F = F, F,, Dö = Dö, + Dö,,

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1 8 Einleitung Die Sttik ls Teilgebiet der Mechnik ist die Lehre von den Gesetzen des Gleichgewichts unter Krftwirkung stehender fester Körper. Der Nme kommt vom lteinischen Wort stre und bedeutet stehen. Der Gleichgewichtszustnd der Trgwerke sowohl ohne (Theorie 1. Ordnung) ls uch mit (Theorie 2. Ordnung) erücksichtigung der Verformung und die Festigkeitslehre ls Teilgebiet sind die Grundlge für die usttik. Die Festigkeitslehre beruht uf folgenden Zusmmenhängen: ei Einwirkungen uf ein Trgwerk entstehen Verformungen, die durch Spnnungen im ustoff usgelöst werden. Die Elstizitätstheorie betrchtet den mthemtischen Zusmmenhng zwischen den Kräften, den Spnnungen und den zugehörigen Verformungen. Die dfür wichtigen Kenngrößen, die ds Verhlten der Werkstoffe kennzeichnen, sind Ergebnisse und Erfhrungen der Technologie (Werkstofftechnik). Außer im Gebiet der Stbilität beziehen sich die hier usgeführten etrchtungen uf die Theorie 1. Ordnung. Dies bedeutet eine erhebliche Vereinfchung der Problemtik, weil die erwrteten Verformungen nicht in die erechnungen eingeführt werden (Gleichgewichtsbetrchtung m unverformten System). Somit gilt uch ds Superpositionsgesetz, ds bedeutet, dss z.. Stützkräfte, Schnittkräfte, Formänderungen getrennt für einzelne Einwirkungen ermittelt und überlgert werden können. Dzu ein eispiel zur Erläuterung: Zugstb + F, F, + F,, ö Dö, F,, ö..... Länge unbelstet F, erzielt Verlängerung Dö, Dö,, F,, erzielt Verlängerung Dö,, + F = F, + F,, F = F, F,, Dö = Dö, + Dö,, F = F, + F,, erzielt Verlängerung Dö = Dö, + Dö,, Zum Themenufbu des Werks: Die eihenfolge der Abschnitte 2 bis 6 entspricht dem Aufbu eines sttischen Nchweises in der Trgwerksplnung mit Querschnitt Lstsystem Stütz- und Schnittkräften emessung (Spnnung) Gebruchstuglichkeit (Formänderungen). Dbei umfsst der Abschnitt 1 mit den Themenschwerpunkten Kräfte, Momente, Gleichgewicht die busttischen Grundlgen, während der Abschnitt 7 (Arbeit, Virtuelle Arbeit) zunächst eine Erweiterung des Abschnittes 6 (Formänderungen) drstellt.

2 9 Inhltsverzeichnis Abschnitt 1 Physiklische Grundlgen, Kräfte und Momente Abgrenzung Msse Krft Krft Zusmmensetzen von Kräften, esultierende Krft Zusmmensetzen von Kräften uf der gleichen Wirkungslinie Zusmmensetzen zweier Kräfte uf sich schneidenden Wirkungslinien Zusmmensetzen von Kräften im zentrlen Kräftesystem Zusmmensetzen von Kräften im llgemeinen Kräftesystem Drehmoment (Moment) M Kräftepr Drehmoment mehrerer Kräfte um Pol Seileck und Poleck Zerlegen von Kräften in der Ebene Zerlegen einer Krft F nch zwei vorgegebenen Wirkungslinien Zerlegen einer Krft F nch zwei zu ihr prllelen Wirkungslinien Wl und Wl Zerlegen einer Krft F nch drei gegebenen Wirkungslinien in der Ebene Gleichgewicht im ebenen Kräftesystem Grundlegendes zum Gleichgewicht Zwei Kräfte F, F uf einer Wirkungslinie Gleichgewicht im zentrlen Kräftesystem Gleichgewicht für eine Krft F mittels drei Kräften uf vorgegebenen Wirkungslinien (Culmnn) eispiele Einfeldträger, sttisch bestimmt Angelehnte Leiter Stehleiter... 36

3 10 Abschnitt 1 Physiklische Grundlgen, Kräfte und Momente 1 Physiklische Grundlgen, Kräfte und Momente f Ausziehlänge der Feder m QkgW F = m. g In der usttik ls Teil der Mechnik und dmit der Nturwissenschft Physik ist die Krft eine Größe, die einer gründlicheren etrchtung bedrf. eim einfchen Hinsehen ist eine Krft oft nicht erkennbr. Erst bei Verformungen und ewegungen wird die Ursche Krft erkennbr. Federwge (Abb. 10.1) Die Verlängerung f der Feder ist verurscht durch die Krft F, die chsil der Feder nch unten (richtiger usgedrückt zum Erdmittelpunkt) wirkt (Wirkungslinie der Krft F wird WlF bennnt). Es gilt: F = m g [N] Abb WIF der Krft F Hebevorrichtung (Abb. 10.2) Eine Msse m wird durch die Hebevorrichtung über eine Seilrolle nch oben gezogen. Die Hebevorrichtung ist m bestehenden Gebäude unterstützt. Aufgbe Ermittlung des Gewichtes G us der Msse m = 40 kg. 30 Seilrolle Aufgbe Lösung Größe und Lge der resultierenden Krft us den Kräften G und Z, wenn der Winkel zwischen der Wirkungslinie von G (WlG) und der Wirkungslinie von Z (WlZ) 30 beträgt. echnerische und grfische Lösung sinnvoll. bestehendes Gebäude Msse m Zugkrft Z = G Zweiseitiger Hebel (Abb. 10.3) Ein Kind sitzt uf einer Wippe, die in g drehbr gelgert ist. Ds Kind ht eine Msse m von 20 kg; dmit ein Gewicht K = m g K = 20 kg 10 m s = 200 N 2 Ds Eigengewicht des Holzblkens wird vernchlässigt. G Aufgbe Welche Krft F muss ufgebrcht werden, um die Wippe in der Gleichgewichtslge zu hlten? Abb Holzblken Lösung Gleichgewichtsbedingung V Mom (g) = 0 sprich: Summe der Momente um den Drehpunkt g ist gleich Null. + etrchtete Drehrichtung positiv g Ausgngslge K 1 + F 2 = 0 folgt F = K 1 2 K 1 = 2,0 m Abb g F g 1 = 3,0 m F Gleichgewichtslge Aufgbe Wie groß ist dnn die Stützkrft F g? Lösung Gleichgewichtsbedingung V V = 0 Aufgbe sprich: Summe der Vertiklkräfte gleich Null. Ω+ etrchtete Krftrichtung positiv F g K F = 0 folgt F g = K + F Setzen Sie die Zhlenwerte 1 = 2,0 m; 2 = 3,0 m ein und ermitteln Sie F und F g.

4 Abschnitt 1 Physiklische Grundlgen, Kräfte und Momente Abgrenzung Msse Krft Unter der Msse eines Körpers wird dessen Stoffmenge verstnden. Die Stoffmenge besitzt ein Volumen V und ein Gewicht G ls Krft. Der Zusmmenhng zwischen Msse und Krft ist ds Grundgesetz der Dynmik nch Isc Newton 1). Es gilt mit m Msse des Körpers in [kg] eschleunigung in [ m 2] s F Krft in [ kg m = s N] 2 N für Newton F = m eispiel Gewicht G des Körpers (Abb. 11.1) 1.2 Krft Der Körper übt uf die Unterlge eine Krft G (Gewicht) us, die durch die Msse m und deren Erdnziehung hervorgerufen wird. G = m g G = 1 [kg] 10 [ m s 2] = 10 [ kg m s 2 = N] G = 10 [N] Für ds Gewicht G der Msse m durch Erdnziehung (Grvittion) gilt mit g Erdbeschleunigung g = 9,81 [ m 2] (gerundet 10 m s s 2) G Gewicht G [ kg m = s N] 2 1 kn = 1000 N 1 MN = 1000 kn G = m g Körper mit Msse m = 1kg Abb G Die Krft ist ein Vektor, d. h. eine gerichtete Größe. Die Krft ist durch drei Größen festgelegt: etrg der Krft Der etrg der Krft wird mittels Kräftemßstb uf einer Länge drgestellt. Wirkungslinie Wl und Krftrichtung (Pfeil); längs der Wirkungs linie ist die Krft m strren Körper verschiebbr. Angriffspunkt der Krft eispiel Krft F = 25 kn Wirkungslinie WlF (30 zur Horizontlen geneigt) Krftrichtung durch Pfeil Vektorsymbol für die Krft F F Kräftemßstb gewählt 10 kn 1 cm folgt 25 kn 2,5 cm Ebenes Krftsystem m strren Körper Kräfte, die n einem strren Körper ngreifen, hben verschiedene Angriffspunkte. Die Kräfte,, bilden ein ebenes Krftsystem. An einem strren Körper dürfen die Kräfte uf ihren Wirkungslinien verschoben werden. Dbei ändert sich der Zustnd des strren Körpers nicht. Auch können Einzelkräfte durch ihre esultierende ersetzt werden (Abschnitt 1.3), wobei die Wirkung uf den strren Körper gleich bleibt. Ds bedeutet, dss die beiden Krftsysteme sowohl Einzelkräfte ls uch esultierende us den Einzelkräften gleichwertige (äquivlente) Krftsysteme sind. Wirkungslinie Wl Krftngriffspunkt 25 knv 2,5 cm 30 strrer Körper Abb etrg d. Krft (Länge) Krftrichtung Krftrichtung Krftngriffspunkt A C Wirkungslinie WlF 1) Isc Newton, , englischer Physiker und Mthemtiker

5 12 Abschnitt 1 Physiklische Grundlgen, Kräfte und Momente 1.3 Zusmmensetzen von Kräften, esultierende Krft strrer Körper Es wird ngenommen, dss es sich um ein ebenes Krftsystem hndelt. Ds heißt, die drgestellten Kräfte liegen in einer Ebene, der Zeichenebene Zusmmensetzen von Kräften uf der gleichen Wirkungslinie Wirkungslinie Wl Zusmmensetzen von Kräften uf der gleichen Wirkungslinie erfolgt durch Addition bzw. Subtrktion der Kräfte und. Es entsteht eine gleichwertige Wirkung m Krftsystem durch die esultierende. Wirkungslinie Wl Addition + = esultierende oder resultierende Krft Die Kräfte,, befinden sich uf der gleichen Wirkungslinie Wl (vgl. Abb und 12.2). strrer Körper Subtrktion = Abb Die esultierende ht die gleiche Wirkung wie ds Krftsystem us und. die Kräfte befinden sich uf der gleichen Wirkungslinie Wl = 3 KN = 2 KN = 5 KN eispiel = 3 kn und = 2 kn uf der gleichen Wirkungslinie und gleicher ichtung. Kräftemßstb 1 kn 1 cm Addition = + = 3 kn + 2 kn = 5 kn = 5 KN = 30 KN = 20 KN = 4 KN = 1 KN = 50 KN = 60 KN eispiel b = 5 kn und = 4 kn uf der gleichen Wirkungslinie. Kräftemßstb 1 kn 1 cm Subtrktion = = 5 kn 4 kn = 1 kn eispiel c = 30 kn; = 20 kn; = 50 kn uf der gleichen Wirkungslinie. Kräftemßstb 10 kn 1 cm Abb die Kräfte,,, befinden sich uf der gleichen Wirkungslinie Wl = + = 30 kn 20 kn + 50 kn = 60 kn

6 1.3 Zusmmensetzen von Kräften, esultierende Krft Zusmmensetzen zweier Kräfte uf sich schneidenden Wirkungslinien Zentrles Krftsystem Dbei ht ds Kräfteprllelogrmm grundlegende edeutung. Zwei Kräfte mit gemeinsmem Angriffspunkt (bzw. deren Wirkungslinien sich im Schnittpunkt S schneiden) lssen sich durch eine esultierende ersetzen, die die Digonle im Kräfteprllelogrmm ist. 1 Zeichnerische (grfische) Lösung Ds Zusmmensetzen erfolgt im Kräftepln, wobei die beiden Kräfte und n den Pfeilspitzen neinndergereiht werden. Die esultierende ergibt sich ls Verbindungs linie vom Anfngspunkt A der Krft zum Endpunkt ls Pfeilspitze der Krft (vgl. Abb b2). Die esultierende ergibt sich ebenso ls Verbindungslinie vom Anfngspunkt A der Krft zum Endpunkt ls Pfeilspitze der Krft (vgl. Abb b1). Durch Aneinnderfügen der beiden Kräftedreiecke (1) und (2) Strecken A und A zur Deckung bringen entsteht ds Kräfteprllelogrmm (Abb. 13.1c). Anschließend wird prllel zu im Kräftepln die Wirkungslinie von (Wl) in den Lgepln durch den Schnittpunkt S (Wl /Wl ) eingetrgen (Abb. 13.1d). Die esultierende im Lgepln besitzt die gleiche Wirkung wie die Kräfte und (Äquivlenz). ) Lgepln Wirkungslinie Wl Wirkungslinie Wl S b) Kräftepln A A Kräftedreieck (2) Kräftedreieck (1) 2 echnerische Lösung Kräfteprllelogrmm Die esultierende wird mittels Kosinusstz us dem Kräftedreieck ermittelt. 2 = cos g mit g = 180 π cos g = cos gilt 2 = cos π = cos c) Kräfteprllelogrmm A/A / sin 1 sin g = π sin 1 = sin g mit g = 180 π sin g = sin (Abb. 13.1e) 1 Neigung der Wirkungslinie der esultierenden zur Horizontlen. Hinweis: Sinusstz sin = b sin ß = c sin g hier sin g = sin 1 d) Lgepln Wl WI Wl S e) ild zum Sinusstz g 1 g Abb. 13.1

7 Zusmmensetzen von Kräften, esultierende Krft Kräfteprllelogrmm 3 Sonderfll = 90 Wirkungslinie Wl und Wirkungslinie Wl stehen ufeinnder senkrecht = cos mit cos = cos 90 = 0 = (Pythgors) 1 sin 1 = oder tn 1 = = 90 1 Neigung der esultierenden zur Horizontlen. Abb In Zhlenwerten: Kräftemßstb 1 kn 1 cm; = 4 kn; = 3 kn; = 90 = π = = 5 kn eispiel tn 1 = π tn 1 = 3 4 π 1 = 36,9 Zusmmensetzen zweier Kräfte = 800 kn (Wirkungslinie Wl ) und = 500 kn (Wirkungslinie Wl ); = 70 Die beiden Kräfte und werden bis zum Schnittpunkt S uf ihren Wirkungslinien verschoben. Lgepln = 500 KN Kräfteprllelogrmm Wl = 70 = 70 1 Wl 1 Wl = 800 KN Abb Grfische Lösung Zusmmensetzen der beiden Kräfte, im Kräftepln mithilfe des Kräfteprllelogrmms Kräftemßstb 1 cm 200 kn; = 800 kn 4 cm, = 500 kn 2,5 cm Aus Abmessen für mit 5,35 cm beträgt = 5,35 cm 200 kn = 1070 kn; nschließend Prllelverschiebung der esultierenden vom Kräftepln in den cm Lgepln. Anmerkung: Die estimmungsgenuigkeit der esultierenden hängt von der Zeichengenuigkeit b. echnerische Lösung = cos π = cos 70 π = 1078,7 kn sin 1 = sin sin = 1078,7 sin 70 sin 1 = 0,4356 π 1 = 25,8 Hinweis: Kosinusstz 2 = b 2 + c 2 2 b c cos b 2 = c c cos ß c 2 = 2 + b 2 2 b cos g

8 1.3 Zusmmensetzen von Kräften, esultierende Krft Zusmmensetzen von Kräften im zentrlen Kräftesystem Wirken uf einen Körper mehrere Kräfte ein, so stellt sich häufig die Aufgbe, ds gegebene Krftsystem F i durch eine Einzelkrft (esultierende ) von gleicher Wirkung (ls äquivlente Krft) zu ersetzen. Die esultierende wird im Kräftepln grfisch ermittelt und in den Lgepln durch Prllelverschiebung eingebrcht. Dmit weist die esultierende die gleiche Wirkung uf wie ds Krftsystem F i mit i = 1 4. Einzellsten F i eines zentrlen Kräftesystems werden zu einer esultierenden ls äquivlente Krft zusmmengesetzt. Grfische Lösung Lgepln A Kräftepln Abb y Lgepln x E Kräftepln D F 6 C F 5 F F 5 F 6 G esultierende A Abb. 15.2

9 Zusmmensetzen von Kräften, esultierende Krft Durchführung und Erklärung Die Wirkungslinien mehrerer Kräfte (hier,,,, F 5, F 6 ) liegen in einer Ebene und schneiden sich in einem gemeinsmen Schnittpunkt, der gleichzeitig der Ursprung des x, y-koordintensystems ist. Ds Zusmmensetzen der Kräfte erfolgt im Krfteck durch Prllelverschiebung der Kräfte us dem Lgepln in den Kräftepln. Die einzelnen Kräfte werden, beginnend mit dem Anfngspunkt A der Krft zum Endpunkt, Anfngspunkt der Krft zum Endpunkt C, Anfngspunkt C der Krft zum Endpunkt D, Anfngspunkt D der Krft zum Endpunkt E, Anfngspunkt E der Krft F 5 zum Endpunkt F, Anfngspunkt F der Krft F 6 zum Endpunkt G neinndergereiht. Vom Anfngspunkt A der Krft zum Endpunkt G der Krft F 6 verläuft die esultierende. Dbei ist die Größe die Länge des Krftpfeils und die ichtung die Pfeilrichtung von A nch G. Die Wirkungslinie der esultierenden ergibt sich durch Prllelverschiebung us dem Kräftepln in den Lgepln und führt durch den gemeinsmen Schnittpunkt der Kräfte (hier Ursprung des x, y-koordintensystms). Hinweise Die Aneinnderreihung der Kräfte bis F 6 knn in beliebiger eihenfolge geschehen Die Kräfte bis F 6 hben in ihrer Gesmtheit die gleiche Wirkung wie die esultierende. In Zhlenwerten mit dem Kräftemßstb 1 cm 1 kn (in den Abb und 16.1 etws verkleinert) = 4 kn π 1 = 30 = 6 kn π 2 = 90 = 3 kn π 3 = 130 = 5 kn π 4 = 180 F 5 = 7 kn π 5 = 240 F 6 = 2 kn π 6 = 315 ergibt die esultierende (gemessene Werte) x = 5,55 kn π y = 2,80 kn π = 6,25 kn = 153 Lgepln y = y y y y 3 2 x = x F 5x F3x 4 1 F 6x x x 5 F 6 6y F 6 F 5 F 5y Abb. 16.1

10 1.3 Zusmmensetzen von Kräften, esultierende Krft 17 echnerische Lösung Einzellsten F i mit Komponenten F ix, F iy i für i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Ermittlung der esultierenden mit Komponenten x, y und Neigungswinkel Die Einzelkräfte F i werden im x, y-koordintensystem in ihre Komponenten F ix und F iy zerlegt (vgl. Abschnitt eispiel 2). F ix = F i cos i F iy = F i sin i für i = 1, 2, 3, n Es gilt Die Summe der F ix -Komponenten ist die Komponente x der esultierenden S F ix = x und die Summe der F iy -Komponenten ist die Komponente y der esultierenden Auswertung in Tbellenform (zwei Stellen nch dem Komm). Splte 6 Summe der Komponenten F ix in x-ichtung ergibt die Komponente der esultierenden x x = 5,55 kn Splte 7 Summe der Komponenten F iy in y-ichtung ergibt die Komponente der esultierenden y y = + 2,82 kn Aus dem Vorzeichen für x (negtiv) und für y (positiv) folgt die Lge von im II. Qudrnten. esultierende = x + 2 y = ( 5,55) 2 + 2,82 2 = 6,23 kn tn = + 2,82 5,55 = 0,5085 π = 153 y S F ix = x drus folgt 2 = 2 x + 2 y = x + 2 y Neigungswinkel für die Wirkungslinie der esultierenden tn = S F iy S F ix = y x Zhlenwerte: i = 1 bis 6 π d. h. 6 Einzelkräfte = 6,23 kn x = _ 5,55 kn y = + 2,82 kn = 153 x [kn] F i i cos sin F ix = F i cos [kn] F iy = F i sin [kn] ,8660 0, , , Ø 1,0000 Ø + 6, ,6428 0,7660 1, , ,0000 Ø 5,000 Ø F ,5000 0,8660 3,500 6,062 F ,7071 0, ,414 1,414 S 5,550 S + 2,822 Abb Lge der esultierenden Allgemein ergibt sich die Lge für die esultierende us den Vorzeichen der Komponenten x und y und der Neigungswinkel us tn = y x. x (+ Vorzeichen) y (+ Vorzeichen) tn I. Qudrnt (+ Vorzeichen) x ( ) y (+ ) tn ( ) II. Qudrnt x ( ) y ( ) tn (+ ) III. Qudrnt x (+ ) y ( ) tn ( ) IV. Qudrnt

11 Zusmmensetzen von Kräften, esultierende Krft Zusmmensetzen von Kräften im llgemeinen Kräftesystem Wirkungslinie von F F Wirkungslinie WlF = 30 = 2,5 m F = 40 kn Drehmoment (Moment) M (Abb. 18.1) Ds Moment M ermittelt sich us dem Produkt von der Krft F und deren Hebelrm. M = F mit F Krft in den Einheiten N, kn, MN Abstnd vom ezugspunkt von der Wirkungslinie WlF der Krft F (Hebelrm) in den Einheiten cm, m M Moment in den Einheiten knm, MNm, kncm M bedeutet rechtsdrehendes Moment im Uhrzeigersinn um den ezugspunkt Allgemeine Festlegung π rechtsdrehendes Moment + Vorzeichen positiv π linksdrehendes Moment Û Vorzeichen negtiv. eispiel gegeben Krft F = 40 kn Wirkungslinie der Krft F Abstnd = 2,50 m gesucht ist ds Drehmoment M, ds von der Krft F um den Pol wirkt. M = F = 40 kn 2,50 m M = 100 knm Abb Kräftepr (Abb. 18.2) Ein Kräftepr besteht us zwei entgegengesetzt gerichteten, gleich großen Kräften, deren Wirkungslinien zueinnder prllel sind und deren Abstnd 1 beträgt. 1 Ds Drehmoment M der beiden Kräfte und um Pol beträgt mit + M = + ( + 1 ) mit = = F folgt M = F + F + F 1 M = F 1 Demnch ist ds Drehmoment des Kräftepres unbhängig von der Lge des Pols, d die Größe keinen Einfluss uf ds Drehmoment des Kräftepres ht. 1 F Ds Drehmoment des Kräftepres beträgt M = F 1 Hinweis: = = F bedeutet bsoluter etrg der Krft ohne erücksichtigung des Vorzeichens. Abb F eispiel Kräftepr F = 40 kn Hebelrm 1 = 3 m folgt Drehmoment des Kräftepres M = 40 kn 3 m = 120 knm

12 1.3 Zusmmensetzen von Kräften, esultierende Krft 19 Drehmoment mehrerer Kräfte um Pol (Abb. 19.1) M = M + (sprich Drehmoment um Pol rechtsdrehend im Uhrzeigersinn positiv) M + = + 25 kn 1,40 m 20 kn 2,45 m kn 1,00 m 30 kn 1,90 m = + 35 knm 49 knm + 15 knm 57 knm M + = 56 knm negtives Vorzeichen bedeutet, dss sich die ngesetzte Drehrichtung + für ds Moment M umdreht. Demnch dreht ds Moment M links gegen den Uhrzeigersinn (Û ) um. D die esultierende us den Einzelkräften,,, die gleiche Wirkung ufweist wie die Kräfte,,, (vgl. Abschnitt 1.3.1), folgt für ds Drehmoment um Pol M = mit M = esultierende Krft us,,, Abstnd der Wirkungslinie der esultierenden von Pol ergibt = 30 kn = 25 kn = 25 kn 4 1,4m 1,9m Lgepln 4 2 2,45m 1 3 1,0m 1 = 2,24m 2 3 = 15 kn = 20 kn = M = eispiel grfische Ermittlung der esultierenden im Kräftepln Kräftemßstb: 10 kn 0,75 cm Längenmßstb: 1 m 1 cm (M 1:100) ergibt: = 25 kn (gemessen: 2,5 cm) 56 knm folgt = 25 kn = 2,24 m Abb Kräftepln Seileck und Poleck Mittels Seileck (im Lgepln) und Poleck (im Kräftepln) werden beliebige Kräfte in der Ebene grfisch zusmmengesetzt. Lgepln S 1 A S 2 Verfhren I (siehe Abb. 19.2) Ds Verfhren wird zunächst nhnd zweier beliebiger Kräfte, in einer Ebene wirkend gezeigt. Die beiden Kräfte, werden zusmmengesetzt mithilfe zweier Zustzkräfte S 1, S 2, die uf der gleichen Wirkungslinie liegen, gleiche Größe hben, ber entgegengesetzt gerichtet sind. Die beiden Zustzkräfte S 1, S 2 heben sich in ihrer Wirkung uf und hben demnch keinen Einfluss uf ds Ergebnis. Zunächst werden im Kräftepln die Teilresultierende 1 (us und S 1 ) und die Teilresultierende 2 (us und S 2 ) gebildet. Im Lgepln führt die Teilresultierende 1 durch den Punkt A (Schnittpunkt von Wirkungslinie mit Wirkungslinie S 1 ), die Teilresultierende 2 durch Abb C Kräftepln 1 S 1 S 2 2

13 Zusmmensetzen von Kräften, esultierende Krft Lgepln S 1 ö b S 2 den Punkt (Schnittpunkt von Wirkungslinie mit Wirkungslinie S 2 ). Dbei ergeben sich die Wirkungslinien von 1 und 2 jeweils durch Prllelverschiebung der Kräfte 1 und 2 us dem Kräftepln. Durch den Schnittpunkt C der Wirkungslinien von 1 und 2 führt die esultierende, deren Wirkungslinie sich durch Prllelverschiebung us dem Kräftepln ergibt. 1 C 2 eispiel Zwei prllele Kräfte und werden zusmmengesetzt (siehe Abb. 20.1). Grfische Lösung Kräftepln Mittels der beiden Zustzkräfte S 1, S 2 uf beliebiger gleicher Wirkungslinie, jeweils gleicher Größe, entgegengesetzt gerichtet, erfolgt die ildung der Teilresultierenden 1, 2 und der esultierenden im Kräftepln. Der Schnittpunkt C der Wirkungslinien 1 und 2 im Lgepln gibt die Lge der esultierenden. Abb S 2 2 S 1 1 In Zhlenwerten: gegeben: = 3 kn; = 2 kn Abstnd der prllelen Wirkungslinien von zu beträgt Œ = 3,0 m esultierende : = + = 3 kn + 2 kn = 5 kn gemessen: = 1,2 cm 1,2 m b = 1,8 cm 1,8 m = 3 kn ö b = 2 kn echnerische Lösung (siehe Abb. 20.2) Die Einzelkräfte, erzeugen die gleiche Wirkung wie die esultierende (vgl. Abschnitt 1.3.1). Whl eines beliebigen Drehpols ; zweckmäßige Whl uf Wirkungslinie von bzw. Wirkungslinie von. Drehmoment um Drehpol M + = = 0 + Œ mit = + folgt ( + ) = Œ Lge der esultierenden mit = Œ + In Zhlenwerten: = 3 kn; = 2 kn; Œ = 3,0 m folgt = + = 3 kn + 2 kn = 5 kn 2 kn 3,0 m = = 1,2 m 5 kn Abb. 20.2