1. Motivation Wozu braucht man Schnittgrößen? 3. Beziehungen zwischen den Schnittgrößen. 4. Definition von Bereichen zur Berechnung

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1 Großübung Schnittgrößen. otivtion Wou brucht mn Schnittgrößen?. Definition der Schnittgrößen. Beiehungen wischen den Schnittgrößen 4. Definition von Bereichen ur Berechnung 5. Beispie Bken mit Dreiecksst 6. Etremwerte 7. Schnittgrößen m Kreisbogenträger 8. weitere Beispiee

2 Wou Schnittgrößen? Schnittgrößen geben die Verteiung der Bestungen innerhb des Buteies wider. Sie werden um Beispie benötigt, um die Benspruchung des Buteis Spnnungen oder die Verformungen des Buteis u bestimmen. Sie geben dem Konstrukteur Anhtspunkte ur optimen Gesttung der Konstruktion,.B. bei der Auswh notwendiger Buteibmessungen oder der Art der Lsteineitung in Buteie.

3 Zug/Druck L Ursche: Längskrft L Typische Verformung: Längsdehnung konst. über die Querschnittsfäche Verängerung/Verkürung eine Biegung L by Ursche: Biegemomente by vg. Bid rechts bw.. b by Typische Verformung: Längsdehnung iner veränderich über den Querschnitt Biegung der Längschse Torsion y ϕ ϕ Ursche: Torsionsmoment t Typische Verformung: Geitung in der Querschnittsebene Verdrehung der Querschnitte um die Längschse Stbiität Knicken K t t Ursche: Kritische Druckkrft K Typische Verformung: Knicken beim Erreichen von K Biegung der Längschse < K

4 Querkrftschub bei Biegung Ursche: Querkräfte Qy, Q Typische Verformung: Geitungen in der Querschnittsebene Krümmung der Längschse wie bei der Biegung Hinweis: Eine reine Querkrftschubbenspruchung kommt prktisch kum vor. Sie ist in der ege n eine Biegebenspruchung gekoppet. Die Spnnungen und Verformungen infoge des Querkrftschubs können bei Bken mit großer Länge gegenüber den Querschnittsbmessungen in der ege vernchässigt werden, d sie im Vergeich u den Biegebenspruchungen kein sind. y Verformungsntei us der Biegung usäticher Verformungsntei us Querkrftschub meist gering! Scherbenspruchung Ursche: Dicht theoretisch unendich dicht nebeneinnder iegende entgegengesett gerichtete pree Kräfte Typische Verformung: sehr große Geitungen in der Querschnittsebene Gefhr der Zerstörung durch Abscheren ächenpressung Ursche: Druckbestung einer ebenen oder gekrümmten äche. B. wischen Niet und Bech n der gemeinsmen Kontktfäche Gefhr der Oberfächenschädigung insbesonders bei einer etivbewegung der Kontktfächen kein! esutierende us ächenpressung Bech - Niet ächenpressung im Bech infoge der Bestung durch den Niet

5 Definition der Schnittgrößen Ae positiven Schnittgrößen werden so definiert, dß sie m positiven Schnittufer in ichtung der positiven Koordintenchsen weisen. Am negtiven Schnittufer wirken wegen des Wechsewirkungsgesetes ctio rectio die du korrespondierenden Größen. Ds positive Schnittufer iegt, wie im Bid u sehen, uf der Seite des geschnittenen Buteis wo sich uch der Ursprung des verwendeten Koordintensystems befindet. Hinweis: ds ht nichts mit inks oder rechts u tun Die Koordinte fogt der Profimitteinie. Neben der Drsteung mit dem Koordintensystem -y- echtssystem! eistiert die gestrichete-ser- Konvention, die ebenfs der estegung der Koordinten dient. Sie wird im wesentichen für ebene Probeme verwendet und gibt in dem die ichtung der -Achse n. erke: Ein positives Biegemoment führt u einer Bkenkrümmung, die die gestrichete ser dehnt.

6 Definition der Schnittgrößen für ebene Probeme D Schnittstee Bkenänge Definitionsbereich by by Ah Av Q N N Q - B positives Schnittufer negtives Schnittufer

7 Definition der Schnittgrößen m positiven Schnittufer im D-um y Schnittebene y Q Q y N

8 Differentiee Beiehungen wischen den Schnittgrößen d Bkenänge Herusschneiden eines differentieen Eementes us dem Butei by N Q s d by +d by N +dn Q +dq Antrgen der Schnittgrößen m differentieen Eement

9 Aufsteen der Geichgewichtsbedingungen m differentieen Eement Querkrft: d dq d dq Q Q + Normkrft: d dn d dn N N Biegemoment inksdrehend um S: by by by by by Q d d d dq d Q d d dq Q d Q d + +

10 egen für die estegung von Bereichen für die Berechnung der Schnittgrößen Wegen der getenden differentieen Beiehungen wischen den Schnittgrößen knn mn diese Größen jeweis nur für Bereiche bestimmen, in denen sie stetig und differenierbr sind. keine Integrtion über Knicke und Sprungsteen im unktionsveruf! Drus fogt: Bereiche für die Berechnung von Schnittgrößen beginnen / enden n Lgersteen / Geenken n Angriffspunkten von Einesten / omenten m Beginn / Ende von Liniensten wenn sich die unktion für die Linienst ändert n Knick- / Verweigungspunkten des Butei, Abwinkeungen usw.

11 Definition und Berechnung der Schnittgrößen m ebenen Butei Beispie Dreiecksst / * * y AH N AV / Q y * / N - AH Q AV - AV - / * * AV - / * * / y AV * - * / AV * - / * * * / AV * - / * * / * * / AV * - /6 * * /

12 echenbuf ur Bestimmung der Schnittgrößen diese Vorgehensweise ht sich gemein s weckmäßig erwiesen, in Abhängigkeit vom u berechnenden System knn die Vorgehensweise jedoch vriieren, evt. können einige Schritte entfen. reischneiden des Gesmtsystems, ggf. Zeregung in Teisysteme. Berechnung der Lgerrektionen. estegen der Anh der Bereiche ur Bestimmung der Schnittgrößen 4. Einführung der entsprechenden Koordintensysteme für jeden Schnittgrößenbereich:. reischneiden im Getungsbereich der ufenden Koordinte, Antrgen der Schnittgrößen gemäß der Definition für ds entsprechende Schnittufer. Berechnung der Schnittgrößen in Abhängigkeit vom verwendeten Koordintensystem m positiven oder negtiven Schnittufer. Auswertung und grfische Drsteung, d.h. Berechnung der Werte n den Bereichsgrenen und in Abhängigkeit vom unktionsveruf uch von Zwischenwerten 4. Suche von Etremwerten insbesondere von b, du Suche von Querkrft-Nusteen

13 grfische Drsteung des Schnittgrößenverufs s unktion der Koordinte Die grfische Drsteung der Schnittgrößen dient du schne einen Überbick über die Verteiung der Bestung im Butei u erhten. Dies ist später wichtig ur Beurteiung der Bestbrkeit von Buteien bw. deren Dimensionierung. Die Drsteung erfogt in getrennten Bidern für die Schnittgrößen D bw. 6 Schnittgrößen D entng der Koordinte. Senkrecht du werden die Ergebnisse bgetrgen unktionsdrsteung. Es ssen sich dnn schne Zusmmenhänge wischen Bestungen, Lgerrektionen und evt. vorhndenen Sprungsteen, Nusteen und Etremwerten der Schnittgrößenfunktionen besen.

14 Beispie Träger mit iner verändericher Linienst Lgerrektionen und Schnittgrößen sind nur eindeutig im Zusmmenhng mit Schnittbidern. Diese soten übersichtich und nicht u kein sein! A B Lgerrektionen A BV BH 6 : : B A A A BV BV BV A BH + Schnittgrößen A Q N b kubisch Veruf 6 6 : udrtisch Veruf 6 konstnt Veruf S Q N A b A

15 grfische Drsteung N Q b drgestet sind die normierten Größen N : ; Q : ; b : N.6.. Q Nu b Speiee Werte Q.67 Q. b b Q b.64 Bestimmen der Querkrftnustee: Q 6, ± E, 577 Die negtive Lösung entfät, d sie nicht im Definitionsbereich von iegt. Etremwert des Biegemomentes: b E,577,645,65 Wert in Bkenmitte 6 Dieser Wert ist so größer s der Wert in Bkenmitte.

16 Etremwerte von Schnittgrößen Schnittgrößen weisen bsoute und retive Etremwerte uf. bsoutes imum / inimum Größtwert der Schnittgröße m Butei retives imum / inimum Wert im Kurvenveruf, bestimmbr über die differentieen Beiehungen wischen den Schnittgrößen Knn u.u. uch geicheitig ds bsoute Etremum sein Von großer Bedeutung sind die Etremwerte des Biegemomentes. d b Q d Etremwertberechnung Kurvendiskussion Ist die. Abeitung einer unktion n einer Stee geich Nu, so ht die unktion n dieser Stee einen Etremwert.

17 Schnittgrößen m Kreisbogenträger Koordinte des gerden Trägers wird durch Bogenkoordinte s ersett beim Kreisbogen ist s ϕ Schnittgrößen ssen sich in Abhängigkeit vom Winke berechnen Nϕ b ϕ ϕ - cosϕ Qϕ Krfteregung sinϕ Zweckmäßig ist die Zeregung der Kräfte in ichtung der Schnittgrößen. N ϕ + Q ϕ + b ϕ + cos ϕ + sin ϕ sin ϕ cos ϕ cos ϕ sin ϕ Die differentieen Beiehungen wischen den Schnittgrößen geten weiterhin.

18 Beispie Träger mit Einekrft und Einemoment Lgerrektionen und Schnittgrößen sind nur eindeutig im Zusmmenhng mit Schnittbidern. Diese soten übersichtich und nicht u kein sein! A B Lgerrektionen Aus den Geichgewichtsbedingungen ergibt sich in den ngegebenen ichtungen: AV + B + Annhme : AV B AH 5 Schnittgrößen. Abschnitt b N AH AV Q N b Q AV AH AV 5 5

19 . Abschnitt negtives Schnittufer b N / - Q B N Q B b B grfische Drsteung Die Normkrft ist in en Bereichen Nu. A B Q 5 AV B 5 b Die echnung ergb B, in der Drsteung sieht mn B +. Der Sprung im omentenveruf beträgt 5 +.

20 Beispie Träger mit konstnter Linienst uf einem Teibereich Lgerrektionen und Schnittgrößen sind nur eindeutig im Zusmmenhng mit Schnittbidern. Diese soten übersichtich und nicht u kein sein! Lgerrektionen A B AH AV Die Lgerkräfte ergeben sich u: 4 B AH AV B Schnittgrößen Es sind in diesem Abschnitte ur Bestimmung der Schnittgrößen erforderich.. Abschnitt b N AH AV Q N b Q AV AH AV 6 6

21 . Abschnitt AH b N AV Q N Q b b AV 6 AH AV AV. Abschnitt negtives Schnittufer b N / - Q B N 5 Q B 6 5 b B b 6 grfische Drsteung us dem unktionsveruf fogt eine Querkrftnustee im Bereich Q 6 E 6 Etremwert des Biegemomentes n dieser Stee

22 b E Die Querkrft ist in en Abschnitten Nu. AH AV B Q 6 AV B 6 E b Anmerkung: 6 96 ; imwert des omentes. 5