Rüdiger Scholz (Hrsg.) Crashkurs Pendel. Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover

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1 Rüdiger choz (Hrsg) Crashkurs Pende Gottfried Wihem Leibniz Universität Hannover

2 Inhatsverzeichnis Inhatsverzeichnis Literatur 1 Die harmonische chwingung 3 Gravitationspende 4 1 Das mathematische Pende 4 Harmonisierung: Anayse für keine Ausenkungen4 3 Bestimmung des Ortsfaktors4 4 Anayse für endiche Winke 5 5 Das physikaische Pende6 3 Dämpfung 8 31 Die Bewegungsgeichung8 3 Gedämpftes Pende und Energiesatz1 Anhang: Voständige Lösung von G 11 1 Literatur 1 Lehrbücher Experimentaphysik und der theoretischen Physik R P Feynman/R B Leighton, M ands: The Feynman Lectures of Physics 3 H Haken, A Wunderin: Die ebststrukturierung der Materie, Vieweg F Kuypers: Kassische Mechanik, VCH, 199 Dezember 11 R choz PhysikPraktikum Leibniz Universität Hannover

3 1 Die harmonische chwingung As harmonische chwingung wird die Bewegung von Körpern in einem quadratischen Potentia bezeichnet Derartige Potentiae führen zu den bekannten typisch sinusförmigen Bewegungen Parabepotentiae (Abb 1) ergeben sich aus Rückstekräften, deren Betrag proportiona zur Ausenkung ist: dw pot Fx Dx dx 1 1 Wpot x Dx m x (1) Aus der Newtonschen Grundgeichung F(x) = ma fogt die Bewegungsdifferentiageichung D mx FxDx x x, () m die direkt eementar ösbar ist: x xt () cos t; x xt cos x v t x t sin t ; v vt (3) cos v x D m ; T ; ; tan m D 1 Bewegung im Parabepotentia: Die rote Kuge schwingt harmonisch hin und her Die truktur der Differentiageichung G ist spezifisch für sämtiche harmonischen chwingungen Durch entsprechenden Koeffizientenvergeich assen sich daher in konkreten Fäen die charakteristischen Eigenschaften der jeweiig voriegenden chwingung abeiten Beim Fadenpende wird das gezeigt Typische Merkmae und Kenngrößen harmonischer chwingungen x v max = x /cos v rms vmax x cos Ampitude = maximae Ausenkung mittere Geschwindigkeit Geschwindigkeitsampitude mittere quadratische Geschwindigkeit v 4x x T = f T = 1/f = / Resonanz-(Kreis-) frequenz Periodendauer Tabee 1 Kenngrößen der harmonischen chwingung Dämpfungsterme, anharmonische Zusatzterme im Potentia in G 1 mit anderen x-abhängigkeiten führen zu Anharmonizitäten Diese haben nicht nur Abweichungen der Resonanzeigenschaften zur Foge, sondern bewirken u U quaitativ vöig neue Bewegungsformen, z B chaotische chwingungen Dezember 11 R choz PhysikPraktikum Leibniz Universität Hannover 3

4 Gravitationspende In vieen Fäen führt die Bewegungsanayse auf harmonische Näherungen chon deshab ist die Anayse harmonischer Bewegungen von zentraer Bedeutung: Bewegung von Eektronen im Dieektrikum unter Einwirkung von Licht; Optik (vergeiche Crashkurs Optik ; PhysikPraktikum; LUH), unterschiediche Pendearten, Matratzenmode des Festkörpers, chwingungsanayse in der Akustik und in der Baustatik 1 Das mathematische Pende Die Masse ist eine Punktmasse (aso ohne Trägheitsmoment); die Massenaufhängung ist masseos; Reibungsphänomene werden ignoriert Der Abstand zwischen Masse und Drehpunkt,, ist konstant etzt man den frei wähbaren Energienupunkt wikürich auf Nu für = ergibt sich die potentiee Energie der Masse m am Faden zu W m g 1 cos (3) pot Es iegt aso ganz offensichtich kein Parabepotentia vor und damit keine harmonische chwingung (vg Abb 3) Die physikaischen Größen beim mathematischen Pende Harmonisierung: Anayse für keine Ausenkungen In derartigen Fäen wird versucht, Randbedingungen zu finden, untern denen das ystem anaytisch eichter zugängich ist Wie bereits angedeutet, bietet sich bei der chwingungsanayse der Bereich sehr keiner Ampituden an Bei keinen Ausenkungen von < 1, kann man im Rahmen einer Toeranzgrenze von,5 % die Tayorreihen der cos-funktion nach dem quadratischen Term abbrechen: 1 1 Wpot m g m g m g O m O 4 1 cos (4) Der Vergeich mit G 1 und G zeigt, dass diese Näherung auf eine harmonische chwingung führt Durch direkten Vergeich ergeben sich die charakteristischen Eigenschaften, z B die Periodendauer: T (5) g 3 Bestimmung des Ortsfaktors Nach G 5 können ie mit dem chwerepende den Ortsfaktor g bestimmen (in Hannover git g = (9, ) m/s ) g 4 T Dezember 11 R choz PhysikPraktikum Leibniz Universität Hannover 4

5 Der Messgenauigkeit einer sochen g-messung wird durch die Messung der Dauer t = nt von n chwingungen verbessert, beibt aber stets durch die Messunsicherheit der Längenmessung nach unten beschränkt n fogt aus der Anforderung an die Genauigkeit der Zeitmessung: g t t ; t q n t g t nt nt q T ind Zeit- und Längenmessung geich ungenau, fogt z B für q =,1: n = 4 Anayse für endiche Winke Für endiche Ausenkungen ist das Potentia nicht mehr harmonisch und das Kräfteparaeogramm in Abb iefert eine nicht mehr anaytisch ösbare nichtineare Differentiageichung: g m m gsin sin Ein aternativer Weg zur Bestimmung der Periodendauer T über den Energieerhatungssatz hift hier (wie in zahreichen anderen Fäen) weiter Die Argumentation geht so: Für eine voe chwingung = 4 braucht das Pende die voe Periodendauer T, ein keines Winkestück d erfordert die Zeit dt Die umme über ae dt für eine voe chwingung ist T (da die Winkegeschwindigkeit d/dt eine Funktion des Pendeausschags ist, sich aso ständig ändert, erhaten ie T durch Integration über infinitesimae Zeitspannen dt): 1 1 T dt d 4 d Periode Periode potentiee Energie Potentia des mathematischen Pendes Ausenkung 3 Die potentiee des mathematischen Pendes (gestrichet die harmonische Nährung) Der Energiesatz (hier noch ohne Reibung) iefert einen Wert für d/dt: 1 1 ; (1cos ) Wkin m v m Wpot m g 1 g (1cos ) (1cos ) cos cos Wges m m g m g (6) Mit G 5 erhaten ie daraus eine Bestimmungsgeichung für T: d d dz T dt 4 4 cos cos 1 sin g g k z Die etzte Umformung erfogt durch die etwas mühseige aber eementare Rechnung mit der ubstitution cos 1k sin z; k sin und cos 1sin 1 k Dezember 11 R choz PhysikPraktikum Leibniz Universität Hannover 5

6 Das Integra für T ist zwar auch nicht geschossen ösbar, jedoch as eiptisches Integra 1 Gattung immerhin tabeiert 1 Auch geangt man durch die Entwickung in Potenzreihen zu guten Näherungen Für k (aso für verschwindend keine Ausenkungen) fogt sofort das bekannte Ergebnis der harmonischen Näherung T = T = (/g) 1/ Für ae anderen Fäe wird der Integrand in eine Tayorreihe entwicket und giedweise integriert dz d 1 sin si g 1 k sin z g k z 8 T z k z m k k k k g m1 m 4 1 g 8 48 n Die erste Korrektur der Periodendauer T = T( ) für endiche Ausenkungen erhaten ie, wenn ie k = sin ( /) ( /) nähern und die Reihe nach dem quadratischen Term abbrechen: T T 1 1 (7) g 4 4 1, 7 1,6 Periodendauer vs Ampitude Abb 4 zeigt die Messung der Periodendauer T eines einfachen Fadenpendes (eine Kuge mit der Masse m =,1 kg konnte an einem dünnen Faden der Länge = 56 cm praktisch frei schwingen) für Anfangsausenkungen bis zu = 5 =,87 rad Für diesen maximaen Wert beträgt die T/T 1,5 1,4 1,3 1, 1,1 1,99,98,1,,3,4,5,6,7,8,9 1 Ampitude (rad) Anharmonizitätskorrektur,5 % 4 Korrektur der Periodendauer für große Ausenkungen; Messungen und der theoretisch erwartbare Zusammenhang 5 Das physikaische Pende Ein beiebig geformter starrer Körper, schwinge um eine feste Achse A mit der Ampitude sei der Abstand des chwerpunkts vom Drehpunkt A (Abb 5) (1 + /16) nach G 7 Messunsicherheiten ergeben sich aus der tandardabweichung der T-Messreihen Auf den Körper wirkt das Drehmoment D mg sin A Ist J A das Trägheitsmoment bezügich der Drehachse A, fogt aus der Drehimpuserhatung J D m gsin A A m g J A sin (8) 5 Das physikaische Pende Durch Vergeich z B mit G finden ie direkt die chwingungsdauer T : J A T 1 T 1 (9) m g z B Bronstein/emendjajew, Taschenbuch der Mathematik; Teubner 1979; eitze 67 Dezember 11 R choz PhysikPraktikum Leibniz Universität Hannover 6

7 Die reduzierte Pendeänge r Ein mathematisches Pende mit der Länge r hätte die geiche chwingungsdauer wie das physikaische Pende, wenn die fogende Bedingung eingehaten wird J A r JA r (1) m g g m Beispie: tahzyinder am Faden Ein tahzyinder der Länge L = 1 cm und mit dem Durchmesser r = 3 cm (m = 556 g) hängt an einem Faden der Länge = 1 m (1) As mathematisches Pende: Der chwerpunkt ist = + L/ = 1,5 m vom Aufhängepunkt entfernt Die Periodendauer (harmonische Näherung) ergibt sich damit zu T,556 s g As physikaisches Pende: J Z ist das Trägheitsmoment des Zyinders bei Drehung um seinen chwerpunkt 1 1 J mr ml 4 1 Z Nach dem teinerschen atz fogt das Trägheitsmoment für die Drehung um den Aufhängepunkt J A m JZ m mr ml m r L G 9 iefert damit im harmonischen Grenzfa 1 1 m r L T J A r 1 L 1 T 1,4 m g m g g 4 1 T,564s Anmerkungen: Für oder für r = L = erhaten ie jeweis das Ergebnis für das mathematische Pende Ohne Faden, aso für =L/, und einen sehr keinen Zyinderradius erhaten ie das Ergebnis für die chwingung eines sehr dünnen Zyinderstabes um eines seiner Enden: T J L 1 1 m g g 3 A Auch beim physikaischen Pende hängt im reibungsfreien Grenzfa die Periodendauer nicht von der Gesamtmasse ab Dezember 11 R choz PhysikPraktikum Leibniz Universität Hannover 7

8 3 Dämpfung 31 Die Bewegungsgeichung Verschiedene Reibungsphänomene führen auf zusätziche Terme in G 1 Je nach Art der Reibung finden ie unterschiediche Abhängigkeiten von der Pendegeschwindigkeit v = d/dt Für die geschwindigkeitsproportionae Reibung (tokessche Reibung), F R = cv, ist die Bewegungsgeichung geschossen anaytisch ösbar Hier finden ie eine Formuierung der Lösung mithife der kompexen Exponentiafunktion Dies hat Vorteie bei der Anayse unterschiedich starker Dämpfungen (man spricht in diesem Zusammenhang auch von der Güte eines schwingfähigen ystems (11) g c mit den Abkürzungen: ; ; FR cv c Der Lösungsansatz (t) = Aexp(t) m führt durch Einsetzen auf die charakteristische Geichung, deren Lösungen direkt auf die agemeine Lösung der DG t Aexp( t) in die DG einsetzen: Aexp t Diese -Werte führen auf die agemeine Lösung von G 11 exp exp exp exp exp t A t A t ta A (1) 1 Geringe Dämpfung ( < ) Der Radikant wird nun negativ, die Wurze aso imaginär Die A fogen aus den Randbedingungen () = und ; mit = und ergibt sich z B 3 : A A i t t t ( t) expt cost sint exptcos t () exp sin (13) Die Reibung führt zum Abkingen der chwingung Die Abkingzeit ergibt sich aus der Abkingkonstanten (anaog zur Periodendauer T = ) durch = Für große Massen m wird die Abkingkonstante = c/(m) kein (die Abkingzeit groß) und damit der Reibungseinfuss gering Beim ungedämpften Pende ( = ) haben Pendeausschag und Pendegeschwindigkeit einen Phasenunterschied von / Je nach tärke der Reibung tritt eine zusätziche Phasendifferenz tan = / auf Nur für ist ein Energieübertrag vom Pende an die Umgebung mögich Die chwingung des gedämpften Pendes ist gegenüber dem ungedämpften verangsamt: = (Die Fäe und = werden geich im Anschuss diskutiert) Einzeheiten finden ie in jedem Lehrbuch zur Lösung inearer Differentiageichungen 3 s Anhang zu diesem Crash-Kurs Dezember 11 R choz PhysikPraktikum Leibniz Universität Hannover 8

9 Das Verhätnis aufeinanderfogender Ampituden ist konstant und charakterisiert die Dämpfung Man bezeichnet den natürichen Logarithmus dieses Verhätnisses as ogarithmisches Dekrement des Osziators nt exp nt n n T n 1 T (14) exp( n1 T ist direkt gut messbar, wenn nur unwesentich größer ist as die Periodendauer T, wenn sich aso aufeinanderfogende Ampituden ausreichend unterscheiden Ist dagegen die Abkingzeit sehr groß, T, dann soten ie zur Bestimmung von Pendeampituden vergeichen, die entsprechend mehr as eine Periode auseinander iegen Abb 6 zeigt ein Beispie Bei dem oben bereits vorgesteten Gravitationspende zeigt sich, dass erst nach 33 Perioden die Ampitude spürbar, um etwa %, abgekungen ist Entsprechend ange pendet die Masse Ampitude (rad) 1,9,8,7,6,5,4,3,,1 Exponentiee Dämpfung Anzah Perioden 6 Das ogarithmische Dekrement eines Gravitationspendes, bei dem T; die Messung offenbart: = 187 s 136T Die genaue Auswertung (gestrichete Linie in Abb 5) der Messung iefert =,51,5, bei einer Periodendauer von T = (1,51,1) s fogt für dieses Pende: = / = /T = ( ) s tarke Dämpfung ( > ) Im Fa starker Dämpfung sind beide -Werte in G 1 ree und eine chwingung kommt nicht zustande Aus einer Anfangsausenkung kriecht das Pende in die Nuage zurück (Abb 7) Je größer die Dämpfungskonstante ist, desto angsamer kriecht das Pende in die Nuage, das ystem ist überdämpft Ausenkung Gedämpfter chwinger 3 Kritische Dämpfung ( = ) chießich betrachten ie bitte noch den Grenzfa = Forma faen nun die Lösungen der charakteristischen Geichung zusammen Die Lösung der DG 11 wird für die Anfangswerte () = und besonders einfach 4 (vg Abb 7): t t t () 1 exp 7 Unterschiediche Dämpfung eines Osziators =,6: der Osziator ist knapp unterkritisch gedämpft, er schwingt einma durch; = : der Osziator ist kritisch gedämpft, die Abkingzeit ist minima = 3: der Osziator ist überdämpft und kriecht angsam in die Nuage zurück Zeit Der Fa kritischer Dämpfung as aperiodischer Grenzfa bezeichnet Die Abkingzeit, die Zeit, in der der Osziator in Ruheage zurückkehrt (=einen keinen Minimaausschag unterschreitet ohne zu schwingen, ist minima) toßdämpfer nutzen dieses Verhaten für die Autofederung 4 s Anhang zu diesem Crash-Kurs Dezember 11 R choz PhysikPraktikum Leibniz Universität Hannover 9

10 3 Gedämpftes Pende und Energiesatz Die Dämpfung der chwingung wird in zahreichen Anwendungsfäen durch den dimensionsosen Gütefaktor (Q-Faktor) charakterisiert ei W ges die Gesamtenergie zu einem bestimmten Zeitpunkt und W T die durch Dämpfung zu dem Zeitpunkt abgegebene Energiemenge pro Periode, dann ist Q definiert as Wges Q ΔW T Für das beschriebene Pende ässt sich Q direkt auf die Pendeeigenschaften zurückführen Dazu können ie die Abnahme W T z B aus der Abnahme der kinetischen Energie W kin berechnen Wges mv m ; Wges T mv T m T Wges exp( T) Wges Wges Wges ΔW T dw dt W T T Q T T ges (15) Das Pende im Beispie oben bringt es aso auf eine Güte von Q = 616 Im Fa kritischer Dämpfung ist = = /T aso Q = 1/ Im überkritischen Fa in Abb 6 ist = 3 = 6/T aso Q = 1/6 Beim knapp unterkritischen Fa ist = /3 = 4/3/T aso Q = 3/4 Der Energiesatz eraubt einen quantitativen Zugang zum schwach gedämpften Pende auch ohne Lösung der Bewegungsgeichung Im harmonischen Fa ist sind die Mittewerte der potentieen und der kinetischen Energie geich, der Mittewert der kinetischen Energie die Häfte der Gesamtenergie: Wkin m v W ges mvmax vmax v (16) Im schwach gedämpften Fa veriert das Pende in einer Periode ein wenig Energie Die Reibungseistung gibt die momentane Energieabgabe an: dwges 1 PR FRvv FR v v FR v max (17) dt Dabei wurde hier die Momentangeschwindigkeit durch die mittere Geschwindigkeit aus G 16 ersetzt Laminare Luftströmung: tokesche Reibung (F R = cv) G 17 iefert c c v c vmax W dw 1 dt m c W t W exp tw exp t m Der Vergeich mit G 15 zeigt, dass man auf diese Weise das Ergebnis aus einer Diskussion der Bewegungsgeichungen reproduziert hat Dies rechtfertigt nachträgich den Ansatz G 17 Dezember 11 R choz PhysikPraktikum Leibniz Universität Hannover 1

11 Große trömungsgeschwindigkeiten: F R = c v Interessant ist, dass G 17 auch für nichtaminare trömungen eine eementare Lösung iefert: 3 3 c 3 c v c vmax W 3 dw 1 dt m dw 1 1 c 1 1 c d t C W W m W m 1 1 W t 1 c C t 1 1 c 3 m t 3 W m Abb 8 vergeicht die Veräufe Wie ie sehen, ist durch reinen Augenschein der Unterschied kaum erkennbar Hier hift ein sorgfätiger Fit an die Messergebnisse tokessche und nichtstokessche Dämpfung t = T 1/ 8 Unterschiediche Dämpfung eines Osziators; zum Vergeich wurden geiche Habwertszeiten T1/ angenommen Unterhab T1/ würde sich nichtstokessche Dämpfung (gestrichete Linie) stärker auswirken, oberhab von T1/ wäre die stokessche Reibung wirksamer Überzeugen ie sich sebst: Die Messergebnisse für das oben genannte Pende assen sich mit dem quadratischen Ansatz für die Reibungskraft deutich schechter anpassen (Abb 9) tokessche Dämpfung ,5 1 Nichtstokessche Dämpfung ,5,5,,8,, kinetische Energie (J),15,1,6,4 kinetische Energie (J),15,1,15,1,5,,5, Zeit (s) Zeit (s) 9 Vergeich zwischen der Anpassung mit stokesscher Reibung (inks; Parameter nach G 14 W() =,8 J und =,35 s 1) und nach dem quadratischen Ansatz für die Reibungskraft (Parameter: W() =,14 J und c/(m 3/ ) =,118 s 1) Deutich ist die schechte Abpassung für große Zeiten im rechten Fa erkennbar wie nach Abb 7 zu erwarten Dezember 11 R choz PhysikPraktikum Leibniz Universität Hannover 11

12 Anhang: Voständige Lösung von G 11 g c ; ; R m Der Lösungsansatz (t) = Aexp(t) mit den Abkürzungen: F c v c t Aexp Diese -Werte führen auf die agemeinen Lösungen 1 t Aexp t Aexp texp taexp t Aexp t A A A A A A t Aexpt Atexpt A A A A A 1 < : Der Radikant ist negativ, die Wurze aso imaginär: i A ; A A i ( t) exp t Aexp it Aexp it exp cos sin exp sin tan t t t t t > : Der Radikant ist positiv, die Wurze ist ree A ; A () t expt A expt A expt expt cosh t sinh t (18) (19) Dezember 11 R choz PhysikPraktikum Leibniz Universität Hannover 1

13 3 = : Der Radikant ist Nu, ist ree A A A A A t Aexp t Atexp t t exp t () = < > () exp sin t expt sinh t t t t () t 1 exp t cos t tan = t texp t 1t exp t () = t t t t exp cosh sinh Dezember 11 R choz PhysikPraktikum Leibniz Universität Hannover 13