Statik und Festigkeitslehre

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1 ÜUNS UND TUTORIUMSUEN ZUR VORLESUN Sttik und estigkeitsehre von Prof Dr-Ing hbi Kuhn Prof Dr-Ing hbi P Steinmnn LEHRSTUHL ÜR TECHNISCHE MECHNIK UNIVERSITÄT ERLNEN - NÜRNER Stnd: SS 2009

2 "?? %? Übungsufgben zu Sttik und estigkeitsehre 1 1 ufgbe:!?!? Von dem skizzierten Querschnitt sind der ächenschwerpunkt und der Linienschwerpunkt der Umrndung zu bestimmen c 1 ächenschwerpunkt, 2 Linienschwerpunkt 2 ufgbe: M Ein einseitig eingespnnter Rhmen wird durch eine Krft und ein Moment M bestet b 30, M, b, ufgerrektionen 3 ufgbe: Sei Ein im estger gegerter gerder ken (Länge 3) wird n der Stee durch ein Sei gehten und ist in C durch eine senkrechte Krft bestet 2 45 M C, M, ufgerrektionen in und Seikrft S

3 +, Übungsufgben zu Sttik und estigkeitsehre 2 4 ufgbe: q 0 Ein Rhmen wird durch zwei Einzekräfte und zwei Streckensten bestet Er ist in einem estger und einem Roenger gegert 2 q 0 2,, q 0 / ufgerrektionen 5 ufgbe: 1 q 0 Ein Dreigeenkbogen wird durch die zwei Einzekräfte 1 und 2 sowie die Streckenst q 0 bestet,, 1, 2 2 2, q 0 / 2 45 ufger- und eenkrektionen 6 ufgbe: 5 J " # " # 5 J / ) " # Ein System us zwei ken und zwei Stäben, die durch eenke miteinnder verbunden sind, wird durch die Krft bestet, ufgerrektionen in und D, eenk- und Stbkräfte

4 Übungsufgben zu Sttik und estigkeitsehre 3 7 ufgbe: D q C 2 E Ein Träger CD ist bei fest eingespnnt, im ereich CD greift eine konstnte Streckenst q n ei ist eine Roe reibungsfrei drehbr m Träger ngebrcht Eine weitere Roe ist bei E reibungsfrei drehbr gegert ei C ist ein Sei m Träger ngebrcht, ds über die Roen bei E und bei umgeenkt wird Ds Sei wird mit der Krft bestet q,, 3q ufgerrektionen in 8 ufgbe: q 0 45 M 1 45 Ein gerder Träger (Länge 4) wird durch eine konstnte Streckenst, eine Einzekrft 1 und ein Einzemoment M bestet Er ist in (estger) und (Roenger) gegert 2,, M, q 0 2/, ufgerrektionen, 2 Schnittrektionen mit Skizze der Veräufe

5 ) / / Übungsufgben zu Sttik und estigkeitsehre 4 9 ufgbe: Ein erber-träger wird durch eine Krft, ein Moment M 0 und eine konstnte Streckenst q 0 bestet ist eine Einspnnung, ein Roenger und ein eenk q 0, 2q 0, M 0 2q ufgerrektionen und eenkkrft, 2 Schnittrektionen mit Skizze der Veräufe 10 ufgbe: q 0 2 Ein Rhmen wird durch zwei geich große Einzekräfte und eine veränderiche Streckenst bestet In befindet sich ein Roenger, in ein estger,, q 0 / 1 ufgerrektionen, 2 Schnittrektionen mit Skizze der Veräufe 11 ufgbe: Zwei öcke (ewicht 1 und 2 ) ruhen übereinnder uf einer Ebene Der obere ock ist über eine im Schwerpunkt ngeegte, strre Stnge mit der Ebene verbunden Der Reibkoeffizient ist über geich / 5 J C 1, 2, α, µ h Wie groß sind die Krft S in der Stnge und die Krft, wenn der untere ock zu rutschen beginnt?

6 Übungsufgben zu Sttik und estigkeitsehre 5 12 ufgbe: x E, α, θ Ein sttisch bestimmt gegerter Stb (Länge, Dehnsteifigkeit E, Temperturusdehnungskoeffizient α) wird m Ende durch eine Einzekrft bestet, E,, α, Θ Verschiebung u(x) usgehend von der Differentigeichung 2 Ordnung 13 ufgbe: etrchtet wird ds unten drgestete System Es besteht us einem strren ken (Länge 6), einem Stb S (Estizitätsmodu E, Querschnittsfäche, Länge, Wärmeusdehungskoeffizient α) und einer eder (edersteifigkeit c) Der ken ist bei durch ein estger gegert Im bstnd von ist der Stb befestigt und im bstnd 6 von ist die eder befestigt Die eder ist im unbesteten Zustnd entspnnt n der Spitze des kens befindet sich im bstnd δ ein weiteres estger strrer ken c Stb S E,, 5 E,,, c 1 72 E, α, δ die notwendige Temperturänderung Θ des Stbes (die eder wird nicht erwärmt), dmit der ken gerde ds estger berührt, sowie die dnn vorherrschende Spnnung im Stb S

7 Übungsufgben zu Sttik und estigkeitsehre 6 14 ufgbe: Der strre ken ist durch zwei estische Pendestützen in und (Steifigkeit E), sowie geenkig in gegert uf den ken wirkt die Krft ein,, E E D E Prüfen Sie formemäßig ds Trgwerk uf sttische estimmtheit 2 estimmen Sie die ufgerrektionen in D, und H H 15 ufgbe: Ds betrchtete rottionssymmetrische System besteht us einem ozen (Dehnsteifigkeit E 2 ) und einer Hüse (Dehnsteifigkeit E 1, Wärmeusdehnungskoeffizient α 1 ), die durch eine strre Ptte miteinnder verbunden sind ei Umgebungstempertur sind sowoh ozen s uch Hüse kräftefrei strre Ptte ozen E 2 Hüse E 1, α 1 x 2 x 1 E 1, α 1,, Θ, E E 1 Es wird nun usschießich die Hüse um die Temperturdifferenz Θ erwärmt estimmen Sie für diesen 1 die im ozen uftretende Krft, 2 die vertike Verschiebung der strren Ptte

8 Übungsufgben zu Sttik und estigkeitsehre 7 16 ufgbe: - ) - ) Zwei Stäbe mit geicher Querschnittsfäche (jedoch verschiedene Mteriien) sind stumpf neinnder gesetzt und iegen zunächst spiefrei und spnnungsos zwischen zwei strren Wänden E 1 2, MP, E 2 0, MP, α /K, α /K, Θ 20 K, 0, 5 m 1 Spnnung in den Stäben bei Erwärmung um Θ 2 Verschiebung der gemeinsmen erührungsfäche (etrg und Richtung) 17 ufgbe: r(x 2 )r 0 e q(x 2 ) d g q(x 1 ) r 0 x 2 L x 2 L x 1 L Zwei Rundstäbe (E Modu E, Dichte, Temperturusdehnungskoeffizient α, Länge L) sind in der gezeichneten Weise unten bzw oben fest eingespnnt Der untere Stb weist einen konstnten Rdius r 0 und der obere einen veränderichen Rdius r(x 2 ) r 0 e x 2 L uf In der gezeichneten usgngssitution (geiche Referenztempertur) beträgt der Sptbstnd zwischen den Stäben d (d L) r 0, L, d, g,, E, α, Θ 1, r(x 2 ) r 0 e x 2 L 1 die erforderiche Temperturerhöhung des oberen Stbes, so dss der Spt verschwindet, 2 die Spnnungsverteiung im oberen Stb, wenn nschießend (d0) der untere Stb geichmäßig um Θ 1 erwärmt wird

9 O O O J 5?? J??? Übungsufgben zu Sttik und estigkeitsehre 8 18 ufgbe: #? ür den skizzierten Querschnitt sind die ächenmomente 2 Ordnung zu berechnen I c 1 Lge des ächenschwerpunktes ( z s ) 2 ächenträgheitsmomente (y, z System) 19 ufgbe: h y 2R R h ür den skizzierten dünnwndigen Querschnitt sind die ächenmomente 2 Ordnung zu berechnen Mitterer Rdius R, Wndstärke h R ächenträgheitsmomente (y, z System) z 20 ufgbe: egeben ist ds skizzierte L-Profi t, 5t, b 10t 1 die Lge des Schwerpunkts S, 2 die ächenträgheitsmomente I yy, I zz und ds Devitionsmoment I yz, 3 die Trägheitshuptchsen und die Huptfächenträgheitsmomente

10 O O D N O + D Übungsufgben zu Sttik und estigkeitsehre 9 21 ufgbe: Ein Träger mit I Querschnitt (I 120) wird durch eine Einzekrft und durch sein Eigengewicht bestet Der Träger ist in einem estger () und einem Roenger (C) gegert 3 kn, 1 4 m, 2 1 m, h 120 mm, Wichte γ 77, N/m 3, I yy 864 cm 4, Querschnittsfäche 34 cm 2 rößte iegespnnung 22 ufgbe: Ein Krnträger mit Rechteckquerschnitt ist bei so eingespnnt, dss seine Huptchsen gegenüber der Senkrechten bzw Wgrechten um den Winke β verdreht sind,, b, h, β rößte iegespnnung 23 ufgbe: " " uf einer qudrtischen, strren Ptte, die mit einem eingespnnten Träger verschweißt ist, wirkt der Druck p p,, b, 1 ächenträgheitsmomente für ds (y, z) Koordintensystem, Richtung der Huptchsen und Huptträgheitsmomente, 2 größte Zug und größte Druckspnnung im Träger

11 ) ) + Übungsufgben zu Sttik und estigkeitsehre ufgbe: Ein gerder Träger der Länge 3 ist durch ein estger () und ein Roenger () gegert und wird durch eine konstnte Streckenst q 0 und eine Einzekrft bestet, q 0,, EI (konst) 1 ufgerrektionen 2 Durchbiegungen w(x i ) 25 ufgbe: Ein bgewinketer Träger ist im Punkt fest eingespnnt und im Punkt durch ein Losger gegert Im wgrechten Tei wird er durch eine konstnte Streckenst q 0 bestet und im Punkt C wird ein Moment M eingeeitet, q 0, M, EI (konst) 1 ufgerrektionen 2 Durchbiegungen w(x i ) 26 ufgbe: q 0 z x EI E 2 Ein msseoser ken (Länge, iegesteifigkeit EI) ist in fest eingespnnt und in durch einen msseosen Rundstb (Länge 1, E Modu E, Rdius r (Querschnittsfäche 2 r 2 π)) bgestützt estet ist der ken durch die inere Streckenst mit dem Mximum q 0 n der Einspnnstee, q 0, E, EI, r C 1 Stbkrft und Durchbiegung w(x) 2 ufgerrektionen

12 D d D Übungsufgben zu Sttik und estigkeitsehre ufgbe: strre Scheibe M t0 1 2 Zwei Ween mit Kreis bzw Kreisringquerschnitt sind durch eine strre Scheibe miteinnder verbunden Die nderen Enden sind bei und eingespnnt n der Scheibe greift ein Moment M t0 n D, d, 1, 2, M t0, 1 Einspnnmomente M und M, 2 Verdrehwinke der strren Scheibe 28 ufgbe: M t0 h 2 h 1 M t0 Ein Träger der Länge mit dem skizzierten dünnwndigen Querschnitt wird durch ein konstntes Moment M t0 uf Torsion bensprucht M t0,,, h 2, h 1 2h 2, 1 Torsionssteifigkeit I t, 2 retive Verdrehung der Stbenden, 3 Ort und röße der mximen Schubspnnung, 4 Verwöbung u x (s)

13 )? ) D D + Übungsufgben zu Sttik und estigkeitsehre ufgbe: J Ein in einem eändefhrzeug eingesetztes Rhmeneement mit dem drgesteten Querschnitt wird mit einem Torsionsmoment M t0 bestet τ zu 40 N/mm 2, 0, N/mm 2, b 60 mm, h 2 mm 1 Torsionsmoment, bei dem im Träger die zuässige Spnnung gerde erreicht ist, 2 Driung ϑ bei τ mx τ zu 30 ufgbe: Ein eenkträger (Länge 4, konstnte iegesteifigkeit EI) ist bei eingespnnt und bei in einem Roenger gegert estet wird er durch eine konstnte Streckenst q 0 / + q 0,, EI (konst) Verschiebung w des eenkes sowie Verschiebung w C und Neigung ψ C des kenendes C erücksichtigen Sie nur die iegerbeit 31 ufgbe: - 1 Ein bei eingespnnter und in durch eine eder (ederkonstnte c) gehtener bgewinketer Träger (konstnte iegesteifigkeit EI) wird durch eine konstnte Streckenst q 0 bestet q 0,, EI (konst), c 3 EI; 2 3 Im unbesteten Zustnd eder spnnungsos 1 ufgerektionen in und, 2 Verschiebung des Punktes C erücksichtigen Sie im Träger nur die iegerbeit

14 N O Übungsufgben zu Sttik und estigkeitsehre ufgbe: - )! - ) - 1 Ein Träger (Länge 3, iegesteifigkeit EI) ist n 3 geichen Stäben (Länge b, Dehnsteifigkeit E) ufgehängt und wird durch die Krft bestet,, EI (konst), b, E (konst) Stbkräfte S 1, S 2 und S 3 erücksichtigen Sie im Träger nur die iegerbeit 33 ufgbe: 90 MP In einem utei ergibt sich der inks drgestete, ebene Spnnungszustnd y x 60 MP 20 MP 1 Zeichnen Sie den Mohrschen Spnnungskreis, 2 estimmen Sie mit Hife des Mohrschen Spnnungskreises: ) die Huptnormspnnungen σ I und σ II, sowie die Huptnormspnnungschsen (Winke α), b) die mxim uftretende Huptschubspnnung τ mx, sowie die Huptschubspnnungschsen (Winke ᾱ) 34 ufgbe: Ein Würfe (Kntenänge b) wird durch eine Krft, deren Wirkung geichmäßig über die eine äche verteit ist, bestet 1500 N, b 20 mm, ν 0, 4 1 Vergeichsspnnung σ v nch der esttänderungsenergiehypothese, wenn Verschiebungen u x und u y ungehindert mögich sind, 2 Vergeichsspnnung σ v nch der esttänderungsenergiehypothese, wenn Verschiebungen u x und u y nicht mögich sind

15 b J Übungsufgben zu Sttik und estigkeitsehre ufgbe: 10 6 N, P 3600 kw, n 110/ min, R e 350 N/mm 2, 0, N/mm 2, 10 m, ν 0, 3, ϕ zu 5 o Eine Schiffspropeerwee (Länge, Durchmesser d) wird uf Druck und Torsion bensprucht Dbei drf ein zuässiger Verdrehwinke ϕ zu nicht überschritten werden 1 zur Übertrgung von P erforderiches Torsionsmoment M t, 2 Erfordericher Durchmesser d, dmit ϕ zu nicht überschritten wird, 3 Sicherheit gegen Pstifizierung (Streckgrenze R e ) nch en 4 estigkeitshypothesen 36 ufgbe: Querschnitt: 2b Ein Stb der Länge ist in gezeichneter Weise gegert und wird durch die xie Krft bestet b,, E 1 Ds minime ächenträgheitsmoment I min, 2 der Euersche Knickf und die kritische Druckkrft krit, 3 der Trägheitsrdius i min und der Schnkheitsgrd λ, 4 den mxim zuässigen Wert mx, so dss kein Knicken uftritt

16 Übungsufgben zu Sttik und estigkeitsehre Ein fest eingespnnter Stb (Länge ) wird bezügich seines Stbiitätsverhtens untersucht Vier verschiedene Querschnitte mit geichem ächeninht werden gegenübergestet Querschnittsformen, d Verhätnis der Knickkräfte der einzenen Querschnittsformen

17 Tutoriumsufgben zu Sttik und estigkeitsehre 16 Tutoriumsufgben

18 D ) & Tutoriumsufgben zu Sttik und estigkeitsehre 17 1 ufgbe: etrchtet wird der inks drgestete Körper z Koordinten (y S und z S ) des Schwerpunkts S im gegebenen y, z- Koordintensystem y ufgbe: 2 30 M 0 ür den skizzierten ken sind die ufgerrektionen in und nytisch zu ermitten,, M ufgbe: D D -, " C n der Krnsäue ist in E der Krnrm E geenkig befestigt Er wird durch den Stb CD in wgerechter Lge gehten m Punkt hängt eine Lst mit dem ewicht mg m, g, h, ufgerrektionen bei und, eenkkrft bei E und Stbkrft

19 ) ) Tutoriumsufgben zu Sttik und estigkeitsehre 18 4 ufgbe: Ds skizzierte Trgwerk besteht us zwei ken und zwei Stäben Es wird durch eine konstnte Streckenst q 0 bestet q 0, ufgerrektionen in und sowie die Stbkräfte S 1 und S 2 5 ufgbe: Ein gerder Träger (Länge 2) ist bei eingespnnt und wird durch und M 0 bestet M 0 60,, M ufgerrektionen 2 Schnittrektionen mit Skizze der Veräufe 6 ufgbe: Ein verzweigter Träger wird durch eine konstnte Streckenst q 0 und zwei Einzekräfte und 2 bestet Die Lgerung erfogt durch ein estger () und ein Roenger (),, q 0 / 1 ufgerrektionen 2 Schnittrektionen mit Skizze der Veräufe

20 ) ) / Tutoriumsufgben zu Sttik und estigkeitsehre 19 7 ufgbe: " # Ein Träger besteht us einem gerden und einem viertekreisförmigen Tei Die estung erfogt durch, gegert ist der Träger in einem estger () und einem Roenger (), 1 ufgerrektionen 2 Schnittrektionen mit Skizze der Veräufe 8 ufgbe:! Ein Dreigeenkbogen wird durch eine iner veränderiche Streckenst (größte Intensität q 0 ) und durch eine Einzekrft bestet $ q 0,, 6q 0 1 ufgerrektionen und eenkkrft, 2 iegemomentenveruf (Skizze)

21 D ) 6? - O N O N N Tutoriumsufgben zu Sttik und estigkeitsehre 20 9 ufgbe: Ein s gewichtsos nzusehender, strrer Hken hängt in der gezeichneten Weise m Ende eines strren Trägers T und wird durch die Krft bestet b 0, 06 m, e 0, 04 m, h 0, 2 m Unter der Vorussetzung, dß n den ufgepunkten des Hkens bei und der Reibkoeffizient µ herrscht, berechne mn diesen so, dß der Hken gerde noch in Ruhe beibt 10 ufgbe: 5? D E J J ) ) O ) ) Der in der gezeichneten Weise gegerte schnke Stb mit vernchässigbrem Eigengewicht, der bei Rumtempertur gerde unbestet ist (eder entspnnt), wird uf seiner gesmten Länge um die Temperturdifferenz Θ erwärmt (die eder wird nicht erwärmt),, E, c, α, Θ 1 die Stbkrft S, 2 die Stbverängerung

22 O??? O + #?, Tutoriumsufgben zu Sttik und estigkeitsehre ufgbe: - ) I J H H - ) Ein s strr zu betrchtender ken ist im estger C gegert und wird in und D durch Stäbe gehten Im unbesteten Zustnd sind die Stäbe spnnungsfrei (Eigengewicht vernchässigt), E, α,, b 1 Stbkräfte S 1 und S 2, wenn in D die Krft wirkt, 2 erforderiche Temperturerhöhung Θ des Stbes 2, dmit (bei weiterhin wirkendem ) beide Stbkräfte geich groß sind 12 ufgbe:??? Ein uf iegung benspruchter Träger ht den skizzierten Querschnitt c ächenträgheitsmomente I yy und I zz 13 ufgbe:!?!? Ein uf iegung benspruchter Träger ht den skizzierten Querschnitt c 1 ächenträgheitsmomente I yy, I zz, I yz, 2 Huptträgheitsmomente I mx und I min, Lge der Huptträgheitschsen (Winke α)

23 ) c 4c D Tutoriumsufgben zu Sttik und estigkeitsehre ufgbe: q 0 2 Ein eenkträger mit U-Profi wird durch eine konstnte Streckenst bestet und dmit uf iegung bensprucht 6c q 0,, c c rößte positive und größte negtive iegespnnung 15 ufgbe: Ein bei eingespnnter Träger mit Rechteckquerschnitt wird durch eine senkrechte und eine wgerechte Krft bestet 3000 N, 800 mm, h 100 mm, σ zu 140 N/mm 2 Erforderiche reite b des kens, dmit die zuässige Spnnung σ zu nicht überschritten wird 16 ufgbe: C Ein bgewinketer Träger ist in einem estger () und einem Roenger () gegert estet wird der Träger durch eine konstnte Streckenst q 0 im wgerechten Tei und eine Einzekrft in C q 0, q 0,, EI 2 1 ufgerrektionen, 2 Durchbiegungen w(x i )

24 ) d h + Tutoriumsufgben zu Sttik und estigkeitsehre ufgbe: Ein gerder Träger (Länge 2) ist dreifch gegert und wird durch eine konstnte Streckenst bestet q 0,, EI (konst) 1 ufgerrektionen, 2 Durchbiegungen w(x i ) 18 ufgbe: M t0 D Eine Sthwee (Durchmesser d, Länge ) und ein dünnwndiges Kupferrohr (mitterer Durchmesser D, Wndstärke h) sind strr mit einer Scheibe verbunden estet wird die Konstruktion durch ds n der Scheibe ngreifende Momente M t0 0, 4 m, d 25 mm, D 35 mm, h 1, 5 mm, M t0 200 Nm, Sth 8, N/mm 2, Kupfer 4, N/mm 2 1 Mximspnnungen in der Sthwee und im Kupferrohr, 2 retiver Verdrehwinke zwischen den Scheiben

25 ) ) + Tutoriumsufgben zu Sttik und estigkeitsehre ufgbe: Ein bgewinketer Träger ist in zwei estgern gegert und wird durch eine iner veränderiche Streckenst (Mximwert q 0 ) bestet q 0,, EI (konst) 1 ufgerrektionen, 2 Neigungen der kenchse in den beiden Lgern erücksichtigen Sie nur die iegerbeit 20 ufgbe: - ) 5 E Ein gerder Träger (Länge 2, konstnte iegesteifigkeit EI) ist in einem estger () und einem Roenger () gegert und wird zusätzich durch ein Sei, ds in C ngreift, bgestützt Ds Sei ht die konstnte Dehnsteifigkeit E Die estung erfogt durch eine in C ngreifende Einzekrft - 1,, EI, E 1 Seikrft S, 2 Verschiebung des Krftngriffspunktes erücksichtigen Sie im Träger nur die iegerbeit

26 Tutoriumsufgben zu Sttik und estigkeitsehre ufgbe: y x 16 MP In einem utei ergibt sich der inks drgestete, ebene Spnnungszustnd 10 MP 1 Zeichnen Sie den Mohrschen Spnnungskreis, 2 estimmen Sie mit Hife des Mohrschen Spnnungskreises den sich einsteenden Spnnungszustnd für ein um 50 gegen den Uhrzeigersinn gedrehtes Koordintensystem 22 ufgbe: Ein Träger mit Rohrquerschnitt ist bei eingespnnt Über zwei m Rohr ngebrchte Hebe wirken die Kräfte 1 und 2, die den Träger uf iegung und Torsion benspruchen 1 1 kn, 2 4 1, σ zu 160 N/mm 2, 400 mm, b 1 2, D 50 mm Innendurchmesser d des Rohres, dmit die zuässige Spnnung σ zu nch der esttänderungsenergiehypothese nicht überschritten wird 23 ufgbe: q Ein Träger ist in (estger) und (Roenger) gegert und wird zusätzich durch einen Stb bgestützt Die estung erfogt durch eine konstnte Streckenst q EI Tr EI Tr, E St 2 EITr, EI St 2 min, E St, EI St min Streckenst q krit, bei der der Stb knickt Hinweis: Die Querkrftrbeit ist im Träger zu vernchässigen