Intensivkurs Statik Teil 1

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1 Intensivkurs Statik Tei 1 Themen: Aufagekräfte und Zwischenreaktionen berechnen Kräftezeregung Geichgewichtsbedingungen Statische Bestimmtheit Notwendige Bedingungen: Abzähkriterium Hinreichende Bedingung: Determinantenkriterium Streckenasten (rechteckig, dreieckig, parabeförmig) Schnittgrößen Einführung Berücksichtigung von Integrationskonstanten 1

2 Berechnung von Aufagerkräften und Zwischenreaktionen Kräftezeregung: Zeregung einer Kraft in ihre Komponenten. Gegeben sei ein Baken auf wechen eine Kraft mit dem Winke von 25 zur Horizontaen wirkt. 30 Wir egen die Kraft mit ihrem Anfangspunkt in den Koordinatenursprung: y 30 Die Kraft weist einen Antei in - und einen Antei in y-richtung auf. Wir zeregen die Kraft in ihre - und y- Komponente. Zunächst grafisch: y y 30 2

3 Grundage für die Berechnung der Kraftkomponenten und y ist hier die Trigonometrie am rechtwinkigen Dreieck. Die Kraft ist hierbei die Resutierende. ühren wir aso die grafische Vektoraddition durch, so erhaten wir: 30 y Mittes Trigonometrie am rechtwinkigen Dreieck können wir nun die Kraftkomponenten bestimmen. Die Resutierende ist die Hypotenuse und ist bekannt. Der Winke zwischen und ist bekannt. Demnach ist die Ankathete und y die Gegenkathete. Es git: sin (α)= Gegenkathete Hypotenuse cos(α)= Ankathete Hypotenuse Gesucht sind Gegenkathete und Ankathete: Gegenkathete=Hypotenuse sin(α) Ankathete=Hypotenuse cos(α) ür unseren a: y = sin(30 ) = cos(30 ) Tipp: Anstatt jedes Ma die Vektoraddition durchzuführen kann man sich auch einfach merken, dass der Kosinus immer dann angewandt wird, wenn der Winke zwischen der Kraft und der Kraftkomponenten gegeben ist. Im obigen Beispie ist der Winke zwischen der Kraft und der Kraftkomponente (bzw. der -Achse) gegeben. ist demnach die Ankathete und wird mittes Kosinus berechnet. Beispie: y 20 y y = cos(20 ) = sin(20 ) 3

4 Geichgewichtsbedingungen: Aufsteung der Geichgewichtsbedingungen zur Berechnung von unbekannten Kräften. Ein ebener Körper befindet sich im Geichgewicht (= in Ruhe), wenn die fogenden Bedingungen erfüt sind: i =0 Die Summe aer auf den Körper wirkenden Kräfte ist geich Nu M i =0 Die Summe aer Momente in Bezug auf einen beiebigen Punkt ist geich Nu Man kann diese Bedingungen auf kartesische Koordinaten beziehen. Man erhät drei Geichgewichtsbedingungen in der Ebene: i =0 Geichgewichtsbedingung in -Richtung iy =0 Geichgewichtsbedingung in y-richtung M iz =0 Momentengeichgewichtsbedingung Man erhät sechs Geichgewichtsbedingungen im Raum: i =0 Geichgewichtsbedingung in -Richtung iy =0 Geichgewichtsbedingung in y-richtung iz =0 Geichgewichtsbedingung in z-richtung M i =0 Momentengeichgewichtsbedingung um die -Achse M iy =0 Momentengeichgewichtsbedingung um die y-achse M iz =0 Momentengeichgewichtsbedingung um die z-achse Mittes der Geichgewichtsbedingungen können unbekannte Kräfte berechnet werden. 4

5 Beispie: Bestimme die Lagerkräfte des abgebideten Systems m Gegeben: 1 = 10 kn 2 = 5 kn 1m 5m 1. reischnitt A B v B h 1m 5m 5

6 2. Kräftezeregung y 1 * sin (50 ) 1 * cos (50 ) * cos (50 ) A 1m 1 * sin (50 ) 5m B v 2m B h 3. Geichgewichtsbedingungen aufsteen Wir steen as nächstes die Geichgewichtsbedingungen auf, um die Lagerkräfte zu bestimmen. Geichgewichtsbedingung in -Richtung: : 1 cos(50 )+ 2 B h =0 B h = 1 cos(50 )+ 2 B h =10 kncos(50 )+5 kn=11,43kn 6

7 Geichgewichtsbedingung in y-richtung: :A+B v 1 sin(50 )=0 Momentengeichgewichtsbedingung: Der Bezugspunkt wird so gewäht, dass mögichst viee unbekannte Kräfte wegfaen. In diesem a wird der Bezugspunkt in das Lager B geegt. Es müssen nun ae Momente in Bezug auf das Lager B berücksichtigt werden. Linksdrehende Momente werden positiv, rechtsdrehende Momente negativ berücksichtigt: Moment um B: A 6m+ 1 sin(50 ) 5m 2 2m=0 A= 1 sin(50 ) 5m 2 2m 6m A= 10 knsin(50 ) 5m 5 kn 2m =4,72 kn 6m Aus der vertikaen Geichgewichtsbedingung kann as nächstes die Lagerkraft B v berechnet werden (aternativ kann auch die Momentengeichgewichtsbedingung um A herangezogen werden): :A+B v 1 sin(50 )=0 B v = A+ 1 sin (50 ) B v = 4,72 kn+10knsin(50 )=2,94 kn 7

8 Statische Bestimmtheit: Notwendige Bedingung Überprüfung des Systems auf statische Bestimmtheit mittes Abzähforme. Ein System ist statisch bestimmt, wenn die Lager- und Zwischenreaktionen aein aus den zur Verfügung stehenden Geichgewichtsbedingungen (2D = 3, 3D = 6) berechnet werden können. Die notwendige Bedingung für die statische Bestimmtheit ergibt sich mittes der Abzähforme: mit f =a+z 3n a Summe aer mögichen Aufagerreaktionen z Anzah an Zwischenreaktionen (z.b. Geenkkräfte) n Anzah der Teisysteme Greifen m Teisysteme an einem (Momenten-) Geenk an, so treten für jedes Teisystem zwei zusätziche Zwischenreaktionen auf und es git: z = 2(m-1) ür f = 0 ist das System statisch bestimmt. Es können ae vorhandenen Aufagerreaktionen und Zwischenreaktionen aus den Geichgewichtsbedingungen bestimmt werden. ür f > 0 ist das System statisch unterbestimmt (auch: kinematisch). Das System ist aso bewegich. Es stehen mehr Geichgewichtsbedingungen as Aufager- und Geenkreaktionen zur Verfügung. ür f < 0 ist das System statisch überbestimmt (auch: unbestimmt). Es sind mehr Aufager- und Geenkreaktionen gegeben as Geichgewichtsbedingungen zur Verfügung stehen. Beispie: Wir woen das obige System auf statische Bestimmtheit überprüfen. 8

9 Hierfür schneiden wir das System von den Lagern frei und trennen es gedankich an den Geenken: Wir wenden die Abzähforme an und erhaten: f =a+z 3n f = =0 Das System - bestehend aus 3 Teisystemen ist statisch bestimmt. Beispie: Wir wenden die Abzähforme an und erhaten: f = =0 Nach der notwendigen Bedingung ist das obige System statisch bestimmt. Tatsächich ist dieses aber horizonta verschiebich und damit statisch unterbestimmt bzw. kinematisch. Grund dafür ist, dass ae drei Lagerkräfte parae zueinander iegen und demnach nicht aus den Geichgewichtsbedingungen berechnet werden können. 9

10 Statische Bestimmtheit: Hinreichende Bedingung Wir haben oben gesehen, dass die statische Bestimmtheit nur gegeben ist, wenn die Lager- und Geenkkräfte aus den Geichgewichtsbedingungen bestimmt werden können. Das Abzähkriterium zeigt edigich auf, dass die Geichgewichtsbedingungen und Lager- und Zwischenreaktionen übereinstimmen. Es zeigt nicht auf, ob die Lager- und Zwischenreaktionen auch aus diesen berechnet werden können. Dazu kann man das Determinatenkriterium heranziehen. Das Geichungssystem (Geichgewichtsbedingungen) werden in eine Matri A eingetragen. Ist die Determinante dieser Matri ungeich Nu, so ist eine eindeutige Lösung gegeben und das System statisch bestimmt. det A 0 Beispie: h Hinweis: Pendestäbe sind an beiden Enden mit Momentengeenken verbunden (2 und 3). Pendestützen sind Pendestäbe die das System mit Aufagern verbinden (1). In beiden äen werden nur Kräfte entang der Stabachse übertragen. reischnitt : h 10

11 Wir steen die Geichgewichtsbedingungen auf: :S 1 +S 2 cos(45 )+=0 : S 2 sin(45 ) S 3 =0 Moment um 3: S 1 h S 3 b=0 As nächstes werden die obigen Geichungen so umgestet, dass die äußeren Lasten (hier: ) auf die rechte Seite gebracht werden. S 1 +S 2 cos(45 )= S 2 sin(45 ) S 3 =0 S 1 h S 3 b=0 Danach können wir die Matri A biden. Hierbei müssen wir die Koeffizienten in die Matri A schreiben, die unbekannten Kräfte werden in den Vektor L eingetragen (Lösungsvektor) und die äußeren Lasten in den Lastvektor. In den Vektor L werden die unbekannten Kräfte positiv eingetragen, die Koeffizienten erhaten demnach die Vorzeichen: A=[ 1 cos(45 ) 0 0 sin(45 ) 1 h 0 b] 1 L=[S S 3] 2 S =[ 0 0 ] Die Matri A weist drei Spaten auf, wei drei unbekannte Kräfte gegeben sind. Die Matri A weist drei Zeien auf, wei drei Geichgewichtsbedingungen gegeben sind. Das Geichungssystem in Matriform sieht dann wie fogt aus: [ 1 cos(45 ) 0 0 sin(45 ) 1 h 0 b] [S1 S 3] =[ ] 2 0 S 0 1. und 2 Zeie wird unter die etzte Zeie geschrieben: [1 cos(45 ) 0 0 sin(45 ) h 0 b 1 cos(45 ) 0 0 sin(45 ) 1] 11

12 Wir biden die Diagonaen: det A=1 [ sin(45 )] [ b] h cos(45 ) [ 1] 0 cos(45 ) [ b] 1 0 [ 1] h [ sin(45 )] 0 det A=1 [ sin(45 )] [ b]+h cos(45 ) [ 1] det A=b sin(45 ) h cos(45 ) Mit sin (45 )=cos(45 )= 1 2 det A= b 2 h 2 Die Determinante kann berechnet werden, ist aso ungeich Nu für h b. Das System ist statisch bestimmt. ür h = b hingegen ist das System nicht statisch bestimmt. 12

13 Streckenast: Bidung der Resutierenden der Streckenast sowie estegung des Angriffspunkts der Resutierenden. Die Streckenast wird bei Berechnung der Lagerkräfte bzw. Zwischenreaktionen berücksichtigt, indem die Resutierende der Streckenast gebidet wird. Die Resutierende ist der ächeninhat der Streckenast. Der Angriffspunkt der Resutierenden der Streckenast iegt im Schwerpunkt der äche. ächeninhat bzw. Resutierende der Streckenast: q = q ()d Angriffspunkt der Resutierenden der Streckenast: S = q() d q () d q 0 * q 0 /2 1/2 q 0 * 2/3 13

14 ür die rechteckige Streckenast können wir entweder sofort den ächeninhat der rechteckigen Last berechnen q =q 0 oder mittes Integration ermitten. Hierbei ist q() = q 0, wei es sich hier um eine konstante Streckenast handet. Einsetzen in die obige Geichung: q = q ()d q = 0 q 0 d Integriert wird über die Länge, über weche die Streckenast wirkt. Der Beginn der Streckenast ist = 0, das Ende bei =. q = 0 q 0 d=q 0 Es resutiert dassebe Ergebnis. Der ächeninhat entspricht der Resutierenden der Streckenast. Der Angriffspunkt der Resutierenden iegt im Schwerpunkt der äche. Bei einem Rechteck iegt der Schwerpunkt in der Mitte. In unserem a bei /2. Oder mittes Integration: S = q() d q () d q 0 0 d S = 0 q 0 d q 0 S = = 1 q 0 2 Integriert wird über die Länge, über weche die Streckenast wirkt. Der Beginn der Streckenast ist = 0, das Ende bei = Bei einer rechteckigen Streckenast kann man die Resutierende (=ächeninhat) und den Angriffspunkt auch ohne Integration ermitten. 14

15 ür die dreieckige Streckenast kann auch ohne Integration die Resutierende und der Angriffspunkt berechnet werden: q 0 Die Resutierende (=ächeninhat) ist: q = q 0 2 Der Kraftangriffspunkt iegt bei 2/3 der Länge: S = 2 3 Bei Berechnung der Lagerkräfte reicht es aus, den ächeninhat und den Kraftangriffspunkt zu bestimmen. ür die Berechnung der Schnittgrößen ist es sinnvo die Integration durchzuführen (fogt später). Dafür muss man aber q() kennen: q() ist die rot gekennzeichnete unktion: q() q 0 15

16 Mittes der Geradengeichung (ineare unktion) kann q() bestimmt werden: y=m+b hier: q ()=m+b b ist der Beginn der unktion auf der q() -Achse: b=0 m ist die Steigung der unktion: m= q 0 Schritte nach rechts und q 0 Schritte nach oben. Schritte in -Richtung stehen unter dem Bruchstrich. Einsetzen in die Geichung: q ()= q 0 Aus dieser unktion kann nun auch die Resutierende und der Angriffspunkt mittes Integration ermittet werden: q = 0 q 0 d q = q 0 0 q = q 0 [ ]0 q = q d Konstanten aktor vor das Integra ziehen q = q 0 2 Resutierende (ächeninhat) der dreieckigen Streckenast 16

17 Auch der Kraftangriffspunkt kann mittes Integration bestimmt werden: 0 S = q 0 d q S = 0 0 d 0 q 0 0 q 0 2 d d [ q 0 1 S = [ q ] ]0 S = q 0 q S = 2 2 q q 0 2 S = 3 Das Ergebnis ist natürich dassebe wie oben ohne Integration. ür die Berechnung der Aufagerkräfte ist es ausreichend die Resutierende und den Angriffspunkt bei einer dreieckigen Streckenast ohne Integration zu bestimmen. Somit muss auch nicht etra q() berechnet werden. ür die Berechnung der Schnittgrößen hingegen ist die Bestimmung von q() notwendig. 17

18 Bei einer parabeförmigen Streckenast (quadratische unktion) kann auch die Nusteenform herangezogen werden, um den ächeninhat der Streckenast zu bestimmen. Nusteenform: y()=a( 1 )( 2 ) mit 1 1. Nustee 2 2. Nustee a Streckfaktor Beispie: q 0 Gegeben sei die obige parabeförmige Streckenast, weche ihr Maimum q 0 bei = 0 aufweist. Bestimme die Resutierende der Streckenast sowie ihren Angriffspunkt. 1. Betrachtung der Nustee: Die parabeförmige Streckenast hat ihre Nustee bei 1 =. 2. Betrachtung des Scheites: Das Maimum ist q 0 bei = 0. Der Scheite ist aso gegeben bei S(0 q 0 ). Der Scheite einer Parabe iegt in der Mitte der beiden Nusteen. Die andere Nustee iegt demnach bei 2 = -. Einsetzen in die Nusteenform: q ()=a( )( +) Der Scheitepunkt wird in die Nusteenform eingesetzt: q 0 =a(0 )(0 +) q 0 =a( )() q 0 = a 2 18

19 Nach a aufösen: a= q 0 2 a ist negativ und demnach ist die Parabe nach unten geöffnet, wie auch in der Abbidung gegeben. Einsetzen von a in die Nusteenform: q ()= q 0 ( )( +) 2 Aufösen der Kammern (3. Binomische orme): ( )(+)= 2 2 q ()= q 0 2 (2 2 ) q ()= q q 0 q ()=q()=q 0 [1 ( 2 2 )] unktionsgeichung Die Resutierende der Streckenast q ist die äche unterhab der unktion und wird durch das bestimmte Integra von 0 bis berechnet: q = 0 q ()d q = 0 q ()d= 0 q =q 0 0 [1 2 2 ]d q 0 [1 2 2 ]d q =q 0 [ ] 2 0 q =q 0 [ ]=q q 0 = 2 3 q 0 19

20 As nächstes müssen wir herausfinden, wo die Resutierende der Streckenast an den Baken angreift (= Kraftangriffspunkt). Die Resutierende einer Streckenast greift immer im Schwerpunkt der äche an. Die Geichung dafür autet: S = q() d q () d Einsetzen von q(): S = q 0 [1 ( 2 )] d 2 q 0 [1 ( 2 )] d 2 Kammer aufösen [q0 0 q ] d S = [q0 0 q 0 2 ] d 2 Integration Nenner: Da der Nenner die äche darstet ist diese identisch mit der Resutierenden q : 2 3 q 0 Integration Zäher: 0 [q0 q ] d 1 [q q ]0 1 q q = q 0 2 q = q

21 Einsetzen in die orme: S = 1 4 q 0 2 = 2 3 q q 0 Kraftangriffspunkt der Resutierenden der Streckenast Aufgabe: Berechnung der Lager- und Geenkkräfte q 0 C D 3a y B A z 2 2 a a 4a 2a a) Zeichne die reikörperbider der Teisysteme. b) Prüfe auf statische Bestimmtheit! c) Bestimme sämtiche Aufagerreaktionen und Geenkkräfte in dem angegebenen gobaen -y- Koordinatensystem. 21

22 Lösung der Aufgabe a) reikörperbid 1. Teisystem B v y A v B h A h a a 2. Teisystem 5 2 C D h B h B v 5a 10 3 a D v 3a 4a 2a 22

23 Berechnung der Länge des schrägen Bakens: Gesucht wird die Hypotenuse, weche mittes Satz des Pythagoras berechnet werden kann: (4a) 2 +(3a) 2 = 16a 2 +9a 2 = 25a 2 =5a 3a Berechnung der Resutierenden der Streckenast und den Kraftangriffspunkt: Die Resutierende der Streckenast wird berechnet indem der ächeninhat der gegeben dreieckigen Streckenast berechnet wird. Mit q 0 = /a (Aufgabensteung) ergibt sich dann: 4a q = 1 2 q 0 5a = 1 2 a 5a = 5 2 Resutierende der Streckenast (äche Dreieck) Der Angriffspunkt iegt im Schwerpunkt der dreieckigen Last. In diesem a bei 2/3 der Länge: 2 3 5a=10 3 a Angriffspunkt der Streckenast b) Statische Bestimmtheit Die statische Bestimmtheit so hier mittes Abzähkriterium geprüft werden. Das Abzähkriterium ist gegeben zu: f =a+z 3n Gegeben sind: a = 4 Aufagerkräfte z = 2 Geenkkräfte n = 2 Teisysteme Es ergibt sich demnach: f =6 3 2=0 23

24 Das System ist nach der notwendigen Bedingung statisch bestimmt! c) Aufager- und Geenkkräfte berechnen 1. Kräftezeregung für ae Kräfte die nicht in - oder y- Richtung zeigen. Wir führen die Kräftezeregung für die Resutierende der Streckenast durch. tan(α)= 3a 4a α 4a 3a ür die Kräftezeregung benötigen wir den Winke von der Resutierenden zur Horizontaen. Wir können zunächst mittes Trigonometrie am rechtwinkigen Dreieck den Winke zwischen der Schrägen (auf weche die Resutierende wirkt) und der Horizontaen bestimmen (siege obige Grafik). Mittes Tangens erhaten wir dann den Winke zu: tan(α)= 3a 4a α=arctan ( 3 4 )=36,87 Die Resutierende steht im 90 Winke auf der schrägen äche, demnach ergibt sich der Winke von der Schrägen zur Horizontaen zu: Schräge 36, α R =90 36,87 =53,13

25 Wir führen die Kräftezeregung durch: 5 2 cos(53,13 )= sin(53,13 )= ,13 2. Teisystem 5 2 C D h B h B v z a 3 2 D v 3a 4a 2a 25

26 c) Bestimmung der Aufager- und Geenkkräfte aus den Geichgewichtsbedingungen. 1. Teisystem: Horizontae Geichgewichtsbedingung: : A h +B h +=0 Vertikae Geichgewichtsbedingung: :A v +B v =0 Momentengeichgewichtsbedingung: Moment um A : a B h 2a=0 B h = a 2a = 2 Einsetzen in die horizontae Geichgewichtsbedingung: A h =B h += 2 += 2 2. Teisystem: Horizontae Geichgewichtsbedingung: : B h D h cos(53,13 )=0 Zusammenfassen: 5 2 cos(53,13 )=3 2 B h D h =0 26

27 Einsetzen von B h : 2 D h =0 D h = =2 Vertikae Geichgewichtsbedingung: : B v +D v 5 2 sin(53,13 )=0 5 2 sin(53,13 )=2 B v +D v 2 =0 Zusammenfassen Momentengeichgewichtsbedingung: Moment um B: D v 6a+D h 3a a=0 Einsetzen von D h = 2: D v 6a+2 3a a=0 D v 6a+6 a 25 3 a=0 D v 6a 7 3 a=0 Aufösen nach D v : D v = 7 3 a 6a D v =

28 Einsetzen in die vertikae Geichgewichtsbedingung: B v =0 18 Aufösen nach B v : B v = Einsetzen in die vertikae Geichgewichtsbedingung des 1. Teisystems: A v =0 Aufösen nach A v : A v = Zusammenfassung der Lager- und Geenkkräfte: Lagerkräfte A h /2 A v D h D v Geenkkräfte B h B v 29/18 2 7/18 -/2-29/18 28

29 Schnittgrößen: Bestimmung von Normakraft, Querkraft und Biegemoment Einführung Die äußeren Lasten führen zu inneren Spannungen im Bautei. Die Spannungsresutierenden sind die sogenannten Schnittgrößen. Je nach Art der Beastung können drei Schnittgrößen auftreten: Normakraft N: Infoge von Kräften parae zur Bakenachsen. Querkraft Q: Infoge von Kräften senkrecht zur Bakenachse. Biegemoment M: Infoge von äußeren Momenten oder Kräften die Momente erzeugen. Die Schnittgrößen und die äußeren Lasten müssen sich im Geichgewicht befinden. Die inneren Schnittgrößen wirken den äußeren Kräften aso entgegen, damit das Bautei nicht versagt. Schnittgrößen werden durch einen gedankichen Schnitt durch den Baken sichtbar: Linkes Schnittufer Rechtes Schnittufer M Q M N N Q Mittes der Geichgewichtsbedingungen können die Schnittgrößen berechnet werden. Aufgabe 1 = 1kN 2 = 2,5 kn 30 2m 4m 2m Bestimme die Schnittgrößen! 29

30 Lösung der Aufgabe: 1. reischnitt: 1 = 1kN 2 = 2,5 kn A h Av 30 2m 4m 2m B 2. Kräftezeregung: 2 cos(30 ) 2 2 sin(30 ) z 3. reischnitt unter Berücksichtigung der Kräftezeregung 1 = 1kN 2 sin(30 ) A h Av 2 cos(30 ) 2m 4m 2m B 30

31 4. Bestimmung der Lagerkräfte: (1) Geichgewichtsbedingung in positive -Richtung: : A h 2 cos(30 )=0 A h = 2 cos(30 )=2,5kN cos(30 )=2,17 kn (2) Geichgewichtsbedingung in positive z-richtung: : A v B sin(30 )=0 (3) Momentengeichgewichtsbedingung um A: B 8m f 1 2m 2 sin(30 ) 6m=0 B= 1 2m+ 2 sin(30 ) 6m =1,19 kn 8m Berechnung von A v aus (2): A v = B sin(30 )=1,06kN Danach können die Schnittkräfte berechnet werden. Hierzu betrachten wir zunächst das inke und rechte Schnittufer: Linkes (positives Schnittufer) Rechtes (negatives Schnittufer) M N Q y z 31

32 Am inken (positiven) Schnittufer zeigen die Schnittgrößen in positive Achsenrichtung in Bezug auf das obige,y,z-koordinatensystem. Das Moment ist am inken Schnittufer ein inksdrehendes Moment, weches in der Physik as positives Moment definiert ist. Am rechten (negativen) Schnittufer zeigen die Schnittgrößen in negative Achsenrichtung. Das Moment ist hierbei ein rechtsdrehendes Moment. Es werden Schnitte durchgeführt bei: Statische Unstetigkeiten Einzeasten, Knicke in Streckenasten. Geometrische Unstetigkeiten Knicke der Bakenachse, Verbindungseemente [wie beispiesweise Geenke]. ür die Aufgabe a) müssen drei Schnitte am Baken durchgeführt werden: 1 = 1kN 2 sin(30 ) A h Av 2m 4m 2m B 32

33 Schnitt 1: 0 2m A h A v Q M N Wir beginnen damit die Geichgewichtsbedingungen aufzusteen, um die Schnittgrößen bestimmen zu können. Die Normakraft kann aus der Geichgewichtsbedingung in -Richtung berechnet werden. Die Querkraft aus der Geichgewichtsbedingung in z-richtung und das Biegemomente aus der Momentengeichgewichtsbedingung. Bestimmung der Normakraft N 1 : : A h +N 1 =0 N 1 = A h = 2,17 kn Bestimmung der Querkraft Q 1 : : A v +Q 1 =0 Q 1 =A v =1,06 kn Bestimmung des Moments M 1 : Bei der Bestimmung des Moments wird der Bezugspunkt immer in den Schnitt geegt, aso zwischen 0m und 2m. Die -Achse wird an den Beginn des Bakens geegt, beginnt aso im Lager A: S : A v +M 1 =0 M 1 =A v =1,06 kn In Abhängigkeit von kann dann das Biegemoment für diesen Bereich bestimmt werden. 33

34 Schnitt 2: 2m 6m A h 1 M N A v Q Bestimmung der Normakraft N 2 : : A h +N 2 =0 N 2 = A h = 2,17 kn Bestimmung der Querkraft Q 2 : : A v + 1 +Q 2 =0 Q 2 =A v 1 =1,06kN 1 kn=0,06 kn Bestimmung des Moments M 2 : Bei der Bestimmung des Moments wird der Bezugspunkt immer in den Schnitt geegt, aso zwischen 2m und 6m. Die -Achse wird an den Beginn des Bakens geegt, beginnt aso im Lager A: S : A v + 1 ( 2m)+M 2 =0 M 2 =1,06 kn 1 kn( 2m) M 2 =1,06 kn 1 kn +1 kn 2m Kammer aufösen zusammenfassen M 2 =0,06 kn +2 knm In Abhängigkeit von kann dann das Biegemoment für diesen Bereich bestimmt werden. 34

35 Schnitt 3: 6m 8m A h 1 2 cos(30 ) 2 sin(30 ) M N A v Q Bestimmung der Normakraft N 3 : : A h 2 cos(30 )+N 3 =0 N 3 = A h + 2 cos(30 )= 2,17 kn+2,17 kn=0 Bestimmung der Querkraft Q 3 : : A v sin(30 )+Q 3 =0 Q 3 =A v 1 2 sin(30 ) Q 3 =1,06kN 1kN 2,5 knsin(30 ) Q 3 = 1,19kN Bestimmung des Moments M 3 : Bei der Bestimmung des Moments wird der Bezugspunkt immer in den Schnitt geegt, aso zwischen 6m und 8m. Die -Achse wird an den Beginn des Bakens geegt, beginnt aso im Lager A: S : A v + 1 ( 2m)+ 2 sin(30 ) ( 6m)+M 3 =0 M 3 =A v 1 ( 2m) 2 sin(30 ) ( 6m) Kammer aufösen M 3 =1,06kN 1 kn +1 kn 2m 2 sin(30 ) + 2 sin(30 ) 6m M 3 = 1,19 kn +9,5 knm In Abhängigkeit von kann dann das Biegemoment für diesen Bereich bestimmt werden. 35

36 Die Schnittgrößenveräufen sehen wie fogt aus: 1 = 1kN 2 = 2,5 kn A h Av N 30 2m 4m 2m B -2,17 kn - 0 kn Q 1,06 kn + 0,06 kn ,19 kn M 1,06 kn 0,06 kn +2 knm + 1,19 kn +9,5 knm 36

37 Zusammenhang zwischen Streckenasten und Schnittgrößen dn( ) d = n() Abeitung der Normakraft ergibt die negative horizontae Streckenast. dq() d = q() dm() =Q() d dm 2 () = q() d 2 Abeitung der Querkraft ergibt die negative vertikae Streckenast. Abeitung des Biegemoments ergibt die Querkraft. Zweimaiges Abeiten des Biegemoments ergibt die negative vertikae Streckenast. Mittes Integration assen sich die Schnittgrößenveräufe für die gegeben Streckenasten bestimmen. Streckenast q() Querkraftverauf Q() Momentenverauf M() 0 konstant inear konstant inear quadratische Parabe inear quadratische Parabe Kubische Parabe Aufgabe q 0 = 0,75 kn/m 2m 4m 2m Bestimme die Schnittgrößen! 37

38 Lösung der Aufgabe: q 0 = 0,75 kn/m 2m 4m 2m Zunächst wird der Baken von den Lagern geöst und die Streckenast zu einer einzigen Kraft zusammengefasst. Dazu muss der ächeninhat der äche berechnet werden. Hierbei handet es sich um eine rechteckige äche, demnach : q 0 * 4m Die Einzekraft greift im Schwerpunkt der Streckenast an. Bei rechteckigen äche ist das die Mitte: q0*4m = 3 kn A h A v 4m B 2m 4m 2m Bei einer Dreiecksast z.b. müsste der ächeninhat eines Dreiecks berechnet werden. Die resutierende Einzekraft greift dann im Schwerpunkt der dreieckigen äche an (nicht die Mitte). Zunächst werden die Lagerkräfte bestimmt: Geichgewichtsbedingung in -Richtung: : A h =0 Geichgewichtsbedingung in z-richtung: : A v +q 0 4m B=0 Momentengeichgewichtsbedingung um A: A B 8m (q 0 4m) 4m=0 B= (q 0 4m) 4m (0,75 kn/ m 4m) 4m = =1,5 kn 8m 8m 38

39 Aus der Geichgewichtsbedingung in z-richtung: A v =q 0 4m B=0,75 kn/m 4m 1,5 kn=1,5 kn Die Einzeast, weche im Schwerpunkt der Streckenast iegt (mittig) greift auch genau in der Mitte des Bakens an. Das bedeutet, dass sich diese auf beide Lager geichmäßig verteit. Die horizontae Lagerkraft fät weg, wei keine horizontaen Kräfte an den Baken angreifen. Nachdem die Aufagerkräfte bestimmt sind, können as nächstes die Schnittgrößen berechnet werden: q 0 A h A v B 2m 4m 2m Liegt eine Streckenast q() vor so muss zusätzich ein Schnitt zwischen dieser Last durchgeführt werden. Insgesamt werden aso drei Schnitte betrachtet: 39

40 Schnitt 1: 0 2m A h A v Q M N Wir beginnen damit die Geichgewichtsbedingungen aufzusteen, um die Schnittgrößen bestimmen zu können. Die Normakraft kann aus der Geichgewichtsbedingung in -Richtung berechnet werden. Die Querkraft aus der Geichgewichtsbedingung in z-richtung und das Biegemomente aus der Momentengeichgewichtsbedingung. Bestimmung der Normakraft N 1 : : A h +N 1 =0 N 1 = A h =0 Bestimmung der Querkraft Q 1 : : A v +Q 1 =0 Q 1 =A v =1,5 kn Bestimmung des Moments M 1 : Bei der Bestimmung des Moments wird der Bezugspunkt immer in den Schnitt geegt, aso zwischen 0m und 2m. Die -Achse wird an den Beginn des Bakens geegt, beginnt aso im Lager A: S : A v +M 1 =0 M 1 =A v =1,5 kn In Abhängigkeit von kann dann das Biegemoment für diesen Bereich bestimmt werden. 40

41 Schnitt 2: 2m 6m A h A v 2m q 0 Q M N Es wird der Schnitt durch die Streckenast durchgeführt. Es ist nun sinnvo die Streckenast mit dem Integra zu berücksichtigen. Dazu benötigen wir q(). Bei einer rechteckigen Streckenast ist q() = q 0. A h A v 2m q 0 (-2m) Q M N Bestimmung der Normakraft N 2 : : A h +N 2 =0 N 2 = A h =0 kn Bestimmung der Querkraft Q 2 : : A v + q()d+q 2 =0 Die Streckenast wirkt nach unten in positive Richtung, wird aso positiv berücksichtigt. Einsetzen von q() = q 0 : : A v + 2m q 0 d+q 2 =0 Die Integration findet von 2m bis statt. Q 2 =A v 2m q 0 d Q 2 =A v q 0 ( 2m)=1,5 kn 0,75 kn/ m( 2m) Q 2 = 0,75kN/ m +3 kn 41

42 Bestimmung des Moments M 2 : Streckenast un Schnittmoment weisen den fogenden Zusammenhang auf: d 2 M() = q() d 2 Daraus fogt: M ()= q()d d In orm für die Geichgewichtsbedingung: M ()+ q ()d d=0 S : A v + 2m 2m M 2 =A v 2m M 2 =A v 2m q()dd+m 2 =0 2m 2m q ()d d q 0 dd M 2 =A v 2m q 0 ( 2m)d 1. Integration (Inneres Integra) M 2 =A v [ q ( 2m)2 ]2m M 2 =A v [ q 0 2 ( 2m)2 q 0 2 (2m 2m)2 ] M 2 =A v q 0 2 ( 2m)2 Kammer aufösen M 2 =A v 1 2 q m q 0 2 m 2 q 0 M 2 =1,5 kn 1 2 0,75kN/ m 2 +2m 0,75 kn/m 2 m 2 0,75 kn/m M 2 = 0,375 kn/ m 2 +3 kn 1,5 knm In Abhängigkeit von kann dann das Biegemoment für diesen Bereich bestimmt werden. 42

43 Schnitt 3: 6m 8m A h q 0 * 2m M N A v Q Bestimmung der Normakraft N 3 : : A h +N 3 =0 N 3 = A h =0 kn Bestimmung der Querkraft Q 3 : : A v +q 0 4m+Q 3 =0 Q 3 =A v q 0 4m=1,5 kn 0,75kN/m 4m= 1,5 kn Bestimmung des Moments M 3 : S : A v +q 0 4m ( 4m)+M 3 =0 M 3 =A v q 0 4m ( 4m) M 3 =1,5 kn 0,75 kn/ m 4m ( 4m) M 3 =1,5 kn 3 kn +3 kn 4m M 3 =1,5 kn +12 knm In Abhängigkeit von kann dann das Biegemoment für diesen Bereich bestimmt werden. 43

44 Die Schnittgrößenveräufe ergeben sich wie fogt: q 0 A h A v N 2 m 4 m 2 m B 0 kn Q 1,5 kn + - 0,375kN/m 2 +3 kn 1,5 knm M 1,5 kn 1,5 kn +12 knm 44

45 Aufgabe: q 0 C D 3a y B A z 2 2 a a 4a 2a Berechne die Schnittgrößen für den Bereich BC in dem angegebenen okaen Koordinatensystem und gebe die Randwerte bei B und C an. q 0 Schnitt C D v D h 3a B h B v z 2 2 a a 4a 2a 45

46 Linkes Schnittufer: M N Q B h 2 B v z 2 Kräfterzeregung: Richtung wie schräger Baken 36,87 B h 2 53,13 B v z 2 B h cos(36,87 )=B h 4 5 Kraftkomponente in negative 2 -Richtung B h sin(36,87 )=B h 3 5 B v cos(53,13 )=B v 3 5 Kraftkomponente in negative z 2 -Richtung Kraftkomponente in negative 2 -Richtung B v sin(53,13 )=B v 4 5 Kraftkomponente in positive z 2 -Richtung 46

47 Normakraftverauf im Abschnitt BC : B h 4 5 B v 3 5 +N=0 N= N= 7 3 Normakraftverauf BC Querkraftverauf im Abschnitt BC Zunächst bestimmen wir die Geradengeichung: q( 2 ) b=0 a m= 5a = 5a 5a 2 a 2 q ( 2 )=m 2 +b m b Steigung der roten Geraden Beginn der unktion auf der q() - Achse Es ergibt sich die Geradengeichung zu: q ( 2 )= 5a

48 Dann steen wir die Geichgewichtsbedingung in z 2 -Richtung auf um Q zu bestimmen. Es git: dq() d = q() Q()= q()d Die Streckenast wird demnach integriert. : B h 3 5 +B v q(2 )d 2 +Q=0 q ( 2 )= 5a 2 2 B h 3 5 +B v Q=B h 3 5 B v Einsetzen von B v = -29/18 und B h = -/2: Geradengeichung (ineare unktion der Ausgangsast). 5a 2 2 d 2 +Q=0 5a 2 2 d 2 Q=B h 3 5 B v 4 5 [ 5a Q=B h 3 5 B 4 v 5 10a Q= a ] 2 0 Q= a Querkraftverauf BC 48

49 Momentenverauf im Abschnitt BC Es git: d 2 M() = q() d 2 M ()= q()d d : B v B h q (2 )d 2 d 2 +M=0 B v B h a 2 2 d 2 d 2 +M=0 B v B h a d 2 +M=0 B v B h B v B h M= B v B h a M=0 30a M=0 30a Einsetzen von B v = -29/18 und B h = -/2: M= a M= a Momentenverauf BC 49

50 Berücksichtigung von Integrationskonstanten Es ist ebenfas mögich die Schnittgrößen über die Streckenasten zu bestimmen ohne die Aufagerund Geenkkräfte zu bestimmen. Dabei handet es sich um eine unbestimmte Integration. Hierbei faen Integrationskonstanten an: N()= n()d+c 1 Q()= q ()d+c 2 M()= q()d d+c 2 +C 3 Die unbekannten Integrationskonstanten können aus den Randbedingungen bzw. Übergangsbedingungen bestimmt werden: Randbedingungen Lager N() Q() M() Zur Bestimmung der Randbedingungen können nur die Schnittgrößen mit dem Wert geich Nu herangezogen werden. 50

51 Geenk N() Q() M() = = = 0 51

52 Ist die Streckenverauf so gegeben, dass an den Enden die Querkraft den Wert Nu annimmt (siehe obige Tabee), so kann der gesamte Querkraftverauf mittes der Geichung: Q()= q()d+c 2 bestimmt werden. Dabei müssen die Aufagerkräfte bzw. Geenkkräfte nicht zusätzich berücksichtigt werden. Dieser Antei fogt aus der Integrationskonstante C 2. In unserem obigen Beispie nimmt die Querkraft an beiden Enden nicht den Wert Nu an, weshab hier -am inken Schnittufer die Geenkkräfte B h und B v mit berücksichtigt werden müssen. Beispie: m= a 4a = 4a 2 b=0 q 0 = /a 4a z q ()= 4a 2 Wir können die obigen orme anwenden ohne die Lagerkräfte zusätzich zu berücksichtigen, wei die Querkraft am freien Ende (rechts) den Wert Nu annimmt: Einsetzen in den Querkraftverauf Q()= 4a 2 d+c 2 52

53 Integration: Q()= 8a 2 2 +C 2 Am freien Ende nimmt die Querkraft den Wert Nu an. Das freie Ende ist gegeben bei = 4a: Q(4a)= 8a 2 (4a )2 +C 2 =0 C 2 = C 2 = 2 8a 2 (4a)2 Einsetzen in den Querkraftverauf: Q()= 8a Aternativ die Aufagerkräfte berechnen (A v = 2) und dann aus den Geichgewichtsbedingungen den Querkraftverauf bestimmen (ohne Integrationskonstante): : A v + q()d+q=0 Q=A v q()d Q=A v q()d Q=2 4a 2 d Q=2 8a 2 2 Es fogt dersebe Querkraftverauf. Wirkt aso nur die Streckenast und ist an mindestens einen der Enden die Querkraft Nu (Tabee), so kann man mittes der Integration die Querkraft auch ohne Aufager- bzw. Geenkkräfte berechnen. 53

54 Auch der Momentenverauf kann über die unbestimmte Integration mittes Integrationskonstanten bestimmt werden, wei für das freie Ende M = 0 git: M ()= q()dd+c 2 +C 3 M ()= 4a 2 d d+c 2 +C 3 M ()= 8a 2 2 d+c 2 +C 3 M ()= C 2 =2 M ()= 24a 2 3 +C 2 +C 3 24a C 3 Am freien Ende = 4a nimmt der Momentenverauf den Wert Nu an M(4a) = 0: M (4a )= C 3 = 8 3 a+8 a 24a 2 (4a)3 +2 4a+C 3 =0 C 3 = 16 3 a Einsetzen in den Momentenverauf: M ()= 24a a Momentenverauf PROBE: Q()=M '()= 8a

55 Beispie: m= a 4a = 4a 2 q 0 = /a b=0 4a z q ()= 4a 2 In diesem Beispie ist es ebenfas mögich den Querkraftverauf und den Momentenverauf zu bestimmen ohne die Lagerkräfte zu berücksichtigen, wei für Los- und estager das Moment zu Nu wird. Q()= 4a 2 d+c 2 Q()= 8a 2 2 +C 2 C 2 kann noch nicht berechnet werden. Wir betrachten as nächsten den Momentenverauf: M ()= 4a 2 d d+c 2 +C 3 M ()= 8a 2 2 d+c 2 +C 3 M ()= 24a 2 3 +C 2 +C 3 55

56 An Losager bei = 4a und am estager bei = 0 nimmt der Momentenverauf den Wert Nu an: M (=0)= 24a C 2 0+C 3 =0 (1) M (=4a)= 24a 2 (4a)3 +C 2 4a+C 3 =0 (2) Aus (1) ergibt sich: C 3 =0 Aus (2) ergibt sich (nach Einsetzen von C 3 = 0): C 2 = 24a 4a C 2 = (4a )3 Es ergeben sich damit Querkraft- und Momentenverauf zu: Q()= 8a M ()= 24a Wichtig ist immer, dass mittes der Randbedingungen die beiden Integrationskonstante C 1 und C 2 berechnet werden können, um Querkraft- und Momentenverauf mittes der unbestimmten Integration zu berechnen. 56

57 Aufgabe q 0 A G B C 2a a a a a) Berechne ae Aufager- und Geenkkräfte! b) Skizziere die Schnittgrößenveräufe in Abhängigkeit von der Koordinate und gebe die Eckwerte an! Gegeben: a, q 0, = q 0 a Lösung der Aufgabe reischnitt: A h q 0 * a G h G v G v G h A v B v C v 4/3 a 2a a a a 57

58 Bestimmung der Aufagerreaktionen 1. Teisystem : A h +G h =0 :A v G v q 0 a=0 Moment um A : G v 2a (q 0 a) 4 3 a=0 G v = 4 3 q 0 a 2 2a = 4 6 q 0 a Mit q 0 = /a: G v = 4 6 Einsetzen in die vertikae Geichgewichtsbedingung: A v q 0 a q 0 a=0 A v = 4 6 q 0 a + q 0 a=1 3 q 0 a Mit q 0 = /a: A v = Teisystem: : G h =0 Daraus fogt A h =0 horizontae Geichgewichtsbedingung des 1. Teisystems 58

59 :G v +B v +C v =0 Einsetzen von G v = -4/ B v +C v =0 Moment um C : G v 3a B v 2a+ a=0 Einsetzen von G v = -4/6 : 4 6 3a B v 2a+ a=0 Aufösen nach B v : B v = = 3 2 Einsetzen in die vertikae Geichgewichtsbedingung: C v =0 Aufösen nach C v : C v = C v =

60 Lösung b): dreieckige Streckenast = ineare unktion q() = quadratischer Querkraftverauf = kubischer Momentenverauf Nudurchgang (Schnitt mit -Achse) des Querkraftveraufes bei maimaem Momentenverauf. keine Streckenast = konstanter Querkraftverauf = inearer Momentenverauf Wir erhaten aso: 60

61 61

62 62