Kapitel 7. Balken, Rahmen, Bogen

Transkript

1 Kpite 7 ken, Rhmen, ogen 7

2 7 ken, Rhmen, ogen 7. Schnittgrößen Schnittgrößen m gerden ken ken unter Einzesten Zusmmenhng zwischen estung und Schnittgrößen Integrtion und Rndedingungen Üergngsedingungen ei mehreren edern öpp-symo Punktweise Ermittung der Schnittgrößen Schnittgrößen ei Rhmen und ogen Schnittgrößen ei räumichen Trgwerken Zusmmenfssung Lernziee: kentrgwerke gehören zu den wichtigsten Trgeementen im Ingenieurwesen. Wir woen kennenernen, wie mn durch Schnitte die inneren Kräfte - die Schnittgrößen - im ken freiegt und einer erechnung zugängich mcht. s Schnittgrößen werden die Normkrft, die uerkrft und ds iegemoment eingeführt. Die Studierenden soen efähigt werden, diese Größen mit Hife der Geichgewichtsedingungen zu estimmen. Sie soen uch in der Lge sein, die differentieen eziehungen zwischen äußerer estung und Schnittgrößen schgerecht nzuwenden. D. Gross et., Technische echnik, DOI 0.007/ _7, Springer-Verg erin Heideerg 20

3 7. Schnittgrößen 7 7. Schnittgrößen Wir woen uns in diesem Kpite mit den inneren Kräften von kentrgwerken efssen. Diese inneren Kräfte sind ein ß für die terienspruchung im ken. Ihre Kenntnis ist wichtig, wenn mn die Trgfähigkeit von Trgwerken zu untersuchen oder uerschnitte zu dimensionieren ht (vg. nd 2). Der Einfchheit her eschränken wir uns zunächst uf eene Trgwerke, die durch Kräftegruppen in ihrer Eene estet sind (. 7.) q n Schnitt Schnitt p = S N. 7. R Nch schnitt.4 werden die inneren Kräfte durch Schneiden des kens freigeegt und somit der erechnung zugängich gemcht. Wir denken uns desh n der zu untersuchenden Stee einen Schnitt senkrecht zur kenchse. n der Schnittstee wirken dnn die üer die uerschnittsfäche verteiten inneren Kräfte p (. 7.). Wie sie verteit sind, werden wir in nd 2, Kpite 4, untersuchen. Unhängig von der Verteiung können wir dieses System der ächenkräfte p nch schnitt 3..3 durch seine Resutierende R und ds resutierende oment (S) ersetzen. s ezugspunkt für die Reduktion wähen wir den Schwerpunkt S der uerschnittsfäche. Eine egründung für diese speziee Wh knn erst später gegeen werden (vg. nd 2). Es ist üich, den hochgesteten Inde S ei (S), der den ezugspunkt kennzeichnet, wegzussen: n Stee von (S) schreien wir nur noch. Die Resutierende R wird in ihre Komponenten N (norm zur Schnitteene) und (in der Schnitteene, senkrecht zur ken-

4 72 7 ken, Rhmen, ogen chse) zeregt. Wir nennen N, und die Schnittgrößen des kens; es heißen N die Normkrft, die uerkrft und ds iegemoment. 2 q n N N. 7.2 Nch dem Schnitt esteht der ken us zwei Teien, n deren Schnittfächen N, und ngreifen. Wegen des Wechsewirkungsgesetzes sind die Schnittgrößen n eiden Teien jeweis entgegengesetzt gerichtet (. 7.2). So jeder Teiken uch nch dem Schnitt in Ruhe sein, dnn müssen N, und mit den m jeweiigen Tei wirkenden nderen Kräften eine Geichgewichtsgruppe iden. Dementsprechend ssen sich die drei Schnittgrößen ei sttisch estimmten Systemen us den drei Geichgewichtsedingungen für einen der eiden Teiken estimmen. y z n n N N positives negtives Schnittufer. 7.3 nog zu den Stkräften ht sich ei den Schnittgrößen des kens eine Vorzeichenkonvention durchgesetzt. Zu ihrer Erkärung führen wir nch. 7.3 ein Koordintensystem ein, ei dem die -chse mit der kenängschse zusmmenfät und nch rechts zeigt, während z nch unten gerichtet ist; die y-chse zeigt dnn us der Zeicheneene herus (Rechtskoordintensystem, vg. nhng.). Durch ds Trennen des kens erhten wir ein inkes und ein rechtes Schnittufer. Sie können durch je einen Normenvektor n chrkterisiert werden, der jeweis vom Körperinneren nch ußen zeigt. Ds Schnittufer, dessen Norm-

5 7. Schnittgrößen 73 envektor in positive (negtive) -Richtung zeigt, heißt positives (negtives) Schnittufer (. 7.3). Die Vorzeichenfestegung für die Schnittgrößen utet nun: Positive Schnittgrößen zeigen m positiven (negtiven) Schnittufer in positive (negtive) Koordintenrichtungen. Dei ist ds iegemoment s omentenvektor in y-richtung ufzufssen (positiv s Rechtsschrue). In. 7.3 sind die Schnittgrößen mit ihren positiven Richtungen eingezeichnet. ei der erechnung der Schnittgrößen werden wir uns streng n diese Vorzeichenkonvention hten. ei horizonten ken git mn oft nur die -Koordinte n und verzichtet uf ds Einzeichnen von y und z. Deiwird stets ngenommen, dss z nch unten zeigt. Es ist mnchm zweckmäßig, die -chse nicht wie in. 7.3 nch rechts sondern nch inks zeigen zu ssen; y ist in diesem in die Zeicheneene hinein gerichtet. Dnn ändert sich in. 7.3 nur die positive Richtung von ; die positiven Richtungen von und N eien ungeändert. G N N. 7.4 y z ei Rhmen und ögen wird nch. 7.4 zur estegung der Vorzeichen der Schnittgrößen eine Seite jedes Trgwerkteis durch eine gestrichete Linie gekennzeichnet ( gestrichete ser ). Die gestrichete Seite knn mn dnn s Unterseite des entsprechenden Trgwerkteis uffssen und ds Koordintensystem entspre-

6 74 7 ken, Rhmen, ogen chend dem System eim horizonten ken einführen: -chse in Richtung der gestricheten ser, z-chse zur gestricheten Seite hin. idung 7.4 zeigt die Schnittgrößen mit ihren positiven Richtungen. m eispie des kens nch. 7.5 woen wir nun zeigen, wie mn die Schnittgrößen estimmen knn. Dzu ermitten wir zunächst die Lgerrektionen us den Geichgewichtsedingungen für den gesmten ken (. 7.5). it V = sin α und H = cos α ergit sich : H H =0 H = H, : V =0 = V, : V + V =0 V = V. Nun wähen wir ein Koordintensystem und schneiden den ken n einer eieigen Stee zwischen und C (0 <<,. 7.5,c). n der Schnittstee S ringen wir die Schnittgrößen N, und mit jeweis positivem Richtungssinn n und steen die Geichgewichtsedingungen für den inken kentei uf: : H + N =0 N = H = H, : V =0 = V = V, S : V =0 = V = V. Entsprechend erhten wir ei einem Schnitt n einer eieigen Stee im ereich zwischen C und ( <<,. 7.5d): : H H + N =0 N = H H =0, : V V =0 = V V = = V =, S : V ( ) V =0 = ( V ( ) V = ) V. V

7 7. Schnittgrößen 75 uf die geichen Ergenisse wäre mn durch Geichgewichtsetrchtungen m rechten kentei gekommen. α C H V sin α α cos α Schnitt H V c H V S N sin α S cos α N V N H sin α cos α d V. 7.5 e Die Schnittgrößen sind in. 7.5e grfisch drgestet. n der ngriffsstee C der Krft hen der Normkrft- und der uerkrftveruf jeweis einen Sprung, wecher geich der Größe der Horizontkomponente H zw. der Vertikkomponente V ist. Der omentenveruf ht einen Knick; ds größte iegemoment tritt n der Krftngriffsstee uf. Ds eispie zeigt, dss zur Ermittung der Schnittgrößen der ken n einer eieigen Stee im ereich zwischen Einzekräften (eingeprägte Kräfte und Lgerrektionen) geschnitten wird. Dei müssen Schnitte für e einzenen ereiche durchgeführt werden. Wei n den Krftngriffssteen Sprünge uftreten, soten diese Steen nicht für einen Schnitt gewäht werden.

8 76 7 ken, Rhmen, ogen Schnittgrößen m gerden ken Im fogenden konzentrieren wir uns uf ken, ei denen die eingeprägte estung nur us omenten und us Kräften (Streckensten zw. Einzekräften) senkrecht zur Längschse esteht. Krftkomponenten in Richtung der Längschse ewirken Normkräfte N wie eim St (Zug oder Druck), die wir mit den ereits eknnten ethoden estimmen können ken unter Einzesten Zur estimmung der Schnittgrößen und wähen wir ein Koordintensystem und schneiden den ken n der zu untersuchenden Stee. n der Schnittstee werden und mit jeweis positivem Richtungssinn eingezeichnet. Die Schnittgrößen fogen dnn us den Geichgewichtsedingungen n einem der eiden Teiken. Die Ergenisse der Rechnung werden in der Rege in Digrmmen (Schnittkrftinien) drgestet. Neen dieser eementren ethode git es noch ein weiteres Verfhren zur estimmung der Schnittgrößen, ds uf dem Zusmmenhng zwischen Lst und Schnittgrößen eruht. Dieses Verfhren werden wir in den schnitten is eräutern. Der Einfchheit her eschränken wir uns zunächst uf ken, n denen nur Einzekräfte und eingeprägte omente ngreifen und etrchten s eispie einen eiderseits geenkig gegerten ken nch Die Lgerrektionen fogen us den Geichgewichtsedingungen m gesmten ken (. 7.6): : i i + i =0 = [ i i ] i, : + ( i ) i + i =0 = [ ( i ) i + i ]. Schneiden wir n einer eieigen Stee (. 7.6c), so ergeen sich us den Geichgewichtsedingungen m inken Teiken : i =0,

9 7.2 Schnittgrößen m gerden ken 77 S : + ( i ) i + i + =0 die uerkrft und ds iegemoment in diesem eispie zu = i, (7.) = ( i ) i i. (7.2) Die Summtionen sind dei nur üer die Kräfte i und die omente i zu erstrecken, die uf den inken Teiken wirken. j n j n j k k Schnitt k j S n d j n c k k. 7.6 e Zur erechnung von iegemoment und uerkrft können uch die Geichgewichtsedingungen für den rechten kentei herngezogen werden. ei konkreten ufgen verwendet mn zweckmäßig denjenigen kentei, n dem weniger Lsten ngreifen. idung 7.6d zeigt den Veruf der uerkrft nch (7.) üer die kenchse. Wir erkennen, dss in diesem eispie stückweise konstnt ist. n den ngriffspunkten der Kräfte i ht die uerkrftinie Sprünge (Unstetigkeiten). Die Größe eines Sprungs ist geich der dort wirkenden Krft.

10 78 7 ken, Rhmen, ogen Der Veruf des iegemoments nch (7.2) ist in. 7.6e drgestet. Die omenteninie ist hier eine stückweise inere unktion von. Sie ht Knicke n den Steen der ngriffspunkte der Kräfte i und Sprünge der Größe i n den ngriffspunkten der omente i. uf die kenenden wirken nur die Lgerkräfte und (geenkige Lger). Desh ist dort ds iegemoment geich Nu. Zwischen iegemoment und uerkrft esteht ein Zusmmenhng. Differenziert mn (7.2) nch, so erhät mn mit (7.) d d = i =. (7.3) Die Steigungen der einzenen Gerden in der omenteninie sind so durch die entsprechenden Werte der uerkrft gegeen. 7. eispie 7. Der ken in. 7.7 wird durch die drei Kräfte =, 2 =2, 3 = estet. Gesucht sind die uerkrft- und die omenteninie. 2 3 = = c Lösung Zuerst erechnen wir die Lgerkräfte und us den Geichgewichtsedingungen (vg.. 7.7): : =0 = 2,

11 7.2 Schnittgrößen m gerden ken 79 : =0 = 3 2. Die Schnittgrößen fogen us dem Geichgewicht m geschnittenen ken. Dzu führen wir gedchte Schnitte in jedem ereich zwischen zwei Einzekräften (die zugehörigen reikörperider sind in. 7.7 nicht drgestet). us dem Kräftegeichgewicht n den jeweiigen inken Teiken erhten wir die uerkrft in den einzenen ereichen: = =3/2 für 0 <<, = = /2 für <<2, = 2 = 3/2 für 2 <<3, = 2 + = /2 für 3 <<4. us dem omentengeichgewicht ergit sich ds iegemoment zu = = 3 2 für 0, = ( ) =( + 2 ) für 2, = ( ) ( 2)2 =(5 3 2 ) = ( ) ( 2)2 +( 3) für 2 3, =(2 2 ) für 3 4. Zur ufsteung der Geichgewichtsedingungen wäre es dei für > 2 zweckmäßiger gewesen, den rechten Teiken zu verwenden. Die uerkrft- und die omenteninie sind in. 7.7c drgestet. In den ereichen positiver (negtiver) uerkrft ht die omenteninie einen positiven (negtiven) nstieg. s Kontroen können wir die Werte m rechten Rnd ( =4) verwenden: die uerkrftinie springt infoge der Lgerkrft uf den Wert Nu, die omenteninie ht den Wert Nu (geenkiges Lger m kenende).

12 80 7 ken, Rhmen, ogen Die eziehungen für und können rein form uch us (7.) und (7.2) geesen werden, d der ken eiderseits geenkig gegert ist. 7.2 eispie 7.2 n estimme die Schnittkrftinien für den Krgträger in =2 /2 /2 0 = = c Lösung it Hife des reikörperides. 7.8 und nwenden der Geichgewichtsedingungen uf ds Gesmtsystem estimmen wir zuächst die Lgerrektionen: : =0 =, : + 0 =0 = 0 =. Zur Ermittung des uerkrftverufs schneiden wir den ken n einer eieigen Stee. us dem Kräftegeichgewicht für den rechten oder inken Teiken (hier nicht drgestet) erhten wir = = für 0 <<. Wegen des Einzemoments 0 in der kenmitte müssen wir zur estimmung des omentenverufs zwei ereiche etrchten. Dementsprechend führen wir je einen Schnitt in den ereichen 0 <</2 und /2 <<. omentengeichgewicht m

13 7.2 Schnittgrößen m gerden ken 8 Teiken iefert = + =( + ) für 0 << 2, = + 0 =( ) für <. 2 uerkrft- und iegemomentenveruf sind in. 7.8c grfisch drgestet. Die uerkrft ist im gnzen ken konstnt während ds iegemoment stückweise iner veräuft. Dei ist die Steigung des omentenverufs wegen der konstnten uerkrft in eiden ereichen geich. n der ngriffsstee = /2 des äußeren oments ht der omentenveruf einen Sprung der Größe 0 =2. Es sei noch druf hingewiesen, dss in diesem eispie die Lgerrektionen nicht vor estimmt werden müssen, wenn mn nur n den Schnittgrößen interessiert ist. Wendet mn nämich die Geichgewichtsedingungen uf den Teiken rechts vom Schnitt n, dnn erhät mn uerkrft und iegemoment unmitter. eispie 7.3 Der eidseitig geenkig gegerte ken nch. 7.9 wird durch ein eingeprägtes oment 0 estet. n estimme die Schnittgrößen. Lösung Wir ermitten zuerst die Lgerrektionen us den Geichgewichtsedingungen m gesmten ken (. 7.9). it H = V (Richtung der Lgerkrft unter 45 zur Vertiken) erhten wir 7.3 : 0 V =0 V = H = 0, : V + 0 =0 V = 0, : H H =0 H = 0 Die Kräfte und iden ein Kräftepr mit dem oment 0. Nun schneiden wir den ken n einer eieigen Stee inks vom ngriffspunkt des eingeprägten oments ( <) und e-.

14 82 7 ken, Rhmen, ogen H V V N H H S N 0 V c N S H 0 d V e. 7.9 trchten den inken Teiken (. 7.9c). Nch Einzeichnen der positiven Schnittgrößen iefert ds Geichgewicht : H + N =0 N = H = 0 : V =0 = V = 0, S : V + =0 = V = 0., Um die Schnittgrößen rechts vom ngriffspunkt des eingeprägten oments zu erhten, schneiden wir den ken n einer Stee > und etrchten nun zweckmäßig den rechten Teiken nch. 7.9d (echte: negtives Schnittufer!). Die Geichgewichtsedingungen iefern dnn : N + H =0 N = H = 0,

15 7.2 Schnittgrößen m gerden ken 83 : + V =0 = V = 0, S : ( )V =0 =( ) V = 0. Die Schnittgrößen sind in. 7.9e grfisch drgestet. n der Stee = (ngriffspunkt des eingeprägten oments) ht die omenteninie einen Sprung der Größe 0. Die eiden Gerden inks zw. rechts von = hen die geiche Steigung, d die uerkrft in eiden ereichen geich groß ist (siehe (7.3)). uch die Normkrft (Druck) ist im gesmten ken geich. Es sei druf hingewiesen, dss der ngriffspunkt des eingeprägten oments ei der Ermittung der Lgerrektionen nicht in die Rechnung eingeht. Dgegen ist der Veruf des iegemoments vom ngriffspunkt hängig Zusmmenhng zwischen estung und Schnittgrößen Zwischen der uerkrft und dem iegemoment esteht ein Zusmmenhng, den wir für Einzekräfte mit (7.3) ereits hergeeitet hen. Wir woen nun ds Ergenis uf ken unter verteiten Lsten vergemeinern. Dzu etrchten wir ein us dem ken (. 7.0) herusgeschnittenes Eement der infinitesimen Länge d (. 7.0), ei dem wegen d 0dieStreckenst q s konstnt ngesehen werden knn (vg. schnitt 4.). Die m keneement ngreifende Streckenst denken wir uns durch eine Einzest vom etrg d = q d ersetzt. n der Schnittstee wirken die uerkrft und ds iegemoment. q() d =q()d d =q()d +d C d d d +d

16 84 7 ken, Rhmen, ogen n der Schnittstee + d hen sich die Schnittgrößen durch ds ortschreiten in kenängsrichtung um die infinitesimen Werte d und d geändert. Dmit uten die Geichgewichtsedingungen für ds keneement : q d ( +d) =0 q d +d =0, (7.4) C : d+ d 2 q d + +d =0 d +d + q d d =0. (7.5) 2 us (7.4) fogt d d = q. (7.6) Die Änderung der uerkrft ist demnch durch die negtive Streckenst gegeen. In (7.5) ist ds Gied mit d d im Vergeich zu den Giedern mit d zw. d kein von höherer Ordnung und knn dher vernchässigt werden. Dmit erhten wir d d =. (7.7) Die eitung des iegemoments nch der Koordinte iefert somit die uerkrft. Den geichen Zusmmenhng hen wir mit (7.3) ereits für Einzekräfte erhten. Differentition von (7.7) und Einsetzen von (7.6) iefert ferner d 2 = q. (7.8) d2 Die differentieen eziehungen (7.6) und (7.7) ssen sich unter nderem zur quittiven estimmung von Schnittgrößenveräufen und ei Kontroen verwenden. Ist zum eispie q = const, so iefert (7.6) einen ineren Veruf für (eitung einer ineren

17 7.2 Schnittgrößen m gerden ken 85 unktion = Konstnte!). Ds iegemoment veräuft dnn wegen (7.7) qudrtisch. In der fogenden Tee sind die Zusmmenhänge zwischen estung und Schnittgrößen für verschiedene q-veräufe zusmmengestet: q 0 konstnt iner konstnt iner qudrtische Pre iner qudrtische Pre kuische Pre Nch (7.7) ist ein ß für den nstieg der -Linie. Verschwindet n einer Stee die uerkrft, so ht ds iegemoment dort ein Etremum, d.h. ein imum oder inimum (nstieg geich Nu). Dies ist von prktischer edeutung, d die wichtigste Größe ei der usegung eines kens in der Rege ds mime iegemoment ist. Es sei er druf hingewiesen, dss ds soute imum des iegemoments uch n einem kenende oder n einem edende uftreten knn, wo die uerkrft oder ds iegemoment einen Sprung hen Integrtion und Rndedingungen Die eziehungen (7.6) und (7.7) können wir uch zur estimmung der Schnittgrößen us der estung q verwenden. Durch Integrtion fogt = q d + C, (7.9) = d + C 2. (7.0) Die zwei Integrtionskonstnten C und C 2 müssen us zwei Rndedingungen erechnet werden. Diese edingungen mchen eine ussge üer die Größe von zw. n den Rändern eines kens. ür die wichtigsten Lgerungsrten git:

18 86 7 ken, Rhmen, ogen Lger geenkiges Lger 0 0 Preführung Schieehüse Einspnnung freies Ende 0 0 (7.) us dieser Tee knn ei gegeener Lgerung eines kens entnommen werden, weche Schnittgrößen dort Nu sind. ussgen 0 und/oder 0 ssen sich s Rndedingungen nicht verwenden. Im Gegenstz zum isherigen Vorgehen (Geichgewicht m geschnittenen ken, schnitt 7.2.) müssen ei der estimmung von und durch Integrtion die Lgerrektionen nicht ermittet werden. Sie können viemehr us den Ergenissen geesen werden. Wenn die Lgerrektionen erdings vor der Ermittung der Schnittgrößen schon eknnt sind, können sie uch zur estimmung der Integrtionskonstnten verwendet werden. Zur Iustrtion des Verfhrens etrchten wir in. 7. c drei geiche ken unter geicher Lst ei unterschiedicher Lgerung. it q = = const ergit sich us (7.9) und (7.0) für e drei äe = + C, = C + C 2. Wegen der unterschiedichen Lgerungen sind die Rndedingungen und dmit uch die Integrtionskonstnten C und C 2 für die äe ) is c) verschieden. us den Rndedingungen ) (0) = 0, ) () =0, c) (0) = 0,

19 7.2 Schnittgrößen m gerden ken 87 ) () =0, ) () =0, c) (0) = 0 fogen die Integrtionskonstnten: ) 0 = C 2, ) 0 = + C, c) 0 = C, ), ), c) 0 = C + C 2 C = 2, C =, C 2 =0, C 2 = 2 2, C =0, C 2 = m = c Dmit erhät mn die Schnittgrößen (. 7. c) ) = ( 2 2 ), = 2 2 ( ), ( ) = ), = ( 2 2 ) 2,

20 88 7 ken, Rhmen, ogen c) =, = ( ) ] 2 2 [ 2. Dei hen wir die usdrücke in den Kmmern so umgeformt, dss sie dimensionsos sind. eim eiderseits geenkig gegerten ken tritt ds mime iegemoment m = 2 /8inder kenmitte ( = 0) uf. us und n den Rändern knn mn die Lgerrektionen esen: ) = (0) = 2, = () = 2, ) = (0) =, = (0) = 2 2, c) = (0) = 2 2, = () =. Der Schnittkrftveruf knn uch ei Streckensten eementr durch Geichgewicht m geschnittenen ken estimmt werden. Um dies zu zeigen, etrchten wir in. 7.2 noch einm ). Wir schneiden n einer eieigen Stee (. 7.2) und fssen die uf den Teiken wirkende Streckenst zu ihrer Resutierenden zusmmen (mn echte, dss die Streckenst nicht vor dem Schnitt zu einer Resutierenden zusmmengefsst werden drf). Die Geichgewichtsedingungen iefern mit der ereits eknnten Lgerkrft die Schnittgrößen: : =0 = = ( 2 2 ), S : =0 = 2 2 = 2 2 ( ). = q0 2 = 2 S. 7.2

21 7.2 Schnittgrößen m gerden ken 89 Diese ethode ist nur dnn zweckmäßig, wenn die Resutierende der Streckenst m Teiken sowie die Lge ihrer Wirkungsinie einfch ngegeen werden können. eispie 7.4 Der einseitig eingespnnte ken nch. 7.3 trägt eine dreieckförmige Streckenst. n estimme die Schnittgrößen durch Integrtion z q() 2 qudrtische Pre 2 6 kuische Pre c. 7.3 q() z 2 d qudrtische Pre 2 6 kuische Pre Lösung Die dreieckförmige Streckenst genügt der Gerdengeichung q() = ( )/. Drus erhten wir durch Integrtion entsprechend (7.9) und (7.0) () = 2 ( )2 + C, () = 6 ( )3 + C + C 2. Die Rndedingungen () = 0 und () = 0 iefern die Integrtionskonstnten C = 0 und C 2 = 0. Dmit werden die Schnittgrößen (. 7.3) () = 2 ( ) 2 (, () = 6 2 ) 3. Die uerkrftinie ht ei = die Steigung Nu, wei dort die Streckenst Nu ist ( () = q() = 0). Entsprechend ht die

22 90 7 ken, Rhmen, ogen omenteninie ei = die Steigung Nu, wei dort die uerkrft Nu ist ( () =() =0). In diesem eispie ist es zweckmäßig, die -chse nch inks zeigen zu ssen (. 7.3c). Dnn git nämich die einfchere Drsteung q() = /, und die Integrtion iefert mit den Rndedingungen (0) = 0 und (0) = 0 die Schnittgrößen (. 7.3d) () = ( ) 2 2 q ( 0, () = 6 2 ) 3. n erkennt, dss sich ei dieser Wh des Koordintensystems ds Vorzeichen der uerkrft umkehrt (vg. schnitt 7.). Es sei druf hingewiesen, dss die Schnittgrößen uch sehr einfch durch Geichgewicht m geschnittenen ken estimmt werden können Üergngsedingungen ei mehreren edern Häufig ist die estung q() nichtüer den gesmten ken durch eine einzige unktion gegeen, sondern sie wird in Teiereichen durch verschiedene unktionen drgestet. Dnn muss der ken in eder unterteit werden, und die Integrtion der differentieen eziehungen (7.6) und (7.7) ht ereichsweise zu erfogen. Zur Iustrtion etrchten wir den einseitig eingespnnten ken nch. 7.4, dessen estung durch 0 für 0 < q() = für << gegeen ist. Durch ereichsweise Integrtion in den edern I (0 <) und II ( <<)erhtenwir I: q I =0, I = C, I = C + C 2, II: q II =, II = + C 3, II = C 3 + C 4. (7.2) Die zwei Rndedingungen

23 7.2 Schnittgrößen m gerden ken 9 II () =0, II () = 0 (7.3) reichen zur erechnung der vier Integrtionskonstnten C is C 4 nicht us. Wir müssen dher zusätziche Geichungen verwenden, die ds Verhten der Schnittgrößen n der Stee = des Üergngs vom ereich I zum ereich II eschreien. Diese Geichungen heißen Üergngsedingungen I II I. 7.5 II 0 III D n der Stee = weder eine Einzekrft noch ein oment ngreift, sind die Schnittgrößen unmitter inks und rechts von der Üergngsstee geich, und dmit sind die Schnittkrftinien dort stetig (wegen d/d = q ht ei unstetigem q einen Knick). Die Üergngsedingungen uten so I () = II (), I () = II (). (7.4) Einsetzen von (7.2) in die Rnd- und die Üergngsedingungen (7.3) und (7.4) iefert die Integrtionskonstnten C = ( ), C 3 =, C 2 = 2 ( 2 2 ), C 4 = 2 2. s weiteres eispie etrchten wir den ken in. 7.5, der durch eine Einzekrft n der Stee = und ein Einzemoment 0 n der Stee = estet ist. uch hier muss eine ereichseinteiung stttfinden. n der Stee = ht in diesem die uerkrftinie einen Sprung der Größe,während die omenteninie stetig ist. Die Üergngsedingungen uten dort II () = I (), II () = I (). (7.5)

24 92 7 ken, Rhmen, ogen Entsprechend ewirkt ein oment 0 n der Stee = einen Sprung der Größe 0 in der omenteninie während die uerkrft stetig ist. Dher geten dort die Üergngsedingungen III () = II (), III () = II () 0. (7.6) Die fogende Tee zeigt zusmmenfssend, in wechen äen Sprünge oder Knicke in den Schnittkrftinien infoge von Unstetigkeiten in der estung uftreten. Lst Knick Sprung Knick 0 Sprung üssen wir einen ken ei der estimmung der Schnittgrößen in n ereiche einteien, so ergeen sich ei der Integrtion der differentieen eziehungen 2 n Integrtionskonstnten. Sie sind us 2 n 2 Üergngsedingungen und 2 Rndedingungen zu estimmen. ei mehrteiigen Trgwerken verschwindet n einem Geenk ds iegemoment: = 0. Die uerkrft ist dort im gemeinen ungeich Nu. Dgegen sind ei einer Preführung (uerkrftgeenk) = 0 und 0.ür die Schnittgrößen n den Verindungseementen geten so die in der fogenden Tee zusmmengesteten ussgen. Verindungseement G (7.7)

25 7.2 Schnittgrößen m gerden ken 93 ei der estimmung der Integrtionskonstnten tritt dnn eine edingung (iegemoment oder uerkrft geich Nu) n die Stee einer Üergngsedingung. Greifen n den Verindungseementen keine Einzesten n, so sind die Schnittkrftinien stetig, und es ist dort keine zusätziche ereichseinteiung nötig. Entsprechendes git ei einer Streckenst, die inks und rechts von einem Verindungseement durch die geiche unktion eschrieen wird. ei vieen edern müssen zur estimmung der Integrtionskonstnten Geichungssysteme mit vieen Uneknnten geöst werden. Dher ist dieses Verfhren nur für Trgwerke mit wenigen edern zu empfehen. eispie 7.5 Ein eiderseits geenkig gegerter ken wird durch eine Einzekrft und durch eine dreieckförmige Streckenst estet (. 7.6). Gesucht sind die Schnittgrößen. 7.5 qudrtische Pre I II kuische Pre Lösung Wegen der unstetigen estung teien wir den ken in zwei eder I und II (. 7.6). Sttt der Koordinte für den gesmten ken verwenden wir im ed I die Koordinte und im ed II die Koordinte 2. Dnn erhten wir durch ereichsweise Integrtion nch (7.9) und (7.0): c

26 94 7 ken, Rhmen, ogen I: q I =0, II: q II = 2, I = C, II = C 3, I = C + C 2, II = C C 4. Die Rnd- und die Üergngsedingungen uten I ( =0)=0, II ( 2 = ) =0, II ( 2 =0)= I ( = ), II ( 2 =0)= I ( = ). Einsetzen iefert nch Zwischenrechnung die Integrtionskonstnten ( ) C = 6 +, C 2 =0, ( C 3 = 6 ), C 4 = und dmit die Schnittgrößen (. 7.6c) ( ) I = 6 +, 2 ( 2 II = ), ( ) I = 6 +, ( ) ( 2 II = ) ( ) eispie 7.6 ür den Gererträger nch. 7.7 estimme mn die Schnittkrftinien. Lösung n der Stee des Lgers muss eine ereichseinteiung vorgenommen werden (Lgerkrft und unstetiges q). Eine ereichsteiung m Geenk ist dgegen nicht erforderich, d inks und rechts vom Geenk die äußere estung durch ein und die-

27 7.2 Schnittgrößen m gerden ken /2 G I II 8 2 G C c qudrtische Pre see unktion q = gegeen ist. In den eiden edern I und II verwenden wir die Koordinten und 2 (. 7.7). ereichsweise Integrtion iefert dnn I: q I =, II: q II =0, I = + C, II = C 3, I = C + C 2, II = C C 4. us den vier edingungen I ( =0)=0, II ( 2 = ) = 0 (Rndedingungen), I ( = 3 2 )= II( 2 =0) (Üergngsedingung), I ( = ) = 0 (iegemoment m Geenk geich Nu) können die vier Integrtionskonstnten erechnet werden: C = 2, C 2 =0, C 3 = 3 8, C 4 = Dmit uten die Schnittgrößen (. 7.7c) I = + 2, II = 3 8,

28 96 7 ken, Rhmen, ogen I = , II = 3 8 ( 2 ). Zur Kontroe esen wir us der uerkrftinie die Lgerkräfte : = I ( =0)= 2, = II ( 2 =0) I ( = 3 2 )= 8, C = II ( 2 = ) = 3 8. Ihre Summe hät der Gesmtestung 3 /2 ds Geichgewicht öpp-symo Die ereichsweise Integrtion nch schnitt ist schon ei zwei edern mit einigem ufwnd verunden. Die reit ässt sich jedoch reduzieren, wenn mn sich des Kmmer-Symos nch ugust öpp ( ) edient (im ngesächsischen Sprchrum wird ds Kmmer-Symo meist nch cuey ennnt). it seiner Hife können Unstetigkeiten wie Sprünge oder Knicke einfch eschrieen werden. Ds öpp-symo, gekennzeichnet durch spitze Kmmern, ist definiert durch 0 für <, n = ( ) n für >. Insesondere eschreit 0 für < 0 = für > (7.8) (7.9) einen Sprung der Größe n der Stee =. ei der Differentition und ei der Integrtion knn ds Kmmer-Symo wie eine runde Kmmer ufgefsst werden. Es geten dher die Rechenregen

29 d d n = n n, n d = n + n+ + C. 7.2 Schnittgrößen m gerden ken 97 (7.20) Eine konstnte Streckenst, die n der Stee = eginnt (. 7.8), knn somit nch (7.9) im gesmten ereich durch die eine unktion q() = 0 (7.2) eschrieen werden. Entsprechend stet q() = q (7.22) nch (7.8) eine der Stee = iner wchsende Streckenst dr (. 7.8). q 0 d e. 7.8 = c Eine konstnte Streckenst, die n der Stee =0eginnt und ei = endet, erhät mn, wenn mn zwei Lstfäe nch. 7.8c üergert (superponiert). Dementsprechend wird sie durch q() = 0 drgestet.

30 98 7 ken, Rhmen, ogen Wirken Einzekräfte (Einzemomente), dnn treten im uerkrftveruf (omentenveruf) Sprünge uf. Diese müssen ei der Integrtion der differentieen eziehungen mit dem öpp- Symo zusätzich erücksichtigt werden. So verurscht eine Einzekrft n der Stee = (. 7.8d) einen Sprung der Größe in der uerkrft, der sich s () = 0 (7.23) schreien ässt. Ein Sprung im iegemoment infoge eines Einzemoments 0 n der Stee = (. 7.8e) wird schießich durch () = 0 0 (7.24) erfsst. Der Vortei der Verwendung des öpp-symos esteht drin, dss keine Einteiung in mehrere eder mehr vorgenommen werden muss. Nch ufsteen der estungsfunktion q() knn die Integrtion form nch (7.9) und (7.0) durchgeführt werden. Die zwei Integrtionskonstnten werden us zwei Rndedingungen estimmt. Die Üergngsedingungen n Unstetigkeitssteen ruchen nicht erücksichtigt zu werden: sie sind utomtisch erfüt. 7.7 eispie 7.7 Der ken nch. 7.9 wird durch ein Einzemoment und eine Dreiecksst estet. Es sind die Schnittgrößen zu estimmen. Lösung Zuerst steen wir die Streckenst mit Hife des öpp- Symos dr. Eine der Stee =2 iner nwchsende Lst wird nog zu (7.22) durch q() = 2 eschrieen. Diese Geichung iefert uch eine estung im ereich >3. D m ken dort jedoch keine estung wirkt, müssen wir in diesem ereich einen konstnten ntei 3 0 und einen ineren ntei 3 / ziehen (. 7.9) und

31 7.2 Schnittgrößen m gerden ken c. 7.9 erhten somit q() = Wir üerzeugen uns dvon, dss diese Drsteung im ereich >3 ttsächich die Streckenst q = 0 iefert: q() = ( 2 ) ( 3 ) =0 für >3. Unter erücksichtigung des Sprunges im omentenveruf infoge 0 (Drehrichtung echten) n der Stee = iefert die Integrtion nch (7.9) und (7.0) () = C, () = C + C Die Integrtionskonstnten C und C 2 estimmen wir us den

32 200 7 ken, Rhmen, ogen Rndedingungen: (0) = 0 C 2 =0, () =0 6 ( 2 )3 + 2 ( 3 )2 + ( 3 )3 6 + C + 0 =0 C = Dmit uten die Schnittgrößen (. 7.9c) () = , () = ( 6 q ) Punktweise Ermittung der Schnittgrößen In vieen äen ist es nicht erforderich, die Schnittgrößenveräufe in nytischer orm zu ermitten. Es ist dnn hinreichend, die Schnittgrößen nur n usgezeichneten Steen des kens zu erechnen. Die erechneten Punkte der Schnittkrftinien werden nschießend durch die der jeweiigen estung entsprechenden Veräufe verunden. Zur Eräuterung des Verfhrens etrchten wir den ken in Zuerst werden die Lgerkräfte us den Geichgewichtsedingungen für den gesmten ken erechnet (. 7.20): : q0 + 0 =0 = ( ) 0, 6 : 3 2 q =0 = ( +6 ) 0. 6 n den Steen =, 2, 4 und 5 treten Knicke oder

33 7.2 Schnittgrößen m gerden ken 20 0 I II III IV V 2 S 0 S e 0 c d Sprünge in den Schnittkrftinien uf. Dort estimmen wir nun die Schnittgrößen us den Geichgewichtsedingungen für den jeweis freigeschnittenen kentei. So erhten wir durch Schneiden ei = unmitter vor dem ngriffspunkt der Krft (. 7.20c): : =0 () = = ( ) 0 6 inks neen der Krft, S : + =0 () = = 6 ( ). Entsprechend iefert ein Schnitt ei = 2 (. 7.20d): : =0 (2 ) = ( +6 + ) 0, 6 S : =0 (2 ) = 3 ( ).

34 202 7 ken, Rhmen, ogen In geicher Weise finden wir (4 ) = ( 6 + ) 0, 6 (4 ) = 3 ( ), (5 ) =(4 ), (5 ) = 6 ( ) rechts neen dem oment 0. In den ereichen I, II, IV und V ist die Streckenst Nu. Dher ist dort die uerkrft jeweis konstnt. Wegen q = = const ist im ereich III iner veränderich. n der Stee = tritt infoge der Einzekrft ein Sprung im uerkrftveruf uf. Entsprechend ist ds iegemoment in den ereichen I, II, IV und V iner veränderich, ht einen Knick ei = und veräuft im ereich III nch einer qudrtischen Pre (vg. uch Tee in schnitt 7.2.2). D der uerkrftveruf n den Steen =2 und =4 stetig ist, ht der omentenveruf wegen =d/d n diesen Steen keine Knicke. ei =5 ewirkt ds oment 0 einen Sprung in der omenteninie. idung 7.20e zeigt die Schnittkrftinien. Ds mime iegemoment tritt dort uf, wo die uerkrft verschwindet. 7.8 eispie 7.8 ür ds Trgwerk nch. 7.2 ( =0, 5m, = 60 kn/m, =80kN, 0 = 0 knm) estimme mn die Schnittkrftinien. Lösung Zuerst ermitten wir die Lgerrektionen und die Geenkkrft (e Horizontkomponenten sind Nu) us dem Geichgewicht n den freigeschnittenen Teiken (. 7.2): 2 : G=0 G = = 0 kn, 2 8 G : =0 = =80kN,

35 7.2 Schnittgrößen m gerden ken G [kn] qudrtische Pre G 2 2 G [knm] G c 0 kuische Pre qudrtische Pre 2 : 2 G+ + =0 = = 50 knm, : G + =0 = =90kN. Durch geeignete Schnitte erechnen wir nschießend fogende Schnittgrößen: (2 ) = { q0 = 30 kn + =50kN (4 ) = + 2 = 0 kn, { G = 0 kn (5 ) = G = 90 kn inks neen Lger, rechts neen Lger, inks neen Krft, rechts neen Krft, (6 ) = = 90 kn,

36 204 7 ken, Rhmen, ogen 2 3 = 0 knm (2 ) = = 20 knm inks neen Lger, rechts neen Lger, (5 ) =G= 5kNm, (6 ) = = 50 knm. it (0) = 0, (0) = 0 und (4 ) =0können wir nun durch Verinden dieser Punkte mit den zutreffenden Gerden zw. Pren die Schnittkrftinien zeichnen (. 7.2c). Dei sind die differentieen eziehungen zu echten: n der Stee = 0 hen wegen q =0zw. = 0 die qudrtische Pre für zw. die kuische Pre für jeweis eine horizonte Tngente, n der Stee = 4 geht eim omentenveruf die qudrtische Pre ohne Knick in die Gerde üer (uerkrftinie ist dort stetig) Schnittgrößen ei Rhmen und ogen Die Üeregungen zur estimmung der Schnittgrößen n ken ssen sich uf Rhmen und ögen vergemeinern. Die differentieen eziehungen nch schnitt geten dei erdings nur für gerde Rhmenteie (nicht für ögen). Wir woen uns hier vorzugsweise mit der punktweisen Ermittung der Schnittgrößen eschäftigen. Entsprechend dem Vorgehen in schnitt werden die Schnittgrößen n usgezeichneten Punkten des Rhmens oder ogens us dem Geichgewicht m geschnittenen Rhmen- oder ogentei erechnet. Die Vorzeichen werden dei nch schnitt 7. üer die gestrichete ser festgeegt. D ei Rhmen in der Rege uch ei reiner uerestung der Rhmenteie Normkräfte uftreten, erechnen wir hier stets e drei Schnittgrößen.

37 7.3 Schnittgrößen ei Rhmen und ogen 205 C D C 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C N 2 C N 2 C 2 3 C N C N C 2 C C ei Rhmen ist der Üergng der Schnittgrößen n den Ecken esonders zu etrchten. Wir untersuchen dies n der unesteten rechtwinkigen Ecke C des Rhmens in us dem Geichgewicht n der freigeschnittenen Ecke (. 7.22) fogt N C = 2 C, C = N 2 C, C = 2 C. (7.25) Während ds iegemoment ohne Änderung üertrgen wird, gehen die uerkrft in die Normkrft und die Normkrft in die uerkrft üer. Tritt n einer Rhmenecke ein schiefer Winke uf, so muss mn die zu üertrgenden Schnittkräfte nch den jeweiigen Richtungen zeregen. eispie 7.9 ür den Rhmen nch estimme mn die Schnittgrößen. Lösung us den Geichgewichtsedingungen m gesmten Rhmen (. 7.23) erhät mn die Lgerkräfte zu 7.9 = 5 2, V = 3 2, H =2. Zur estegung der Vorzeichen der Schnittgrößen führen wir die gestrichete ser ein. Die Schnittkrftinien werden durch punktweise Ermittung konstruiert. Durch geeignete Schnitte erechnen

38 206 7 ken, Rhmen, ogen =/ E 2 C 3 4 D H V N - Linie - Linie - Linie c qudrtische Pre wir fogende Schnittgrößen: N C =0, C =, C =, N 2 C = = 5 2, 2 C =0, 2 C =0, N 3 D =0, 3 D = + = 3 2, 3 D = 3 +2=2. eim Üergng vom ereich 3 zum ereich 4 git nog zu (7.25) N 4 D = 3 D = 3 2, 4 D = N 3 D =0, 4 D = 3 D =2. Unter echtung von N E =0, E =, E =0, N 2 = = 5 2, 2 =0, 2 =0, N 4 = V = 3 2, 4 = H = 2, 4 =0 erhät mn die in. 7.23c drgesteten Schnittkrftinien. Zur Proe knn mn die Geichgewichtsedingungen für den freigeschnittenen Verzweigungspunkt C des Rhmens verwenden.

39 7.3 Schnittgrößen ei Rhmen und ogen 207 Ds eispie der Schnittgrößen in vertiker Richtung zeigt, dss die entsprechende Geichgewichtsdingung erfüt ist: V C V 3 C N 2 C = =0. eispie 7.0 n estimme die Schnittkrftinien für die ken des in drgesteten Trgwerks S G N - Linie H 2 2 V 45 - Linie 2 H G V V S 45 C G H 2 2 c H V - Linie d Lösung Wir ermitten zuerst die Lgerrektionen us den Geichgewichtsedingungen m gesmten Trgwerk (. 7.24). it V = H erhten wir : 2V +2 H +2 =0 V = H = 2,

40 208 7 ken, Rhmen, ogen : H + H =0 H = 2, : 2V +2 H 4 =0 V = 3 2. nschießend erechnen wir die Stkrft und die Geenkkrft us den Geichgewichtsedingungen für den vertiken ken (. 7.24c): C : GH H =0 G H = 2, 2 G: 2H 2 S =0 S = 2, 2 : V + 2 S G V =0 G V = 5 2. Zur estegung der Vorzeichen der Schnittgrößen führen wir die gestricheten sern nch ein. echtet mn, dss es infoge der Horizont- und der Vertikkomponente der Stkrft S und der Geenkkrft (G H, G V ) zu Sprüngen ei Normkrft und ei uerkrft kommt, dnn können diese Schnittkrftinien ohne weitere Rechnung skizziert werden. ür die omenteninie ietet sich eine punktweise Ermittung n (. 7.24d). 7. eispie 7. Der Kreisogenträger nch wird durch eine Einzekrft estet. Gesucht sind die Schnittgrößen. Lösung Die Lgerkräfte fogen us den Geichgewichtsedingungen m gesmten ogen (. 7.25) zu = 4, V = = 4, H =. Nch Einführen der gestricheten ser werden die Schnittgrößen durch Geichgewichtsetrchtungen n freigeschnittenen ogenteien estimmt. Zunächst führen wir einen Schnitt n einer eieigen Stee ϕ im ereich I (0 <ϕ<30 ). Die Geichgewichtsedingungen iefern hier nch. 7.25c

41 7.3 Schnittgrößen ei Rhmen und ogen 209 II r/2 30 r I V H r sin ϕ S N r ϕ ϕ N r S ψ r sin ψ V H c r( cos ϕ) d r( cos ψ) ( ) e N - Linie ( ) r 4 ( ) Linie - Linie : N + V cos ϕ H sin ϕ =0 N = ( sin ϕ + 4 cos ϕ), : V sin ϕ H cos ϕ =0 = ( cos ϕ 4 sin ϕ), S : r sin ϕh r( cos ϕ) V =0 = ( sin ϕ + 4 cos ϕ 4) r.

42 20 7 ken, Rhmen, ogen D der Winke ϕ eieig ist, erhät mn somit den Veruf der Schnittgrößen im gesmten ereich I. Entsprechend findet mn mit dem Hifswinke ψ = π ϕ im ereich II (30 <ϕ<80 ) nch. 7.25d : N + cos ψ =0 : + sin ψ =0 N = 4 cos ψ = 4 cos ϕ, = 4 sin ψ = 4 sin ϕ, S : + r( cos ψ) =0 = 4 ( cos ψ)r = 4 ( + cos ϕ)r. Die Schnittgrößen sind in. 7.25e senkrecht zum ogen ufgetrgen. Die Sprünge ΔN = /2 in der Normkrft und Δ = 3 /2 in der uerkrft ei ϕ =30 entsprechen den Komponenten von norm und tngenti zum ogen Schnittgrößen ei räumichentrgwerken Wir hen uns isher ei der Ermittung der Schnittgrößen der Einfchheit her uf eene Trgwerke eschränkt, die durch Kräftegruppen in ihrer Eene estet sind. Nun woen wir uch räumich estete eene Trgwerke sowie räumichetrgwerke untersuchen. s einfches eispie etrchten wir einen einseitig eingespnnten ken, der durch eieig gerichtete Kräfte j und omente j estet wird (. 7.26). Wie in schnitt 7. egen wir die inneren Kräfte durch einen Schnitt senkrecht zur kenchse frei. Die üer die uerschnittsfäche verteiten Kräfte können wieder durch ihre Resutierende R und ihr resutierendes oment (ezügich des Schwerpunkts S der uerschnittsfäche) ersetzt werden (. 7.26). Dei esitzen R und nun im gemei-

43 7.4 Schnittgrößen ei räumichen Trgwerken y z 2 2 y S z R y y y S z N z T z nen Komponenten in en drei Koordintenrichtungen: N T R =, =. (7.26) y y z z Die Krftkomponente in -Richtung (norm zur Schnitteene) ist wie in schnitt 7. die Normkrft N. Die Schnittkräfte in y- und in z-richtung (senkrecht zur kenchse) sind die uerkräfte y und z. Die Komponente des omentes um die -chse heißt Torsionsmoment T ;sieführt eim estischen ken (vg. nd 2) zu einer Verdrehung. Dneen treten im uerschnitt noch die eiden iegemomente y und z uf. Die Vorzeichenkonvention der Schnittgrößen utet wie in schnitt 7.: Positive Schnittgrößen zeigen m positiven Schnittufer in positive Koordintenrichtungen. In sind e Schnittgrößen mit ihrem positiven Richtungssinn eingezeichnet. ei gewinketen Trgwerken verwendet mn zweckmäßigerweise ein eigenes Koordintensystem für jeden Teiereich. Die Schnittgrößen werden wie isher us den Geichgewichtsedingungen m geschnittenen System estimmt.

44 22 7 ken, Rhmen, ogen 7.2 eispie 7.2 Ds räumiche Trgwerk nch wird durch eine Krft estet. Gesucht sind die Schnittgrößen z c y z z y y y y z z c N T z z 2 y y N 3 T N - Linie c d - Linie y e y T - Linie - Linie z c c z y z c Lösung ei einem Schnitt n einer eieigen Stee durch ds Trgwerk greifen m geschnittenen Teisystem keine Lgerrektionen n. Wenn mn die Geichgewichtsedingungen zur Ermittung der Schnittgrößen für dieses Teisystem ufstet, dnn ist es nicht nötig, die Lgerrektionen vor zu estimmen. Zur estegung der Vorzeichen der Schnittgrößen in den drei

45 7.4 Schnittgrößen ei räumichen Trgwerken 23 ereichen is 3 verwenden wir drei Koordintensysteme (. 7.27). Zunächst führen wir einen Schnitt n einer eieigen Stee im ereich. n der Schnittstee werden die Schnittgrößen mit positivem Richtungssinn (negtives Schnittufer!) eingezeichnet, vg us den Geichgewichtsedingungen (3.34) fogt: iy =0: y =0 y =, iz =0:(c ) z =0 z =(c ). e nderen Schnittgrößen sind im ereich geich Nu. Entsprechend erhät mn ei einem Schnitt n einer Stee im ereich 2, vg c (die Schnittgrößen, die Nu sind, sind dei der Üersichtichkeit her weggessen worden), iy =0: y =0 y =, i =0: c T =0 T = c, iz =0: ( ) z =0 z =( ), zw. im ereich 3, vg d, i =0: N =0 N =, iy =0: c y =0 y = c, iz =0: z =0 z =. Die Schnittkrftinien sind in. 7.27e zusmmengestet. us den Schnittgrößen n der Einspnnstee knn mn die Lgerrektionen esen. eispie 7.3 Der eingespnnte Viertekreisogen nch wird durch eine Krft estet, die senkrecht uf der ogeneene steht. n ermitte die Schnittgrößen. 7.3

46 24 7 ken, Rhmen, ogen r r Drufsicht r ϕ r sin ϕ y S r( cos ϕ) y z T Lösung Wir schneiden den ogen n einer eieigen Stee ϕ und etrchten den rechten Teiogen (. 7.28). Zur estegung der Vorzeichen der Schnittgrößen verwenden wir ein okes, y, z-koordintensystem. n der Schnittstee S (positives Schnittufer) werden die uerkrft z, ds Torsionsmoment T sowie ds iegemoment y mit ihren positiven Richtungen in ds reikörperid eingezeichnet. Die nderen Schnittgrößen sind Nu und werden der Üersichtichkeit her im reikörperid weggessen. Die Geichgewichtsedingungen iefern dnn iz =0: z + =0 z =, (S) i =0: T + r( cos ϕ) =0 (S) iy =0: y + rsin ϕ =0 T = r( cos ϕ), y = rsin ϕ.

47 7.5 Zusmmenfssung Zusmmenfssung Die Schnittgrößen eim ken, Rhmen, ogen sind im eenen die Normkrft N, die uerkrft und ds iegemoment. Vorzeichenkonvention für Schnittgrößen: positive Schnittgrößen zeigen m positiven (negtiven) Schnittufer in positive (negtive) Koordintenrichtung. Die Schnittgrößen können mit Hife des Schnittprinzips wie fogt estimmt werden: Schnitt durch den ken (Rhmen, ogen). estegung eines Koordintensystems. Skizzieren des reikörperidesfür den etrchteten Teikörper; e äußeren Lsten sowie die Schnittgrößen (mit positivem Richtungssinn) einzeichnen. ufsteen der Geichgewichtsedingungen für den Teikörper. Im eenen sind dies 3 Geichungen, im räumichen 6 Geichungen. ufösen der Geichungen nch den uneknnten Schnittgrößen. Ds Geichungssystem ist eindeutig ösr, wenn ds Trgwerk (äußerich und innerich) sttisch estimmt ist. ei ken und gerden Rhmenteien geten im eenen die differentieen eziehungen (die oken Geichgewichtsedingungen) 7.5 = q, =. ei eknnter äußerer estung q eruen sie die Ermittung der Schnittgrößen durch Integrtion. Die dei uftretenden Integrtionskonstnten werden us den Rndedingungen zw. us den Rnd- und Üergngsedingungen estimmt. Oft ist es usreichend, die Schnittgrößen nur n usgezeichneten Steen des Trgwerks zu erechnen. Die Schnittkrftinien zwischen den usgezeichneten Steen sind dnn durch die estung im jeweiigen ereich festgeegt; eziehungen zwischen q, und echten!