2 Flächenschwerpunkt (Flächenmoment 1. Ordnung)

Transkript

1 Fächenschwerpunkt (Fächenmoment. Ordnung)? Aufgbe. Berechnung des Gesmtschwerpunkts durch Integrtion Der gegebene Querschnitt ist eine Hbkreisfäche mit dem Rdius r. gegeben: r gesucht: Bestimmung des Gesmtschwerpunkts der ngegebenen Fäche durch Integrtion y r x Lösung Bid. 6 Hbkreisfäche mit dem Rdius r y y da S r ϕ x Bid. 7 Schwerpunktsge eines Hbkreises Durch Umformen in Porkoordinten ergeben sich die Werte

2 Fächenschwerpunkt y = r sin ϕ, x = r cos ϕ, da = r dϕ dr. (. 4) Die Hbkreisfäche ist da = A = π r. (. 5) Dmit ergibt sich der Schwerpunkt us y S = mit y da da (. ) r π y da = r sinϕ (r dϕ dr)= - r π cosϕ r = - r (- ) = r. (. 6) Dmit ist die Schwerpunktsge in y- Richtung bestimmt y S = y S = r π r = 4 r. (. 7) π In x- Richtung ergibt sich us der Symmetrie des Querschnitts x S = r. (. 8)? Aufgbe. Berechnung des Gesmtschwerpunkts Gesmtfäche besteht us zwei Teifächen Der gegebene Querschnitt setzt sich us einer Hbkreisfäche mit dem Rdius r und einen Rechteck der Höhe h zusmmen. gegeben: r, h gesucht: Bestimmung des Gesmtschwerpunkts der ngegebenen Fäche tm-ii--oesungen.doc

3 y r x h Bid. 8 Hbkreisfäche mit dem Rdius r und einen Rechteck der Höhe h Lösung y r A A x h Bid. 9 Aufteiung der Teifächen Die Gesmtfäche besteht us zwei Teifächen, deren Fäche und Lge des Teischwerpunktes beknnt ist. Die Hbkreisfäche ergibt sich mit den Abständen des Einzeschwerpunktes zu den Achsen A = π r, x S = r, y S = 4 r. (. 9) π Die Rechteckfäche ergibt sich mit den Abständen des Einzeschwerpunktes zu den Achsen A = r h, x S = r, y S = - h. (. ) Dmit erhät mn den Gesmtschwerpunkt der Fäche x S = r, (. ) y S = i A y i i A i Si = A y S + A A + A y S = 4 r π r hrh π. (. ) π r + rh

4 4 Fächenschwerpunkt? Aufgbe. Berechnung des Gesmtschwerpunkts Gesmtfäche besteht us drei Teifächen Der gegebene Querschnitt setzt sich us zwei Dreiecken und einem Rechteck zusmmen. gegeben: = cm, b = 5 cm, c = 6 cm, h = 8 cm gesucht: Bestimmung des Gesmtschwerpunkts der ngegebenen Fäche. y b c h Lösung Bid. Querschnitt zwei Dreiecken und einem Rechteck x y b c h A A S A Bid. Aufteiung der Teifächen Die Gesmtfäche besteht us drei Teifächen, deren Fäche und Lge des Teischwerpunktes beknnt ist: Die Dreieckfäche ergibt sich mit den Abständen des Einzeschwerpunktes zu den Achsen x A = h, xs =, ys = h. (. ) tm-ii--oesungen.doc

5 5 Die Rechteckfäche ergibt sich mit den Abständen des Einzeschwerpunktes zu den Achsen A = b h, x S = + b, ys = h. (. 4) Die Dreieckfäche ergibt sich mit den Abständen des Einzeschwerpunktes zu den Achsen A = c h, xs = + b + c, ys = h. (. 5) Dmit erhät mn den Gesmtschwerpunkt der Fäche mit Zhenwerten x S = i A x i i A i Si = A x S + A x A + A S + A + A x S = 7.8 cm, (. 6) y S = i A y i i A i Si = A y S + A y A + A S + A + A y S = 7.9 cm. (. 7)? Aufgbe. 4 Berechnung des Gesmtschwerpunkts Gesmtfäche besteht us drei Teifächen Der gegebene Querschnitt setzt sich us einem Dreiecken und zwei Rechtecken zusmmen. gegeben: gesucht: Bestimmung des Gesmtschwerpunkts der ngegebenen Fäche

6 6 Fächenschwerpunkt y. / / x Bid. Querschnitt us einem Dreiecken und zwei Rechtecken Lösung / y A A A / / x Bid. Aufteiung der Teifächen Die Gesmtfäche besteht us drei Teifächen, deren Fäche und Lge des Teischwerpunktes beknnt ist: Die Dreieckfäche ergibt sich mit den Abständen des Einzeschwerpunktes zu den Achsen A = ; xs =, ys = +. (. 8) Die Rechteckfäche ergibt sich mit den Abständen des Einzeschwerpunktes zu den Achsen A =, x S =, ys =. (. 9) tm-ii--oesungen.doc

7 7 Die Rechteckfäche, die erdings bgezogen werden muß, ergibt sich mit den Abständen des Einzeschwerpunktes zu den Achsen A =, x S =, ys =. (. ) Dmit erhät mn den Gesmtschwerpunkt der Fäche x S =, (. ) y S = = A i i i y A i Si = A ( + ) + y S + A ys + A A + A + A + y S 4 =. (. ) 6? Aufgbe. 5 Berechnung des Gesmtschwerpunkts Gesmtfäche besteht us zwei Teifächen Der Schwerpunkt der Fäche einer Mondsiche setzt sich us mehreren Kreisfächen zusmmen. gegeben: r = 4 cm, r = cm, b = 8 cm gesucht: Bestimmung des Gesmtschwerpunkts der ngegebenen Fäche

8 8 Fächenschwerpunkt y r r b x. Bid. 4 Mondsiche Lösung y y r r r=s/ x α α b x ) b) Bid. 5 Zusmmensetzung der Teifächen; Hbkreisfäche ; b) Kreisusschnitt Die Gesmtfäche besteht us zwei Teifächen, deren Fäche und Lge des Teischwerpunktes beknnt ist: Die Hbkreisfäche ergibt sich mit den Abständen des Einzeschwerpunktes zu den Achsen A = πr, x S = 4 r, y S =. (. ) π Die Kreisusschnitt ergibt sich mit den Abständen des Einzeschwerpunktes zu den Achsen tm-ii--oesungen.doc

9 9 A = r (α sinα); x S = s b, y S = (. 4) A und dem Winke α = rcos b. (. 5) r Dmit erhät mn den Gesmtschwerpunkt der Fäche mit Zhenwerten x S = i A x i i A i Si = A x A x S S A A = 4.4 cm. (. 6) Aus Symmetrie fogt y S =. (. 7)

10 Einchsiger Spnnungszustnd Einchsiger Spnnungszustnd? Aufgbe. Berechnung der Norm- und Tngentispnnungen infoge einer Normkrft in einer um den Winke α geneigten Ebene Für den bgebideten Stb (Kreisquerschnitt, Durchmesser d) berechne mn die Norm- und Tngentispnnungen in einer um den Winke α geneigten Ebene. Die Spnnungen sind über den Querschnitt geichmäßig verteit nzunehmen. gegeben: F = N, d = 4 cm, α = gesucht: Bestimmung der Spnnungen in der um den Winke α geneigten Ebene σ ξ, σ η, τ ξη F d η y α ξ x F Lösung Bid. Stb mit einer um den Winke α geneigten Ebene tm-ii--oesungen.doc

11 Es iegt ein eindimensiones Probem vor. Dmit wirkt die Krft nur in y- Richtung. Mit der Fäche A = π ( ) d 4 = π ( ) cm ergibt sich σ x =, (. ) F N σ y = = A 6 π cm 4 = 5 π N. (. ) cm Die Spnnungen im ξ- η- System sind σ ξ = σ x cos α + σ y sin α + τ xy sin α cos α = σ y sin α, (. ) σ η = σ x sin α + σ y cos α - τ xy sin α cos α = σ y cos α, (. ) τ ξη = τ ηξ = - σ x sin α cos α + σ y sin α cos α + τ xy (cos α - sin α) = σ y sin α cos α. (. 4)

12 4 Zug- und Druckstb 4 Zug- und Druckstb? Aufgbe 4. Zug- und Druckstb ohne Eigengewicht und ohne Temperturbestung mit Fächenst m Stbende Bestimmung der Spnnungen des Stbes Ein stbförmiger Pyrmidenstumpf mit qudrtischem Grundriss steht wie skizziert uf einer ebenen Unterge. Auf seiner oberen Querschnittsfäche wirkt eine Spnnung σ o. Ds Eigengewicht knn vernchässigt werden. gegeben:, b, h, σ o, E gesucht: Bestimmung der Spnnung σ u uf der unteren Querschnittsfäche und des Betrgs Δh, um den sich der Pyrmidenstumpf verkürzt. Wie knn ds System näherungsweise berechnet werden? Wnn ist mn uf der sicheren Seite? σ h x Bid 4. 5 Stbförmiger Pyrmidenstumpf mit qudrtischem Grundriss Lösung b Aus den Geichgewichtsbedingungen erfogt die Spnnungsberechnung tm-ii-4-oesungen.doc

13 σ o A o = σ u A u σ u = σ A A o u = σ b. (4. 56) Dmit ergibt sich mit N = σ o A o = const. die Verkürzung us Δh = x= h x= N(x) dx EA(x) x= h N = dx. (4. 56) EA(x) x= Die Berechnung der veränderichen Querschnittsfäche erfogt mit dem Strhenstz (b ) (dx ) =. (4. 57) h x Drus fogt mit d x = (b ) x + h (4. 58) die veränderiche Fäche (b ) A( x ) = ( x + ). (4. 59) h Mit E = const., N(x) = N = - σ o = const., A( x ) = d x fogt Δh = - σ E x= h dx (b ) ( h x= x + ). (4. 6) Durch die Substitution mit z = (b ) x +, h dz = dx ( b ) h h dx = dz (b ) (4. 6) ergeben sich die neuen Grenzen des Integrs x = z =, x = h z = b. (4. 6) Dmit fogt Δh = - σ E z= b z= h dz (b ) z = - σ E h (b ) z b = σ h. (4. 6) E b

14 4 4 Zug- und Druckstb Näherungsösung Wenn die keinste Fäche A s konstnte Fäche des Stbes ngenommenen wird, ergibt sich die geringste Dehnsteifigkeit. Dmit wird die größtmögiche Verformung ngegeben Δh = σ A EA h = σ h E (4. 64) Ds Verhätnis b ist ds Mss für den Feher. Ds Näherungsergebnis ist zu groß. Wird ds Mitte der Fächen ( + b ) s konstnte Fäche des Stbes ngenommenen, ergibt sich eine mittere Dehnsteifigkeit. Dmit wird die größtmögiche Verformung ngegeben Δh = σ Ah + b E( ) = σ h + b E( ) = σ h E 4 ( + b). (4. 65) Ds Verhätnis immer zu kein. 4 ( + b) ist ds Mss für den Feher. Ds Näherungsergebnis ist Tbee 4. Überprüfung der Genuigkeit der Näherungsösungen; gegeben: = cm Δh = σ h E b nch (4. 6) (exkte Lösung) b= cm b= 4 cm b= 6 cm b= 8 cm σ h E σ h E σ h E σ h E 4 Δh = σ h E nch (4. 64) (sichere Seite) σ h E σ h E σ h E σ h E Δh = σ h 4 E ( + b) nch (4. 65) (mittere Fäche) σ h E σ h E 4 9 σ h E 4 σ h E 4 5 tm-ii-4-oesungen.doc

15 5? Aufgbe 4. Zug- und Druckstb ohne Eigengewicht und ohne Temperturbestung mit Einzekrft F m Stbende Bestimmung der Normkrft- und Verschiebungsveräufe des Stbes Ein konisches Weenstück wird mit der Krft F bestet. gegeben: F, E, d, D, gesucht: Bestimmung des Betrgs Δ, um den sich ds konische Weenstück unter der Wirkung der Zugkrft F verängert E = const. F d D F Bid 4. 6 Konisches Weenstück mit der Krft F Lösung F A B F x x A x B Aus dem Strhenstz Bid 4. 7 Geometrie zur Berechnung der Fäche A(x) x A = d D d (4. 66) fogt mit

16 6 4 Zug- und Druckstb x A = d D d, x B = x A + = ( d D d + ) (4. 67) die Berechnung der veränderichen Fäche A(x) = D π 4 x x B. (4. 68) Aus der Differentigeichung der Sttik wird der Normkrftveruf bestimmt dn EA u = = N(x) = C. (4. 69) dx Die sttische Rndbedingung zur Bestimmung der Konstnten utet N(x = x A + ) = F C = F N = F = const. (4. 7) Aus dem Estizitätsgesetz ergibt sich die Verängerung Δ s Verschiebungsdifferenz der Punkte A und B Δ = u(x B ) B - u(xa) = F 4xB E D π [- x F = B E xa A(x) F 4 + ] = [ + x B x A E D π x B F 4xB dx = π dx = E D x xa D d ] = d F E 4x D F 4 E Ddπ B π x - B x A [(x ) (-)]. (4. 7)? Aufgbe 4. Verändericher Zug- und Druckstb ohne Eigengewicht und ohne Temperturbestung mit Einzekrft F m Stbende Bestimmung der Normkrft- und Verschiebungsveräufe des Stbes Bestimmung des Spnnungsverufs Ein homogener Stb konstnter Dicke mit iner veränderichem Querschnitt wird mit Eigengewicht bestet. gegeben:,, A, ρ, g, F, E gesucht: Bestimmung des Zugspnnungsverufs σ(x) und des Orts (x * ) und Betrgs der keinsten Spnnung sowie der Gesmtverängerung Δ tm-ii-4-oesungen.doc

17 7 A ρ x F F Bid 4. 8 Homogenen Stb konstnter Dicke mit iner veränderichem Querschnitt Lösung Für Geichung (4. ) mit g(x) = γ A(x) = γ A x fogt der Normkrftveruf N(x) = ξ= x g( ξ) dξ = γ A ξ dξ = ξ= x A γ x + C. (4. 7) Drus fogt der Normspnnung σ(x) = N(x). (4. 7) A(x) Die sttische Rndbedingung zur Bestimmung der Konstnten utet N(x = ) = F = γ Drus fogt der Normkrftveruf A A + C C = F - γ. (4. 74) N(x) = γ A (x )+ F (4. 75) und der Spnnungsveruf A σ(x) = γ A (x )+ x F A x F = ( - γ )+ γ x. (4. 76) x A

18 8 4 Zug- und Druckstb γx/ σ(x) x* x (f )/x Bid 4. 9 Spnnungsveruf Der Ort und der Betrg der keinsten Spnnung σ(x * ) ergibt sich us der ersten Vrition nch x * dσ(x = x ) dx = - F ( x A - γ ) + γ =. (4. 75) Drus äßt sich der Ort bestimmen F A - γ = γ x x* = γ A γ F. (4. 77) Durch die zweite Vrition wird ds Minimum bestätigt d σ(x = x*) dx = - (- ) F * ( x A - γ ) = F * ( x A - γ ) >. (4. 78) Für x* > und F > γ existiert ein Spnnungsminimum. A Dmit ist der Betrg der keinsten Normspnnung σ(x*) = F * ( x A - γ )+ γ x*. (4. 8) Die Gesmtverängerung Δ des Stbes ergibt sich us der Integrtion der Differentigeichung (4. 6) tm-ii-4-oesungen.doc

19 9 du(x) dx = N(x) EA(x) = E ( x (- γ + A = ( γ E A (x )+ x F ) A x F ) + γ x) (4. 8) A u(x) = E (n(x) (- γ + F ) + γ x ) + C (4. 8) 4 A Die geometrische Rndbedingung zur Bestimmung der Konstnten utet u(x = ) = = E (n() (- γ + C = - E (n() (- γ + Dmit utet der Verschiebungsveruf F ) + γ ) + C A 4 F ) + γ ) (4. 8) 4 A u(x) = E (n(x) (- γ + F ) + γ x - (n() (- γ + 4 A F ) + γ ), (4. 8) 4 A mit n(x) - n() = n( x ) fogt u(x) = E (n( x ) (- γ + F ) + γ (x - )). (4. 84) 4 A Die Verschiebung ist negtiv in positiver x- Richtung. Am Stbende ist die Verängerung Δ = u(x = ) = E (n( ) (- γ + F ) + γ ( - )). (4. 85) 4 A? Aufgbe 4. 4 Zusmmengesetzter Zug- und Druckstb ohne Eigengewicht und ohne Temperturbestung mit einer Einzekrft F m Stbende Bestimmung der Dehnung ε(x), Verschiebung u(x), Spnnung σ(x), Normkrft N(x) und Dehnsteifigkeit EA(x) n der Übergngsstee

20 4 Zug- und Druckstb Ein gewichtsoser Stb der Länge ( + ) mit konstntem Estizitätsmodu ist us zwei Stäben mit verschiedenen Kreisquerschnitten zusmmengesetzt. Am unteren Ende wirkt eine Zugkrft F. gegeben:,, E, F, D, d gesucht: Bestimmung der Größen, die sich n der Übergngsstee zwischen beiden Querschnitten sprunghft ändern: Dehnung ε(x), Verschiebung u(x), Spnnung σ(x), Normkrft N(x) und Dehnsteifigkeit EA(x) x D Ü d Bid 4. Gewichtsoser Stb us zwei Stäben mit verschiedenen Kreisquerschnitten Lösung F x D Ü x d F Bid 4. Einführung der Koordintensysteme x und x Die Berechnung des Normkrftverufes erfogt durch Integrtion in beiden Bereichen dn(x) dx = - g(x) = N (x ) = C, N (x ) = C. (4. 86) N ist in beiden Bereichen konstnt. Die sttische Rndbedingung zur Bestimmung der Konstnten utet tm-ii-4-oesungen.doc

21 N (x = ) = F N (x ) = F. (4. 87) Die sttische Übergngsbedingung zur Bestimmung der Konstnten utet N (x = ) = N (x = ) N (x ) = F. (4. 88) Mit dem Estizitätsgesetz mit E = const., A = π = const., A = 4 in (4. 6) ergeben sich für beide Bereiche die Verschiebungsveräufe D d π = const 4 du (x dx ) = 4F EπD, du dx (x ) = 4F Eπd, (4. 89) u (x ) = x + C, u (x ) = 4F Eπd x + C. (4. 9) Die geometrische Rndbedingung zur Bestimmung der Konstnten utet u (x = ) = C =. (4. 9) Die geometrische Übergngsbedingung zur Bestimmung der Konstnten utet u (x = ) = u (x = ) C = 4F EπD. (4. 9) Dmit uten die Verschiebungsveräufe u (x ) = 4F EπD x, u (x ) = 4F Eπd x + 4F EπD. (4. 9) Dmit ergeben sich sprunghfte Änderungen bei der Dehnung ε(x), denn A(x) ht einen Sprung n der Übergngsstee bei der Spnnung σ(x) = N(x), denn A(x) ht einen Sprung n der Über- A(x) gngsstee bei der Dehnsteifigkeit EA(x), denn A(x) ht einen Sprung n der Übergngsstee Die Normkrft N(x) ist für beide Bereiche geich groß. Die Verschiebung u(x) muß n der die Übergngsstee komptibe sein.

22 4 Zug- und Druckstb? Aufgbe 4. 5 Druck- Zugstb Berechnung der Verformung des Lstngriffspunktes Geichmäßige Temperturbestung Sttisch unbestimmtes System Ein schwerer Stb (spezifisches Gewicht γ, Querschnittsfäche A, Wärmeusdehnungskoeffitient α T ) unter einer geichmäßigen Temperturerwärmung um die Temperturdifferenz ΔT ist in B und in C befestigt. gegeben: γ, A, α T,, ΔT gesucht: Bestimmung der Spnnungsverteiung σ(x) und des Verschiebungsverufes u(x). B x γ, α T C Bid 4. Schwerer Stb unter einer geichmäßigen Temperturerwärmung. Lösungsmögichkeit Die Differentigeichung (4. 7) mit γ = ρ g und ΔT = const. ergibt durch Integrtion den Verschiebungsveruf (EA u')' = (α T EA ΔT)' - γ A (4. 94) EA u' = α T EA ΔT - γ A x + C (4. 95) EA u = α T EA ΔT x - γ A x + C x + C. (4. 96) Ds System ist sttisch unbestimmt. Es gibt nur geometrische Rndbedingungen. Die geometrische Rndbedingung zur Bestimmung der Konstnten utet u() = C =, (4. 97) tm-ii-4-oesungen.doc

23 u() = C = - α T EA ΔT + γ A. (4. 98) Die Spnnungs- und Verschiebungsveräufe mit N = EA u' σ(x) = A N = A ( γ A - γ A x - αt EA ΔT) = γ ( - x) - αt E ΔT (4. 99) EA u = - γ A x + γ A x u = γ E x ( - x). (4. ) x= σ x= u - γ/-eαδt T x=/ + γ /(E8) σ(x) u(x) ) -EαΔ T T x x= b) x= x Bid 4. ) Spnnungsveruf; b) Verschiebungsveruf. Lösungsmögichkeit Die Bestimmung der Normkrft- und Verschiebungsveräufe erfogt über die Integrtion der Geichungen (4. ) und (4. 6) dn = - γ A N = - γ A x + C, dx (4. ) du = dx N(x) EA C + α T ΔT = - γ x + + α T ΔT, E EA u = - γ x C + x + αt ΔT x + C. (4. ) E EA Bestimmung der Integrtionskonstnten us den Rndbedingungen und der Spnnungs- und Verschiebungsveräufe wie oben.

24 4 4 Zug- und Druckstb? Aufgbe 4. 6 Strrer Bken mit dehnweichem Sei Berechnung der Seispnnung Berechnung der Verformung des Systems Sttisch bestimmtes System Ein strrer Geenkträger ist mit der Einzekrft F bestet und wird durch ein Sei gehten. gegeben:, F, Seidurchmesser d, E gesucht: Bestimmung der Spnnung im Sei und die Absenkung des Geenkes in C. D A C F B Bid 4. Strrer Geenkträger mit der Einzekrft F Lösung A H A V S C V C H C V F ) C H b) B Bid 4. 4 Schnittbid; ) Teisystem ; b) Teisystem Die Geichgewichtsbedingungen m Teisystem uten : C V = B = F, (4. ) : C H =. (4. 4) tm-ii-4-oesungen.doc

25 5 Die Geichgewichtsbedingungen m Teisystem uten C : A V = - S, (4. 5) : A H =, (4. 6) : A V + S - C V =. (4. 7) Drus fogt die Seikrft und die Aufgerkrft S = 4 F, AV = - 4 F. (4. 8) Die Spnnung im Sei ist σ = S A F4 = = 4πd F πd. (4. 9) Dmit ergibt sich die Seiverängerung zu u() = Δ = F F dx E π d = πd E = 6F Eπd. (4. ) A Δ f c Bid 4. 5 Absenkung des Geenkes C m Teisystem Die Absenkung des Geenkes C fogt is dem Strhenstz Δ fc = f C = 9F. (4. ) Eπd

26 6 4 Zug- und Druckstb? Aufgbe 4. 7 Druck- Zugstäbe Berechnung der Verformung des Lstngriffspunktes Geichmäßige Temperturbestung Sttisch unbestimmtes, symmetrisches System Ds gegebene Stbsystem wird um ΔT geichmäßig erwärmt. gegeben: E, A, A, α T, α T, ΔT, h, β gesucht: Bestimmung der Schnittkräfte, Spnnungen und Dehnungen in den Stäben S i. Wo iegt der Punkt A nch der Erwärmung? Untersuchung des Sonderfs EA = EA und α T = α T h EA EA EA β β A Bid 4. 6 Symmetrisches Stbsystem Lösung Ds Trgwerk und die Bestung sind symmetrisch, so sind uch die Schnittgrößen und Verformungen symmetrisch. tm-ii-4-oesungen.doc

27 7 β β Δ β β Δ Bid 4. 7 Verformungsbid Aus der Geometrie fogt = h cosβ, = h. (4. ) Die Verträgichkeit der Verschiebungen ergibt Δ = Δ cos β. (4. ) Aus der Geichgewichtsbedingung fogt S S β β S Bid 4. 8 Schnittbid S = - S cosβ. (4. 4) Aus dem Estizitätsgesetz fogen die Verängerungen der Stäbe Δ = S EA + α T ΔT, Δ = S EA + α T ΔT. (4. 5) Dmit stehen für die sechs Unbeknnten sechs Geichungen zur Lösung bereit. Ds System ist ösbr. Mit (4. 4) und (4. 5) in (4. ) fogt h S cosβ + αt ΔT EA h cos β - S cos β h = ( + α T ΔT h) cos β, (4. 5) EA

28 8 4 Zug- und Druckstb Drus fogen die Schnittkräfte, die Spnnungen und die Dehnungen in den Stäben ΔT h ( α T cos β - α T ) S = = h hcos β ( + )cosβ EA cosβ EA S = - cos β ΔT ( α EA T cos β - α cos β + EA T ΔT ( α EA T cos β - α cos β + EA T ), ), (4. 6) σ = σ = S = A S A ΔT ( α E T = - cosβ cos β - α T A cos β + EA ΔT ( α A EA T ), cos β - α T cos β + E ), (4. 7) ε = ε = Δ Δ = = ΔT ( α T EA cosβ( α EA cos β - α T cos β + EA ( T EA ) + αt ΔT, EA + α Tcos β) ΔT + α T ΔT. (4. 8) cos β + ) EA Die Verschiebung des Punktes C ist f C = Δ = cosβ ΔT h ( α T cos EA + cos β EA β α T ) + α T ΔT h. (4. 9) Mit EA = EA = EA, α T = α T = α T und sin β + cos β = fogen die Stbkräfte und die Stbverängerungen S = EA ΔT α T sin β, S = - cosβ + cos β EA ΔT α T sin β, (4. ) + cos β Δ = h cosβ S ( S + αt ΔT), Δ = h ( + αt ΔT). (4. ) EA EA tm-ii-4-oesungen.doc

29 9 5 Zweichsiger Spnnungszustnd? Aufgbe 5. Vorgegebener Spnnungszustnd einer ebenen Scheibe Berechnung der Größe und Richtung der Huptspnnungen Anytische Lösung Eine Scheibe wird durch unter seitig geichen Druck σ bestet (Bid 5. 4 ). Eine zweite Scheibe us spröden Mteri, ds nhezu keine Zugspnnungen ufnehmen knn, ist durch seitig geicher Schubbenspruchung τ bestet (Bid 5. 4 b). gegeben: σ, τ gesucht: Bestimmung der Spnnungen in der Scheibe. Mn zeige, dß Scheibe unter seitig geichem Druck σ nur Druckspnnungen σ uftreten (hydrosttischer Druck) können und dß in Scheibe b bei sprödem Mteri ein Bruch unter 45 uftritt. σ σ τ τ ) σ σ b) τ τ Lösung Bid 5. 4 Scheibe ) mit Druck σ ; b) us spröden Mteri Scheibe : hydrosttischer Druck

30 5 Zweichsiger Spnnungszustnd y η σ x σ y σ x ξ σ y α x Der Spnnungszustnd der Scheibe ist Bid 5. 5 Koordintensysteme x, y und ξ, η σ x = σ y = - σ, τ xy =. (5. ) Aus den Trnsformtionsformen fogen die Spnnungen in einem Gedrehten Koordintensystem σ ξ = (σx + σ y ) = - σ = σ η, τ ξη = τ ηξ =. (5. ) Ds heißt, der MOHRsche Spnnungskreis wird zu einem Punkt. Scheibe b: Bruch unter 45 η τ xy y τ = τ yx τ xy ξ τ xy α x Der Spnnungszustnd ist Bid 5. 6 Koordintensysteme x, y und ξ, η σ x = σ y =, τ xy = τ. (5. 4) Aus den Trnsformtionsformen fogen die Spnnungen in einem Gedrehten Koordintensystem σ ξ = τ xy sin α, σ η = - τ xy sin α, τ ξη = τ ηξ = τ xy cos α. (5. 5) tm-ii-5-oesungen.doc

31 Sprödes Mteri knn nur sehr geringe Zugspnnungen ufnehmen. Der Bruch tritt deshb in einem Schnitt α = α * uf, in dem die größten Zugspnnungen σ ξmx wirken. Aus der ersten Vrition äßt sich die mxime Zugspnnung berechnen d σ ξ dα = τ xy cos α * = cos α * =. (5. 6) Für α * = ± 9 fogt α * = ± 45. (5. 7) Der Nchweis des Mximums erfogt über die zweite Vrition der Spnnung d σξ dα α * = 45 = τ xy (- sin α * ) <. (5. 8) Für diesen Winke besteht ein Mximum, so die mxime Zugspnnung. d σξ dα α * = 45 = τ xy (- sin α * ) >. (5. 9) Ds Minimum ergibt die mxime Druckspnnung. Druckspnnungen können von einem spröden Körper ufgenommen werden.? Aufgbe 5. Vorgegebener Spnnungszustnd einer ebenen Scheibe Berechnung der Größe und Richtung der Huptspnnungen Anytische Lösung In einer rechteckigen Scheibe wird durch die skizzierte Bestung ein zweidimensioner Spnnungszustnd erzeugt. Die Scheibe wird durch einen schrägen Schnitt α hbiert. gegeben:, c, Dicke t, σ x = 6 N, σy = - mm N, τxy = mm N, α = 6 mm gesucht: Bestimmung der uf die Schnittfäche wirkenden Spnnungen σ ξ, τ ξη mit Hife der Trnsformtionsformen und Kontroe des Ergebnisses durch die Geichgewichtsbedingungen

32 5 Zweichsiger Spnnungszustnd σ x y σ y τ yx ξ η α Schnittebene c τ yx α σ x x Bid 5. 7 Rechteckige Scheibe mit Bestung; Schnittebene unter dem Winke α Lösung Die Trnsformtionsformen uten σ ξ = (σx + σ y ) + (σx - σ y ) cos α + τ xy sin α, (5. ) σ η = (σx + σ y ) - (σx - σ y ) cos α - τ xy sin α, (5. ) τ ξη = - (σx - σ y ) sin α + τ xy cos α. (5. ) N N Mit σ x = 6, σy = -, τxy = mm mm sin α = cos =.866 fogt σ ξ = N, τξη = mm N und cos α = cos = -.5, mm N. (5. ) mm Die Kontroe m bgeschnittenen Tei mit s = tn α und = sinα ergibt : σ ξ t - σ x s t cos α + σ y t sin α - τ xy s t sin α - τ xy t cos α =, :t (5. 4) : τ ξη t + σ x s t sin α + σ y t cos α - τ xy s t cos α + τ xy t sin α =. :t (5. 5) tm-ii-5-oesungen.doc

33 y σ ξ σ x ξ s η α τ ξη b τ xy σ y α τ xy σ x x Bid 5. 8 Schnittbid des bgeschnittenen Teis Die Zhenwerte eingesetzt in (5. 4) und (5. 5), ergibt (5.98 sinα - 6 tn α = ( ) ( ) cosα + sinα - ( tn α Dmit bestätigt die Kontroe die berechneten Werte. sinα + cosα)) N = mm N = (5. 6) mm N = (5. 7) mm? Aufgbe 5. Vorgegebener Spnnungszustnd einer ebenen Scheibe Berechnung der Größe und Richtung der Huptspnnungen Anytische und grphische Lösung In einer rechteckigen Scheibe wird durch die skizzierte Bestung ein zweidimensioner Spnnungszustnd erzeugt. Die Scheibe wird durch einen schrägen Schnitt α hbiert. gegeben:, c, Dicke t, σ x = 6 N, σy = - mm N, τxy = mm N, (α = 6 mm gesucht: Bestimmung der Schnittfäche α*, in der die Normspnnungen σ den größten Wert hben. Wie groß ist dieser? Wie groß sind die Huptspnnungen. Lösung mit dem MOHRschen Spnnungskreis

34 4 5 Zweichsiger Spnnungszustnd σ x y σ y τ yx ξ η α Schnittebene c τ yx α σ x x Bid 5. 9 Rechteckigen Scheibe mit Bestung Lösung Die Richtung der Huptchsen sind tn α *, = Drus fogt 6 + =.75 α *, = (5. 8) α * = 8.4, α * = 8.4. (5. 9) Die mxime Spnnung ist σ ξ = (σx + σ y ) + (σx - σ y ) cos α + τ xy sin α, (5. ) σ mx = σ ξ (α * = 8.4 ) = ( + + 8) Die Huptspnnungen sind N N = 7 = σ. (5. ) mm mm 4 8 σ, = ( ± + ) N. (5. ) mm Drus fogen die Mxime und minime Huptspnnung σ = 7 N, σ = - mm N. (5. ) mm tm-ii-5-oesungen.doc

35 5 Lösung mit dem MOHRschen Spnnungskreis τ σ y τ xy σx σ x τ ξη τ xy σ y α σ α σ ξ α σ η σ M N/mm α σ x σ σ σ σ σ σ τ xy τ ξη τ mx σ M σ M τ mx τ mx σ M σ M Bid 5. MOHRscher Spnnungskreis; Mßstb cm = 4, 76 N mm

36 6 6 Vergemeinertes Estizitätsgesetz 6 Vergemeinertes Estizitätsgesetz (HOOKEsches Gesetz)? Aufgbe 6. Berechnung der Spnnungen in einer Scheibe Berechnung der Verzerrungen (Dehnungen und Winkeänderungen) in einer Scheibe Zweidimensiones System Bestung durch Geichstreckenst und Tempertur In einem strren Betonsocke B (Dicke t) wird pssend eine qudrtische, estische Scheibe eingesetzt. Die Scheibe wird mit einer Fächenst q n der oberen Knte und der Tempertur ΔT bestet. gegeben:, q, E, ν, t, ΔT gesucht: Bestimmung des Betrgs Δ, um den sich die freie Seite unter der Druckspnnung q und der Tempertur ΔT verschiebt, wenn vorusgesetzt wird, dss die Scheibe n den vertiken Seitenrändern reibungsfrei geiten knn q Dicke t x y Lösung Bid 6. 4 Qudrtische, estische Scheibe im Betonsocke tm-ii-6-oesungen.doc

37 7 Durch die Reibungsfreiheit werden die Winkeänderungen γ ij zu Nu. Dmit ergibt sich γ xy = G τxy = γ yz = γ zx =. (6. 6) Die Spnnung σ x infoge der Bestung q in x- Richtung und der Temperturerhöhung ΔT utet σ x = qt t N = - q mm (6. 7) Die Scheibe knn sich wegen der strren Wände in y- Richtung nicht usbreiten ε y = E (σy ν σ x ) + α T ΔT = σ y = ν σ x - α T ΔT E. (6. 8) σ y ist die durch die Bestung und die Behinderung der Ausdehnung hervorgerufene Spnnung in y- Richtung. In (6. ) mit ΔT eingesetzt ergibt sich die Dehnung in x- Richtung zu ε x = E (σx ν (ν σ x - α T ΔT E)) + α T ΔT = E (σx ν ν σ x ) + α T ΔT ( + ν) = E σx ( ν ) + α T ΔT ( + ν) (6. 9) Dmit ergibt sich die Höhenänderung in x- Richtung zu Δ = ε x = (- E q ( ν ) + α T ΔT ( + ν)). (6. )? Aufgbe 6. Berechnung der Spnnungen in einer Scheibe Berechnung der Verzerrungen (Dehnungen und Winkeänderungen) in einer Scheibe Dreidimensiones System Die drgestete Rechteckscheibe us Sth ist im skizzierten Zustnd spnnungsfrei gegert. Die obere und untere Lgerung sei strr und reibungsfrei. gegeben: α T, E, ν, ΔT, = c, b

38 8 6 Vergemeinertes Estizitätsgesetz gesucht: Bestimmung der Spnnungen und Verzerrungen, wenn die Scheibe eine geichmäßige Temperturerhöhung ΔT erfährt. Wie groß sind die Abstände AB und AC nch der Temperturerhöhung? c/ z z c/4 c/4 y A, C B b) x A B C b / / Bid 6. 5 Rechteckscheibe us Sth; ) Seitennsicht; b) Drufsicht Lösung Durch die Reibungsfreiheit werden die Winkeänderungen γ ij zu Nu γ xy = G τxy = γ yz = γ zx =. (6. ) Es besteht keine Einspnnung und keine Reibung. Die freie Ausdehnung zwischen Lger und Scheibe ist mögich. Dmit entstehen in der Scheibe keine Spnnungen in x- und y- Richtung σ x =, σ y =. (6. ) Die Scheibe knn sich wegen der strren Wände in z- Richtung nicht usbreiten. In (6. ) eingesetzt ergibt sich drus eine Bedingung für die Spnnung in z- Richtung ε z = E σz + α T ΔT= σ z = - α T ΔT E. (6. ) σ z ist die durch die Temperturbestung und die Behinderung der Ausdehnung hervorgerufene Spnnung in z- Richtung. Die Dehnung in x- und y- Richtung knn nun bestimmt werden. Mit (6. ), (6. ) und in (6. ) und (6. ) ergibt tm-ii-6-oesungen.doc

39 9 ε x = E (- ν σz ) + α T ΔT ε x = (+ ν) α T ΔT, (6. 4) ε y = E (- ν σz ) + α T ΔT ε x = ε y = (+ ν) α T ΔT. (6. 5) Durch die Lgerung oben und unten verändert sich die Länge AB nicht AB = AB *. (6. 6) Die Länge AC verändert sich zu ε x = AC * AC AC = Δ AC * = AC (ε x +). (6. 7)? Aufgbe 6. Berechnung der Spnnungen in einer Scheibe Berechnung der Verzerrungen (Dehnungen und Winkeänderungen) in einer Scheibe mit seitichen Wänden und ohne Wände Dreidimensiones System Bestung durch Fächenst Ein Würfe der Kntenänge wird durch eine Fächenst q in eine Nut gepresst, deren Wände gtt und strr sein soen. gegeben:, q, ν, E gesucht: Bestimmung der Änderungen, die sich für den Spnnungszustnd ergeben, und der Längenänderungen, wenn die seitichen Wände nicht vorhnden wären. q z y ) b) x y Bid 6. 6 Würfe unter eine Fächenst q; ) Ansicht in der y- z- Ebene; b) Ansicht in der x- y- Ebene

40 4 6 Vergemeinertes Estizitätsgesetz Lösung Durch die Reibungsfreiheit werden die Winkeänderungen γ ij in beiden Fäen zu Nu γ xy = G τxy = γ yz = γ zx =. (6. 8) Die Spnnungen us dem Bestungszustnd q uten σ x = q t = - q, σ z = t q t t = - q, τ xz =. (6. 9) Die Scheibe knn sich wegen der strren Wände in y- Richtung nicht usbreiten ε y = E (σy + ν q + ν q) = σ y = - ν q. (6. ) σ y ist die durch die Bestung und die Behinderung der Ausdehnung hervorgerufene Spnnung in y- Richtung. In (6. ) und (6. ) eingesetzt ergibt sich die Dehnung in x- und z- Richtung für zu ε x = E - (q - ν (- ν q) + ν q) = E - q ( + ν + ν ), (6. ) ε z = E (- q + ν q - ν (- ν q)) = E q (- + ν + ν ). (6. ) Wenn die Ausdehnung nch en Seiten mögich ist,so keine Behinderung voriegt, knn sich die Scheibe frei in y- Richtung usbreiten. Es entstehen in dieser Richtung keine Spnnungen σ y =. (6. ) In (6. ), (6. ) und (6. ) eingesetzt ergibt sich die Dehnung in x-, y- und z- Richtung für zu ε x = E (- q + ν q) = E q (- + ν), (6. 4) ε y = E (+ ν q + ν q) = E q ν, (6. 5) tm-ii-6-oesungen.doc

41 ε z = E (- q + ν q) = E q (- + ν). (6. 6) 4

42 4 8 Fächenträgheitsmoment (Fächenmoment. Ordnung)? Aufgbe 8. Zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt Berechnung des Gesmtschwerpunktes Berechnung der Fächenträgheitsmomente Berechnung der Huptträgheitschsen und Huptträgheitsmomente Ein zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt (Bid 8. 6) iegt vor. gegeben: b, h, t gesucht: Bestimmung des Gesmtschwerpunktes, der Fächenträgheitsmomente I y, I z, I yz, I p im Schwerpunkt S, der Huptträgheitschsen und der Huptträgheitsmomente b t h S y t z Bid 8. 6 Zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt Lösung

43 4 8 Fächenträgheitsmoment b t y z s S s A h y s S A z, z t Die Fäche ergibt sich zu Bid 8. 7 Bezeichnungen im Querschnitt A = A + A = h t + b t = t (h + b). (8. ) Die Schwerpunktskoordinten sind y S =, (8. ) z S = h ht + bt(h+ (h+ b)t t ) = h b(h+ t) +. (8. ) (h+ b) Die Abstände der Einzeschwerpunkte zum Gesmtschwerpunkt ergeben sich zu s = b(h+ t) (h+ b) (8. 4) s = h + t z = h(h+ t) (h+ b) - S (8. 5) Die Fächenträgheitsmomente ergeben sich zu th I y = I y + s A + I y + s A = bt + s A + + s A = t (h + b t ) + tbh(h+ t) (h+ b)4, (8. 6) ht tb I z = + = t (b + h t ). (8. 7) Es gibt eine Symmetriechse. Ds Devitionsmoment wird zu Nu I yz =. (8. 8) tm-ii-8-oesungen.doc

44 4 Die Trägheitschsen sind Huptträgheitschsen. Ds pore Fächenträgheitsmoment ist I p = I y + I z = t (b + h t + h + b t ) + tbh(h+ t) (h+ b)4. (8. 9)? Aufgbe 8. Zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt Berechnung des Gesmtschwerpunktes Berechnung der Fächenträgheitsmomente Berechnung der Huptträgheitschsen und Huptträgheitsmomente Ein zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt (Bid 8. 8) iegt vor. gegeben: b, h, gesucht: Bestimmung des Gesmtschwerpunktes, der Fächenträgheitsmomente I y, I z, I yz, I p im Schwerpunkt S, der Huptträgheitschsen und der Huptträgheitsmomente y S h z b Lösung Bid 8. 8 Zusmmengesetzter, symmetrische Querschnitt

45 44 8 Fächenträgheitsmoment y y S S s s SS h A A A z, z b Bid 8. 9 Bezeichnungen im Querschnitt Die Fäche ergibt sich zu A = A + A + A = b h + b h = ( + b)h. (8. 4) Die Schwerpunktskoordinten sind y S =, z S = h b h h ( ) + bh = (+ b)h h + b. (8. 4) + b Die Berechnung der Abstände der Einzeschwerpunkte zum Gesmtschwerpunkt ergibt s = s = s = h - h z S - = z S = h 6 h b, (8. 4) + b b. (8. 4) + b Die Berechnung der Fächenträgheitsmomente nch STEINER fogt bh I y = + s b h + (I yd + s b h ), (8. 44) hb I z = + (I zd + ( h b + ) b h ). (8. 45) 6 tm-ii-8-oesungen.doc

46 45 * y S h * y b * z, z Bid 8. I yd, I zd us Tbee 8. Die Einzefächenträgheitsmomente der beiden Dreiecke werden us Tbee 8. nch Bid 8. mit * = ; h * b =, b * = h berechnet. Sie ergeben sich zu * * b h * * * * I yd = I z* = (b b + ) = 6 * * b h 6 = h b 6, (8. 46) I zd = I y* = * h b 6 * = h( b) 6 8. (8. 47) Dmit fogen die Fächenträgheitsmomente in (8. 44) und (8. 45) mit (8. 46) und (8. 47) bh h b I y = + ( ) b h + ( 6 + b = h + 4b+ b 6 + b h b 6 + ( h b b h + b ) ), (8. 48) hb I z = + h( b) 6 4 h b + h ( + ) b 6 = [ h b + h ( - b) + h ( - b) ( h + - b) ]. (8. 49) 44 Es gibt eine Symmetriechse. Ds Devitionsmoment wird zu Nu I yz =. (8. 5) Die Trägheitschsen sind Huptträgheitschsen. Ds pore Fächenträgheitsmoment ist I p = I y + I z. (8. 5)

47 46 8 Fächenträgheitsmoment? Aufgbe 8. Zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt Berechnung des Gesmtschwerpunktes Berechnung der Fächenträgheitsmomente Berechnung der Huptträgheitschsen und Huptträgheitsmomente Ein zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt (Bid 8. ) iegt vor. gegeben: b, h,, r gesucht: Bestimmung des Gesmtschwerpunktes, der Fächenträgheitsmomente I y, I z, I yz, I p im Schwerpunkt S, der Huptträgheitschsen und der Huptträgheitsmomente y S b r h z Lösung Bid 8. Zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt y y s s S s s b r h A z, z A Bid 8. Bezeichnungen im Querschnitt Die Fäche ergibt sich zu A = A - A = h - π r. (8. 5) Die Schwerpunktskoordinten sind tm-ii-8-oesungen.doc

48 47 y S =, z S = h h πr b. (8. 5) h πr Die Berechnung der Abstände der Einzeschwerpunkte zum Gesmtschwerpunkt ergibt h s = - z S = s = b - z S = h πr (b ), (8. 54) h πr h h(b ). (8. 55) h πr Die Berechnung der Fächenträgheitsmomente ergibt h I y = + s A - πr s h A = - πr h πhr (b ) h π r, (8. 56) h I z = - πr 4. (8. 57) 4 Es gibt eine Symmetriechse. Ds Devitionsmoment wird zu Nu I yz =. (8. 58) Die Trägheitschsen sind Huptträgheitschsen. Ds pore Fächenträgheitsmoment ist I p = I y + I z. (8. 59)? Aufgbe 8. 4 Rohrquerschnitt Berechnung des Gesmtschwerpunktes Berechnung der Fächenträgheitsmomente Berechnung der Huptträgheitschsen und Huptträgheitsmomente Ein Rohrquerschnitt (Bid 8. ) iegt vor. gegeben: d, D

49 48 8 Fächenträgheitsmoment gesucht: Bestimmung des Gesmtschwerpunktes, der Fächenträgheitsmomente I y, I z, I yz, I p im Schwerpunkt S, der Huptträgheitschsen und der Huptträgheitsmomente d y S D z Bid 8. Rohrquerschnitt Lösung d A y A S D z Bid 8. 4 Bezeichnungen im Querschnitt Die Fäche ist π A = A A = 4 (D d ). (8. 6) Die Berechnung der Fächenträgheitsmomente ergeben I y = 64 π (D 4 - d 4 ) = I z. (8. 6) Es gibt zwei Symmetriechsen. Ds Devitionsmoment wird zu Nu I yz =. (8. 6) Die Trägheitschsen sind Huptträgheitschsen. Ds pore Fächenträgheitsmoment ist I p = I y + I z = π (D 4 - d 4 ). (8. 6) tm-ii-8-oesungen.doc

50 49? Aufgbe 8. 5 Zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt Berechnung des Gesmtschwerpunktes Berechnung der Fächenträgheitsmomente Berechnung der Huptträgheitschsen und Huptträgheitsmomente Ein zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt (Bid 8. 5) iegt vor. gegeben: b, b, h, t gesucht: Bestimmung des Gesmtschwerpunktes, der Fächenträgheitsmomente I y, I z, I yz, I p im Schwerpunkt S, der Huptträgheitschsen und der Huptträgheitsmomente b t h y S t t z b Lösung Bid 8. 5 Zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt b y t S A h y A S S t t A S z, z b

51 5 8 Fächenträgheitsmoment Bid 8. 6 Bezeichnungen im Querschnitt Die Fäche ist A ges = A + A + A = b t + h t + b t. (8. 64) Die Berechnung des Gesmtschwerpunktes ergibt y S =, (8. 65) z S = b t t + h h t ( + t) + b t (h t (h + b + b ) + t) = t(b + h + b ) + h( b (h + b + b ) + h). (8. 66) Die Abstände der Einzeschwerpunkte vom Gesmtschwerpunkt sind t s = z S - = h + h t + b h + b t (h + b + b ) = (h + t) (h + b ), (8. 67) (h + b + b ) h s = + t - z S = h b + b t b h b (h + b + b ) t = (h + t) (b b ), (8. 68) (h + b + b ) t s = h + - z S = = h b h (h + b) t (h + b (h + b + b ) + h h t b (h + b + b ) t + b b ). (8. 69) Die Berechnung der Fächenträgheitsmomente ergibt b t I y = + s t h A + + s A + (b + b ) t + th = + b t + s A ((h + t) (h + b )) bt + ((h + t) (b b )) ht + (h (h + b) 4 (h + b + b ) t (h + b b )) bt, (8. 7) tb ht I z = + + tb. (8. 7) Es gibt eine Symmetriechse. Ds Devitionsmoment wird zu Nu tm-ii-8-oesungen.doc

52 5 I yz =. (8. 7) Die Trägheitschsen sind Huptträgheitschsen. Ds pore Fächenträgheitsmoment ist I p = I y + I z. (8. 7)? Aufgbe 8. 6 Symmetrischer Querschnitt Berechnung des Gesmtschwerpunktes Berechnung der Fächenträgheitsmomente Berechnung der Huptträgheitschsen und Huptträgheitsmomente Ein symmetrischer Querschnitt (Bid 8. 7) iegt vor. gegeben: d, D gesucht: Bestimmung des Gesmtschwerpunktes, der Fächenträgheitsmomente I y, I z, I yz, I p im Schwerpunkt S, der Huptträgheitschsen und der Huptträgheitsmomente y D d S Bid 8. 7 Symmetrischer Querschnitt z Lösung y y D d S z, z Bid 8. 8 Bezeichnungen im Querschnitt Die Fäche ist

53 5 8 Fächenträgheitsmoment A = 8 π (D d ). (8. 74) Die Berechnung des Gesmtfächenschwerpunktes ergibt y S =, z S = π D π D d 8 π 8 π (D d ) 8 d π = D d. (8. 75) π (D d ) Die Berechnung der Fächenträgheitsmomente ergibt I y = d D 4 (9 π 64)+( 6 7 π D - π z S ) π D - 8 (9π 64) = (D 4 - d 4 π d (d D) D D (d D) d ) + ( 67π 8 π (D d ) d 4 (9 π d 64) + ( - z ) π 6 7 π S π 8 (9π 64) ) = (D 4 - d 4 ), 67π (8. 76) π I z = (D 4 - d 4 ). (8. 77) 86 Es gibt eine Symmetriechse. Ds Devitionsmoment wird zu Nu I yz =. (8. 78) Die Trägheitschsen sind Huptträgheitschsen. Ds pore Fächenträgheitsmoment ist I p = I y + I z. (8. 79)? Aufgbe 8. 7 Zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt Berechnung des Gesmtschwerpunktes Berechnung der Fächenträgheitsmomente Berechnung der Huptträgheitschsen und Huptträgheitsmomente Ein zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt (Bid 8. 9) iegt vor. gegeben:, b gesucht: Bestimmung des Gesmtschwerpunktes, der Fächenträgheitsmomente I y, I z, I yz, I p im Schwerpunkt S, der Huptträgheitschsen und der Huptträgheitsmomente tm-ii-8-oesungen.doc

54 5 A A y S b z A b Lösung Bid 8. 9 Zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt Wegen der Doppesymmetrie iegt der Gesmtschwerpunkt in S. y S S Bid 8. Bezeichnungen im hbierten Querschnitt Die Berechnung der Fächenträgheitsmomente um den Schwerpunkt nch STEINER ergibt I y = I y + (I y + A ). (8. 8) Mit = mm, b= mm ergibt sich in Zhenwerten I y = 8 + ( + ) = 4 mm 4, (8. 8) I z = 8 + = 88 mm 4. (8. 8) Es gibt zwei Symmetriechsen. Ds Devitionsmoment wird zu Nu I yz =. (8. 8) Die Trägheitschsen sind Huptträgheitschsen. Ds pore Fächenträgheitsmoment ist I P = mm 4. (8. 84)

55 54 8 Fächenträgheitsmoment? Aufgbe 8. 8 Zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt Berechnung des Gesmtschwerpunktes Berechnung der Fächenträgheitsmomente Ds Profi IPB 5 (Bid 8. ) ist gegeben. gegeben: h = 5 mm, b = mm, s = 4,5 mm, t = 8 mm, exkten Werten us Profitbeen I y = 7. cm 4, I z =.6 cm 4 gesucht: Bestimmung der Fächenträgheitsmomente I y und I z und Vergeich mit den exkten Werten (mit Berücksichtigung der Rdien etc.). b h y s t t z Bid 8. Profi IPB 5 Lösung Die Schwerpunktskoordinten iegen im Kreuzpunkt der zwei Symmetriechsen. h y b s Steg z t t Fnsch Fnsch Bid 8. Bezeichnungen im Querschnitt Die Berechnung der Fächenträgheitsmomente ergibt tm-ii-8-oesungen.doc

56 55 h t I y = I yfnsch + ( - ) b t h t b t + I ysteg = + ( - ) b t+ = 8 + (5-4) 8 + 4,5 (5 56) s (h t) = 4 4 cm 4, (8. 85) I y exkt = 7 cm 4. (8. 86) Wenn nur die STEINER- Anteie des Fnsches berücksichtigt werden, git I y* = cm 4 (8. 87) t b I z = + h s = ,5 = 6 cm 4 (8. 88) I z exkt = 6 cm 4 (8. 89)? Aufgbe 8. 9 Zusmmengesetzter Querschnitt Berechnung der Fächenträgheitsmomente Ein zusmmengesetzter, unsymmetrischer Querschnitt (Bid 8. ) iegt vor. gegeben: gesucht: Bestimmung der Fächenträgheitsmomente I y, I yz im gegebenen Koordintensystem. y z Lösung Bid 8. Zusmmengesetzter, unsymmetrischer Querschnitt

57 56 8 Fächenträgheitsmoment y S S / / / z Bid 8. 4 Bezeichnungen im Querschnitt Die Fächen sind A =, A =. (8. 9) Die Berechnung der Fächenträgheitsmomente ergibt I y = () + A ( + ) A, (8. 9) 4 I yz = - A - - ( + ) ( + ) A. (8. 9) 7? Aufgbe 8. Zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt Berechnung des Gesmtschwerpunktes Berechnung der Fächenträgheitsmomente Berechnung der Huptträgheitschsen und Huptträgheitsmomente Ein zusmmengesetzter, symmetrischer Querschnitt (Bid 8. 5) iegt vor. Die Fächenträgheitsmomente in Bezug uf die y- und z- Achsen einer Fäche, die s Differenz zweier Qudrte entsteht, soen im Verhätnis : 5 stehen. gegeben: gesucht: Bestimmung des Proportionitätsfktors n tm-ii-8-oesungen.doc

58 57 n* z y n* Bid 8. 5 Querschnitt s Differenz zweier Qudrte Lösung Für ds gegebene Koordintensystem sei I I y z = 5. (8. 9) η y ζ z Bid 8. 6 Bezeichnungen im Querschnitt Für ein Qudrt git 4 I y = I z = I η = I ζ =. (8. 94) Dies äßt sich mit Hife den Trnsformtionsformen (8. 7, 8. 8, 8. 9) bestätigen. Für den gegebenen Querschnitt git demnch 4 I y = - 4 (n ) 4 = ( - n 4 4 ) = ( - n ) ( + n ) (8. 95)

59 58 8 Fächenträgheitsmoment und für ds gegebene Koordintensystem git mit STEINER Antei I z = I y + ( ) ( - (n ) 4 ) = ( - n 4 ) + 4 ( - n ). (8. 96) Der Proportionitätsfktor n für I I z y = 5 ergibt sich us 5 = 4 Iy + ( n ) Iy = 4 4 (- n ) (- n ) 4 ( n ) = (+ n ) + 6 (+ n ) = 7 + n + n, (8. 97) n = 7 + n = 4 n n = 4. (8. 98) Drus fogt der Proportionitätsfktor n =. (8. 99)? Aufgbe 8. Dreieckiger Querschnitt Berechnung des Gesmtschwerpunktes Berechnung der Fächenträgheitsmomente Berechnung der Huptträgheitschsen und Huptträgheitsmomente Ein dreieckiger Querschnitt (Bid 8. 7) iegt vor. gegeben: b, h, gesucht: Bestimmung des Gesmtschwerpunktes, der Fächenträgheitsmomente I y, I z, I yz, I p im Schwerpunkt S, der Huptträgheitschsen und der Huptträgheitsmomente tm-ii-8-oesungen.doc

60 59 b y y z S Bid 8. 7 Dreieckiger Querschnitt z Lösung b * y y z S h * Bid 8. 8 Werte us der Tbee 8. Die Berechnung der Fächenträgheitsmomente ergibt nch Tbee 8. mit h * = und b * = b z I y = * b h 6 * b =, (8. ) 6 I z = * * b h 6 b * b =, (8. ) 6 I yz = - * b h 7 * b * = - b 7. (8. ) Die Berechnung der Fächenträgheitsmomente für ds preverschobene Koordintensystem ergibt I y = I y + ( ) b b =, (8. ) I z = I z + ( b) b b =, (8. 4)

61 6 8 Fächenträgheitsmoment I y z = - b 7 b - ( ) ( b) = - 5b 7 Die Huptträgheitsmomente und -winke sind I, = b = 7 I I y + z ± I ( + b ) ± y I z + I yz = + b b b + b b b = 7 +. (8. 5) ± b + b b ( ) + ( 7 7 ( + b ) ± 4 4 ) + b b, (8. 6) tn ϕ* = b b b = b b. (8. 7)? Aufgbe 8. Zusmmengesetzter Querschnitt Berechnung des Gesmtschwerpunktes Berechnung der Fächenträgheitsmomente Berechnung der Huptträgheitschsen und Huptträgheitsmomente Ein zusmmengesetzter Querschnitt (Bid 8. 9) iegt vor. gegeben: b, t gesucht: Bestimmung des Gesmtschwerpunktes y S, x S, der Fächenträgheitsmomente I y, I z, I yz, I p im Schwerpunkt S, der Huptträgheitschsen und der Huptträgheitsmomente b b y S S b t y α * z S y z z Bid 8. 9 Zusmmengesetzter Querschnitt tm-ii-8-oesungen.doc

62 6 Lösung b b y A y z S S S S A b A t S y S z z Bid 8. Bezeichnungen im Querschnitt Die Fäche ist A ges = A + A + A = b t + (b t) t + b t. (8. 8) Für einen dünnwndigen Querschnitt mit t << b können höhere Potenzen in t vernchässigt werden. Dnn fogt A ges = 4 b t. (8. 9) Die Berechnung des Fächenschwerpunktes ergibt t y S = y S + = b b t + t (b t) t + b b t, (8. ) A ges mit t << b fogt y S = b t + b 4 b t t = 8 5 b ys = 8 5 b - t, (8. ) z S = b - z S = mit t << b git t b t + b (b t) t + (b A ges t ) b t, (8. )

63 6 8 Fächenträgheitsmoment z S = b t + b 4 b t t = 8 5 b zs = 8 b. (8. ) Die Berechnung der Einzeschwerpunktsbstände zum Gesmtschwerpunkt ergibt b s y = y S - = b, (8. 4) 8 s z = t z S - = 8 5 b - t, (8. 5) t s y = y S - = 8 5 b - t, (8. 6) s z = b z S - = b, (8. 7) 8 s y = b - y S = b, (8. 8) 8 s z = b - t t - z S = b -. (8. 9) 8 Die Berechnung der Fächenträgheitsmomente ergibt b t I y = + s t (b t) z b t + + s b t z (b t) t + + s z b t 7 = b t, (8. ) 48 t b I z = + s y b t + t (b t) + s y (b t) t + ( b) t + s y b t = b t, (8. ) 6 I yz = (- s y )(- s z ) b t + - (- s y )(- s z ) (b t) t + (s y )(s z ) b t = b t. (8. ) Die Richtung der Huptchsen und die Hupttägheitsmomente sind tm-ii-8-oesungen.doc

64 6 I, = I I y + z ± Iy Iz ( ) + I = ( 5 ± 7 ( ) + ( ) 48 6 yz 7 + = ( ± 48 Drus fogen die Huptträgheitsmomente ( ) ( ) 6 ) b t ) b 5,5 t = ( ± ) b t. (8. ) I =, b t, (8. 4) I =.87 b t, (8. 5) Die Lge der Huptträgheitschse ist tn ϕ * = I I y yz I z = = ϕ * = 5,7 ϕ * = 6.5. (8. 6) 6? Aufgbe 8. Zusmmengesetzter unsymmetrischer Querschnitt Berechnung des Gesmtschwerpunktes Berechnung der Fächenträgheitsmomente Berechnung der Huptträgheitschsen und Huptträgheitsmomente Näherung für dünnwndige Querschnitte Ein zusmmengesetzter, dünnwndiger Querschnitt (Bid 8. ) iegt vor. gegeben:, t, t << gesucht: Bestimmung des Gesmtschwerpunktes y S, x S, der Fächenträgheitsmomente I y, I z, I yz, I p im Schwerpunkt S, der Huptträgheitschsen und der Huptträgheitsmomente.

65 64 8 Fächenträgheitsmoment y y t ϕ * S y S z S y z t z z Bid 8. Zusmmengesetzter, dünnwndiger Querschnitt Lösung Bid 8. Bezeichnungen im Querschnitt Die Fäche ist A ges = A + A = t + ( t) t (8. 7) Die Berechnung des Fächenschwerpunktes ergibt t y S = y S + = t + t ( t)t A ges = + t t, (8. 8) ( t) t z S = z S + = t t + ( t) t = A ges,, (8. 9) ( t) tm-ii-8-oesungen.doc

66 65 Die Berechnung der Einzeschwerpunktsbstände zum Gesmtschwerpunkt ergibt s y = y S - t + t ( t)t = + t t + t t ( + t) t + ( t) t - = - = ( t) ( t) + t t =, (8. ) ( t) s z = t z S - = t + t ( t), (8. ) t s y = y S - = t,, (8. ) ( t) s z = - z S - = ( t ),, (8. ) t Die Berechnung der Fächenträgheitsmomente ergibt I y = t + s z t + t ( t) + s z ( t) t, (8. 4) t I z = + s y t + t ( t) + s y ( t) t, (8. 5) I yz = (s y )(- s z ) t + - (- s y )(s z ) ( t) t. (8. 6) Die Richtung der Huptchsen und die Hupttägheitsmomente errechnen sich us I, = I I y + z ± Iy Iz ( ) + I yz (8. 7) Drus fogen die Huptträgheitsmomente I, I. Die Lge der Huptträgheitschse ist tn ϕ * = I I y yz I z ϕ * = 9 ϕ * = 45. (8. 8)

67 66 8 Fächenträgheitsmoment Für einen dünnwndigen Querschnitt mit t << können höhere Potenzen in t vernchässigt werden. Dnn fogt A ges = t. (8. 9) Die Berechnung des Fächenschwerpunktes ergibt t y S = y S + = 4, (8. 4) t z S = z S + = 4, (8. 4) Die Berechnung der Fächenträgheitsmomente ergibt t I y = + ( ) t t + + ( ) t = t 4, (8. 4) t t 5 t I z = + ( ) t + + ( ) t=, (8. 4) t I yz = (- )( ) t + - (- )( ) t =,. (8. 44) Die Richtung der Huptchsen und die Hupttägheitsmomente errechnen sich us Drus fogen die Huptträgheitsmomente I I t = ± =, I =. (8. 45) 8 Iy I y + z z t I, ( ) + Iyz, I Die Lge der Huptträgheitschse ist Iyz tn ϕ * = = ϕ * = 9 ϕ * = 45. I I y z (8. 46) tm-ii-8-oesungen.doc

68 67 9 Torsion? Aufgbe 9. Bestung durch ein Torsionsmoment n den Stbenden Sttisch bestimmtes System Vergeich der Schubspnnung für verschiedene Querschnitte Vergeich dünnwndiger zu dickwndiger Querschnitt Ein Träger wird durch ein Torsionsmoment M T bensprucht. Für die Ausführung des Querschnitts iegen mehrere Entwürfe vor: ) Vokreis; b) Eipse; c) Qudrt; d) geschossener Kreisring; e) offener Kreisring gegeben: 4 = 5 b, r =, 5 t =, M T gesucht: Bei wechen Entwürfen ist die Schubspnnung τ mxim? Wecher Querschnitt ist vom Mteriufwnd der günstigste? Wie groß ist für den geschossenen Kreisring der Feher, wenn die Schubspnnung nch der Forme für dünnwndige Hohquerschnitte bestimmt wird, sttt nch der genueren Rechnung für den Kreisring s Differenz zweier Vokreisquerschitte? ) r b) b c) d) t r e) t r Bid 9. 8 Querschnitte des Torsionsstbs; ) Vokreis; b) Eipse; c) Qudrt; d) geschossener Kreisring; e) offener Kreisring Lösung Die mxime Schubspnnung ergibt sich für ds keinste W T

69 68 9 Torsion τ mx = MT τzu = W T M T. (9. ) W T Für den Vokreis ist ds I W T = P π = r für die Eipse r 4 = r π, (9. 7) W T = π b 8 = π, (9. 74) 5 für ds Qudrt W T =.8, (9. 75) für den geschossenen Kreisring W T = π r t = 5 π, (9. 76) und für den offenen Kreisring W T = π r t π =. (9. 77) 75 Der offene Kreisring ht ds keinste Widerstndsmoment. Dort entsteht die mxime Schubspnnung. Der Kreisring ht den geringsten Mteriverbruch. Die Berechnung dickwndiger zu dünnwndigem Querschnitt ergibt 9 r = r + t =, ri = r - t =. (9. 78) Drus fogt Abweichung des geschossenen Kreisrings mit α = ri r 9 = =.8. (9. 79) Die Widerstndsmomente sind π W T dick = r ( - α 4 π ) = ( ) ( - α 4 ) =.45, (9. 8) tm-ii-9-oesungen.doc

70 69 W T dünn = π r t = 5 π =.566, (9. 8) W W Tdick Tdünn? =.9. (9. 8) Aufgbe 9. Bestung durch ein Torsionsmoment n den Stbenden Sttisch bestimmtes System Vergeich der ufnehmbren Torsionsbestung für verschiedene Querschnitte Für die beiden Querschnittsprofie (Bid 9. 9) sind die mximen Torsionsmomente zu berechnen, die ufgebrcht werden können, ohne dss die zuässige Schubspnnung τ zu überschritten wird. gegeben: τ zu = 9 N mm, = cm, t = mm gesucht: Bestimmung des mximes Torsionsmoments M Tmx t t ) b) Bid 9. 9 Qudrtische Querschnitte ) geschossener Querschnitt; b) offener Querschnitt Lösung Ds mxime Torsionsmoment ergibt sich us M Tmx = τ zu W T. (9. 8) Die Torsionswiderstndsmomente für den offenen Qudrtquerschnitt sind W T = = i t i 5 i 4 t = 4 = mm, (9. 84)

71 7 9 Torsion für den geschossenen Qudrtquerschnitt W T = A m t min = t = = mm. (9. 85) Ds Widerstndsmoment W T ist 5 m größer. So fogt ds mxim ufnehmbre Torsionsmoment M T mx = 9 N WT. (9. 86) mm Ds ist beim offenen Qudrtquerschnitt M T mx =, kn m, (9. 87) beim geschossenen Qudrtquerschnitt M T mx = 8 N mm =.8 kn m. (9. 88) Die Verdrehung ergibt sich zu ϑ A = 4 (4 + ) h tg τ zu. (9. 85)? Aufgbe 9. Bestung durch ein Torsionsmoment in den Stbmitte Sttisch unbestimmtes System Zweibereichsufgbe Berechnung der Einspnnmomente Berechnung der Schubspnnungsveräufe Berechnung der Verdrehung in Weenmitte Berechnung mit Integrtion und mit Arbeitsstz mit zwei Ansätzen Eine beidseitig eingespnnte Wee besteht us zwei Voquerschnitten unterschiedichen Mteris und Durchmessers. Sie ist in der Mitte durch ein Torsionsmoment bestet. gegeben: r = 4, r = 5, G = G, M T, 4 gesucht: Bestimmung der Einspnnmomente, der Schubspnnungsveräufe und der Verdrehung in Weenmitte (Punkt C) tm-ii-9-oesungen.doc

72 7 M T r C r G G Bid 9. Beidseitig eingespnnte Wee. Lösungsmögichkeit mit Integrtion der Differentigeichungen M T A r C r B G G x x Bid 9. Es hndet sich um eine sttisch unbestimmte Zweibereichsufgbe; Definition der Koordinten Für Bereich git dm T = MT (x ) = C, (9. 89) dx dϑ M = T dx GIT ϑ (x ) = G I T (C x + C ), (9. 9) für Bereich git dm T = MT (x ) = C, (9. 9) dx dϑ M = T dx GIT ϑ (x ) = G I T (C x + C ). (9. 9) M T M T M T

73 7 9 Torsion Bid 9. Übergngsstee x =, x = Für die beiden Konstnten C und C steht eine Übergngsbedingung zur Verfügung M T (x = ) = M T + M T (x = ) C = M T + C. (9. 9) Sonst sind keine sttischen Rndbedingungen vorhnden. Es stehen ber zwei geometrische Rndbedingungen und eine geometrische Übergngsbedingung zur Verfügung. ϑ (x = ) = C =, (9. 94) ϑ (x = ) = C = - C, (9. 95) ϑ (x = ) = ϑ (x = ) G I T (C + C ) = G I T C. (9. 96) Mit (9. 94) in (9.96) und (9. 9) fogt C ( G I T + C = - M T ) = -, G I T GI T MT GIT ( + G I G I T T ) = - G I G T I T +G I T M T. (9. 97) Drus fogt mit (9. 95) C = G I G I T T +G I T M T. (9. 98) Drus ergeben sich nun die Schubspnnungsveräufe mit I Ti = π 4 r i τ i (x i, r i * ) = MTi(xi ) r I Ti * i, (9. 99) τ (x, r * ) = MT(x π 4 r ) r * = G I G I T T +G I T π 4 r r * M T, (9. ) τ (x, r * ) = MT(x π 4 r ) r * = G I G T I T +G I T π 4 r r * M T. (9. ) tm-ii-9-oesungen.doc