Großübung Stabilität, elastische Knickung, Eulerfälle

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1 Großübung Stabiität, eastische nickung, Euerfäe Ein druckbeanspruchter gerader Stab kann seine unktion (Geichgewicht mit gerader Stabachse) verieren, auch wenn die im Stab vorhandene Druckspannung σ d noch wesentich keiner as die zuässige Druckspannung ist, d. h. wenn git σ d < σ d zu Der Stab veriert seine unktion, indem er bei einer bestimmten kritischen raft = pötzich instabi wird und eine neue Geichgewichtsage mit gekrümmter Stabachse annimmt. Dieser Vorgang wird nicken eines Stabes oder kurz Stabknickung genannt. = < Soche Instabiitäten treten auch bei anderen Tragwerken unter Druckbeastungen auf und sind sehr gefährich! Einige Beispiee sind hier zusammengestet. (ippen, Beuen, Dri-, Biegedriknicken) q=q q=q = < Patte Schae q=q q=q ippen eines brettartigen Bakens Beuen von ächentragwerken (Patte, Schae) Die Stabiität von kompexen Bauwerke, z. B. von Brücken, ränen, Dachkonstruktionen usw. aus achwerkstäben, ist durch eine ausreichende Sicherheit gegen nicken der auf Druck beasteten Stäbe zu gewähreisten. 1

2 Das Versagen (nicken) eines Druckstabes kann zum Versagen der gesamten onstruktion führen. Versagen durch nicken! Die große Bedeutung der Stabiität wird dadurch unterstrichen, dass der Nachweis der Stabiität für viee Bereiche der Technik durch Normen und Vorschriften verbindich gereget ist! Zur Untersuchung von Stabiitätsprobemen ist das Aufsteen der Geichgewichtsbedingungen am deformierten System erforderich, wobei die Deformationen noch as kein angenommen werden dürfen (Theorie. Ordnung). ogende Geichgewichtsagen werden unterschieden. stabies Geichgewicht: das Objekt kehrt nach einer keinen Ausenkung in seine Ausgangsage zurück abies Geichgewicht: das Objekt kehrt nach einer keinen Ausenkung nicht in seine Ausgangsage zurück, sondern nimmt eine neue stabie Lage ein indifferentes Geichgewicht: jede Lage ist eine Geichgewichtsage

3 Im weiteren woen wir uns auf die Euerfäe und eastisches nicken beschränken. Die Euerfäe Typische Stabiitätsprobeme steen auf Druck beastete Stäbe dar. Es wird ermittet, wann ein gerader Stab unter einer in Richtung der Stabachse des unverformten Bauteis wirkenden richtungstreuen raft versagt. Die hierbei mögiche maximae Beastung ist die kritische Last die zum Versagen der onstruktion führt, wobei die maxima zuässige Druckspannung für das Bautei dabei nicht erreicht werden muss. ür die fogenden vier typischen Lagerungsfäe git mit EI = konst. π = EI = = 0,699 = ½ nickängen für die vier EULER-äe mit Biegeinie für die kritische raft In Abhängigkeit von den Lagerungen und den ächenträgheitsmomenten bezügich der Biegeachsen müssen für einen nickstab mögicherweise mehrere Stabiitätsuntersuchungen angestet werden. 3

4 Spannungsberechnung ür Druckstäbe ist neben dem nicken (schanke Stäbe) noch das Versagen durch Quetschen (gedrungene Stäbe) mögich. ogende Größen werden definiert: Trägheitsradius Schankheitsgrad I i= (i y, i z ) A S = = λ (S y, S z ), in der Literatur meist mit λ bezeichnet i Die kritische (nick)spannung berechnet sich zu σ π EI i π E = = = π E = σ < σ zu A A λ d Die Euerhyperbe git bis zur Druck-Proportionaitätsgrenze σ dp. Der zugehörige Schankheitsgrad E λ P = π ist ein Materiaparameter. σ dp für λ > λ P λ < λ P λ < λ eastisches nicken (Euer - Hyperbe) pastisches nicken (Tetmayer - Gerade, Quetschen Näherung) Hinweis: σ P = R ; σ = R ; σ = R p e B m 4

5 Tetmayer-Gerade Im Bereich λ < λ < λp git für die Berechnung der nickspannung näherungsweise die Tetmajer-Gerade. Die Entscheidung, ob eastisches oder pastisches nicken voriegt, hängt vom vorhandenen Schankheitsgrad ab. σ a b S = a b λ = a, b sind Werkstoffkonstanten Werkstoff E [N/mm ] λ P a [N/mm ] b [N/mm ] S35 (St37) ,0 1,140 E95 (St50) ,0 0,60 E335 (St60) 5%-Ni-Stah ,0,300 Nadehoz ,3 0,194 Grauguß σ = λ + 0,053 λ 5

6 Beispie: Stab der Länge mit Exzentrizität e x e Annahme: e << Stabänge M b (x) w(x) z Geichgewicht am verformten Bautei M b ( x) = ( e + w( x)) Differentiageichung der Biegeinie M b = EI w (x) EI w ( x) + ( e + w( x)) = 0 w ( x) + EI w( x) = e EI inhomogene gewöhniche ineare Differentiageichung. Ordnung für w(x) w ( x) + κ w( x) = κ e homogene Lösung w = C cos( κ x) + C 1 sin( κ x) w = C κ sin( κ x) + C κ cos( κ x) 1 w = C κ 1 cos( κ x) C κ sin( κ x) Abkürzung: EI = κ 6

7 partikuäre Lösung, Störgiedansatz entsprechend der rechten Seite w p w p w p = C = 0 = 0 3 einsetzen iefert C 3 = -e Gesamtösung w = C1 cos( κ x) + Csin( κ x) + C3 Randbedingungen w( x = 0) = 0 w ( x = ) = 0 0 = C + C 1 0 = C 1 3 cos( κ ) + C sin( κ ) + C 3 Es ergeben sich: Verschiebungsfunktion C = C C 1 3 = e cos( κ ) + 1 = e sin( κ ) cos( κ ) + 1 w( x) = e cos( κ x) + sin( κ x) 1 sin( κ ) Der kassische Euer-a iegt vor für e = 0. Dann ist die DGL homogen, C 3 = 0. Es fogt C 1 = 0 und C sin(κ ) = 0. Das heißt, es ist entweder C = 0 oder sin(κ ) = 0. Hieraus ergibt sich κ = nπ Mit der oben eingeführten Abkürzung ist dann π n = EI Das Versagen tritt bei der keinsten kritischen Last auf, aso bei n = 1. ür jede vorhandene Exzentrizität tritt die Verformung sofort auf (Bid inks e = 0, rechts e 0). 7

8 Mit der seben Vorgehensweise können andere nickfäe berechnet werden. π In Anehnung an die orme = EI die nickasten durch für der Euer-a werden π = EI beschrieben (siehe oben). Der Euer-a wird oft as Grundfa mit der nickänge = bezeichnet. Die nickänge entspricht einer Verformungshabwee (habe Sinuswee). 8

9 weitere Beispiee Weche zuässige Druckkraft kann ein Winkestah 60 x 10 aus S35 (St37) bei einer Länge von 1,4 m übertragen, wenn eine nicksicherheit von s =4 gefordert wird? Die Berechnung so für den Euer-a (Grundfa) erfogen. Bestimmung des Schankheitsgrades um festzusteen, ob die Euer-äe anwendbar sind. λ = = i aus der Tabee für L-Profi i min = 1,15 cm 140 cm Damit ist λ = = = 1 > 104 Werkstoff S35 (St37) λ P = 104 i 1,15 cm Es handet sich um eastisches nicken, Euerfäe sind anwendbar. d zu π EI = mit s I = 4 = Imin = Iζ 14, 6 cm aus Tabee für L-Profi (DIN 108) 7 N 4 π, ,6 cm cm cm 3 d zu = = 38,6 10 Die zuässige Druckkraft beträgt 38,6 kn. N ann ein einseitig eingespanntes Rohr (Länge = 150 cm) mit einem Innendurchmesser vom 100 mm und einer Wandstärke von 10 mm eine Druckkraft von 150 kn aufnehmen, wenn eine nicksicherheit von 5 gefordert wird? As Werkstoff wird S35 verwendet. Bestimmung des Schankheitsgrades um festzusteen, ob die Euer-äe anwendbar sind. λ = = i Trägheitsmoment, Querschnittsfäche, Trägheitsradius, Schankheitsgrad π A = 4 π I = 64 π ( D d ) = ( 1 10 ) π ( D d ) = ( 1 10 ) cm = 57 cm 64 cm = 34,56 cm 9

10 I i = = 3, 91cm A 150 λ = = = i i 3,91 = 76,8 Der berechnete Schankheitsgrad iegt im Bereich 60 < λ < 104 (Bereich, in dem für S35 die Tetmajer-Gerade git). Es handet sich um pastisches nicken. Mit den Werkstoffkonstanten gemäß Tabee git: σ = ( a b λ) = N mm N mm ( 310 1,14 76,8) = Die zur Zerstörung führende Druckkraft ist d zu N = σ A = 3456 mm = 768,7 kn mm 768,7 kn = = = 153 kn > 150 kn s 5 Die vorgesehene Beastung ist mögich. Ein Doppe-T Träger wird gemäß Skizze as Säue verwendet. Anschäge verhindern in der Mitte das Ausknicken in y-richtung, jedoch nicht in z-richtung. Die notenbeche oben und unten soen wie eine Einspannung für die y-richtung wirken. In z-richtung seien an den Stabenden Winkeänderungen mögich, deshab so hier der Euerfa der Berechnung zugrunde geegt werden. Es ist zu prüfen, ob eine Beastung von 1 kn bei einer Sicherheit von 4 mögich ist. As Werkstoff wird S35 verwendet. Daten für Doppe-T 100 nach DIN 105 A = 10,6 cm i i y z = 4,01cm = 1,07 cm Das Ausknicken ist in zwei Richtungen mögich. Beide äe werden untersucht und müssen die notwendige Sicherheit gegen nickung haben. Die kritischen nickängen ergeben sich aus den Lagerungen der Säue. = 300 cm N E = mm 10

11 nicken in y-richtung (Biegung um z-achse) Euer-a 3 für die habe Säue (eingespannt geenkig) 0,7 0,7 300 cm z λ = = = 196, 3 > λp iz iz 1,07 cm aso eastisches nicken, mit = I λ und i = fogt i A N π mm π EI π EA = = = mm = 57, kn 196,3 014 λ vorh 57,014 kn nicksicherheit s = = = 4, 75 1 kn zu nicken in z-richtung (Biegung um y-achse) Euer-a (Grundfa) für die ganze Säue (geenkig geenkig) 600 cm y λ = = = = 149, 6 > λp iy iy 4,01cm aso ebenfas eastisches nicken N π mm π EI π EA = = = mm = 98, kn 149,6 166 λ vorh 98,166 kn nicksicherheit s = = = 8, 18 1 kn zu Die geforderte nicksicherheit von 4 ist in beiden äen gegeben. 11

12 Anhang Einfuss der Geometrie auf die kritische Last (geiche Länge, geiche Querschnittsfäche, geiche Randbedingungen) gedrungen schank nickspannung in Abhängigkeit vom Schankheitsgrad für E335 (St60) 1

13 Querschnittswerte für warmgewazte Normprofie aus Stah Auszug aus DIN

14 Auszug aus DIN

15 Auszug aus DIN

16 Auszug aus DIN

17 Auszug aus DIN EN 10055, DIN