Technische Mechanik I. - Statik -

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2 LISTE DER WARENZEICHEN Technische Mechnik I - Sttik - von Annette Kunow - 1 -

3 LISTE DER WARENZEICHEN Text Copyright 016 Annette Kunow All Rights Reserved - -

4 LISTE DER WARENZEICHEN LISTE DER WARENZEICHEN Microsoft (MS) Office 010 ist ein Produkt der Microsoft Coorp., U. S. A. Microsoft Excel, Corel Drw TM 7, Orcle, Visul Bsic und ähnliche sind entweder eingetrgene Mrken oder Mrken der Microsoft Corp. und/oder nderer Unternehmen in den Vereinigten Stten und/oder in nderen Ländern, - 3 -

5 VORWORT VORWORT Die Technische Mechnik ist ein Grundlgenfch in der Ingenieurusbildung. Sie vermittelt die physiklischen Zusmmenhänge, um Konstruktionen den jeweiligen Belstungen entsprechend zu dimensionieren. Im Bereich der Festkörpermechnik werden die drei Bereiche: Sttik, Festigkeitslehre oder Elstosttik und Kinetik unterschieden. Die Mechnik flüssiger Stoffe wird nicht behndelt. Der erste Teil der drei Bände Technischen Mechnik I umfsst die Sttik. Dort werden der Gleichgewichtsbegriff und die Bestimmung der Schnitt- und Rektionskräfte definiert. Weiter werden der Arbeitsbegriff (Stbilität) und Hftungsund Reibungsprobleme, sowie räumliche Systeme mit vielen durchgerechneten Beispielen behndelt. In dem Buch Übungen zur Technischen Mechnik I werden die n jedem Kpitelende gestellten Übungsufgben vollständig, mit den möglichen Lösungswegen durchgerechnet. Die mthemtischen Vorussetzungen werden im Kpitel kurz zur Wiederholung drgestellt

6 VORWORT Dieses Buch entstnd us dem Skript der Vorlesung Technische Mechnik, die ich seit 1988 kontinuierlich n der Hochschule Bochum im Fchbereich Mechtronik und Mschinenbu hlte. Bochum, im Oktober 016 Prof. Dr.-Ing. Annette Kunow P.S.: Schreiben Sie mir, wenn Ihnen dieses Buch gefällt und welche Anregungen Sie hben. Sie erreichen mich unter meiner Homepge Dort finden Sie unter dem Nvigtionspunkt uch ds versprochene Bonusmteril. und besuchen Sie meinen Blog Selbstführung & Produktivität Ich würde mich uch dort sehr über Ihre Kommentre und Anmerkungen freuen

7 INHALTSANGABE INHALTSANGABE Liste der Wrenzeichen Vorwort Inhltsngbe Einleitung Mthemtische Grundlgen Lehrziel des Kpitels Formeln des Kpitels Der Krftvektor- Definition Differentilrechnung Differentitionsregeln Integrlrechnung Ds unbestimmte Integrl Ds bestimmte Integrl Gleichgewicht in einem Punkt Lehrziel des Kpitels Formeln des Kpitels

8 INHALTSANGABE Definition Kräfte in der Ebene Definition des Krftecks Kräfte und Momente in der Ebene Ds Kräftepr und ds Drehmoment Eigenschften des Drehmoments in der Ebene Krft und Drehmoment Ds Moment einer Krft Definition Aufgben zu Kpitel Gleichgewicht in der Ebene Lehrziel des Kpitels Formeln des Kpitels Gleichgewichtsbedingungen Mögliche Kräfteverteilung in der Ebene Aufgben zu Kpitel Lgerrektionen bei ebenen Trgwerken

9 INHALTSANGABE Lehrziel des Kpitels Ds Wechselwirkungsgesetz Kräftetypen Volumenkräfte Flächenkräfte Linienkräfte Definition der Trgwerksrten Bewegungsmöglichkeiten eines Körpers Sttische Bestimmtheit Lösen eines Berechnungsproblems Aufgben zu Kpitel Ebenes Fchwerk Lehrziel des Kpitels Formeln des Kpitels Definition eines Fchwerks Aufbu eines Fchwerks Bildungsgesetz Bildungsgesetz

10 INHALTSANGABE 3. Bildungsgesetz Definition der Nullstäbe Anlytische Lösung Der CREMONApln Aufzeichnen des CREMONAplns Grphische Kontrolle Der RITTERsche Schnitt Aufgben zu Kpitel Gerder Blken und Rhmensystem Lehrziel des Kpitels Formeln des Kpitels Innere Kräfte Schnittprinzip Vorzeichenfestlegung Bestimmung der Schnittkrftverläufe N, Q, M nch der elementren Methode (durch Schneiden) Zusmmenhng zwischen Belstung und Schnittgrößen (Grundgleichungen)

11 INHALTSANGABE Gleichgewicht m infinitesimlen Element (Bild 7.1) Lösungswege Zusmmengesetzte Systeme Gerberträger Rhmen Aufgben zu Kpitel Der Arbeitsbegriff in der Sttik Lehrziel des Kpitels Formeln des Kpitels Der Arbeitsstz Elementrbeit Arbeitsstz Prinzip der virtuellen Verrückungen bei strren Körpern Stbilität einer Gleichgewichtslge Ermittlung von Auflgerkräften mit Hilfe des Arbeitsstzes

12 INHALTSANGABE 8.5 Stbilität Beeinflussende Fktoren Ermittlung und Bewertung Aufgben zu Kpitel Hftung und Reibung Lehrziel des Kpitels Formeln des Kpitels Hftung Hftreibung Fälle des COULOMBschen Hftungsgesetzes Reibung Seilhftung Aufgben zu Kpitel Rumsttik Lehrziel des Kpitels Aufgben zu Kpitel Litertur

13 INHALTSANGABE Schwörterverzeichnis Bereits erschienen Impressum

14 1 EINLEITUNG 1 EINLEITUNG Die Technische Mechnik ist ein Grundlgenfch in der Ingenieurusbildung. Sie vermittelt die physiklischen Zusmmenhänge, um Konstruktionen den jeweiligen Belstungen entsprechend zu dimensionieren. Im Bereich der Festkörpermechnik werden die drei Bereiche: Sttik, Festigkeitslehre oder Elstosttik und Kinetik unterschieden. Die Mechnik flüssiger Stoffe wird nicht behndelt. Der erste Teil der drei Bände Technischen Mechnik I umfsst die Sttik. Dort werden der Gleichgewichtsbegriff und die Bestimmung der Schnitt- und Rektionskräfte definiert. Weiter werden der Arbeitsbegriff (Stbilität) und Hftungsund Reibungsprobleme, sowie räumliche Systeme mit vielen durchgerechneten Beispielen behndelt. In dem Buch Übungen zur Technischen Mechnik I werden die n jedem Kpitelende gestellten Übungsufgben vollständig, mit den möglichen Lösungswegen durchgerechnet. Die mthemtischen Vorussetzungen werden im Kpitel kurz zur Wiederholung drgestellt

15 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN Lehrziel des Kpitels o Drstellung der vorusgesetzten mthemtischen Grundkenntnisse des Lesers Formeln des Kpitels o Krftvektor- Definition o Mthemtische Formel der Differentition o Mthemtische Formel der Integrtion o Griechisches Alphbet.1 Der Krftvektor- Definition Spitze Schft Bild.1: "Spitze" und "Schft" Ein Vektor wird durch drei Angben festgelegt o Betrg (= Länge im Krfteck), o Richtung,

16 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN o Orientierung. B A v Bild.: Vektordrstellung Vektoren werden durch Pfeile bgebildet. Die beiden Enden der Vektoren nennt mn "Spitze" und "Schft" (Bild.1). Gibt der Vektor eine Verschiebung vom Punkt A zum Punkt B n, so wird dieser ls Vektor AB bezeichnet. In llen nderen Fällen symbolisiert mn einen Vektor mit einem Kleinbuchstben und drüber stehendem Pfeil (Bild.), Vektor v Zwei Vektoren nennt mn gleich, wenn diese den gleichen Betrg, die gleiche Richtung und Länge besitzen

17 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN ) b) c) d) Bild.3: Gleichheit von Vektoren, ) gleicher Betrg, unterschiedliche Richtung, unterschiedliche Orientierung; b) unterschiedlicher Betrg; gleiche Richtung, gleiche Orientierung; c) gleicher Betrg, gleiche Richtung, gleiche Orientierung; d) gleicher Betrg, unterschiedliche Richtung, gleiche Orientierung Nur die Vektoren von Bild.3c sind gleich.. Differentilrechnung Die Ableitungsfunktion y I = f I (x) ordnet jeder Stelle x in einem Intervll I den Steigungswert der jeweiligen Kurventngente ls Funktionswert zu. Es gibt folgende Schreibweisen (.1) : y I oder I dy f (x) oder. dx

18 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN Differentitionsregeln Folgende Differenttionsregeln gelten (.): I ( f(x)) = f (x), I mit (.3) : u = u(x) und v = v(x) ergibt sich die Summenregel (.4) : I (u ± v) =u ± v, I I die Produktregel (.5) : (u v) I =u I v + v I u und die Quotientenregel (.6) : I u I u v uv ( ) =. v v I

19 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN.3 Integrlrechnung.3.1 Ds unbestimmte Integrl Zu jeder Funktion f(x) gehört eine Stmmfunktion F(x), die folgender Regel gehorcht (.7) : I F (x) = f(x)oder df(x) = df(x) dx F(x) + C = f(x)dx. Es gibt zu jeder gegebenen Funktion f(x) unendlich viele Stmmfunktionen F i (x). Die F i (x) werden uch ls Kurvenschr bezeichnet, deren Einzelfunktion n ds jeweilige Problem über die Bestimmung der Konstnte C eindeutig zugeordnet werden knn. y F (x) = 1 F(x) + C 1 F (x) = F(x) + C F (x) 3 = F(x) + C 3 Bild.4 Stmmfunktionen F i (x), bhängig von der Konstnte C x

20 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN Die geometrische Bedeutung der Stmmfunktion entspricht zhlenmäßig der Fläche unterhlb der von der Funktion f(x) eingeschlossenen Fläche A(x). y y = f (x) A (x) Bild.5 Die eingeschlossene Fläche A(x) entspricht der Stmmfunktionen F (x) x Beispiel o Erzeugung der Stmmfunktion mit einem Polynom Zu dem gegebenen Polynom soll die Stmmfunktion erzeugt werden. Lösung

21 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN (.8) : f(x) = + b x + c x 1 F(x) + C = x + b x c x 3. Beispiel o Erzeugung der Stmmfunktion mit einer trigonometrischen Funktion nch (.4) Zu der gegebenen trigonometrischen Funktion soll die Stmmfunktion erzeugt werden. Lösung 1 (.9) : f(x) = sin α x F(x) + C = - cos αx. α.3. Ds bestimmte Integrl Über ein bgeschlossenes Intervll [,b] ergibt die Integrtion über eine Funktion y = f(x) eine Zhl, die dem Flächeninhlt A unterhlb der Funktion entspricht. Ds Integrl lutet - 0 -

22 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN (.10): A = b f(x)dx. y y = f (x) A b x Bild.6 Flächeninhlt A unterhlb der Funktion f(x) Beispiel o Berechnung der Fläche unterhlb einer Gerden in einem bestimmten Abschnitt o Berechnung durch ein bestimmtes Integrl und lterntive Berechnung über die Geometrie Die gegebene Funktion lutet (.11) : y = m x - 1 -

23 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN y y = m x A b x Bild.7 Fläche A unterhlb einer Gerden Lösung Die Fläche A ist (.1) : b b 1 A = y(x) dx = m x dx = m x 1 = m (b - ) (b + ). b 1 = m (b - ) Die Fläche A knn lterntiv us zwei Teilflächen (Bild.8) berechnet werden. - -

24 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN f(b) - f() =mb - m f() = m b - Bild.8 Fläche A us zwei Teilflächen Die Fläche A ist (.13) : 1 A = m (b - ) + (b - ) (m b - m ) 1 = m ( (b - ) + (b - ) (b - ) 1 = m (b - ) ( + b - ) 1 = m (b - ) ( + b). Zur Vervollständigung wird in Tbelle.1 ds griechische Alphbet ngegeben, weil im weiteren Verluf die Buchstben benutzt werden

25 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN Tbelle.1 Griechisches Alphbet Α α lph Ι ι iot Ρ ρ rho Β β bet Κ κ kpp Σ σ sigm Γ γ gmm Λ λ lmbd Τ τ tu δ delt Μ µ my Υ υ ypsilon Ε ε epsilon Ν ν ny Φ ϕ phi Ζ ζ zet Ξ ξ xi Χ χ chi Η η et Ο ο omicron Ψ ψ psi Θ θ thet Π π pi Ω ω omeg - 4 -

26 3 GLEICHGEWICHT IN EINEM PUNKT 3 GLEICHGEWICHT IN EINEM PUNKT Lehrziel des Kpitels o Definition der Krft o Grphische Lösung zur Bestimmung der Resultierenden, der Hltekrft oder des Gleichgewichts der Kräfte in der Ebene, ds Kräftepolynom oder Krfteck o Anlytische Lösung zur Bestimmung der Resultierenden, der Hltekrft oder des Gleichgewichts der Kräfte in der Ebene o Definition der Kräfte und Momente in der Ebene o Definition des Kräfteprs und Drehmoments o Definition der Krft und Drehmoment o Definition des Moments einer Krft Formeln des Kpitels o Definition der Krft o Schnittbild o Kräfte in der Ebene o Grphische Lösung und nlytische Lösung zur Bestimmung der Resultierenden, der Hltekrft oder des Gleichgewichts (3.1) : R= r F r i - 5 -

27 3 GLEICHGEWICHT IN EINEM PUNKT (3.) : r r H = - R r (3.3) : R = 0, ( 3.4) : Fi = 0 o Komponentenschreibweise (3.5) : : Fxi = ( Fi cos ( αi)) = 0 (3.6) : : Fyi = ( Fi sin( αi)) = 0 (3.7) : Fi = Fxi + F yi, F (3.8) : tn ( αi) = F yi xi o Kräfte und Momente in der Ebene (3.9) : F =F x e x +F y e y o Kräftepr und Drehmoment - 6 -

28 3 GLEICHGEWICHT IN EINEM PUNKT (3.10) : MD = F [ Nm] MD (3.11) : F = MD (3.1) : = F o Krft und Drehmoment; Moment einer Krft (3.15) : M0 = h F, Definition Eine Krft ist eine physiklische Größe, die sich mit einer nderen Krft ins Gleichgewicht setzen lässt, zum Beispiel die Gewichtskrft wird mit der Hlte- oder Lgerkrft im Gleichgewicht gehlten. 3.1 Kräfte in der Ebene Alle Wirkungslinien der Kräfte liegen in einer Ebene. Die Kräfte hlten den Körper im Gleichgewicht. Sie können durch grphische oder nlytische Lösungen bestimmt werden

29 3 GLEICHGEWICHT IN EINEM PUNKT Definition des Krftecks Ds Krfteck (uch Kräftepolygon) ist die Figur, die entsteht, wenn mn mehrere Kräfte zeichnerisch hintereinnder miteinnder verbindet, dss der Anfngspunkt der folgenden Krft jeweils mit dem Endpunkt der vorhergehenden übereinstimmt. Mn hängt sozusgen die einzelnen Krftvektoren neinnder. Dzu wird ein Kräftemßstb, zum Beispiel 1N =ˆ 1 cm festgelegt. Ds Krfteck dient dzu, verschiedene Kräfte zu einer resultierenden Krft, der Resultierenden, zusmmenzusetzen und bsiert uf der Vorgehensweise vom Prllelogrmm der Kräfte (Bild 3.). Es entspricht einer zeichnerischen Vrinte der Vektorddition. Als Ergebnis bildet die Verbindung zwischen Ausgngspunkt und Endpunkt der zuletzt eingezeichneten Krft die Resultierende und schließt dmit ds Krfteck. Die Reihenfolge, in der die Kräfte eingezeichnet werden, spielt keine Rolle für Größe und Richtung der Resultierenden. Bringt mn eine zusätzliche Krft, die Hltekrft hinzu, welche genu entgegengesetzt zur Resultierenden wirkt (dreht - 8 -

30 3 GLEICHGEWICHT IN EINEM PUNKT den Krftpfeil der Resultierenden lso um), so hlten sich lle Kräfte im Gleichgewicht. Ds Krfteck ist geschlossen. Beispiel In Bild 3.1 sind drei verschieden große Kräfte F1, F, F3 zu sehen, die in verschiedene Richtungen weisen. Die Resultierende R findet mn durch ds Aufzeichnen eines Krftecks, indem mn die Kräfte von einem Punkt usgehend ncheinnder so einzeichnet, dss jeder Krftpfeil n den vorhergehenden nschließt. Wenn der Ausgngspunkt mit dem Endpunkt der zuletzt eingezeichneten Krft verbunden wird, ht mn diese Resultierende erhlten (Bild 3.1b). Mit der zusätzlichen Hltekrft H wäre ds Krfteck (Bild 3.1c) geschlossen, die Resultierende lso Null und die Kräfte F1, F, F3 im Gleichgewicht. Grphische Lösung - 9 -

31 3 GLEICHGEWICHT IN EINEM PUNKT F 3 F y F 1 F x R ) F 3 b) F 1 F 3 F H c) F 1 Bild 3.1 ) Lgepln mit den drei Eigenschften: Betrg, Richtung und Angriffspunkt; b) Kräftepläne; b) Resultierende; c) Hltekrft Anlytische Lösung Die Resultierende (3.1): R= r F r i ist die vektorielle Summe ller Krftkomponenten. Die Hlte- oder Lgerkrft (3.) : r r H = - R

32 3 GLEICHGEWICHT IN EINEM PUNKT wirkt der Resultierenden entgegen. Gleichgewicht herrscht dnn, wenn die Resultierende r (3.3) : R = 0, beziehungsweise die vektorielle Summe ller Kräfte ( 3.4) : Fi = 0 ist. Im Folgenden werden lle Vektorpfeile wegen der einfcheren Schreibweise weggelssen! F i = Fi F yi α F xi Bild 3. Komponenten der Krft F In Komponentenschreibweise luten die Gleichgewichtsbedingungen in der x- y- Ebene

33 3 GLEICHGEWICHT IN EINEM PUNKT (3.5) : : Fxi = ( Fi cos ( αi)) = 0, (3.6) : : Fyi = ( Fi sin ( αi)) = 0. Die Krft ergibt sich dnn us den Komponenten x und y ls (3.7) : Fi = Fxi + F yi, mit dem Richtungswinkel (3.8) : tn ( α i F ) = F yi xi. 3. Kräfte und Momente in der Ebene In einer Ebene ht der Krftvektor zwei Komponenten (3.9) : F =F x e x + F y e y e x, e y sind die Einheitsvektoren in den Koordintenrichtungen x und y

34 3 GLEICHGEWICHT IN EINEM PUNKT 3..1 Ds Kräftepr und ds Drehmoment Zwei Kräfte F 1 = F = F vom gleichen Betrg und entgegengesetzter Richtung (Bild 3.3), f 1 F = F 1 D f F = F Bild 3.3 Drehmoment zweier prlleler Kräfte ber nicht in derselben Wirkungslinie (Wirkungslinien f 1, f ) bilden ein Kräftepr. Sie bewirken eine Drehwirkung, ds Drehmoment (3.10) : Σ M : MD Dlinks = F [ Nm]

35 3 GLEICHGEWICHT IN EINEM PUNKT Ds Symbol M D links um den Drehpunkt D. M D Σ oder Σ rechts zeigt die Drehrichtung Durch Umstellen ergibt sich die Krft MD (3.11) : F = oder der Hebelrm MD (3.1) : =. F Eigenschften des Drehmoments in der Ebene o der Drehsinn ( ΣM D linksoder Σ M D rechts) unterscheidet sich durch ds Vorzeichen, o die Drehchse steht senkrecht uf der Ebene, o ds Drehmoment knn durch jedes beliebige Kräftepr vom gleichen Betrg F und gleichem Drehsinn drgestellt werden

36 3 GLEICHGEWICHT IN EINEM PUNKT 3.. Krft und Drehmoment Ein System ist durch ein äußeres Moment M 0 und eine Krft F belstet (Bild 3.4). Ds Moment M 0 verschwindet durch die Prllelverschiebung um den Abstnd c der Krft. f c = M /F 0 f f 1 ) A b F C M 0 c B b) A F F C F B f 1 F c) A b C c B Bild 3.4 Äquivlente Krftsysteme; ) Grundsystem; b) M 0 durch Kräftepr ersetzt; c) äquivlentes System Ds Momentengleichgewicht ist vom Bezugspunkt bhängig. Ds Moment um A ist

37 3 GLEICHGEWICHT IN EINEM PUNKT (3.13): Σ M : MA =bf+m0 Alinks =bf+c F=(b+c)F, ds Moment um B (3.14): Σ M : MB =- c F+M0 Blinks =- c F+c F=0. Umgekehrt erzeugt die Prllelverschiebung einer Krft, von der Wirkungslinie f 1 uf die Wirkungslinie f, ein zusätzliches Drehmoment Ds Moment einer Krft Definition Ds Moment einer Krft F bezüglich des Punkts 0 ist (3.15) : Σ M : M0 Olinks = h F, h ist der senkrechte Abstnd von 0 uf die Wirkungslinie f der Krft F. Die Vorzeichendefinition ist + M O links M O Σ, Σ rechts -, die Dimension ist [Nm]

38 3 GLEICHGEWICHT IN EINEM PUNKT ) 0 h F f b) f 0 h F 0 f F Bild 3.5 Drehmoment ) einer Krft; b) eines Kräftepres Die Summe der Momente eines Kräftepres ist ds Drehmoment. Es ist unbhängig vom Bezugspunkt 0 (Bild 3.5) (3.16) : Σ M : M0 = (h + ) F - h F = F = M0. Olinks

39 3 GLEICHGEWICHT IN EINEM PUNKT y f F F y α F x y 0 h α α α x x Bild 3.6 Komponentendrstellung In Komponentendrstellung (Bild 3.6) lutet dies (3.17): ΣM Olinks : M 0 = - hf =(x sinα - y cosα)f = x (sinα F)- y (cosα F)= x F y - y F. x Ds Moment einer Krft F ist gleich der Summe der Momente ihrer Krftkomponenten

40 3 GLEICHGEWICHT IN EINEM PUNKT 3.3 Aufgben zu Kpitel 3 AUFGABE 3.1 o ) Grphische und nlytische Berechnung der Resultierenden, beziehungsweise Hltekrft des Kräftesystems o b) Grphische und nlytische Berechnung der Resultierenden, beziehungsweise Hltekrft des Kräftesystems unter Vorgbe der Wirkungslinie An einem Punkt 0 greifen drei Kräfte F 1, F, F 3 n (Bild 3.7). ) gegeben: F 1 = 3 N, F 3 = 5 N, α 3 = 333, α 1 = 45, F = 3 N, 0 α = 180, gesucht: Bestimmung der Resultierenden R und der Hltekrft H (grphisch und nlytisch), b) gegeben: F 1 = 3 N, α3 = 333, α 1 = 45, F = 3 N, 0 α = 180,

41 3 GLEICHGEWICHT IN EINEM PUNKT gesucht: Bestimmung des Betrgs F 3, für den die Resultierende R prllel zur Wirkungslinie von F fällt (grphisch und nlytisch) y F 1 α α 1 0 F F 3 α 3 x Bild 3.7 Im Punkt 0 ngreifende Kräfte Lösung: ) F xi,00 N, F yi,00 N, R = - H =,83 N, b) F xi = 5,98 N, F yi = 0, R = 5,98 N, F 3 6,71 N AUFGABE 3. o Grphische und nlytische Berechnung der Resultiereden des Kräftesystems Vier Kräfte F 1, F, F 3 und F 4 hben den gemeinsmen Angriffspunkt 0 (Bild 3.8)

42 3 GLEICHGEWICHT IN EINEM PUNKT gegeben: F 1 = 3 kn, α 1 = 30 0, F = 4 kn, 0 α = 60, F 3 = 4.5 kn, α 3 = 135 0, F 4 = 5.5 kn, α 4 = 5 0 gesucht: Bestimmung der Resultierenden R (grphisch und nlytisch). y F 3 F α3 α 4 0 α α 1 F 1 x F 4 Bild 3.8 Vier Kräfte F i mit ihrem gemeinsmen Angriffspunkt 0 Lösung: F xi = -,473 kn, F yi = 4,57 kn, R = 4,9 kn, α R = AUFGABE 3.3 o Grphische und nlytische Berechnung der Resultiereden des Kräftesystems

43 3 GLEICHGEWICHT IN EINEM PUNKT Die in Bild 3.9 skizzierte Anordnung zeigt drei Seile, die in den Rundhken die Zugkräfte F 1, F, F 3 übertrgen. gegeben: F 1 = 30 N, F = 50 N, F 3 = 180 N gesucht: Bestimmung der Gesmtkrft R, die uf den Hken wirkt (grphisch und nlytisch). F 1 F F 3 Bild 3.11 Drei Seile m Rundhken Bild 3.9 ) Lgepln; b) Kräftepln: 1 cm 0 N, R 186 N, (gemessen) 0 α = 3 Lösung: F xi = 7,8 N, F yi = - 170,58 N, R = 185,6 N, 0 α =,96 AUFGABE 3.4 o Grphische und nlytische Berechnung der Kräfte unter Vorgbe der Wirkungslinien - 4 -

44 3 GLEICHGEWICHT IN EINEM PUNKT Eine Krft F 1 wird durch zwei Kräfte F und F 3 mit den vorgegebenen Wirkungslinien f und f 3 im Gleichgewicht gehlten (Bild 3.10). gegeben: F 1 = 5 N und Richtungen von F 1, F und F 3 gesucht: Bestimmung der Kräfte F und F 3 (grphisch und nlytisch). f f F 1 Bild 3.10 Krft F 1 und vorgegebenen Wirkungslinien f und f 3 der zwei Kräfte F und F 3 Lösung: F = 30,6 N, F 3 = - 34,14 N

45 3 GLEICHGEWICHT IN EINEM PUNKT AUFGABE 3.5 o Schnittbild zum Sichtbrmchen der Seilkrft S und der Krft N o Grphische und nlytische Berechnung einer Seilkrft S und der Krft N zwischen Wnd und Kugel Eine Kugel vom Gewicht G hängt n einem Seil n der Wnd. Ds Seil ist im Kugelmittelpunkt befestigt. Die Kugel ist gltt (Bild 3.11). gegeben: = 60 cm, r = 0 cm, G = 100 N gesucht: Bestimmung der Seilkrft S und Normlkrft N zwischen Wnd und Kugel

46 3 GLEICHGEWICHT IN EINEM PUNKT r G Bild 3.11 Kugel vom Gewicht G Lösung: S = 106 N, N = 35,4 N AUFGABE 3.6 o Schnittbild zum Sichtbrmchen der Zugkräfte o Grphische und nlytische Berechnung der Zugkräfte unter Vorgbe der Wirkungslinien Ein Schiff wird von zwei Ufer- Lokomotiven gleichförmig gerdeus durch einen Knl gezogen (Bild 3.1). gegeben: F 1 = 3000 N, 0 α 1 = 5, α = 30 0 gesucht: Bestimmung des Betrgs der Krft F und der Resultierenden R (grphisch und nlytisch)

47 3 GLEICHGEWICHT IN EINEM PUNKT y F α x α 1 F 1 Bild 3.1 Schiff mit den Kräften der zwei Ufer- Lokomotiven Lösung: R = 4914,91 N, F = 535,71 N AUFGABE 3.7 o Schnittbild zum Sichtbrmchen der Normlkrft und der Zugkrft o Anlytische Berechnung der Normlkrft und der Zugkrft über die Gleichgewichtsbedingungen unter der zusätzlichen Bedingung, dss die Wlze gerde bhebt Eine gltte Strßenwlze mit dem Gewicht G und dem Rdius r stößt n ein Hindernis der Höhe h. Im Wlzenmittelpunkt greift eine wgerechte Krft F n (Bild 3.13). gegeben: G, r, h gesucht: Bestimmung der Krft F, die erforderlich ist, um die Wlze über ds Hindernis zu ziehen

48 3 GLEICHGEWICHT IN EINEM PUNKT F α r h Bild 3.13 Gltte Strßenwlze mit Hindernis Lösung: G N H =, cos α G sinα F = cos α

49 4 GLEICHGEWICHT IN DER EBENE 4 GLEICHGEWICHT IN DER EBENE Lehrziel des Kpitels o Kräfte in der Ebene, die nicht durch einen Punkt gehen o Gleichgewichtsbedingungen o Mögliche Kräfteverteilung in der Ebene Formeln des Kpitels o Gleichgewichtsbedingungen (4. 1) : : Fx = 0, (4. 1) : : Fx = 0, (4. 3): Σ MA : MA =0, links oder (4. 4) : : Fx = 0, (4. 5): Σ MA : MA =0, links

50 4 GLEICHGEWICHT IN DER EBENE (4. 6): ΣMB : MB =0, links dbei dürfen die Bezugspunkte A und B nicht uf einer Gerden liegen, die senkrecht zur x- Achse steht, oder (4. 7) : : Fy = 0, (4. 8): ΣMA : MA =0, links (4. 9): ΣMB : MB =0, links dbei dürfen die Bezugspunkte A und B nicht uf einer Gerden liegen, die senkrecht zur y- Achse steht, oder (4. 10): ΣMA : MA =0, links (4. 11): ΣMB : MB =0, links

51 4 GLEICHGEWICHT IN DER EBENE (4. 1) : Σ MC : MC = 0, links dbei dürfen die drei Bezugspunkte A, B und C dürfen nicht uf einer Gerden liegen. 4.1 Gleichgewichtsbedingungen In einer Ebene beliebig verteilte Kräfte stehen im Gleichgewicht, wenn folgende Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sind. Ds ist entweder (4. 1) : : Fx = 0, (4. 1) : : Fx = 0, (4. 3): Σ MA : MA =0, links oder (4. 4) : : Fx = 0, (4. 5): Σ MA : MA =0, links

52 4 GLEICHGEWICHT IN DER EBENE (4. 6): Σ MB : MB =0, links dbei dürfen die Bezugspunkte A und B nicht uf einer Gerden liegen, die senkrecht zur x- Achse steht, oder (4. 7) : : Fy = 0, (4. 8): Σ MA : MA =0, links (4. 9): Σ MB : MB =0, links dbei dürfen die Bezugspunkte A und B nicht uf einer Gerden liegen, die senkrecht zur y- Achse steht, oder (4. 10): Σ MA : MA =0, links (4. 11): Σ MB : MB =0, links (4. 1) : Σ MC : MC = 0, links

53 4 GLEICHGEWICHT IN DER EBENE dbei dürfen die drei Bezugspunkte A, B und C dürfen nicht uf einer Gerden liegen. Beispiel o Kontrolle des Gleichgewicht n einem Träger unter Bechtung der Einschränkungen Mn untersuche mit Hilfe der folgenden Gleichgewichtsbedingungen, ob die uf den ebenen Dchbinder wirkenden Kräfte (Bild 4.1) im Gleichgewicht sind für folgende Fälle: Fll 1: Σ M A = ΣM B = ΣM C =?; Fll : Σ M A = ΣM B = F y =?; Fll 3 : Σ M A = ΣM B = ΣM D =?; Fll 4 : F x = F y = ΣM A =?. gegeben: F 1 = 1 N, F = N, F 3 = 1 N, F 4 = 8 N, F 5 = N, F 6 = 1 N, = 1 m gesucht: Wrum können die Ergebnisse us Fll 1 und Fll nicht verwendet werden? - 5 -

54 4 GLEICHGEWICHT IN DER EBENE 45 y F 5 F 6 D x A F 4 F 1 B C F F 3 Bild 4.1 Ebener Dchbinder mit Kräften Lösung Über die Gleichgewichtsbedingungen werden die möglichen resultierenden Kräfte und Momente ufgestellt (4.13) : ΣM Alinks : M A = - F F F 5 = (- 4 F F 8 +F 3 + F F F 5 ) (4.14): ΣM Blinks : M B = - F 4 - F 1 = (- 4 F - 4 F F 3 + F F 5 ) F

55 4 GLEICHGEWICHT IN DER EBENE (4.15) : ΣM Clinks : M C = - F F 4 + F 6 - F 5 - = (- 8 F - 4 F 1 + F F F 5 ) (4.16): ΣM Dlinks : M D = - F F = (- 4F - 4F F F 4 - F - F 6 ) 6 ( 4.17) : : F x =F 4 - F 6 + F 5 ( 4.18) : : F y =F 1 - F - F 3 + F 5 Fll 1 Aus (4.13), (4.14) und (4.15) folgt (4.19) : MA = ( ) N = 0, (4.0) : MB = ( ) N = 0, (4.1) : MC = ( ) N =

56 4 GLEICHGEWICHT IN DER EBENE Es herrscht scheinbres Gleichgewicht, ist ber keine Kontrolle, d die Bezugspunkte A, B und C uf einer Gerden liegen. Dieser Fll ist nicht geeignet, eine Gleichgewichtskontrolle durchzuführen. Fll Aus (4.13), (4.14) und (4.18) folgt (4.19) : MA = ( ) N = 0, (4.0) : MB = ( ) N = 0, ( 4.) : Fy =( )N= 0. Es herrscht wieder scheinbres Gleichgewicht, ist ber keine Kontrolle, d die Bezugspunkte A und B senkrecht zur y- Richtung liegen. Dieser Fll ist nicht geeignet, eine Gleichgewichtskontrolle durchzuführen. Fll 3 Aus (4.13), (4.14) und (4.16) folgt (4.19) : MA = ( ) N = 0,

57 4 GLEICHGEWICHT IN DER EBENE (4.0) : MB = ( ) N = 0, (4.3) : MD = ( ) N = - 4 N. Es herrscht kein Gleichgewicht. Ds System ist nicht im Gleichgewicht. Fll 4 Aus (4.7), (4.18) und (4.13) folgt ( 4.18) : : F y =F 1 - F - F 3 + F 5 (4.19) : MA = ( ) N = 0, (4.4) : Fx = (8-1 + )N = - N. Es herrscht kein Gleichgewicht. Ds System ist nicht im Gleichgewicht. 4. Mögliche Kräfteverteilung in der Ebene In Bild 4. werden die vier möglichen Kräfteverteilungen in der Ebene drgestellt

58 4 GLEICHGEWICHT IN DER EBENE ) A l R b) A A F R c) l l F d) A Bild 4. Mögliche Kräfteverteilung in der Ebene; ) R 0 und M A = R l 0; b) R 0 und M A = 0; c) R = 0 und M A = F l 0; d) R = 0 und M A = 0 Beispiel o Sichtbrmchen der Seilkrft und der Lgerkräfte durch Schneiden o Aufstellen der vier Möglichkeiten der Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Lger- und Seilkräfte Ein Träger (AB) mit konstntem Querschnitt ist in A drehbr n einer Wnd befestigt und wird durch ein Seil (BC) in horizontler Lge gehlten (Bild 4.3). Wie groß sind die Seilkräfte S und die Auflgerkräfte in A, wenn uf den Träger nur ds Eigengewicht wirkt. gegeben: b, c, Eigengewichtsbelstung

59 4 GLEICHGEWICHT IN DER EBENE gesucht: Bestimmung ller Lgerkräfte. Zur Ermittlung der Lgerkräfte knn die verteilte Gewichtsbelstung durch eine Einzelkrft G, der Resultierenden us dem Eigengewicht, in der Mitte ersetzt werden. C c A G b/ b/ α B Bild 4.3 Träger (AB) mit konstntem Querschnitt in A drehbr n einer Wnd befestigt und durch ein Seil (BC) in horizontler Lge gehlten. Lösung

60 4 GLEICHGEWICHT IN DER EBENE C c S A H A α B A V G b/ b/ Bild 4.4 Schnittbild 1. Lösungsmöglichkeit Ds Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen ergibt ( 4.5) : : AH - S cosα = 0, (4.6): : AV +S sinα - G=0, (4.7) : ΣMA : MA links = S sinα b - b G = 0. Aus (4.7) folgt sofort mit der Geometrie c tn α = b

61 4 GLEICHGEWICHT IN DER EBENE (4.8): G S=, sinα in (4.5) eingesetzt, ergibt Gcot α (4.9) : AH = S cosα = und in (4.6) G ( 4.30) : A V = - S sinα + G =.. Lösungsmöglichkeit Ds Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen ergibt ( 4.5) : : AH - S cosα = 0, (4.31) : Σ M : MB = - A V Blinks b b + G = 0, (4.7) : ΣMA : MA links = S sinα b - b G =

62 4 GLEICHGEWICHT IN DER EBENE Die Auflösung der Gleichungen ergibt die Lösungen wie im 1. Lösungsweg. 3. Lösungsmöglichkeit Ds Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen ergibt (4.6): : AV +S sinα - G=0, (4.7) : ΣMA : MA links = S sinα b - b G = 0, (4.3) : ΣMC links: MC = AH b c - G = 0. Die Auflösung der Gleichungen ergibt die Lösungen wie im 1. Lösungsweg. 4. Lösungsmöglichkeit Ds Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen ergibt (4.7) : Σ MA : MA links = S sinα b - b G = 0,

63 4 GLEICHGEWICHT IN DER EBENE (4.31) : Σ M : MB = - A V Blinks b b + G = 0, (4.3) : Σ MC links: MC = AH b c - G = 0. Bei diesem Weg ht jede Gleichung nur eine Unbeknnte und knn direkt ufgelöst werden, sonst sind die Lösungen ntürlich in llen Lösungswegen gleich

64 4 GLEICHGEWICHT IN DER EBENE 4.3 Aufgben zu Kpitel 4 AUFGABE 4.1 o Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Größe und Lge der Resultierenden Drei Punkte A, B und C uf einer Scheibe (Bild 4.5) bilden ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge. In den Eckpunkten wirken drei Kräfte F i, die senkrecht zu den Seiten des Dreiecks stehen. gegeben: F, F 1 = F, F = F, F 3 = 3 F gesucht: Bestimmung des Betrgs, der Richtung und der Lge der Resultierenden R. C F F 1 A F 3 B Bild 4.5 Scheibe mit den in den Eckpunkten wirkenden drei Kräften

65 4 GLEICHGEWICHT IN DER EBENE Lösung: R = 3F, AUFGABE α = 60, d = 3 1 Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Kräfte Bedingung zur Bestimmung der Minimlkrft Eine vertikle Krft F 1 wirkt im Punkt A und eine Krft F wirkt mit verschiedenen Richtungen in Punkt C. gegeben: F 1,, b, 0 α 1 = 50, α = 0 0 gesucht: Bestimmung ) des Moments der Krft F 1 bezüglich B, wenn F = 0; b) der Größe einer horizontlen Krft F, die im Punkt C ngreift und ds Gleichgewicht herstellt (Bild 4.6); c) der Größe und Richtung einer Krft F, die in C ngreift, ds Gleichgewicht herstellt und deren Betrg miniml ist

66 4 GLEICHGEWICHT IN DER EBENE A α 1 F1 B b α C F Bild 4.6 System mit vertikler Krft F 1 im Punkt A und einer Krft F in Punkt C Lösung: MB = F1 sinα1, b) c) F1 sin α = b 1 F F F sinα 1 1 =, bcos α AUFGABE 4.3 o Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der äquivlenten Krft An einer Kreisscheibe (Bild 4.7) greift im Punkt A eine Krft F n. gegeben: r, F, α

67 4 GLEICHGEWICHT IN DER EBENE gesucht: Bestimmung des gleichwertigen Belstungszustnds (unter Beibehltung der Richtung), der entsteht, wenn die Krft F im Punkt E (Fußpunkt des Lots von A uf die x- Achse) ngreift. Wie groß wird der Wert von α, für den ds Moment M E mximl wird? y A F O α M r E x Bild 4.7 Kreisscheibe mit einer Krft F im Punkt A. Lösung: M E = F r sin α cos α, αmx = 35,6 0 AUFGABE 4.4 o Bestimmung der inneren Kräfte und der Lgerkräfte durch Schneiden o Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Kräfte

68 4 GLEICHGEWICHT IN DER EBENE Ds Sicherheitsventil A eines Dmpfkessels ist mit Hilfe der durchgehenden Stnge AB (gewichtslos) n dem Hebel CD (Gewicht G) befestigt (Bild 4.8). Der Hebel CD knn sich um den festen Punkt C drehen. gegeben: CD = 50 cm, BC = 7 cm, Ventildurchmesser d = 6 cm, G = 10 N gesucht: Die Lst Q, die bei D ngreift und unter der sich ds Ventil bei einem Kesseldruck von 11 br von selbst öffnet (1 br = 10 N/ cm ) C B D A Q d Bild 4.8 Sicherheitsventil eines Dmpfkessels Lösung: Q = N AUFGABE 4.5 o Bestimmung der inneren Kräfte und der Lgerkräfte durch Schneiden

69 4 GLEICHGEWICHT IN DER EBENE o Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Kräfte und der Geometrie Ein schwerer Stb (Gewicht G, Länge 4 ) stützt sich bei A n eine gltte Ecke und bei B n eine gltte senkrechte Wnd (Bild 4.9). gegeben:, G gesucht: Bestimmung des Winkels ϕ, für den ds System nch Bild 4.13 im Gleichgewicht ist und der Lgerkräfte in A und B. ϕ S A 4 G B Bild 4.9 Schwerer Stb und seine Lgerung Lösung: 0 ϕ = 37,5, A = 1.6 G, B = 0.77 G

70 4 GLEICHGEWICHT IN DER EBENE AUFGABE 4.6 o Bestimmung der inneren Kräfte und der Lgerkräfte durch Schneiden o Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Kräfte unter der Bedingung, dss ds Rohr gerde nicht kippt Die gltten Kugeln 1 und (Gewicht je Kugel G, Rdius r) liegen in einem kreiszylindrischen Rohrstück (Gewicht G R, Rdius ), ds unten offen ist und senkrecht uf dem Boden steht (Bild 4.10). gegeben: r = 0,75, G gesucht: Bestimmung der Druckkräfte H i uf die Rohrwnd und die Mindestgröße G R, für die ds Rohrstück nicht kippt

71 4 GLEICHGEWICHT IN DER EBENE r 1 r Bild 4.10 Kugeln im kreiszylindrischen Rohrstück Lösung: G R 1,5G cosα 0,5G AUFGABE 4.7 o Bestimmung der inneren Kräfte und der Lgerkräfte durch Schneiden o Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Kräfte und der Geometrie Ein gewichtsloser Stb (Länge ) wird horizontl zwischen zwei gltten, unter dem Winkel α und β geneigten, schiefen Ebenen gelegt. Auf den Stb wird ein Klotz (Gewicht G) gestellt (Bild 4.11)

72 4 GLEICHGEWICHT IN DER EBENE gegeben:, α, β, G gesucht: Bestimmung des Abstnds x des Klotzes vom Punkt A, für den der Stb in seiner horizontlen Lge im Gleichgewicht ist, und der Kontktkräfte in A und B. A x G B α β Bild 4.11 Gewichtsloser Stb zwischen zwei gltten schiefen Ebenen Lösung: cot β x =, cot β + cot α sin α B = G, sin( α + β) sin β A = G sin( α + β) AUFGABE 4.8 o Bestimmung der inneren Kräfte und der Lgerkräfte durch Schneiden

73 4 GLEICHGEWICHT IN DER EBENE o Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Kräfte Ein Wgen mit dem Gewicht Q wird uf einer schiefen Ebe- 0 ne ( α = 30 ) durch ein Seil gehlten (Bild 4.1). gegeben:, Q, α gesucht: Bestimmung der Seilkrft S und der Rdufstndskräfte in A und B. S Q B A α Bild 4.1 Wgen uf schiefer Ebene Lösung: Q( cos α sin A = 4 cos α α), Q(5 sin α + cos B = 4 cos α α) - 7 -

74 4 GLEICHGEWICHT IN DER EBENE AUFGABE 4.9 o Bestimmung der inneren Kräfte und der Lgerkräfte durch Schneiden o Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Kräfte und der Geometrie Ein Blken AB (Länge, Gewicht Q) wird m Ende B von einem Seil BC (Länge s) gehlten, m Ende A liegt er n einer gltten, senkrechten Wnd (Bild 4.13). gegeben:, Q, s gesucht: Bestimmung des Abstnds x, bei dem sich der Blken im Gleichgewicht befindet

75 4 GLEICHGEWICHT IN DER EBENE C x s A S D Q B Bild 4.13 Blken AB und Seil BC Lösung: x = s 3 Aufgbe 4.10 o Bestimmung der inneren Kräfte und der Lgerkräfte durch Schneiden o Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Stbkräfte

76 4 GLEICHGEWICHT IN DER EBENE An einer Hlbkreisscheibe (Rdius r, Gewicht G) greift ein Moment M 0 n (Bild 4.14). gegeben: r, G, M 0, 0 α 1 = 45, α 3 = 30 0 gesucht: Bestimmung der Stbkräfte S 1, S und S 3. 1 α 1 r G M 0 α 3 3 Bild 4.14 Hlbkreisscheibe mit Lgerung Lösung: S 1 M = - r 0 6, S 3+ 1 = - G - M r 0 3 1, S M = - r

77 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN Lehrziel des Kpitels o Definition der Lgerrten, ihre Symbolik und die dzugehörigen Lgerrektionen o Wechselwirkungsgesetz ctio = rectio o Definition der Kräftetypen o Definition der Trgwerksrten o Bewegungsmöglichkeiten eines Körpers o Definition der sttische Bestimmtheit Jedes Trgwerk wird in irgendeiner Weise im Rum festgehlten. Dort werden Bewegungsmöglichkeiten verhindert, dfür gibt es Lgerrektionen, die Lgerkräfte. In der Tbelle 5.1 werden die verschiedenen Lgerrten erläutert und die Anzhl und Richtung der Lgerrektionen drgestellt. Tbelle 5.1 Lgerrten und deren Symbole o Lgerrt: Rollenlger oder Pendelstütze oder einwertiges Lger

78 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN Lgersymbole Anzhl und Richtung der Lgerrektionen Einwertiges Lger V o Lgerrt: Gelenkiges Lger oder zweiwertiges Lger Lgersymbole Anzhl und Richtung der Lgerrektionen Zweiwertiges Lger H V o Lgerrt: Einspnnung oder dreiwertiges Lger

79 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN Lgersymbol Anzhl und Richtung der Lgerrektionen Dreiwertiges Lger H M V o Lgerrt: Prllelführung Lgersymbol Anzhl und Richtung der Lgerrektionen Zweiwertiges Lger H M o Lgerrt: Freies Ende

80 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN Lgersymbol Am freien Ende/ Rnd treten keine Lgerrektionen uf. Beispiel o Bestimmung der Lgerkräfte durch Schneiden n den Lgern (einwertiges und zweiwertiges Lger) o Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Lgerkräfte Ein bgewinkelter Träger wird mit einer Krft F belstet (Bild 5.1). gegeben:, b, F, α gesucht: Bestimmung der Lgerrektionen in A und B F α A y F α b b B x ) b) B y Bild 5.1 Abgewinkelter Träger; ) Systemskizze; b) Schnittbild

81 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN Lösung Aus den Gleichgewichtsbedingungen werden die Lgerrektionen bestimmt ( 5.1) : : Bx - F cosα = 0 Bx =F cosα, (5.) : : A y B y + B y - F sinα = 0 b cos α = F (sinα - ), (5.3) : ΣM Blinks : M B = - A A y y + F cosα b = 0 b cos α = F. Beispiel o Bestimmung der Lgerkräfte durch Schneiden n den Lgern (Einspnnung) o Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Lgerkräfte Ein Krgrm wird mit einer Krft F belstet (Bild 5.). gegeben:, F, α

82 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN gesucht: Bestimmung der Lgerrektionen in A ) A B F α b) M A A x A y B F α Bild 5. Krgrm; ) Systemskizze; b) Schnittbild Lösung Aus den Gleichgewichtsbedingungen werden die Lgerrektionen bestimmt ( 5.4) : : A x - F cosα = 0 A x =F cosα, ( 5.5) : : A y - F sinα = 0 A y =F sinα, (5.6): Σ MA : MA -Fsinα =0 MA =Fsinα, links oder ( 5.7) : : A x - F cosα = 0 A x =F cosα,

83 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN (5.8): Σ MA : MA -Fsinα =0 MA =Fsinα, links MA (5.9) : Σ MBlinks : MA - A y = 0 A y = =F sinα. Beispiel o Bestimmung der Lgerkräfte durch Schneiden n den Lgern m bgeknickten Blken o Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Lgerkräfte Ein bgewinkelter Träger wird mit einer Krft F belstet (Bild 5.3). gegeben:, b, c, F, α gesucht: Bestimmung der Lgerrektionen A und B - 8 -

84 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN ) A b c F α B c B x b F α M B b) A y Bild 5.3 Abgewinkelter Träger; ) Systemskizze; b) Schnittbild Lösung Aus den Gleichgewichtsbedingungen werden die Lgerrektionen bestimmt ( 5.10) : : Bx - F cosα = 0 Bx =F cosα, ( 5.11) : : A y - F sinα = 0 A y =F sinα, (5.1): Σ MA : MB -Bx b -Fsinα =0, links

85 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN Drus folgt (5.13): ΣMAlinks : MB =Bx b +F sinα =F( sinα +b cosα). Beispiel o Bestimmung der Lgerkräfte durch Schneiden n den Lgern (einwertiges Lger, Pendelstütze) o Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Lgerkräfte Ein Träger wird mit den Kräften F 1, F, F 3 belstet (Bild 5.4). gegeben:, F 1, F, F 3, α gesucht: die Lgerrektionen

86 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN A F 1 F F 3 α B C ) 4 A F 1 F F 3 α b) B 4 C Bild 5.4 Träger; ) Systemskizze; b) Schnittbild Lösung Aus den Gleichgewichtsbedingungen werden die Lgerrektionen bestimmt ( 5.14) : : AH =F cosα, (5.15): Σ MB : -F1 -F sinα 3+C4-F3 5=0. links (5.16) : Σ MC : F1 3 +F sinα - F3 - B 4 =0. links

87 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN Aus (5.15) und (5.16) folgt (5.17) : F1 3 + F sinα F3 B = 4 F C = 1 + F sinα 3 + F 4 3, 5. Zur Kontrolle wird eine noch nicht benutzte Gleichgewichtsbedingung verwendet (5.18) : : - F - F 1 sinα - F 3 F + 1 F F 3 + F sinα + F3 4 sinα 3 + F = 0. Die Kontrolle bestätigt die obige Rechnung. 5.1 Ds Wechselwirkungsgesetz "Die Kräfte, die zwei Körper ufeinnder usüben, sind gleich groß, entgegengesetzt gerichtet und liegen uf der gleichen Wirkungslinie."

88 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN ) F F b) L 1 L G 1 G L 1 L G 1 G Bild 5.5 Wechselwirkungsgesetz: ctio = rectio; ) ursprüngliches System; b) Schnittbild An den Kontktstellen wird "geschnitten", zum Beispiel Wnd/ Mensch, Boden/ Mensch (Bild 5.5). Die durch Schneiden sichtbr gemchten Kräfte, die Schnittkräfte, greifen n den verschiedenen Teilsystemen n. Dies können innere Kräfte, zum Beispiel Seilkräfte, oder Lgerkräfte sein, ber uch Kontktkräfte, zum Beispiel Normlkräfte, hlten den Körper wie eine Lgerung

89 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN 5. Kräftetypen Alle bisher gezeigten Kräfte sind Einzelkräfte, zum Beispiel eine Ndelspitze belstet einen Körper, oder die Gewichtskrft wird ls Resultierende zusmmengefsst. In der Ntur kommen ber vorwiegend Volumenkräfte und Flächenkräfte vor. Sie werden für die Berechnung idelisiert. Volumenkräfte Ds sind Kräfte, die über ds Volumen des Körpers verteilt sind, zum Beispiel ds Gewicht (5.19) : (G) dg = (V) ρ dv = t h b ρ dt dh db = G für die Dicke t, die Höhe h und die Breite b, mgnetische Kräfte oder elektrische Kräfte. Die Dimension ist N mm 3. Flächenkräfte Ds sind Kräfte in der Berührungsfläche zweier Körper, zum Beispiel der Wsserdruck uf eine Stumuer (Bild 5.6), die

90 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN Schneelst uf einem Dch oder der Druck eines Gewichts uf eine Fläche. Die Flächenlst ht die Dimension N. mm p Bild 5.6 Schnitt in einer Stumuer ls Beispiel für Flächenkräfte Linienkräfte Linienförmige Lsten werden ls Strecken- oder Linienlst idelisiert, zum Beispiel eine Messerschneide gegen einen N Körper. Sie ht die Dimension p [ ]. mm p Bild 5.7 Idelisierung eine Messerschneide gegen einen Körper ls linienförmige Strecken- oder Linienlst

91 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN 5.3 Definition der Trgwerksrten Die geometrische Form und die Belstung sind für die Bestimmung des Trgwerktyps mßgebend. In der Ntur kommen dreidimensionle, lso räumliche Trgwerke vor. Viele dieser Trgwerke können wegen des Verhältnisses ihrer geometrischen Abmessungen zueinnder ls ein- oder zweidimensionle Systeme idelisiert werden. Nur wenn lle Abmessungen ähnlich groß sind, knn nicht vereinfcht werden. Dnn liegen dreidimensionle Strukturen vor. ) F F b) q 0 Bild 5.8 Eindimensionle (stbförmige) Buteile; Querschnittsbmessung << Länge; ) Stb, in Achsenrichtung belstet; b) Blken, quer zur Achsenrichtung belstet

92 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN F 1 F F3 F 4 ) F F 3 F 1 F 4 b) Bild 5.9 Eindimensionle (stbförmige) Buteile; Querschnittsbmessung << Länge; ) Bogen, gekrümmter Blken; b) Rhmen, bgeknickter Blken

93 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN F F 3 ) p 1 p b) F1 F 1 F F 3 c) Bild 5.10 Zweidimensionle (ebene) Buteile; Dicke << Seitenlängen; ) Scheibe, Belstung in der Mittelebene; b) Pltte, Belstung quer zur Mittelebene; c) Schle, gekrümmte, flächige Buteile 5.4 Bewegungsmöglichkeiten eines Körpers Die möglichen Lgerungen verbinden die Trgwerke fest mit ihrer Umgebung. Durch sie werden die Kräfte n die Umgebung übergeben (ctio = rectio). Diese Lgerungen schränken ber uch die freien Bewegungsmöglichkeiten eines Körpers ein. Ohne Lger ht ein dreidimensionler Körper sechs freie Bewegungsmöglichkeiten. Wenn lle Einzelpunkte dieselbe kongruente Bhn beschreiben, sprechen wir von einer Trnsltions- oder Verschiebungsbewegung. Jede beliebige - 9 -

94 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN Trnsltion knn us drei Trnsltionen in Richtung x, y und z zusmmengesetzt werden. Außer einer Trnsltion knn ein Körper eine Rottion oder Drehung usführen. Sie besteht in einer Drehung um eine beliebige Achse, die wieder je eine Rottion um eine zur x-, y- und z- Achse prllele Achse ist. Die llgemeinste Bewegung eines Körpers besteht dmit us o drei Trnsltionen (Verschiebungen) in x-, y- und z- Richtung, o drei Rottionen (Drehungen) um die x-, y- und z- Achse. Der Körper ht die Freiheit, sechs voneinnder unbhängige Bewegungen uszuführen. Er ht sechs Freiheitsgrde. Diese sechs Freiheitsgrde begegnen uns im Kpitel 10 bei den räumlichen Trgwerken und in der Technischen Mechnik III Kinemtik und Kinetik /Kunow/ in der Kinemtik (Kpitel ) wieder

95 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN y ϕ y x x Bild 5.11 Ebene Bewegung: Trnsltion x, y und Rottion ϕ Bewegt sich der Körper in einer Ebene, sprechen wir von einer ebenen Bewegung. In dieser Ebene knn der Körper eine Bewegung usführen, die in drei unbhängige Teilbewegungen zerlegt werden knn (Bild 5.11): o zwei Trnsltionen in x- und y- Richtung, o eine Rottion um die senkrecht zur Ebene stehende Achse. 5.4 Sttische Bestimmtheit Von sttischer Bestimmtheit wird gesprochen, wenn llein die drei Gleichgewichtsbedingungen usreichen, die unbeknnten Lgerkräfte zu berechnen

96 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN Den drei unbeknnten Auflgerkräften stehen drei unbhängige Gleichungen us den Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung. Ein Trgwerk ist im ebenen Fll sttisch bestimmt gelgert, wenn o drei Lgerkräfte existieren, die nicht prllel und nicht zentrl sind (Bild 5.1, Bild 5.13), oder wenn o ein Moment und zwei nicht prllele Lgerkräfte existieren. ) A F B A H F b) A V B Sttisch bestimmter Blken; ) Systemskizze; b) Schnittbild

97 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN M A F M 0 b) A H A V F M 0 ) Bild 5.13 Sttisch bestimmter Blken; ) Systemskizze; b) Schnittbild Dbei muss bechtet werden, dss keine Bedingung zweiml unterschiedlich formuliert wird (siehe uch die Einschränkungen bei der Lge der Bezugspunkte für ds Momentengleichgewicht), dmit keine lineren Abhängigkeiten bestehen. F D F ) A b) A B B C Bild 5.14 Kinemtisches Trgwerk; ) Systemskizze; b) Schnittbild; drei Lgerkräfte sind prllel: die horizontle Beweglichkeit des Systems wird nicht behindert

98 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN In Bild 5.14 b können die drei Momentenbedingungen formuliert werden (5.0): Σ M : 0=B+C -FV -FH b, Alinks Blinks (5.): Σ MD links : (5.1): Σ M : 0=- A +C -FV -FH b, 0=- A -B. Aus (5.) folgt ( 5.3) : B = - A. Wird (5.3) in (5.0) und (5.1) eingesetzt, ergeben sich zwei widersprechende Gleichungen. Aus (5.0) folgt ( 5.4) : 0 = - A + C - FV - FH b, us (5.1) folgt ( 5.5) : 0 = - A + C - FV - FH b

99 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN Es gibt unterschiedliche Lösungen für ein und dieselbe Krft. Ds System ht keine horizontle Lgerung knn somit die Horizontlkomponente der Krft F nicht ufnehmen. In dieser Richtung ist ds System kinemtisch. Ds heißt, es ist beweglich, kinemtisch. Im Trgwerk (Bild 5.14) ist es gut sichtbr, dss ds Trgwerk in horizontler Richtung beweglich ist. Es gibt ber uch Fälle, in denen diese Beweglichkeit nicht so offensichtlich ist (Bild 5.15)

100 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN F 1 C A F B ) F 1 C b) A F B Bild 5.15 Kinemtisches Trgwerk; ) Systemskizze; b) Schnittbild; drei Lgerkräfte gehen durch einen Punkt: ds Moment knn nicht ufgenommen werden

101 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN M B ) b) A B Bild 5.16 Kinemtisches Trgwerk; ) Systemskizze; b) Schnittbild; zwei Lgerkräfte und ein Moment: die horizontle Beweglichkeit des Systems wird nicht behindert In den obigen Systemen (Bild 5.14, Bild 5.15 und Bild 5.16) erhält mn durch Schneiden jeweils 3 Auflgerkräfte, die ber nicht durch die drei Gleichgewichtsbedingungen bestimmt werden können. Ds System knn durch diese drei Auflgerkräfte nicht im Gleichgewicht gehlten werden. Weiter gibt es uch sttisch unbestimmte Trgwerke. Ds heißt, dss ds Trgwerk mehr ls drei Lgerrektionen ht, ber wieder nur drei Gleichungen us den Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung stehen. Die Lgerrektionen können nur mit Hilfe der Elstizitätstheorie bestimmt werden (Bild 5.18). Technische Mechnik II Elstosttik /Kunow/ werden einund mehrfch "sttisch unbestimmt" gelgerte Trgwerke vorgestellt

102 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN F A H A V F ) b) M A B Bild 5.17 Einfch sttisch unbestimmtes System; ) Systemskizze; b) Schnittbild ) A F 1 F F 3 B C D A H F 1 F F 3 b) AV B C D Bild 5.18 Zweifch sttisch unbestimmtes System; ) Systemskizze; b) Schnittbild 5.6 Lösen eines Berechnungsproblems o Formulierung o mechnisches Erstzmodell (Eigenschften)

103 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN o Lösung des Erstzmodells o Diskussion, Bedeutung Hier wird ds Huptugenmerk uf "Lösung des Erstzmodells" und "Diskussion, Bedeutung" berbeitet o Schnittbild zum Sichtbrmchen der Kräfte, o Aufstellen und Lösen der Gleichungen, o Kontrolle des Ergebnisses uf Richtigkeit und Genuigkeit

104 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN 5.7 Aufgben zu Kpitel 5 AUFGABE 5.1 o Bestimmung der Lgerkräfte durch Schneiden n den Lgern o Belstung durch Einzelkräfte und Einzelmoment o Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Lgerkräfte Ein Träger wird mit den Kräften F 1, F, F 3 und einem Moment M B belstet (Bild 5.19). gegeben: 0 α = 45, F 1, F, F 3, M B, gesucht: Bestimmung der Auflgerkräfte A und B F 1 F α F 3 M A B B Bild 5.19 Träger mit den Kräften F 1, F, F 3 und dem Moment M B

105 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN 1 Lösung: BH =F, BV = (F sin α +F3 +MB ), 3 A = 1 3 (F sin α +F 3 +F M B ) AUFGABE 5. o Bestimmung der Lgerkräfte durch Schneiden n den Lgern o es hndelt sich um drei einwertige Lger in verschiedenen Richtungen o Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Lgerkräfte Ein Träger wird mit der Krft F 1 und dem Kräftepr F * h belstet (Bild 5.0). In C ht der Träger ein schräg gestelltes, einwertiges Lger. gegeben: F 1, F,, h, α gesucht: Bestimmung der Auflgerkräfte A, B und C

106 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN F A F 1 B C α h F ) Bild 5.0 ) Träger mit der Krft F 1 und dem Kräftepr F * h Lösung: F1 F h 1 = tn α, B= (F h+f 13), A F1 F h = cos α C AUFGABE 5.3 o Bestimmung der Lgerkräfte durch Schneiden n den Lgern o es hndelt sich links um ein zweiwertiges Lger und rechts um ein einwertiges Lger o Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Lgerkräfte Ein Träger wird mit den Kräften F 1, F und F 3 belstet (Bild 5.1)

107 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN gegeben: 0 α = 30, F 1, F, F 3, gesucht: Bestimmung der Auflgerkräfte A und B A F F F 3 / B Bild 5.1 Träger mit den Kräften F 1, F und F 3 Lösung: 1 1 H = - F1 +F sin α, A V = (- F1 + F cos α - F3 ), 3 A 1 1 B = ( F1 + F cos α + 4 F3 ) 3 AUFGABE 5.4 o Bestimmung der Lger- und Seilkräfte durch Schneiden n den Lgern o Es hndelt sich um ein zweiwertiges Lger und durch die Seilkrft jeweils um ein einwertiges Lger o Seilkrft über Umlenkrollen

108 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN o Scheibengewicht G im Schwerpunkt o Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Lgerkräfte Eine dreieckige, schwere Scheibe (Gewicht G) wird in A durch ein zweiwertiges Lger und in B und C durch ein Seil S gehlten. Ds Seil wird durch zwei Umlenkrollen geführt. Ds Scheibengewicht G greift im Schwerpunkt S Sch der Scheibe n (Bild 5.). gegeben: Scheibengewicht G,, h gesucht: Bestimmung der Auflgerkrft A und der Seilkrft S G C h/3 SSch A h/3 B /3 /3 Seil S Bild 5. Dreieckige, schwere Scheibe

109 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN 1 Lösung: S = G, A H = - S = G, A V = G - S = G AUFGABE 5.5 o Bestimmung der Lger- und Seilkräfte durch Schneiden n den Lgern o Es hndelt sich links um ein zweiwertiges Lger und rechts einwertiges um ein Lger o Krfteinleitung über Hebel o Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Lgerkräfte Ein Träger wird mit der Krft F m Hebel der Länge c belstet (Bild 5.3). gegeben: F,, b, c gesucht: Bestimmung der Auflgerkräfte A und B A B b F c Bild 5.3 Träger mit der Krft F m Hebel

110 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN c c Lösung: A H = - F, B = F, A V = - F. AUFGABE 5.6 o Bestimmung der Lger- und Seilkräfte durch Schneiden n den Lgern o Es hndelt sich links um ein zweiwertiges Lger und rechts um ein einwertiges Lger o Kräfte n einem ebenen System o Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Lgerkräfte Eine Scheibe wird mit den Kräften F 1, F, F 3 und F 4 belstet (Bild 5.4). gegeben: α 1, α 3, F 1, F, F 3, F 4,, h gesucht: Bestimmung der Auflgerkräfte A und B

111 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN /4 /4 F 1 F F 3 B h A 3/4 F 4 /4 Bild 5.4 Scheibe mit den Kräften F 1, F, F 3 und F 4 Lösung: = - F cos α - F cos α, AH h 1 1 h 3 B = (- F1 cos α 1 - F - F3 sin α3 - F3 cos α3 - F4 ), 4 4 A V 1 = ( F F sinα + (- F cosα F 4 1 -F cosα F3 sinα 3 3 h ) AUFGABE 5.7 o Bestimmung der Lger- und Seilkräfte durch Schneiden n den Lgern

112 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN o Es hndelt sich um zwei Pendelstützen, die jeweils einem einwertigen Lger entsprechen, d in die Stützen nur eine xile Krft eingeleitet werden knn, und rechts um ein einwertiges Lger. o Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Lgerkräfte Ein Träger wird mit der Krft F in zwei Punkten belstet (Bild 5.5). In A besteht ds Lger us zwei Pendelstützen, in B us einem einwertigen Lger. gegeben: F, gesucht: Bestimmung der Auflgerkrft B und der Stbkräfte S 1, S F 1 A B F Bild 5.5 Träger mit der Krft F

113 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN Lösung: S 1 = F, B = F, = - F. AUFGABE 5.8 o Bestimmung der Lger- und Gelenkkräfte durch Schneiden n den Lgern und Gelenken o Es hndelt sich in A und B um jeweils ein zweiwertiges Lger und ein Gelenk in C o Belstung des Systems über die Seilkrft n einer Rolle uf dem System o Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen n Teilsystemen zur Bestimmung der Lger- und Gelenkkräfte Ein us Blken und einer Rolle zusmmengesetztes System wird über ein Seil mit dem Gewicht F belstet (Bild 5.6). gegeben: F, gesucht: Bestimmung der Auflgerkrft A und B und der Gelenkkrft C

114 5 LAGERREAKTIONEN BEI EBENEN TRAGWERKEN B A E C Seil D F 3 Bild 5.6 Zusmmengesetztes System H + V Lösung: A = A A = 3,91 F, B = 3,35 F, C = 4,7 F

115 6 EBENES FACHWERK 6 EBENES FACHWERK Lehrziel des Kpitels o Definition eines Fchwerks o Sttische Bestimmheit eines Fchwerks o Aufbu eines Fchwerks o Anlytische und grphische Lösungsmethoden: CREMONApln, knotenweises Schneiden, RITTERscher Schnitt Formeln des Kpitels o Gleichgewichtsbedingungen n jedem Knoten ( 6.1) : : Fx =0, ( 6.) : : Fy = 0. Ein Fchwerk besteht us einer Anzhl einzelner Stäbe, die zusmmen wie ein Trgwerk wirken. Wegen einiger wesentlicher Einschränkungen werden Fchwerke gesondert betrchtet. 6.1 Definition eines Fchwerks o Die Stäbe sind gerde,

116 6 EBENES FACHWERK o die Stäbe sind n den Verbindungspunkten, den Knoten, gelenkig ngeschlossen, o die Stäbe sind n den Knoten zentrisch ngeschlossen. o Die Lsten greifen nur n den Knoten n. o Dher werden die Stäbe nur in Normlenrichtung (in der Achse) uf Druck und Zug belstet. In Bild 6.1 wird die Vorzeichendefinition der Fchwerkstäbe ngegeben. Die Stbkrft wird immer ls Zugkrft, ds heißt vom Knoten ziehend, mit positivem Vorzeichen ngesetzt. Wenn sich ds Vorzeichen in der Rechnung ls negtiv erweist, hndelt es sich um einen Druckstb. In der Prxis muss für Druckstäbe noch ein Stbilitätsnchweis, zum Beispiel mit Hilfe des ω- Verfhren /Beitz/Grote/, durchgeführt werden. Dies würde hier zu weit führen. Es wird in diesem Buch nicht weiter druf eingegngen

117 6 EBENES FACHWERK S Knoten S Bild 6.1 Vorzeichenfestlegung Wie lle Trgwerke werden uch Fchwerke durch die Auflger mit ihrer Umgebung verbunden (Bild 6.). Auch hier muss jeweils kontrolliert werden, ob ds System sttisch bestimmt ist. Dbei muss unterschieden werden, ob ds Fchwerk äußerlich sttisch bestimmt und/ oder innerlich sttisch bestimmt ist

118 6 EBENES FACHWERK ) b) Bild 6. Fchwerk; ) innerlich und äußerlich sttisch bestimmt; b) äußerlich sttisch unbestimmt Für ein innerlich und äußerlich sttisch bestimmtes Fchwerk reichen die 3 Gleichgewichtsbedingungen m Gesmtsystem und die Gleichungen n den Teilsystemen us, um lle Auflgerkräfte und lle Stbkräfte zu bestimmen. Für ein innerlich sttisch bestimmtes und äußerlich sttisch unbestimmtes Fchwerk reichen die 3 Gleichgewichtsbedingungen m Gesmtsystem nicht us (Bild 6.3), um lle Auflgerkräfte zu bestimmen. Hier muss die Elstizitätsthe

119 6 EBENES FACHWERK orie mitberücksichtigt werden (siehe Technische Mechnik II Elstosttik /Kunow/). Bild 6.3 Innerlich sttisch unbestimmtes Fchwerk Für ein innerlich sttisch unbestimmtes und äußerlich sttisch bestimmtes Fchwerk reichen die drei Gleichgewichtsbedingungen m Gesmtsystem us, um lle Auflgerkräfte zu bestimmen. Die Gleichungen n den Teilsystemen reichen nicht us, um lle Stbkräfte zu bestimmen. Jetzt muss hier die Elstizitätstheorie mitberücksichtigt werden (siehe Technische Mechnik II Elstosttik). Bild 6.4 Kinemtisches Fchwerk

120 6 EBENES FACHWERK Nicht erlubt sind kinemtische, lso bewegliche Systeme (Bild 6.4). Dieses Fchwerk ist durch die fehlende Querverstrebung in horizontler Richtung beweglich. Im Allgemeinen lässt sich die sttische Bestimmtheit eines Fchwerks mit Hilfe der Bildungsgesetze (siehe Kpitel 6.) bestimmen. Dies ist ber nicht immer möglich. Dnn müssen die Fchwerke mit nderen Methoden, zum Beispiel mit Hilfe eines Polplns us der Getriebenlyse /Beitz/Grote/, uf ihre sttische Bestimmtheit untersucht werden. 6. Aufbu eines Fchwerks In der Definition des Fchwerks wird schon gesgt, dss ds Fchwerk us einzelnen, gerden Stäben besteht, die in den Knoten zentrisch miteinnder verbunden sind. Alle Lsten greifen nur n diesen Knoten n. Um ds System zu ordnen, werden die Knoten mit römischen Zhlen, die Stäbe mit rbischen Zhlen gekennzeichnet (Bild 6.5)

121 6 EBENES FACHWERK F F IV I 6 III 5 V 4 VI Bild 6.5 Nummerierung der Knoten und Stäbe Ein Schnittbild, wie wir es gewohnt sind, würde nun sehr umfngreich werden (Bild 6.6 ). Deshlb werden die Knoten nicht lle uf einml, sondern einen Knoten nch dem nderen geschnitten, wenn die Stbkräfte berechnet werden

122 6 EBENES FACHWERK F F II S S IV S 1 S 7 S 8 S 3 S 9 I S 1 ) A S 6 S 7 III S 8 S 9 S 5 S 6 S 5 S 4 V S 4 S 3 VI B H B V F II S b) S 1 S 7 Bild 6.6 Schnittbild; ) Explosionsschnittbild; b) m Knoten II Schnittbild m Knoten II zeigt ein solches Einzelschnittbild (Bild 6.6 b). Es liegt ein zentrles Krftsystem vor. Die Stbkräfte stehen im Gleichgewicht, wenn die Resultierende, beziehungsweise die Hltekrft zu Null wird. An jedem einzelnen Knoten luten die Gleichgewichtsbedingungen ( 6.1) : : Fx =0,

123 6 EBENES FACHWERK ( 6.) : : Fy = 0. Im vorliegenden Beispiel ergeben sich zwölf Gleichungen für zwölf Unbeknnte, die neun Stbkräfte und drei Lgerkräfte. Wenn ein sttisch bestimmtes Fchwerk vorliegt, lssen sich lle Stbkräfte und Lgerrektionen us den Gleichgewichtsbedingungen berechnen. Um die Fchwerke besser klssifizieren zu können, wird der Aufbu eines Fchwerks untersucht und nch Gruppen unterteilt. Die meisten Fchwerke werden nch dem 1. Bildungsgesetz ufgebut. 1. Bildungsgesetz Drei Fchwerkstäbe, die durch Knoten miteinnder verbunden sind (Bild 6.7 ), bilden eine sttisch bestimmte Scheibe, zum Beispiel Scheibe 1. Von einer Scheibe usgehend wird durch Anbringen zwei weiterer Stäbe (Stb 4 und 5) eine weitere sttisch bestimmte Scheibe, zum Beispiel Scheibe, gebildet

124 6 EBENES FACHWERK Scheibe 1 ) 1 b) Scheibe 1 Bild 6.7 ) Sttische bestimmte Scheibe; b) Scheibenbildung, beginnend mit der Scheibe 1 und Stb 4 und 5. Es sind die einfchsten Fchwerke, die uch bei der Berechnung, zum Beispiel durch Schneiden n den Knoten oder durch den CREMONApln, keine Schwierigkeiten mchen.. Bildungsgesetz Zwei Fchwerkscheiben 1 und, die nch dem 1. Bildungsgesetz ufgebut sind, werden durch drei weitere Stäbe verbunden, die nicht durch einen Punkt gehen dürfen

125 6 EBENES FACHWERK ) b) Bild 6.8 Fchwerk nch dem. Bildungsgesetz; ) Fchwerkstäbe, die b) zwei Scheiben bilden. Hierbei muss immer kontrolliert werden, ob ds Fchwerk kinemtisch ist. Ein Fchwerk nch dem 1. und. Bildungsgesetz knn durch Wegnhme und Wiedereinfügen eines Stbes n nderer Stelle in ein nderes sttisch bestimmtes Fchwerk verwndelt werden. Ds ist die Gruppe von Fchwerken nch dem 3. Bildungsgesetz

126 6 EBENES FACHWERK 3. Bildungsgesetz Bild 6.9 Fchwerk nch dem 3. Bildungsgesetz Auch hier ist immer zu prüfen, ob ds neu gebildete Fchwerk kinemtisch ist. Als weitere, große Gruppe gibt es die zusmmengesetzten Fchwerke

127 6 EBENES FACHWERK Bild 6.10 Zusmmengesetztes Fchwerk Im obigen System bilden die zwei Scheiben, die jeweils nch dem 1. Bildungsgesetz ufgebut sind, einen Dreigelenkbogen. Bei einer Vorbetrchtung können vorb Stäbe sofort ls Nullstäbe erknnt oder, wenn sie sich in der Berechnung ls Nullstäbe ergeben, überprüft werden. Ds sind bei einer gegebenen Belstung unbelstete Stäbe (Tbelle 6.1). Sie werden nur für diesen Lstfll zu Null. Jeder ndere Lstfll knn ndere Stbkräfte zur Folge hben. Deshlb dürfen sie niemls us dem Fchwerk entfernt werden. Als Lösungswege für die Berechnung der Lger- und Stbkräfte eines Fchwerks bieten sich drei Methoden n:

128 6 EBENES FACHWERK o nlytisch durch knotenweises Schneiden (für Systeme nch dem 1. Bildungsgesetz und wenn lle Stbkräfte gesucht werden) o grphisch nch dem CREMONApln (für Systeme nch dem 1. Bildungsgesetz und wenn lle Stbkräfte gesucht werden) o RITTERsches Schnittverfhren (für Systeme nch dem 1.,. und 3. Bildungsgesetz und wenn einzelne Stbkräfte gesucht werden). Definition der Nullstäbe o Bedingung 1: Keine äußere Krft tritt m Knoten uf. y S x S ( 6.3) : Σ in y Richtung: S1y = 0 ( 6.4) : Σ in x Richtung: S1x + S =0-17 -

129 6 EBENES FACHWERK Dmit wird die y- Komponente der Stbkrft S 1 zu Null, ds heißt, dmit wird uch ihre Horizontlkomponente S 1x zu Null. Wenn keine äußere Krft ngreift, ist uch die Stbkrft Null. o Bedingung : Die äußere Krft F wirkt in Richtung einer der Stbchse. y F 0 S x S 1 ( 6.5) : Σ in y Richtung: Sy = 0 ( 6.6) : Σ in x Richtung: F + S1 +Sx =0 Dmit wird die y- Komponente der Stbkrft S zu Null, dnn ist uch die x- Komponente von der Stbkrft S Null. Die Stbkrft S 1 nimmt die Krft F uf

130 6 EBENES FACHWERK o Bedingung 3: Zwei Stäbe liegen in derselben Richtung und ein dritter schließt n demselben Knoten in nderer Richtung n. S 3 0 y x S S 1 ( 6.7) : Σ in y Richtung: S3y = 0 ( 6.8) : Σ in x Richtung: S1 +S + S3x =0 Dmit wird die y- Komponente der Stbkrft S 3 zu Null, dnn ist uch die x- Komponente von der Stbkrft S 3 Null. Die Stbkrft S 1 ist gleich der Stbkrft S. 6.3 Anlytische Lösung Bei dieser Lösung betrchtet mn ds Fchwerk zuerst ls Gesmtsystem und löst mit den drei Gleichgewichtsbedingungen m Gesmtsystem die Auflgerkräfte

131 6 EBENES FACHWERK Beispiel o Sttisch bestimmtes Fchwerk nch dem 1. Bildungsgesetz o Bestimmung der Lgerkräfte durch die Gleichgewichtsbedingungen m Gesmtsystem o Bestimmung der Stbkräfte durch den CREMONApln Ein Fchwerkträger wird durch drei Kräfte F 1, F und F 3 belstet (Bild 6.11). gegeben:, F 1, F, F 3 gesucht: Bestimmung der Lger- und Stbkräfte

132 6 EBENES FACHWERK ) A /3 / F 1 II 6 7 F III 8 3 F 3 /3 9 VI 10 VII 11 IV B b) /3 /3 A x F 1 II 6 7 F III 8 3 F 3 /3 9 VI 10 VII 11 IV B x B y Bild 6.11 ) Fchwerkträger mit drei Kräften F 1, F und F 3; b) Schnittbild Lösung

133 6 EBENES FACHWERK Für die nlytische Bestimmung der Auflgerkräfte mit F 1 = F = F 3 = F gilt ( 6.3) : : By - F1 - F - F3 = 0 By =F1 +F +F3 = 3 F (6.4) : ΣM Alinks B x 4 : Bx - (F1 + F 3 3 = (F1 + F +3F3 4 ) = + F 9 F 3 3 ) = 0 (6.5) : : A A x x + B x = 0 3 = - (F F + 3F 3 ) 9 = - F Dnch können die Stbkräfte durch knotenweises Schneiden ermittelt werden. Mn erhält für jeden Knoten zwei Gleichungen. Durch die Berechnung der Auflgerkräfte m Gesmtsystem ergeben sich drei zusätzliche Gleichungen, die ls unbhängige Kontrollen genutzt werden können. Am besten werden immer nur die Gleichgewichtsbedingungen hingeschrieben, die sofort zum Ergebnis führen, sonst wird ds Gnze zu unübersichtlich

134 6 EBENES FACHWERK S 3 S 11 F IV 3 Bild 6.1 Stbkräfte m Knoten VI Am Knoten VI (Bild 6.1) ergeben sich die Gleichgewichtsbedingungen ( 6.6) : : S3V = S3 sinα = F3 S3 = 10 F3, ( 6.7) : : S11 = - S3 cosα = - 3 F3. S F III S 3 S 7 S = 0 8 Bild 6.13 Stbkräfte m Knoten III Am Knoten III (Bild 6.13) ergeben sich die Gleichgewichtsbedingungen

135 6 EBENES FACHWERK ( 6.8) : : S cos α - S7 cos α - S3 cos α = 0 sin α ( 6.9) : : - S3 sin α + S sin α - S7 sin α =F. cos α Mit dem Elimintionsverfhren, ( 6.8) * sin α + ( 6.9) * cos α folgt (6.10) : (S - S ) sin α cos α =F S 3 = 10 (F + F 3 ). cos α In (6.9) eingesetzt ( 6.11) : S = 10 F - 10 (F + F ) = F S 1 F 1 S II S 6 Bild 6.14 Stbkräfte m Knoten II

136 6 EBENES FACHWERK Am Knoten II (Bild 6.14) ergibt sich die Gleichgewichtsbedingung ( 6.1) : : S6 = - F 1. A x I S 1 S 4 S 5 Bild 6.15 Stbkräfte m Knoten I Am Knoten I (Bild 6.15) ergibt sich die Gleichgewichtsbedingung ( 6.13) : : - S4 - S5 - S = 0, Drus folgt 10 1 ( 6.14) : S4 = - S5 - S1 = - (F + F3 ). 10 Stbkräfte und Lgerkräfte

137 6 EBENES FACHWERK 10 1 S1 = S = (F + F3 ), S 3 = 10 F3, S4 = (F + F3 ), S 5 = 0, S6 F1, S10 = S11 3F3 By = F1 + F + F3 10 S =, S 8 = 0, 10 S9 = (F1 + F + 3F3 ) 4 =, 7 F 3 =, A x = -Bx = - (F1 + F + 3 F3 ), Der CREMONApln Ein grphisches Verfhren ist der CREMONApln. Beim CREMONApln werden die einzelnen zentrlen Krftsysteme pro Knoten in einen einzigen Kräftepln gezeichnet. Die Auflgerkräfte müssen immer vorb getrennt berechnet werden, weil hier ds benötigte grphische Seileckverfhren, ds zur Lösung notwendig wäre, nicht vorgestellt wird (siehe Litertur). Dmit wäre ein vollständiges grphisches Verfhren möglich. In Bild 6.16 wird die Lösung mit dem CREMONApln drrgestellt. Die einzelnen Krftecke ergeben sich us dem CREMONApln

138 6 EBENES FACHWERK Bild 6.16 Kräftepln, Kräftemßstb F [ N] 1cm Umlufsinn 1 = ˆ ; CREMONApln,

139 6 EBENES FACHWERK Bild 6.16b Die einzelnen Krftecke des Kräfteplns, Kräftemßstb [ N] 1cm 1 F = ˆ ; CREMONApln, Umlufsinn Aufzeichnen des CREMONAplns o Nummerierung der Stäbe und der Knoten (wird hier durch die Aufgbenstellung vorgegeben) o Krftmßstb wählen, Umlufsinn wählen o Vorherige Bestimmung der möglichen Nullstäbe In den Lgepln (Bild 6.17) werden die Stbkräfte während der Erstellung des CREMONAplns ls Zugkräfte (Pfeile ziehen n den Knoten) und Druckkräfte (Pfeile drücken uf

140 6 EBENES FACHWERK die Knoten) eingetrgen. Die Nullstäbe werden mit einer Null gekennzeichnet. A X I F 1 II 6 7 F III 08 3 F 3 9 VI 10 VII 11 IV B X V B Y Bild 6.17 Lgepln mit Pfeilen zur Vorzeichendefinition der Stäbe und Kennzeichnung der Nullstäbe Mit F 1 = F = F 3 = F ergeben sich die Stbkräfte zu (6.15) : S S S = + 4.7F,S = -1.5F,S = 0,S 9 5 = + 4.7F,S = 0,S = - 4.7F,S = - F,S = + 3.F, 7 = - 3 F,S = -1.6F, 11 = - 3 F

141 6 EBENES FACHWERK Grphische Kontrolle Eine grphische Kontrolle knn durch ds Aufzeichnen der Auflgerkräfte in den Kräftepln durchgeführt werden. Die Kräfte werden in der Reihenfolge ebenflls im Uhrzeigersinn, hier: F 1, F, F 3, B y, B x, A x. Ds System ist im Gleichgewicht, wenn ds Krfteck geschlossen ist. 6.5 Der RITTERsche Schnitt Der RITTERsche Schnitt ist ein nlytisches Verfhren, ds sich besonders eignet, wenn nicht lle Stbkräfte berechnet werden müssen. Es wird dnn ein Schnitt genu durch die gesuchten Stbkräfte gelegt, um diese Kräfte sichtbr zu mchen und zu berechnen. Ds Fchwerk us Bild 6.11 wird mit Hilfe des RITTERschen Schnitts untersucht. Die nlytische Bestimmung der Auflgerkräfte erfolgt mit den Gleichungen (6.3, 6.4, 6.5). Die Nullstäbe können vorb bestimmt werden. An Knoten VII greift keine Krft n, drus folgt ( 6.16) : S8 =

142 6 EBENES FACHWERK und ( 6.17) : S10 = S11. /3 /3 /3 A S1 F α S5 β α S 9 1 II 6 7 VI 10 F III 8 VII 3 11 F IV 3 Bild 6.18 Stbkräfte S 1, S 5, S 9 mit Hilfe des RITTERschen Schnittes Aus der Geometrie folgt mit Winkel 0 β = 45 ( 6.18) : cos β = sin β =, tn β =1, mit Winkel α (Bild 6.19)

143 6 EBENES FACHWERK ( 6.19) : sin α =,cos α =, tn α = /3 10 α 3 Bild 6.19 Geometrie Die Gleichgewichtsbedingungen m rechten Teilsystem luten (Bild 6.18) (6.0) : ΣM VI links S 1 = : S 1 10 cosα - F 3 (F + F 3 ) - F 3 = 0 (6.1): ΣM - S Alinks 9 (cosα + sinα) - F S 9 : = (F1 + F 4 - F + 3F - F 3 ) 3 3 =

144 6 EBENES FACHWERK (6.) : : - S S cosα - S cosβ - S 3 3 = - (F + F3 ) = (F1 - F3 ) = cosα = 0 (F 1 + F + F 3 3) Durch Schneiden n den einzelnen Knoten ergeben sich die nderen Stbkräfte

145 6 EBENES FACHWERK 6.6 Aufgben zu Kpitel 6 AUFGABE 6.1 o Sttisch bestimmtes Fchwerk nch dem 1. Bildungsgesetz o Bestimmung der Lgerkräfte durch die Gleichgewichtsbedingungen m Gesmtsystem o Bestimmung der Stbkräfte durch den CRE- MONApln und durch knotenweises Schneiden Ds Fchwerk (Bild 6.0) wird mit einer Krft F belstet. gegeben:, F gesucht: Bestimmung der Auflger- und Stbkräfte

146 6 EBENES FACHWERK A I 1 II III F IV B V 3 4 VI Bild 6.0 Fchwerk mit einer Krft F Lösung: S 1 = F, S = F, S 3 = - F, S 4 = S 5 = 0, S 6 = F, S 7 = 0, S8 = S9 = - F, A H = - B H = - F, B v = F AUFGABE 6. o Sttisch bestimmtes Fchwerk nch dem 1. Bildungsgesetz o Bestimmung der Lgerkräfte durch die Gleichgewichtsbedingungen m Gesmtsystem o Bestimmung der Stbkräfte durch den CREMONApln und durch knotenweises Schneiden Ds Fchwerk (Bild 6.1) wird mit drei Kräften belstet

147 6 EBENES FACHWERK gegeben:, F gesucht: Bestimmung der Auflger- und Stbkräfte A I 1 II 3 4 III 5 IV F F V 9 B F VI Bild 6.1 Fchwerk mit drei Kräften Lösung: A V = F, A H = - F, B = F, S 1 = 0, -S = S 6 = -S 8 = F, S 3 = S 4 = 0, S 5 = F, S 7 = - F, S 9 = - F AUFGABE 6.3 o Sttisch bestimmtes Fchwerk nur teilweise nch dem 1. Bildungsgesetz o Bestimmung der Lgerkräfte durch die Gleichgewichtsbedingungen m Gesmtsystem

148 6 EBENES FACHWERK o Bestimmung der Stbkräfte durch den CRE- MONApln Ds Fchwerk (Bild 6.) wird mit der Krft F belstet. gegeben:, F gesucht: Bestimmung der Auflger- und Stbkräfte A, I II III F IV V VI VII B, VIII Bild 6. Fchwerk mit der Krft F Lösung: S 1 = S = S 3 = - F, S 4 = S 5 = S 8 = S 10 = 0, S 6 = - F, S7 = - S9 = F, S 11 = S 1 = - F, A H = B H = F, A V = 0, B V = F AUFGABE 6.4 o Sttisch bestimmtes Fchwerk

149 6 EBENES FACHWERK o Bestimmung der Lgerkräfte durch die Gleichgewichtsbedingungen m Gesmtsystem o Bestimmung der Stbkräfte durch den CRE- MONApln Ds Fchwerk (Bild 6.3) wird mit zwei Kräften belstet. gegeben:, F gesucht: Bestimmung der Auflger- und Stbkräfte F VIII F VII V 1 I VI II 7 III IV / Bild 6.3 Fchwerk mit zwei Kräften

150 6 EBENES FACHWERK Lösung: S 1 = -S 5 = S 13 = F, S = - S 7 = S 9 = S 1 = F, S 3 = S 4 = 0.5 F, S 6 = S 8 = S 10 = - S 11 = 0.56 F, S 14 = 0, S 15 = S 16 =- 1.1 F AUFGABE 6.5 o Sttisch bestimmtes Fchwerk nch dem 1. Bildungsgesetz o Bestimmung der Lgerkräfte durch die Gleichgewichtsbedingungen m Gesmtsystem o Bestimmung der Stbkräfte durch den CRE- MONApln Ds Fchwerk (Bild 6.4) wird mit zwei Kräften belstet. gegeben: l, F gesucht: Bestimmung der Auflger- und Stbkräfte

151 6 EBENES FACHWERK 1 F I 4 l A 3 II 5 B l F Bild 6.4 Fchwerk mit zwei Kräften Lösung: S 1 = 3.55 F, S = - S 4 =S 5 = F, S 3 = - 3 F, A H = - F, A v = -3 F, B = 4 F AUFGABE 6.6 o Sttisch bestimmtes Fchwerk o Dreigelenkbogen o Bestimmung der Lgerkräfte durch die Gleichgewichtsbedingungen m Gesmtsystem und n den Teilsystemen o Bestimmung der Stbkräfte durch knotenweises Schneiden

152 6 EBENES FACHWERK Ein Dreigelenkbogen us Fchwerkstäben wird durch die drei Kräfte F 1, F, F 3 belstet (Bild 6.5). 1 1 I II 3 F F 1 IV VI IX XI F VII III V VIII X XIII 0 XII Bild 6.5 Ein Dreigelenkbogen us Fchwerkstäben mit den Kräften F 1, F, F 3 0 Lösung: S1 = S = F, 3 3 = S5 = S7 = S9 = S14 = S16 = S18 = S = 0, S 4 = - 4 F, S = - S = F, S10 = S11 = - F, S = S13 = - F S 8 1, = - S = F, S 19 = - F, S = S = F S A H = F, A v = 4 F, B H = 6 F, B V = F 3 3 1,

153 6 EBENES FACHWERK AUFGABE 6.7 o Sttisch bestimmtes Fchwerk nch dem 1. Bildungsgesetz o Bestimmung der Lgerkräfte durch die Gleichgewichtsbedingungen m Gesmtsystem o Bestimmung der Stbkräfte mit Hilfe des RIT- TERschen Schnitts Ds Fchwerk (Bild 6.6) wird mit drei Kräften belstet. gegeben:, F gesucht: Bestimmung der Stbkräfte S o, S d, S u

154 6 EBENES FACHWERK I II F III V VI F S o S d S u 5F IV VII IX X VIII XI XII Bild 6.6 Fchwerk mit drei Kräften Lösung: S o =- 4 F, 7 5 S u = F, S d = F AUFGABE 6.8 o Sttisch bestimmtes Fchwerk nch dem 1. Bildungsgesetz o Bestimmung der Stbkräfte mit Hilfe des RIT- TERschen Schnitts Der Fchwerkturm (Bild 6.7) wird mit drei Kräften belstet. gegeben:, F

155 6 EBENES FACHWERK gesucht: Bestimmung der Änderung der Stbkrft im Stützstb S1, wenn der Stb durch den symmetrisch liegenden Stb ersetzt wird. F F II I III F V IV VI VII Bild 6.7 Fchwerkturm mit drei Kräften Lösung: S 1 = 10F

156 6 EBENES FACHWERK AUFGABE 6.9 o Sttisch bestimmtes Fchwerk nch dem 1. Bildungsgesetz o Bestimmung der Stbkräfte mit Hilfe des RIT- TERschen Schnitts Ds Fchwerk (Bild 6.8) wird mit zwei Kräften belstet. Ds Lger in B ist um Winkel α schräg gestellt. gegeben: α von 0 0 bis 45 0,, F gesucht: Bestimmung der Stbkräfte S 1, S, S 3 in Abhängigkeit von α

157 6 EBENES FACHWERK F F I II 1 III IV V 3 VI VII α Bild 6.8 Fchwerk mit zwei Kräften und schräg gestelltem Lger in B Lösung: S 1 = (tnα -1) F, S = - F, S 3 = (1- tnα) F 4 4 AUFGABE 6.10 o Sttisch bestimmtes Fchwerk nch dem 1. Bildungsgesetz o Bestimmung der Lgerkräfte durch die Gleichgewichtsbedingungen m Gesmtsystem o Bestimmung der Stbkräfte mit Hilfe des RIT- TERschen Schnitts

158 6 EBENES FACHWERK Ds Fchwerk (Bild 6.9) wird mit vier Kräften belstet. gegeben:, F gesucht: Bestimmung der Auflger- und Stbkräfte S 1, S, S 3, S 4, S 5, S 6 und S 7 IV I 6F 3 II 4 F 5 3F III 6 VI 4F VII 1 7 VIII IX Bild 6.9 Fchwerk mit vier Kräften Lösung: S 1 = S 7 = 0, 9 S5 =S6 = - 5 F 15 S = 13 F, S 3 = F, S 4 = F,

159 6 EBENES FACHWERK AUFGABE 6.11 o Sttisch bestimmtes Fchwerk o Bestimmung der Lgerkräfte durch die Gleichgewichtsbedingungen m Gesmtsystem o Bestimmung der Stbkräfte durch knotenweises Schneiden Ds Fchwerk (Bild 6.30) wird mit der Krft F belstet. gegeben:, F gesucht: Bestimmung der Auflger- und Stbkräfte F II 1 A, I α B,III α α 3 IV 4 V 5 C 6 D 7 Bild 6.30 Fchwerk mit der Krft F

160 6 EBENES FACHWERK Lösung: = S = - S3 = - S = - F, S 4 = F, S6 = S7 = F, S 5 A H = 0, A V = B = F AUFGABE 6.1 o Sttisch bestimmtes Fchwerk nch dem 1. Bildungsgesetz o Bestimmung der Lgerkräfte durch die Gleichgewichtsbedingungen m Gesmtsystem o Bestimmung der Stbkräfte durch knotenweises Schneiden Ds Fchwerk (Bild 6.31) wird mit der Krft F belstet. gegeben:, F gesucht: Bestimmung der Auflger- und Stbkräfte

161 6 EBENES FACHWERK I 4 B F 1 II 3 A 5 Bild 6.31 Fchwerk mit der Krft F Lösung: S 1 = S 3 = S 4 = 0, S = F, S 5 = F, A = B H = - B v =- F AUFGABE 6.13 o Sttisch bestimmtes Fchwerk o Bestimmung der Lgerkräfte durch die Gleichgewichtsbedingungen m Gesmtsystem o Bestimmung der Stbkräfte durch den CRE- MONApln Ds Fchwerk (Bild 6.3) wird mit der Krft F belstet. gegeben:, F gesucht: Bestimmung der Auflger- und Stbkräfte

162 6 EBENES FACHWERK V F 1 I II 7 6 III 3 4 IV 5 / Bild 6.3 Fchwerk mit der Krft F Lösung: S 1 = 0, S = - F, F 5 = S, S 5 = - F, S 6 = F,S 7 = S3 4 = 5 5 F, S 8 = F, S9 = S10 = - F

163 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM Lehrziel des Kpitels o Sichtbrmchen und Ermittlung der inneren Schnittkräfte des Blkens (Normlkrft, Querkrft, Moment) durch ds Schnittprinzip Formeln des Kpitels ) b) c) Bild 7.4: ) Normlkrft N, greift im Schwerpunkt des Querschnitts n; b) Querkrft Q; c) Biegemoment M, "gestrichelte" Fser durch positives Biegemoment verlängert o Querkrft ( 7.) : dq = - q(x) dx o Moment (7.5) : dm dx = Q

164 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM 7.1 Innere Kräfte Schnittprinzip o Sichtbrmchen der Lgerkräfte bei Auflgern o Sichtbrmchen der Stbkräfte bei Fchwerken o Sichtbrmchen der Schnittkräfte (Normlkrft, Querkrft, Moment) beim Blken F 1 F F 3 A 1 I II F 4 A A 3 A 4 A 6 A 5 Bild 7.1 Gesmtsystem: Teilkörper I und II

165 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM F F 1 I M x N x x M y ) A 1 A A 3 y Qy M z Q z z z y Q z Q y x Nx M x M z M y II F 3 F4 b) A 4 A 6 A 5 Bild 7. ) Teilkörper I; b) Teilkörper II Die sttisch äquivlenten Kräfte im räumlichen System (7.1): M,M,M,N,Q, Q x y z x y z bringen die Teilkörper ins Gleichgewicht (Bild 7.). "Wenn us einem im Gleichgewicht befindlichen Körper ein Teilkörper herusgeschnitten wird und n den Schnittufern die inneren Kräfte ngebrcht werden, dnn ist uch der Teilkörper unter der gemeinsmen Wirkung der n ihm verbleibenden äußeren Kräfte und der n dem Schnittufer ngreifenden inneren Kräfte im Gleichgewicht."

166 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM 7. Vorzeichenfestlegung x negtives positives Schnittufer Bild 7.3 Definition der Schnittufer ) b) c) Bild 7.4: ) Normlkrft N, greift im Schwerpunkt des Querschnitts n; b) Querkrft Q; c) Biegemoment M, "gestrichelte" Fser durch positives Biegemoment verlängert Die Schnittkräfte werden bsierend uf der x- Achse, beziehungsweise der "gestrichelten" Fser definiert. Die gestrichelte Fser wird gezogen, wenn ein positives Moment ngreift

167 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM 7.3 Bestimmung der Schnittkrftverläufe N, Q, M nch der elementren Methode (durch Schneiden) Dzu wird ds System n usgewählten Stellen geschnitten, um die inneren Kräfte sichtbr zu mchen. M 0 F M A A H F ) l b) A V M 0 Bild 7.5 ) Systemskizze; b) Schnittbild Gleichgewichtsbedingungen m Gesmtsystem ( 7.) : : AH = 0 ( 7.3) : : AV =F (7.4): Σ MA : -MA -M0 -Fl=0 MA =-M0 -Fl links Zur Bestimmung der inneren Schnittkräfte Normlkrft N, Querkrft Q und Moment M werden n usgewählten Stellen des Trägers Schnitte durchgeführt. Ddurch werden diese inneren Kräfte sichtbr gemcht. Dnch werden für

168 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM jedes Teilsystem die Gleichgewichtsbedingungen ufgestellt M A A H dx N M A V S Q Bild 7.6 Schnitt im Abstnd dx hinter der festen Einspnnung ( 7.5) : : N = AH = 0 ( 7.6) : : Q= AV =F (7.7) : Σ M : M=MA + AV Slinks dx für dx 0 folgt (7.8): M=MA =-M0 -Fl

169 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM M A AH -dx N M A V S Q Bild 7.7 Schnitt im Abstnd ( dx) hinter der festen Einspnnung, beziehungsweise dx vor dem Einzelmoment ( 7.9) : : N = AH = 0 ( 7.10): : Q= AV =F (7.11) : Σ M : M=MA + AV Slinks ( - dx) für dx 0 folgt (7.1) : M =MA + A V = - M0 - F l + F

170 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM M A AH +dx M 0 N M A V S Q Bild 7.8 Schnitt im Abstnd ( + dx) hinter der festen Einspnnung, beziehungsweise dx hinter dem Einzelmoment ( 7.13): : N= AH =0 ( 7.14) : : Q = AV =F (7.15): Σ M : M=MA + M0 + AV ( + dx) Slinks für dx 0 folgt (7.16): M=MA +M0 + AV =-Fl+F

171 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM Q N M S dx F Bild 7.9 Schnitt im Abstnd dx vom freien Ende ( 7.17) : : N=0 ( 7.18) : : Q =F (7.19): Σ MS : links M= - F dx für dx 0 folgt (7.0): M= 0 Wegen der besseren Anschulichkeit werden die Funktionsverläufe ls Digrmme drgestellt (Bild 7.10). Die N- und Q- Achse des Querkrftverlufs zeigt nch oben, die M- Achse zeigt im Allgemeinen nch unten. Eine Ausnhme dieser Konvention ist die Anordnung der Verläufe bei Rh

172 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM mensystemen, weil dort oft us Pltzgründen diese Konvention vernchlässigt werden knn. N ) x=0 0 0 x= x=l x Q A V + F x=0 b) x= x=l x M A M 0 - x=0 c) M -F(l-) x= x=l x Bild 7.10 Drstellung der Verläufe in Normlkrft-, Querkrft-, Momenten- Digrmmen; ) Normlkrftverluf (N- Verluf); b) Querkrftverluf (Q- Verluf); c) Momentenverluf (M- Verluf)

173 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM Im Momentenverluf (Bild 7.10 c) ist die Steigung ist in beiden Abschnitten gleich. In x = entsteht ein Sprung mit dem Betrg M Zusmmenhng zwischen Belstung und Schnittgrößen (Grundgleichungen) Um ein einfches Blkenproblem (Bild 7.11) llgemeinerer Art lösen zu können, geht mn von der Differentilgleichung 4. Ordnung us. Sie beschreibt n einem differentiell kleinen (infinitesimlen) Teilchen (Bild 7.1) ds Verhlten der Struktur

174 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM df=q(x)dx q(x) z, w x dx l q(x) y S x z Querschnitts - schwerpunkt S Bild 7.11 Einfcher Biegeblken mit der Belstung q(x) Gleichgewicht m infinitesimlen Element (Bild 7.1) Durch ds Gleichgewicht der ngreifenden Schnittkräfte, der Querkrft Q und dem Biegemoment M um die y- Achse, ergibt sich m Teilstück unter der resultierenden Belstung (7.1) : df = q(x) dx

175 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM df=q(x)dx Q+dQ M Q C M+dM dx Bild 7.1 Infinitesimles Teilstück des Biegeblkens die Beziehungsgleichungen (7.): : Q- df-(q+dq)=0 (7.3): M Clinks : dx - M - Q dx + df + (M+ dm) = 0 Dmit liegen die einfchen Differentilgleichungen für den Querkrft- und Biegemomentenverluf in x vor dq (7.4) : - q(x)dx - dq = 0 = q(x) dx dm (7.5) : dm Q dx = 0 = Q, dx

176 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM wobei (dx) gegen Null geht. Die Querkrft Q ändert sich durch die negtive Gleichstreckenlst q(x). Die Ableitung des Momentes M nch x liefert die Querkrft Q! Mn knn diese beiden Differentilgleichungen 1. Ordnung uch zu einer Differentilgleichung. Ordnung zusmmenfssen (7.6) : d dx M = - q(x)

177 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM Tbelle 7. Zusmmenhänge us der Integrtion Streckenlst q(x) Querkrft Q(x) Moment M(x) 0 konstnt liner konstnt liner liner qudrtische Prbel qudrtische Prbel kubische Prbel Lgerkräfte werden nicht mehr vorb berechnet. Sie ergeben sich utomtisch us den Schnittkrftverläufen n den Bereichsrändern. Durch Integrtion folgt (7.7): Q = - q(x) dx + C1 (7.8): M= - Q(x) dx + C Die Integrtionskonstnten C 1 und C werden über die Rndbedingungen bestimmt

178 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM Tbelle 7.3 Rndbedingungen in den Auflgern Auflger Querkrft Q Biegemoment M gelenkiges Lger 0 = 0 Prllelführung = 0 0 Schiebehülse Einspnnung freies Ende = 0 = 0 Beispiel o Berechnung werden der Querkrft und Momentenverläufe unter einer Belstung für einen Blken mit vier verschiedenen Lgerungen berechnet

179 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM o Anpssung der Stmmfunktionen Fi(x) wird über die Konstnten Ci n den Belstungsfll ngepsst (Bild 7.1) Ein Blken (Bild 7.1) wird mit einer konstnten Gleichstreckenlst q 0 belstet. Mit verschiedenen Lgerungen wird gezeigt, wie us denselben Ausgngsgleichungen (7.5, 7.6) us der Integrtion für die Querkrft und Momentenverläufe durch Einsetzen der Rndbedingungen die zu den jeweiligen Lgerungen pssenden Verläufe entstehen. gegeben: l, q 0 gesucht: Querkrft- und Momentenverläufe für vier unterschiedliche Lgerungen q 0 x l Bild 7.1 Blken mit Gleichstreckenlst Ausgngsgleichungen nch der Integrtion mit freien, lso noch nicht festgelegten Konstnten (7.9): Q=- q0 x +C 1,

180 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM x (7.30) : M = - q0 + C1 x + C. Die freien Konstnten werden durch die unterschiedlichen Rndbedingungen der nchfolgenden Fälle bestimmt. Rndbedingungen für den Fll "beidseitig gelenkige Lgerung" q 0 l Bild 7.13 Rndbedingungen für den Fll "beidseitig gelenkige Lgerung" Die Rndbedingungen für den Fll "beidseitig gelenkige Lgerung" luten (7.31): M(x =0)=0 C =0, l (7.3) : M(x =l) = - q0 + C1 l = 0 C1 = q0 l

181 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM Die endgültigen Verläufe für den Fll "beidseitig gelenkige Lgerung" luten (7.33) : Q = - q0 x + q0 l, x (7.34) : M= - q0 + q0 x l. und sind in Bild 7.14 drgestellt. ) Q q l 0 + l - l x b) M + l / q0l 8 l x Bild 7.14 ) Querkrftverluf Q; b) Momentenverluf M dx Q(l) dx ) A V Q(0) b) B V Bild 7.15 Auflgerkrftbestimmung; ) linkes Auflger A; b) rechtes Auflger B

182 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM Die Auflgerkräfte können nun direkt us dem Querkrftverluf bestimmt werden (Bild 7.15) (7.35) : Q(0) = A = q0 l (7.36) : B = - Q(l)= q0 l Rndbedingungen für den Fll "Einspnnung" q 0 l Bild 7.16 Rndbedingungen für den Fll "Einspnnung" Die Rndbedingungen für den Fll "Einspnnung" luten (7.37): Q(x =l)=- q0 l+c1 =0 C1 =q0 l,

183 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM (7.38) : M(x = l) = - q 0 0 l + C = 0 l + q C = - q 0 l. Die endgültigen Verläufe für den Fll "Einspnnung" luten (7.39) : Q = - q0 x + q0 l, (7.40) : M= - q 0 x + q 0 l x - q 0 l. und sind in Bild 7.17 drgestellt. Q ) q l 0 + l x - q0l / - q0l 8 b) M l / l x Bild 7.17 ) Querkrftverluf Q; b) Momentenverluf M Ds Einspnnmoment lässt sich us dem Momentenverluf bestimmen

184 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM M A dx M Bild 7.18 Einspnnmoment M A =M(0) = - q 0 l Rndbedingungen für den Fll "Prllelführung und gelenkige Lgerung" q 0 A l Bild 7.19 Rndbedingungen für den Fll "Prllelführung und gelenkige Lgerung" Die Rndbedingungen für den Fll "Prllelführung und gelenkige Lgerung" luten (7.41) : Q(x = 0) = 0 C1 = 0, (7.4) : M(x =l) = - q l + C = 0 0 C = q 0 l

185 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM Die endgültigen Verläufe für den Fll "Prllelführung und gelenkige Lgerung" luten (7.43): Q=- q0 x, (7.44) : M= - q 0 x + q 0 l. und sind in Bild 7.0 drgestellt. Q l x ) - q l 0 l / l x b) q0l M + q0l / 8 Bild 7.0 ) Querkrftverluf Q; b) Momentenverluf M Beispiel

186 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM o Integrtion der Streckenlst zur Bestimmung des Querkrft- und Momentenverlufs o Berechnung der Auflgerkräfte us der Querkrftfunktion Ein Krgrm wird durch eine nsteigende Streckenlst belstet (Bild 7.1). gegeben: l, q 0 gesucht: Bestimmung der Querkrft- und Momentenverluf und der Auflgerkräfte q 0 x z l Bild 7.1 Krgrm mit nsteigender Streckenlst Die Querkrft- und Momentenverläufe werden durch formle Integrtion bestimmt x (7.45) : q(x)= q0, l

187 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM (7.46) : dq = - q(x) = - dx Q(x)= - q 0 x l q dx + C 1 = - q 0 x + C 1, l (7.47) : dm dx = Q M(x)= Q dx + C = - q 0 3 x + C 6 l 1 x + C. Die Integrtionskonstnten werden über die Rndbedingungen bestimmt (7.48) : Q(x =l) = 0 C1 = q0 l, (7.49) : M(x =l) = 0 C = - q 0 l. 3 Die endgültigen Verläufe luten (7.50): Q(x)= q 0 l x (1- ( ) l ),

188 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM (7.51) : M(x)= q 0 l x ( l - ( x ) l 3 ) und sind in Bild 7. drgestellt. ) Q q l/ 0 horizontle Tngente + l qudrtische Prbel x kubische Prbel -q 0 l /3 - b) M l x Bild 7. ) Querkrftverluf Q; b) Momentenverluf M Lösungswege Wenn eine kontinuierlicher Belstung über einen Bereich vorliegt und die zwei Integrtionskonstnten us den zwei Rndbedingungen folgen, führt die zweifche Integrtion von der Belstung q führt uf die Querkrft Q und ds Moment M

189 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM Wenn eine nicht kontinuierliche Belstung oder viele Bereiche vorliegen, ist die Anwendung der elementren Methode, ds punktweise Ermitteln der Querkrft Q und des Momentes M durch schneiden sinnvoll. Tbelle 7.4 Zusmmenhänge zwischen Belstung und den Querkrft-, beziehungsweise Momentenverläufen; Einzellst Einzellst Q - Verluf Knick M - Verluf Tbelle 7.4b Zusmmenhänge zwischen Belstung und den Querkrft-, beziehungsweise Momentenverläufen; Streckenlst

190 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM Belstung Gelenke Nulldurchgänge Kein Knick M- Verluf Kein Knick Tbelle 7.4c Zusmmenhänge zwischen Belstung und den Querkrft-, beziehungsweise Momentenverläufen; Einzelmoment F Einzelmomente M = F oder M - Verluf c). Sprung

191 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM Beispiel o Integrtion der Streckenlst zur Bestimmung der Querkrft- und Momentenverlufs eines Blkens uf zwei Stützen o Belstung ist keine kontinuierliche Funktion, ds Lger ist unterhlb des Blkens in B ngebrcht, deshlb werden zwei Bereiche unterteilt o Rnd- und Übergngsbedingungen o Berechnung der Auflgerkräfte us der Querkrftfunktion Ein Träger wird durch ds Lger B in zwei Bereiche geteilt. Der Bereich zwischen Lger A und Lger B ist mit einer Gleichstreckenlst q 0, der krgende Träger ist mit einer bfllenden Streckenlst belstet (Bild 7.3). gegeben: q 0, l gesucht: Bestimmung des Querkrft- und Momentenverlufs und der Auflgerkräfte

192 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM q 0 A x l B l/ Bild 7.3 Träger in zwei Bereichen mit Belstung Lösung Für jeden Bereich i wird ein eigenes Koordintensystem eingeführt, ds jeweils mit Null beginnt (Bild 7.4). Es könnte ber uch ein einziges Koordintensystem für beide Bereiche gewählt werden. Dnn müssten die Rnd- und Übergngsbedingungen entsprechend geändert formuliert werden. q 0 A B x 1 l l/ Bereich 1 Bereich Bild 7.4 Einführung der Bereichen und der Koordintensysteme x

193 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM Die zweifche Integrtion wird in zwei Bereichen durchgeführt Bereich 1: 0 x 1 l (7.5): q 1 (x1)=q0, (7.53): Q 1 (x1)=- q0 x1 +C11, x1 (7.54) : M 1(x1) = - q0 + C11 x1 + C1. Bereich : 0 x l q0 (7.55): q (x) = q0 - x, l q0 (7.56) : Q (x) = - q0 x + x + C1, l x q0 x (7.57) : M (x) = - q0 + + C1 x + C. l

194 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM Hier werden die Konstnten mit einer Doppelindizierung C ij versehen. Der erste Index ist die Nummer der Konstnten, der zweite gibt den Bereich n. Mn könnte die Konstnten ber uch ebenso A, B, C, D oder C 1, C, C 3, C 4 nennen. Durch die Aufstellung der Rnd- und Übergngsbedingungen erhält mn die Konstnten C ij (7.58) : l Q(x = ) = 0 q0l C1 =, 4 - q 0 l q + l 0 l ( ) + C 1 = 0 (7.59): M 1(x1 =0)=0 C1 =0, (7.60): M (x - q C = 0 l ) = 0 l q + 8 l 0 q0l = - 4 l q0l + 4 4, 3 l = - C

195 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM (7.61) : M (x 1 1 = l) = M - q C 0 11 (x l + C 11 = q = 0) q0l l = - 4 l. Die so bestimmten Konstnten legen nun die Schnittkrftverläufe fest. Die endgültigen Verläufe luten (Bild 7.5) x1 (7.6) : Q 1 (x1) = q0 l (- l 11 + ), 4 (7.63) : Q (x ) = q 0 1 l ( 4 - x l x + ( l ) ), l x1 11 x1 (7.64) : M 1 (x1) = q0 l (- ( ) + ), l 4 l (7.65) : M (x ) = q 0 l 1 1 ( x l - l x ( l ) 1 l + ( 3 ) 3 )

196 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM ) Q/q l l/ l qudrtische Prbel 3l/ x b) M/q 0 l l/ + l kubische Prbel x Prbelstich q 0 l /8 qudrtische Prbel Bild 7.5 ) Querkrftverluf Q i ; b) Momentenverluf M i Im Querkrftverluf Q i ; ist in Punkt B unterhlb des Lgers ist ein Sprung. Die Steigung der Kurven ist n dieser Stelle prllel. Im Momentenverluf M i ht ds Moment m freien Ende eine horizontle Tngente. Dort wird uch die Ableitung des Q- Verlufs zu Null. Über dem Lger B tritt ein negtives Moment uf, ds sogennnte Stützenmoment. Die Auflgerkräfte werden nicht us den Gleichgewichtsbedingungen berechnet, sondern ergeben sich direkt us den

197 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM Gleichungen für den Querkrftverluf. Dzu schneidet mn kurz (dx) hinter dem Auflger A und rechts und links neben dem Auflger B (Bild 7.6). ) Q 1(x 1 = 0) A V b) Q (x = l) 1 1 B Q (x = 0) Bild 7.6 ) Auflgerkrftbestimmung; linkes Auflger A; b) rechtes Auflger B Drus ergeben sich die Lgerkräfte zu 11 (7.66) : A V = Q1(x1 = 0) = q0 l, 4 (7.67) : B = Q 19 = 4 (x q 0 = 0) - l. Q (x 1 1 = l) = 1 4 q 0 l - q 0 l (-1+ q 0 11 ) Zusmmengesetzte Systeme Gerberträger Bild 7.7 zeigt einen Gerberträger. Es hndelt sich um einen Blken uf 3 Stützen, der zunächst sttisch unbestimmt

198 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM wäre, wenn der Träger nicht durch Anbringen eines zusätzlichen Gelenkes G sttisch bestimmt gemcht wird. Beispiel o Bestimmung des Momentenverlufs eines Gerberträgers durch bereichsweises Schneiden o Erstellung des Momentenverlufs us den Zusmmenhängen der Tbellen 7. und 7.4 o Belstung ist keine kontinuierliche Funktion o Lgerung ist unterhlb des Blkens in B ngebrcht o Blken wird durch ein Gelenk unterbrochen o Einzellst greift m Blken n o Berechnung der Auflger- und Gelenkkräfte us den Gleichgewichtsbedingungen o Konstruktion mit "eingehängter Prbel mit Prbelstich", Kontrolle des Wertes durch Schneiden Der in Bild 7.7 skizzierte Gerberträger wird durch eine bereichsweise Gleichstreckenlst q und die Einzelkräfte F 1 und F belstet. gegeben: q, F 1, F,, b gesucht: Bestimmung des Momentenverlufs, der Auflger- und Gelenkkräfte

199 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM q F 1 F A B G b b D Bild 7.7 Gerberträger Lösung Zur Lösung wie Blken in G geschnitten und die Momentengleichungen m linken, beziehungsweise m rechten Teilsystem gebildet (7.68): MG = 0 und MGrechts =0. links Ddurch erhlten die Bestimmungsgleichungen nicht die Gelenkkräfte G H und G V. Dnn wird m Gesmtsystem eine Gleichgewichtsbedingung ufgestellt, zum Beispiel eine Momentenbedingung. Ds ist im Allgemeinen übersichtlicher, ls jeweils die drei Gleichgewichtsbedingungen n jedem Teilsystem zu bilden. Zur Lösung führen beide Wege

200 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM q G H A H A V B G V G H F 1 F G V b b D Bild 7.8 Schnittbild Die Gleichgewichtsbedingungen m rechten Teilsystem luten (7.69) : Σ M : - F b +D b = 0 Glinks 1 1 D = F 1 Die Gleichgewichtsbedingungen m linken Teilsystem luten (7.70) : Σ M : A V Glinks - B + q = 0. Die Gleichgewichtsbedingungen m Gesmtsystem luten

201 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM (7.71): ΣM Alinks : D ( + b) - B + q ( + ) +F 1 ( +b) = 0 mit (7.69) folgt 3 (7.7): B =F1 + q. mit (7.7) in (7.70) folgt 1 (7.73): AV = F1 + q. Zur Bestimmung der Gelenkkräfte werden nun die Gleichgewichtsbedingungen m linken Teilsystem ufgestellt ( 7.74) : : - AH + GH = 0 GH =F, 1 ( 7.75) : : - A V + B - q - GV = 0 GV = F 1. Zur Kontrolle wird m linken Teilsystem eine noch nicht verwendete Gleichung benutzt

202 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM (7.76) : ΣM Alinks 3 B - q - G : = 3 q + F1-3 q V - F 1 = 0. Die Kontrolle bestätigt die Richtigkeit der Lösung. Nun wird der Momentenverluf durch die Konstruktion mit der "eingehängten" Prbel konstruiert (Bild 7.9). A v - 3 x = q /8 kein Knick + F / 1 Bild 7.9 Momentenverluf; Hilfslinie für Prbelstich Dfür werden die Ordinten n den Bereichsgrenzen in den Punkten B und G bestimmt. Dnn wird eine Hilfslinie eingezeichnet. Der Prbelstich mit der Ordinte q wird in die 8 Hilfslinie (senkrecht zur Blkenchse) vorzeichenrichtig ein

203 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM gehängt. Der Prbelstich ist ds Momentenmximum des Blkens uf zwei Stützen (Bild 7.15b). Durch die Superposition oder Überlgerung ergibt sich der endgültige Momentenverluf. Zur Überprüfung wird der Ordintenwert n der Stelle 3 x = us der Geometrie und dnch mit dem Momenten- gleichgewicht berechnet. Die Berechnung us der Momentenverlufsgeometrie in (Bild 7.9) ergibt (7.77) : 3 M(x = ) = - A V + q 8 = - q - F = - (q 4 + F 1 ) + q

204 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM q M A H A V B 3/ Bild 7.30 Momentengleichgewicht durch Schneiden n der Stelle x = 3 Die Berechnung des Wertes durch ds Momentengleichgewicht (Bild 7.30) ergibt 3 (7.78) : M = A V + B - q = - q - F Rhmen Ein Rhmen ist die Kombintion mehrerer biegesteif miteinnder verbundener Blken. Zur Lösung wird er in einzelne Rhmenbschnitte zerlegt, "ufgeschnitten". An den biegesteifen Ecken werden die Momente übertrgen. Die Querkrft geht nteilig in eine Normlkrft, die Normlkrft nteilig in eine Querkrft über. Dbei müssen die Vorzeichen bechtet werden

205 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM Beispiel o Bestimmung des Normlkrft-, Querkrft- und Momentenverlufs eines Rhmens durch bereichsweises Schneiden o Erstellung der Verläufe us den Zusmmenhängen der Tbellen 7. und 7.4 o Belstung ist keine kontinuierliche Funktion o Einzelkräfte greifen m Rhmen n o Berechnung der Auflgerkräfte us den Gleichgewichtsbedingungen o Kontrolle der Momentenwerte n der Ecke durch Schneiden Ein Rhmen wird mit horizontlen und vertiklen Einzellsten belstet (Bild 7.31). Die gestrichelte Fser definiert die x- Richtungen der Rhmenbschnitte. gegeben: b, F gesucht: Bestimmung der Normlkrft-, Querkrft- und Momentenverläufe

206 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM 3b b b 3 F F b 3b F F b Bild 7.31 Rhmen mit horizontlen und vertiklen Einzellsten Lösung

207 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM 3b b b 3 F F b 3b F F b A H A V B Bild 7.3 Schnittbild Die Berechnung der Lgerkräfte durch die Gleichgewichtsbedingungen m Gesmtsystem ergibt (7.79) : : AH + F - F = 0 A H = - F, (7.80) : ΣMA : B 4b - F 5b - 3F 3b + F 3b - Fb = 0 4B =10 F + 9 F - 3 F + F 18 F B = 4 9 F =,

208 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM (7.81) : ΣM B : A A V V A V 4 = - F + 3 F - F + 3F F = 4 4b + Fb - 3 Fb + Fb - F 3b = 0 = F. Die Kontrolle wird mit einer noch nicht verbruchten Gleichgewichtbedingung durchgeführt (7.8) : : A V F + B - 3 F - F = 9F F - F = 0. Die Kontrolle bestätigt die Richtigkeit der Lösung. Die Schnittkräfte und -momente werden durch bereichsweises Schneiden berechnet. Dzu wird der Rhmen n den einzelne Rhmenpunkten geschnitten. Exemplrisch wird dies hier für die obere linke Ecke durchgeführt (Bild 7.33). Dnn werden die Gleichgewichtsbedingungen für die Teilsysteme wie oben ufgestellt. (7.83) : NE = - A H - F = + F - F = - F, (7.84) : QE = A V F - 3 F = - 3F = - 9 F,

209 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM (7.85) : ME = - 3 F b - F 3 b - AH 4 b + A V 4 b F = b (- 3 F - 6 F + 4F + 4) = - 3Fb,

210 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM 3 F N E M E M G Q G F Q E N G M E Q E M G F N E N G Q G N D Q D A H A V M D N D Q D M D F B Bild 7.33 Schnittbild; rechte obere Rhmenecke vollständig usgeschnitten

211 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM (7.86) : ND = - B = - 9 F, (7.87) : QD = F, (7.88) : MD = - F b, (7.89) : NG = 0, (7.90) : QG = F, (7.91) : MG = - F b. Drus ergeben sich die Schnittkrftverläufe (Bild 7.34)

212 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM -F F/ -9F/ Bild 7.34 Normlkrftverluf; Zugkrft (+), Druckkrft (-) - -5F/ - + F/ + F + F -F F + 0 Bild 7.34b Querkrftverluf

213 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM -Fb - -3Fb Fb/ - -Fb -Fb + Fb 0 Bild 7.34c Momentenverluf Die Verläufe, die zu Null werden, weil keine Schnittkrft wirkt, werden mit einer Null gekennzeichnet. Durch die Angbe der Vorzeichen der Verlufsflächen ist die Angbe der x- Richtung ist nicht mehr erforderlich. Ds Vorzeichen richtet sich nch der gestrichelten Fser (Tbelle 7.4 Vorzeichendefinition). Ds Momentengleichgewicht in den Rhmenecken n einer biegesteifen Ecke wird immer durch die Momentensumme bestimmt

214 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM Greift kein Einzelmoment n der biegesteifen Ecke n, knn ds Moment durch "Umklppen der Momentenordinte" erzeugt werden (Bild 7.35). Greift ein Einzelmoment n der biegesteifen Ecke (Bild 7.35b), so können durch Bilden des Momentengleichgewichts n der Ecke entweder die nderen Momente bestimmt oder die Momentensumme kontrolliert werden. M =- Fl/ 0 M =-Fl r M =- Fl r ) M =-Fl u b) M =- 3Fl/ u Bild 7.35 Momentengleichgewicht in den Rhmenecken; ) kein Einzelmoment n der biegesteifen Ecke; b) Moment M 0 n der biegesteifen Ecke Ds Momentengleichgewicht in Bild 7.35 lutet (7.9): Momentensumme in der Ecke: - M u + M r = - (- Fl) + (- Fl) = 0 und in Bild 7.35 b lutet

215 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM (7.93): Momentensumme in der Ecke : - M u - M 0 + M r 3 = - (- F l) - 1 F l + (- Fl) = 0. Beispiel o Bestimmung des Normlkrft-, Querkrft- und Momentenverlufs eines Rhmens durch bereichsweises Schneiden o Erstellung der Verläufe us den Zusmmenhängen der Tbellen 7. und 7.4 o Belstung ist keine kontinuierliche Funktion o Einzelkrft und Moment greifen m Rhmen n o Berechnung der Auflger- und Gelenkkräfte us den Gleichgewichtsbedingungen o Geschweißte Ecke mit drei ngreifenden Rhmenteilen Ein gbelrtiger Träger wird durch eine Krft F und ein Einzelmoment M 0 belstet (Bild 7.36). gegeben: l, F, F l M 0 =

216 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM gesucht: Bestimmung der Normlkrft-, Querkrft- und Momentenverläufe, der Auflger- und Gelenkkräfte 3l/4 l/4 M 0 = Fl F 45 l/ B l/ A l Bild 7.36 Gbelrtiger Träger mit einer Krft F und einem Einzelmoment M 0 Lösung Der Träger wird n seinen Auflgern und m Gelenk geschnitten. Dmit werden die Lger- und Gelenkkräfte sichtbr gemcht (Bild 7.37)

217 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM 3l/4 M B B H G H B V G V M = 0 Fl F F G V l/ G H l/ A H l/4 l Bild 7.37 Schnittbild Durch die Gleichgewichtsbedingungen n beiden Teilsystemen werden nun die Lger- und Gelenkkräfte bestimmt. Die Gleichgewichtsbedingungen m rechten Teilsystem luten (Bild 7.37) l 5 l l (7.94) : ΣMG : AH - F + F - M0 = 0 AH 4 5 F =,

218 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM (7.95) : : GH =F - AH 3F = -, (7.96): : GV = F. Die Gleichgewichtsbedingungen m linken Teilsystem luten (7.97) : : BH = GH 3F = -, (7.98): : B =- GV V = F, (7.99) : Σ MB : MB = GV 3 l 4 = 3 F l. 4 Die Schnittkrftverläufe werden durch stückweises Schneiden berechnet (Bild 7.38)

219 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM - -F 3F/ F Bild 7.38) Normlkrftverluf + F F + - -F - -5F/ Bild 7.38b Querkrftverluf

220 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM Nulldurchgng beim Gelenk 3 - Fl - Fl 3-4 Fl -Fl 5-4 Fl 1 4 Fl Bild 7.38c Momentenverluf

221 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM 7.6 Aufgben zu Kpitel 7 AUFGABE 7.1 o Integrtion zweier Streckenlsten zur Bestimmung der Querkrft- und Momentenverläufe eines Blkens uf zwei Stützen o Vergleich zweier ähnlicher Belstungen o Berechnung der Auflgerkräfte us der Querkrftfunktion Der Blken ist mit einer Streckenlst q 1, bzw. q wie skizziert belstet (Bild 7.39). gegeben: l, q 0, π = q sin x, l q1 0 4q l 0 q = x(l x) l gesucht: Bestimmung der Querkrft- und Momentenverläufe und der Auflgerkräfte q 0 q, bzw. q 1 A x l B Bild 7.39 Blken mit der Streckenlst q 1, bzw. q - 0 -

222 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM Lösung: A H = 0, für q 1 : l π (x) = q cos x, π l Q 0 l π M(x) = q0 sin x, π l A = BV = q0 l π V, 1 x 4 x für q : Q(x) = q0 l ( + ), 3 3 l 3 l 3 1 x x x 1 M(x) = q0 l ( + ), A 3 4 V = BV = q0l 3 l l l AUFGABE 7. o Integrtion der Streckenlst zur Bestimmung des Querkrft- und Momentenverlufs eines Krgrms Der Blken ist mit einer Streckenlst q wie skizziert belstet (Bild 7.40). gegeben: l, q 0, 4q0 x(l x) q = l l gesucht: Bestimmung der Querkrft- und Momentenverläufe - 1 -

223 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM q 0 A x l Bild 7.40 Blken mit einer Streckenlst q x 4 x Lösung: Q(x) = q0 l ( + ), 3 3 l 3 l 3 M(x) = 1 3 q 3 0l 3 x x (1 + l 3 l x l 4 4 ) AUFGABE 7.3 o Integrtion der Streckenlst zur Bestimmung des Querkrft- und Momentenverlufs eines Blkens uf zwei Stützen o Belstung ist keine kontinuierliche Funktion, deshlb werden zwei Bereiche unterteilt o Rnd- und Übergngsbedingungen o Berechnung der Auflgerkräfte us der Querkrftfunktion - -

224 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM Der Blken ist mit einer Streckenlst q wie skizziert belstet (Bild 7.41). gegeben: l, q 0 gesucht: Bestimmung der Querkrft- und Momentenverläufe und der Auflgerkräfte q 0 A x l/ l/ B Bild 7.41 Blken mit einer Streckenlst q Lösung: A H = 0, q l = B. 4 0 A V = q0 q l (x1) = x1, l 4 0 Q1 + 3 q0 x1 q0l 1(x1) x1 M = +, l 3 4 Q (x q0x ) = q0x, i + M 3 0 (x + q ) = l x q0x + 3 l q0l 1l - 3 -

225 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM AUFGABE 7.4 o Bestimmung der Querkrft- und Momentenverläufe des Krgrms mit unterschiedlich ngeordneter Belstung durch bereichsweises Schneiden o Erstellung des Momentenverlufs us den Zusmmenhängen der Tbellen 7. und 7.4 o Belstung ist in zwei Fällen keine kontinuierliche Funktion o Berechnung der Auflger- und Gelenkkräfte us den Gleichgewichtsbedingungen o Konstruktion mit "eingehängter Prbel mit Prbelstich" Ein Krgrm ist mit einer Gleichstreckenlst q 0 wie skizziert in drei unterschiedlichen Fällen belstet (Bild 7.4, b, c). gegeben: l, q 0, Fll 1 Gleichstreckenlst über den gesmten Träger, Fll Gleichstreckenlst über die erste Hälfte des Trägers, Fll 3 Gleichstreckenlst über die zweite Hälfte des Trägers - 4 -

226 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM gesucht: Bestimmung der Querkrft- und Momentenverläufe und der Auflgerkräfte A q 0 A q 0 ) l b) l/ l/ q 0 A c) l/ l/ Bild 7.4 Krgrm mit einer Gleichstreckenlst q 0 in drei unterschiedlichen Fällen; ) Fll 1; b) Fll ; c) Fll 3 Lösung: A H = 0, ) A V = q 0 l, M A l = q0, b) l AV = q0, M A l = q0, c) 8 l A = V q0, l MA = 3q

227 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM AUFGABE 7.5 o Integrtion der Streckenlst zur Bestimmung des Querkrft- und Momentenverlufs eines Blkens uf zwei Stützen o Belstung ist keine kontinuierliche Funktion, ds Lger ist unterhlb des Blkens in B ngebrcht, deshlb werden zwei Bereiche unterteilt o Rnd- und Übergngsbedingungen o Berechnung der Auflgerkräfte us der Querkrftfunktion Der Blken ist mit einer dreieckförmigen Lst q 0 wie skizziert belstet (Bild 7.44). gegeben: l, q 0 gesucht: Bestimmung der Querkrft- und Momentenverläufe und der Auflgerkräfte - 6 -

228 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM q 0 x l A l B Bild 7.44 Blken mit einer dreieckförmigen Lst q 0 Lösung: A H = 0, A = q 0 l, B = 0, q0 x1 Q1(x1) =, l q0 x 1 Q (x ) = q0x + q0l, l M (x ) = 1 1 q l 0 3 x1 6 M 3 0 (x q0 q ) = l x 6 x q0l + x q0l 6 AUFGABE 7.6 o Bestimmung des Querkrft- und Momentenverlufs eines Krgrm mit Hebel durch bereichsweises Schneiden o Erstellung des Momentenverlufs us den Zusmmenhängen der Tbellen 7. und 7.4 o Belstung ist keine kontinuierliche Funktion - 7 -

229 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM o Einzellsten greifen m Blken n o Berechnung der Auflgerkräfte us den Gleichgewichtsbedingungen o Konstruktion mit "eingehängter Prbel mit Prbelstich" Ein Krgrm mit Hebel ist mit einer Gleichstreckenlst q 0 und Einzellsten wie skizziert belstet (Bild 7.45). gegeben:, F 1 = F = F 3 = F, F q 0 = gesucht: Bestimmung der Querkrft- und Momentenverläufe und der Auflgerkräfte A q 0 F 3 F 1 3/ / F 60 B Bild 7.45 Krgrm mit Hebel mit einer Gleichstreckenlst q 0 und Einzellsten - 8 -

230 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM Lösung: links: 1 A H = - F, A V = 3.37 F, M A = F, in C von F N =, Q = 0.87, M = 0.13 F, F von rechts: N =, Q = 0.87F, M = F, von unten: Q = - F, N = 0, M C = - F AUFGABE 7.7 o Bestimmung des Querkrft- und Momentenverlufs eines Blkens durch bereichsweises Schneiden o Erstellung des Momentenverlufs us den Zusmmenhängen der Tbellen 7. und 7.4 o Belstung ist keine kontinuierliche Funktion o Einzellsten greifen m Blken n o Berechnung der Auflgerkräfte us den Gleichgewichtsbedingungen o Konstruktion mit "eingehängter Prbel mit Prbelstich" - 9 -

231 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM Der Blken ist mit einer Gleichstreckenlst q 0 und Einzellsten wie skizziert belstet (Bild 7.46). gegeben:, F 1 = F, F = F, F q 0 = gesucht: Bestimmung der Querkrft- und Momentenverläufe A F 1 q 0 F 3 B Bild 7.46 Blken mit einer Gleichstreckenlst q 0 und Einzellsten Lösung: bei x = 3: Q = A V F 1, M= (3A V F 1 ) AUFGABE 7.8 o Bestimmung des Querkrft- und Momentenverlufs eines Blkens durch bereichsweises Schneiden o Erstellung des Momentenverlufs us den Zusmmenhängen der Tbellen 7. und 7.4 o Belstung ist keine kontinuierliche Funktion

232 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM o Einzellsten greifen m Blken n o Berechnung der Auflgerkräfte us den Gleichgewichtsbedingungen o Konstruktion mit "eingehängter Prbel mit Prbelstich" Der Blken ist mit einer Gleichstreckenlst q 0 und Einzellsten wie skizziert belstet (Bild 7.47). gegeben:, F 1 = F, F = 3 F, q 0 = F gesucht: Bestimmung der Querkrft- und Momentenverläufe und der Auflgerkräfte A q 0 F F 1 B 4 3 Bild 7.47 Blken mit einer Gleichstreckenlst q 0 und Einzellsten Lösung: A H = 0, A V = F, B = - F, bei x = 4: Q = 0, M= 4F

233 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM AUFGABE 7.9 o Bestimmung des Querkrft- und Momentenverlufs eines Blkens durch bereichsweises Schneiden o Erstellung des Momentenverlufs us den Zusmmenhängen der Tbellen 7. und 7.4 o Belstung ist keine kontinuierliche Funktion o Lgerung ist unterhlb des Blkens in A ngebrcht o Einzellsten greifen m Blken n o Berechnung der Auflgerkräfte us den Gleichgewichtsbedingungen Der Blken ist mit Einzellsten wie skizziert belstet (Bild 7.48). gegeben:, F 1 = F = F gesucht: Bestimmung der Querkrft- und Momentenverläufe und der Auflgerkräfte - 3 -

234 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM F 1 F A B Bild 7.48 Blken mit Einzellsten Lösung: A H = 0, A V = F, B = F, 9 18 bei x = 3: Q = - F 1 -A V, M= 3F 1 AUFGABE 7.10 o Integrtion der Streckenlst zur Bestimmung des Querkrft- und Momentenverlufs eines Blkens uf zwei Stützen o Belstung ist keine kontinuierliche Funktion, deshlb werden zwei Bereiche unterteilt o Rnd- und Übergngsbedingungen o Berechnung der Auflgerkräfte us der Querkrftfunktion Der Blken ist durch eine Streckenlst q(x) wie skizziert belstet (Bild 7.49)

235 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM gegeben:, q 0 gesucht: Bestimmung der Querkrft- und Momentenverläufe und der Auflgerkräfte q 0 A 4 B x Bild 7.49 Blken mit einer Streckenlst q(x) Lösung: A H = 0, 3 V = - q, 9 A 0 10 M A = - q0, 3 x 4 x 4 = - q0 + q, M= - q0 + q0 x Q 0 AUFGABE 7.11 o Bestimmung des Querkrft- und Momentenverlufs eines Blkens durch bereichsweises Schneiden o Erstellung des Momentenverlufs us den Zusmmenhängen der Tbellen 7. und 7.4 o Belstung ist keine kontinuierliche Funktion

236 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM o Lgerung ist unterhlb des Blkens in B ngebrcht o Blken wird durch ein Gelenk unterbrochen o Einzellst greift m Blken n o Berechnung der Auflgerkräfte us den Gleichgewichtsbedingungen o Konstruktion mit "eingehängter Prbel mit Prbelstich" Der Blken ist durch eine Gleichstreckenlst q 0 und eine Einzellst F wie skizziert belstet (Bild 7.50). gegeben:, F, F q 0 = gesucht: Bestimmung der Querkrft- und Momentenverläufe und der Auflgerkräfte A F q 0 B C Bild 7.50 Blken mit Gleichstreckenlst q 0 und Einzellst F

237 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM Lösung: 1 3 A = F, B V = F, C = 0, bei x = 3: Q = F, 1 M = F Aufgbe 7.1 o Bestimmung des Querkrft- und Momentenverlufs eines Blkens durch bereichsweises Schneiden o Erstellung des Momentenverlufs us den Zusmmenhängen der Tbellen 7. und 7.4 o Belstung ist keine kontinuierliche Funktion o Lgerung ist unterhlb des Blkens in B ngebrcht o Blken wird durch ein Gelenk unterbrochen o Einzellst greift m Blken n o Berechnung der Auflger- und Gelenkkräfte us den Gleichgewichtsbedingungen o Konstruktion mit "eingehängter Prbel mit Prbelstich"

238 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM Der Blken ist durch eine Gleichstreckenlst q 0 und eine Einzellst F wie skizziert belstet (Bild 7.51). gegeben:, F, q 0 = F 3 gesucht: Bestimmung der Querkrft- und Momentenverläufe F q 0 A B C Bild 7.51 Blken mit einer Gleichstreckenlst q 0 und einer Einzellst F Lösung: bei x = 5: Q = 0, Aufgbe 7.13 M = q 0 () 8 o Bestimmung des Querkrft- und Momentenverlufs eines Gerberträgers durch bereichsweises Schneiden

239 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM o Erstellung des Momentenverlufs us den Zusmmenhängen der Tbellen 7. und 7.4 o Belstung ist keine kontinuierliche Funktion o Lgerung ist unterhlb des Blkens in B ngebrcht o Blken wird durch ein Gelenk unterbrochen o Einzellsten greifen m Blken n o Berechnung der Auflger- und Gelenkkräfte us den Gleichgewichtsbedingungen Der Gerberträger ist durch zwei Einzellsten F wie skizziert belstet (Bild 7.5). gegeben: l, F gesucht: Bestimmung der Querkrft- und Momentenverläufe und der Auflger- und Gelenkkräfte A F G F B l/ l/ l/3 l/6 l/ C Bild 7.5 Blken mit zwei Einzellsten F

240 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM Lösung: A H = 0, bei x = l: Q = (C- F), AUFGABE A V = F, B = F, C = F, 4 4 l M = F o Bestimmung des Querkrft- und Momentenverlufs eines Gerberträgers durch bereichsweises Schneiden o Erstellung des Momentenverlufs us den Zusmmenhängen der Tbellen 7. und 7.4 o Belstung ist keine kontinuierliche Funktion o Lgerungen sind unterhlb des Trägers in B und C ngebrcht o Träger wird durch Gelenke unterbrochen o Einzellsten greifen m Träger n o Berechnung der Auflger- und Gelenkkräfte us den Gleichgewichtsbedingungen o Konstruktion mit "eingehängter Prbel mit Prbelstich"

241 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM Der Gerberträger ist durch drei Einzellsten und eine Gleichstreckenlst q 0 wie skizziert belstet (Bild 7.53). gegeben:, b, F, 4F q 0 = 3 gesucht: Bestimmung der Querkrft- und Momentenverläufe A q 0 F F F B C 3/ 3/ 3/ 3/ D Bild Blken mit drei Einzellsten und einer Gleichstreckenlst q 0 Lösung: A H = G H1 = G H = 0, 5 31 A V = F, B = F, G V1 = - F, G V = F, D = F, C = F, bei x = 3: Q = A V F + B, 4 M= - F

242 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM AUFGABE 7.15 o Bestimmung des Normlkrft-, Querkrft- und Momentenverlufs eines Rhmens durch bereichsweises Schneiden o Erstellung des Momentenverlufs us den Zusmmenhängen der Tbellen 7. und 7.4 o Belstung ist keine kontinuierliche Funktion o Einzellsten greifen m Rhmen n o Berechnung der Auflgerkräfte us den Gleichgewichtsbedingungen o Konstruktion mit "eingehängter Prbel mit Prbelstich" o Geschweißte Ecken mit drei ngreifenden Rhmenteilen Der Rhmen ist durch Einzellsten und Gleichstreckenlsten wie skizziert belstet (Bild 7.54). gegeben:, F, F 1 = F = F, F F q 0 = q 1 =,

243 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM gesucht: Bestimmung der Norml-, Querkrft- und Momentenverläufe und der Auflgerkräfte 3/ / F q 1 F F 1 q 0 A B Bild 7.54 Rhmen mit Einzellsten und Gleichstreckenlsten Lösung: 9 17 A H = - F, A V = - F 8, B = 1 F, m linken Rh- 8 menstiel bei x = : N = F 1 - A V, Q = A H q 0 4, M =9 F - 4 -

244 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM AUFGABE 7.16 o Bestimmung des Normlkrft-, Querkrft- und Momentenverlufs eines Rhmens durch bereichsweises Schneiden o Erstellung des Momentenverlufs us den Zusmmenhängen der Tbellen 7. und 7.4 o Belstung ist eine kontinuierliche Funktion über zwei Bereiche o Berechnung der Auflgerkräfte us den Gleichgewichtsbedingungen o Konstruktion mit "eingehängter Prbel mit Prbelstich" o Geschweißte Ecke mit drei ngreifenden Rhmenteilen Auf einem Tnkstellendch (Bild 7.55) liegt eine Schneedecke (Gesmtgewicht G). Ds Dch überträgt die Schneelst ls Gleichstreckenlst q (kn/ m) uf ein Ständerpr (Höhe h, Trägerlänge l = h). gegeben: q = G, h, l = h l

245 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM gesucht: Bestimmung der Norml-, Querkrft- und Momentenverläufe und der Auflgerkräfte l q= G l l/3 h A Bild 7.55 Tnkstellendch mit Schneedecke Lösung: A H = 0, 1 Krgrm: N = 0, Q =- G, 6 AUFGABE 7.17 G 1 A V =, M A = - G l, m rechten 1 1 M= - Gl 9 o Bestimmung des Normlkrft-, Querkrft- und Momentenverlufs eines Rhmens durch bereichsweises Schneiden

246 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM o Erstellung des Momentenverlufs us den Zusmmenhängen der Tbellen 7. und 7.4 o Belstung ist keine kontinuierliche Funktion o Einzellsten greifen m Rhmen n o Berechnung der Auflgerkräfte us den Gleichgewichtsbedingungen Der Rhmen ist durch zwei Einzellsten wie skizziert belstet (Bild 7.56). gegeben:, F gesucht: Bestimmung der Norml-, Querkrft- und Momentenverläufe und der Auflgerkräfte F F B A Bild 7.56 Rhmen mit zwei Einzellsten

247 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM Lösung: A H = 0, A V =F, B = F, m horizontlen Rhmen bei x = : N = - A H, Q= 0, M = A V AUFGABE 7.18 o Bestimmung des Querkrft- und Momentenverlufs eines Rhmens durch bereichsweises Schneiden o Erstellung des Momentenverlufs us den Zusmmenhängen der Tbellen 7. und 7.4 o Belstung ist keine kontinuierliche Funktion o Einzellst greift m Rhmen n o Berechnung der Auflgerkräfte us den Gleichgewichtsbedingungen o Konstruktion mit "eingehängter Prbel mit Prbelstich" Der Rhmen ist durch eine Einzellst F und eine Gleichstreckenlst q wie skizziert belstet (Bild 7.57). gegeben:, F, q gesucht: Bestimmung der Querkrft- und Momentenverläufe und der Auflgerkräfte

248 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM l/ F l/ B l q= F l A Bild 7.57 Rhmen mit Einzellst F und Gleichstreckenlst q Lösung: A H = F, B = F, bei x = l: Q = 0, M= F AUFGABE 7.19 l l M A =-F, m vertiklen Rhmen o Bestimmung des Normlkrft-, Querkrft- und Momentenverlufs eines Rhmens durch bereichsweises Schneiden o Erstellung des Momentenverlufs us den Zusmmenhängen der Tbellen 7. und 7.4 o Belstung ist keine kontinuierliche Funktion

249 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM o Rhmen wird im lterntiven System durch ein Gelenk unterbrochen o Berechnung eines Dreigelenkbogens o Einzellst greift m Rhmen n o Berechnung der Auflger- und Gelenkkräfte us den Gleichgewichtsbedingungen o Konstruktion mit "eingehängter Prbel mit Prbelstich" o Geschweißte Ecke mit drei ngreifenden Rhmenteilen o Vergleich zweier ähnlicher Systeme Der Rhmen ist durch zwei Einzellsten und eine Gleichstreckenlst q 0 wie skizziert belstet (Bild 7.58). gegeben:, F, q 0 = F 5 gesucht: Bestimmung der Norml-, Querkrft- und Momentenverläufe, der Auflger- und Gelenkkräfte und der Änderung, wenn in C ein Gelenk und in A ein zweiwertiges Lger ist

250 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM q 0 C F 3 F A B 3 Bild 7.58 Rhmen mit zwei Einzellsten und einer Gleichstreckenlst q 0 Lösung: ) ohne Gelenk in C, im linken, vertiklen Rhmen bei x = von oben: N = A V + F; Q = 0, M= - F; b) mit Gelenk in C, Festlger in A, im linken, vertiklen Rhmen bei x = von oben: N = A V + F; Q = - A H, M= 0, AUFGABE 7.0 o Bestimmung des Querkrft- und Momentenverlufs eines Rhmens durch bereichsweises Schneiden

251 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM o Erstellung des Momentenverlufs us den Zusmmenhängen der Tbellen 7. und 7.4 o Belstung ist keine kontinuierliche Funktion o Rhmen wird durch ein Gelenk unterbrochen o Einzellst greift m Rhmen n o Berechnung der Auflger- und Gelenkkräfte us den Gleichgewichtsbedingungen o Geschweißte Ecke mit drei ngreifenden Rhmenteilen Der Rhmen ist durch eine Einzellst F wie skizziert belstet (Bild 7.59). gegeben:, F gesucht: Bestimmung der Querkrft- und Momentenverläufe und der Auflger- und Gelenkkräfte

252 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM C D F E A B Bild 7.59 Rhmen mit einer Einzellst F F Lösung: AH = - DH =, F AV = - DV =, oberen horizontlen Rhmen bei x = 0: AUFGABE 7.1 M A =F, B = F, im F F Q =, M= o Bestimmung des Normlkrft-, Querkrft- und Momentenverlufs eines Trägersystems durch bereichsweises Schneiden o Erstellung des Momentenverlufs us den Zusmmenhängen der Tbellen 7. und 7.4 o Schneiden von Rollen uf dem Träger o Schneiden von Seilkräften

253 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM o Belstung ist keine kontinuierliche Funktion o Rhmen wird durch Gelenke unterbrochen o Einzellst greift m Rhmen n o Berechnung der Auflger-, Seil- und Gelenkkräfte us den Gleichgewichtsbedingungen Ein Trägersystem ist über ein Seil, ds über eine Rolle geschlungen ist, durch ds Gewicht G wie skizziert belstet (Bild 7.60). gegeben:, r, G gesucht: Bestimmung der Norml-, Querkrft- und Momentenverläufe und der Auflger-, Seil- und Gelenkkräfte - 5 -

254 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM r B r D 3 C A 1 E r H G Bild 7.60 Trägersystem mit dem Gewicht G Lösung: H V = G, H H = S = G, J H = J V = G, M B = G r, B H = 0, B V = -G, E H = E V = G, D H = - G, D V = 0, C H = C V = G, A H = 0, A V = G, M A = - G, im horizontlen Rhmen in E: N = 0, Q = - G, M = - G AUFGABE 7. o Bestimmung des Normlkrft-, Querkrft- und Momentenverlufs eines Rhmens durch bereichsweises Schneiden o Erstellung des Momentenverlufs us den Zusmmenhängen der Tbellen 7. und

255 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM o Belstung ist keine kontinuierliche Funktion o Streckenlst ist liner o Rhmen wird durch ein Gelenk unterbrochen o Einzellsten greifen m Rhmen n o Berechnung der Auflger- und Gelenkkräfte us den Gleichgewichtsbedingungen Der Rhmen ist durch Einzellsten und eine Streckenlst wie skizziert belstet (Bild 7.61). gegeben:, F, F q 0 = gesucht: Bestimmung der Norml-, Querkrft- und Momentenverläufe und der Auflgerkräfte

256 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM F F q 0 C F A B Bild 7.61 Rhmen mit Einzellsten und Streckenlst Lösung: A H = - F, A V = F, B H = - F, B V = F, m linken vertiklen Rhmen bei x = von oben: 8 Q = - F, 11 AUFGABE M=F 11 1 N = - F, 11 o Bestimmung des Normlkrft-, Querkrft- und Momentenverlufs eines Rhmens durch bereichsweises Schneiden

257 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM o Erstellung des Momentenverlufs us den Zusmmenhängen der Tbellen 7. und 7.4 o Belstung ist keine kontinuierliche Funktion o Rhmen wird durch ein Gelenk unterbrochen o Einzellst greift m Rhmen n o Berechnung der Auflger- und Gelenkkräfte us den Gleichgewichtsbedingungen o Konstruktion mit "eingehängter Prbel mit Prbelstich" Der Rhmen ist durch eine Einzellst F und eine Gleichstreckenlst q 0 wie skizziert belstet (Bild 7.6). gegeben:, F, F q 0 = gesucht: Bestimmung der Norml-, Querkrft- und Momentenverläufe und der Auflger- und Gelenkkräfte

258 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM F q 0 A B Bild 7.6 Rhmen mit Einzellst F und Gleichstreckenlst q Lösung: A H = F, A V = F, B H = F, B V = F, C H = F, C V = - F, m linken vertiklen Rhmen bei x = : N = - F, Q = - F, M = - F AUFGABE 7.4 o Bestimmung des Querkrft- und Momentenverlufs eines Rhmens durch bereichsweises Schneiden o Erstellung des Momentenverlufs us den Zusmmenhängen der Tbellen 7. und 7.4 o Belstung ist keine kontinuierliche Funktion

259 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM o Rhmen wird durch ein Gelenk unterbrochen o Einzellsten greifen m Rhmen n o Berechnung der Auflger- und Gelenkkräfte us den Gleichgewichtsbedingungen Der Rhmen ist durch zwei Einzellsten F wie skizziert belstet (Bild 7.63). In C sind die Rhmenteile gelenkig miteinnder verbunden, in A ist er verschieblich gelgert, in B fest eingespnnt. gegeben:, F gesucht: Bestimmung der Querkrft- und Momentenverläufe und der Auflger- und Gelenkkräfte F B A F C Bild 7.63 Rhmen mit zwei Einzellsten F

260 7 GERADER BALKEN UND RAHMENSYSTEM F Lösung: CH =0, MB = - F, AV =CV =BV =, BH = F, m unteren horizontlen Rhmen bei x = : F Q =-, F M =

261 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK Lehrziel des Kpitels o Anwendung des Arbeitsstzes zur Bestimmung der Gleichgewichtslgen und der Art der Gleichgewichtslge Formeln des Kpitels o Gesmtrbeit (8.): W = s s r r Fds. 1 o Prinzip der virtuellen Verrückungen (8.3): δw = i r r δwi = Fi δsi = 0. i o Potentielle Energie (8.4) : Π (z) = W(z) o Gleichgewicht us der Vrition der potentiellen Energie

262 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK δπ(z) (8.5): = 0 δz o Stbilität einer Gleichgewichtslge > stbil (8.6): δ Π(z) δz = 0 < indifferent lbil 8.1 Der Arbeitsstz Die meisten Schwierigkeiten bereitet bei nlytischen Berechnungsmethoden ds Erkennen der geometrischen Zusmmenhänge, vor llem dnn, wenn es sich nicht mehr um gerde Stäbe oder Blken, sondern um komplexe Systeme, wie gekrümmte Blken oder zusmmengesetzte Systeme, hndelt. Sehr schnell wird die Grenze des Mchbren erreicht. Für diese Fälle werden dnn die Energiemethoden benötigt. In den Energiemethoden spielen die geometrischen Betrchtungen zwr uch eine Rolle, ber eine untergeordnete. An Stelle der bisher verwendeten Gleichgewichtsbedingungen treten Aussgen drüber, welche Arbeit die äuße

263 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK ren Kräfte bei der Verformung eines Systems verrichten, in welcher Energieform und wo diese Arbeit gespeichert wird. Ein Grund für die größere Leistungsfähigkeit der Energiemethoden ist, dss Arbeit und Energie sklre (ungerichtete) Größen sind, während Kräfte und Verschiebungen vektorielle (gerichtete) Größen sind. Elementrbeit ds F ϕ Bild 8.1 Arbeit einer Krft F entlng des Weges s Die Arbeit r r (8.1): dw= Fds = Fdscosϕ. ist Krftkomponente in Richtung des Weges ml Weg oder Krft ml Wegkomponente in Richtung der Krft. Die Gesmtrbeit ist - 6 -

264 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK (8.): W = s s r r Fds. 1 Arbeitsstz "An einem Kräftesystem, ds im Gleichgewicht steht, wird bei einer virtuellen Verrückung keine Arbeit geleistet." Als virtuelle Verrückung sind Verschiebungen und Verdrehungen gemeint, die folgendermßen definiert werden o sie sind gedcht, ds heißt, sie müssen in ntur nicht vorkommen, o sie sind sehr klein, dmit sich die Kräftekonstelltion nicht ändert, o sie müssen geometrisch möglich sein. 8. Prinzip der virtuellen Verrückungen bei strren Körpern Zwei Energiemethoden werden hier usführlicher vorgestellt, um ds Grundsätzliche dieser Methoden zu zeigen: ds Prinzip der virtuellen Verrückungen. Ds Prinzip der virtuellen Verrückungen wird in der Sttik für Strrkörper und Strrkörpersysteme definiert ls virtuelle Arbeit

265 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK (8.3): δw = i r r δwi = Fi δsi = 0. i "Die bei einer virtuellen Verrückung us der Gleichgewichtslge von den eingeprägten Kräften insgesmt geleistete Arbeit ist gleich Null." Eine virtuelle Verrückung wird durch ds Symbol δ gekennzeichnet. Hier liegen keine Verformungen, lso uch kein Potentil der inneren Kräfte vor. Dieses Prinzip ist den Gleichgewichtsbedingungen äquivlent. 8.3 Stbilität einer Gleichgewichtslge (8.4) : Π (z) = W(z) Die Funktion Π(z) wird ls Funktion der Ortskoordinte z ngegeben, wobei z immer nch oben zeigt. Dnn folgt ds Gleichgewicht us der Vrition der potentiellen Energie δπ(z) (8.5): = 0 δz

266 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK die zu Null wird, wenn Gleichgewicht herrscht, und die Art der Stbilität us dem Vorzeichen der zweiten Vrition > stbil (8.6): δ Π(z) δz = 0 < indifferent lbil Beispiel o Anwendung des Arbeitsstzes zur Bestimmung der Gleichgewichtslgen o Untersuchung der Art der Gleichgewichtslge An einem einfchen mthemtischen Pendel (Bild 8.) werden die möglichen Gleichgewichtslgen und deren Stbilität untersucht

267 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK z Nullniveu z G ϕ l G Bild 8. Mthemtisches Pendel in einer usgelenkten Lge Die potentielle Energie lässt sich durch die Multipliktion des Gewichts G mit der Höhenkoordinte z G beschreiben. Dbei muss bechtet werden, dss bei der Bestimmung der potentiellen Energie die z- Koordinte immer nch oben zeigt. D die Arbeit entgegengesetzt der potentiellen Energie (8.7) : Π = W definiert ist, muss uf ds Vorzeichen gechtet werden. Dmit ergibt sich die potentielle Energie, die durch ds Gewicht entsteht, zu (8.8): Π = G zg

268 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK mit der Höhenkoordinte, die vom ngenommenen Nullniveu us gemessen wird, (8.9): zg = -l cosϕ Bedingung für Gleichgewicht Durch die Vrition der potentiellen Energie Π nch der Koordinte z erhält mn eine Gleichung, deren Nullstellen δπ(z) die Gleichgewichtslgen des Systems definieren δz δπ(z) (8.10): = 0 δz Definition der Stbilität Die Untersuchung dieser Nullstellen ergeben die Hoch-, Tief-, bzw. Wendepunkte der Funktion Π. Dzu wird die zweite Vrition dieser Funktion gebildet und die Werte für die gefundenen Nullstellen der Gleichung (8.10) eingesetzt

269 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK > stbil (8.11): δ Π(z) δz = 0 < indifferent lbil Untersuchung der Gleichgewichtslge Für ds Beispiel ergibt die erste Vrition mit der mthemtischen Umformung (8.1): δ Π = δ(g z ) = Gδ zg G = 0 und der Drstellung der Vritionsrechnung im Allgemeinen (8.13): df( ϕ) δf( ϕ) = δϕ dϕ ergibt sich (8.14): δ z G dzg = dϕ δϕ = l sinϕ δϕ. In (8.10) eingesetzt (8.15) : δ Π = (Gl sinϕ) δϕ =

270 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK mit der virtuellen Verrückung (8.15) : δϕ 0 erhält mn (8.16) : Gl sinϕ = 0. Dmit ergeben sich die Gleichgewichtslgen für (8.17): sinϕ = 0. Es existieren lso sttische Gleichgewichtslgen für (8.18): ϕ = und (8.19): ϕ = π = Untersuchung der Stbilität der Gleichgewichtslgen

271 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK Für ds Beispiel ergibt die zweite Vrition mit der mthemtischen Umformung (8.0) : δ Π=δ (GzG ) = Gδ zg. und der Drstellung der Vritionsrechnung im Allgemeinen d f( ϕ) (8.1): δ f( ϕ) = δϕ dϕ ergibt sich (8.): δ z G G d z = dϕ δϕ = l cosϕ δϕ. So erhält mn (8.3) : δ Π= Gl cosϕ δϕ. Gleichgewichtslge für ϕ 1 =00. In (8.3) eingesetzt (Bild 8.3) ergibt sich

272 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK (8.4) : δ Π= Gl cos0 δϕ > 0. Ds Pendel ist in der Gleichgewichtslge ϕ 0 1 = 0 stbil. ϕ 1 = 0 ϕ = π ) b) Bild 8.3 Gleichgewichtslgen; ) Stbile Gleichgewichtslge für ϕ ; b) Instbile Gleichgewichtslge für 0 1 = 0 ϕ = π = 180 Gleichgewichtslge für 0 ϕ = π = 180 Den zweiten Wert in (8.3) eingesetzt (Bild 8.3b) ergibt diesml (8.5): δ Π = Gl cosπ δϕ <

273 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK Ds Pendel ist in der Gleichgewichtslge ϕ = π = 180 instbil. 0 Diese Gleichgewichtslge ist überhupt nur möglich, wenn ds Seil durch einen msselosen Stb ersetzt wird. Beispiel o Anwendung des Arbeitsstzes zur Bestimmung der Gleichgewichtslgen o Untersuchung der Art der Gleichgewichtslge Ein Seil wird über zwei Umlenkrollen geführt. An einer Umlenkrolle hängt ds Gewicht G 1 (l = Seillänge). Am Ende des Seils hängt ds Gewicht G (Bild 8.4). Der Einfluss der Rollenrdien bleibt unberücksichtigt. gegeben:, b, l, G 1, G gesucht: Bestimmung der Gleichgewichtslgen α und der Grenzwerte von G G 1 und die Art der Gleichgewichtslgen - 7 -

274 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK z / / tnα b α G 1 G Bild 8.4 Seil mit zwei Umlenkrollen und den Gewichten G 1 und G Lösung Anwendung des Arbeitsstzes zur Bestimmung der Gleichgewichtslge Die potentielle Energie ist (8.17) : Π = =G1 z1 +G z. / α y x Bild 8.5 Geometrie

275 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK Aus der Geometrie in Bild 8.5 folgt tnα (8.18): z1 = -b-, z = (l ) = (l ) cosα cosα und in Bild 8.5 folgt (8.19) tn α = sin α cos α = yx x y tn α =. Mit der ersten Vrition der Vriblen z 1 und z (8.0): dz1 δz1 = δα=- δα, dα cos α sinα = δα cos α δz = dz δα dα folgt der Arbeitsstz (8.1) : δ Π = = δ(g1 z1) + δ(g z ) = G1 δz1 + G δz. Die erste Vrition δ Π muss Null werden, dmit Gleichgewicht herrscht

276 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK (8.): sinα δ Π=(-G1 + G ) δα= 0 cos α cos α Mit δα 0 folgen us (8.) (8.3): sinα -G1 + G = 0 cos α cos α cos und schließlich die gesuchten Gleichgewichtslgen in Abhängigkeit der Gewichte (8.4): G - + G sinα = 0 sinα 1 = G1 G. Dmit liegen die Gleichgewichtslgen fest. Der Winkel α knn nur im Bereich 0 0 < α<90 liegen (sinα 1) (Bild 8.4). In Bild 8.6 ist der Funktionsverluf einer Sinusfunktion drgestellt

277 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK -3 phi tn phi phi 0 0, , , , sin 0 0, , , ,5 1 0,5 0 pi/ pi pi Bild 8.6 Funktionsverluf einer Sinusfunktion f(phi) = sin phi; phi = ϕ; pi = π Die erste Gleichgewichtslge ergibt sich us der Grenzlge G1 (8.5): sinα = = 0 α1 = 0. G ) G b) G 1 G Bild 8.7 Gleichgewichtslgen ) für G 1 = 0; b) für G = G

278 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK Die zweite Gleichgewichtslge ergibt sich us der Grenzlge G1 π (8.6): sinα = = 1 α =. G Hier ist eine Gleichgewichtslge nur bei π α = möglich, ber dies führt wegen der Länge 0 zum Widerspruch! Alle Gleichgewichtslgen müssen uf ihre Mchbrkeit hin untersucht werden, zum Beispiel, ob sie technisch überhupt möglich sind, beziehungsweise zum Widerspruch führen. Die dritte Gleichgewichtslge liegt irgendwo dzwischen G1 π (8.7): sinα = < 1 α3 <. G Drus folgt ds Verhältnis der Gewichte G1 (8.8): 1> G > G G

279 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK Die zweite Vrition δ Π wird zur Bestimmung der Art der Gleichgewichtslge berechnet. Mit der zweiten Vrition der Vriblen z 1 und z (8.9): δ z 1 =- tnα ( δα) cos α (8.30): δ z tnα sinα = ( + tn αcosα+ cosα)( δα) cos α folgt (8.31): =(-G 1 δ Π = tnα tnα sinα + G( cos α cos α + tn α cosα+ cosα))( δα) Durch ds Einsetzen der Lösungen α 1, α, α3 werden die Stbilitätslgen untersucht. Für α 1 = 0 folgt (8.3): δ Π= -G = G ( δα) 1 *0 *0*0 + G( + 0*1+ 1) ( δα) 1 1 >

280 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK Ds hndelt sich um eine stbile Gleichgewichtslge. Die zweite Gleichgewichtslge wird nicht untersucht, d die π Bedingung α = zum Widerspruch bei der Länge 0 führte. Für π α 3 < folgt (8.33): =( G 1 δ Π = tnα cos α 3 3 tnα3 sinα + G( cos α + tn α 3 cosα cosα 3 ))( δα) Um die Art der Gleichgewichtslge zu bestimmen, müssen die Funktionswerte für α 3 = phi bgeschätzt werden

281 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK 3 tn phi tn 1 cos** phi 0-1 cos phi - -3 phi Bild 8.8 Funktionsverläufe der trigonometrischen Funktionen; phi = α 3 Zur Funktionsuswertung (Bild 8.8) mit G > G1 werden tn α G1 cos α 3 3 und tn α G cosα 3 3 jeweils sehr groß und ( G tn α 3 cos α3 ) und ( G cos α 3 ) gehen gegen Null

282 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK Es ist nur eine bereichsweise Annäherung möglich. Für π π α 3 = folgt tn = und π π sin = cos = 4 4. Dmit ergibt sich (8.34): δ Π = = -G 1 *1* *1 + G( ( ) ( ) + 1* + ) ( δα) = [-G + G (3 )( ] δα). 1 Mit dem Gewichtsverhältnis G > G1 folgt δ Π < 1, eine lbile Gleichgewichtslge. Für π π π α 3 = folgt tn = 3, sin = ergibt sich 3 und π 1 cos =. Dmit

283 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK (8.35): δ Π = = -G = G ( [-G G (14)( ] δα) ) ( δα) Mit dem Gewichtsverhältnis G > G1 folgt δ Π> 1, eine stbile Gleichgewichtslge. Für π α 3 = folgt 6 ergibt sich π tn = π 1 sin = und, 6 π cos = 6 3. Dmit (8.36): δ Π = = -G = G( G1 + G( ) ( δα) ) ( δα) - 8 -

284 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK Mit dem Gewichtsverhältnis G > G1 folgt δ Π> 1, eine stbile Gleichgewichtslge. 8.4 Ermittlung von Auflgerkräften mit Hilfe des Arbeitsstzes Beispiel o Durch Schneiden wird die gesuchte Seilkrft S sichtbr gemcht. o Die Untersuchung der sttischen Gleichgewichtslge liefert die Seilkrft. Eine ndere Anwendungsmöglichkeit des Arbeitsstzes dient zur Ermittlung von unbeknnten Schnittkräften, zum Beispiel Auflgerkräften. Dzu wird n einem sttisch bestimmten System die gesuchte Größe ls Unbeknnte durch Freischneiden eingeführt. Diese unbeknnte Krft wird wie eine Belstung behndelt, die ds durch ds Freischneiden beweglich gemchte System im Gleichgewicht hlten muss. Die nchfolgende Stbilitätsbetrchtung knn entfllen, d ds System von vornherein sttisch bestimmt definiert ist

285 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK Die drei Blken (Bild 8.9) sind in B und C gelenkig miteinnder verbunden und in E, G und H wie skizziert gelgert. In A und D ist ein Seil S befestigt, ds über eine Umlenkrolle läuft. In C wirkt die Lst 3 F, in B die Lst F. Gegeben sind die Krft F und die Länge. Gesucht ist die Seilkrft S mit Hilfe des Arbeitsstzes. Umlenkrolle D III Sei l S H A E B G C I II F 3F Bild 8.9 Blkensystem mit den Einzelkräften F Lösung Durch ds Aufschneiden des Seils und ds Anbringen der Seilkrft S mcht mn zum einen die gesuchte Seilkrft

286 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK sichtbr, zum nderen wird ds System kinemtisch beweglich gemcht. Die Seilkrft muss nun so gewählt werden, dss ds System ttsächlich im Gleichgewicht ist. Aufstellung des Arbeitsstzes Ds System knn nun virtuell usgelenkt werden (Bild 8.10). Alle Kräfte leisten nun über den Weg, den sie verrichten, eine Arbeit. Diese Arbeit ist ber virtuell, ds heißt, gedcht, klein und kinemtisch möglich. Dbei werden die Vorzeichen bechtet. Zeigen Krft und Verschiebung in dieselbe Richtung, entsteht eine positive Arbeit, zeigen sie entgegengesetzt, erhält mn eine negtive Arbeit (8.37) : δ W = Sδ s - Fδ s + 3 Fδ s = 0 (8.37): ( S - F + 3 F) δ s = 0 mit der virtuellen Verrückung (8.37b) : δ s 0 ergibt sich dnn nch Auflösung die gesuchte Seilkrft

287 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK (8.38) : S = F S D G δs δs S A E δs E B F C 3F δs Bild 8.10 Virtuelle Verrückung des Blkensystems nch dem Aufschneiden des Seils: der Blken III bewegt sich vertikl, die Seilkrft S in D leistet keine Arbeit Der Vorteil dieser Methode ist, dss kein Schneiden des Systems in Teilsysteme notwendig ist. Dmit ersprt mn sich einen großen Teil n Berechnungsrbeit. 8.5 Stbilität Der Begriff Stbilität bezeichnet die Möglichkeit eines Körpers, sich infolge eines belstendenden Moments durch ein Gegengewicht selbstständig wieder ufzurichten. Am Beispiel der Schiffsstbilität wird dies gezeigt

288 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK Ein Schiff gilt im physiklischen Sinne ls stbil, wenn eine positive Krft ufgewendet werden muss, um ds Schiff tiefer zu tuchen oder um es um seine Längs- oder Querchse zu drehen. Die Rektionskräfte und Momente des Körpers wirken dem entgegen. Beeinflussende Fktoren Die folgenden Fktoren prägen die Stbilität eines Schiffes fördern oder mindern o Rumpfform, o Gewicht und Gewichtsverteilung des Schiffskörpers, o Ldungsgewicht und Ldungsverteilung, o Verhlten der Ldung (z. B. eventuelle Beweglichkeit von Schüttgut oder von Fhrgästen), o Dynmisches Verhlten des Schiffes z. B. bei Kurvenfhrt mit hoher Geschwindigkeit, o Freie Oberflächen (Art der Ldung, Tnkinhlte), o Krnlsten,

289 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK o Betriebsbedingungen, o Wsserdichte (Slzwsser/ Süßwsser), o Umwelteinflüsse (Wind, Querströmungen, Seegng, Vereisungsgefhr (Aufbuten, Eislst)). Die Stbilitätsbewertung eines Körpers bezieht sich uch immer uf unterschiedliche und im Betrieb vriierende Beldungszustände (Lstfälle). Ermittlung und Bewertung Der Nchweis der Stbilität erfolgt nlytisch für die Lstfälle. Ein Boot besteht im Wesentlichen us einem offenen oder geschlossenen hohlen Rumpf und dem Mst smt Segel

290 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK A G A G Bild 8.11 Gewichtsstbilität, Lge und Richtung der Gewichtskrft G und der Auftriebskrft A Die Gewichtskrft G greift im Schwerpunkt des Schiffes n, die Auftriebskrft A greift im Schwerpunkt der verdrängten Wssermsse n

291 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK 8.6 Aufgben zu Kpitel 8 AUFGABE 8.1 o Sichtbrmchen der gesuchten Kräfte durch Schneiden o Bestimmung der Kräfte durch Untersuchung der sttischen Gleichgewichtslge Ein zusmmengesetztes System besteht us zwei Blken, die mit zwei Stäben miteinnder verbunden sind (Bild 8.1). Sie werden durch Gleichstreckenlsten q 1 und q 1 belstet. gegeben:, q 1 gesucht: Bestimmung der Stbkräfte S 1, S und des Moments M B in B A q 1 S 1 S q 1 B Bild 8.1 Zusmmengesetztes System mit Gleichstreckenlsten

292 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK Lösung: MB = q1, S1 = q1, S = q AUFGABE 8. o Bestimmung der Gleichgewichtslge über den Arbeitsstz o Ermittlung der dzugehörigen Krft Eine gewichtslose Stnge AC ist in A drehbr gelgert und in C gelenkig mit der gewichtslosen Stnge BC verbunden (Bild 8.13). An deren Ende sitzt ein Kolben, uf den die Krft F wirkt. In C greift eine senkrecht zu AC gerichtete Krft Q n. gegeben: F, r, l gesucht: Bestimmung der Krft Q in Abhängigkeit vom Winkel α, für die ds System im Gleichgewicht ist

293 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK F B l β Q r C α A Bild 8.13 Stnge mit Kolben und der Krft F rcos α Lösung: Q = F sin α( + 1) l r sin α AUFGABE 8.3 o Bestimmung der Gleichgewichtslgen o Bestimmung der Art der Gleichgewichtslgen Auf einer Kreisbogenschiene CD knn eine Muffe A, n der ds Gewicht G hängt, reibungsfrei gleiten (Bild 8.14). Sie wird durch die Lst Q gehlten. Ds Hlteseil (Seillänge l) - 9 -

294 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK läuft bei B reibungsfrei über eine vernchlässigbr kleine Umlenkrolle. gegeben: G, Q, r, l, gesucht: Bestimmung der Gleichgewichtslgen ϕ der Muffe in Abhängigkeit vom Verhältnis und die Art dieser G Q Gleichgewichtslgen A G ϕ B C r Q D Bild 8.14 Kreisbogenschiene mit der Muffe A und dem Gewicht G und der Lst Q

295 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK Lösung: ϕ1 π Q =, beziehungsweise ϕ 1 = π für lle, ußer G Q für Q = G, für < 1 stbil; G Q Q ϕ = r sin für > 1 stbil G G AUFGABE 8.4 o Bestimmung der Gleichgewichtslgen o Bestimmung der Art der Gleichgewichtslgen Eine drehbr gelgerte Scheibe (Rdius r) trägt n zwei Armen (Länge ) die Gewichte G und G (Bild 8.15). An einem um die Scheibe gewickeltes Seil hängt ein Gewicht Q. gegeben:, G, Q, r, Seillänge l für ϕ = 0 gesucht: Bestimmung der möglichen Gleichgewichtslgen und des mximle Wertes des Quotienten rq, für den G überhupt Gleichgewicht möglich ist und die die Art der ermittelten Gleichgewichtslgen

296 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK G r ϕ G l Bild 8.15 Scheibe mit den Gewichte G und G Q Lösung: * rq ϕ1 = + ϕ für 1 stbile Gleichgewichtslge, G * rq ϕ = ϕ für 1 lbile Gleichgewichtslge, G ϕ 3 = 0 für AUFGABE 8.5 r Q 1= indifferente Gleichgewichtslge G o Bestimmung der Gleichgewichtslgen o Bestimmung der Art der Gleichgewichtslgen

297 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK Über eine msselose Wlze, die m Umfng ein Gewicht G trägt, ist ein Seil gelegt, n dessen Enden die Gewichte G und G hängen (Bild 8.16). gegeben: r, G gesucht: Bestimmung ller Gleichgewichtslgen und deren Art. r G ϕ G G Bild 8.16 Wlze mit den Gewichten G und G Lösung: 0 ϕ 1 = 60 stbile Gleichgewichtslge, lbile Gleichgewichtslge ϕ = AUFGABE 8.6 o Bestimmung der Gleichgewichtslgen

298 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK o Bestimmung der Art der Gleichgewichtslgen Eine Briefwge wird mit dem Gewicht G belstet (Bild 8.17). Die Stngen sind gewichtslos. gegeben:, b, c, d, l, G gesucht: Bestimmung ller Gleichgewichtslgen und deren Art, sowie die Lgerkräfte A und B in den Gleichgewichtslgen. c G b d 135 Q A l l B Bild 8.17 Briefwge mit dem Gewicht G Lösung: A v = * 0 ϕ 1 = 30 stbile Gleichgewichtslge, A H =0, 1 (G(-c l 0 cos30 ) + Q d sin15 ),

299 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK B 1 = (G(l l v + c cos30 0 ) + Q d sin15 0 ), * ϕ = 10 lbile 0 Gleichgewichtslge AUFGABE 8.7 o Bestimmung der Auflgerkräfte mit Hilfe des Arbeitsstzes o Bestimmung der Auflgerkräfte durch Untersuchung der sttischen Gleichgewichtslge Ein Blken wird mit einer bereichsweisen Gleichstreckenlst und einer Einzellst belstet (Bild 8.18). gegeben:, q 0 = F 3, F gesucht: Bestimmung ller Auflgerkräfte mit Hilfe des Arbeitsstzes F q 0 A B C Bild 8.18 Blken mit bereichsweiser Gleichstreckenlst und Einzellst

300 8 DER ARBEITSBEGRIFF IN DER STATIK Lösung: A H = 0, 1 1 A V = F, M A = - F, B = F, C = F

301 9 HAFTUNG UND REIBUNG 9 HAFTUNG UND REIBUNG Lehrziel des Kpitels o Normlkräfte N zwischen gltten Oberflächen o Tngentilkräfte (Hftung H, beziehungsweise Reibung R) zwischen ruhen Oberflächen o Tngentilkräfte (Hftung H) zwischen ruhen Oberflächen einer Seiltrommel Formeln des Kpitels o Hftungsgesetz (9. 1) : H µ 0N. o Reibungsgesetz ( 9.3) R = µ N. o Seilhftungsgesetz 0 0 (9.5): S e S S e µ α 1 µ α

302 9 HAFTUNG UND REIBUNG Es werden zwei Fälle unterschieden. Die Krft wirkt norml zur Oberfläche und die Krft wirkt norml und tngentil zur Oberfläche. G G N ) b) H, R N Bild 9.1 Schnittbild ) gltte Oberfläche; b) ruhe Oberfläche 9.1 Hftung Hftreibung Tngentile Krft zwischen zwei Körpern in der Ruhelge. Die Hftungskrft H folgt us den Gleichgewichtsbedingungen. Fälle des COULOMBschen Hftungsgesetzes Der Körper ist in Ruhe. Es wirkt zwischen dem Körper und der Auflgeebene die Normlkrft N und die Hftkrft, die sich us dem µ 0 Hftreibungskoeffizient mit der Normlkrft

303 9 HAFTUNG UND REIBUNG multipliziert ergibt. Die Hftkrft ht keine vorbestimmte Richtung und wird im Hftungsgesetz ls Betrg eingeführt (9. 1) : H µ 0N. Der Körper ist gerde noch in Ruhe. Es herrscht "Grenzhftung", ein indifferenter Zustnd (9. ) : H = µ 0N. H knn den Grenzwert überschreiten. H0 µ 0 = N ("Grenzhftung") nicht 9. Reibung Der Körper bewegt sich, er rutscht. Die Reibung ist eine tngentile Krft zwischen zwei Körpern, die sich gegeneinnder bewegen (Gleitreibung). Die Reibungskrft ergibt sich us dem µ Reibungskoeffizient mit der Normlkrft multipliziert. Ds Vorzeichen von R ist immer entgegen der Geschwindigkeitsrichtung gerichtet. ( 9.3) R = µ N

304 9 HAFTUNG UND REIBUNG Die Reibung R ht einen festen Wert. Reibungskrft wirkt immer der Bewegungsrichtung entgegen, sowohl bei einer Absolutbewegung ls uch bei einer Reltivbewegung (Bild 9.). G 1 v 1 R 1 N 1 v > v 1 R G N v N 1 R 1 G v R ) v = 0 N R b) N R v = 0 Bild 9. Reibungskrft entgegen der Bewegungsrichtung; ) Absolutbewegung; b) Reltivbewegung Tbelle 9.1 Hftungs- und Reibungskoeffizienten für verschiedene Werkstoffe Werkstoffprung Hftreibungskoeffizient µ 0 Reibungskoeffizient µ

305 9 HAFTUNG UND REIBUNG trocken geschmiert trocken geschmiert Sthl uf Gusseisen 0, 0,15 0,18 0,1... 0,08 Sthl uf Sthl 0, 0,1 0,15 0,1... 0,05 Sthl uf Cu-Sn- Legierung 0, 0,1 0,1 0, ,03 Sthl uf Pb-Sn- Legierung 0,15 0,1 0,1 0, ,03 Sthl uf Polymid 0,3 0,15 0,3 0,1... 0,05 Sthl uf Reibbelg 0,6 0,3 0,5 0,3... 0, Wälzlger , ,001 Beispiel o Hftung verhindert die Bewegung eines Körpers Ein Klotz liegt uf einer ruhen schiefen Ebene und wird durch eine Krft F nch oben gezogen (Bild 9.3)

306 9 HAFTUNG UND REIBUNG gegeben: G, F, 0 1 =10 α, µ = gesucht: Bestimmung der Grenzen, zwischen denen die Krft F liegen drf, dmit sich der Klotz nicht bewegt. α G F Bild 9.3 Klotz uf einer ruhen schiefen Ebene Lösung Für eine große positive Krft F ((F G sinα) > 0) würde sich der Körper ohne Hftung nch oben bewegen ("gedchte Bewegung"), dher wirkt die Hftungskrft nch unten. Wenn ds System überschubr ist, knn die Hftkrft physiklisch richtig ngesetzt werden. Dnn werden die Betrgsstriche weglssen. Bei komplexen Systemen ist dies nicht möglich, von vornherein die Richtung der Hftkrft zu sehen. Sie wird dnn in beliebiger Richtung tngentil mit Betrgsstrichen ngesetzt!

307 9 HAFTUNG UND REIBUNG y α G F x H N Bild 9.4 Schnittbild für Bewegung nch oben Die Gleichgewichtsbedingungen luten (9. 4) : in x - Richtung : F - H - G sinα = 0 H = F - G sinα, (9. 5) : in y - Richtung : N - Gcosα = 0 N = Gcosα. Ds Hftungsgesetz lutet (9. 6) : H µ N F G sinα µ 0Gcos 0 α. Der Inhlt des Ausdrucks zwischen den Betrgsstrichen wird durch Betrchten der Lst F bestimmt. Wird F zu klein ((F G sinα) < 0), würde der Körper nch unten rutschen (Bild 9.5). Die Hftungskrft zeigt dnn nch oben

308 9 HAFTUNG UND REIBUNG y α G F x H N Bild 9.5 Schnittbild für Bewegung nch unten Dnn luten die Gleichgewichtsbedingungen (9. 7) : in x - Richtung : F + H - G sinα = 0 H = - F + G sinα, (9. 8) : in y - Richtung : N - Gcosα = 0 N = Gcosα. Mit dem Hftungsgesetz (9.6) folgt (9. 9) : F G sinα - µ 0Gcosα. Die Krft F knn deshlb zwischen den beiden Werten (9. 10) : G (sinα - µ cosα) F G (sinα + µ 0cos 0 α ) liegen

309 9 HAFTUNG UND REIBUNG Mit Zhlenwerten ergeben sich die Grenzwerte für die Lst F für Sthl uf Sthl (Hftreibungskoeffizient µ = 0.5 ) 0 (9. 11) : 0.06 G F 0.36 G. 0 Für den Winkel α = 1 folgt 1 0 (9. 1) : 3% F 30%. Mit F = 0 knn die mximle Größe des Steigungswinkels * α der schiefen Ebene berechnet werden. Wird der Winkel * α überschritten, rutscht der Körper immer nch unten. (9. 13) : - G sinα * sinα * µ G cosα - µ 0 0 cosα * * = 0. Der ist der mximle Steigungswinkel * α ist (9. 14) : α = rtnµ 0. * Beispiel

310 9 HAFTUNG UND REIBUNG o Gleichgewichtszustnd eines Systems durch die mögliche Hftkrft Es ist zu untersuchen, ob für ds Doppelpendel (G = Eigengewicht eines Stbes) in der gegebenen Lge ein Gleichgewichtszustnd möglich ist. 0 gegeben: h = m, µ = 0.5 in C, l = 1.5 m, α = gesucht: Bestimmung des Gleichgewichts des Systems A l α 1 B α l C h µ 0 Bild 9.6 Doppelpendel in der gegebenen Lge Lösung Aus der Geometrie folgt h (9. 15) : l cosα 1 + l cosα = h α = rcos ( - cosα1). l

311 9 HAFTUNG UND REIBUNG A y A x α 1 l G B x l h B y B x B y α G N H Bild 9.7 Schnittbild Die Gleichgewichtsbedingungen luten m linken Teilsystem (9. 16) : : A x - B x = 0 A x = B x, (9. 17) : : A y - B y - G = 0 By = A y G, (9.18) : ΣM Blinks A y : - A y G = - A l sinα x 1 - A cotα, 1 x l cos B y α 1 G = - G + l sinα - A x 1 = 0 cotα, 1 und m rechten Teilsystem (9. 19) : : B x + H = 0 B x = - H,

312 9 HAFTUNG UND REIBUNG (9. 0) : : B y + N - G = 0 G N = 3 - H cot α, 1 N = G - B y G (9. 1) : Σ MBlinks : N l sinα + H l cosα - l sinα = 0. Drus folgen die Hftkrft und die Normlkrft (9.): H = cot α G cot 1 α, (9.3) : N = G H cot α = G(cot α (cot α 1 1 3cot α). cot α ) Mit den Zhlenwerten α1. = 10 und us (9.15) ergibt sich 0 α 0. = (9.4) : H = G < H = µ 0N mx = G. 0 Bei dem gegebenen Hftungskoeffizienten µ 0. ist in der ngegebenen Lge ( α. 10 ) ein Gleichgewichtszustnd möglich. 1 =

313 9 HAFTUNG UND REIBUNG 9.3 Seilhftung Es herrscht Gleichgewicht, solnge gilt 0 0 (9.5): S e S S e µ α 1 µ α. α S S 1 ) Hftkräfte, bzw. Reibungskräfte b) S Zugrichtung, wenn S > S 1 α S 1 Bild 9.8 ) Seilkräfte um eine Rolle; b) m Element mit den Hftungskräften Hier knn nur der Fll "Grenzhftung" betrchtet werden, d die Problemstellung immer sttisch unbestimmt ist. Mit S > S1 und festem S 1 folgt

314 9 HAFTUNG UND REIBUNG (9.6): S =S e, S e S S e 1 µ α 1 µ α 1 µ α. Mit Zhlenwerten folgt us µ 0 α = 0. 5 der Wert e µ 0 α = und us µ 0 α = 0. 5µ 0 folgt der Wert µ e 0 α =1.65. (9.7) : S1 0,6065 S S Innerhlb dieser Werte wird ds Gleichgewicht gehlten. Für S 1 µ α 0 < S e erfolgt ein Rutschen nch rechts, für µ 0α S > S1e ein Rutschen nch links

315 9 HAFTUNG UND REIBUNG 9.4 Aufgben zu Kpitel 9 AUFGABE 9.1 o Hftung n zwei Körpern, die mit einem Seil miteinnder verbunden sind Zwei Wlzen (Gewicht G, Rdius r) liegen uf einer schiefen Ebene (Winkel β ) (Bild 9.9). Die Wlze I hftet uf der schiefen Ebene (Hftungskoeffizient µ 0), die Berührungsflächen zwischen Wlze I und Wlze II und zwischen Wlze II und der schiefen Ebene sind gltt. Über die Wlze I läuft ein Seil, ds im Mittelpunkt von Wlze II befestigt ist. gegeben: G, r, β, µ 0 gesucht: Bestimmung der Seilkrft S, dmit Gleichgewicht herrscht, und der Normlkrft N zwischen der schiefen Ebene und der Wlze II für 0 β =

316 9 HAFTUNG UND REIBUNG S r r I G II G gltt µ 0 β Bild 9.9 Zwei Wlzen uf einer schiefen Ebene Lösung: S = Gsinβ, N = G(cosβ sinβ) = 0.707G AUFGABE 9. o Hftung n zwei Körpern, die mit einem Seil miteinnder verbunden sind o Symmetrisches System Ein Fss (Gewicht G, Rdius r) soll durch eine Zngenkonstruktion gehoben werden (Bild 9.10). Die beiden vertiklen Seile werden über eine Seiltrommel umgelenkt. gegeben: G, r gesucht: Bestimmung der Mindestgröße von µ 0 und die Gelenkkrft C

317 9 HAFTUNG UND REIBUNG 6r Seil A C Seil B r = 3/r G µ 0 µ 0 Bild 9.10 Fsshlterung durch Zngenkonstruktion Lösung: µ 3 0 8, 4 C = 3 G AUFGABE 9.3 o Hftung n zwei Körpern, die mit einem Seil miteinnder verbunden sind Zwei Quder (Gewicht G und G ) sind durch ein Seil S miteinnder verbunden (Bild 9.11) und liegen uf einer unter α geneigten Ebene (Hftungszhlen µ 0 und µ 0). gegeben: G, µ 0 = 0., µ 0 = , α = 0 gesucht: Bestimmung der Mindestgröße von G, für die die Körper nicht brutschen

318 9 HAFTUNG UND REIBUNG S G G µ 0 α µ 0 Bild 9.11 Zwei Quder uf einer unter α geneigten Ebene Lösung: G 4 G AUFGABE 9.4 o Hftung n einem Körper o Sttisch unbestimmtes System o Grenzhftung Ein gewichtsloses Brett (Bild 9.1), ds uf zwei ruhen Knlwänden ufliegt, ist mittig mit einer schräg ngreifenden Krft F belstet. gegeben: l, α, ϕ, µ 0 gesucht: Bestimmung der Rektionskräfte in Abhängigkeit von ϕ und des größte Wertes, den ϕ nnehmen drf, wenn der Hftungskoeffizient µ 0 = 0. 3 ist

319 9 HAFTUNG UND REIBUNG l/ l/ ϕ F µ 0 α α µ 0 Bild 9.1 Gewichtsloses Brett uf zwei ruhen Knlwänden 1 1 F cosϕ F cosϕ Lösung: N 1 =, N =, cosα + µ sinα cosα µ sinα H ϕ F cosϕ F cosϕ = µ 0, H = µ 0, cosα + µ sinα cosα µ sinα 0 mx = AUFGABE 9.5 o Hftung n einem Körper o Sttisch unbestimmtes System o Grenzhftung Auf einem horizontlen ruhen Boden (Hftungskoeffizient µ 1) liegt eine Wlze (Gewicht G, Rdius r) (Bild 9.13) so, dss sie die vertikle, ebenflls ruhe Wnd (Hftungskoeffizient µ ) berührt. An der Wlze greift eine Drehkrft D n

320 9 HAFTUNG UND REIBUNG gegeben: µ 1, µ, G, r gesucht: Bestimmung des größten Wertes von D, für den sich die Wlze nicht dreht. µ D G r µ 1 Bild 9.13 Wlze uf einem horizontlen ruhen Boden und n einer ruhen Wnd Lösung: µ 1( µ + 1) D = Gr =. µ µ AUFGABE 9.6 o Gleichgewichtszustnd eines Systems durch die mögliche Hftkrft Ein strrer, gewichtsloser Blken (Bild 9.14) hängt n einem Seil S und lehnt in A n einer ruhen Wnd (Hftungskoeffizient µ 0). Er trägt in C eine Lst F

321 9 HAFTUNG UND REIBUNG gegeben: α, β, F, l, µ 0 gesucht: Bestimmung der Rektionskräfte α B F C A l/ β l/ Bild 9.14 Strrer, gewichtsloser Blken Lösung: S = F, cosβ sin α N = F, sin( δ + β) cos α cosβ sin( δ + β) H = F sin( δ + β) AUFGABE 9.7 o Gleichgewichtszustnd eines Systems durch die mögliche Hftkrft Eine gewichtslose Stnge (Länge l) wird bei A reibungsfrei geführt und trägt n ihrem unteren Ende einen Klotz vom Gewicht G (Bild 9.15), der uf einer ruhen Unterlge (Hf

322 9 HAFTUNG UND REIBUNG tungskoeffizient µ 0) liegt. An der Stnge ist ein Seil befestigt, n dem ds Gewicht Q hängt. Die Rolle ist reibungsfrei. gegeben: l, µ 0, G, Q, β gesucht: Wie groß ist die Hftungskrft zwischen Klotz und Unterlge? Ist eine Hftung des Klotzes für die Werte 0 β = 60, Q = 4 N, 1 µ 0 = und G = 3 N möglich? Wie 3 groß muss G mindestens sein, dmit ds System gerde noch in Ruhe ist? l/ β A l/ G µ 0 Q Bild 9.15 Gewichtslose Stnge bei A reibungsfrei geführt

323 9 HAFTUNG UND REIBUNG Lösung: G 1 µ 0 Q AUFGABE 9.8 o Gleichgewichtszustnd eines Systems durch die mögliche Hftkrft Ein Mensch zieht n einer Kiste (Bild 9.16), die n- ml sein Gewicht wiegt. Die Kiste ruht uf ruhem Snd. Er selbst steht uf ruhem Boden. Wie weit drf er sich nch hinten neigen, bis er den Hlt verliert? Der Winkel α ist gesucht, bei dem ds Gleichgewicht versgt. gegeben: G, h, s, µ 0 gesucht: Bestimmung des Grenzwinkels für n = 0.5 und n =

324 9 HAFTUNG UND REIBUNG Q = ng S µ 0 G s h α µ 0 Bild 9.16 Mensch zieht n einer Kiste h h Lösung: tn α1 µ 0n, tnα µ 0 s s AUFGABE 9.9 o Gleichgewichtszustnd eines Systems durch die mögliche Hftkrft o Sttisch unbestimmtes System o Grenzhftung Ein durch die Lst Q gespnntes Seil ist über eine gewichtslose Rolle geführt (Bild 9.17), deren Träger (Höhe h,

325 9 HAFTUNG UND REIBUNG Gewicht G) lose uf dem ruhen Boden (Hftungskoeffizient µ 0) steht. gegeben: h, G, µ 0 gesucht: Bestimmung des Wertes für Q, dmit der Rollenträger gerde nicht rutscht. 45 µ 0 G C h Q Bild 9.17 Träger, durch ein Seil gehlten Lösung: µ Q 1 µ 0 0 G ( + 1) AUFGABE 9.10 o Gleichgewichtszustnd eines Systems durch die mögliche Hftkrft

326 9 HAFTUNG UND REIBUNG o Bestimmung von µ 0 Ein us zwei gleichen Stngen (Gewicht G) bestehender Bock (Bild 9.18) trägt die Lst Q. gegeben: = 0, 5 h, b = 0, 5 h, G, Q, h gesucht: Bestimmung des Hftungskoeffizient µ 0 bei B, dmit der Bock für Q = 0, beziehungsweise G = 0 im Gleichgewicht steht. C G Seil Q G h A b b µ 0 B Bild 9.18 Bock mit der Lst Q Lösung: Für Q = 0: b 1 µ 0 =, für G = 0: h 4 µ h + b h b h (h ) 0 =

327 9 HAFTUNG UND REIBUNG AUFGABE 9.11 o Gleichgewichtszustnd eines Systems durch die mögliche Hftkrft o Sttisch unbestimmtes System o Grenzhftung Bei der skizzierten Klemmrollenbefestigung (Bild 9.19) sei der Hftungskoeffizient zwischen Tfel (Gewicht G 1 ) und Rolle (Gewicht G ), sowie zwischen Rolle und Bügel µ 0. Die Berührfläche zwischen Tfel und Bügel sei gltt. gegeben: G 1, G, r, α, µ 0 gesucht: Bestimmung der Kräfte zwischen Rolle und Tfel und der mximlen Größe G 1, dmit die Tfel nicht durchrutscht

328 9 HAFTUNG UND REIBUNG gltt µ 0 r G µ 0 α G 1 Tfel Bild 9.19 Klemmrollenbefestigung Lösung: G 1 µ 0 G tnα 1+ sinα 1 µ 0 cosα

329 10 RAUMSTATIK 10 RAUMSTATIK Lehrziel des Kpitels o Freiheitsgrde in dreidimensionlen Systemen o Definition der Lgerungen o Aufstellung der dreidimensionlen Gleichgewichtsbedingungen o Bestimmung der Schnittkrftverläufe in dreidimensionlen Systemen Ein Körper, der im Rum frei beweglich ist, ht sechs Freiheitsgrde, drei Verschiebungen in x-, y-, z- Richtung und drei Drehungen um die x-, y-, z- Achse. Durch Lger werden die Bewegungsmöglichkeiten eingeschränkt. Tbelle 10.1 Lgertypen im Rum o Pendelstütze: 1 Krftkomponente Schnittbild A z z

330 10 RAUMSTATIK o Gelenkiges Auflger: 3 Krftkomponenten z y x A y A z A x Schnittbild o Einspnnung: 3 Krftkomponenten und 3 Momente z y M z A z A y M y Schnittbild x A x M x Beispiel o Bestimmung der Auflgerrektion im dreidimensionlen System Ein bgewinkelter Blken (Bild 10.1) wird mit einer Gleichstreckenlst belstet. gegeben:, b, q 0, F 1, F, M

331 10 RAUMSTATIK gesucht: Bestimmung der Lgerkräfte und -momente n der Einspnnung F M 0 q 0 z y b x F 1 Bild 10.1 Abgewinkelter Blken Lösung F M 0 q 0 Mz A y M y b A z A x M x F 1 Bild 10. Schnittbild Die dreidimensionle Gleichgewichtsbedingungen luten (10.1) : in x Richtung: A x + F1 = 0 A x = - F1,

332 10 RAUMSTATIK (10.): in y Richtung: A y - F = 0 A y =F, (10.3) : in z Richtung : A z - q0 b = 0 A z = q0 b, (10.4) : um x Achse : M Ax = - M 0 + q M 0 Ax b + M, 0 - q 0 b = 0 (10.5): um y Achse: M Ay =- q 0 b, -M Ay + q 0 b =0 (10.6) : um z Achse : M Az =F. - M Az + F = 0 Beispiel o Bestimmung der Auflgerrektion im dreidimensionlen System

333 10 RAUMSTATIK Drei Stäbe sind miteinnder in D verbunden (Bild 10.3) und mit Einzelkräften F 1 und F horizontl belstet. In A, B und C sind sie ls Pendelstützen gelgert. gegeben:, b, c, F 1, F gesucht: Bestimmung lle Stbkräfte z F D c F 1 3 b 1 C y B x A Bild 10.3 Drei Stäbe mit Einzelkräften F 1 und F Lösung

334 10 RAUMSTATIK F F 1 D c 3 b 1 B y C z B z A x A z Bild 10.4 Schnittbild Die dreidimensionle Gleichgewichtsbedingungen luten (10.7) : in x Richtung: A x - F1 = 0 A x = - F 1, (10.8): in y Richtung: By +F = 0 By = - F, (10.9) : in z Richtung: C z = - F 1 A z c c - F, b +B z + C z =

335 10 RAUMSTATIK (10.10) : um x Achse : B z = F c b, F c - B z b = 0 (10.11) : um y Achse : A z =F 1 c. F c - A 1 z = 0 Die Stbkräfte ergeben sich us der vektoriellen Summe der einzelnen Richtungen (10.1): Si = S1x + S1y + S 1z. Dmit sind die Stbkräfte c c (10.13): S1 = ( F 1) + (F1 ),S = Cz = F1 F c, b (10.14): S3 = ( F ) + (F c ) b

336 10 RAUMSTATIK 10.1 Aufgben zu Kpitel 10 AUFGABE 10.1 o Bestimmung der Auflgerrektion im dreidimensionlen System o Bestimmung der Biege- und Torsionsmomentenverläufe Ein eingespnnter Kreisbogenträger (Bild 10.5), der in der horizontlen Ebene liegt, wird durch eine vertikle Endlst F norml zur Ebene belstet. gegeben: r, F gesucht: Bestimmung der Biege- und Torsionsmomente in Abhängigkeit vom Winkel ϕ. ϕ 90 r Bild 10.5 Eingespnnter Kreisbogenträger mit vertikler Endlst F F

337 10 RAUMSTATIK Lösung: M ( ϕ ) = Fr sinϕ, M ( ϕ) = Fr(1 cos ϕ) B T AUFGABE 10. o Bestimmung der Auflgerrektion im dreidimensionlen System o Bestimmung der Querkrft-, Biege- und Torsionsmomentenverläufe Ein us Rohren zusmmengeschweißter Rhmen (Bild 10.6) ist bei A eingespnnt und bei D mit der Krft F belstet. gegeben: l, F gesucht: Bestimmung der Querkrft-, Biege- und Torsionsmomentenverläufe 3l A B D F l C l Bild 10.6 Aus Rohren zusmmengeschweißter Rhmen

338 10 RAUMSTATIK Lösung: A x = A y = 0, A z = F, M Ax = - F l, M Ay = - F l, M Az = 0 AUFGABE 10.3 o Bestimmung der Auflgerrektion im dreidimensionlen System o Bestimmung der Normlkrft-, Biege- und Torsionsmomentenverläufe Ein Pfosten mit ngeschweißtem Krgrm (Bild 10.7) ist durch sein Eigengewicht q und ein Torsionsmoment m Ende des Krgrms belstet. Ds Lger B ist in y- Richtung unverschieblich. gegeben: l, q, M T0 gesucht: Bestimmung der Normlkrft-, Biegemomentenund Torsionsmomentenverläufe

339 10 RAUMSTATIK l l M T0 y z x l Bild 10.7 Pfosten mit ngeschweißtem Krgrm mit Momentenbelstung Lösung: n der Rhmenecke: M oben rechts unten = l = q ; M 4 l = q ; M l q 4 AUFGABE 10.4 o Bestimmung der Auflgerrektion im dreidimensionlen System Ein räumliches Trgwerk (Bild 10.8) ist bei A um die x- Achse, bei C um die x- und y- Achse biegegelenkig, bei A torsionsstrr und bei C verschieblich gelgert. gegeben: F, l

340 10 RAUMSTATIK gesucht: Bestimmung der Auflgerkräfte A und C. A l l D C l F F B x z y Bild 10.8 Räumliches Trgwerk Lösung: A x = F, A y = 0, A z = 0, M Ay = - F l, M Az = - 4 F l, C = F

341 11 LITERATUR 11 LITERATUR Assmnn; Technische Mechnik I, II, II; Oldenbourg; 009 Beitz/ Grote (Hers.); Dubbel, Tschenbuch für den Mschinenbu, 0. Auflge; Springer- Verlg; 011 Böge; Technische Mechnik; Vieweg; 011 Brommundt/ Schs; Technische Mechnik; Springer- Lehrbuch; 006 Bronstein, Ilj N./ Semendjjew, K. A./ Musiol, Gerhrd/ Muehlig, Heiner; Tschenbuch der Mthemtik; Deutsch (Hrri); 016 Dnkert, Jürgen/ Dnkert, Helg; Technische Mechnik: Sttik, Festigkeitslehre, Kinemtik/Kinetik; Vieweg+Teubner Verlg; 013 Gbbert, Ulrich/ Recke, Ingo; Technische Mechnik für Wirtschftsingenieure; Crl Hnser Verlg; 013 Göldner/ Holzweissig; Leitfden der Technische Mechnik; Fchbuchverlg Leipzig; 1990 Göldner/ Pfefferkorn ; Technische Mechnik; Fchbuchverlg Leipzig;

342 11 LITERATUR Göldner/ Witt; Technische Mechnik; Fchbuchverlg Leipzig- Köln; 1993 Gross, Dietmr/ Huger, Werner/; Technische Mechnik: 1 Sttik, Elstosttik, 3 Kinetik; Springer-Lehrbuch; 013 Gross, Dietmr/ Ehlers, Wolfgng Formeln und Aufgben zur Technischen Mechnik 1 Sttik, Elstosttik, 3 Kinetik; Springer-Lehrbuch; 013 Gummert/ Reckling; Mechnik; Vieweg; 3013 Herr, Horst; Technische Mechnik. Lehr- und Aufgbenbuch: Sttik, Dynmik, Festigkeitslehre; Europ-Lehrmittel; 008 Hibbeler, Russell C.; Technische Mechnik 1 Sttik, Festigkeitslehre, 3. Dynmik; Person Studium; 01 Issler/ Ruoß/ Häfele; Festigkeitslehre- Grundlgen I, II; Springer; 005 Kühhorn/ Silber; Technische Mechnik für Ingenieure; Hüthig; 000 Kunow, A.; Technische Mechnik: I Sttik; II Elstosttik, III Kinetik;

343 11 LITERATUR Kunow, A.; Technische Mechnik: I Sttik; II Elstosttik, III Kinetik Vollständig durchgerechnete Übungen; Myr; Technische Mechnik; Crl Hnser; 015 Myr; Mechnik Trining; Crl Hnser; 015 Neuber; Technische Mechnik; Springer; 1974 Pestel/ Wittenburg; Technische Mechnik; Bibliogrphisches Institut; 1983 Riemer/ Wuer/ Wedig; Mthemtische Methoden der Technischen Mechnik; Springer- Lehrbuch; 015 Romberg/ Hinrichs; Keine Pnik vor Mechnik!; Vieweg; 011 Szbó; Einführung in die Technische Mechnik; Springer; 00 Will/ Lämmel; Kleine Formelsmmlung Technische Mechnik/ CD- Rom; Fchbuchverlg Leipzig; 009 Zimmermnn; Übungsufgben Technische Mechnik; Fchbuchverlg Leipzig;

344 SACHWÖRTERVERZEICHNIS SACHWÖRTERVERZEICHNIS ω- Verfhren Ableitungsfunktion Absolutbewegung ctio = rectio Arbeit virtuelle Arbeitsbegriff der Sttik Arbeitsstz Auflger gelenkiges Auflgerkrft , , , Auflgerkrftbestimmung Auftriebskrft Blken bgewinkelter Blkenproblem Blkensystem Buteile zweidimensionle (ebene) Berechnungsproblem Bereich zwei Berührungsfläche Bestimmtheit sttische , Bestimmungsgleichung beweglich Bewegung

345 SACHWÖRTERVERZEICHNIS ebene Bewegungsmöglichkeit , Biegemoment Biegemomentenverluf biegesteif Bildungsgesetz COULOMBschen Hftungsgesetzes CREMONApln , Digrmm Differenttionsregel Differentilgleichung Dimension Doppelindizierung Doppelpendel Drehchse Drehmoment , Drehpunkt Drehwirkung dreidimensionl , Dreigelenkbogen Druckkrft Druckstb Einheitsvektor Einspnnung , , Einzelkrft Einzelmoment Einzelschnittbild Elstizitätstheorie , Elstosttik Element

346 SACHWÖRTERVERZEICHNIS infinitesimles Elimintionsverfhren Ende freies Energie potentielle , Energieform Energiemethode Erstzmodell mechnisches Explosionsschnittbild Fchwerk ebenes zusmmengesetztes Fchwerkstb Fser "gestrichelte" Flächenkrft Flächenlst Freiheitsgrde Freischneiden Gelenk Gelenkkrft , Gerberträger Gesmtsystem , Geschwindigkeitsrichtung Getriebenlyse Gewichtsbelstung Gewichtskrft Gewichtsstbilität gltte Oberfläche

347 SACHWÖRTERVERZEICHNIS Gleichgewicht - 7 -, in der Ebene in einem Punkt scheinbres Gleichgewichtsbedingung , , , , , , , , , , , , Gleichgewichtskontrolle Gleichgewichtslge , stbile sttische Gleichgewichtszustnd Gleichstreckenlst , , Gleitreibung Grenzhftung , Griechisches Alphbet Grundgleichung Hftkrft Hftreibung Hftreibungskoeffizient , Hftung Hftungsgesetz Hftungskrft , , Hlte- oder Lgerkrft Hltekrft Hebelrm innerlich sttisch bestimmt

348 SACHWÖRTERVERZEICHNIS innerlich Integrtion - 0 -, Integrtionskonstnte , kinemtisch , Knoten Komponentenschreibweis e Kontrolle , , , grphische Koordintensystem Krft elektrische innere mgnetische sttisch äquivlente Krfteck , - 8 -, Kräftemßstb Kräfteverteilung in der Ebene Krftsystem äquivlentes Krfttyp Krgrm , Lgepln , Lger dreiwertiges einwertiges gelenkiges zweiwertiges Lgerrt Symbol verschiedene

349 SACHWÖRTERVERZEICHNIS Lgerkrft , , , Lgerkräft Lgerrektion Lgerung , beidseitig gelenkige Lst Lstfll Linienlst Messerschneide Mittelebene Moment Momentengleichgewicht , Momentenmximum Momentensumme Momentenverluf , - 0 -, Normlkrft , , Normlkrftverluf Nullstb Oberfläche gltte ruhe Prbel eingehängte Prllelführung Prllelführung, gelenkige Lgerung Prllelverschiebung Pendelstütze , Polpln

350 SACHWÖRTERVERZEICHNIS Prinzip der virtuellen Verrückungen Querkrft , , Querkrftverluf , , Rhmen Rhmenecke Rhmensystem Rndbedingung , Rumsttik Reibung Reibungskoeffizient Reibungskrft Reltivbewegung Resultierende - 8 -, , , Richtungswinkel RITTERsches Schnittverfhren Rollenlger Rottion Scheibe Scheibenbildung Schiffsstbilität Schneiden , knotenweises stückweises Schnitt RITTERscher Schnittbild , , , , Schnittkrft Schnittkrftverluf , Schnittprinzip

351 SACHWÖRTERVERZEICHNIS Schnittufer Seilhftung Seilkrft , , Stb Stbilität Stbilitätsnchweis Stbkrft Stmmfunktion Strrkörper sttisch bestimmt , äußerlich sttisch unbestimmtes innerlich Stumuer Steigungswinkel Streckenlst , Struktur dreidimensionle Stützenmoment System kinemtisches, bewegliches Teilchen differentiell kleinen (infinitesiml) Teilkörper Teilsystem , , Träger bgewinkelter Trgwerk ebenes kinemtisches räumliches bfllenden

352 SACHWÖRTERVERZEICHNIS sttisch unbestimmtes Trgwerksrt Trnsltion Übergngsbedingung Umklppen der Momentenordinte Umlufsinn Umlenkrolle Unbeknnte Vritionsrechnung Vektor Verbindungspunkt Verrückung virtuelle , Volumenkrft Vorzeichendefinition Vorzeichenfestlegung , Wsserdruck Wechselwirkungsgesetz Wirkungslinie , Zugkrft , Zusmmenhng geometrischer

353 BEREITS ERSCHIENEN BEREITS ERSCHIENEN Annette Kunow, Technische Mechnik I - Sttikhttp:// Annette Kunow, Übungen zur Technischen Mechnik I - Sttik-, Vollständig und mit möglichen Lösungsvrinten gelöste Übungsufgben Annette Kunow, Technische Mechnik II - Festigkeitslehre/ Elstosttikhttp:// buchshop/ Annette Kunow, Übungen zur Technischen Mechnik II - Festigkeitslehre/ Elstosttik-, Vollständig und mit möglichen Lösungsvrinten gelöste Übungsufgben buchshop/ Annette Kunow, Technische Mechnik III - Kinetik/ Dynmikhttp:// buchshop/ Annette Kunow, Übungen zur Technischen Mechnik III - Kinetik/ Dynmik -, Vollständig und mit möglichen Lösungsvrinten gelöste Übungsufgben buchshop/

354 BEREITS ERSCHIENEN Annette Kunow, Finite Elemente/ Computer Aided Engineering (CAE), Anwendungen und Lösungen buchshop/ Annette Kunow, Projektmngement & Business Coching, Grundlgen des gilen Projektmngements mit Methoden des Systemischen Cochings buchshop/ Erscheint in Kürze unter Annette Kunow, Numerische Dynmik und Annette Kunow, Numerische Dynmik, Vollständig und mit möglichen Lösungsvrinten gelöste Übungsufgben

355 IMPRESSUM IMPRESSUM Prof. Dr.-Ing. Annette Kunow Technische Mechnik I - Sttik -. Auflge 016 Konzeption: Annette.kunow Grfiken: Annette Kunow Umschlg: Frnk Terhg Alle Angben/ Dten sind nch bestem Wissen erstellt, jedoch ohne Gewähr für Vollständigkeit und Richtigkeit. Ds Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, insbesondere die Rechte der Verbreitung, der Vervielfältigung, der Übersetzung, des Nchdrucks und der Wiedergbe uf fotomechnischem oder ähnlichem Wege sowie der Auswertung durch Dtenbnken oder ähnlichen Einrichtungen durch Fotokopie, Mikrofilm oder ndere elektronische Verfhren sowie der Speicherung in Dtenverrbeitungsnl

356 IMPRESSUM gen, bleiben, uch bei nur uszugsweiser Verwertung, dem Autor vorbehlten