TU Dortmund. Fakultät Maschinenbau Institut für Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler. Herbst 2014

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1 Herbst 2014

2 Herbst 2014 Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) a) Gegeben ist das fogende, in den Punkten A und B geagerte und durch eine Kraft F wie dargestet beastete Fachwerk B A 4 5 F F Nennen Sie sämtiche Nustäbe, weche auf Grund gängiger Kriterien direkt as soche identifiziert werden können (keine Rechnung). Das Nennen fascher Stabnummern führt zu Punktabzug. (2,0 Punkte) 5, 9, 10, 11

3 Herbst 2014 Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) b) Dasuntendargestete Fachwerk ist indenpunkten AundBgeagertundwirdwie gezeigt durch Einzekräfte beastet. 2F F A F F y x B 3F Berechnen Sie die Aufagerreaktionen in den Punkten A und B bezügich der durch das vorgegebene Koordinatensystem positiv definierten Richtungen. (3,0 Punkte) A y = ( ) 2 F = F 2,227F 4 12 B x = ( 2+ ) 2 2 F = F 2,707F B y = ( ) 2 F = F 2,894F 4 12

4 Herbst 2014 Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) c) An dem seben Fachwerk greifen nun die aus nachfogender Zeichnung zu entnehmenden Kräfte an. 1 2 F A y x B F 1 3 F Die Aufagerreaktionen sind dabei gemäß des vorgegebenen Koordinatensystems zu A y = 3 4 F, B x = 1 2 F, B y = 7 12 F vorgegeben. Berechnen Sie die Stabkräfte S 1, S 13, und S 18 sowie S 11 und S 17 unter der Voraussetzung, dass Zugkräfte positiv sind. (5,0 Punkte) S 1 = 1 4 F S 13 = 0 S 18 = F = 3 2 F 4 S 11 = F S 17 = 1 12 F

5 Herbst 2014 Aufgabe 2 (Seite 1 von 2) Die dargestete homogene Lochscheibe A (Gesamtmasse m, Radius r = a) ist auf der inken Seite fest geagert, während die rechte Seite reibungsfrei (µ 0 = 0) auf einem as masseos anzusehenden Kei B aufiegt. Der Kei sebst ruht auf einer reibungsbehafteten Ebene (Haftreibungskoeffizient µ 0 ). 3a g 4a y 2a r A µ 0 = 0 5a x a B 6a α µ 0 a) Bestimmen Sie die Koordinaten x s und y s des Schwerpunktes der abgebideten Lochscheibe A bezügich des angegebenen Koordinatensystems. (2 Punkte) x s = 3a y s = (61 2π)a 27 π

6 Herbst 2014 Aufgabe 2 (Seite 2 von 2) b) Die Lochscheibe wird nun durch einen massiven, homogenen Körper (Gesamtmasse m) mit identischen Außenabmessungen ersetzt. Geichzeitig wirkt eine horizontae Kraft F in der unten dargesteten Weise auf den Kei ein. Vervoständigen Sie die unten gegebene Vorage zu einem kompetten Freikörperbid. (3 Punkte) mg A x N 1 A y N 1 H F N 2 Bestimmen Sie die von Ihnen im Freikörperbid definierten Kraftkomponenten zwischen dem Körper und dem Kei sowie dem Kei und dem Fundament. (3 Punkte) N 1 = mg 2 cos(α) N 2 = mg 2 H = F + mg tan(α) 2 Wie groß muss die Kraft F > 0 sein, sodass sich der Kei nach rechts zu bewegen beginnt? (2 Punkte) F mg 2 (µ 0 tan(α))

7 Herbst 2014 Aufgabe 3 (Seite 1 von 3) Das dargestete Bakentragwerk besteht aus zwei Teieementen und wird durch eine Kraft F sowie eine veränderiche Streckenast ( x2 ) ) 2 q(x 2 ) = q 0 (1, 0 x 2 L L beastet. Die Teieemente 1 und 2 sind im Punkt B geenkig miteinander verbunden und im Punkt A und D wie dargestet geagert. Die Ecke im Punkt C ist as biegestarr anzusehen. q(x 2 ) L 2 A x 1 z 1 F 1 B z 2 x 2 2 C D L L L L a) Ergänzen Sie die fogende Abbidung zu einem voständigen Freikörperbid. Ersetzen Sie die Streckenast durch eine noch nicht näher zu spezifizierende Resutierende. (1,0 Punkte) G y x 2 F res F G x G x G y A M A D y D x

8 Herbst 2014 Aufgabe 3 (Seite 2 von 3) b) Bestimmen Sie die aus der veränderichen Streckenast resutierende Gesamtkraft F res und geben Sie den Angriffspunkt x 2 der Resutierenden auf dem Baken an. (2,0 Punkte) F res = 2 3 q 0L x 2 = 3 8 L c) Das zuvor gezeigte System ist nun hinsichtich Geometrie und Beastung geändert worden. Der abgewinkete Baken wird nun mit einer konstanten Linienast q 0 beastet wohingegen der horizontae Baken einer inear veränderichen Linienast ( q(x 2 ) = q 0 1 x ) 2 L ausgesetzt wird. z ȳ A x x 1 z 1 q 0 L I q 0 B z 2 x 2 L II C D L Die Aufagerreaktionen sind bezügich des { x, ȳ}-koordinantensystems wie fogt vorgegeben: A x = 1 6 q 0L, Aȳ = 1 6 q 0L, M A = q 0 L 2, D x = 7 6 q 0L, Dȳ = 4 3 q 0L Geben Sie die Funktion M II (x 2 ) für 0 x 2 L sowie die Werte der Schnittgrößen für die fogenden Positionen an. (4,0 Punkte) M II (x 2 ) = 5 6 q 0Lx 2 q 0 [ 1 2 x ] x 3 2 L N I (x 1 = 0) = q 0L N II (x 2 = L) = 7 6 q 0L Q I (x 1 = 0) = 0 Q II (x 2 = 0) = 5 6 q 0L Q I (x 1 = 2L) = 2q 0 L Q II (x 2 = L) = 4 3 q 0L

9 Herbst 2014 Aufgabe 3 (Seite 3 von 3) Zeichnen Sie quaitativ die Schnittgrößenveräufe unter Angabe der jeweiigen Werte an den Punkten A, B, C und D bezügich der Koordinaten x i,y i und unter Angabe des jeweiigen Poynomgrades p. (3,0 Punkte) N(x i ) 7 6 q 0L p = 0 p = q 0L p = q 0L Q(x i ) 5 6 q 0L p = q 0L 2q 0 L p = 1 p = 0 M(x i ) p = q 0L q 0L p = q 0L 2 q 0 L 2 p = 1

10 Herbst 2014 Aufgabe 4 (Seite 1 von 3) a) Der dargestete, in A und C geagerte Baken wird durch eine Streckenast q 0 sowie eine Einzekraft F beastet. Im Punkt B befindet sich ein Vogeenk. q 0 F A z x I B II C III Geben Sie die kinematischen (geometrischen) Rand- und Übergangsbedingungen an, die zur voständigen Bestimmung der Biegeinie w(x) erforderich sind. Geben Sie dabei eindeutige Zuweisungen hinsichtich der jeweiigen Bereiche I, II und III unter Verwendung des vorgegebenen Koordinatensystems an. (3,0 Punkte) BereichI : 0 x BereichII : x 2 BereichIII : 2 x 3 w I (x = 0) = 0 w I (x = 0) = 0 w I (x = ) = w II (x = ) w II (x = 2) = 0 w II (x = 2) = w III (x = 2) w II (x = 2) = w III (x = 2) = 0

11 Herbst 2014 Aufgabe 4 (Seite 2 von 3) b) Für das nun gegebene System sind die Aufagerreaktion gemäß der angegebenen x- und z-koordinate durch A x = 0, A z = q 0 24, B z = 5q 0 24 vorgegeben. Der Baken weist die Biegesteifigkeit EI auf. A z 1 x 1 I z 2 x 2 /2 /2 II q 0 B Bestimmen Sie die Funktionen des Biegemomentes M I (x 1 ) für 0 x 1 /2 sowie M II (x 2 ) für 0 x 2 /2. (2,0 Punkte) M I (x 1 ) = q 0 24 x 1 M II (x 2 ) = q 0 3 x3 2 + q 0 24 x 2 + q Geben Sie die sowoh die Verdrehung des Bakens w II (x 2) as auch die Biegeinie w II (x 2 ) für den Bereich II (0 x 2 /2) ohne Berechnung der Integrationskonstanten an. (2,0 Punkte) w II (x 2 ) = 1 [ q0 EI 60 x5 q x3 2 q ] x2 2 +C 1 x 2 +C 2 w II (x 2) = 1 [ q0 EI 12 x4 2 q 0 48 x2 2 q ] x 2 +C 1

12 Herbst 2014 Aufgabe 4 (Seite 3 von 3) c) Der dargestete, inksseitig eingespannte Baken (Biegesteifigkeit EI) wird durch ein inienhaft verteites Moment m beastet. Das Biegemoment ergibt sich bei dieser Beastung zu M(x) = m( x). m A z x B Berechnen Sie sowoh die Verdrehung des Bakens w (x) as auch die Biegeinie w(x) für das System inkusive der Bestimmung aer Integrationskonstanten. (2,0 Punkte) w (x) = 1 EI ] [mx mx2 2 w (x) = 1 [ ] mx 2 mx3 EI 2 6 C 1 = C 2 = 0 Bestimmen Sie die Durchbiegung w B und die Verdrehung w B Punkte) des Bakenendes B. (1,0 w B = m3 3EI w B = m2 2EI

13 Herbst 2014 Aufgabe 5 (Seite 1 von 3) Die Koordinaten des Schwerpunkts S für dünnwandige(t a,b,c)profiemitdenabmessungen a, b und c berechnen sich agemein zu a y S y S = a2 +c 2 2[a+b+c] z S = b[b 2 +c] a+b+c. sowie y z S t z S b a) Berechnen Sie für den spezieen Fa b = c = 2a zunächst die resutierenden Schwerpunktkoordinaten in Abhängigkeit der Länge a. (1 Punkt) c y S = a 2 = b 4 z S = 6a 5 = 3b 5 Berechnen Sie für die Abmessungen b = c = 2a die auf das angegebene Schwerpunkt- KoordinatensystembezogenenFächenträgheitsmomenteI y undi z desprofisasfunktion von a und t. Teien Sie Ihre Lösung dazu jeweis in das Fächenträgheitsmoment um die Teiprofihauptachse sowie den Steiner-Antei für ae Teiprofie auf. Vernachässigen Sie Terme höherer Ordnung von t. (3 Punkte) I y = b3 t 12 + [ ] 2 [ ] 2 [ ] b bt + 5 a at + 5 b ct = 2 3 a3 t a3 t a3 t a3 t = a3 t I z = a3 t 12 + [ ] a bt + c3 t 12 + [ ] a ct = 1 12 a3 t a3 t a3 t a3 t = 7 4 a3 t

14 Herbst 2014 b) Die Maße des Querschnitts werden nun auf a = c = b geändert. Damit ergeben sich die 2 Schwerpunktkoordinaten sowie die Hauptfächenträgheitsmomente zu a y S σ max y S = a 4 z S = a I y = 8 3 a3 t I z = 5 12 a3 t. Die Verhätnisse der Schnittreaktionen an der betrachteten Stee sind zu y z t S z S b N M z = 36 5a und M y M z = 32 5 gegeben. Bestimmen Sie die Funktion der neutraen Faser y NF (z) (2 Punkte), tragen Sie diese maßstäbich in den obigen Profiquerschnitt ein (1 Punkt) und bestimmen Sie den Ortsvektor r max = y e y +z e z des Punktes der betragsgrößten Normaspannung im gegebenen Koordinatensystem. (1 Punkt) y NF (z) = z a rmax = 1 4 e y +[ a] e z c) Für die Reaktionsmomente und -kräfte im angegebenen Profi-Querschnitt aus Aufgabentei b) gete nun N = 8F, M y = 2aF und M z = 5aF Berechnen Sie die Normaspannung σ xx in der unteren rechten Ecke des Profis (2 Punkte). σ xx = 2 F at F at +3 F at = 23 4 F at

15 Herbst 2014 Aufgabe 6 (Seite 1 von 3) a) Ein Rahmen ist im Punkt A wie dargestet geagert und wird darüber hinaus durch zwei Stäbe gestützt. Der waagerechte Rahmenabschnitt wird mit einer Kraft F beastet. Der Winke α beträgt π/4. Der Rahmen weist die Biegesteifigkeit EI auf und ist as dehnstarr (EA ) anzusehen, während die Stäbe die Dehnsteifigkeit EA besitzen. Für dieses System so mit Hife von Energiemethoden die horizontae Komponente der x 2 Aufagerkraft im Punkt A ermittet werden, die positiv in x Richtung angenommen y z 2 F /2 wird. x Die Veräufe der Schnittgrößen, die jeweis aein aus der Kraft F bzw. der statisch Überzähigen X resutieren, sind wie fogt gegeben. z1 x1 A EI α 2 x 4 EA B 1 x3 0 0 M F (x i ) : 0 0 F/2 F /4 M X (x i ) : X X X 0 N F (x 3 ) : N X (x 3 ) : F/2 0 X 2X N F (x 4 ) : 0 N X (x 4 ) : 2X

16 Herbst 2014 Aufgabe 6 (Seite 2 von 3) Geben Sie die im System gespeicherte Gesamtenergie Π as Summe einzener (nicht zu vernachässigender) Integrae unter Angabe der jeweiigen Integrationsgrenzen und Verwendung der zuvor angegebenen Schnittgrößenfunktionen (z.b. M F (x i )) an. (3,0 Punkte) Π = ˆ 0 ˆ 0 [M X (x 1 )] 2 dx EI 2 ˆ [N F (x 3 )+N X (x 3 )] 2 dx EA 2 0 [M F (x 2 )+M X (x 2 )] 2 dx 2 EI 2 ˆ 0 [N X (x 4 )] 2 dx 4 EA Berechnen Sie nun konkret die unbekannte Lagerkraft X. Geben Sie hierbei sowoh das Ergebnis as auch die wesentichen Zwischenschritte auf der nächsten Seite an und berücksichtigen Sie, dass das Verhätnis zwischen der Biege- und Dehnsteifigkeit der einzenen Strukturen zu EA EI = 2 2 gegeben ist. (5,0 Punkte) b) Nehmen Sie nun an, dass Stab 2 einen kreisrunden Querschnitt (Radius r) aufweist und die Stabkraft S 2 > 0 bekannt ist. Geben Sie zunächst agemein die Bedingung für r an, so dass die maxima zuässige Spannung σ zu des Materias nicht überschritten wird. (1,0 Punkte) r S2 πσ zu Spezifizieren Sie das obere Ergebnis für die nun gegebenen Zahenwerte S 2 = 100 kn und σ zu = 650 MPa. Geben Sie genau 3 reevante Nachkommasteen an. (1,0 Punkte) r 6.998mm

17 Herbst 2014 Aufgabe 6 (Seite 3 von 3) Lösung zu Aufgabentei a): Anwendung des Satzes von Castigiano: Π X = 0 = + ˆ M X (x 1 ) M X (x 1 ) EI X dx 1 0 } {{ } I. ˆ ˆ [N F (x 3 )+N X (x 3 )] N X (x 3 ) EA X dx 3 0 } {{ } III. [M F (x 2 )+M X (x 2 )] M X (x 2 ) + EI X dx 2 0 }{{} + 2 ˆ II. N X (x 4 ) N X (x 4 ) EA X dx 4 0 } {{ } IV. Wobei auch die Schreibweise M(x i ) = M X(x i ) X werden kann. bzw. N(xi ) = N X(x i ) X verwendet Die Integrae werden mit Hife von Koppetabeen geöst, da die Schnittgrößen- Veräufe mit Randwerten gegeben sind: 0 = X + } 3EI {{} I. + F 2 1 = 1 EI 2 F 4 [ ] F X } 6EI {{ 3EI 3EI } II. + X 1 2 [ 2X] [ 2] + } EA {{ EA }} EA {{} III. IV. [ 2X 3 F ] [ F ] EI 2 +[1+2 2]X = [7+6 2]X 3 6EI 5F 3 16EI Umsteen nach X iefert dann schießich: 2 X = 5/16F [7+6 2]/6 = 15F 8[7+6 2] = F

18 Herbst 2014 Aufgabe 6 (Seite 3 von 3) Lösung zu Aufgabentei a): Lösung mittes des Prinzips der virtueen Kräfte: Die Schnittgrößenverkäufe des 0 -Systems entsprechen denen aus F resutierenden Veräufen. Die Schnittgrößenveräufe des 1 -Systems entsprechen denen nach X abgeeiteten Veräufen. Die statisch Überzähige X errechnet sich durch: α 10 +X α 11 = 0 X = α 10 α 11 Die Einfusszahen errechnen sich zu: α 10 = α 11 = ˆ M 0 (x 2 ) M 1 (x 2 ) dx 2 + EI 0 } {{ } II. ˆ M 1 (x 1 ) 2 dx 1 + EI 0 } {{ } I. ˆ ˆ N 0 (x 3 ) N 1 (x 3 ) dx 3 EA 0 } {{ } III. M 1 (x 2 ) 2 dx 2 EI 0 } {{ } II. ˆ + N 1 (x 3 ) 2 EA dx } {{ } III. 2 ˆ N 1 (x 4 ) 2 EA dx 4 0 } {{ } IV. Die Integrae werden mit Hife von Koppetabeen geöst, da die Schnittgrößen- Veräufe mit Randwerten gegeben sind: α 10 = 2 α 11 = 3EI }{{} I. F 4 [ ] +2 2 F F 1 2 } 6EI {{ 3EI }} EA {{} II. III. 2 [ 2] [ 2] + 3EI }{{} II } EA {{} III. } EA {{ } IV. 5F 3 = 16EI = [7+6 2] 3 6EI Für X ergibt sich schießich: X = 5/16F [7+6 2]/6 = 15F 8[7+6 2] = F

19 Herbst 2014 Aufgabe 7 (Seite 1 von 3) Das dargestete System besteht aus homogenen, starren Körpern, weche durch dehnstarre Seie miteinander verbunden sind. Die jeweiigen Massen und Abmessungen sind der Zeichnung zu entnehmen, wobei das Massenträgheitsmoment der gesamten abgesetzten Roe 4 bezügich des zugehörigen Schwerpunktes D durch θ 4 gegeben ist und die Roe 2 as masseos angesehen werden so. Der Kreisring 1 rot dabei zu jedem Zeitpunkt schupffrei ab und die Seie sind stets gespannt. g 2 ϕ 3 m 3 C r 3 3 β m 4, θ 4 ϕ 4 D r 4 4 M 0 B R 4 ϕ 2 1 2r 2 ϕ 1 x 1 A m 1 r 1 α y x µ 0 Erweitern Sie die fogenden Skizzen der Teikörper 1, 3 und 4 zu voständigen Freikörperbidern (inkusive etwaiger Aufagerreaktionen). (2,0 Punkte) Massenträgheitskräfte und -momente wurden hier nicht bewertet! S 1 m m 3 g 4 g θ θ 4 1 θ 3 S 3 m 1 g H 1 C x S 3 D x N 1 S 2 C y D y M 0

20 Herbst 2014 Aufgabe 7 (Seite 2 von 3) a) Geben Sie die Impusbianz (Kräftesatz) des Kreisrings 1 bezügich der x 1 -Koordinate an. (1,0 Punkte) m 1 ẍ 1 = S 1 +H 1 m 1 gsin(α) b) Geben Sie die Drehimpusbianz (Drasatz) des Kreisrings 1 bezügich des Schwerpunkts und der ϕ 1 -Koordinate an. Spezifizieren Sie das zu verwendende Massenträgheitsmoment mittes der gegebenen Größen. (1,0 Punkte) Θ 1 ϕ 1 = S 1 r 1 +H 1 r 1 mit Θ 1 = m 1 r 2 1 c) Geben Sie die Impusbianz (Kräftesatz) der Roe 3 bezügich der y-koordinate an. (1,0 Punkte) m 4 ÿ }{{} 4 = C y m 3 g S 2 S 3 cos(β) =0 d) Geben Sie die Drehimpusbianz (Drasatz) der Roe 4 bezügich des Schwerpunkts und der ϕ 4 -Koordinate an. (1,0 Punkte) Θ 4 ϕ 4 = S 3 r 4 M 0

21 Herbst 2014 Aufgabe 7 (Seite 3 von 3) e) Geben Sie die fogenden kinematischen Bindungen zwischen den Geschwindigkeiten der einzenen Koordinaten und der Geschwindigkeit des Freiheitsgrades x 1 an. (2,0 Punkte) ϕ 1 (ẋ 1 ) = x 1 r 1 ϕ 2 (ẋ 1 ) = 2ẋ1 r 2 ϕ 3 (ẋ 1 ) = 2ẋ1 r 3 ϕ 4 (ẋ 1 ) = 2ẋ1 r 4 Berechnen Sie die von dem Moment M 0 vom Zeitpunkt t = 0 bis zum Zeitpunkt t = t 1 verrichtete Arbeit W M0. Das System befindet sich anfängich in Ruhe (x 1 (t = 0) = 0, ẋ 1 (t = 0) = 0) und es git x 1 (t 1 ) = a. (2,0 Punkte) ˆ W M0 = M 0 dϕ = 2 M 0 a r 4

22 Herbst 2014 Aufgabe 8 (Seite 1 von 3) Die unten gezeigte Bahn besteht aus zwei reibungsbehafteten Ebenen (Geitreibungskoeffizient µ, Länge ) sowie zwei as reibungsfrei anzunehmenden Kreisbögen (Öffnungswinke α). Im Punkt D befindet sich das Ende einer eastischen Feder (Federsteifigkeit c), weche in der dargesteten Lage entspannt ist. Bis zu einem Zeitpunkt t t 0 wird ein as Punktmasse anzusehender Körper (Masse m) im Punkt O in Ruhe gehaten. Dann wird dieser os geassen, wobei vorausgesetzt werden so, dass sich der Körper anschießend tatsächich in Bewegung setzt (Hangabtriebskraft größer as Haftreibungskraft). O m y µ A α B r µ NN g r C ϕ D c x a) Geben Sie die potenziee Energie (Lageenergie) Epot O des angegebenen Nuniveaus NN an. (1,0 Punkte) α des Körpers im Punkt O bezügich E O pot = mg (r(1 cos(α))+ sin(α)) Geben Sie die verrichtete Reibarbeit WR OA A an. (1,0 Punkte) auf der Strecke zwischen den Punkten O und W OA R = µmg cos(α)

23 Herbst 2014 Aufgabe 8 (Seite 2 von 3) Berechnen Sie die Geschwindigkeit v B der Masse im Punkt B. (1,5 Punkte) v B = 2g (r(1 cos(α))+ sin(α) µ cos(α)) b) DieGeschwindigkeit des Körpersim Punkt B ist nun durch v B > 0 vorgegeben. Berechnen Sie die Geschwindigkeit im Punkt C. Verwenden Sie nicht den oben berechneten Wert für v B. (1,0 Punkte) v C = v 2 B 2µg c) Die Geschwindigkeit des Körpers im Punkt C ist nun durch v C > 0 vorgegeben. Geben Sie zunächst die Funktion der Geschwindigkeit v(ϕ) des Körpers in Abhängigkeit des Winkes ϕ an. Verwenden Sie nicht den oben berechneten Wert für v C. (1,5 Punkte) v(ϕ) = v 2 C +2gr(1 cos(ϕ))

24 Herbst 2014 Aufgabe 8 (Seite 3 von 3) Geben Sie des Weiteren die Funktion der Normakraft N(ϕ) zwischen Körper und Bahn in Abhängigkeit des Winkes ϕ an. (1,5 Punkte) N(ϕ) = m ( ) g(3 cos(ϕ) 2) v2 C r Geben Sie die Bedingung für den Öffnungswinke α an, so dass der Körper an keiner Stee der kreisförmigen Bahn zwischen den Punkten C und D den Kontakt zu dieser veriert. (1,0 Punkte) ( v 2 α arccos C 3gr + 2 ) 3 d) Die Geschwindigkeit des Körpers im Punkt D ist nun durch v D > 0 vorgegeben. Geben Sie die Geichung zur Bestimmung der Stauchung der Feder an. Ein Aufösen dieser Geichung nach ist nicht erforderich. (1,5 Punkte) 1 2 c 2 mg sin(α) = 1 2 m v2 D

25 Herbst 2014 Aufgabe 9 (Seite 1 von 2) Das dargestete System besteht aus zwei starren Kreisscheiben (Masse M 1 bzw. M 2, Radius jeweis R), weche über eine starre Stange (Masse m, Länge ) verbunden sind und schupffrei auf dem Untergrund abroen. Die Bewegung findet auf einer schiefen Ebene (Neigungswinke α) und unter Einfuss der Erdbescheunigung g statt. Die wie dargestet angeknüpfte Feder ist für den nicht näher spezifizierten Wert ξ = ξ 0 entspannt. Beachten Sie, dass ξ = 0 nicht die statische Ruheage beschreibt. ξ x g M 1,R m, α M 2,R c NN a) GebenSiedenZusammenhangzwischen dengeschwindigkeiten ξ undẋan.(1,0 Punkte) ξ(ẋ) = ẋ cosα b) Bestimmen Sie die potentiee Energie E pot in Abhängigkeit der Koordinate ξ und den gegebenen Größen bezogen auf das dargestete Nuniveau NN. (3,0 Punkte) [( E pot (ξ) = M 1 g [ξsinα+r 1 cosα]+mg ξ + ) ] sinα+rcosα 2 +M 2 g [(ξ +)sinα+rcosα]+ 1 2 c [ξ 0 ξ] 2

26 Herbst 2014 Aufgabe 9 (Seite 2 von 2) c) Bestimmen Sie die kinetische Energie E kin in Abhängigkeit der Koordinate ξ und den gegebenen Größen. Beachten Sie, dass insbesondere die Massenträgheitsmomente nicht as gegeben angesehen werden können. (2,0 Punkte) E kin ( ξ) = 1 2 M ξ m ξ M ξ [ ][ ] 2 1 ξ 2 2 M 1R [ ][ ] 2 1 ξ R 2 2 M 2R 2 R }{{}}{{}}{{}}{{} θ 1 ϕ 2 θ 2 1 ϕ 2 2 d) Für einen nicht näher spezifizierten Sonderfa und unter Verwendung einer abweichenden Koordinate η ergeben sich im Fogenden die Energien des Systems zu E pot (η) = 3mgη sin(α)+1/2cη 2, E kin (η) = 2m η 2. Steen Sie basierend auf diesen Energien die Bewegungsgeichung dieses Sonderfas bezügich η auf. (2,0 Punkte) 4 η+ c η +3g sinα = 0 m Bestimmen Sie, basierend auf obiger Bewegungsgeichung, die Eigenkreisfrequenz ω 0 sowie die Periodendauer T der Eigenschwingung des Systems. (2,0 Punkte) ω 0 = c 4m T = 2π 4m c

27 Herbst 2014 Aufgabe 10 (Seite 1 von 4) a) Das skizzierte Bakensystem besteht aus drei Bakenabschnitten I, II und III (jeweis Biegesteifigkeit EI und Dehnsteifigkeit EA ), ist wie dargestet geagert und wird an der Stee A durch eine horizontae Kraft F und ein Moment M beastet sowie durch eine Feder (Federkonstante c), weche in der dargesteten Lage entspannt ist, gestützt. z 1 x 1 EI I c III z 2 x 3 x 2 A z 3 M F II Bestimmen Sie das Potentia der inneren Kräfte Π i und das Potentia der äußeren Lasten Π a für das dargestete Bakensystem. Integrae soen nicht geöst und die zu berücksichtigenden Verschiebungsfunktionen nicht spezifiziert werden. Verwenden Sie die vorgegebenen Koordinatensysteme. (2,0 Punkte) Π = Π i +Π a mitπ i = EIw I(x 1 ) 2 dx EIw II(x 2 ) 2 dx EIw III(x 3 ) 2 dx cw III(0) 2 und Π a = F w II (0) M w III (0)

28 Herbst 2014 Aufgabe 10 (Seite 2 von 4) b) Der skizzierte Träger (Biegesteifigkeit EI) ist wie dargestet geagert und wird inks durch eine Kraft F beastet. F z x EI Geben Sie ae kinematischen Randbedingungen an. (0,5 Punkte) w (0) = 0, w() = 0, w () = 0 Spezifizieren Sie damit einen für das Ritz-Verfahren zuässigen Näherungsansatz vom Typ w(x) = a 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3. (1,5 Punkte) [ x ] 3 [ x ] ] 2 w(x) = a 1 [ [ oder w(x) = a [ x ] 3 [ x ] ] [ [x ] 3 oder w(x) = a [ x ] ]

29 Herbst 2014 Aufgabe 10 (Seite 3 von 4) c) Der skizzierte Biegeträger (Biegesteifigkeit EI) ist am inken Rand wie dargestet durch einfestagersowieeinedrehfeder(drehfederkonstantec T )geagertundwirddesweiteren durch eine inear veränderiche Streckenast (Ampitude q 0 ) beastet. q 0 c T x EI z Das Gesamtpotentia des Biegeträgers autet Π = 1 2 ˆ 0 EIw (x) 2 dx+ 1 2 c Tw (x = 0) 2 ˆ 0 q(x)w(x)dx Bestimmen Sie die Freiwerte a 1 und a 2 für den zweigiedrigen Näherungsansatz vom Typ w(x) = a 1 x+a 2 x 2 unter Verwendung des Ritz-Verfahrens. Tragen Sie sowoh das Ergebnis für die Koeffizienten a 1 und a 2 as auch wesentiche Zwischenschritte der Rechnung auf der fogenden Seite ein. (4,0 Punkte) d) Geben Sie für das System aus c) das Drehfedermoment M T in Abhängigkeit gegebener Größen an. (2,0 Punkte) M T = 1 6 q 0 2

30 Herbst 2014 Aufgabe 10 (Seite 4 von 4) Lösung zu Aufgabentei c): [ q(x) = q 0 1 x ] w (x) = a 1 +2a 2 x w (x) = 2a 2 Π = 1 2 ˆ 0 4EIa 2 2dx+ 1 2 c Ta 2 1 ˆ Π a 1 = c T a q 0 2 = 0 a 1 = q 0 2 6c T Π a 2 = 4EIa q 0 3 = 0 a 2 = q EI 0 [ q 0 1 x ] [a1 x+a 2 x 2] dx

31 Herbst 2014 Aufgabe 11 (Seite 1 von 3) Die rechts dargestete Kreisscheibe (Innenradius R, Außenradius 2 R) wird durch einen konstanten Innendruck p beastet. Der äußere Rand der Scheibe ist unverschiebich geagert. Das Materia, aus dem die Scheibe besteht, ist inear eastisch isotrop(eastizitätsmodu E, Querkontraktionszah ν). 2R R y p r ϕ x a) Die Airysche Spannungsfunktion F, weche zur Berechnung dieser rotations-symmetrischen Probemsteung angewandt werden kann, autet in ihrer agemeinen Form F = C 0 +C 1 n(r)+c 2 r 2 +C 3 r 2 n(r), wobei C i reee Koeffizienten darsteen. Die daraus fogenden Funktionen für die Spannungskomponenten σ rr und σ ϕϕ ergeben sich zu σ rr = C 1 r 2 +2C 2 +C 3 (1+2 n(r)), σ ϕϕ = C 1 r 2 +2C 2 +C 3 (3+2 n(r)). Im Fogenden ist C 3 = 0 sowie ein ebener Spannungszustand (ESZ) anzunehmen. Geben Sie die Dehnung ε ϕϕ in Abhängigkeit der übrigen Koeffizienten sowie die daraus fogende Verschiebungsfunktion u r (r) an. (2,0 Punkte) ε ϕϕ = 1 E (σ ϕϕ νσ rr ) = 1 ( C ) 1 E r (1+ν)+2C 2(1 ν) 2 u r (r) = ε ϕϕ r = 1 ( C ) 1 E r (1+ν)+2C 2r(1 ν)

32 Herbst 2014 Aufgabe 11 (Seite 2 von 3) NennenSie dierandbedingungenzur Bestimmung der Koeffizienten C 1 undc 2 undgeben Sie deren Werte an. (2,5 Punkte) Randbedinungen: σ rr (r = R) = p, u r (r = 2R) = 0 C 1 = p(1 ν2 )4R 2 5 3ν C 2 = p(1+ν) 2(5 3ν) b) Die radiae Verschiebung der Kreisscheibe ist nun durch die kinematisch zuässige Funktion u r = K r2 4R 2 r vorgegeben, wobei K einen reeen Koeffizienten darstet. Geben Sie die aus dieser Verschiebungsfunktion herzueitenden Dehnungen ε rr und ε ϕϕ in Abhängigkeit des Koeffizienten K an. (1,0 Punkte) ε rr = u r r = K r2 +4R 2 r 2 ε ϕϕ = u r r = K r2 4R 2 r 2

33 Herbst 2014 Aufgabe 11 (Seite 3 von 3) Geben Sie unter der Voraussetzung eines voriegenden ebenen Dehnungszustandes (EDZ) die daraus fogende Spannung σ rr in Abhängigkeit des Koeffizienten K an. (1,0 Punkte) σ rr = E 1 ν 2 (ε rr +νε ϕϕ ) = EK r 2 (1 ν 2 ) (r2 (1+ν)+4R 2 (1 ν)) Berechnen Sie aus der nicht-triviaen Spannungs-Randbedingung (siehe (a)) den Koeffizienten K. (1,0 Punkte) K = p(1 ν2 ) E(5 3ν) c) Gegeben ist die Airysche Spannungsfunktion F = C 1 r n(r) cos(ϕ)+c 2 ϕ 2 mit den reeen Koeffizienten C 1 und C 2. Geben Sie die daraus fogenden Spannungskomponenten σ rr, σ ϕϕ und σ rϕ an. (2,5 Punkte) σ rr = C 1 r cos(ϕ)+ 2C 2 r 2 σ ϕϕ = C 1 r cos(ϕ) σ rϕ = C 1 r sin(ϕ)+ 2C 2 r 2 ϕ

34 Herbst 2014 Aufgabe 12 (Seite 1 von 3) a) Das dargestete System, bestehend aus einem in Punkt A geagerten, abgewinketen Rahmen und zwei geenkig angebrachten Stäben, befindet sich im Schwerefed. Ae Teistücke haben jeweis die Länge und die Masse m. In Punkt B greift eine Einzekraft F an. Ferner sind an dem System zwei Federn (Federsteifigkeit c) und eine Drehfeder (Drehfedersteifigkeit k) befestigt. Für q 1 =q 2 =0 sind ae Federn entspannt. F B,m g c NN,m k c q 1 A,m,m q 2 Steen Sie das Gesamtpotentia Π des Systems bezügich des angegebenen Nuniveaus NN in Abhängigkeit der Freiheitsgrade q 1 und q 2 auf. Fassen Sie die einzenen Terme nicht zusammen. (4,0 Punkte) Π = 1 2 k(q 2 q 1 ) c(sin(q 1)+sin(q 2 )) c(sin(q 1)) 2 mg 2 sin(q 1) mg(sin(q 1 )+ 2 sin(q 2))+mg 2 cos(q 1)+ 3 2 mgcos(q 1) 2F(1 cos(q 1 ))

35 Herbst 2014 Aufgabe 12 (Seite 2 von 3) b) Für ein anderes, nicht näher spezifiziertes System, ist das Gesamtpotentia durch [ 3 Π = k 2 q2 1 2q 1q 2 +q ] [ ] 5 4 sin2 (q 1 ) mg 2 sin(q 1)+sin(q 2 ) M q 2 +F cos(q 1 ) in Abhängigkeit einer Kraft F, eines Momentes M und der Freiheitsgrade q 1 und q 2 gegeben. Geben Sie die Geichgewichtsbedingungen dieses Systems an. (2,0 Punkte) Π q 1 =3kq 1 2kq sin(q 1)cos(q 1 )k mg 5 2 cos(q 1) Fsin(q 1 ) = 0 Π q 2 = 2kq 1 +2kq 2 mgcos(q 2 ) M = 0 Geben Sie zudem die Bedingungen für F und M an, so dass für q 1 =π/6 und q 2 = π/4 eine Geichgewichtsage besteht. (2,0 Punkte) F = 2kπ + 3k 4 mg 5 3 2, M = 5 6 kπ mg 2 2

36 Herbst 2014 Aufgabe 12 (Seite 3 von 3) Abschießend so die Stabiität dieser Geichgewichtsage (q 1 =π/6, q 2 = π/4) für die von Ihnen errechneten Größen F und M für k = 4mg anaysiert werden. Treffen Sie eine Aussage darüber, ob diese Geichgewichtsage stabi ist. Begründen Sie diese Aussage durch entsprechende, eindeutige Terme im nachfogenden Kästchen. (2,0 Punkte) Hinweis: Das nachfogende Kästchen wird mit 0 Punkten gewertet, sote keine Begründung für die getroffene Aussage erfogen. D 11 = 2 Π q 2 1 = 3k cos2 (q 1 )k 1 2 sin2 (q 1 )k +mg 5 2 sin(q 1) Fcos(q 1 ) mit F = 2kπ + 3k 4 mg ergibt sich D 11 = 2,5664k+5mg = 5,2656mg < 0 nicht stabi!

37 Frühjahr 2014

38 Frühjahr 2014 Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) Das unten dargestete Fachwerk ist in den Punkten A und B geagert und wird wie gezeigt durch Einzekräfte F 1, F 2 und F 3 beastet. Die Länge der schrägen Stäbe beträgt jeweis. F y x 5 F F 2 1 A B a) Berechnen Sie die Aufagerreaktionen in den Punkten A und B bezügich der durch das vorgegebene Koordinatensystem positiv definierten Richtungen. (4 Punkte) A x = 0 B x = 1 2 (F 1 +F 3 ) F 2 A y = 1 2 (F 1 +F 3 )+ 1 2 F 2 B y = 1 2 F 2 2F 3

39 Frühjahr 2014 Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) b) Geben Sie die Nummern aer Stäbe an, die auf Grundage gängiger Kriterien direkt as Nustäbe identifiziert werden können (keine Rechnung). (2 Punkte) Hinweis: Die Angabe fascher Stäbe führt zu Punktabzug. 1,6,10,11 (S 6 = 0 fogt aus S 10 = 0) c) An dem seben Fachwerk greifen nun die aus nachfogender Zeichnung zu entnehmenden Kräfte an. 9 F 10 8 y x 2F 5 B A 1 F

40 Frühjahr 2014 Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) Die Aufagerreaktionen sind dabei gemäß des vorgegebenen Koordinatensystems zu A x = 0, A y = 1 2 F, B x = F, B y = 3 2 F vorgegeben. Berechnen Sie die Stabkräfte S 2, S 3, S 4 und S 8. (4 Punkte) S 2 = 1 2 F S 3 = 1 2 F S 4 = 1 2 F S 8 = F

41 Frühjahr 2014 Aufgabe 2 (Seite 1 von 2) a) Das dargestete System besteht aus einem Baken (Masse m 1 ), wecher im Punkt C geenkig mit einem weiteren Stab (Masse m 2 ) verbunden ist und sich im Punkt A an einer reibungsbehafteten Wand (Haftreibungskoeffizient µ 0 ) abstützt. Des Weiteren ist am oberen Ende des Bakens eine dreieckförmige Scheibe (Masse m 3 ) starr mit diesem verbunden. g y m 1 x m 3 b a b BerechnenSiedieLager S = x S e x +y S e y des Massen-Schwerpunktes des Systems bezügich des vorgegebenen Koordinatensystems. (3,0 Punkte) A µ 0 C m 2 B b b b x S = [ 2b+a/3]m 3 y S = [m 3/3 2/2m2 ]b m 1 +m 2 +m 3 m 1 +m 2 +m 3 b) Das vorherige System ist nun dahingehend geändert worden, dass eine Kuge der Masse m 3 mittes einer Bohrung über das Ende des Bakens geschoben wurde. Die Lage des Massenschwerpunktes der Kuge kann dabei as identisch mit ihrem Mittepunkt angenommen werden. Die Masse m 2 ist in diesem Fa as vernachässigbar gegenüber m 1 und m 3 anzusehen (m 2 m 1,m 3 ). Erweitern Sie die nachfogende Zeichnung zu voständigen Freikörperbidern. (1,0 Punkte) A µ 0 g b m 1 C b m 3 m 2 0 B y b b x

42 Frühjahr 2014 Aufgabe 2 (Seite 2 von 2) m 3 g m 1 g C N C H B Berechnen Sie die von Ihnen angetragenen Reaktionskräfte. (3,0 Punkte) C = B = 1 2 [m 1 +2m 3 ]g N = 1 2 [m 1 +2m 3 ]g H = 1 2 m 1g Geben Sie die Bedingung für die Masse m 3 an, so dass an der Kontaktstee A Haftung besteht. (2,0 Punkte) m 3 1 µ 0 2µ 0 m 1 Lässt sich für diesen Fa eine Bedingung für Sebsthemmung abeiten und fas ja, wie autet diese? (1,0 Punkte) ja nein µ 0 1

43 Frühjahr 2014 Aufgabe 3 (Seite 1 von 3) a) Der dargestete Rahmen ist in den Punkten A und B wie dargestet geagert und wird durch die veränderiche Fächenast mit der Funktion ( x1 ) 2 2 ( x1 ) ] 3 q(x 1 ) = 3q 0 [1 + 3 A y 1 z 1 x 1 q(x 1 ) C z 2 y2 x2 beastet. Die Rahmenecke im Punkt C ist biegestarr und der Winke α ist as α = π/4 gegeben. α B /2 Die vertikae Komponente der Aufagerkraft im Punkt A ist bezügich des angegebenen Koordinatensystems durch A z1 = 26 q 15 0 gegeben. Berechnen Sie die Funktionen der Schnittgrößen Q(x 1 ) und M(x 1 ) im Bereich 0 x 1. (2,0 Punkte) Q(x 1 ) = 3q 0 x 1 + q 0x 3 1 q 0x q M(x 1 ) = 3q 0x q 0x q 0x q 0x Berechnen Sie die Aufagerreaktion B z1 im Punkt B in Richtung der vorgegebenen z 1 - Koordinate. (1,0 Punkte) B z1 = 23q 0 30

44 Frühjahr 2014 Aufgabe 3 (Seite 2 von 3) b) Das rechts dargestete System besteht aus einem geraden und einem abgewinketen Baken, wobei die Ecke im Punkt D as biegestarr anzusehen ist. Das System ist in den Punkten A und B wie dargestet geagert und die beiden Baken sind im Punkt C geenking miteinander verbunden. Der gerade Baken wird mit einer konstanten Linienast q 0 beastet, wohingegen der abgewinkete Baken einer inear veränderichen Linienast mit dem Maximawert q 0 ausgesetzt wird. y 1 z 1 A ȳ + x 1 x q 0 C /2 x 2 z 2 y 2 D q 0 B Die Aufagerreaktionen sind bezügich des { x, ȳ}-koordinantensystems wie fogt gegeben: y 1 x 1 A x z 1 C q 0 D q 0 A x = 5q 0 6 M A ȳ + x /2 B x x 2 z 2 y 2 M A = q B x = 1q 0 3 Bȳ Bȳ = q 0 Geben Sie die Randwerte der Schnittgrößen im Punkt D bezügich beider Bereiche an. (3,0 Punkte) N I (x 1 = 3/2) = 5/6q 0 Q I (x 1 = 3/2) = q 0 N II (x 2 = ) = q 0 Q II (x 2 = ) = 5/6q 0 M I (x 1 = 3/2) = 1/2q 0 2 M II (x 2 = ) = 1/2q 0 2

45 Frühjahr 2014 Aufgabe 3 (Seite 3 von 3) Zeichnen Sie quaitativ die Schnittgrößenveräufe unter Angabe der jeweiigen Werte an den Punkten A, B, C und D bezügich der Koordinaten x i,y i und unter Angabe des jeweiigen Poynomgrades p. (4,0 Punkte) N(x i ) 5q 0 6 5q 0 6 p = 0 q 0 p = 0 q 0 Q(x i ) q 0 q 0 0 p = 1 p = 0 5/6q 0 p = 2 1/3q 0 M(x i ) p = 2 0 p = 1 1/2q 0 2 1/2q 0 2 1/2q 0 2 p = 3 0

46 Frühjahr 2014 Aufgabe 4 (Seite 1 von 3) a) Das dargestete Bakensystem (Biegesteifigkeit E I) ist in Punkt A mit einem Festager verknüpft und in Punkt C fest eingespannt. Die beiden Teisysteme sind in Punkt B geenkig miteinander verbunden. Zudem greift in Punkt B eine Einzekraft F in vertikae Richtung an. Die axiae Verformung der Baken sei im Fogenden vernachässigbar (dehnstarr EA ). z 1 x 1 A F B C x 2 z 2 2 Geben Sie sämtiche kinematische (geometrische) Rand- und Übergangsbedingungen an, die zur voständigen Bestimmung der Biegeinie w(x i ) erforderich sind. Tragen Sie zur eindeutigen Indizierung die Biegeinienbereiche in obige Skizze ein und verweisen Sie eindeutig auf diese. Verdeutichen Sie zudem, auf weches Koordinatensystem sich Ihre Angaben beziehen. (3,5 Punkte) Bereich 1: 0 w 1 (x 1 ), Bereich 2: 0 w 2 (x 2 ) 2, Bereich 3: 2 w 3 (x 2 ) 3 w 1 (x 1 = 0) = 0, w 3 (x 2 = 3) = 0, w 3 (x 2 = 3) = 0, w 1 (x 1 = ) = 0, w 2 (x 2 = 0) = 0, w 1 (x 1 = ) = w 2 (x 2 = 0), w 2 (x 2 = 2) = w 3 (x 2 = 2)

47 Frühjahr 2014 Aufgabe 4 (Seite 2 von 3) b) Der dargestete, inksseitig eingespannte Baken (Biegesteifigkeit E I) wird mit der inear veränderichen Streckenast q(x) = q 0 [2 x/] beastet. Das Biegemoment ergibt sich bei voriegender Beastung zu [ x 3 M(x) = q 0 6 x2 + 3x ] q 0 z x q 0 BerechnenSiesowohdieVerdrehungdesBakensw (x)asauchdiebiegeiniew(x)fürdas gegebene System inkusive der Bestimmung aer Integrationskonstanten. (2,0 Punkte) w (x) = q 0 [ x4 EI 24 + x3 3 3x2 + 2x2 4 3 ] w(x) = q 0 [ x5 EI x4 12 x3 4 + x2 2 3 ] c) Der dargestete, inksseitig eingespannte Baken (Biegesteifigkeit E I) wird mit einer konstanten Streckenast q(x) = q 0 und einer Einzekraft F beastet. Die Biegeinie w(x) ergibt sich bei voriegender Beastung zu w(x) = 1 EI [q 0 x 4 24 q 0 ] x 3 6 +q x F x3 4 6 F x2 2. q 0 z x F

48 Frühjahr 2014 Aufgabe 4 (Seite 3 von 3) Wie groß muss die Kraft F sein, damit die Verschiebung des Kraftangriffspunktes von F geich Nu ist? (1,0 Punkte) F = 3q 0 8 Wie groß muss die Kraft F sein, damit die Tangente der Biegeinie am Kraftangriffspunkt von F horizonta veräuft? (1,0 Punkte) F = q 0 3 Geben Sie für diese Kraft die Durchbiegung des Kraftangriffspunktes an. (1,0 Punkte) w(x = ) = q EI Anwecher Stee trittdiebetragsmäßiggrößtedurchbiegung fürf = q 0 auf undwechen Wert hat diese? (1,5 Punkte) w max (x = ) = 5q EI

49 Frühjahr 2014 Aufgabe 5 (Seite 1 von 3) Der dargestete Querschnitt mit der einheitichen Wandstärke t a ist as dünnwandig anzunehmen. a a s 4 s 5 a/2 x a/2 y a/2 s 1 z s 3 a/2 s 2 a) Bestimmen Sie das Fächenträgheitsmoment I y des Querschnitts bezügich des eingezeichneten Schwerpunktskoordinatensystems. (1,0 Punkte) I y = 13 4 a3 t

50 Frühjahr 2014 Aufgabe 5 (Seite 2 von 3) b) Bestimmen Sie das statische Moment S y (s 1 ) bezügich der Koordinate s 1 für den Teibereich 0 s 1 a/2. (1,0 Punkte) S y (s 1 ) = 1 2 s 1t[a+s 1 ] Bestimmen Sie das statische Moment S y (s 2 ) bezügich der Koordinate s 2 für den Teibereich 0 s 2 a. (1,0 Punkte) S y (s 2 ) = 3 8 ta2 +s 2 ta Bestimmen Sie das statische Moment S y (s 3 ) bezügich der Koordinate s 3 für den Teibereich 0 s 3 2a. (1,0 Punkte) S y (s 3 ) = 11 8 ta2 +s 3 t [ a s 3 2 ] Bestimmen Sie das statische Moment S y (s 4 ) bezügich der Koordinate s 4 für den Teibereich 0 s 4 a. (1,0 Punkte) S y (s 4 ) = 11 8 ta2 s 4 ta Bestimmen Sie das statische Moment S y (s 5 ) bezügich der Koordinate s 5 für den Teibereich 0 s 5 a/2. (1,0 Punkte) S y (s 5 ) = 3 8 ta2 s 5 t [ a s 5 2 ]

51 Frühjahr 2014 Aufgabe 5 (Seite 3 von 3) c) Der dargestete zur ȳ-achse symmetrische Querschnitt mit der einheitichen Wandstärke t ist as dünnwandig anzunehmen (t a). Die in z-richtung wirkende Querkraft ist gegeben as Q und das Fächenträgheitsmoment des Querschnitts bezügich des Schwerpunkts ist gegeben as I y. Das statische Moment des rechten oberen Fansches für den Teibereich 0 s 1 b/2 ist zu S y (s 1 ) = 1 2 s 1t[b s 1 ] bestimmt worden. s 1 a ȳ x b z Bestimmen Sie die aus der Schubspannung resutierende Kraft F im rechten oberen Fansch für den Teibereich 0 s 1 b/2. (2,0 Punkte) F = Qtb3 24I y Geben Sie die ȳ-koordinate des Schubmittepunktes M bezügich des vorgegebenen ȳ, z- Koordinatensystems an. (2,0 Punkte) ȳ M = tb3 12I y

52 Frühjahr 2014 Aufgabe 6 (Seite 1 von 3) a) Der dargestete Rahmen (Biegesteifigkeit EI, Dehnsteifigkeit EA ) wird bei A und B von einem Losager und bei C von einer Schiebehüse gestützt. Zwischen den Punkten B und C greift eine konstante Linienast mit dem Wert q 0 an. Die Verbindungssteen sind as biegestarr anzunehmen. Verwenden Sie die angegebenen Koordinatensysteme x 1 - z 1, x 2 -z 2 und x 3 -z 3. A I x 1 z 2 z 1 x 2 II q 0 B x 3 III C z 3 Zeichnen Sie die Freikörperbider für das 0 -System und das 1 -System unter der Voraussetzung, dass das Aufagermoment in C as statisch Überzähige X gewäht wird. (2,0 Punkte) 0 -System A q 0 B C

53 Frühjahr 2014 Aufgabe 6 (Seite 2 von 3) 1 -System A B 1 C Bestimmen Sie die Momentenveräufe in den Teibereichen I, II und III für das 0 -System in Abhängigkeit der äußeren Beastung. (1,5 Punkte) M I 0 (x 1) = Ax 1 = 1 4 q 0x 1 M II 0 (x 2) = A = 1 4 q 0 2 M III 0 (x 3 ) = A(+x 3 ) 1 2 q 0x 2 3 = 1 4 q 0(+x 3 ) 1 2 q 0x 2 3 Bestimmen Sie die Momentenveräufe in den Teibereichen I, II und III für das 1 -System in Abhängigkeit der 1 -Last. (1,5 Punkte) M I 1(x 1 ) = Ax 1 = 1 2 x 1 M II 1 (x 2 ) = A = 1 2 M III 1 (x 3 ) = A(+x 3 ) = 1 2 (+x 3)

54 Frühjahr 2014 Aufgabe 6 (Seite 3 von 3) b) Für das in a) gegebene System ergeben sich für nicht näher spezifizierte äußere Beastungen die fogenden (fiktiven) Momentenveräufe in den Teibereichen I, II und III für das 0 -System ˆM I 0 (x 1) = 1 2 q 0x 1 ˆM II 0 (x 2) = 1 2 q 0 2 ˆM III 0 (x 3 ) = 2q 0 x 2 3 und für das 1 -System ˆM I 1(x 1 ) = 2 x 1 ˆM II 1 (x 2 ) = 2 ˆM III 1 (x 3 ) = 2 (+x 3) Berechnen Sie die Einfusszahen α 10 und α 11. (4,0 Punkte) α 10 = 1 ( 1 EI 3 q 0 3 +q ) 3 q 0 3 = 1 11 EI 3 q 0 3 α 11 = 1 ( ) EI 3 3 = 1 44 EI 3 Berechnen Sie die statisch Überzähige X. (1,0 Punkte) X = α 10 α 11 = 1 4 q 0 2

55 Frühjahr 2014 Aufgabe 7 (Seite 1 von 3) Das dargestete System besteht aus homogenen, starren Körpern, die durch dehnstarre Seie miteinander verbunden sind und sich im Schwerefed der Erde (Erdbescheunigung g) befinden. Die jeweiigen Massen, Massenträgheitsmomente und Abmessungen sind der Zeichnung zu entnehmen. Roe 2 wird von dem konstanten Drehmoment M 0 angetrieben. Der Haftreibungskoeffizient zwischen der Roe 1 weche zu aen Zeitpunkten schupffrei abrot und der schiefen Ebene (Neigungswinke α) beträgt µ 0. Das Massenträgheitsmoment der gesamten abgesetzen Roe 3 ist durch θ 3 gegeben. x 1 ϕ 2 g 1 m 1 ϕ 1 r 2 m 2 2 α r 1 µ 0 M 0 r 3 m 3, θ 3 3 ϕ 3 R 3 x 3 4 m 4 x 4 a) Tragen Sie im nachfogenden Bid sämtiche fehenden Kräfte bzw. Momente ein. Die Aufagersymboe soen in der Zeichnung beibehaten und nicht freigeschnitten werden. (1,5 Punkte) θ 2 ϕ 2 m 3 ẍ 3 θ 1 ϕ 1 S 1 S 4 S 2 S 3 S 1 M 0 m 2 g S 2 m 4 ẍ 4 m 1 ẍ 1 H 1 m 1 g N 1 θ 3 ϕ 3 m 3 g m 4 g S 3

56 Frühjahr 2014 Aufgabe 7 (Seite 2 von 3) b) Geben Sie die Impusbianz (Kräftesatz) der Roe 1 bezügich der der x 1 -Koordinate an. (1,0 Punkte) S 1 +H 1 m 1 g sin(α) m 1 ẍ 1 = 0 c) Geben Sie die Drehimpusbianz(Drasatz) der Roe 1 bezügich ihres Schwerpunktes und der ϕ 1 -Koordinate an. Spezifizieren Sie θ 1 mittes der gegebenen Größen. (1,0 Punkte) H 1 r m 1r 2 1 ϕ 1 = 0 d) Geben Sie die Drehimpusbianz(Drasatz) der Roe 2 bezügich ihres Schwerpunktes und der ϕ 2 -Koordinate an. Spezifizieren Sie θ 2 mittes der gegebenen Größen. (1,0 Punkte) M 0 +[S 2 S 1 ]r m 2r 2 2 ϕ 2 = 0 e) Geben Sie die Impusbianz (Kräftesatz) der Roe 3 bezügich der x 3 -Koordinate an. (1,0 Punkte) S 3 S 2 S 4 +m 3 g m 3 ẍ 3 = 0 f) Geben Sie die Drehimpusbianz (Drasatz) der Roe 3 bezügich ihres Schwerpunktes und der ϕ 3 -Koordinate an. (1,0 Punkte) S 4 R 3 S 2 r 3 θ 3 ϕ 3 = 0

57 Frühjahr 2014 Aufgabe 7 (Seite 3 von 3) g) GebenSie die Impusbianz (Kräftesatz) der Masse 4 bezügich der x 4 -Koordinatean. (1,0 Punkte) m 4 g S 3 m 4 ẍ 4 = 0 h) Geben Sie die (Winke-)Geschwindigkeiten ẋ 1, ϕ 1, ẋ 3, ϕ 3, ẋ 4 in Abhängigkeit von ϕ 2 an. (2,5 Punkte) ẋ 1 = r 2 ϕ 2 ϕ 1 = r 2 r 1 ϕ 2 ẋ 3 = R 3r 2 ϕ 2 R 3 +r 3 r 2 ϕ 3 = ϕ 2 R 3 +r 3 ẋ 4 = R 3r 2 R 3 +r 3 ϕ 2

58 Frühjahr 2014 Aufgabe 8 (Seite 1 von 2) Eine Punktmasse m befindet sich auf der dargesteten Bahn und wird aus der Ruhe durch eine vorgespannte Feder auf reibungsfreiem Untergrund bis zum Punkt A bescheunigt. Die geraden Abschnitte der Bahn sind reibungsbehaftet (Reibkoeffizienten µ 1 bzw. µ 2 ) während die kreisförmigen Abschnitte (Radien R 1 bzw. R 2 ) reibungsfrei sind. µ = 0 E y g α µ 2 D R 2 x c x m µ 1 ϕ R 1 C 2 N.N. µ = 0 A 1 B µ = 0 a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt A in Abhängigkeit der aufgebrachten Federstauchung x. v A = c m x Geben Sie weiterhin die Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt B in Abhängigkeit von x an, nachdem diese über den rauhen (Reibkoeffizient µ 1 ) Bahnabschnitt AB der Länge 1 gegitten ist. v B = c m [ x]2 2µg 1

59 Frühjahr 2014 Aufgabe 8 (Seite 2 von 2) b) Berechnen Sie den Betrag der Bahngeschwindigkeit v(ϕ) der Punktmasse im Verauf des ersten reibungsfreien Kreisbogens BC in Abhängigkeit des Winkes ϕ und einer as bekannt anzunehmenden Geschwindigkeit v B im Punkt B. Setzen Sie nicht die Geschwindigkeit v B aus dem vorigen Aufgabentei ein! v(ϕ) = v 2 B 2R 1g[1 cos(ϕ)] Geben Sie weiterhin die Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt D in Abhängigkeit von v B an, nachdem diese über den rauhen (Reibkoeffizient µ 2 ) Bahnabschnitt CD der Länge 2 gegitten ist. v D = v 2 B 2g[R 1[1 cos(ϕ)]+ 2 sin(α)+ 2 µ 2 cos(α)] c) Die beiden Bahnabschnitte AB und CD seien nun as reibungsfrei (µ 1 = µ 2 = 0) anzunehmen, die Punktmasse wird nochmas mit der Feder am Anfang der Bahn bescheunigt. Berechnen Sie die Vorspannkraft der Feder F 0 so, dass die Punktmasse im oberen Kreisbogen DE (Radius R 2 ) nicht von der Bahn abhebt. c v D = m [ x]2 2g[R 1 [1 cos(ϕ)]+ 2 sin(α) }{{} F 2 0 cm mit mv 2 D R 2 mg cos(α) F 0 = cmg[r 2 cos(α)+2[r 1 [1 cos(ϕ)]+ 2 sin(α)]]

60 Frühjahr 2014 Aufgabe 9 (Seite 1 von 3) Im dargesteten System wird ein Körper der Masse m reibungsfrei in einer Nut geführt und ist durch eine Feder (Federsteifigkeit c) und einen Dämpfer (Dämpfungskonstante d) innerhab der Nut gestützt. Über eine starre, masseose Stange der Länge ist der Körper mit einer drehbaren Scheibe (Radius R, Masse M) exzentrisch (Exzentrizität e) verbunden. Die Feder ist in der Lage ϕ = 0 ungespannt. Die Erdbescheunigung ist zu vernachässigen. c ϕ m x d e R M a) Bestimmen Sie mittes der gegebenen Größen die kinetische und potentiee Energie des Gesamtsystems. Verwenden Sie dazu die Koordinaten ϕ und x. (2,0 Punkte) E kin = 1 2 MR2 ϕ mẋ2 E pot = 1 2 cx2

61 Frühjahr 2014 Aufgabe 9 (Seite 2 von 3) b) Bestimmen Sie die virtuee Arbeit δw der nichtkonservativen Lasten in Abhängigkeit der Koordinate x. (1,0 Punkte) δw = ẋdδx c) Geben Sie die kinematische Beziehung der Koordinate x as Funktion von ϕ für große Ausenkungen an. (2,5 Punkte) x(ϕ) = ( 1 ) 1 e2 2 sin2 ϕ +e(1 cosϕ) mit cos(arcsin(a)) = 1 a 2 d) In dem unten dargesteten System rot eine Scheibe (Masse M, Radius R) schupffrei auf dem Untergrund ab. Eine Feder (Federsteifigkeit c) ist exzentrisch (Exzentrizität e) an der Scheibe angebracht. An ihrem äußeren Rand ist die Scheibe des Weiteren mit einem Dämpfer (Dämpfungskonstante d) verbunden. In der dargesteten Ruheage der Scheibe ( ϕ = 0) ist die Feder ungespannt. Die Erdbescheunigung ist zu vernachässigen. ϕ d e y x R M c

62 Frühjahr 2014 Aufgabe 9 (Seite 3 von 3) Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentiageichung des Systems bezügich der Koordinate ϕ unter der Annahme keiner Ausenkungen. Geben Sie unbedingt wesentiche Zwischenschritte an, weche zur Lösung der Aufgabe notwendig sind. (3,5 Punkte) ϕ+ ϕ 8d 3M +ϕ 2ce2 3R 2 M = 0 Wie auten die Eigenkreisfrequenz ω 0 und der Abkingkoeffizient δ des Systems? (1,0 Punkte) ω 0 = 2ce 2 3R 2 M δ = 4d 3M

63 Frühjahr 2014 Aufgabe 10 (Seite 1 von 3) Der obere Baken (Länge 2, Biegesteifigkeit EI 1 ) des dargesteten Bakensystems wird von einer inear ansteigenden Streckenast q(x 1 ) mit dem Maximawert q 0 beastet. Der untere Baken (Länge 3, Biegesteifigkeit EI 2 ) wird bei x 2 = 3 von einer Feder (Federkonstante c) gestützt. Die Feder ist entspannt, wenn das Gesamtsystem unbeastet ist. Ae Baken sind dehnstarr (EA ), der vertikae Verbindungsstab ist zudem auch biegestarr (EI ). z 2 x 2 x 1 z 1 3,EI 2 II I 2,EI 1 q 0 EI EA c a) Geben Sie sämtiche kinematische Rand- und Übergangsbedingungen zur eindeutigen Bestimmung der Biegeinien-Funktionen w I (x 1 ) und w II (x 2 ) an. (2,5 Punkte) w I (x 1 = 0) = 0 w II (x 2 = 0) = 0 w I (x 1 = 0) = 0 w I (x 1 = 2) = w II (x 2 = 3) w I(x 1 = 2) = w II(x 2 = 3) = 0

64 Frühjahr 2014 Aufgabe 10 (Seite 2 von 3) b) Spezifizieren Sie die Federkraft F c in Abhängigkeit der Bakenverschiebung an der Federangriffsstee x 2 = 3. Geben Sie zudem die konkrete Funktionfür q(x 1 ) an. (1,0 Punkte) F c = cw II (x 2 = 3) q(x 1 ) = q 0 2 x 1 c) Bestimmen Sie das Potentia Π i der inneren Lasten. Hinweis: Integrae soen nicht geöst werden und die Verschiebungsfunktionen w I (x 1 ) und w II (x 2 ) soen nicht weiter spezifiziert werden. (1,5 Punkte) Π i = 1 2 ˆ2 0 EI 1 [w I(x 1 )] 2 dx ˆ3 EI 2 [w 2 II(x 2 )] 2 dx cw2 II(x 2 = 3) 0 Bestimmen Sie nun das Potentia Π a der äußeren Lasten. (1,5 Punkte) ˆ2 Π a = q(x 1 )w I (x 1 )dx 1 0

65 Frühjahr 2014 Aufgabe 10 (Seite 3 von 3) d) Für ein anderes, nicht näher spezifiziertes System ist das Gesamtpotentia Π = ˆ EI[w (x)] 2 dx F w() und die Randbedingungen w(x = 0) = 0 und w (x = 0) = 0 gegeben. Ein mögicher Ritz-Ansatz autet w(x) = b 0 +b 1 x+b 2 x 2. Bestimmen Sie zwei der Ansatz-Freiwerte durch Auswertung der Randbedingungen.(1,0 Punkte) w(0) = 0 b 0 = 0 w (0) = 0 b 1 = 0 Bestimmen Sie den verbiebenen Freiwert mittes des Rayeigh-Ritz-Verfahrens. Hinweis: wichtige Zwischenschritte bitte ebenfas in das Kästchen eintragen.(2,5 Punkte) Mit w(x) = b 2 x 2 w (x) = 2b 2 x w (x) = 2b 2 fogt Π = 1 ˆ 2 EI 4b 2 2 dx F b 2 2 = 1 2 EI 4b2 2 F b 2 2 und 0 Π b 2 = 0 = 4EIb 2 F 2 b 2 = F 4EI

66 Frühjahr 2014 Aufgabe 11 (Seite 1 von 3) DiedargesteteHabkreisscheibe (Dicket) wirdaufder Innenseite (Oberfäche Ω 0 )durch die konstante Fächenast p 0 und an der Oberfäche Ω 1 durch die konstante Fächenast p 1 beastet. p 1 O Ω 1 ϕ r i p 0 Ω 0 r a r a) Bestimmen Sie sämtiche Verschiebungs- und Spannungsrandbedingungen im angegebenen Poarkoordinatensystem (r, ϕ). (4,0 Punkte). Verschiebungsrandbedingungen: u r (r,ϕ = π) = 0 u ϕ (r,ϕ = π) = 0 Spannungsrandbedingungen: Ω 0 : σ rr (r = r i,ϕ) = p 0 σ rϕ (r = r i,ϕ) = 0 Ω 1 : σ ϕϕ (r,ϕ = 0) = p 1 σ rϕ (r,ϕ = 0) = 0 Ω 2 : σ rr (r = r a,ϕ) = 0 σ rϕ (r = r a,ϕ) = 0

67 Frühjahr 2014 Aufgabe 11 (Seite 2 von 3) Die Habkreisscheibe (Innenradius r i = R, Außenradius r a = 2R, Dicke t, Zeichnung nicht maßstäbich) wird nun durch zwei entgegengesetzt wirkende Momente M 0 beastet. M 0 M 0 O Ω 1 ϕ r i r a Ω 0 r b) Die Airysche Spannungsfunktion für diese Probemsteung ist durch F = C 1 r 2 nr +C 2 r 2 C 3 nr+c 4 gegeben. Hierbei sind C 1, C 2, C 3 und C 4 nicht weiter spezifizierte Konstanten. Für die Spannungskomponenten σ rr und σ ϕϕ des ebenen Spannungszustands git σ rr = 2C 1 nr +2C 2 C 3 r +C 2 1 σ ϕϕ = 2C 1 nr +2C 2 + C 3 r +3C 2 1 Bestimmen Sie die Spannungskomponente σ rϕ. (1,0 Punkte). σ rϕ =0

68 Frühjahr 2014 Aufgabe 11 (Seite 3 von 3) Bestimmen sie des Weiteren mittes des Cauchy-Postuats den Spannungsvektor t 1 auf dem Rand Ω 1. Geben Sie ebenfas die Randbedingungen für die Ränder Ω 0 und Ω 1 an. Nennen Sie auch soche Randbedingungen, weche im Mitte erfüt sein müssen. (3,0 Punkte). t 1 = σ ϕϕ e ϕ = 2C 1 nr 2C 2 C 3 r 2 3C 1 Randbedingungen: Ω 0 : Ω 1 : σ rr (r = R,ϕ) = 0 σ rϕ (r = R,ϕ) = 0 t ˆ 2R t R ˆ 2R R σ ϕϕ dr = 0 σ ϕϕ rdr = M 0 Geben Sie die Größe des Einzemomentes M 0 in Abhängigkeit von R, t und den Konstanten C 1, C 2, C 3, C 4 an. Geben Sie wichtige Zwischenschritte für die Berechnung des Endergebnisses an. Nutzen Sie dafür den Patz im unteren Kästchen. (2,0 Punkte) Hinweis: xnx = x2 4 ( 1+2nx) M 0 = t[c 1 R 2 (4 n(2r) n(r))+3c 2 R 2 +C 3 (n(2r) n(r))+3c 1 R 2 ]

69 Frühjahr 2014 Aufgabe 12 (Seite 1 von 3) Das dargestete System besteht aus 3 Teistäben. Am Punkt B, wecher sich genau in der Mitte von Stab 1 (Masse m 1, Länge 1 ) befindet, ist Stab 2 (Masse m 2, Länge 2 ) geenkig angebracht. Zusätzich sind an diesem Punkt die Stäbe 1 und 2 über eine Drehfeder der Drehsteifigkeit c T miteinander verbunden. AmPunkt Cgreift eine horizontaekraftf an, währendder horizontaebaken(masse m 3,Länge 3 ) durcheinefeder der Federsteifigkeit czwischen denpunktendundeabgestütztwird. DieFedernsindfürq 1 = π/2undq 2 = 0 ungespannt. A q 1 y m 1, 1 B c T g x q 2 m 2, 2 m 3, 3 F c E N.N C D a) Steen Sie das Gesamtpotenzia Π des Systems in Abhängigkeit der Freiheitsgrade q 1 und q 2 auf. Fassen Sie die einzenen Terme nicht zusammen. (4,0 Punkte) 1 [ π 2 Π = 2 c T q 2 +( 1)] 2 q c2 1[cos(q 1 )] 2 [ 1 m 2 g 2 sin(q 1) ] 2 2 cos(q 2) F c 1 cos(q 1 ) [ ] 1 + m 1 g 2 sin(q 1) +

70 Frühjahr 2014 Aufgabe 12 (Seite 2 von 3) b) Für ein anderes, nicht näher spezifiziertes System ist das Gesamtpotenzia Π durch Π = M 0 q 1 + mg q mg 2 sin(q 1)[ sin(q 1 ) 2q 2 ] in Abhängigkeit eines eingeprägten Momentes M 0 und der Freiheitsgrade q 1 und q 2 gegeben. Die Geichgewichtsage des Systems so dabei für q 1 = π/4 bestehen. Geben Sie die Bedingungen für q 2 und M 0 an, so dass der angegebene Wert für q 1 tatsächich einen Geichgewichtszustand beschreibt. (3,0 Punkte) q 2 = 4 2 M0 = mg ( 1 ) 2 4 Abschießend so nun die Stabiität dieser Geichgewichtsage charakterisiert durch die angegebenen Werte für q 1 sowie Ihr Ergebnis für q 2 und M 0 anaysiert werden. Geben sie die dazu notwendige(n) und auf die Aufgabensteung spezifizierte(n) Größe(n) an und kassifizieren Sie die Art der vorgegebenen Geichgewichtsage unter Angabe einer eindeutigen Begründung. (3,0 Punkte) Hinweis: Das nachfogende Kästchen(Fortsetzung auf nächster Seite) wird mit 0 Punkten gewertet, sote edigich die Art der Geichgewichtsage genannt werden. 2 Π q 1 q 1 = mg ( ) Π = 2mg q 2 q 2 2 Π 2 = mg q 1 q Π q 1 q 1 A = 2 Π q 2 q 1 A 11 = mg 2 Π q 1 q 2 2 Π q 2 q 2 ( ) ( ) 2+1 mg = 4 2 mg 2 2 mg 2 2mg > 0; det(a) = m 2 g > 0 = stabie Geichgewichtsage

71 Frühjahr 2014 Aufgabe 12 (Seite 3 von 3)

72 Herbst 2013

73 Herbst 2013 Aufgabe 1 (Seite 1 von 2) Das unten dargestete Fachwerk ist in den Punkten A und B geagert und wird wie gezeigt durch Einzekräfte F 1 bis F 2 beastet. Die vertikae und horizontae Einheitsänge des Fachwerks beträgt. 1 F 2 y x A B 45 F 1 a) Berechnen Sie die Aufagerreaktionen in den Punkten A und B für F 1 = F 2 = F bezügich des vorgegebenen Koordinatensystems. A x = 0 A y = 0 B x = F B y = F (or B y = B x or B y = B x )

74 Herbst 2013 Aufgabe 1 (Seite 2 von 2) b) Geben Sie die Nummern aer Stäbe an, die auf Grundage gängiger Kriterien direkt as Nustäbe identifiziert werden können (keine Rechnung). Hinweis: Die Angabe fascher Stäbe führt zu Punktabzug. 1, 2, 8, 12, 16, 17, by computing, 14 and 15 are aso zero, NOT wrong c) Die äußeren Kräfte sind nun zu F 1 = F, F 2 = 2F sowie die daraus resutierenden Aufagerreaktionen zu A x = 1 2 F, A y = 1 2 F, B x = 3 2 F, B y = 3 2 F vorgegeben. Berechnen Sie die Stabkräfte S 5, S 6, S 9 und S 15. S 5 = F S 6 = F S 9 = 2 2 F S 15 = 0