Spannung, Verzerrung, Elastizitätsgesetz

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1 Kpitel 1 Spnnung, Verzerrung, Elstizitätsgesetz 1 D. Gross et l., Formeln und Aufgben zur Technischen Mechnik, DOI / _1, Springer-Verlg Berlin Heidelberg 011

2 Spnnung Spnnung, Gleichgewichtsbedingung Spnnungen nennt mn die uf die Flächeneinheit eines Schnittes bezogenen Kräfte. Der Spnnungsvektor t istdefiniertls t = df da, wobei df die Krft uf ds Flächenelement da drstellt (Einheit: 1 P = 1 N/m ). da n df Bechte: Der Spnnungsvektor und seine Komponenten hängen von der Schnittrichtung (Flächennormle n) b. Komponenten des Spnnungsvektors: σ Normlspnnung (senkrecht zur Fläche) τ t τ Schubspnnung (in der Fläche) σ n Vorzeichenfestlegung: Positive Spnnungskomponente zeigt m positiven (negtiven) Schnittufer in positive (negtive) Richtung. Räumlicher Spnnungszustnd: ist eindeutig bestimmt durch die Komponenten der Spnnungsvektoren für drei senkrecht ufeinnder stehende Schnitte. Die Spnnungskomponenten sind Komponenten des Spnnungstensors σ τ τ z σ = τ σ τ z τ z σ z τ z σ τ z τ z τ z σ τ τ z τ z σ z Es gilt (Momentengleichgewicht) τ = τ, τ z = τ z, τ z = τ z. Der Spnnungstensor ist ein smmetrischer Tensor. Stufe: τ ij = τ ji.

3 Ebener Spnnungszustnd 3 Ebener Spnnungszustnd: ist eindeutig bestimmt durch die Spnnungskomponenten für zwei senkrecht ufeinnder stehende Schnitte. Die Spnnungskomponenten in die 3. Richtung (hier z-richtung) verschwinden (σ z = τ z = τ z =0) ( ) σ = σ τ τ σ Trnsformtionsbeziehungen σ + σ σ ξ = + σ + σ σ η=. σ σ σ σ cos ϕ + τ sin ϕ, cos ϕ τ sin ϕ, σ σ τ ξη = sin ϕ + τ cos ϕ. Huptspnnungen σ τ σ τ η σ τ τ σ τ σ τ =τ τ ζη ϕ ϕ τ σ σ ζ ζ, = σ + σ τ tn ϕ = σ σ ( σ σ ) ± + τ Bechte: Die Schubspnnungen sind in diesen Schnitten Null! Die Huptspnnungsrichtungen stehen senkrecht ufeinnder: ϕ = ϕ 1 ± π/. Mimle Schubspnnung σ σ ϕ 1 ϕ σ τ m σ 0 σ 0 ( σ σ τ m = ) + τ, ϕ = ϕ ± π 4. Die Normlspnnungen hben in diesen Schnitten die Größe σ 0 =(σ + σ )/. σ 0 ϕ τ m σ 0 Invrinten I σ= σ + σ = σ ξ + σ η = + σ, II σ= σ σ τ = σ ξ σ η τ ξη = σ.

4 4 Gleichgewichtsbedingungen Mohrscher Spnnungskreis τ Richtung von σ Mittelpunkt: τ m σ m = 1 (σ + σ), ϕ τ =0 ϕ ϕ τ τ ξη σ σ η σ σ m σ σ ξ ϕ Rdius: ( σ σ ) σ + τ η ϕ ξ Die Konstruktion des Mohrschen Kreises ist bei Kenntnis von drei unbhängigen Größen (zum Beispiel σ, σ, τ oder σ, σ, ϕ ) immer möglich. Die Schubspnnung τ wird über σ ufgetrgen (τ ξη über σ ξ ). Der Trnsformtionswinkel ϕ wird im Kreis doppelt (ϕ) und in umgekehrter Richtung ufgetrgen. Gleichgewichtsbedingungen Im Rum (3D) σ + τ + τz + f =0, z τ + σ + τz divσ + f = 0. + f =0, z τ z + τz + σz + fz =0, z In der Ebene (D) wobei divσ = i ( σi σ + τ τ + σi + σ + f =0, divσ + f = 0. + f =0, ) + σiz e i. z

5 1. Verzerrung 5 1. Verzerrung Die Verzerrungen beschreiben die Änderung der Seitenlängen (Dehnungen) und der Winkel (Scherung, Winkelverzerrungen, Schiebungen) eines quderförmigen Volumenelementes. 1. Verschiebungsvektor u = ue + ve + we z P u P u, v, w = Verschiebungskomponenten Einchsiger Verzerrungszustnd z Dehnung ε = du d Zweichsiger Verzerrungszustnd d Dehnungen d ε = u, u d v d d d v ε =, Dreichsiger Verzerrungszustnd ε = u 1 ε γ 1 γz Verzerrungstensor: ε = 1 γ ε 1 γz 1 γz 1 γz εz d du Winkelverzerrung u d d d v d u γ = + v. v w, ε =, εz = z, γ = γ = u + v, γ z = γ z = v z + w, γ z = γ z = w + u z. Anmerkungen: Die Verzerrungen sind (wie die Spnnungen) Komponenten eines smmetrischen Tensors. Stufe. Dher können lle Eigenschften (Trnsformtionsbeziehungen etc.) vom Spnnungstensor sinngemäß übertrgen werden: σ ε, τ γ /, usw.. Im ebenen Verzerrungszustnd gilt ε z =0, γ z =0, γ z =0.

6 6 Elstizitätsgesetz Elstizitätsgesetz Durch ds Hookesche Elstizitätsgesetz wird die eperimentell festgestellte linere Beziehung zwischen Spnnungen und Verzerrungen usgedrückt. Seine Gültigkeit wird durch die Proportionlitätsgrenze (1-chs. σ p) begrenzt. Diese fällt bei elstisch plstischen Werkstoffen meist mit der Fließgrenze (1-chs. σ F ) zusmmen. Einchsiger Spnnungszustnd (Stb, Blken) ε = σ + αt ΔT. E E Elstizitätsmodul, α T Temperturusdehnungskoeffizient, ΔT Temperturerhöhung. Ebener Spnnungszustnd ε 1 = (σ νσ)+αtδt, E ε 1 = (σ νσ)+αtδt, E γ = 1 G τ, Schubmodul: G = Dreichsiger Spnnungszustnd E (1 + ν), Querdehnzhl : ν. ε = 1 E [σ ν(σ + σz)] + αt ΔT, γ = 1 G τ, ε = 1 E [σ ν(σz + σ)] + αt ΔT, γz = 1 G τz, ε z = 1 E [σz ν(σ + σ)] + αt ΔT, γz = 1 G τz. Einige Mterilkennwerte Mteril E [MP] ν α T [1/ C] Sthl, , Aluminium 0, , Kupfer 1, , Beton 0, , , Holz 0, Anmerkung: 1MP = 10 6 P = 10 3 kn/m =1N/mm

7 1.3 Elstizitätsgesetz 7 Aufgbe 1.1 In einem Blech seien die Spnnungen σ, σ, τ beknnt. Gesucht sind die Größe und die Richtung der Huptspnnungen. σ σ τ τ σ A1.1 Geg.: σ =0MP,σ =30MP, τ =10MP. τ τ σ Lösung Wir gehen zunächst nltisch vor. Die Huptspnnungen errechnen sich us σ + σ ( σ σ ), = ± + τ =5± = 5 ± 11, 18 zu =36, 18 MP, σ =13, 8 MP. Für die Huptspnnungsrichtungen erhält mn us tn ϕ = die Ergebnisse τ σ σ = ϕ 1 =58, 8, ϕ = 148, 8. σ ϕ 1 σ Zur Verdeutlichung ist es zweckmäßig, ds durch die Huptspnnungen belstete Element zu skizzieren. Mn knn die Aufgbe uch grfisch mit Hilfe des Mohrschen Kreises lösen: τ Richtung von σ Mßstb: 10 MP ϕ 1 τ ϕ 1 σ σ σ σ Mn liest b: = 36, 5MP, σ = 14 MP, ϕ 1 = 59.

8 8 Ebener A1. Aufgbe 1. Für die folgenden Spezilfälle des ebenen Spnnungszustndes sind die Spnnungskomponenten für beliebige Schnitte, die Huptspnnungen und Huptspnnungsrichtungen sowie die mimlen Schubspnnungen zu bestimmen: ) σ = σ 0, σ =0, τ = 0 (einchsiger Zug), b) σ = σ = σ 0, τ = 0 (zweichsiger, gleicher Zug), c) σ = σ =0, τ = τ 0 (reiner Schub). Lösung zu ) Die Spnnungskomponenten für einen beliebigen, unter dem Winkel ϕ zur - bzw.zur -Richtung liegenden Schnitt erhält mn durch Einsetzen von σ, σ und τ in die Trnsformtionsbeziehungen: σ ξ = 1 (σ0 +0)+ 1 (σ0 0) cos ϕ +0 sin ϕ = 1 σ0(1 + cos ϕ), σ 0 σ 0 σ η = 1 (σ0 +0) 1 (σ0 0) cos ϕ 0 sin ϕ = 1 σ0(1 cos ϕ), τ ξη = 1 (σ0 0) sin ϕ +0 cos ϕ τ ξη σ ξ = 1 σ0 sin ϕ. σ η Wegen τ = 0 sind die Spnnungen σ, σ Huptspnnungen und die - bzw.-richtung die Huptrichtungen: ϕ = σ = σ 0, σ = σ =0, ϕ 1 =0, ϕ = ± π. Für die mimle Schubspnnung und die entsprechenden Schnittrichtungen folgt τ m = 1 σ1 σ = 1 σ0, ϕ = ± π 4. σ 0 τ m 45 σ 0 Hinweis: Eine Scheibe us einem Mteril, ds nur begrenzte Schubspnnungen ufnehmen knn, würde entlng von Linien unter ±45 zur -Achse versgen. zu b) Einsetzen der gegebenen Werte in die Trnsformtionsbeziehungen liefert σ ξ = σ 0, σ η = σ 0, τ ξη =0.

9 Spnnungszustnd 9 Dnch tritt in jedem Schnitt die Normlspnnung σ 0 uf, und die Schubspnnung ist Null. Es gibt lso keine usgezeichnete Huptrichtung; jeder Schnitt ist ein Huptschnitt: = σ = σ 0. σ 0 σ 0 σ 0 ϕ σ 0 zu c) In diesem Fll ergibt sich us den Trnsformtionsbeziehungen σ ξ = τ 0 sin ϕ, σ η = τ 0 sin ϕ, τ ξη = τ 0 cos ϕ. τ 0 Die Huptspnnungen und -richtungen folgen zu =+τ 0, σ = τ 0, ϕ 1 = π 4, ϕ = π 4. Für die mimle Schubspnnung und die entsprechenden Schnitte erhält mn schließlich τ m = τ 0, ϕ 1 =0, ϕ = π/. =τ 0 45 σ = τ0 Hinweis: Eine Scheibe us einem Mteril, ds nur begrenzte Normlspnnungen ufnehmen knn, würde entlng von Linien unter ±45 o zur -Achse versgen. Alle Ergebnisse für die drei Spnnungszustände lssen sich uch us den Mohrschen Kreisen blesen: zu ) τ zu c) τ τ m =σ 0 =τ 0 σ =0 σ σ = τ 0 σ τ zu b) =σ =σ 0 σ Bechte: Im Fll b) entrtet der Mohrsche Kreis zu einem Punkt uf der σ-achse!

10 10 Ebener A1.3 Aufgbe 1.3 In einem ebenen Buteil herrschen die Huptspnnungen = 96 MP und σ = 5 MP. σ σ ) Wie groß sind die Spnnungen in Schnitten, die um ϕ =60 gegenüber den Huptchsen geneigt sind? b) In welchem Schnitt ϕ b wird die Normlspnnung Null? Wie groß sind dnn die Schubspnnung und die Normlspnnung in einer zu ϕ b senkrechten Richtung? c) In welchen Schnitten treten die mimlen Schubspnnungen uf und wie groß sind die zugehörigen Normlspnnungen? Lösung zu ) Entsprechend der Skizze verwenden wir ein Koordintensstem,, ds mit den Huptchsen zusmmenfällt. Dnn folgen die Spnnungen in den um ϕ =60 gedrehten Schnitten us den Trnsformtionsbeziehungen zu σξ σ + σ1 = + = 59 MP, σ η = τ ξη σ + σ1 = 15 MP, σ σ1 = = 64, 1MP. σ σ1 σ σ1 cos ϕ =+74 1 cos ϕ = 74 1 sin ϕ = σ = σ = σ τ =0 σ τξη η σξ 60 σξ ση τξη zu b) Dmit die Normlspnnung σ ξ Null wird, muss gelten σ b ξ = σ + σ1 + σ σ1 cos ϕ b =0 cos ϕ b = 74 =0, 97 ϕb =7, 7 ϕ b =36, 35.

11 Spnnungszustnd 11 Für σ b η und τ b ξη erhält mn σ b η = σ + σ1 σ σ1 cos ϕ b =44MP, σ b η τ b ξη τ b ξη σ σ1 = sin ϕ b =74 0, 955 = 70, 7MP. τ b ξη 36, 35 τ b ξη σ b η zu c) Die mimle Schubspnnung tritt in Schnitten unter ±45 zu den Huptchsen uf. Sie ht die Größe τ m = σ1 σ =74MP. Die zugehörigen Normlspnnungen nehmen den Wert n. σ m = σ1 + σ =MP σ m τ m σ m τ m 45 σ m σ m Alle Informtionen lssen sich uch us dem Mohrschen Spnnungskreis entnehmen: Mßstb: 50 MP τ σ ξ = 59 MP, τ b ξη τ m σ η = 15 MP, ϕ b ϕ τ ξη τξη = 64 MP, ϕ b = 37, σ =σ σ η σ b ξ =0 σ m σ b η σ ξ σ = σ σ b η = 44 MP, τ b ξη = 71 MP, τ m = 74 MP, σ m = MP.

12 1 Ebener A1.4 Aufgbe 1.4 In einer Scheibe wirken die Spnnungen σ =0MP,σ =60MP und τ = 40 MP. τ σ Bestimmen Sie nltisch und grfisch die Huptspnnungen und die mimle Schubspnnung sowie deren Richtungen. Die zugehörigen Schnittbilder sind zu skizzieren. σ σ τ σ Lösung Die Huptspnnungen und deren Richtungen ergeben sich nltisch zu σ + σ ( σ σ ),= ± + τ =40 ± σ (0) + (40) σ, =84, 7 MP, σ = 4, 7 MP, tn ϕ = τ σ σ = ϕ 1 = 11, 7, ϕ =31, 7. Welcher Winkel zu welcher Huptspnnung gehört, knn nur durch Einsetzen in die Trnsformtionsbeziehungen bzw. m Mohrschen Kreis geklärt werden. Für die mimle Schubspnnung folgt τ m σ m ( σ σ σ ) m τ m = + τ =44, 7 MP, σ m ϕ = ϕ ± 45 =31, 7 ± 45. ϕ σ m τ m Die grfische Lösung erhält mn us dem Mohrschen Kreis: τ Mßstb: 0 MP ϕ = 85 MP, = 5 MP, σ τ m = 45 MP, ϕ 1 = 1, ϕ = 77. ϕ 1 ϕ ϕ 1 σ σ τ σ Richtung von τ m σ m σ σ

13 Spnnungszustnd 13 Aufgbe 1.5 Ein dünnwndiges Rohr wird durch ein Biegemoment, einen Innendruck und ein Torsionsmoment belstet. Dbei treten in den Punkten A und B folgende Spnnungen uf: s B A A1.5 σ A,B = ±5 MP, σs A,B =50MP, τs A,B =50MP. Es sind die Größe und die Richtung der Huptspnnungen in A und B zu bestimmen. Lösung Für den Punkt A folgen die Huptspnnungen us σ σ s τ s, = [ 1 (σ + σs) ± 1 (σ σs)] + τs =37, 5 ± s τ s ( 1, 5) +50 σ s =37, 5 ± 51, 54 σ σ zu 1 =89, 04 MP, σ = 14, 04 MP. σ Für die Huptspnnungsrichtungen erhält mn 5 tn ϕ = τs σ σ s = 50 = ϕ 1 =5, 0, ϕ = 37, 98. Dss die Richtung ϕ 1 zur Huptspnnung gehört, knn mn durch Einsetzen in die Trnsformtionsbeziehungen erkennen: σ ξ = 1 (σ + σs)+ 1 (σ σs)cosϕ 1 + τ s sin ϕ 1 =37, 5 1, 5 ( 0, 4) , 970 =89, 3MP=. Auf gleiche Weise ergeben sich die Huptspnnungen und ihre Richtungen für den Punkt B:, = 1, 5 ± ( 37, 5) +50 = 1, 5 ± 6, 5 =75, 0MP, σ = 50, 0MP. tn ϕ = 50 = 1, ϕ 1 =63, 4, ϕ = 6, 6. s σ σ σ s σ s τ s σ τ s σ 63 σ

14 14 Ebener Spnnungszustnd A1.6 Aufgbe 1.6 In einem dünnen Aluminiumblech (E =0, MP, ν =0, 3) werden im Punkt P die Verzerrungen ε =0, 001, ε =0, 0005, γ =0us Messungen bestimmt. Wie groß sind die Huptspnnungen, die mimle Schubspnnung sowie die Spnnungen in Schnitten, die unter ϕ = 30 zu den Huptchsen geneigt sind? P η ξ ϕ=30 Lösung Im Blech herrscht ein ebener Spnnungszustnd. Aus dem entsprechenden Elstizitätsgesetz Eε = σ νσ, Eε = σ νσ, Gγ = τ folgen die Spnnungen zu σ = σ = τ =0. E 0, (ε + νε) = (0, , 00015) = 88, 5MP, 1 ν 1 0, 09 E 0, (ε + νε) = (0, , 0003) = 61, 5MP, 1 ν 1 0, 09 D die Schubspnnung τ Null ist, sind σ, σ Huptspnnungen, und die Achsen, sind Huptchsen: σ = σ = σ. Die mimle Schubspnnung folgt dmit zu τ m = 1 (σ1 σ) = 1 (σ σ) =13, 5MP. Für die unter ϕ =30 geneigten Schnitte ergibt sich mit τ =0us den Trnsformtionsbeziehungen σ ξ = σ η = σ + σ σ + σ + σ σ σ σ cos ϕ =75+13, 5 cos 60 =81, 75 MP, cos ϕ =75 13, 5 cos 60 =68, 5 MP, σ σ τ ξη = sin ϕ = 13, 5sin60 = 11, 69 MP.

15 Verschiebungen 15 Aufgbe 1.7 Für eine Scheibe wurde us Messungen ds folgende ebene Verschiebungsfeld ermittelt: v u P u(, ) =u , v(, ) =v P u ) Mn bestimme den Verzerrungszustnd. b) Wie groß sind die Huptdehnungen und unter welchen Winkeln zur -Achse treten sie uf? c) Wie groß ist die mimle Winkelverzerrung γ m? A1.7 Lösung zu ) Die Verzerrungen bestimmen sich us den Verschiebungsbleitungen: ε = u =7 10 3, ε = v = , γ = u + v = = Die Verzerrungen sind in der gesmten Scheibe konstnt ( = homogener Verzerrungszustnd). zu b) Die Huptdehnungen und ihre Richtungen berechnen wir us der Beziehung für die Huptspnnungen, indem wir die Spnnungen durch die Verzerrungen ersetzen (σ ε, τ γ / etc.). Dmit ergibt sich für die Huptdehnungen ε 1, ε + ε ( ε ε ) ( γ ) = ± + = ± ( ) +( ) = ± ε 1 =8 10 3, ε = 10 3, und für die Huptrichtungen erhält mn tn ϕ = γ ε ε = 3 4 ϕ 1 =36, 9, ϕ 1 = 16, 9. zu c) Die mimle Winkelverzerrung ergibt sich zu γ m = ε 1 ε = =1 10. Sie tritt unter Winkeln uf, die um ±45 zu den Huptrichtungen geneigt sind.

16 16 Ebener Spnnungszustnd A1.8 Aufgbe 1.8 In einen strren Sockel B wird eine pssende elstische Scheibe A (Elstizitätsmodul E, Querdehnzhl ν) der Höhe h eingesetzt. Wie groß ist die Spnnung σ und um welchen Betrg v R verschiebt sich der Rnd R unter der konstnten Druckspnnung p? Dbei sei ngenommen, dss die Scheibe n den Sockelberndungen reibungsfrei gleiten knn. B p R A h v R Lösung In der Scheibe herrscht ein gleichförmiger ebener Spnnungszustnd, wobei die Spnnung σ beknnt ist: σ = p. Dmit lutet ds Elstizitätsgesetz σ p = σ σ h Eε = σ νσ = σ + νp, Eε = σ νσ = p νσ. D die Scheibe in -Richtung keine Deformtionen erfährt, gilt p = σ ε =0. Einsetzen liefert die gesuchte Spnnung σ und die Dehnung in - Richtung: σ = νp, ε = p 1 ν E. Aus der nun beknnten Dehnung ε erhält mn die Verschiebung v durch Integrtion: v = ε v() = ε d = p 1 ν E + C. D der untere Rnd der Scheibe keine Verschiebung erfährt, gilt v(0) = 0, d. h. C =0.Für den Betrg der Verschiebung m oberen Rnd folgt dmit v R = v(h) = 1 ν E ph.

17 Ebener Spnnungszustnd 17 Aufgbe 1.9 Zwei qudrtische Scheiben us verschiedenem Mteril hben im unbelsteten Zustnd die Seitenlängen. Sie werden entsprechend der Skizze in einen strren Sockel eingepresst, dessen Öffnung l kleiner ist ls. Wie groß sind die Spnnungen und die Änderungen der Seitenlängen, wenn ngenommen wird, dss die Scheiben n llen Rändern reibungsfrei gleiten können? Lösung In den Scheiben herrscht nch dem Einpressen in den Sockel ein gleichförmiger ebener Spnnungszustnd. Gleichgewicht in horizontler Richtung liefert = σ = σ.unter Bechtung von = σ = 0 luten dmit die Elstizitätsgesetze für die beiden Scheiben 1 σ 1 E 1ε 1 = σ, E 1ε 1 = ν 1σ, E ε = σ, E ε = ν σ. Mit den Dehnungs Verschiebungsbeziehungen (konstnte Dehnungen) 1 E 1,ν Δv l E,ν Δu A1.9 ε 1 = Δu1, ε1 = Δv1, ε = Δu und der kinemtischen Verträglichkeitsbedingung ( +Δu 1)+( +Δu )=l erhält mn zunächst für die Spnnung σ = l E 1E E 1 + E. Dmit ergeben sich dnn die Längenänderungen E, ε = Δv Δu 1 = ( l), Δu = ( l), E 1 + E E 1 + E E 1 Δv 1 = ν 1Δu 1, Δv = ν Δu.

18 18 Dünnwndiger Kessel A1.10 Aufgbe 1.10 Eine dünnwndige Tuchkugel (Rdius r = 500 mm, Wndstärke t = 1, 5 mm) befindet sich 500 m unter der Wsseroberfläche (Druck p = 5 MP). p r Wsser Wie groß sind die Spnnungen in der Wndung? t Lösung Wir teilen die Kugel durch einen beliebigen Schnitt senkrecht zur Oberfläche, so dss Hlbkugeln entstehen. Die Gleichgewichtsbedingung : σ tπrt + pr π =0 σ t r t σ t liefert dnn für jeden Schnitt (Kugelsmmetrie) die Spnnung p σ t = p r t = = 100 MP. 1, 5 A1.11 Aufgbe 1.11 Ein kugelförmiger Sthlkessel wird durch heißes Gs um die Tempertur ΔT = 00 C erwärmt und durch den Druck p = 1 MP belstet. Wie groß ist die Änderung des Rdius? Geg.: r =m,t = 10 mm, E =, MP, ν =0, 3, α T = C 1. p r ΔT t Lösung Aus der Gleichgewichtsbedingung folgt für jeden Schnitt senkrecht zur Kugeloberfläche σ t σϕ σ t = σ ϕ = p r t. Die Dehnung ergibt sich us der Umfngsänderung zu ε t = ε ϕ = π(r +Δr) πr πr Einsetzen in ds Elstizitätsgesetz Eε t = σ t νσ ϕ + Eα T ΔT = Δr r. p ϕ σ t liefert [ pr(1 ν) Δr = r Et ] [ ] α T ΔT = 000 +, =5, 5mm. 3

19 Dünnwndiger Kessel 19 Aufgbe 1.1 Ein dünnwndiger Zlinderkessel us Sthl wird durch den Innendruck p belstet. Wie groß drf die Spnnung höchstens sein, dmit die größte Normlspnnung im ungestörten Bereich die zulässige Spnnung σ zul nicht überschreitet? Wie groß sind hierfür die Änderungen vom Rdius r und Länge l? Geg.: l =5m,r =1m,t =1cm,E =, MP, ν =0, 3, σ zul = 150 MP. r t p l A1.1 Lösung Die Spnnungen ergeben sich nch geeignetem Schneiden us den Gleichgewichtsbedingungen: : pr π σ rπt =0 σ = p r p t, σ ϕ : σ ϕd t prd =0 σ ϕ = p r t. σ ϕ p Diese Spnnungen sind Huptspnnungen, d Schubspnnungen in den Schnitten nicht uftreten. Dmit die größte Normlspnnung die zulässige Spnnung nicht überschreitet, muss gelten σ ϕ σ zul p t r σ zul =1, 5MP p m =1, 5MP. Die Dehnung ε ϕ ergibt sich us der Umfngsänderung: ε ϕ = π(r +Δr) πr πr = Δr r. EinsetzenindsElstizitätsgesetz Eε ϕ = σ ϕ νσ t liefert Δr = r pmr ( 1 ν ) =0, 61 mm. Et Auf die gleiche Weise ergibt sich us der Dehnung ε t =Δl/l und dem Elstizitätsgesetz Eε t = σ t νσ ϕ für die Längenänderung Δl = l pmr ( ) 1 Et ν =0, 71 mm. Anmerkung: Die Deckel des Kessels sind us der Betrchtung usgeschlossen, d.h. die Lösung für die Spnnungen gilt erst in hinreichenderentfernung von den Deckeln. d r

20 0 Temperturdehnungen A1.13 Aufgbe 1.13 Die Schienen eines Eisenbhngleises werden bei einer Tempertur von 15 C so verlegt, dss keine inneren Kräfte uftreten. Wie groß ist die Spnnung bei einer Tempertur von 5 C, wenn ngenommen wird, dss die Schienen keine Längenänderung erfhren? Geg.: E =, MP, α T = C 1. Lösung In der Schiene herrscht ein einchsiger Spnnungszustnd, und ds Elstizitätsgesetz lutet Eε= σ + Eα T ΔT. D keine Verschiebungen uftreten, muss ε Null sein. Mit ΔT = 40 C folgt dher für die Spnnung σ = Eα T ΔT =, = 100, 8MP. Bechte: Die Temperturspnnungen in Schienen können recht groß werden! A1.14 Aufgbe 1.14 Ein dünner Kupferring vom Rdius r wird um die Temperturdifferenz ΔT erwärmt. Wie groß sind die Änderungen von Rdius und Umfng, wenn sich der Ring frei deformieren knn? Geg.: r = 100 mm, α T = C 1,ΔT =50 C. Lösung Im Ring herrscht nch der Erwärmung ein gleichförmiger, spnnungsfreier, einchsiger Dehnungszustnd. Die Dehnung ist durch die Umfngsänderung (Längenänderung) Δl bestimmt: ε = Δl l = π(r +Δr) πr πr = Δr r. Aus dem einchsigen Elstizitätsgesetz ε = σ + αt ΔT E folgen mit σ = 0 durch Einsetzen r Δr Δr = rα T ΔT = = 0, 08 mm, Δl = l Δr =πδr =0, 50 mm. r

21 Temperturdehnungen 1 Aufgbe 1.15 Eine Rechteckscheibe ( >b) δ wird in einen etws größeren strren Ausschnitt eingesetzt, so dss Splten der Brei E,ν,α T te δ vorhnden sind. Anschließend wird die b Scheibe erwärmt. Es sei ngenommen, dss die Scheibe n llen Rändern reibungsfrei gleiten knn. δ ) Welche Temperturerhöhung ΔT ist erforderlich, dmit der rechte Splt gerde geschlossen wird? b) Bei welcher Temperturerhöhung ΔT b schließt sich uch der obere Splt? Wie groß ist dnn σ? c) Welche Spnnungen herrschen in der Scheibe für ΔT >ΔT b? A1.15 Lösung zu ) Fr ΔT <ΔT dehnt sich die Scheibe spnnungsfrei us. Mit σ = σ = 0 reduziert sich ds Elstizitätsgesetz uf ε = ε = α T ΔT. Der rechte Splt wird gerde geschlossen, wenn die Bedingung ε = δ/ erfüllt ist. Einsetzen liefert die erforderliche Temperturerhöhung: ΔT = δ α T. zu b) Bei weiterer Erwärmung ΔT ΔT ΔT b knn sich die Scheibe zunächst nur noch in -Richtung frei usdehnen, während die Dehnung in -Richtung konstnt bleibt. Mit σ = 0 und ε = δ/ gelten dnn δ = σ + αt ΔT, E σ ε = ν + αt ΔT. E Der obere Splt wird gerde geschlossen, wenn die Bedingung ε = δ/b erfüllt ist. Einsetzen liefert ΔT b = δ + νb α T (1 + ν)b, σ = E δ( b). 1+ν b zu c) Fr ΔT >ΔT b sind die Dehnungen in beiden Richtungen konstnt: ε = δ/, ε = δ/b. Dnn folgen us Eε = σ νσ + Eα T ΔT, Eε = σ νσ + Eα T ΔT die Spnnungen σ = E [ δ(ν + b) αt ΔT (1 ν )b 1 ν ] [ ] δ(νb + ) αt ΔT, σ = E. (1 ν )b 1 ν

22 Temperturspnnungen A1.16 Aufgbe 1.16 Eine dünnwndige Muffe muss um die Temperturdifferenz ΔT erwärmt werden, dmit sie uf eine Welle geschoben werden knn. Wie groß sind die Spnnungen in der Muffe und der Druck p zwischen Muffe und Welle nch dem Abkühlen? Es sei ngenommen, dss die Welle strr ist und die Verschiebungen der Muffe in Richtung infolge Hftung verhindert werden. strr E,ν,α T t r Lösung Vor dem Abkühlen ist die Muffe spnnungsfrei. Die Spnnungen nch dem Abkühlen ergeben sich us dem Gleichgewicht, dem Elstizitätsgesetz und der Kinemtik. Die Gleichgewichtsbedingung liefert p rd = σ ϕtd σ ϕ = p r t. Ds Elstizitätsgesetz lutet mit ΔT = ΔT (Abkühlvorgng!) Eε ϕ = σ ϕ νσ Eα T ΔT, Eε = σ νσ ϕ Eα T ΔT. ϕ d σ ϕ p σ ϕ Beim Abkühlen werden die Dehnungen der Muffe (Schrumpfen) durch die strre Welle und durch die Hftung verhindert. Demnch luten die kinemtischen Bedingungen ε ϕ =0, ε =0. Einsetzen und Auflösen liefert für die Spnnungen und den Druck σ = σ ϕ = E 1 ν αt ΔT, p = t r E 1 ν αt ΔT. Anmerkungen: In der Muffe herrscht ein ebener Spnnungszustnd mit llseits gleichen Normlspnnungen: σ = σ ϕ. Knn sich ds Rohr in -Richtung frei deformieren (keine Hftung, ε 0),soistσ = 0, und es folgt σ ϕ = Eα T ΔT.

23 Temperturdehnungen 3 Aufgbe 1.17 Auf die dünnwndige elstische Welle 1 soll ds Rohr ufgeschrumpft werden. Beide Teile hben vor dem Aufschrumpfen gleiche geometrische Abmessungen, sind ber us unterschiedlichem Mteril. r E,α T t A1.17 Um welche Temperturdifferenz muss ds Rohr erwärmt werden, dmit es uf die Welle 1 ufgeschoben werden knn? Wie groß ist der Druck p zwischen Welle und Rohr nch dem Abkühlen, wenn ngenommen wird, dss Spnnungen in iler Richtung nicht uftreten? 1 E 1 r t Lösung Dmit ds Rohr uf die Welle 1 geschoben werden knn, muss sein Rdius durch Erwärmen um t vergrößert werden. Im erwärmten Zustnd muss demnch die Umfngsdehnung den Wert ε ϕ = π(r + t) πr πr = t r nnehmen. Einsetzen in ds Elstizitätsgesetz liefert unter Bechtung von σ ϕ =0(dsRohristimerwärmten Zustnd spnnungsfrei!) ε ϕ = α T ΔT ΔT = 1 α T Der Druck nch dem Abkühlen ergibt sich us den Gleichgewichtsbedingungen t r. σ ϕ1 = r t p, σϕ =+r t p, den Elstizitätsgesetzen σ ϕ p E 1ε ϕ1 = σ ϕ1, E ε ϕ = σ ϕ, den Verzerrungen 1 p ε ϕ1 = Δr1 r, ε ϕ = Δr r und der geometrischen Verträglichkeit σ ϕ1 zu Δr =Δr 1 + t E1E p = E 1 + E ( ) t. r

24 4 Elstizitätsgesetz A1.18 Aufgbe 1.18 Eine Pltte wird in einer Presse einem Druck p 0 in z-richtung usgesetzt. Wie groß sind die Dehnungen und die Spnnungen, wenn E,ν ) die Verformungen in - und -Richtung behindert sind, b) nur die Verformung in -Richtung behindert ist, c) die Verformungen in - und -Richtung nicht behindert sind? z Lösung In der Pltte herrscht in llen drei Fällen ein homogener 3- chsiger Spnnungs- bzw. Verzerrungszustnd. Mit σ z = p 0 lutet ds Elstizitätsgesetz (Schubspnnungen treten nicht uf!) Eε = σ νσ +νp 0, Eε = σ +νp 0 νσ, Eε z = p 0 νσ νσ. Im Fll ) sind ε = ε = 0, und us 0=σ νσ + νp 0, 0=σ + νp 0 νσ, Eε z = p 0 νσ νσ folgen ε z = 1 ν ν 1 ν p 0 E, σ = σ = ν 1 ν po. Im Fll b) gelten ε b = 0 und σ b =0(freieVerformung,d.h.keine Spnnung in -Richtung). Aus dem Elstizitätsgesetz Eε b = νσ b + νp 0, 0=σ b + νp 0, Eε z = p 0 νσ b erhält mn dnn ε b = ν(1 + ν) p0 E, εb z = (1 ν ) p0 E, σb = νp 0. Im Fll c) sind σ c = σ c = 0, d die Verformungen in diesen Richtungen nicht behindert sind. Ds Elstizitätsgesetz reduziert sich dmit uf Eε c = νp 0, Eε c = νp 0, Eε c z = p 0, und es ergibt sich ε c = ε c = ν p0 E, εc z = p0 E. Anmerkung: Für ν>0 gilt ε z < ε b z < ε c z. Speziellfür ν =1/3 folgt ε z = 6p 0/(9E), ε b z = 8p 0/(9E), ε c z = 9p 0/(9E). Infolge der Verformungsbehinderung in - und -Richtung verhält sich die Pltte im Fll ) in z-richtung recht steif!

25 Dickwndiger Zlinder 5 Aufgbe 1.19 In einem dickwndigen Zlinder, dessen Deformtion in Längsrichtung verhindert ist (ebener Verzerrungszustnd), herrschen unter dem Innendruck p die Spnnungen ( ) b σ r = p b r 1, b r ϕ p A1.19 σ ϕ = p ( ) b b r +1. Wie groß sind die Spnnung σ z und die drus resultierende Krft F z in Zlinderlängsrichtung? σ ϕ σ r σ ϕ σ r Wo tritt die größte Normlspnnung uf und wie groß ist sie? Geg.: p =50MP, = 100 mm, b = 00 mm, ν =1/3. Lösung D die Deformtion in Zlinderlängsrichtung verhindert ist, gilt ε z = 0. Dmit liefert ds Elstizitätsgesetz in dieser Richtung Eε z =0=σ z ν(σ r + σ ϕ). Durch Einsetzen folgt die Spnnung σ z = ν(σ r + σ ϕ)=νp b = p =11, 1MP. 9 D σ z über den Querschnitt konstnt ist, ergibt sich die resultierende Krft durch Multipliktion von σ z mit der Querschnittsfläche: F z = σ zπ(b )=πν p =1, N. Die Spnnungen σ r und σ ϕ sind m Innenrnd des Zlinders (r = ) betrgsmäßig m größten. Dort erhält mn σ r() = p, σ ϕ() = 5 3 p, σz = 9 p. Dementsprechend ist die Umfngsspnnung σ ϕ m Innenrnd die größte uftretende Normlspnnung.

26 6 Spnnungen und Verzerrungen A1.0 Aufgbe 1.0 Eine strre Kiste mit qudrtischem Querschnitt wird mit Tonboden (Volumen V = h,dichteρ) gefüllt. Ds g Mterilverhlten des Bodens Δh knn näherungsweise durch ds h Hookesche Gesetz (Elstizitätsmodul E, Querdehnzhl ν) beschrieben werden. Zu ermitteln sind die Setzung Δh z des Bodens infolge Eigengewicht und die horizontle Druckverteilung uf die Kiste in Abhängigkeit von. Lösung Bei der gegebenen Benspruchung treten nur Normlspnnungen σ,σ und σ z in den drei Koordintenrichtungen, und z uf. Außer der Dehnung ε in -Richtung sind keine Dehnungen vorhnden. Für σ gilt nch dem Hookeschen Gesetz mit ε =ε z =0 σ = E 1+ν ( ε + ν 1 ν ε Mit der Spnnungsverteilung σ = ρg(h ) berechnet sich die Setzung Δh us ε = dv d. Durch Integrtion erhält mn Δh: Δh = v(h) = = h 0 ε d = [ (1 + ν)(1 ν) ρg E(1 ν) ) h 0 = E 1 ν 1+ν 1 ν ε. (1 + ν)(1 ν) ρg(h ) d E(1 ν) )] h = 1 (h 0 (1 + ν)(1 ν) ρgh. E(1 ν) Die horizontle Druckverteilung in Abhängigkeit von ergibt sich mit dem Hookeschen Gesetz: σ = σ z = Eν (1 + ν)(1 ν) ε, ε = ρg(h ) (1 + ν)(1 ν) E(1 ν) σ () =σ z() = ν ρg(h ). 1 ν

27 Spnnungen und Verzerrungen 7 Aufgbe 1.1 In einem Sthlblech (Elstizitätsmodul E und Querkontrktionszhl ν) werden mit Hilfe von drei Dehnungsmessstreifen die Dehnungen ε A = ε, ε B =3 ε und ε C = ε in den drei ngegebenen Richtungen gemessen. ) Wie groß sind die Huptdehnungen ε 1 und ε? b) Berechnen Sie die Huptspnnungen und σ unter Annhme eines ebenen Spnnungszustnds. c) Ermitteln Sie die Huptrichtungen. C B 30 A A1.1 Lösung zu ) Wir führen in den η durch die Dehnungsmessstreifen vorgegebenen Richtungen ein, - bzw.einξ, η- ξ Koordintensstem ein. Dnn gilt für die gemessenen Dehnungen ε = ε, ε =3 ε, ε ξ = ε. ϕ =30 Zur Berechnung der Huptdehnungen benötigen wir zunächst noch die Schubverzerrung γ. Nch den Trnsformtionsbeziehungen gilt mit dem Winkel ϕ =30 ε ξ = 1 (ε + ε)+ 1 (ε ε)cosϕ + 1 γ sin ϕ = 1 (ε + ε) (ε ε)+ ε = ε + ( 1 Drus erhlten wir ) ε γ. 4 γ, γ = 3 ε. Dmit errechnen sich die Huptdehnungen us ε + ε ( ε ε ) ( ) 1 ε 1/ = ± + γ

28 8 Spnnungen und Verzerrungen zu ( ε 1 = 1+ 1 ) ( ε, ε = 1 1 ) ε. 3 3 zu b) Mit der Annhme eines ebenen Spnnungszustndes liefert die Auswertung des Elstizitätsgesetzes in den Huptrichtungen die Huptspnnungen = σ = E E ε (ε1 + νε) σ1 = 1 ν 1 ν E E ε (ε + νε1) σ = 1 ν 1 ν ( 1+ν + 1 ν ), 3 ( 1+ν 1 ν ). 3 zu c) Die Huptrichtungen können mit den Spnnungskomponenten oder den Verzerrungskomponenten ermittelt werden. Wir verwenden hier die Berechnung mit den Verzerrungskomponenten und erhlten us die Lösungen tn ϕ = γ ε ε = 3 = 1 3 ϕ = 15 und ϕ =75. Um zu entscheiden, welche Richtung zur Huptdehnung ε 1 bzw. zur Huptdehnung ε gehört, setzen wir den Winkel ϕ = 15 in die Trnsformtionsbeziehungen ein. Dies liefert mit den beknnten Verzerrungskomponenten ε ξ = 1 (ε + ε)+ 1 (ε ε)cos( 30 )+ 1 γ sin( 30 ) 3 = ε ε ε ( 1 3 = 1 1 ) ε = ε 3 Dmit tritt die kleinste Huptdehnung ε unter dem Winkel ϕ = 15 uf, während die größte Huptdehnung ε 1 in der Richtung von ϕ =75 nzutreffen ist.

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