as der Kugeradius R. In diesem Fa kann die Rayeigh-Näherung benutzt werden und die TE-Refexionskoeffizienten b1 Dr dürfen im Vergeich mit den TM-Koeffizienten a Dr 1 vernachässigt werden. Weche Auswirkung Dissipation auf die Casimir-Entropie im agemeineren Dipoimes hat, in dem sowoh b1 Dr as auch a Dr 1 beitragen, wird im nächsten Abschnitt an Hand der Patte-Patte-, Kuge-Kuge- und der Kuge-Patte- Geometrie eräutert.

78 78 die externe kuge-kuge-geometrie πkBdT/ hc S(d/R) 6 /kb R/d 1 Abb. 21: Die skaierte Casimir-Entropie S(d/R) 6 /k B in Abhängigkeit von R/d und der dimensionsosen Temperatur ν = 2πk B Td/ hc für zwei perfekt eitfähige Kugen der Radien R 1 = R 2 = R. max wurde gemäß G. (3.16) mit ε = 10 5 gewäht. (nach Abb. 5 aus [78])

79 4.1 F und S perfekt eitfähiger kugen im dipoimes 79 Negative Casimir-Entropie in den Geometrien Kuge-Kuge, Kuge-Patte und Patte- Patte Die Diskussion thermischer Abhängigkeiten der Casimir-Wechsewirkung geht u. a. auf Sauer [146] und Mehra [147], sowie Boström und Serneius zurück [148, 69]. Letztere steten fest, dass die Casimir-Entropie S für zwei dissipative Metaspiege negativ werden kann [80]. Dazu muss angemerkt werden, dass negative Casimir-Entropie bei Temperaturen T > 0 nicht im Konfikt mit dem dritten Hauptsatz der Thermodynamik, dem Nernst schen Wärmesatz, steht, da die Casimir-Entropie edigich eine Wechsewirkungsentropie ist. Sie geht aus der doppeten Differenz von Entropien hervor und unteriegt keinen Vorzeichenrestriktionen. Am einfachsten ässt sich der Wechsewirkungscharakter an eindimensionaen Rechnungen [149, 150] erkennen. Negative Casimir-Entropie ist jedoch bis heute Gegenstand der Forschung, da es Uneinigkeiten gibt, ob speziee Systeme mit temperaturabhängiger Dissipationskonstante auch am absouten Temperatur Nupunkt auf negative Entropie führen [ ]. Außerdem deuten die Experimente [66, 67] darauf hin, dass die Refexionseigenschaften von Metaoberfächen bei niedrigen Frequenzen nach dem dissipationsosen Pasma-Mode beschrieben werden müssen, während die Experimente [38, 68] zu Gunsten des dissipativen Drude-Modes interpretiert werden. Abb. 20a) zeigt die zu Abb. 19 gehörenden Entropiebeiträge einzener Poarisationskanäe as Funktion der Temperatur ν, G. (4.4). Die Farbkodierung stimmt mit Abb. 19 überein. Es wird deutich, dass in der Kuge- Kuge-Geometrie bereits für perfekte Leiter negative Casimir-Entropie im Temperaturinterva 1.5 ν 3 auftritt. Dieses besondere Verhaten der Casimir-Entropie für perfekt eitfähige Objekte wurde bereits in der Patte- Kuge- [82] und der Kuge-Kuge-Geometrie [144] beobachtet und wurde poarisationsaufgeöst in [141, 78, 79] untersucht. Hinsichtich der Casimir-Entropie verhaten sich die Kuge-Kuge- und Kuge-Patte-Geometrie daher wesentich anders, as die Patte-Patte-Geometrie. Während für zwei perfekt eitfähige Kugen bzw. eine Kuge und eine Patte aein die Geometrie Temperaturintervae negativer Entropie bedingt, wird negative CasimirEntropie bei metaischen Patten nur auf Grund von Dissipation beobachtet [154, 81]. Es ist daher von Interesse zu untersuchen, ob geometrische und dissipative negative Entropien vöig unterschiedichen Ursprungs sind, oder über gemeinsame Wurzen verfügen. Um dieser Frage auf den Grund zu gehen, zeigen Abb. 22a,b,c) die Casimir-Entropie in der Patte-Patte-, Kuge- Kuge- und der Kuge-Patte-Geometrie as Funktion der Temperatur ν = 2πk B Td/ hc. Dabei wird die Entropie in der jeweiigen Geometrie auf ihren Hochtemperaturwert SHT PC normiert, den sie für perfekt eitfähige Objekte erreicht. Die Entropie für perfekt eitfähige Objekte ist as schwarze gestrichete Linie dargestet. Durchgezogene baue, schwarze und rote Linien stehen für Drude-Leiter mit den Dissipationsfrequenzen γd/c = 10 2, 10 2 und 10 4.

80 80 die externe kuge-kuge-geometrie Für die Skaierung der Dissipationsfrequenz wurde der charakteristische Abstand d gewäht, wecher in der Patte-Patte-Geometrie dem Pattenabstand, in der Kuge-Kuge-Geometrie dem Mittepunktabstand und in der Patte- Kuge-Geometrie dem Abstand zwischen der Patte und dem Mittepunkt der Kuge entspricht. In aen Geometrien charakterisiert ω P d/2πc = 400 die Pasmafrequenz der Materiaien. In der Kuge-Patte- und der Kuge- Kuge-Geometrie garantiert die Wah von d/r = 20, dass eine Behandung des Casimir-Effekts im Dipoimes gerechtfertigt ist. In aen drei Geometrien ist zu beobachten, dass die Entropie des Drude- Leiters mit der geringsten Dissipationsfrequenz (bau) praktisch eine Paraeverschiebung der Entropie des perfekten Leiters (schwarze Strichinie) darstet. Die Verschiebung beträgt SHT MM, den Hochtemperaturbeitrag TEpoarisierter M M-Kanäe. Diese geometrieunabhängige Gemeinsamkeit besitzen ae in 22a,b,c) gezeigten Entropien. Sie geht darauf zurück, dass die Hochtemperaturentropie aein durch die nute Matsubara-Frequenz bestimmt wird. Dass eektrische und magnetische quasi-statische Feder sehr verschieden von dissipativen Leitern refektiert werden, wurde bereits auf Basis der Abb. 8, Seite 43, diskutiert. Für TE-poarisierte Feder erfogt eine unterdrückte Refektivität unterhab von Frequenzen, die von der Größenordnung der Dissipationsfrequenz γ sind. Bei sehr guten Drude-Leitern mit γd/c 1 (baue Linie) betrifft die Unterdrückung praktisch nur die nute Matsubara-Frequenz. Da die Beiträge der nuten Matsubara-Frequenz zur freien Energie T sind, resutiert eine Unterdrückung ebendieser Beiträge zu einer Verschiebung der Casimir- Entropie um den mit vertikaen Pfeien angedeuteten Wert. Quaitativ verhät sich die Entropie für ae in Abb. 22 gezeigten Geometrien bei tiefen Temperaturen wie der um seinen Hochtemperaturwert verschobene M M-Kana aus Abb. 20 (grün). Die Höhe der mit vertikaen Strichen angedeuteten Paraeverschiebung beträgt für die Patte-Patte-Geometrie 22a) 0.5, da die TE- bzw. TM-Refexionskoeffizienten perfekt eitfähiger Patten bei Frequenz Nu geich groß sind. Gemäß Gn. (4.3) sind die Refexionskoeffizienten einer perfekt eitfähigen Kuge für TE-Poarisation nur hab so groß wie für TM-Poarisation und die Verschiebung ist für die Kuge-Kugebzw. Kuge-Patte-Geometrie auf 1/5 bzw. 1/3 des Betrags von SHT PC reduziert. Die durchgezogene schwarze und die rote Linie in Abb. 22 verdeutichen wechen Einfuss eine wachsende Dissipationsfrequenz auf die Casimir- Entropie hat. Da sich bei wachsendem γ die Anzah der unterdrückten Matsubara-Frequenzen erhöht, gipfet der Grenzfa γd/c in einer Entropie, in wecher der M M Kana im gezeigten Temperaturinterva keinen Beitrag mehr iefert. Für die höchste Dissipationsfrequenz, γd/c = 10 4 (rote Linie) ist dieser Fa in der Patte-Patte-Geometrie bereits erreicht und das Temperaturinterva negativer Entropie somit verschwunden. In der Kuge-Kuge-Geometrie ist die Entropie für γd/c = 10 4 zwar stets positiv, jedoch ässt sich das charakteristische geometriebedingte Entropieminimum bei ν 1 noch as Sattepunkt erkennen. Da die TE-Refexionskoeffizienten

81 4.1 F und S perfekt eitfähiger kugen im dipoimes 81 a) d S MM HT 0.5 S/S HT PC S MM HT b) S/S HT PC d 0.25 c) S/S HT PC d πk B T d/ hc Abb. 22: Die Casimir-Entropie S dividiert durch den Hochtemperaturwert für perfekte Leiter in den Geometrien a) Patte-Patte, b) Kuge- Kuge und c) Patte-Kuge. Gestrichet ist die Entropie für perfekte Leiter eingezeichnet, während farbig drei unerschiediche Drude- Leiter mit γd/c = 10 2, 10 2, 10 4 as baue, schwarze und rote Linien gezeigt werden. Die Pasmafrequenz ist konstant ω P d/2πc = 400. In Kuge-Kuge und Kuge-Patte ist außerdem der Kugeradius R = d/20. Der vertikae Pfei deutet die Verschiebung um den Hochtemperaturbeitrag von TE-Kanäen an, wecher im Drude- Mode im Vergeich mit dem perfekten Leiter auftritt. (nach Abb. 1 aus [79])

82 82 die externe kuge-kuge-geometrie einer Patte unempfindicher gegenüber der Dissipationsfrequenz sind as die entsprechenden Refexionskoeffizienten einer Kuge, ist für die Kuge- Patte-Geometrie aus Abb. 22c) S auf Grund geometrischer negativer Entropiebeiträge auch für die größte Dissipationsfrequenz, γd/c = 10 4 (rote Linie) noch in einem schmaen Temperaturbereich negativ. Das Temperaturverhaten der Entropiebeiträge von eektrischen, magnetischen und gemischten Poarisationskanäen ist in Abb. 23a),b),c) für zwei Kugen zu sehen. Die Entropie im jeweiigen Poarisationskana wird auf die Hochtemperaturentropie SHT PC perfekt eitfähiger Kugen normiert. Da der E E-Kana nicht sensitiv auf die Dissipationsfrequenz ist können die unterschiedichen Kurven in Abb. 23a) nicht unterschieden werden. Die Farbkodierung stimmt mit Abb. 22 überein. Gestrichete Linien stehen für perfekt eitfähige Kugen, während baue und schwarze durchgezogene Linien Drude-Leitern mit γd/c = 10 2, 10 2 bei geicher Pasmafrequenz ω P d/2πc = 400 entsprechen. Um einen direkten Größenvergeich der Kanabeiträge zu ermögichen ist die Ordinate in a), b) und c) geich skaiert. Der E E-Kana aus Abb. 23a) steuert für zwei Metakugen strikt positive Beiträge zur Entropie bei, unabhängig davon, ob die Kugen dissipativ sind oder nicht. In diesem Punkt verhaten sich zwei Kugen genauso wie Metapatten [81]. Gemäß Abb. 23b) ist es zum einen der reine M M- Kana, der für negative Entropiebeiträge verantwortich ist. Dies ist für zwei dissipative Metapatten ebenfas der Fa [81]. Der gemischte Poarisationskana, Abb. 23c), ist im Vergeich zur Patte- Patte-Geometrie neu. Er bringt ein Entropieminimum mit negativer Entropie bei der Temperatur ν 3 mit sich, weches für zwei Kugen und in der Kuge-Patte-Geometrie (siehe [78]) bereits für perfekte Leiter (gestrichete Linien in Abb. 22b),c)) beobachtet werden kann. Die Ursache negativer Casimir-Entropie poarisationsmischender Kanäe ist daher rein geometrischen Ursprungs. Abschießend ässt sich sagen, dass in den drei Geometrien, Patte-Patte, Kuge-Patte und Kuge-Kuge der dissipative Mechanismus für negative Casimir-Entropie auf einer unterdrückten Refektivität für magnetisch poarisierte quasistatische Feder basiert, während der Geometrieeffekt darauf basiert, dass bei Frequenz Nu keine Poarisationsmischung stattfinden kann. Der Geometrie- und der Dissipationseffekt haben jedoch eine Gemeinsamkeit, die sich am besten an Hand der freien Energie diskutieren ässt. Hierzu führt man sich vor Augen, dass sowoh der M M, as auch der E M bzw. M E Kana für Drude-Leiter keinen Beitrag bei der nuten, jedoch einen endichen, negativen, Beitrag bei aen anderen Matsubara-Frequenzen iefern. Für perfekt eitfähige Kugen wurde dies in Abb. 19 gezeigt, es ässt sich quaitativ jedoch auch für gute Drude-Leiter beobachten. Auf Grund der verschwindenden n = 0- und endicher, negativer, n > 0-Beiträge muss die freie Energie zwingend Temperaturintervae positiver Steigung und damit verbunden Interva(e) mit negativer Entropie S = T F besitzen. Das nicht-monotone Verhaten der freien Casimir-Energie as Funktion der Temperatur hat nicht nur auf die Casimir-Entropie Auswirkungen. Nachfo-

83 4.1 F und S perfekt eitfähiger kugen im dipoimes 83 a) S EE /S HT PC b) S MM /S HT PC c) S gemischt /S HT PC πk B T d/ hc Abb. 23: In a), b) und c) sind die Entropiebeiträge eektrischer, magnetischer und gemischter Poarisationskanäe as Funktion der Temperatur ν = 2πk B Td/ hc für Kugen mit den Radien R 1 = R 2 = R im Abstand d/r = 20 zu sehen. Die Farbkodierung entspricht Abb. 22. (nach Abb. 3 aus [79])

84 84 die externe kuge-kuge-geometrie gend wird für die Kuge-Kuge-Geometrie die thermische Abhängigkeit der Casimir-Kraft untersucht. Zusammenhang von negativer Entropie und abstoßenden thermischen Kraftbeiträgen Die Diskussion der Casimir-Entropie erfogte bei festem Mittepunktabstand d in Abhängigkeit der Temperatur ν. Für die Casimir-Kraft ist es die natüriche Wah bei fester Temperatur T den Abstand d zu variieren. Dies entspricht der Situation in tatsächichen Experimenten, wo bei fester Temperatur die Casimir-Kraft, bzw. der Kraftgradient, in Abhängigkeit vom Abstand gemessen wird. Durch partiee Abeitung von F D.D. (4.5) nach dem Abstand ässt sich die Casimir-Kraft bei großen Abständen berechnen. Das so erhatene Resutat ist gütig, so ange beide Kugeradien wesentich keiner sind, as der Mittepunktabstand, R 1, R 2 d. Die Summe aus den einzenen Kanabeiträgen zur freien Energie F D.D. kann nach (4.5) geschrieben werden as: F D.D. = hcr3 1 R3 2 2πd 7 F(ν), (4.11) wobei F(ν) ae Poarisationskanäe beinhatet und über ν = 2πk B Td/ hc nur vom Produkt aus der Temperatur T und dem Abstand d abhängt. Diese Eigenschaft ässt sich benutzen, um die Casimir-Kraft F D.D. im Dipo-Dipo- Limes mit Hife der Casimir-Entropie S D.D. auszudrücken: F D.D. = 1 d [ 7F D.D. + TS D.D.]. (4.12) Die Casimir-Kraft kann im Dipo-Limes genau dann abstoßend werden, wenn das Vorzeichen der eckigen Kammer positiv ist: F D.D. > 0 7F D.D. + TS D.D. > 0. (4.13) Daher ist negative Entropie nicht a priori ein Indiz für abstoßende Casimir- Kräfte. Ganz im Gegentei bewirkt negative Entropie nach (4.12) zunächst, dass die Casimir-Kraft attraktiver wird. Durch partiee Abeitung von (4.12) nach der Temperatur fogt jedoch der Zusammenhang F D.D. T = 1 d [ 6S D.D. + T SD.D. T ], (4.14) wecher besagt, dass negative Entropie dazu führt, dass bei Temperaturerhöhung die Casimir-Kraft F wächst, aso abstoßender wird. Bereits diese Aussage ist jedoch nur gütig, wenn der erste Term in den eckigen Kammern dominiert.

85 4.2 grenzfäe der kuge-kuge-geometrie 85 3 F (ν) S(ν) F (ν), S(ν) ν Abb. 24: Die dimensionsose Entropie S und der dimensionsose thermische Kraftbeitrag F(ν) F(0) as Funktion von ν. Die Bereiche negativer Entropie und abstoßender thermischer Kraft faen nur für ein reativ schmaes Temperaturinterva zusammen. In der Tat zeigt ein Vergeich der dimensionsosen Entropie S(ν) und der dimensionsosen thermischen Kraft F(ν) = F(ν) F(0) F(ν) = 2πd2 hc ( ) 3 S(ν) = 1 d 2 S, (4.15a) k B R 1 R 2 ( d 2 R 1 R 2 ) 3 [F(ν) F(0) ], (4.15b) in Abb. 24, dass das Temperaturinterva wachsender abstoßender thermischer Kraftbeiträge F(ν) > 0 nicht für ae Temperaturen vom ersten Term in G. (4.14) dominiert wird. Ab ν 3 übernimmt der zweite Term aus (4.14) und das Maximum von F(ν) wird bei ν 4 erreicht wird, wo die Casimir- Entropie bereits deutich größer as Nu ist. grenzfäe der kuge-kuge-geometrie Der Dipo-Dipo-Limes des vorherigen Kapites diente dem Studium des Casimir-Effekts in dem Grenzfa, dass der Mittepunktabstand d vie größer ist, as beide Kugeradien, d R 1, R 2. Für perfekt eitfähige Kugen war dann eine anaytische Berechnung der Matsubara-Summe mögich. In diesem Kapite wird die Forderung R 2 d faen geassen und der Grenzfa untersucht, dass bei festem Oberfächenabstand L = d R 1 R 2 der Kugeradius R 2 sehr groß wird. Anschauich geht in diesem Fa die Kuge-Kuge Geometrie in die Kuge-Patte-Geometrie über. Im Anschuss wird der Übergang zwischen dem Hoch- und dem Tieftemperaturverhaten der freien Casimir-Energie untersucht, für weches das

86 86 die externe kuge-kuge-geometrie Verhätnis der thermischen Weenänge λ T = hc/2πk B T und des Objektabstands L entscheidend ist. Abgeschossen wird dieser Abschnitt durch den Vergeich der PFA mit exakten numerischen Resutaten für perfekt eitfähige und dissipative Kugen. Der Dipo-Patte-Limes Für R 2 d ässt sich die Streuung an der Kuge K 2 nicht mehr im Dipoimes behanden, sondern verangt nach max = R 2 /R 1 für den Abschneidedrehimpus der Transation. Ein wachsender Kugeradius R 2 bringt außerdem mit sich, dass die Mie-Koeffizienten für die Streuung an der großen Kuge K 2 nicht mehr im quasi-statischen Limes betrachtet werden dürfen. Es muss deren voer Ausdruck ausgewertet werden. Aus diesem Grund scheitert die anaytische Berechnung der freien Energie im Agemeinen bereits für perfekt eitfähige Kugen. Eine Besonderheit stet jedoch der Hochtemperatur-Grenzfa dar. Da nur die nute Matsubara-Frequenz einen Beitrag iefert ässt sich ein geschossener Ausdruck für die freie Energie ermitten, während bei tieferen Temperaturen nur eine numerische Berechnung der Matsubara-Summe beibt. der dipo-patte grenzfa bei hohen temperaturen Unabhängig von der Wah der Radien hat der Hochtemperatur-Limes die Eigenschaft, dass die Streu- bzw. Transationsoperatoren bei Frequenz ξ 0 = 0 ausgewertet werden müssen. Hierfür wurden im Abschnitt (2.6.4) entsprechende Ausdrücke vorbereitet. Da die Poarisationen, M und E, bei Frequenz Nu nicht koppen, assen sich ihre Beiträge einfach addieren. In der Singe-Roundtrip Dipo-Näherung für die Kuge K 1 ässt sich so die freie Hochtemperatur-Energie F D. M. HT zweier perfekt eitfähiger Kugen anschreiben, von denen eine dipoar und die andere voständig mutipoar behandet wird: FHT D.M. = k B T f (m) (m) E E (0) + f M M (0). (4.16) m =0,1 Für dissipative Kugen, deren Permittivität bei niedrigen Frequenzen gemäß des Drude-Modes mit ɛ Dr beschrieben werden kann, fät in G. (4.16) der magnetische Beitrag f MM weg, während f EE mit dem entsprechenden Beitrag perfekt eitfähiger Kugen identisch ist. In G. (4.16) wurde die zweifache Entartung der m = 1-Beiträge ebenso berücksichtigt wie die Tatsache, dass die nute Matsubara-Frequenz nur habes Gewicht trägt. Die einzenen Beiträge auten f (m) E E (0) = im ξ 0 apc 1 =1 T1 EE ;m apc 1 T EE 1;m, f (m) M M = f (m) E E (apc b PC ). (4.17a) (4.17b) Dass die Streu- und Transationsmatrizen bei ξ 0 = 0 ausgewertet werden müssen wurde dabei nicht expizit ausgeschrieben. Die zweite Geichung

87 4.2 grenzfäe der kuge-kuge-geometrie 87 fogt auf Grund der Identität T M E = T E M. Eine expizite Auswertung der auftretenden Gaunt-Symboe (2.65a) iefert nach Ausführung der Summe über ae Drehimpuse = 1, 2,..., die Beiträge: f (0) MM (0) = 1 2 ( R 1 R 2 d 2 R 2 2 f (1) MM (0) = 1 2 f (0) MM (0) [1 + f (0) (0) EE (0) = f MM [4 (0) 3 ( ) 2 R2 + d f (1) (0) EE (0) = 2 f MM (0). ) 3, (4.18a) ( ) ] 2 R2, (4.18b) d ( ) ] 4 R2, (4.18c) d (4.18d) Die quasi-eektrostatische Streuung an der großen Kuge kann hier exakt berücksichtigt werden. Insgesamt autet die freie Hochtemperatur-Energie eines Dipo- und eines Mutipo-Streuers FHT D.M. = k ( ) 2 ( ) ] 4 BT 2 f (0) MM [15 (0) R2 R (4.19) d d Der Dipo-Patte-Grenzfa kann daraus durch die Substitution d = R 2 + L und eine Entwickung um den charakteristischen Abstand L der Kuge- Patte-Geometrie erhaten werden F D.M. HT 3 8 k BT ( ) 3 R1 1 4 L 3 L + 5 ( ) L 2 79 ( ) L 3 + O R 2 3 R 2 24 R 2 ( ( ) ) L 4. (4.20) Die führende 1 in der eckigen Kammer stimmt mit dem entsprechenden Dipoimes in der Kuge-Patte-Geometrie überein [155]. Die restichen Terme steen Krümmungskorrekturen bei großem, aber endichen Radius R 2 dar. Es stehen nun im Dipo-Dipo Szenario und im Dipo-Patte-Grenzfa für ae bzw. für hohe Temperaturen anaytische Ergebnisse zur Verfügung. Diese soen im nachfogenden Abschnitt mit numerischen Rechnungen vergichen werden. R 2 Der Übergang von der Kuge-Kuge- zur Kuge-Patte-Geometrie Je nach Wah von L/R 1 endet die Verkeinerung von L/R 2 entweder im Dipo-Patte- (L/R 1 1) oder im agemeineren Kuge-Patte-Grenzfa, in dem für die Refexion an der Kuge K 1 Mutipoe > 1 berücksichtigt werden müssen. Für L R 1 kann die Streuung an der Kuge mit dem Radius R 1 im Dipoimes behandet werden, während für die größere Kuge die erforderiche Anzah an Drehimpusen mit R 2 /R 1 skaiert. In diesem Kapite werden die anaytischen Ergebnisse der vorangegangen Abschnitte benutzt, um den Übergang zwischen der Kuge-Kuge- und

88 88 die externe kuge-kuge-geometrie Abb. 25: Im Dipo-Patte-Grenzfa strebt der Kugeradius R 2 bei festem Oberfächenabstand L gegen unendich. Der charakteristische Abstand der Kuge-Patte Geometrie ist L = L + R 1.

89 4.2 grenzfäe der kuge-kuge-geometrie 89 er Kuge-Patte-Geometrie zu untersuchen. Der charakteristische Abstand d der Kuge-Kuge-Geometrie wird dabei in der Kuge-Patte-Geometrie durch L = d R 2 ersetzt. Nachfogend erfogt die Diskussion für L = 20R 1, sodass die Ergebnisse des Dipo-Limes näherungsweise gütig beiben. Abb.25 zeigt den Dipo-Patte-Übergang und verdeuticht, dass der Kuge-Patte- Grenzfa näherungsweise erreicht wird, wenn der Radius R 2 den Abstand L überragt, da dann ein Segment der großen Kuge praktisch wie eine ebene Patte erscheint. Während für R 2 = 100R 1 noch eine eichte Krümmung der Kugeoberfäche von K 2 zu erkennen ist, kann R 2 = 1000R 1 nicht mehr von der schwarz eingezeichneten panen Oberfäche (R 2 ) unterschieden werden. In Abb. 26 ist die freie Energie perfekt eitfähiger Kugen as Funktion des Kugeradius R 2 für L/R 1 = 20 aufgetragen. Die rote Kurve zeigt F bei der endichen Temperatur 2πk B TR 1 / hc = 0.8, weche für R 1 = 1 µm Raumtemperatur T = 293 K entspricht. Die früher eingeführte dimensionsose Temperatur ν kann nun mit dem Abstand L geschrieben werden as ν = 2πk B TL/ hc 16. Daraus fogt, dass die rote Kurve im Wesentichen der freien Hochtemperatur-Energie (4.20) entspricht. Die baue Kurve zeigt F bei Temperatur Nu. Gestrichete Linien stehen für die entsprechende freie Energie einer perfekt eitfähigen Kuge in Diponäherung und einer perfekt eitfähigen Patte in der Hochtemperaturnäherung FHT D.P. (ν = 16) und Temperatur Nu F0 D.P.. Der inke Rand des gezeigten Intervas entspricht zwei Kugen mit identischen Radien, R 1 = R 2, während die Interva-Obergrenze mit R 2 = 1000R 1 einer sehr großen Kuge K 2 entspricht. Die gewähte Auftragung verdeuticht, dass im Dipoimes für K 1 der größere Kugeradius den Kuge-Patte- Abstand L übersteigen muss, damit die freie Energie zweier Kugen in Diponäherung gegen die jeweiige freie Energie einer Kuge in Diponäherung vor einer Patte konvergiert. Die numerischen Daten (durchgezogene Linien) wurden mit max = 4 und max = R 2 /R 1 max berechnet. Die sehr gute Übereinstimmung mit den gestrichet eingezeichneten Hoch- bzw. Tieftemperaturgrenzfäen der Dipo- Patte-Geometrie zeigt jedoch, dass die keinere Kuge K 1 bei der Berechnung der Casimir-Energie für den gewähten Abstand bereits in Diponäherung behandet werden darf. Anaytische Grenzfäe, weche in der Kuge-Kuge- und Kuge-Patte-Geometrie bei keinen Abständen mit Hife der PFA und bei großen Abständen in Diponäherung berechnet werden können, sind in Tab. 3 zusammengefasst. Um den Übergang von der Kuge-Kuge- zu der Kuge-Patte-Geometrie bei Temperaturen studieren, die zwischen dem Hoch- und dem Tieftemperaturregime iegen, kann z. B. die Lage des Minimums der Casimir-Entropie verfogt werden. Die Position dieses Minimums hat für zwei perfekt eitfähige Kugen nach Abb. 27 die Koordinaten (2.50, 0.36) in der ν-r/d-ebene mit der Temperatur ν = 2πk B Td/ hc. Abb. 21 entspricht der Entropie aus Abb.

90 90 die externe kuge-kuge-geometrie F 2πR1/ hc R 2 /L F D.M. HT F D.P. HT F D.M. 0 F D.P. 0 Abb. 26: Die freie Casimir-Energie zweier perfekt eitfähiger Kugen bei festem Abstand L = 20R 1 as Funktion des Kugeradius R 2. Die baue Kurve zeigt F bei Temperatur ν = 0, während in Rot die freie Energie bei der Temperatur ν = 2πk B TL/ hc 16 dargestet ist. Gestrichete baue bzw. rote Linien stehen für den entsprechenden ν = 0 bzw. Hochtemperaturimes von F D.P. (ν = 16) für eine perfekt eitfähige Kuge in Diponäherung, die sich im Abstand L vor einer perfekt eitfähigen Patte befindet.

91 4.2 grenzfäe der kuge-kuge-geometrie 91 Kuge-Kuge L/R 1,2 1 d/r 1,2 1 T 0 T F PFA 0 = hcπ3 R 1 R 2 720L 2 (R 1 + R 2 ) F PFA HT = k BT ζ(3)r 1R 2 4L(R 2 + R 1 ) F D.D. 0 = 143 hc(r 1R 2 ) 3 16πd 7 F D.D.. HT = k B T 15(R 1R 2 ) 3 4d 6 Kuge-Patte L/R 1 L/R 1 T 0 T F PFA 0 = hcπ3 R 720L 2 F PFA HT = k BT ζ(3)r 4L F D.P. 0 = 9 hcr3 16πL 4 F D.P. HT = k BT 3R3 8L 3 Patte-Patte T 0 T F P.P. 0 /A = π2 hc 720L 3 F P.P. HT /A = k BTζ(3) 8πL 2 Tab. 3: Grenzfäe der Kuge-Kuge- und Kuge-Patte- und Patte-Patte- Geometrie für perfekte Leiter bei großen bzw. keinen Abständen und jeweis bei tiefen bzw. hohen Temperaturen. In der Kuge-Kugebzw. der Kuge-Patte-Geometrie wird die freie Casimir-Energie bei großen Abständen d/r 1,2 1 bzw. L/R 1 die Kugestreuung in Diponäherung behandet. (Ergebnisse in der Kuge-Patte-Geometrie nach [131, S. 173, Tabee 13])

92 92 die externe kuge-kuge-geometrie πkBdT/ hc S/kB R/d Abb. 27: Die Casimir-Entropie S/k B in Abhängigkeit von R/d und der dimensionsosen Temperatur ν = 2πk B Td/ hc für zwei perfekt eitfähige Kugen der Radien R 1 = R 2 = R. Positive Werte der Entropie wurden geich Nu gesetzt, um die Position des Entropieminimums in der R/d-ν-Ebene besser sichtbar zu machen. Keine Werte von R/d entsprechen dem Großabstandsimes, während R/d = 0.5 dem Abstand entspricht, bei dem sich die Kugen gerade berühren. Die verwendeten Daten entsprechen denen aus Abb , wenn auf die Skaierung mit dem geometrischen Faktor (d/r) 6 verzichtet wird. Der natüriche Abstand der Kuge-Patte-Geometrie ist der Abstand L zwischen dem Kugemittepunkt und der Patte. Nachfogend wird daher die für die Skaierung der Temperatur der Mittepunkt-Mittepunkt-Abstand d durch L ersetzt und außerdem die Koordinate R/d durch L/R 1 ausgetauscht L = d R 2, (4.21a) L R 1 = ( ) R 1 1 R 2. d R 1 (4.21b) R 1 steht dabei auch in der Kuge-Patte-Geometrie für den Radius der Kuge. In den neuen Koordinaten autet die Position des Entropieminimus zweier geichgroßer Kugen (1.60, 0.77), während für eine Kuge und eine Patte das Entropieminimum bei (0.93, 0.27) iegt. Wird, ausgehend von R 1 = R 2, der Radius R 2 der Kuge K 2 schrittweise vergrößert, so muss sich der Punkt

93 4.2 grenzfäe der kuge-kuge-geometrie πkBLT/ hc L/R 1 Abb. 28: Die Position des Entropieminimus ist as Funktion der Temperatur ν = 2πk B TL/ hc und des Abstands L/R 1 für perfekt eitfähige Kugen zu sehen. Das Verhätnis R 2 /R 1 der Kugeradien ist für die gefüten Symboe expizit angegeben. R 2 /R 1 = markiert die Position des Entropieminimums in der Kuge-Patte-Geometrie [138, S. 69]. (nach Abb. 3 aus [78]). minimaer Casimir-Entropie etztich sowoh zu geringeren Temperaturen, as auch zu keineren Abständen verschieben. Die Position des Entropieminimums verschiebt sich ausgehend von der Kuge-Kuge-Geometrie mit geichgroßen Kugen jedoch bei einer Vergrößerung von R 2 zunächst bis zum Radienverhätnis R 2 /R zu größeren Abständen, wie Abb. 28 zeigt. Die Position minimaer Entropie ist in Abb. 28 für ganzzahige Verhätnisse R 2 /R 1 der Kugeradien mit ausgefüten Symboen dargestet und das entsprechende Verhätnis R 2 /R 1 ist expizit angegeben. Für die eeren Symboe interpoiert R 2 /R 1 zwischen den ganzzahigen Verhätnissen. Das große ausgefüte Symbo, weches mit R 2 /R 1 = bezeichnet wird, steht für die Position des Entropieminimums der Kuge-Patte-Geometrie [138, S. 69]. Der Übergang vom Hochtemperatur- zum Tieftemperaturbereich Der Bereich großer Abstände d R 1, R 2 wurde in den vergangen Abschnitten diskutiert. In Abb. 26 ist deutich zu erkennen, dass die freie Hochtemperaturenergie F HT, die nur den Beitrag der nuten Matsubara-Frequenz berücksichtigt, die Casimir-Energie bei T = 0, F 0 übertrifft. Dafür ist verantwortich, dass der Betrag von F HT nur mit 1/d 6 fät, während F 0 mit

94 94 die externe kuge-kuge-geometrie 1/d 7 abnimmt. Umgekehrt bedeutet dies, dass bei keineren Abständen F 0 über F HT dominiert und sich fogich beide freie Energien as Funktion des Abstands bei einer bestimmten Temperatur schneiden müssen. Die Temperatur des Schnittpunkts ässt sich für zwei geich große perfekt eitfähige Kugen im Dipoimes mit den Resutaten aus Tab. 3 berechnen F D.D. HT während in der Dipo-Patte-Geometrie F D.P. HT = F 0 D.D. 2πk BTL 3.2, (4.22) hc = F 0 D.P. 2πk BTL 2.2 (4.23) hc fogt. Abb. 29 zeigt exakte numerische Resutate für die freie Casimir-Energie, die Mutipoe > 1 berücksichtigen, für zwei perfekt eitfähige Kugen as Funktion des Abstands. Baue bzw. rote durchgezogene Linien zeigen F 0 bzw. F HT für R 2 = R 1, während gestrichete Linien R 2 = 10R 1 entsprechen. Symboe stehen jeweis für die freie Energie bei der endichen Temperatur 2πk B TR 1 / hc = 0.8. Für R 1 = 1 µm handet es sich dabei um Raumtemperatur, T = 293 K. Die im Dipoimes gewonnene Abschätzung (4.22) für den Schnittpunkt von F HT und F 0 stimmt gut mit den Schnittpunkten überein, die sich numerisch zu ν 3.31 für Kugen mit identischem Radius und ν 2.34 für R 2 = 10R 1 ergeben. Abb. 29 zeigt deutich, dass sich der Schnittpunkt der freien Hoch- bzw. Tieftemperaturenergie für die Kugen mit unterschiedichen Radien, R 2 = 10R 1 zu tieferen Temperaturen verschiebt und bereits gut mit der Vorhersage (4.23) übereinstimmt, die auf Basis von Dipo-Patte-Resutaten getroffen werden kann. Da sich der Schnittpunkt von F0 P.P. und FHT P.P. (s. Tab. 3) für zwei perfekt eitende Metapatten zu ν 1.8 ergibt, ässt sich fogern, dass thermische Effekte für Geometrien mit geringer Krümmung, d. h. pattenähnichen Geometrien, unbedeutender sind as für Objekte mit gekrümmten Oberfächen, z. B. Kugen oder gar Geometrien mit scharfen Kanten bzw. Ecken [156]. Die Symboe in Abb. 29 zeigen, dass die freie Energie bei endichen Temperaturen oberhab des Schnittpunkts praktisch durch F HT und unterhab durch F 0 beschrieben wird. Durch den Übergang vom Hoch- zum Tieftemperaturverhaten ändert sich das Potenzgesetz des Abstandsverhatens der freien Energie. Quaitativ wird der Faktor k B T durch hc/l ersetzt (s. Tab. 3). Vergeich mit der PFA bei keinen Abständen So bad der Oberfächenabstand L vergeichbar mit einem der Kugeradien wird darf die Refexion an der entsprechenden Kuge nicht änger in Diponäherung beschrieben werden. Bei geringen Abständen L/R 1, L/R 2 1 müssen sowoh hohe Drehimpuse, as auch hohe Frequenzen bei der Berechnung der freien Casimir-Energie berücksichtigt werden. Da hohe Frequenzen äquivaent zu keinen Weenängen sind, findet für die Refexion an

95 4.2 grenzfäe der kuge-kuge-geometrie F (2πR1/ hc) R 2 = R 1 F HT F 0 F ( 2πk B T R 1 hc = 0.8 ) F ( 2πk B T R 1 hc = 0.8 ) R 2 = 10R πk B T L/ hc Abb. 29: Die freie Energie as Funktion des Oberfächenabstands L für zwei perfekt eitfähige Kugen. Rote und baue Linien zeigen die freie Hochtemperatur-Energie F HT bzw. die freie Energie bei Temperatur Nu, F 0. Die Symboe zeigen die Casimir-Energie bei der endichen Temperatur 2πk B TR 1 / hc = 0.8, die für R 1 = 1 µm Raumtemperatur entspricht. Durchgezogene Linien und Kreise stehen für Kugen mit identischen Radien R 2 = R 1, während die gestricheten Linien und Dreiecke die freie Energie für R 2 = 10R 1 zeigen.

96 96 die externe kuge-kuge-geometrie Kugen ein Übergang von der Mie-Streuung zur geometrischen Optik statt. Keine Oberfächeneemente der Kugen verhaten sich dann näherungsweise wie ebene Spiege [ ]. Der vorherige Abschnitt hat bereits gezeigt, dass bei festem Oberfächenabstand der Grenzprozess R 2 bei konstantem R 1 dazu führt, dass die freie Energie der Kuge-Kuge-Geometrie in die freie Energie der Kuge-Patte-Geometrie übergeht. Dementsprechend ist zu erwarten, dass für L/R 1 0 die Kuge-Kuge- Geometrie im Rahmen der PFA effektiv as Patte-Patte-Geometrie beschrieben werden kann, wie dies z. B. in der Kuge-Patte-Geometrie für L/R 1 beobachtet wird [131, Kapite 13, S. 171 ff.]. Der Kurz-Abstands-Limes so nun für zwei Kugen genauer untersucht werden. Die freie Energie wird hierfür bei den keinsten Abständen berechnet, die auf Grund von Arbeitsspeicherimitierung zugängich sind. Zum Zeitpunkt der Fertigsteung dieser Arbeit handet es sich um L/R 1 = 0.01 für Kugen mit identischem Radius. Eine Präzision von fünf Nachkommasteen kann dann gemäß Abb. 14 für ca. max 700 erreicht werden. der pfa-grenzfa für perfekt eitfähige kugen Abb. 30a) zeigt das Verhätnis aus der exakten freien Casimir-Energie F exakt gemäß der Streutheorie und dem Resutat der PFA-Näherung F PFA für perfekt eitfähige Kugen identischer Radien R 1 = R 2 = R as Funktion des Abstands L/R. As Temperatur ist Raumtemperatur, T = 293 K gewäht, was der thermischen Weenänge λ 293 K = hc/2πk B T 1.23 µm entspricht. Die durchgezogene schwarze Kurve zeigt die normierte freie Energie für R = 1 µm. Für die gewähten Abstände befindet sich die freie Casimir- Energie damit für Abstände L/R 0.1 näherungsweise im Tieftemperatur- Regime (L/λ T < 1). Der Übergang zum Tieftemperatur-Regime wird durch das Abknicken der Kurve eingeeitet. Die bauen Kurven zeigen das Verhätnis F exakt /F PFA für wachsende Kugeradien. Gepunktete, gestrichpunktete, gestrichete und durchgezogene Linien stehen für die Radien R = 10 µm, R = 20 µm, R = 50 µm und R = 100 µm. Für die durchgezogene baue Linie ist sebst beim keinsten Abstand, L/R = 0.01 das Verhätnis von L/λ T > 1, wodurch sich die freie Casimir-Energie in diesem Fa praktisch für den gesamten Abstandsbereich in der Nähe des Hochtemperatur-Regimes bewegt. Die restichen bauen Linien interpoieren zwischen dem Tief- und Hochtemperaturverhaten, was sich daran erkennen ässt, dass sie bei reativ großen L/R der soiden bauen Kurve fogen und für keinere L/R zur schwarzen Tieftemperaturkurve übergehen. Das Verhätnis F exakt /F PFA beträgt für die beiden extremen Kugeradien R = 1 µm bzw. R = 100 µm beim keinsten Abstand 0.97 bzw In Abb. 30b) ist das Verhätnis F exakt /F PFA aus der exakten mutipoaren Casimir-Kraft und der entsprechenden PFA-Vorhersage abgebidet. Die Farbkodierung stimmt mit der aus 30a) überein. Der Trend von F /F PFA und F/F PFA ässt den Schuss zu, dass die PFA für L/R 1 1 sehr genau wird und für L/R 0 eine gütige Näherung der Casimir-Wechsewirkung zwei-

97 4.3 bezug zum experiment 97 er Kugen darstet. Im Vergeich zur freien Energie aus 30a) verbessert sich die PFA-Vorhersage für die Kraft und das Verhätnis F exakt /F PFA nähert sich weiter der Eins. Für die Kugeradien R = 1 µm und R = 100 µm ergeben sich beim keinsten Abstand die Verhätnisse bzw Für etabierte Kuge-Patte-Experimente iegt der Abstand mit L/R deutich unterhab der keinsten Distanz aus Abb. 30a),b). Es ässt sich daher schießen, dass die PFA in diesen Experimenten für den Vergeich von Theorie und Experiment geeignet ist. Nachfogend wird zusätzich untersucht, wechen die Einfuss die endiche Leitfähigkeit metaischer Kugen auf die Gütigkeit der PFA hat. der pfa-grenzfa für drude-kugen Die endiche eektrische Leitfähigkeit von reaen Metaen kann in einfachster Näherung durch die Drude-Permittivität ɛr Dr erfasst werden. Das entsprechende Verhätnis aus der exakten und der PFA-Energie ist in Abb. 31a) für Godkugen mit der Pasmafrequenz ω P = Hz und der Dissipationsfrequenz γ = Hz für unterschiediche Radien dargestet. Die Farbkodierung ist identisch mit der aus Abb. 30. Es fät auf, dass sich die schwarze und die baue Kurve, die den extremen Radien R = 1 µm und R = 100 µm entsprechen, für Drude-Godkugen schneiden, während es für perfekt eitfähige Kugen keinen Schnittpunkt im abgebideten Parameterbereich gibt. Der Vergeich der exakten und der PFA-Casimir-Kraft ist in Abb. 31b) gezeigt. Wie es schon für perfekt eitfähige Kugen der Fa war, ist die Vorhersage der PFA-Kraft bei festem Abstand besser as die entsprechende Vorhersage für die freie Energie. Bemerkenswert ist, dass sich die schwarze R = 1 µm-kurve und die baue R = 100 µm-kurve für die mittegroßen Kugen mit den Radien R = 10 µm und R = 20 µm im dargesteten Abstandsbereich zwei ma schneiden. Insgesamt ässt sich sagen, dass die PFA-Vorhersage für die Casimir-Kraft bzw. Casimir-Energie für Drude-Godkugen besser mit den entsprechenden exakten Ergebnissen übereinstimmt as für perfekt eitfähige Kugen. bezug zum experiment Im Jahr 2015 wurde ein neuartiges Experiment durchgeführt [76], in dem Kräfte zwischen zwei Kugen gemessen werden, die sich in einer Füssigkeit befinden. Die Füssigkeit mit samt den Kugen befinden sich im Zwischenraum zweier Gaspatten, die ca. 200 µm voneinander entfernt sind. Eine der beiden Kugen ist auf einer der Gaspatten fixiert. Ihr Materia ist im Prinzip beiebig wähbar. Eine zweite Kuge wird mit Hife einer optischen Pinzette im Fokus eines Laserstrahs eingefangen. Sie muss dieektrisch sein, damit sie eingefangen werden kann und nicht vom Strahungsdruck in die Ausbreitungsrichtung des Laserstrahs bescheunigt wird.

98 98 die externe kuge-kuge-geometrie a) F exakt /F PFA R = 1 µm R = 10 µm R = 20 µm R = 50 µm R = 100 µm 0.4 b) F exakt /F PFA 0.6 F exakt /F PFA L/R L/R Abb. 30: a) Das Verhätnis aus der exakten freien Casimir-Energie bzw. der exakten Casimir-Kraft b) und dem Ergebnis der PFA-Näherung as Funktion des Abstands L/R für perfekt eitfähige Kugen identischer Radien R 1 = R 2 = R. Die schwarze durchgezogene Linie entspricht R = 1 µm während baue gepunktete, gestrichpunktete, gestrichete und durchgezogene Linien R = 10 µm, R = 20 µm, R = 50 µm und R = 100 µm zeigen. Die Temperatur ist für ae Kugeradien geich Raumtemperatur T = 293 K.

99 4.3 bezug zum experiment a) 1 R = 1 µm R = 10 µm R = 20 µm R = 50 µm R = 100 µm F exakt /F PFA b) F exakt /F PFA F exakt /F PFA L/R L/R Abb. 31: a) Das Verhätnis aus der exakten freien Casimir-Energie bzw. der exakten Casimir-Kraft b) und dem Ergebnis der PFA-Näherung as Funktion des Abstands L/R für dissipative Godkugen mit identischen Radien R1 = R2 = R. Die durchgezogene schwarze Linie entspricht R = 1 µm, während baue gepunktete, gestrichpunktete, gestrichete bzw. durchgezogene Linien für R = 10 µm, R = 20 µm, R = 50 µm und R = 100 µm stehen. Bei der Temperatur handet es sich für ae Kugeradien um Raumtemperatur T = 293 K. 99

100 100 die externe kuge-kuge-geometrie Die Gaspatten inkusive der beiden Kugen können durch einen Piezo bei Geschwindigkeiten v nm/s verschoben werden, ohne dabei die eingefangene Kuge aus dem Fokus eines optischen Mikroskops zu verieren, mit dem sie während des Experiments beobachtet wird. Auf diese Weise ässt sich die eingefangene Kuge in die Nähe der fixierten Kuge bringen. Attraktive bzw. repusive Kräfte zwischen den Kugen können gemessen werden, indem mit Hife des optischen Mikroskops die Ausenkung der eingefangenen Kuge aus dem Mittepunkt des Laserstrahs gemessen wird. In guter Näherung kann die vom Laserstrah ausgeübte Rückstekraft wie eine Federkraft angenommen werden, wobei die Federkonstante nach einer entsprechenden Kaibrierung bekannt ist und sich über die Leistung des Lasers einsteen ässt. Bei Verwendung nur weniger Miiwatt an Lasereistung ist im oben beschriebenen Aufbau die Messung von Femtonewton-Kräften mögich. Limitiert wird die Sensitivität zur Messung der Casimir-Kraft durch die Lasereistung, die mindestens benötigt wird, um ein Entkommen der eingefangenen Kuge auf Grund der brown schen Bewegung zu verhindern. Außerdem ist die Casimir-Kraft nicht die einzige wirkende Kraft. Sofern sich überschüssige Ladungen auf den Kugen befinden, wirken ebenfas Couomb- und Doppeschicht-Kräfte. An der UFRJ finden Experimente mit Kugen aus Poystyren (Ps) und Quecksiber (Hg) statt. As Medium zwischen den Kugen wird Wasser verwendet. Die zwei Materiakombinationen, in denen bisher Messungen der Casimir-Kraft angestet wurden, sind: 1. Ps-Kuge (R 1 = 2 µm) Wasser Hg-Kuge (R 2 = 7 µm), 2. Ps-Kuge (R 1 = 1.5 µm) Wasser Ps-Kuge (R 2 = 7.18 µm). In diesen beiden Geometrien sorgt die hohe statische Permittivität von Wasser ɛ r (0) 80 dafür, dass der ξ 0 -Beitrag zur Matsubara-Summe ein besonders starkes Gewicht trägt. Somit führt die Verwendung von Wasser as Medium zwischen den Kugen dazu, dass im Vergeich zu früheren Casimir- Experimenten thermische Korrekturen der Casimir-Kraft noch reevanter werden. Wird sehr sazhatiges Wasser (NaC aq ) an Stee von destiiertem Wasser (H 2 O) verwendet, so bidet sich nach [160] durch die in der Sazösung vorhandenen Ionen eine eektrostatische Doppeschicht aus und es ist mit einer Abschirmung der Casimir-Wechsewirkung bei Frequenz Nu zu rechnen. Für ae nachfogenden Rechnungen, die sich auf eine Sazösung (NaC aq ) as Füssigkeit zwischen den Medien beziehen, wird daher der Beitrag der nuten Matsubara-Frequenz in der Matsubara-Summe nicht mitgezäht. Bei hohen Temperaturen 2πk B TL/ hc 1 verschwindet durch die ionische Abschirmung dann sowoh die freie Casimir-Energie F HT as auch die Casimir- Kraft F HT.

101 4.3 bezug zum experiment 101 Poystyren Wasser Quecksiber Für Materiaien, deren Permittivitäten die Abstoßungsbedingung (siehe S. 50, G. (3.7)) ɛ 1 (ξ) < ɛ Md (ξ) < ɛ 2 (ξ), (4.24) für eine ausreichende Anzah an Matsubara-Frequenzen erfüen, können abstoßende Casimir-Kräfte beobachtet werden [71, 161, 116, 162]. Die erste Messung dieses Effekts geang 2009 [163] für eine Godkuge, die sich in Bromobenzo vor einer Oberfäche aus Siizium befindet. G. (4.24) ist jedoch nicht nur für die obige Materiakombination erfüt, sondern auf Grund der hohen statischen Permittivität von Wasser auch für den Beitrag der nuten Matsubara-Frequenz, wenn sich eine dieektrische Poystyren- und eine metaische Quecksiberkuge 2 in Wasser befinden (s. Abb. 7, Seite 37). Da G. (4.24) für eine Ps- und eine Hg-Kuge in Wasser bei Raumtemperatur nur für die nute nicht aber für ξ Hz und ae höheren Matsubara-Frequenzen erfüt ist, kommt es zu abstoßenden Casimir- Kräften bei Distanzen, bei denen thermische Effekte den Casimir-Effekt dominieren und zur Casimir-Anziehung bei geringen Abständen. Interessant ist der Vorzeichenwechse der Casimir-Kraft, da sich Beiträge der nuten Matsubara-Frequenz durch ionische Abschirmung [160, S. 165] unterdrücken assen und somit das Vorzeichen der Casimir-Kraft mit Hife des Sazgehats des wässrigen Zwischenmediums verändert werden kann. Abb. 32a) zeigt die Casimir-Kraft as Funktion es Oberfächenabstands zweier Kugen in Wasser. Die Kugen besitzen die Radien R 1 = 2 µm und R 2 = 7 µm und bestehen aus Poystyren bzw. Quecksiber. As Temperatur ist Raumtemperatur, T = 293 K gewäht. Die Skizze in 32a) veranschauicht die Größenverhätnisse der Kugeradien und des Abstands für L = 100 nm. As schwarze und baue Kurve sind die Kräfte für destiiertes Wasser die nute Matsubara-Frequenz trägt vo bei und sazhatiges Wasser die nute Matsubara-Frequenz trägt nicht bei eingezeichnet. Für destiiertes Wasser bedingt die Erfüung der Repusionsbedingung für quasistatische Frequenzen, dass die Casimir-Kraft für L 180 nm abstoßend, F Cas > 0 ist. Da bei keineren Abständen immer mehr Matsubara- Frequenzen attraktive Beiträge iefern wechset das Vorzeichen unterhab von L 180 nm und die Casimir-Kraft wird anziehend, Cas < 0. Das Kraftmaximum bei L 180 nm beträgt etwa 2.5 fn Für sazhatige wässrige Lösungen (baue Kurve in Abb. 32), as Medium zwischen den Kugen, ist der abstoßende Beitrag bei der nuten Matsubara- Frequenz nicht vorhanden, da er von Sazionen abgeschirmt wird. Die Casimir-Kraft ist in diesem Fa immer anziehend (F Cas < 0). Abb. 32b) zeigt das Verhätnis aus der exakten mutipoaren Kraft und der Vorhersage der PFA. Sieht man davon ab, dass die exakte- und die PFA-Kraft einen eicht unter- 2 Quecksiber ist bei Raumtemperatur füssig und bidet auf Grund seiner hohen Oberfächenspannung äußerst sphärische Tropfen mit vernachässigbarer Oberfächenrauigkeit aus.

102 102 die externe kuge-kuge-geometrie a) 0 20 Wasser FCas [fn] Ps Hg 80 b) Ps H 2 O Hg Ps NaC aq Hg FCas/F Cas PFA L [µm] Abb. 32: a) Die exakte Casimir-Kraft bei Raumtemperatur, T = 293 K in Femtonewton (10 15 N) zwischen einer Poystyren- und einer Quecksiberkuge mit den Radien R 1 = 2 µm und R 2 = 7 µm in Wasser as Funktion des Oberfächenabstands L. Die schwarze Kurve zeigt die Kraft für destiiertes Wasser, während die baue Kurve einem Sazgehat entspricht, bei dem die nute Matsubara-Frequenz voständig abgeschirmt ist. Positive bzw. negative Kräfte entsprechen Abstoßung bzw. Anziehung. In b) ist das Verhätnis aus der exakten Casimir-Kraft und der PFA-Näherung dargestet. Die Lage der Nu- bzw. Postee der schwarzen Kurve zeigt, dass die exakte Rechnung und die PFA sehr ähniche Vorhersagen für den Abstand machen, bei dem die Casimir-Kraft zwischen Anziehung und Abstoßung wechset.

103 4.3 bezug zum experiment 103 schiedichen Abstand für F Cas = 0 vorhersagen, stimmt die PFA für die Kombination aus einer dieektrischen und einer metaischen Kuge in Wasser gut mit den exakten Ergebnissen überein. Die Übereinstimmung kann dadurch verstanden werden, dass in dieektrischen Kugen die Streuung praktisch nur über eine Anregung eektrischer Mutipoe erfogt. Der poarisationsmischende Kana, M E, ist daher unterdrückt und ein prominenter Effekt, der in der PFA vernachässigt wird, trägt daher kaum bei. Die Casimir-Kraft ist nicht die einzige wichtige Größe, denn die Casimir- Wechsewirkung tritt in Füssigkeiten nur zusammen mit der Brown schen Bewegung auf. Es ist daher auch ein Vergeich von F Cas und der thermischen Energie k B T wichtig, um beurteien zu können, ob das okae Kraftmaximum aus Abb. 32a) der abstoßenden Casimir-Kraft ausreicht, um vor dem Hintergrund Brown scher Bewegung wahrgenommen zu werden. Abb. 33a) zeigt die freie Casimir-Energie bei Raumtemperatur für das identische Setup aus einer Poystyren- und einer Quecksiberkuge in Wasser as Funktion des Oberfächenabstands L. Da die thermische Bewegungsenergie von der Größenordnung k B T ist entspricht sie bei Raumtemperatur ca. 25 mev und übertrifft das Maximum des repusiven Casimir-Potentias aus Abb. 33a) um mehr as einen Faktor zwei. Dementsprechend ist nicht zu erwarten, dass im Experiment die abstoßende Casimir-Kraft für die gewähten Radien beobachtet werden kann. Aus theoretischer Sicht ist dennoch interessant, dass der ξ 0 -Beitrag zur freien Casimir-Energie bei Raumtemperatur so groß sein kann, dass er sebst bei Abständen deutich unterhab der thermischen Weenänge λ T 1.2 µm das Vorzeichen der Casimir-Kraft bestimmt. Diese Tatsache hängt maßgebich damit zusammen, dass Poystyren und Wasser bei aen Matsubara- Frequenzen zu n > 0 sehr ähniche Berechungsindizes bei imaginären Frequenzen besitzen. Dadurch ist die Refexion an der Poystyrenkuge schwach und der Beitrag der nuten Matsubara-Frequenz ist sebst bei Temperaturen L/λ T < 1 wichtig, bei denen für zwei metaische Kugen bereits viee Matsubara-Frequenzen wesentich zur freien Energie beitragen. austausch einzener kugemateriaien Das Materia der Kuge K 2 ist beiebig wähbar, da diese nicht in der optischen Pinzette eingefangen werden muss. Es stet sich daher die Frage, wie stark die Casimir-Kraft von den Materiaeigenschaften der Kuge K 2 abhängt und ob beispiesweise die Ersetzung der Quecksiberkuge durch eine Godkuge einen signifikanten Zuwachs der Casimir-Kraft verursacht. Zu diesem Zweck zeigt Abb. 34 die Casimir-Kraft as Funktion des Oberfächenabstands L für eine Poystyren- und eine Godkuge in destiiertem Wasser as baue Strichinie. Die bereits untersuchte Konfiguration Poystyren Wasser Quecksiber ist zum Vergeich as schwarze Linie eingezeichnet. Der Vergeich ergibt, dass der Austausch des reativ schechten Refektors Quecksiber durch den guten Refektor God keinen nennenswerten Einfuss auf die Casimir-Kraft hat. Diese Tatsache ässt sich dadurch verstehen,

104 104 die externe kuge-kuge-geometrie a) 10 0 FCas [mev] Wasser Ps Hg 30 Ps H 2 O Hg Ps NaC aq Hg b) 1 FCas/F Cas PFA L [µm] Abb. 33: a) Die freie Casimir-Energie as Funktion des Abstands bei Raumtemperatur für eine R 1 = 2 µm große Poystyrenkuge (Ps) vor einer R 2 = 7 µm großen Quecksiberkuge (Hg). Die schwarze und baue Kurve zeigen die freie Energie für reines Wasser bzw. Sazwasser. Für Sazwasser wird der Beitrag der nuten Matsubara-Frequenz nicht mitgezäht. b) Das Verhätnis von F nach der Streutheorie und der PFA-Vorhersage.

105 4.3 bezug zum experiment FCas [fn] 20 FCas [fn] Ps H 2 O Hg Ps H 2 O Au L [µm] L [µm] Abb. 34: Die Casimir-Kraft as Funktion des Abstands L für eine dieektrische und eine metaische Kuge in Wasser bei Raumtemperatur T = 293 K. Die Radien der dieektrischen und der Metakuge betragen R 1 = 2 µm und R 2 = 7 µm. Die baue gestrichete Kurve entspricht der Kraft zwischen einer Poystyren- und einer Godkuge, während die schwarze Linie zum Vergeich die Casimir-Kraft zwischen einer Poystyren- und einer Quecksiberkuge zeigt. dass die Stärke der Casimir-Wechsewirkung durch die schwache Refektivität der Poystyrenkuge imitiert wird. Sebst ein Austausch der Quecksiberkuge durch einen fiktiven perfekten Leiter könnte somit keinen merkichen Kraftzuwachs bewirken. vergrößerung der kugeradien Die Höhe des abstoßenden Casimir-Potentias aus Abb. 33a) bzw. die Größe der abstoßenden Kraft von nur etwa 2.5 fn (s. Inset in Abb. 34) assen wenig Hoffnung, dass die Casimir-Abstoßung für dieses Setup gemessen werden kann. Es stet sich jedoch die Frage, ob durch eine Vergrößerung der Kugeradien ein größeres Kraftsigna erreicht werden kann. Abb. 35a) verdeuticht, dass die Casimir-Kraft für größere Kugeradien signifikant verstärkt werden kann. F Cas ist hierfür für eine Poystyrenkuge mit dem Radius R 1 = 8.6 µm und eine Quecksiberkuge mit R 2 = 13 µm as schwarze durchgezogene Linie für eine Poystyrenkuge mit dem Radius R 1 = 2.75 µm und eine Quecksiberkuge mit R 2 = 8.16 µm as schwarze gestrichete Linie dargestet. Die speziee Wah der Radien wurde getroffen, da diese für das Experiment derzeit verfügbar sind. Das abstoßende Kraftmaximum für das größere Kugepaar iegt bei F Cas = 10 fn und sote prinzipie im Experiment messbar sein.

106 106 die externe kuge-kuge-geometrie Abb. 35b) zeigt das Verhätnis aus der exakten mutipoaren Kraft und der Vorhersage der PFA. Erwartungsgemäß wird die PFA bei festem Oberfächenabstand L und fester Temperatur T für größere Kugeradien besser, wie ein Vergeich von Abb. 33b) und Abb. 35b) zeigt. Auf Grund des Verhätnis F Cas /FCas PFA von etwa 0.9 im Maximum der Casimir-Kraft ässt sich das Skaierungsverhaten von F Cas bereits im Rahmen der PFA abschätzen und die Casimir-Kraft skaiert gemäß FCas PFA R 1 R 2 /(R 1 + R 2 ), s. G. (3.34), Seite 66 mit den Radien der Kugen. Gemäß dieser Abhängigkeit von den Kugeradien ist es besonders günstig nach Mögichkeit den Radius der keineren Kuge zu vergrößern um die Casimir-Kraft zu maximieren. In Abb. 36 ist die freie Casimir-Energie für das größere Kugepaar, R 1 = 7.18 µm und R 2 = 13 µm, as Funktion des Abstands L bei Raumtemperatur in mev gezeigt. Durch die Vergrößerung der Kugeradien hat sich die Höhe des abstoßenden Casimir-Potentias so weit vergrößert, dass es die thermische Energie übertrifft. Um abstoßende Casimir-Kräfte zwischen einer Psund einer Hg-Kuge in Wasser messen zu können soten daher die Kugeradien so groß wie mögich gewäht werden. Evt. müssen für besonders große Poystyrenkugen die Strahparameter der optischen Pinzette angepasst werden, damit sich die Ps-Kugen weiterhin im Fokus des Laserstrahs einfangen ässt. Poystyren Wasser Poystyren Die Casimir-Wechsewirkung für zwei dieektrische Kugen ist im Agemeinen schwächer as für eine dieektrische und eine metaische Kuge. Ursächich dafür ist, dass metaische Kugen wesentich besser refektieren as dieektrische und somit die Mie-Koeffizienten bei imaginären Frequenzen betragsmäßig deutich größer sind. Besonders die TE-Mie-Koeffizienten b sind für unmagnetische Dieektrika betroffen, da in diesen eektrischen Isoatoren keine freien Ladungsträger zur Verfügung stehen, weche die für die Refexion von magnetischer Mutipostrahung benötigten Ringströme erzeugen können. Da die Repusionsbedingung (4.24) für zwei Objekte mit identischen Materiaeigenschaften nie erfüt ist, werden für zwei Poystyrenkugen in Wasser anziehende Casimir-Kräften erwartet. Abb. 37a) zeigt die Casimir-Kraft as Funktion des Oberfächenabstands für zwei Poystyrenkugen mit den Radien R 1 = µm und R 2 = 7.18 µm, die sich bei Raumtemperatur T = 293 K in Wasser befinden. Die Radien entsprechen den experimente gemessenen Werten eines an der UFRJ durchgeführten Experiments. Der Vergeich des Kraftveraufs für reines Wasser (schwarz) und Sazwasser (bau) zeigt wie wichtig sebst beim keinsten Abstand von L = 100 nm der Beitrag der nuten Matsubara-Frequenz ist, wecher für die baue Kurve unterdrückt ist und bei der schwarzen Kurve beiträgt.

107 4.3 bezug zum experiment 107 a) 0 20 FCas [fn] b) Ps (R 1 = 7.18 µm) H 2 O Hg (R 2 = 13, µm) Ps (R 1 = 2.75 µm) NaC aq Hg (R 2 = 8.6 µm) FCas/F Cas PFA L [µm] Abb. 35: a) Die Casimir-Kraft as Funktion des Abstands L für eine Poystyren- und eine Quecksiberkuge mit den Radien R 1 und R 2 in reinem Wasser bei Raumtemperatur T = 293 K. Die durchgezogene Linie steht für R 1 = 7.18 µm und R 2 = 13 µm, während für die gestrichete Linie R 1 = 2.75 µm und R 2 = 8.6 µm git. b) Das Verhätnis der exakten Casimir-Kraft gemäß der Streutheorie und der zugehörigen Vorhersage der PFA.

108 108 die externe kuge-kuge-geometrie 20 FCas [mev] 0 20 Ps (R 1 = 7.18 µm) H 2 O Hg (R 2 = 13 µm) Ps (R 1 = 7.18 µm) NaC aq Hg (R 2 = 13 µm) L [µm] Abb. 36: Die Casimir-Energie as Funktion des Abstands L für eine Poystyren- und eine Quecksiberkuge mit den Radien R 1 = 7.18 µm und R 2 = 13 µm in Wasser bei Raumtemperatur T = 293 K. Die schwarze bzw. baue Linie steht für destiiertes Wasser bzw. Sazwasser zwischen den Kugen.

109 4.3 bezug zum experiment 109 Die PFA ist nach 37b) für Sazwasser (NaC aq ) deutich genauer as für destiiertes Wasser (H 2 O). Dies bedeutet, dass bei der Berechnung des ξ 0 - Beitrags zur Casimir-Kraft in PFA ein besonders großer Feher entsteht. Drude Pasma Kontroverse Noch immer besteht keine Einigkeit, ob die Permittivität von Metaen im Rahmen des Casimir-Effekts bei tiefen Frequenzen mit dem Drude- oder dem Pasma-Mode beschrieben werden muss. In den etzten Jahren wurden Vorschäge für speziee Experimente gemacht [142, 164], in denen eine Messung der Casimir-Kraft in diesem Punkt Karheit schaffen könnte, aber entsprechende Messungen stehen noch aus. Aus diesem Grund wird an dieser Stee ein aternativer Versuch vorgeschagen, wecher speziee Streueigenschaften beschichteter Kugen benutzt. Dieser besteht aus der Messung der Casimir-Kraft zwischen zwei Godkugen in destiiertem Wasser. Eine der beiden Kugen ist mit einer konzentrischen Schicht eines dieektrischen Mediums überzogen. Die Refexionseigenschaften der beschichteten Kuge werden gemäß Kapite behandet. Es werden Rechnungen für Poystyren as Beschichtungsmateria durchgeführt. Für den nachfogend beschriebenen Effekt ist jedoch nur maßgebich, dass as Beschichtungsmateria ein Dieektrikum verwendet wird, dessen Permittivität bei Frequenz Nu keiner ist as die entsprechende Permittivität von Wasser, ɛr Die. (0) < ɛ H 20 r (0) 80. Auf Grund der hohen Permittivität von reinem Wasser sind die meisten Dieektrika as Beschichtungsmateria geeignet. Da der Kraftunterschied, den das Drude- und das Pasmamode für die Casimir-Kraft vorhersagen, bei hohen Temperaturen besonders groß ist, werden Kugeradien von R 1 = R 2 = 100 µm verwendet um bei Abständen im Mikrometerbereich ein mögichst großes Kraftsigna zu erreichen. Bei der Kuge K 2 handet es sich nachfogend um die beschichtete Kuge. Ihr Radius R 2 ist as Außenradius der Kuge zu verstehen. Im Kapite wurde gezeigt, dass die eektrischen Mie-Koeffizienten einer beschichteten Metakuge, die sich in Wasser befindet, für eine beiebige Ordnung durch eine entsprechende Wah der Beschichtungsparameter auf Nu gebracht werden können. Diese Tatsache wird nun ausgenutzt. In Abb. 38a) bzw. 38b) sind die Verhätnisse aus TM- bzw. TE-Refexionskoeffizienten A (2) bzw. B (2) einer Ps-beschichten Drude-Godkuge und den entsprechenden Refexionskoeffizienten einer perfekt eitfähigen Kuge as durchgezogene Linien dargestet. Für die gezeigten Linien wächst von oben nach unten die Drehimpuszah und nimmt dabei die Werte = 1, 5, 10, 100 und = 200 an. Gestrichete Linien stehen für eine Pasma-Godkuge, deren TM-Koeffizienten in Abb. 38a) nicht von den Koeffizienten einer perfekt eitfähigen Kuge unterschieden werden können. Die beschichtete Kuge besitzt in Abb. 38 jeweis den Innenradius R i = 99.7 µm und einen Außenradius von R = 100 µm. Der Radius, der perfekt eitfähigen Kuge die as Normierung dient ist ebenfas R.

110 110 die externe kuge-kuge-geometrie a) 0 Wasser FCas [fn] 20 Ps Ps 40 Ps H 2 O Ps Ps NaC aq Ps b) 60 1 FCas/F Cas PFA L [µm] Abb. 37: a) Die Casimir-Kraft bei Raumtemperatur, T = 293 K in Femtonewton (10 15 N) zwischen zwei Poystyrenkugen mit den Radien R 1 = µm und R 2 = 7.18 µm in Wasser as Funktion des Oberfächenabstands L. Die schwarze Kurve zeigt die Kraft für destiiertes Wasser, während die baue Kurve einem Sazgehat entspricht, bei dem die nute Matsubara-Frequenz voständig abgeschirmt ist. b) zeigt das Verhätnis aus der exakten Casimir-Kraft und der PFA- Vorhersage.

111 4.3 bezug zum experiment 111 Die bauen Kurven in den Abbidungen 38a),b) zeigen die Refexionskoeffizienten für den Drehimpus = 10, bei dem der TM-Refexionskoeffizient der beschichteten Kuge für tiefe Frequenzen näherungsweise Nu ist. An Hand von Abb. 38a) ässt sich erkennen, dass die 300 nm dicke Poystyrenbeschichtung dafür sorgt, dass sich die TM-Refexionskoeffizienten für < 10 und > 10 im Vorzeichen unterscheiden, während die jeweiigen TE-Refexionskoeffizienten aus Abb. 38b) jeweis das geiche Vorzeichen besitzen wie die entsprechenden Koeffizienten der perfekt eitfähigen Kuge. Numerischen Rechnungen beegen, dass eine Erhöhung der Dicke der Poystyrenschicht bzw. eine Verkeinerung des Radius R i des Godkerns die Drehimpuszah erhöht, für die der Streukoeffizient A (2) A (2) 10 verschwindet. Dies kann dadurch verstanden werden, dass im Grenzfa R i = 0 die beschichtete Kuge zu einer reinen Poystyrenkuge wird. Für eine soche unterscheidet sich die statische Poarisierbarkeit in Wasser wegen ɛ H 2O r (0) > ɛr Ps (0) stets von der entsprechenden Poarisierbarkeit einer perfekt eitfähigen oder metaischen Kuge. Dementsprechend unterscheiden sich dann die Vorzeichen der TM-Refexionskoeffizienten der Ps- und der metaischen Kuge für ae Drehimpuse bei Frequenz Nu. Abb. 39 zeigt die Casimir-Kraft as Funktion des Oberfächenabstands für zwei Godkugen, die jeweis den Außenradius R = 100 µm besitzen und von denen eine mit Poystyren beschichtet ist. Baue bzw. schwarze Linien stehen für eine Poystyrenschicht, die 300 bzw. 100 nm dick ist. As durchgezogene bzw. gestrichete Linien ist die Casimir-Kraft für Drude- bzw. Pasma- Godkugen eingezeichnet. Die Poystyrenbeschichtung sorgt dafür, dass für niedrige Mutipoordnungen die statische eektrische Poarisierbarkeit der beschichteten Kuge ein anderes Vorzeichen besitzt as für höhere Ordnungen. Die Beiträge der entsprechenden Mutipoordnungen führen in der Kombination mit einer unbeschichteten Godkuge dazu, dass abstoßende Kraftbeiträge entstehen, wie dies in Kapite bereits für die Kombination einer Ps- und einer Hg-Kuge in Wasser der Fa war. Der M M-Poarisationskana iefert für Pasma-Godkugen attraktive Beiträge zur freien Casimir-Energie, da die Streukoeffizienten der beschichteten und der unbeschichteten Godkuge das geiche Vorzeichen besitzen. Die M M-Beiträge tragen für Drude-Kugen bei Frequenz Nu nicht bei, da sich unterhab der Dissipationsfrequenz in magnetischen Mutipoe anregen assen. Die Dicke der Poystyrenschicht ist in Abb. 39 derart gewäht worden, dass sich für Pasma-Godkugen TE- und TM-Beiträge zur freien Casimir- Energie teiweise kompensieren. Da diese Kompensation bei der größeren Schichtdicke (baue Strichinie) stärker ausfät, as für die geringere Schichtdicke (schwarze Strichine) ist die Casimir-Kraft im ersten Fa attraktiver as im zweiten Fa. Wird die Permittivität der Godkuge durch ein Drude-Mode beschrieben, so entfaen die attraktiven Beiträge der M M-Kanäe. Für die mit 300 nm Poystyren beschichtete Godkuge ergeben sich dann abstoßende

112 112 die externe kuge-kuge-geometrie a) A (2) /a PC b) = 1 = 5 = 10 = 100 = B (2) /b PC Abb. 38: a) Das Verhätnis der TM-Streukoeffizienten einer mit Poystyren beschichteten Godkuge mit dem Außenradius R = 100 µm und dem TM-Refexionskoeffizienten einer perfekt eitfähigen Kuge geichen Radius as Funktion der Weenzah. Für die Strichinien bzw. durchgezogene Linien wurde die Permittivität von God im Pasma- bzw. Drude-Mode beschrieben. Die Dicke der Poystyrenschicht beträgt 300 nm und sowoh die perfekt eitfähige as auch die beschichtete Kuge befinden sich in Wasser. Für die durchgezogenen Linien wächst von oben nach unten der Drehimpus und nimmt dabei die Werte = 1, 5, 10, 100 und = 200 an. Durch die baue Linie ist = 10 hervorgehoben, bei dem A (2) 10 für κr 0 verschwindet. b) zeigt in Anaogie zu a) das entsprechende Verhätnis für TE-Streukoeffizienten. Die Farbkodierung stimmt mit a) überein. κr

113 4.3 bezug zum experiment Drude, 300 nm Ps Pasma, 300 nm Ps Drude, 100 nm Ps Pasma, 100 nm Ps FCas [fn] L [µm] Abb. 39: Die Casimir-Kraft zwischen einer mit Poystyren beschichteten und einer unbeschichteten Godkuge in destiiertem Wasser as Funktion des Oberfächenabstands L. Der Radius bzw. Außenradius der Kugen beträgt R 1 = R 2 = 100 µm und die Temperatur ist Raumtemperatur, T = 293 K. Durchgezogene Linien stehen für Godkugen mit ɛ r gemäß des Drude-Modes, während gestrichete Linien die Casimir-Kraft zwischen Pasma-Godkugen zeigen. Für die bauen Kurven hat die Poystyrenbeschichtung eine Dicke von 300 nm, während die Schichtdicke für die schwarzen Kurven 100 nm beträgt. Casimir-Kräfte im gesamten gezeigten Abstandsbereich, während das Pasma-Mode beim geichen Abstand stets anziehende Casimir-Kräfte vorhersagt. Je nach Abstand beträgt der Unterschied F Cas zwischen der Casimir- Kraft im Drude- bzw. Pasma-Mode F Cas 20 fn. Es ist sebstverständich denkbar sowoh den Abstandsbereich as auch die Kugeradien besser an einen konkreten Versuchsaufbau anpassen, fas dies für die experimentee Reaisierung notwendig ist. Dabei muss jedoch berücksichtigt werden, dass für keinere Abstände der Kraftunterschied F Cas der Drude- bzw. Pasma-Vorhersage für die Casimir-Kraft abnimmt, wenn viee Matsubara-Frequenzen ξ n > ξ 0 zur freien Casimir-Energie beitragen. Denn für κr 10 2 besitzen die TM-Refexionskoeffizienten einer beschichteten und einer unbeschichteten Godkuge in Wasser die geichen Vorzeichen (siehe Abb. 38a)) und der E E-Poarisationskana iefert nicht änger abstoßende Beiträge zur freien Casimir-Energie.

114 114 die externe kuge-kuge-geometrie

115 5 D E R C A S I M I R - E F F E K T I N D E R I N T E R N E N K U G E L - K U G E L - G E O M E T R I E Die interne Geometrie zeichnet sich u. a. dadurch aus, dass die Maxwe- Geichungen für eine perfekt eitfähige Kavität diskrete Eigenmoden besitzen. Durch die Summe über diese Eigenmoden ässt sich mit Hife der Funktionentheorie und geeigneter Renormaierungsverfahren [165] der entsprechenden Geometrie eine Casimir-Sebstenergie zuordnen. Derartige Rechnungen wurden u. a. für Kugen [166, 167] Quader [168] und Zyinder [169] durchgeführt. Für perfekt eitfähige konzentrische Kugeschaen ist die Modensummation ebenfas praktikabe, da die Eigenfrequenzen anaog aufsummiert werden können [170]. Die Determinante det [1 M] ässt sich für den Roundtrip- Operator M bei reeen Frequenzen in diesem Fa as Eigenwertbedingung für die eektromagnetischen Feder verstehen, die sich zwischen den beiden Kugeschaen ausbiden können. Das zentrae Objekt, weches die Berechnung der freien Casimir-Energie im Rahmen der Streutheorie eraubt, definiert in der internen Kuge-Kuge-Geometrie damit eine Eigenwertbedingung für die eektromagnetischen Feder. Die interne Kuge-Kuge-Geometrie ist in Abb. 40 dargestet und besteht aus einer großen Kuge K 2 mit dem Radius R 2, in der sich eine zweite Kuge K 1 mit dem Radius R 1 < R 2 befindet. Die beiden Koordinatensysteme O 1 und O 2, in denen jeweis die Streuung an der entsprechenden Kugeoberfäche beschrieben wird, können so gewäht werden, dass ihre z-achse in die geiche Richtung zeigt. Die beiden Koordinatenursprünge bzw. die Kugemittepunkte sind dann entang der gemeinsamen z-achse um den Abstand d R 2 R 1 L verschoben. Diese Wah sichert, dass die Quantenzah m sphärischer Mutipofeder beim Wechse des Koordinatensystems erhaten beibt. L bezeichnet den kürzesten Abstand der beiden Kugeoberfächen. Im Hinbick auf einen Vergeich mit der Kuge-Patte Geometrie ist außerdem der Abstand L des Mittepunkts von K 1 und der Oberfäche von K 2 eine wichtige Größe. Die in Abb. 40 skizzierte Kuge-Kuge-Konfiguration wurde bereits in [171] für perfekt eitfähige Kugeoberfächen am absouten Nupunkt untersucht und mit der PFA vergichen. Eine Diskussion für reaistischere Materiakombinationen und bei endichen Temperaturen wird daher in diesem Kapite nachgehot. 115

116 116 der casimir-effekt in der internen kuge-kuge-geometrie Abb. 40: Die interne Kuge-Kuge-Geometrie besteht aus einer Kuge K 2 mit dem Radius R 2, deren Innenraum ein Medium des Brechungsindex n Md enthät, während ihr Außenbereich von einem Medium des Brechungsindex n 2 ausgefüt wird. Im Inneren von K 2 befindet sich eine Kuge K 1 mit dem Radius R 1 < R 2 und Brechungsindex n 1. Die Mittepunkte der beiden Kugen haben den Abstand d. L gibt den Abstand des Mittepunkts von K 1 und der Oberfäche von K 2 an. Mit dem Oberfächenabstand L der beiden Kugeoberfächen besteht der Zusammenhang L = L R 1 bzw. L = d R 2 R 1. Zunächst wird die Casimir-Wechsewirkung perfekt eitender Kugen bei hohen Temperaturen diskutiert. Da die freie Casimir-Energie bei hohen Temperaturen nur durch die nute Matsubara-Frequenz bestimmt wird, ist es mögich anaytische Resutate zu gewinnen. Diese erauben einen Anschuss an die Patte-Patte- und die Dipo-Patte-Geometrie. Anschießend erfogt die Diskussion eines sich in der Luft befindenden Wassertropfens, der eine keine Godkuge enthät. Für dieses Szenario wird gezeigt, dass die Casimir-Kraft auf die Godkuge in Richtung des Mittepunkts des Wassertropfens wirkt. der patte-patte- und dipo-patte-übergang bei hohen temperaturen Der Patte-Patte-Grenzfa Die einfachste Situation, die in der internen Geometrie diskutiert werden kann, ist die einer perfekt eitfähigen und mit Luft bzw. Vakuum n Md = 1 gefüten Kavität, in deren Zentrum sich eine perfekt eitfähige Kuge befindet. Die Besonderheit der konzentrischen Konfiguration ist es, dass die Casimir-Kraft aus Symmetriegründen verschwindet, während die freie Energie den Wert F konz = k B T n=0 =1 [ (2 + 1) n ] (1 a a 1 )(1 b b 1 ) (5.1)

117 5.1 der patte-patte- und dipo-patte-übergang bei hohen temperaturen 117 annimmt. Mit a 1 bzw. b 1 werden die TM- bzw. TE-Streukoeffizienten der Kavität bezeichnet (siehe Kapite 2.4.2). Da im konzentrischen Fa die Verschiebung d der Kugemittepunkte Nu ist, werden die Transationsmatrizen zur Identität. In G. (5.1) sind deswegen sowoh as auch m bei der wechseseitigen Refexion an den Kugeoberfächen erhaten. Dass die Beiträge von Vektorfedern mit dem Drehimpus für ae Quantenzahen m =,..., + identisch sind, wird durch den Faktor erfasst. Die freie Energie F ässt sich im Koordinatensystem O 1 der eingeschossenen Kuge K 1 unter Benutzung der Wick-rotierten Streukoeffizienten (2.57) für die Kuge K 1 bzw. der inversen Streukoeffizienten (2.59) für die Kavität K 2 berechnen. Für perfekte Leiter ergibt sich der Beitrag der nuten Matsubara- Frequenz aus der Beziehung: im a a 1 = im b b 1 = ξ 0 ξ 0 ( R1 R 2 ) 2+1. (5.2) Die Casimir-Energie perfekt eitfähiger konzentrischer Kugen kann damit bei hohen Temperaturen geschrieben werden as F konz HT = k B T 1 p p=1 =1 (2 + 1) ( R1 R 2 ) p(2+1). (5.3) In diesem Schritt wurde die Reihendarsteung des Logarithmus benutzt, die sich nach Abschnitt 3.3 as Summe über Mehrfachrefexionen zwischen den Kugeoberfächen interpretieren ässt. Die Summe über kann auf eine geometrische Reihe zurückgeführt werden, womit aus G. (5.3) fogt: F HT, konz = k B T p=1 ( R1 R 2 ) 3p [ ( R1 R 2 ) 2p 3 ] p [ ( R1 R 2 ) 2p 1 ] 2. (5.4) Für R 1 R 2 kann die Summation in Gn. (5.4,5.3) auf den Term p = 1 beschränkt werden und es ergibt sich im F HT, konz = 3k B T R 2 ( R1 R 2 ) 3, (5.5) was auch direkt aus G. (5.3) fogt, wenn nur der Dipoterm und einfache Rundäufe zwischen den Kugen betrachtet werden. Der Patte-Patte-Grenzfa ist in (5.4) ebenfas enthaten, denn eine Entwickung um R 2 = R 1 iefert: F HT, konz k B T 1 2 k B T 1 2 [ p=1 R 2 1 p 3 (R 2 R 1 ) 2 + R ( 1 p 3 (R 2 R 1 ) + O (R 2 R 1 ) 0)] [ 1 + R ] 2 R ( ) 1 + O (R 2 R 1 ) 0 ). (5.6) R 1 R 2 1 ζ(3) (R 2 R 1 ) 2

118 118 der casimir-effekt in der internen kuge-kuge-geometrie Daraus kann der Patte-Patte-Grenzfa erhaten werden, indem der Oberfächenabstand L = R 2 R 1 eingesetzt wird. Nach Division des führenden Terms in G. (5.6) durch die Oberfäche einer Kuge mit Radius R 1 bzw. R 2 zeigt sich, dass die freie Energie pro Kugeoberfäche in der internen Kuge- Kuge-Geometrie für R 2 R 1 der freien Hochtemperaturenergie FHT PP zweier panparaeer Patten entspricht [51] F HT, konz im R 2 R 1 4πR 2 1 = F HT, PP A = k BTζ(3) 8πL 2. (5.7) Der führende Term in G. (5.6) und seine erste Korrektur (zweiter Term in der eckigen Kammer) haben das geiche Vorzeichen. Dies ist für die PFA- Korrekturen in der Kuge-Patte- und Kuge-Kuge-Geometrie nicht der Fa und bedeutet dass in einer internen Kuge-Kuge-Geometrie die Casimir- Wechsewirkung tendenzie stärker ist, as in einer externen Geometrie. Der Grund hierfür ässt sich auf Basis der PFA durch eine größere effektive Wechsewirkungsoberfäche erkären, die bei der Kombination von konkaven und konvexen Kugeoberfächen entsteht. Für hohe Temperaturen ist in der internen Kuge-Kuge-Geometrie der Übergang von der Kuge-Kuge- zur Patte-Patte-Geometrie mögich. Bei endichen Temperaturen ässt sich, im Gegensatz zur externen Geometrie aus Abschnitt 4.1, jedoch die Matsubara-Summe nur numerisch berechnen. Das git sowoh für konzentrische, as auch exzentrische Kugen. Der Grund hierfür iegt in der Tatsache begründet, dass in der internen Geometrie die Streuung an der Innenseite der Kavität nicht im quasistatischen Grenzfa beschrieben werden darf, sondern für a 1 und b 1 sowoh das Tief- as auch das Hochfrequenzverhaten für die Konvergenz der Matsubara-Summe entscheidend ist. Der Übergang zur Dipo-Patte-Geometrie Der Dipo-Patte-Grenzfa (R 1 L, R 2 ) ässt sich bei hohen Temperaturen anaytisch untersuchen. Es ist max = 1 zu setzen, womit der Round-Trip-Operator in der Mutipobasis zu einer 2 2-Matrix wird. Die quasi-statischen Limites der (inversen) Mie-Koeffizienten und der (inversen) Transationsmatrizen assen sich benutzen um die freie Energie für eine perfekt eitfähige Kuge in Diponäherung in einer perfekt eitfähigen Kavität anzuschreiben: [ ] FHT D.Kav = k B T f (0) EE + f (1) EE + f (1) MM + f (1) MM. (5.8) Die einzenen Beiträge stammen von Poarisationskanäen, bei denen auf beiden Kugeoberfächen Feder mit den Quantenzahen m = 0 bzw. m = 1 der geichen Poarisation, d. h. entweder zwei ma TE-poarisierte- (M M) oder TM-poarisierte (E E) Feder refektiert wurden. Die jeweiigen Beiträge können geschrieben werden as: f (0) MM = 1 2 R 3 1 R 2 d 2 ( + 1 ) ( d R =1 2 ) 2 = ( R 1 R 2 R 2 2 d2 ) 3, (5.9a)

119 5.2 eine godkuge im wassertropfen 119 f (1) MM = 1 2 R 3 1 R 2 d 2 f (0) EE = R3 ( ) 1 R 2 d 2 2 d 2 R =1 2 ( + 1 ) ( ) 2 d 2 = 1 R =1 2 2 = R3 1 (R d2 R 2 ) ( R 2 2 d 2) 3, (5.9b) R 3 1 d4 [1 3 ( R2 d ) 2 ( ) ] R2 d ( R 2 R 2 2 d 2), 3 (5.9c) f (1) EE = R3 1 R 2 d 2 ( + 1 ) ( ) d 2 ( ) 3 R = 1 R 2 2 R =1 2 R 2 2. (5.9d) d2 Diese Ausdrücke können jeweis auf eine geometrische Reihe zurückgeführt werden. Ihre Summe ergibt die freie Casimir-Energie FHT D.Kav. einer perfekt eitfähigen Kuge in Diponäherung, die sich in einer Kavität befindet, bei hohen Temperaturen: F D.Kav. HT = k B T R3 1 d4 4R 2 1 ( R2 d ) ( R2 d ) 4 ( R 2 2 d 2) 3. (5.10) Eine Reihenentwickung um R 2 = d iefert die freie Hochtemperaturenergie im Dipo-Patte-Limes in Abhängigkeit des Kuge-Patte-Abstands L = R 2 d: F D.Kav. HT = k B T [ 3 8 ( ) 3 R1 + 1 L 2 ( ) 2 R1 R ( 1 L d + O 1/d 2)]. (5.11) Für d beibt nur die Kuge-Patte-Energie im Dipoimes (s. Tab. 3, Seite 91) übrig und die führende Korrektur deutet an, dass der Betrag der freien Energie in der internen Kuge-Kuge-Geometrie den Betrag von F zweier entsprechender Kugen in der externen Geometrie übertrifft (s. Abb. 41). Für beiebige Temperaturen ässt sich die freie Energie nur durch eine numerische Auswertung der Matsubara-Summe berechnen. eine godkuge im wassertropfen Die interne Kuge-Kuge-Geometrie ist beispiesweise für einen Wassertropfen reaisiert, in dem sich ein weiterer Partike befindet. Für einen Wassertropfen in Luft kann für metaische Inkusionen die Repusionsbedingung (G. (3.7), Seite 50) eicht erfüt werden, da sie von den reativen Permittivitäten für ae Matsubara-Frequenzen ξ n erfüt ist: ɛr Au (ξ n ) > ɛ H 2O r (ξ n ) > (ξ n ) = 1. Die Foge ist, dass eine Metakuge, die sich in einem Wassertropfen befindet, von der Oberfäche des Wassertropfens abgestoßen wird. Die Casimir-Kraft ist für die beschriebene Situation in Abb. 42a) für eine Godkuge mit Radius R 1 = 1 µm und einen Wassertropfen mit dem Radius R 2 = 5 µm zu sehen. Baue bzw. schwarze Linien zeigen die Casimir-Kraft ɛ Vak r

120 120 der casimir-effekt in der internen kuge-kuge-geometrie 8 6 interne Geometrie externe Geometrie K.P. /F HT F HT K.K R 2 /R 1 Abb. 41: Die freie Hochtemperatur-Casimir-Energie für perfekt eitfähige Kugen im Abstand L = 15R 1 dividiert durch die Dipo-Patte- Hochtemperaturenergie aus Tab. 3 as Funktion des größeren Kugeradius R 2 /R 1. Die baue und schwarze Linie zeigen die interne bzw. externe Geometrie. Das minimae Verhätnis R 2 /R 1 = 15 entspricht in der internen Geometrie der konzentrischen Konfiguration. Für beide Kurven git max = R 2 /R 1 max mit max = 20.

121 5.2 eine godkuge im wassertropfen 121 für einen Tropfen aus Sazwasser bzw. destiiertem Wasser. Für Sazwasser ist der Beitrag der nuten Matsubara-Frequenz voständig unterdrückt, während für destiiertes Wasser der E E-Kana einen Beitrag iefert. Es stet sich die Frage, ob eine God-Vokuge auf Grund des Casimir- Effekts unter dem Einfuss der Erdbescheunigung g 9.81 m/s 2 schweben kann. Dafür muss die Casimir-Kraft mit der Gewichtskraft der Godkuge vergichen werden. Mit Hife der Dichte von Wasser und God, ρ H2 O = 1000 kg/m 3 und ρ Au = 19.3 g/cm 3 ässt sich die Auftriebskraft der Godkuge im Wassertropfen berücksichtigen. Für eine Godkuge autet die resutierende Kraft F res = 4 3 πr3 g ( ρ Au ρ H2 O), (5.12) weche für R = 1 µm ca. 750 fn entspricht. Nach Abb. 42a) evitiert eine Vokuge aus God unter dem Einfuss der Casimir- und ihrer eigenen Gewichtskraft in einem Wassertopfen in ca. 80 nm Entfernung von der Tropfenoberfäche. Mögicherweise ist die durch den Casimir-Effekt bedingte Levitation experimenteen Messungen zugängich, bei denen näherungsweise sphärische Wassertropfen in akustischen Schafedern schweben [172]. Abb. 42b) zeigt das Verhätnis der exakten mutipoaren Casimir-Kraft und der PFA as Funktion des Oberfächenabstands L. L = 4 entspricht der konzentrischen Anordnung, in der aus Symmetriegründen keine Kraft auf die Godkuge wirken kann. Für die Entstehung von Woken sind nach heutigem Verständnis Mikropartike in der Luft entscheidend. Sie bescheunigen des Ausfaen der Luftfeuchtigkeit und können die Tropfenbidung begünstigen [173]. Besonderns metaische Partike, die beispiesweise as industriee Abgase und durch den Fugverkehr in die Atmosphäre geangen, spieen dabei eine wichtige Roe [ ]. Die attraktive Casimir-Wechsewirkung zwischen Godpartiken und Wassertropfen kann dazu beitragen, dass sich auf metaischen Partiken Wasserdampf niederschägt, wecher die Partike anschießend umhüt. Bei Raumtemperatur, T = 293 K stet die in Abb. 43a) gezeigte Casimir-Energie as Funktion des Oberfächenabstands L ein bindendes Potentia für die Kuge K 1 dar. Dieses Potentia kann für eine typische thermische Bewegungsenergie von 25 mev in erster Näherung nicht überwunden werden und der Metapartike beibt im Wassertropfen gefangen. Abb. 43b) zeigt das Verhätnis der exakten mutipoaren Casimir-Energie und der PFA-Vorhersage.

122 122 der casimir-effekt in der internen kuge-kuge-geometrie a) Au H 2 O Vakuum Au NaC aq Vakuum F Cas exakt [fn] b) F exakt /F PFA Cas exakt Cas PFA L [µm] Abb. 42: a) Die Casimir-Kraft für eine God-Mikrokuge des Radius R 1 = 1 µm, die sich innerhab eines Wassertropfen des Radius R 2 = 5 µm befindet, as Funktion des Oberfächenabstands L bei Raumtemperatur. Außerhab des Wassertropfens befindet sich Vakuum bzw. Luft mit dem Brechungsindex n Luft = 1. Bei L = 4 µm wird die konzentrische Konfiguration erreicht und die Casimir-Kraft verschwindet aus Symmetriegründen. Schwarze bzw. baue Linien entsprechen einem Tropfen aus destiiertem Wasser bzw. Sazwasser. b) zeigt das Verhätnis aus der exakten Casimir-Kraft und der PFA- Vorhersage.