TECHNISCHE MECHANIK A (STATIK)

Transkript

1 Probeklausur im Fach TECHNISCHE MECHANIK A (STATIK) Nr. 3 Matrikelnummer: Vorname: Nachname: Musterlösung 40 % der Punkte werden zum Bestehen benötigt Ergebnis Klausur Aufgabe: Summe Punkte: 31 5,5 15,5 10,5 11, Davon erreicht Punkte: Gesamtergebnis Klausur Testate Summe NOTE Bearbeitungszeit: Hilfsmittel: Hinweise: 10 Minuten - Taschenrechner, programmierbar oder nicht programmierbar - Vorlesungsmanuskript Statik - Technische Mechanik I - eigene Vorlesungsmitschrift - selbstgeschriebene, handschriftliche (nicht kopierte) Formelsammlung (maximal DIN A4-Seiten, einseitig beschrieben). In den Hilfsmitteln dürfen sich keine Lösungen von Übungs- oder Klausuraufgaben befinden. Beschriften Sie jedes Blatt mit Name und Matrikelnummer. Die Aufgaben sind nachvollziehbar zu lösen. Selbst eingeführte Variablen sind durch gegebene Größen zu definieren. Nur Ergebnisse in den dafür vorgesehenen Lösungsbereichen auf dem Aufgabenblatt werden bewertet und müssen in Abhängigkeit der gegebenen Größen bestimmt werden. Das Aufgabenblatt ist abzugeben. Diese Probeklausur wurde am als Prüfung gestellt.

2 Aufgabe 1 (31 Punkte) In Bild 1 ist ein Lastkraftwagen dargestellt, dessen kippbare Ladefläche mit Sand beladen ist. Für die Konstruktion soll die auf die Ladefläche wirkende Belastung ermittelt werden. Dazu zeigt Bild das zu der beladenen Ladefläche zugehörige mechanische Ersatzsystem. Die Ladefläche, die als masseloser Balken abgebildet ist, wird durch das Festlager A und den Stabin seiner Position gehalten. Sie wird durch eine veränderliche Streckenlast beansprucht, die vom Punkt B linear von Null auf den Maximalwert q 0 bei Punkt C ansteigt und in die konstante Streckenlast q 0 übergeht, die über die Länge a wirkt. a) Berechnen Sie die Auflagerreaktionen in A und die Stabkraft S. Für den Aufgabenteil b) sind die Auflagerreaktionen in A und die StabkraftSgegeben. b) Ermitteln Sie die Schnittreaktionen im Balkenzwischen den Punkten A und D. Verwenden Sie zwischen A und B das x 1 -y 1 -z 1 -Koordinatensystem und zwischen B und D das x -y -z -Koordinatensystem. Gegeben:a, q 0, nur im Aufgabenteil b) zusätzlich: Auflagerreaktionen in A und StabkraftS Lösung a) Freikörperbild(er): Lösung a) Gleichgewichtsbedingungen (selbst eingeführte Variablen sind durch gegebene Größenzu definieren): F x =0: 0=A x +S cos(30 ) F y =0:0=A y -R q1 -R q -S sin(30 ) M A =0: 0=-R q1 a-r q 7 a-s cos(30 ) 1 a-s sin(30 ) 3a R q1 = 1 q 0 3a= 3 q 0 a R q =q 0 a Seite von 1

3 Lösung a) Ergebnisse (1,5 Punkte): A x = q 0 a,91q 0 a;a y= ( ) q a= q 0 a 0,819 q 0 a; S= q 0 a -3,363 q 0a Lösung b) Freikörperbild(er) mit Bereichs-/Gültigkeitsangabe(n): Bereich I: 0<x 1 < a Bereich II: 0 <x < 3a Bereich III: 3a<x < 4a Seite 3 von 1

4 Lösung b) Gleichgewichtsbedingungen für Schnittreaktionen (selbst eingeführte Variablen sind durch gegebene Größen zu definieren): Bereich I: F x1 = 0:0=A y + N(x 1 ) F z1 =0: 0=A x +Q(x 1 ) M=0:0=M(x 1 )+A x x 1 Bereich II: F x =0: 0=A x +N(x ) F z = 0: 0= -A y + R * q1 + Q(x ) M=0: 0=M(x )+A x a -A y x +R * q1 x 3 R * q1 = 1 q(x ) x ; q(x )= q 0 3a x R * q1 = q 0 6a x Bereich III (negatives Schnittufer): F x =0: 0=-N(x ) F z =0: 0=R * q -Q(x ) M=0: 0=-M(x )-R * q 4a-x R * q =(4a-x ) q 0 Lösung b) Ergebnisse der Schnittreaktionen (formelmäßig, keine graphische Darstellung erforderlich, 4,5 Punkte): Bereich I: N(x 1 )= -A y Q(x 1 )= -A x M(x 1 )= -A x x 1 Bereich II: N(x )= -A x Bereich III (negatives Schnittufer): N(x )=0 Q(x )=A y - q 0 6a x M(x )= -A x a +A y x - q 0 6a x x 3 Q(x )=(4a-x )q 0 M(x )= -(4a - x ) q 0 4a - x Seite 4 von 1

5 Aufgabe (5,5Punkte) An einem geraden Balken wurde der rechts dargestellte Querkraftverlauf im Bereich 0 x 4a ermittelt. Gegeben:F, a a) Skizzieren Sie anhand des gegebenen Querkraftverlaufs qualitativ (ohne Werte für M(x)) den Momentenverlauf in dem gegebenen Diagramm. b) Bestimmen Sie aus dem Querkraftverlauf in x=0 und x=4a die Kräfte senkrecht zur x-achse nach Betrag und Richtungssinn der positiven Kräfte. c) Geben Sie den Ort des Extremwertes des Momentenverlaufs an. d) Welches der abgebildeten Freikörperbilder führt zu dem gegebenen Querkraftverlauf? Lösung a): Lösung b): x=0: Betrag = 3F Richtungssinn: oder x x=4a: Betrag = F Richtungssinn: oder x Lösung c): x ext = a Lösung e): FKB 1 FKB FKB 3 Seite 5 von 1

6 Aufgabe 3 (15,5 Punkte) Das unten dargestellte System besteht aus zwei mit dem Gelenk G verbundenen Stabtragwerken. Am linken Stabtragwerk greifen zwei Kräfte F an. Das System wird durch die Stäbe I und II sowie durch die Loslager A und B im Gleichgewicht gehalten. a) Berechnen Sie die Gelenkreaktionen im Gelenk G. b) Bestimmen Sie alle Nullstäbe. Für den Aufgabenteil c) sind die Stabkräfte S I und S II gegeben. (Die Stäbe sind dabei auf Zug anzusetzen). c) Ermitteln Sie die Stabkräfte in den Stäben 6, 7 und 8. Gegeben:a, F, nur im Aufgabenteil c) zusätzlich: S I, S II Lösung a) Freikörperbild(er): Lösung a) Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Gelenkreaktionen: M I = 0: 0=-F a - F a -G x a + G y 3a M B = 0: 0=-G x a + G y a Seite 6 von 1

7 Lösung a) Ergebnisse (1 Punkt): G x =6F;G y =3F Lösung b) Nullstäbe: S 4, S 5, S 10, S 13, S 16, S 0 Lösung c) Freikörperbild(er): Lösung c) Gleichgewichtsbedingungen zur Stabkraftermittlung: M II =0:0=S 6 a-s I a-s II a M III =0: 0 =-S 8 a+f a-s II a F y =0: 0=-S 7 sin(45 ) -F+S II Lösung c) Ergebnisse (1,5 Punkte): S 6 = S I +S II S 7 = (S II -F) S 8 = F- S II Seite 7 von 1

8 Aufgabe 4 (10,5 Punkte) Der dargestellte masselose Balkenträger ist in A fest eingespannt und wird mit der Kraft F im Punkt ( 3a,a,4a) belastet. DerVektor der Kraft F ist mit den folgenden Komponenten gegeben: 1 F 3 F 5 3. Ermitteln Sie alle Auflagerreaktionen in A. Gegeben:a, F Lösung (Freikörperbild(er)): Lösung (Gleichgewichtsbedingungen): F x =0:0=A x + 5 F F y =0:0=A y F F z =0:0=A z - 5 3F M x =0:0=M x F 4a- 5 3F a M y =0:0=M y + 5 F 4a+ 5 3F 3a M z =0:0=M z - 5 F a+ 3 5 F 3a oder alternativ vektoriell: F= 0: 0=F+A 0 ( 0) = 1 A x 5 F ( 3 ) + ( A y ) 0 3 A z M= 0: 0=r F +M 0 ( 0) = ( 3a a ) 1 M x 5 F ( 3 ) + ( M y ) 0 4a 3 M z F 4a- 5 3F a 0 ( 0) = 0 5 F 4a+ M x 5 3F 3a + ( M y ) ( - 5 F a+ 3 M z 5 F 3a ) Seite 8 von 1

9 Lösung (Ergebnisse3 Punkte): A x = - 5 F A y = F A z = 3 5 F M x = Fa 5 M y = Fa M z = Fa 5 Seite 9 von 1

10 Aufgabe 5 (11,5Punkte) Das in Bild 1) dargestellte räumliche System kann als ein ebenes System aufgefasst werden (Bild ).Die auf einer schiefen Ebene liegende Massem wird durch ein Seil gehalten, welches um eine Rolle gewickelt ist und an dessen Ende die Kraft F zieht.die Rolle mit dem Radius r ist in A frei drehbar gelagert. Aufgrund eines angeschweißten Balkens der Länge 1,5r und einem damit verbundenen Stab, der in B befestigt ist, wird ein Verdrehen der Rolle verhindert.im Kontakt zwischen Rolle und Seil liegt der Haftkoeffizient S vor. Zwischen der Masse m und der schiefen Ebene herrscht Reibung mit dem Haftkoeffizienten 0. a) Bestimmen Sie mit Hilfe von Bild 1) und ) den Umschlingungswinkel αdes Seils um die Rolle. Geben Sie den Winkel in der Einheit rad an. Für die Aufgabenteileb) und c) ist der Umschlingungswinkel α gegeben. b) Berechnen Sie die Kraft F, so dass die Masse mdie schiefe Ebene nicht hinunterrutscht. (Nutzen Sie hierzu das ebene System in Bild ). Für den Aufgabenteil c) sind die Seilkräfte gegeben. c) Berechnen Sie die Stabkraft S, die nötig ist, damit das System im Gleichgewicht bleibt. (Nutzen Sie hierzu das ebene System in Bild ). Gegeben:m, g, r, S, 0, ab Aufgabenteil b) zusätzlich: Umschlingungswinkel α, in Aufgabenteil c) zusätzlich: Seilkräfte Lösung a): α = 9 4 π=,5 π Seite 10 von 1

11 Lösung b) Freikörperbild(er): Lösung b) Gleichgewichtsbedingungen und Ergebnis: F x =0:0 = S +H-m g sin(45 ) F y =0:0 = N-m g cos(45 ) Haftreibung: H μ 0 N Seilreibung: S =S 1 e μ s α =F e μ s α F = m g (1-μ 0 ) e-μ s α Lösung c): M c =0:0 = S r-f r+b,5r B = 5 (F - S ) = 5 F(1 - eμ s α )= 5 m g (1-μ 0 ) (e-μ s α -1) Seite 11 von 1

12 Aufgabe 6 (6 Punkte) Die rechts dargestellte Fläche besitzt ohne die Kreisbohrung den Schwerpunkt (x S1, y S1 ) und den Flächeninhalt A 1. Eine Kreisbohrung mit dem Radius rund den Koordinaten (x S, y S ) des Mittelpunktes soll entlang der gestrichelten Linie in die Fläche eingebracht werden. Berechnen Sie die Koordinate x S und den Radius r der Kreisbohrung, so dass der gesamte Flächenschwerpunkt (x S, y S ) im Ursprung des x-y-koordinatensystems liegt. Gegeben:x S1, y S1, A 1, y S, x S =y S =0 Rechnung: x S = y S = i=1 A i y Si i=1 A i i=1 A i y Si i=1 A i = A 1 x S1 +A x S = A 1 x S1 -πr x S A 1 +A A 1 -πr =0 = A 1 y S1 + A y S A 1 + A = A 1 y S1 - πr y S A 1 - πr = 0 Ergebnisse: (1 Punkt): x S = y S x y S1, r = y S 1 A 1 S1 y S π Seite 1 von 1