Leseprobe. Wolfgang H. Müller, Ferdinand Ferber. Übungsaufgaben zur Technischen Mechanik ISBN:

Transkript

1 Leseprobe Wofgng H. üer, Ferdinnd Ferber Übungsufgben zur Technischen echnik ISBN: Weitere Infortionen oder Besteungen unter sowie i Buchhnde. Cr Hnser Verg, ünchen

2 .. Schnittgrößen eingespnnten Träger unter Lst I 7. Der biegesteife Träger.. Schnittgrößen eingespnnten Träger unter Lst I Probesteung Für den in bb... drgesteten, it den Kräften F und F besteten Biegeträger sind e Schnittgrößen zu bestien und über de Träger zu zeichnen. rknte Schnittgrößenpunkte sind zhenäßig nzugeben., F kn F kn bb...: Eingespnnter Trägerunter äußerer Lst.,8 Lösung F F y, F kn F kn,8 [kn] II I, 4, [kn] -, - - -, -, bb...: Freischnitt und Schnittgrößen Träger. Die gesuchten Schnittfächen sind in bb... bereits eingezeichnet. Es so nun eräutert werden, wie sie zustnde gekoen sind. Udie Fächen sowoh vo inken s uch vo rechten Trägerende her entwicken zu können, epfieht es sich in eine ersten Schritt die Schnittgrößen i Lger zu eritten. Dies geschieht wie übich durch Freischnitt bei und uswerten der entsprechenden Geichgewichtsbedingungen: F : F,.. und drus fogt sofort, dss die Norkrft in jede Punkt der Bkenchse verschwinden uss dher wurde sie oben uch nicht eingezeichnet: N...

3 7. Der biegesteife Träger Dies hätte n übrigens uch vo rechten Bkenende her koend sehen können, denn nirgends wird nor zu Bkenuerschnitt eine Krft eingeeitet. s nächstes: Fy : Fy F F kn kn kn... Ob dies eine positive oder negtive uerkrft inken Schnittufer zur Foge ht, entscheiden wir durch beitung der oentenfäche. Dher studieren wir zuerst die dritte Geichgewichtsbedingung: : F, F, kn, kn, 4, kn...4 n bechte, dss die uswertung dieser Geichung zunächst nicht ds Vorzeichen der oentenfäche zu entscheiden hift. Wir entscheiden ds Vorzeichen vieehr über die in der bbidung drgesteten, gestrichete Linie, die für ein positives Biegeoent definierte Zugzone des Bkens. Wenn wir beispiesweise die oentenfäche von inks her entwicken, so ist festzuhten, dss ds oent besgte Linie ufbiegt, und ds gibt zu einer positiven oentenfäche nss. Der Wert dieser Fäche beibt jedoch nicht erhten, wenn wir nch rechts fortschreiten, d die Krft F beginnt, ufgrund ihres negtiven Vorzeichens ds oent bzubuen, und zwr iner und u so ehr, je weiter wir nch rechts gehen. n der Stee besitzt die oentenfäche nur ehr den Wert: 4, kn kn,, kn... Dies hätte n uch von rechts koend sehen können, sogr etws schneer: kn,8, kn,.. denn dort häuft die Krft F iner ier ehr positives oent uf, denn sie bensprucht die gestrichete Linie uf Zug. Soit ist die in der bbidung gezeichnete über iner verufende oentenfäche einsichtig. Ds Vorzeichen und ussehen der uerkrftfäche eritten wir us der Beziehung: d...7 d Es ergeben sich zwei konstnte, negtive Bereiche der Stärke:, 4, Bereich I: kn kn,..8, Bereich II:, kn kn...9, 8.. Schnittgrößen eingespnnten Träger unter Lst II Probesteung Für den in bb... drgesteten, einseitig eingespnnten und über der Länge von 4 it der Geichstreckenst kn besteten Biegeträger sind e Schnittgrößen zu bestien und über de Träger zu zeichnen. rknte Punkte und sind zhenäßig zu chrkterisieren. y

4 .. Schnittgrößen eingespnnten Träger unter Lst II 7 F kn/ bb...: Eingespnnter Träger unter äußerer Lst. Lösung Die gesuchten Schnittfächen sind in bb...4 bereits eingezeichnet worden. Es so nun eräutert werden, wie sie zustnde koen. U die Fächen sowoh vo inken s uch vo rechten Trägerende her entwicken zu können, epfieht es sich in eine ersten Schritt, die Schnittgrößen i dreiwertigen Lger zu eritten. Dies geschieht wie übich durch Freischnitt bei und uswerten der entsprechenden Geichgewichtsbedingungen. Doch zuvor ersetzen wir die Geichstreckenst durch eine Erstzkrft der Stärke: kn F 4 kn, 4... F F kn/ 4 F y [ kn ] [ kn ] bb...4: Eingespnnter Träger unter äußerer Lst. Dnn biden wir entng der chsrichtung des Bkens: F : F,.. und drus fogt, dss die Norkrft in jede Punkt der Bkenchse verschwinden ussdher wurde sie oben uch nichteingezeichnet. Wirschreiben: N... Dies hätte n übrigens uch vo rechten Bkenende her koend sehen können, denn nirgends wird nor zu Bkenuerschnitt eine Krft eingeeitet. s Nächstes: F : F F kn... y y

5 74. Der biegesteife Träger Ob dies eine positive oder negtive uerkrft inken Schnittufer zur Foge ht, entscheiden wir durch beitung der oentenfäche. Dher werten wir zuerst die dritte Geichgewichtsbedingung us: : F kn 4 48, kn...4 n bechte, dss die uswertung dieser Geichung ds Vorzeichen der oentenfäche entscheidet. Dieses eritten wir über die in der bbidung eingezeichnete gestrichete Linie, die für ein positives Biegeoent definierte Zugzone des Bkens. Entwicken wir die oentenfäche von inks koend, so ist festzuhten, dss ds oent besgte Linie ufgrund des negtiven Vorzeichens zusendrückt, so uf eine negtive oentenfäche führt. Der Wert dieser Fäche beibt jedoch nicht erhten, wenn wir nch rechts gehen, denn die Krft F beginnt ufgrund ihrespositiven Vorzeichens oent y ufzubuen und zwr iner ier ehr, je weiter wir nch rechts gehen. n der Stee besitzt die oentenfäche schießich noch den Wert: 48, kn kn, 4, kn... Dies hätte n uch von rechtskoend sehen können, sogr etws schneer: kn, 4, kn,.. denndort häuft die Krft F über der Strecke iner ier ehr negtives oent uf, d sie die gestrichete Linie zusendrückt. Soit sind bereits einige Teie der oben gezeichneten oentenfäche einsichtig. Ws noch feht, ist die genue thetische Beschreibung der oentenfäche i Bereich der Geichstreckenst. Sie ist dort durch eine Prbe zweiter Ordnung gegeben, die vo negtiven Wert uf den Wert Nu nsteigt denn gnz rechts uss die oentenfäche wegen des freien Trägerendes verschwinden. Wir woen uf die genue thetische nyse verzichten und nur ihre ungefähre For eritten, inde wir den Punkt und den Endpunkt iteinnder verbinden und, wie gezeichnet, eine Prbe der Tiefe: kn 4 kn einsetzen. Ds Vorzeichenund ussehen der uerkrftfäche eritten wir us der Beziehung: d...8 d So resutiert inks ein konstnter, positiver Bereich der Stärke: 4, 48, kn kn...9, Dnch uss die uerkrft iner uf Nu bnehen, denn die Geichstreckenst beginnt von rechts koend rechten Trägerende uerkrft nzuhäufen. Oder nders gesgt: Die beitung einer udrtischen Prbe die oentenfäche in diese Bereich knn nur eine inere Funktion sein.

6 .. Schnittgrößen geenkig gegerten Träger unter örtich vriber 7.. Schnittgrößen geenkig gegerten Träger unter örtich vriber Streckenst I Probesteung uf de drgesteten Bken ist über seiner kopetten Länge eine nichtinere, sinusförige Streckenst ngebrcht. Bestie e Schnittgrößen und zeichne sie über de Bken. bb...: GeenkiggegerterTräger unter äußererlst. Lösung U die gesuchten Schnittfächen berechnen und zeichnen zu können, üssen wir s Erstes eine thetische Geichung für die Streckenst ufsteen. D es sich u eine sinusförige Bestung hnden so, iegt es nhe, den fogenden nstz it den beiden noch unbeknnten Pretern und B zu wähen: sin B... Diese Preter werden so bestit, dss fogende Rndbedingungen erfüt sind: und: π.. sin B B π B sin π sin π sinπ... Offenbr ist die Norkrftverteiung für den voriegenden F identisch Nu, denn es eistieren j keine in Stbchsenrichtung weisenden Kräfte, weder ufgrund der Lger noch durch Eineitung entng de Bken. Die Schnittgrößen uerkrft- und oentenverteiung fogen per Integrtion us den fogenden Geichungen: d d C d,.. d d C [ d] d C C d. Konkret ergibt sich: sin π d C cos π C,..4 π denn es git: sin d cos... Weiterhin ist:

7 7. Der biegesteife Träger d: d C sin π C C,.. π cos d sin...7 s Letztes üssen noch die beiden Integrtionskonstnten C und C us Rndbedingungen festgeegt werden. ögiche Rndbedingungen sind ds Verschwinden der oentenfäche Trägernfng und -ende: C, C C Wir können so zusenfssen: cos π, sin π π π Die grphische Drsteung der Schnittgrößen findet sich in bb.... π π / - π / bb...: Veruf der Schnittgrößen über de Träger...4 Schnittgrößen geenkig gegerten Träger unter örtich vriber Streckenst II Probesteung Der drgestete Bken steht über seiner kopetten Länge unter einer trpezförigen Streckenst.Bestiee Schnittgrößenund zeichne sie überde Bken. bb...7: Geenkig gegerter Träger unter trpezföriger Streckenst. Lösung U die gesuchten Schnittfächen berechnen und zeichnen zukönnen, üssen wir s Ersteseine thetische Geichungfür diestreckenst ufsteen. D es sich u eine trpezförige, so inere Bestung hnden so, iegt es nhe, eine Gerdengeichung it den beiden noch unbeknnten Pretern und b zu wähen: b...

8 ..4 Schnittgrößen geenkig gegerten Träger unter örtich vriber 77 Diese Preter werden n die For des Trpezes ngepsst, sodss fogende Rndbedingungen erfüt sind: b b.. und:... Es ergibt sich:... Offenbr ist die Norkrftverteiung für den voriegenden F identisch Nu, d i voriegenden Probe keine senkrecht zu Fächenuerschnitt stehenden Kräfte eistieren. Die uerkrft- und die oentenverteiung fogen per Integrtion us den fogenden Geichungen: d d C d,..4 d d C [ d] d C C d. Konkret ergibt sich: Weiterhin ist: C d C C. d C C.... C C C C s Letztes üssen noch die beiden Integrtionskonstnten C und C us Rndbedingungen festgeegt werden. ögiche Rndbedingungen sind ds Verschwinden der Biegeoente Trägernfng und -ende: C C C,..7 [ ] C C. nschuich gesprochen ässt sich die Konstnte C wegen der Geichung für die uerkrft.. s die inke ufgerkrft interpretieren. bschießend können wir schreiben: F.

9 78. Der biegesteife Träger,...8 Für die speziee Wh Krftdichte inks doppet so groß wie rechts ergibt sich us den beiden etzten Geichungen die etws übersichtichere For:,...9-4,,47 bb...8: Veruf der Schnittgrößen über de Träger. U i Hinbick uf einen Spnnungsnchweis ds iu der oentenverteiung und die zugehörigestee zu finden, biden wir: d d...4 Soit ergibt sich:, , ± ±,..4 denn die erste Lösung für die Position ist us physikischen Gründen unsinnig. ithin:,, 47, 47, Die grphische Drsteung der Schnittgrößen für diesen F ist in bb...8 zu sehen... Schnittgrößen bgeknickten Träger I Probesteung Für den in bb...9 drgesteten, it Einzekräften besteten Biegeträger sind e Schnittgrößen zu bestien und über de Träger zu zeichnen. rknte Punkte sind zhenäßig nzugeben, kritische Steen sind hervorzuheben.