1. Stabsysteme. 1.1 Statisch bestimmte Stabsysteme 1.2 Statisch unbestimmte Stabsysteme 1.3 Stabsysteme mit starren Körpern

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1 1. Stbsysteme 1.1 Sttisch bestimmte Stbsysteme 1.2 Sttisch unbestimmte Stbsysteme 1.3 Stbsysteme mit strren Körpern Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

2 1.1 Sttisch bestimmte Stbsysteme Längenänderung eines Stbs: Die Verschiebungen der Stbknoten können in eine Komponente u prllel zur Stbchse und eine Komponente v senkrecht zur Stbchse ufgeteilt werden. y y v 2 2 u 2 x ür kleine Verschiebungen gilt: Geometrische Überlegungen dürfen n der unverformten Struktur durchgeführt werden. v 1 1 ϕ u 1 x Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

3 1.1 Sttisch bestimmte Stbsysteme Die Verschiebungen senkrecht zur Stbchse beschreiben eine Drehung, bei der sich die Länge des Stbs nicht ändert. Nur die Verschiebungen prllel zur Stbchse führen zu einer Längenänderung des Stbs: 1 2 v 1 u k x v 2 Δ L= u 2 u 1 ür die Verschiebung prllel zur Stbchse gilt: v k ϕ ϕ u k u k =u k cos (ϕ)+v k sin (ϕ), k=1,2 Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

4 1.1 Sttisch bestimmte Stbsysteme Dmit gilt für die Längenänderung: Δ L=(u 2 u 1 ) cos(ϕ)+(v 2 v 1 )sin(ϕ) Die Längenänderung setzt sich zusmmen us einer Längenänderung ΔLN infolge der Normlkrft, einer Längenänderung ΔLT infolge einer Temperturänderung, einer Anfngsverlängerung ΔL0 infolge einer ertigungsungenuigkeit: Δ L=Δ L N +Δ L T +Δ L 0 ür ΔL0 > 0 ist der Stb zu lng und für ΔL 0 < 0 zu kurz. Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

5 1.1 Sttisch bestimmte Stbsystem Stbgleichungen: ür einen Stb mit konstnter Dehnsteifigkeit EA gilt: Δ L=L ( N +α T ΔT ) +Δ L 0 Auflösen nch der Normlkrft ergibt: N =( Δ L L Δ L 0 L α T Δ T ) Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

6 1.1 Sttisch bestimmte Stbsysteme Beispiel: Gegeben: Länge, Winkel α Dehnsteifigkeit EA Krft Gesucht: B ϕ EA y x Verschiebungen uc und v C von Punkt C A EA α C Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

7 1.1 Sttisch bestimmte Stbsysteme Stbkräfte: y =0 : N BC sin(α) =0 N BC = sin (α) y N AC N BC α C x =0 : N AC N BC cos(α)=0 N AC = N BC cos(α)= cot (α) x Längenänderungen: u A =u B =0 v A =v B =0 ϕ= α Δ L AC =u C Δ L BC =u C cos (ϕ)+v C sin (ϕ) =u C cos (α) v C sin (α) Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

8 1.1 Sttisch bestimmte Stbsysteme Stbgleichungen: ür die Verschiebungen folgt: u C =Δ L AC = cot (α) v C = 1 sin(α) ( u C cos(α) Δ L BC )= ( cot2 (α)+ = cos 3 (α)+1 sin 2 (α)cos(α) Δ L AC = N AC = cot(α) Δ L BC = N BC cos(α) = sin(α)cos(α) 1 ) sin 2 (α)cos(α) Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

9 1.1 Sttisch bestimmte Stbsysteme Beispiel: chwerk Gegeben: D E Länge Krft Temperturänderung ΔTAB y A B C Anfngsverlängerung ΔL0DE Dehnsteifigkeit EA x Wärmeusdehnungskoeffizient αt Gesucht: Verschiebungen der Knoten B, C und E Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

10 1.1 Sttisch bestimmte Stbsysteme Stbkräfte (z. B. mit Knotenpunktverfhren): N N DE CE E C N CE N BD N BE N BC N BE N AB B N BC N CE = 2 N BC = N BE = N CE 2 = N DE = N CE 2 = N BD = 2 N BE = 2 N AB =N BC N BD 2 = 2 Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

11 1.1 Sttisch bestimmte Stbsysteme Verschiebungen: Stb AB: u B =Δ L AB =( N AB +α T Δ T AB) = ( α T Δ T AB 2 ) Stb DB: (ϕ= 45 ) 2 2 ( u B v B )=Δ L BD = 2 N BD = 2 v B =u B 2 2 = ( α T Δ T AB 2 (1+ 2) ) Stb DE: u E =Δ L DE =( N DE + Δ L 0 DE ) = ( + Δ L 0 DE ) Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

12 1.1 Sttisch bestimmte Stbsysteme Stb BE: (ϕ=90 ) Stb BC: v E v B =Δ L BE = N BE = v E =v B = ( α T Δ T AB (3+2 2 ) u C u B =Δ L BC = N BC = A) E u C =u B = ( α T Δ T AB 3 ) Stb EC: (ϕ= 45 ) 2 2 ( u C u E v C +v E )=Δ L CE = 2 N CE = 2 Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

13 1.1 Sttisch bestimmte Stbsysteme u C u E +v E 2 2 Bei ebenen chwerken gilt: =v C v C =( 2 α T Δ T AB Δ L 0 DE (7+4 2) A) E Es gibt zwei Verschiebungskomponenten pro Knoten und dmit insgesmt 2K Verschiebungskomponenten. Dvon sind L Verschiebungskomponenten n den Lgern null. Zur Ermittlung der 2K L unbeknnten Verschiebungskomponenten stehen S Stbgleichungen zur Verfügung. Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

14 1.1 Sttisch bestimmte Stbsysteme Bei sttisch bestimmten chwerken gilt: 2 K =L+S 2 K L=S Alle unbeknnten Verschiebungskomponenten können us den Stbgleichungen bestimmt werden. Dbei empfiehlt es sich, nch Möglichkeit Stäbe zu betrchten, bei denen die Verschiebungen n einem Knoten bereits beknnt sind. Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

15 1.2 Sttisch unbestimmte Stbsysteme Beispiel: Abgestufter Stb Gegeben: Abmessung EA 1 EA 2, ΔL 0 A B C Dehnsteifigkeiten EA1 und EA 2 Anfngsverlängerung ΔL 0 von Stb BC Gesucht: Stbkräfte 2 Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

16 1.2 Sttisch unbestimmte Stbsysteme Gleichgewicht: N AB =N BC =N A B B C N N N N 2 Kinemtik: Δ L=Δ L AB +Δ L BC =0 N AB + 2 N BC +Δ L 1 0 =0 ( ) 2 1 A N = Δ L 0 2 N = Δ L 0 E = Δ L 0 1/ A 1 +2/ A 2 1 A 2 A 2 +2 A 1 Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

17 1.2 Sttisch unbestimmte Stbsysteme Bei sttisch unbestimmten Stbsystemen gilt: Die Gleichgewichtsbedingungen llein reichen nicht us, um die Stbkräfte zu ermitteln. Zusätzlich müssen die kinemtischen Beziehungen verwendet werden. ertigungsungenuigkeiten und Temperturlsten führen zu Stbkräften. Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

18 1.2 Sttisch unbestimmte Stbsysteme Beispiel: chwerk Gegeben: Abmessung Dehnsteifigkeit EA Gesucht: Verschiebung von Punkt B Stbkräfte Wärmeusdehungskoeffizient α T A C Krft Temperturlst ΔT im Stb BE y B ΔT D x E Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

19 1.2 Sttisch unbestimmte Stbsysteme Gleichgewicht m Knoten B: x =0 : N BC N AB ( N BE N BD )=0 y =0 : 2 2 ( N BD +N BE )=0 N AB N BD B y N BC x N BE Stbgleichungen: Stb AB: u B =Δ L AB = N AB N AB= u B Stb BC: u B =Δ L BC = N BC N BC= u B Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

20 1.2 Sttisch unbestimmte Stbsysteme Stb DB: 2 2 ( u B +v B )=Δ L BD = 2 N BD N BD = u B+v B 2 Stb BE: 2 2 ( u B +v B )=Δ L BE = 2 ( N BE +α T Δ T ) N BE = ( u B v B 2 +α T Δ T ) Einsetzen der Stbgleichungen in die Gleichgewichtsbedingungen: x =0 : [ 2 u 2 ( u v B B B + α 2 2 T Δ T + u +v )] B B 2 =0 Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

21 1.2 Sttisch unbestimmte Stbsysteme 2 2 α T Δ T = ( ) u B u B = 2 α T Δ T 4+ 2 y =0 : 2 2 ( u +v B B u v ) B B α 2 2 T Δ T =0 2 2 α T Δ T = 2 2 v B = α T Δ T 2 v B Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

22 1.2 Sttisch unbestimmte Stbsysteme Stbkräfte: N AB = u B = 2 α T Δ T 4+ 2, N BC = u B = 2 α T Δ T 4+ 2 N BD = u B+v B 2 = 2 ( ) α T Δ T 2 2 = 2 α T Δ T N BE = ( u B v B 2 +α T Δ T ) = ( 1 2 = 2 α T Δ T ) 2 α ΔT 2 T 2 Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

23 1.2 Sttisch unbestimmte Stbsysteme Sttisch unbestimmte chwerke: Unbeknnt: Gleichungen: Lgerkräfte: L Gleichgewicht m 2K Knoten: Stbkräfte: S Stbgleichungen: S Verschiebungen: 2K - L Gesmt: 2K + S 2K + S Die Stbkräfte können nicht unbhängig von den Verschiebungen bestimmt werden. Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

24 1.3 Stbsysteme mit strren Körpern Buteile, deren Verformungen klein sind im Vergleich zu den Verformungen der übrigen Buteile, us denen ein Trgwerk zusmmengesetzt ist, können ls strre Körper betrchtet werden. Kinemtik des strren Körpers: Die Bewegung eines strren Körpers setzt sich us einer Trnsltion und einer Rottion zusmmen. Im olgenden wird vorusgesetzt, dss der Winkel, um den sich der strre Körper dreht, so klein ist, dss Kreisbögen durch die Tngente ersetzt werden dürfen. Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

25 1.3 Stbsysteme mit strren Körpern Bei einer kleinen Drehung um einen festen Punkt A gilt: y δ P v P x P x A =r cos(α) y P y A =r sin(α) u C α δ P =r tn(ϕ) r ϕ y P y A C ϕ ϕ α A x A ϕ r u P x P P v B B x u P = δ P sin(α) = r ϕ sin(α) = (y P y A )ϕ=u C v P =δ P cos(α) =r ϕ cos(α) =( x P y P )ϕ=v B Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

26 1.3 Stbsysteme mit strren Körpern Wenn sich der Punkt A selbst verschiebt, so muss die Verschiebung von Punkt A ddiert werden. Dmit gilt llgemein: y v P u P = u A (y P y A )ϕ v P = v A + ( x P x A )ϕ ϕ A v A u A P u P x Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

27 1.3 Stbsysteme mit strren Körpern Beispiel 1: Gegeben: 4 Abmessung Dehnsteifigkeit EA des Stbs CD 2 A strr B Krft Gesucht: y 2 C EA Stbkrft NCD Kräfte im Lger A x D Verschiebungen ub und v B von Punkt B Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

28 1.3 Stbsysteme mit strren Körpern Gleichgewicht m strren Körper: x =0 : A x =0 M A =0 : 2 N CD 4 =0 N CD = 2 y =0 : A y N CD =0 A y = N CD = A x 2 A y A 2 4 B strr y C x N CD Zugkräfte Zugkräfte zeigen zeigen vom vom strren strren Körper Körper weg. weg. Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

29 1.3 Stbsysteme mit strren Körpern Stbgleichung: v C =Δ L CD = N CD = 2 Kinemtik: u A =v A =0 v C =2 ϕ= 2 ϕ= 2 A ϕ 4 strr v C y v B B u B =0 2 C x v B =4 ϕ= 4 Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

30 1.3 Stbsysteme mit strren Körpern Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

31 1.3 Stbsysteme mit strren Körpern Beispiel 2: Gegeben: D Abmessung Dehnsteifigkeit EA der Stäbe BC und DE EA E 2 Krft Gesucht: 2 A strr B Stbkräfte NBC und N DE y 2 EA Verschiebungen u und v von Punkt x C Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

32 1.3 Stbsysteme mit strren Körpern Gleichgewicht m strren Körper: M A =0 : 2 2 N DE 2 N BC 4 =0 2 N DE N BC =2 Die Kräftegleichgewichte liefern zwei weitere Gleichungen mit zwei weiteren Unbeknnten. N DE 45 strr E 2 A B A x 2 A N BC y 2 y x Ds System ist sttisch unbestimmt. Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

33 1.3 Stbsysteme mit strren Körpern Kinemtik: u A =v A =0 δ E =2 2 ϕ strr δ E 45 E 2 v u v B =2 ϕ 2 ϕ B v B y u = 2 ϕ A 2 x v =4 ϕ Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

34 1.3 Stbsysteme mit strren Körpern Stbgleichungen: δ E = Δ L DE = 2 N DE, v B=Δ L BC = N BC Mit den kinemtischen Beziehungen folgt: N DE = 2 δ E= 2 ϕ, N BC = v B=2 ϕ Einsetzen in ds Momentengleichgewicht ergibt: ( ) ϕ=2 ϕ= = ( 2 1 ) Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

35 1.3 Stbsysteme mit strren Körpern Dmit gilt für die Stbkräfte: N DE =2 ( 2 1), N BC = 2 ( 2 1) ür die Verschiebung von Punkt folgt: u =2 ( 2 1), v = 4 ( 2 1) Aus den übrigen beiden Gleichgewichtsbedingungen können die Lgerkräfte im Punkt A ermittelt werden. Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

36 1.3 Stbsysteme mit strren Körpern Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

37 1.3 Stbsysteme mit strren Körpern Beispiel 3: Gegeben: Abmessung D 4 Dehnsteifigkeit EA ller Stäbe Krft Gesucht: Stbkräfte E EA 2 EA C A EA strr B EA y x Verschiebungen u und v von Punkt G 2 H Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

38 1.3 Stbsysteme mit strren Körpern Gleichgewicht m strren Körper: x =0 : N CD N AE =0 y =0 : N AG N BH =0 N CD 2 C A strr B 4 y M A =0 : 2 N BH 4 +2 N CD =0 N AE N AG 2 N BH x Ds System ist sttisch unbestimmt. Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

39 1.3 Stbsysteme mit strren Körpern Kinemtik: v B =v A +2 ϕ u C =u A 2 ϕ u =u A 2 ϕ v =v A +4 ϕ 2 C v A ϕ u C strr v B 4 y v u Stbgleichungen: 2 A u A B x u A =Δ L AE = N AE v A =Δ L AG = N AG v B =Δ L BH = N BH u C =Δ L CD = N CD Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

40 1.3 Stbsysteme mit strren Körpern Mit der Kinemtik folgt us den Stbgleichungen: N AE = u A, N AG = v A N BH = ( v A +2 ϕ ), N CD = ( u A 2 ϕ ) Einsetzen in die Gleichgewichtsbedingungen ergibt: x =0 : ( u A 2 ϕ+u A )=0 y =0 : ( v A +v A +2 ϕ )= M A =0 : 2 ( v A 2 ϕ+u A 2 ϕ )=4 Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

41 1.3 Stbsysteme mit strren Körpern Drus folgt: 2 u A 2 ϕ = 0 (1) 2v A +2 ϕ = (2) u A v A 4 ϕ = 2 (3) Auflösen ergibt: (1) u A = ϕ, (2) v A = 1 2 in (3): (1+1 4 ) ϕ= ( ) ϕ= 3 4 (1) u A = 3 4 ϕ, (2) v A= ( ) 4 = 1 4 Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

42 1.3 Stbsysteme mit strren Körpern Dmit gilt für die Stbkräfte: N AE = 3 4, N AG= 1 4 N BH = ( ) = 5 4, N CD= ( ) = 3 4 ür die Verschiebung von Punkt folgt: u = ( ) = 3 4, v = ( ) = 11 4 Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM

43 1.3 Stbsysteme mit strren Körpern Prof. Dr. Wndinger 4. Trgwerke TM