= 1kN F 1 F 2. = 2,5 kn. 2m 4m 2m. = 0,75 kn/m. Webinar: Statik Thema: Schnittgrößen

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1 Webinar Statik Thema Schnittgrößen Bestimme für die nachfolgenden beiden Aufgaben die Schnittgrößen und Schnittgrößenverläufe! F 1 = 1k = 2,5 k a) 30 = 0,75 k/m b)

2 Lösung Teil a) Wir beginnen damit den Balken von den Lagern zu lösen und die Lagerkräfe abzutragen F 1 = 1k = 2,5 k Av 30 B Bevor wir mit der Berechnung der Schnittgrößen beginnen, wird zunächst die Kraft in ihre Komponenten zerlegt cos(30 ) sin(30 ) z Die Kraft wird durch ihre Komponenten ersetzt F 1 = 1k sin(30 ) Av cos(30 ) B

3 Die Lagerkräfte müssen bestimmt werden (1) Gleichgewichtsbedingung in positive -Richtung cos(30 )=0 = cos(30 )=2,5k cos(30 )=2,17 k (2) Gleichgewichtsbedingung in positive z-richtung B+F 1 + sin(30 )=0 (3) omentengleichgewichtsbedingung um A B 8m f 1 2m sin(30 ) 6m=0 B= F 1 2m+ sin(30 ) 6m =1,19 k 8m Berechnung von aus (2) = B+F 1 + sin(30 )=1,06k Danach können die Schnittkräfte berechnet werden. Hierzu betrachten wir zunächst das linke und rechte Schnittufer Linkes (positives Schnittufer) Rechtes (negatives Schnittufer) y z

4 Am linken (positiven) Schnittufer zeigen die Schnittgrößen in positive Achsenrichtung in Bezug auf das obige,y,z-koordinatensystem. Das oment ist am linken Schnittufer ein linksdrehendes oment, welches in der Physik als positives oment definiert ist. Am rechten (negativen) Schnittufer zeigen die Schnittgrößen in negative Achsenrichtung. Das oment ist hierbei ein rechtsdrehendes oment. Es werden Schnitte durchgeführt bei Statische Unstetigkeiten Einzellasten, Knicke in Streckenlasten. Geometrische Unstetigkeiten Knicke der Balkenachse, Verbindungselemente [wie beispielsweise Gelenke]. Für die Aufgabe a) müssen drei Schnitte am Balken durchgeführt werden F 1 = 1k sin(30 ) Av B

5 Schnitt 1 0 2m Wir beginnen damit die Gleichgewichtsbedingungen aufzustellen, um die Schnittgrößen bestimmen zu können. Die ormalkraft kann aus der Gleichgewichtsbedingung in -Richtung berechnet werden. Die uerkraft aus der Gleichgewichtsbedingung in z-richtung und das Biegemomente aus der omentengleichgewichtsbedingung. Bestimmung der ormalkraft =0 1 = = 2,17 k Bestimmung der uerkraft =0 1 = =1,06 k Bestimmung des oments 1 Bei der Bestimmung des oments wird der Bezugspunkt immer in den Schnitt gelegt, also zwischen 0m und 2m. Die -Achse wird an den Beginn des Balkens gelegt, beginnt also im Lager A S + 1 =0 1 = =1,06 k In Abhängigkeit von kann dann das Biegemoment für diesen Bereich bestimmt werden.

6 Schnitt 2 2m 6m F 1 Bestimmung der ormalkraft =0 2 = = 2,17 k Bestimmung der uerkraft 2 +F =0 2 = F 1 =1,06k 1 k=0,06 k Bestimmung des oments 2 Bei der Bestimmung des oments wird der Bezugspunkt immer in den Schnitt gelegt, also zwischen 2m und 6m. Die -Achse wird an den Beginn des Balkens gelegt, beginnt also im Lager A S +F 1 ( 2m)+ 2 =0 2 =1,06 k 1 k( 2m) 2 =1,06 k 1 k +1 k 2m Klammer auflösen zusammenfassen 2 =0,06 k +2 km In Abhängigkeit von kann dann das Biegemoment für diesen Bereich bestimmt werden.

7 Schnitt 3 6m 8m F 1 cos(30 ) sin(30 ) Bestimmung der ormalkraft 3 cos(30 )+ 3 =0 3 = + cos(30 )= 2,17 k+2,17 k=0 Bestimmung der uerkraft 3 +F 1 + sin(30 )+ 3 =0 3 = F 1 sin(30 ) 3 =1,06k 1k 2,5 ksin(30 ) 3 = 1,19k Bestimmung des oments 3 Bei der Bestimmung des oments wird der Bezugspunkt immer in den Schnitt gelegt, also zwischen 6m und 8m. Die -Achse wird an den Beginn des Balkens gelegt, beginnt also im Lager A S +F 1 ( 2m)+ sin(30 ) ( 6m)+ 3 =0 3 = F 1 ( 2m) sin(30 ) ( 6m) Klammer auflösen 3 =1,06k 1 k +1 k 2m sin(30 ) + sin(30 ) 6m 3 = 1,19 k +9,5 km In Abhängigkeit von kann dann das Biegemoment für diesen Bereich bestimmt werden.

8 Die Schnittgrößenverläufen sehen wie folgt aus F 1 = 1k = 2,5 k Av 30 B -2,17 k - 0 k 1,06 k + 0,06 k ,19 k 1,06 k 0,06 k +2 km + 1,19 k +9,5 km

9 Lösung Teil b) = 0,75 k/m Zunächst wird der Balken von den Lagern gelöst und die Streckenlast zu einer einzigen Kraft zusammengefasst. Dazu muss der Flächeninhalt der Fläche berechnet werden. Hierbei handelt es sich um eine rechteckige Fläche, demnach * 4m Die Einzelkraft greift im Schwerpunkt der Streckenlast an. Bei rechteckigen Fläche ist das die itte q0*4m = 3 k 4m B Bei einer Dreieckslast z.b. müsste der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet werden. Die resultierende Einzelkraft greift dann im Schwerpunkt der dreieckigen Fläche an (nicht die itte). Zunächst werden die Lagerkräfte bestimmt Gleichgewichtsbedingung in -Richtung =0 Gleichgewichtsbedingung in z-richtung + 4m B=0 omentengleichgewichtsbedingung um A A B 8m ( 4m) 4m=0 B= ( 4m) 4m (0,75 k/ m 4m) 4m = =1,5 k 8m 8m

10 Aus der Gleichgewichtsbedingung in z-richtung = 4m B=0,75 k/m 4m 1,5 k=1,5 k Die Einzellast, welche im Schwerpunkt der Streckenlast liegt (mittig) greift auch genau in der itte des Balkens an. Das bedeutet, dass sich diese auf beide Lager gleichmäßig verteilt. Die horizontale Lagerkraft fällt weg, weil keine horizontalen Kräfte an den Balken angreifen. achdem die Auflagerkräfte bestimmt sind, können als nächstes die Schnittgrößen berechnet werden B Liegt eine Streckenlast bzw. Dreieckslast vor so muss zusätzlich ein Schnitt zwischen dieser Last durchgeführt werden. Insgesamt werden also drei Schnitte betrachtet

11 Schnitt 1 0 2m Wir beginnen damit die Gleichgewichtsbedingungen aufzustellen, um die Schnittgrößen bestimmen zu können. Die ormalkraft kann aus der Gleichgewichtsbedingung in -Richtung berechnet werden. Die uerkraft aus der Gleichgewichtsbedingung in z-richtung und das Biegemomente aus der omentengleichgewichtsbedingung. Bestimmung der ormalkraft =0 1 = =0 Bestimmung der uerkraft =0 1 = =1,5 k Bestimmung des oments 1 Bei der Bestimmung des oments wird der Bezugspunkt immer in den Schnitt gelegt, also zwischen 0m und 2m. Die -Achse wird an den Beginn des Balkens gelegt, beginnt also im Lager A S + 1 =0 1 = =1,5 k In Abhängigkeit von kann dann das Biegemoment für diesen Bereich bestimmt werden.

12 Schnitt 2 2m 6m 2m Es wird der Schnitt durch die Streckenlast durchgeführt. Als nächstes muss diese Teilstreckenlast wieder zu einer Einzellast zusammengefasst werden (in Abhängigkeit von ) 2m (-2m) Es resultiert demnach die Einzellast, indem die Fläche der Teillast bestimmt wird * (-2m) 2m (-2m)/2 Die Einzellast greift im Schwerpunkt der Teilstreckenlast an. Der Schwerpunkt bei einer rechteckigen Last liegt in der itte. Die Teilstreckenlast hat eine Länge von (-2m), die itte ist also (-2m)/2. Der Abstand zum Schnitt hin beträgt demnach (-2m)/2. Bestimmung der ormalkraft =0 2 = =0 k Bestimmung der uerkraft 2 + ( 2m)+ 2 =0

13 2 = ( 2m)=1,5 k 0,75 k/ m( 2m) 2 = 0,75k/ m +3 k Bestimmung des oments 2 S + ( 2m) ( 2m) =0 2 = ( 2m) ( 2m) 2 Binomische Formel anwenden 2 = 1 2 (2 4m +4m 2 ) Klammer auflösen 2 = m 2 m 2 Werte einfügen 2 =1,5 k 1 2 0,75k/ m 2 +2m 0,75 k/m 2 m 2 0,75 k/m 2 = 0,375 k/ m 2 +3 k 1,5 km In Abhängigkeit von kann dann das Biegemoment für diesen Bereich bestimmt werden.

14 Schnitt 3 6m 8m * 2m Bestimmung der ormalkraft =0 3 = =0 k Bestimmung der uerkraft 3 + 4m+ 3 =0 3 = 4m=1,5 k 0,75k/m 4m= 1,5 k Bestimmung des oments 3 S + 4m ( 4m)+ 3 =0 3 = 4m ( 4m) 3 =1,5 k 0,75 k/ m 4m ( 4m) 3 =1,5 k 3 k +3 k 4m 3 =1,5 k +12 km In Abhängigkeit von kann dann das Biegemoment für diesen Bereich bestimmt werden.

15 Die Schnittgrößenverläufe ergeben sich wie folgt 2 m 4 m 2 m B 0 k 1,5 k + - 0,375k/m 2 +3 k 1,5 km 1,5 k 1,5 k +12 km