Platten - Grundlagen ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorlesung Stahlbeton II 1

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1 Patten - Grundagen ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II 1

2 Patten - Grundagen Fächentragwerke agemein Patten ten primär senkrecht zur Ebene beastet Scheiben Scheiben primär in Ebene beastet Schaen Scheiben/Schaen gekrümmte Mittefäche Fatwerke aus ebenen Teifächen gebidet ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II Fächentragwerke assen sich in fogende Kategorien einordnen, wobei diese nach Tragwirkung und geometrischer Form charakterisiert werden: Patten tragen primär senkrecht zu ihrer Ebene wirkende Lasten ab. Somit herrscht hauptsächich ein Biegezustand mit Biege- und Drimomenten sowie Querkräften vor. Der Membranspannungszustand mit Scheibenkräften ist vernachässigbar. Patten sind das häufigste Konstruktionseement im Hochbau, kommen aber auch sonst oft vor: Fahrbahnpatten von Brücken, Wände/Decke/Bodenpatten von Tagbautunnes etc. Scheiben tragen primär in ihrer Ebene wirkende Lasten ab. Der Membranspannungszustand ist vorherrschend, während der Biegezustand vernachässigbar ist. Tpische Beispiee sind Wände im Hochbau (Abtrag von Vertikakräften und ggf. Schubkräften in der Wandebene bei aussteifenden Wänden) sowie Stege von Trägern (Abtrag der Querkraft durch Kräfte in Scheibenebene). Fächentragwerke mit einfach oder doppet gekrümmter Mitteebene werden as Schaen (shes) bezeichnet. Sie erauben beispiesweise die Abtragung von vertika wirkenden Lasten, bspw. des Eigengewichts, über reine Druckmembrankräfte, sofern die Form des Tragwerks der umgedrehten Ketteninie entspricht. Man spricht dann von Schaen- oder Gewöbewirkung. Links unten sind Betonschaen von Heinz Iser (Autobahnraststätte Deitingen) abgebidet, deren Geometrie eperimente aus hängenden Tüchern ermittet wurde. Diese «natüriche» Form eraubt die Überspannung von rund 30 m bei einer Schaendicke von nur 10 cm. Fatwerke sind aus mehreren Teifächen aufgebaut, weche jeweis an ihren Kanten miteinander verbunden sind. Ergänzende Bemerkung - Die Scheibentragwirkung (Membrankräfte) ist in der Rege wesentich steifer as die Pattentragwirkung (Biegung), weshab beispiesweise bei der Berechnung von Gebäudekernen nur die Scheibentragwirkung der Wände berücksichtigt wird. - Weiterführende Angaben zu Schaen siehe Voresung Fächentragwerke (Masterstudium).

3 Patten - Grundagen Tragwerksanase / Berechnungsmethoden - Übersicht Eastische Pattentheorie Pastische Pattentheorie Statische Methode der Pastizitätstheorie Kinematische Methode der Pastizitätstheorie Lösung der Pattendifferentiageichung Methode der Finiten Eemente Momentenansätze Fiessgeenkinienmethode Approimative Lösungen mit Energieverfahren Methode der stevertretenden Rahmen Streifenmethode einfach erweitert ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II 3 In diesem Kapite wird die Tragast dünner Patten mit keinen Durchbiegungen untersucht. Dabei wird idea pastisches Materiaverhaten vorausgesetzt, ohne auf Fragen des Verformungsbedarfes und des Verformungsvermögens näher einzugehen. Da Patten in der Rege eher schwach bewehrt sind, besteht diesbezügich gewöhnich wenig Anass zu Bedenken. Patten sind die am weitesten verbreitete Anwendung der Stahbetonbauweise. Ihrer Bedeutung entsprechend werden sie in diesem Kapite eingehend behandet. Zunächst werden die grundegenden statischen Beziehungen aufgestet, aus denen schiessich die Fiessbedingungen hergeeitet werden können. In der Prais werden heutzutage für die Ermittung der Beanspruchung meist numerische Verfahren, insbesondere die Methode der finiten Eemente, angewendet. Für Pausibiitätskontroen eignen sich entsprechende Näherungsverfahren wie bspw. die Methode der stevertretenden Rahmen. In der pastischen Pattentheorie werden zur Ermittung der Tragast statische und kinematische Berechnungsmethoden verwendet. Für die Bemessung wird meist nur der Biegezustand der Patte betrachtet. Der Einfuss der Querkräfte wird normaerweise nur bei konzentrierten Kräften und Stützen massgebend (Durchstanzen).

4 Ebene Eemente - Spannungsresutierende Patten - Grundagen n dz dz z dz dz dz z dz m m n v n n v m m h/ h/ h/,, knm/m=kn m z dz m z dz m m z dz h/ h/ h/ h/ h/ z, kn/m v dz v dz z h/ h/ h/ h/ h/,, kn/m n dz n dz n n dz h/ h/ h/ Biegespannungszustand (Patte): Biegemomente und Querkräfte Membranspannungszustand (Scheibe): Membrankräfte (Norma- /Schubkräfte) ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II 4 Die in den Schnittfächen eines Patteneementes angreifenden Spannungen können zu Spannungsresutierenden gemäss der Abbidung zusammengefasst werden. Die Biege- und Drimomente sowie die Querkräfte biden den Biegespannungszustand; die Membrankräfte den Membranspannungszustand. Im fogenden werden primär senkrecht zur ihrer Mittefäche beanspruchte Patten betrachtet, in wechem ein Biegespannungszustand vorherrscht. Membrankräfte können deshab vorerst ausser acht geassen werden. NB: Anaog der Bakentheorie wird z = 3 vernachässigt. In jeder Ebene z = const. herrscht somit ein ebener Spannungszustand. NB: Engische Ausdrücke («driing») - Biegemoment: bending moment Drimoment: twisting moment (auch: torsiona moment) (Patten-)Querkraft: out of pane shear force Membrannormakraft: Membranschubkraft: Biegung: Driung: (in-pane) norma force in-pane shear force bending torsion

5 Ebene Eemente - Spannungsresutierende Patten - Grundagen h/ h/ h/ m z dz, m z dz, m m z dz h/ h/ h/ h/ h/ v dz, v dz z z h/ h/ h/ h/ h/ n dz, n dz, n n dz h/ h/ h/ Vorzeichenkonvention Positive Spannungen wirken an Eementen mit positiver äusserer Normaenrichtung in positiver Achsenrichtung Positive Membran- und Querkräfte entsprechen positiven zugehörigen Spannungen Positive Momente entsprechen positiven zugehörigen Spannungen für z > 0 Indizes: 1. Inde: Richtung der Spannung. Inde: Normaenrichtung des Eements, an dem Spannung wirkt ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II 5 Für Spannungen und Spannungsresutierende werden die in der Abbidung iustrierten Vorzeichenkonventionen verwendet. Danach wirken positive Spannungen an Eementen mit positiver äusserer Normaenrichtung in positiver Koordinatenrichtung; für Normaspannungen bedeutet dies, dass Zugspannungen positiv sind. Positive Membran- und Querkräfte entsprechen positiven Spannungen, und positive Momente entsprechen positiven Spannungen nach obenstehender Definition für positive Werte der Koordinate z. Bei doppeten Indizes steht jeweis der erste Inde für die Richtung, in wecher die Spannung wirkt, während der zweite Inde die Normaenrichtung des Fächeneementes bezeichnet, an wechem die Spannung angreift (sind beide Indizes identisch, wird einer weggeassen).

6 Patten Statische Beziehungen ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II 6

7 Patten Geichgewicht Geichgewichtsbedingungen kartesische Koordinaten Pattengeichgewichtsbedingung: m m m q 0 Baken in -Richtung zusätzich: Drimomente Baken in -Richtung Hereitung über Geichgewicht am differentieen Patteneement: v v v d v d v d d v d d q dd 0 m m md md m d d m d d vdd 0 m m md md m d d m d d vdd 0 Terme mit (d) bzw. (d) vernachässigt v v q 0 m m v 0 m m v ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II 7 Das Geichgewicht der angreifenden Kräfte und Momente am Patteneement führt zu drei Geichungen. Durch Einsetzen der zweiten und dritten Geichung in die erste ergibt sich die Geichgewichtsbedingung für Patten in kartesischen Koordinaten.

8 Patten Geichgewicht Geichgewichtsbedingungen Zinderkoordinaten rm m m q 0 r r r r r r rm r r Hereitung über Geichgewicht am differentieen Patteneement: rv r v qr 0 r rm r r mr m rvr 0 mr m mr r rv 0 r Bzw. für rotationssmmetrische Fäe: rm r r r m qrdr ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II 8 Bei rotationssmmetrischen Patten (Geometrie und Beastung) verschwinden die Drimomente m r = m r und die Querkräfte v ; ae Grössen sind zudem definitionsgemäss unabhängig vom Winke.

9 Patten Geichgewicht Spannungstransformation: Biege- und Drimomente Biege- und Drimomente in einer beiebigen Richtung : m m m m n cos sin sin m m m m t sin cos sin mtn m m sin cosm cos NB: sin sincos, cos cos sin Hauptrichtung 1 (Drimomente = 0) und Hauptmomente ( Mohr scher Kreis): m tan 1 m m m 1, m m 4m m m ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II 9 Das Momentengeichgewicht an den in der Abbidung dargesteten Patteneementen führt zu Beziehungen, weche as Transformationsformen für Biege- und Drimomente dienen. Es können beiebige Schnitte mit der Normaen n, deren Richtung durch den Winke festgeegt ist, betrachtet werden. Sie assen sich mithife eines Mohrschen Kreises darsteen; Drimomente werden hier (nur für die Konstruktion des Mohr schen Kreises) positiv gerechnet, wenn der ihnen entsprechende positive (rechtsdrehende) Momentenpfei in Richtung des betrachteten Schnittrandes weist. Die Hauptrichtung, für weche die Drimomente verschwinden, m tn = 0, sowie die zugehörigen Hauptmomente m 1 und m in den entsprechenden Richtungen können sowoh grafisch im Mohr schen Kreis as auch anatisch bestimmt werden.

10 Patten Geichgewicht Spannungstransformation: Querkräfte Querkräfte in einer beiebigen Richtung : v v cos v sin n v v sin v cos t Hauptquerkraft und zugehörige Richtung 0 (Interpretation mit Thaeskreis): v v v v tan 0 v 0 (agemein ist 0 1 ) ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II 10 Anaog zu den Momenten kann auch das Geichgewicht der vertikaen Kräfte an den abgebideten Patteneement aufgestet werden. Dies führt zu Transformationsregen für Querkräfte an einem beiebigen Schnitt mit der Normaen n, deren Richtung durch den Winke festgeegt ist. Die trigonometrischen Funktionen assen sich mithife eines Thaeskreises deuten. An jeder Stee der Patte wird eine Hauptquerkraft v 0 in Richtung 0 übertragen. Senkrecht zu dieser Richtung wird keine Querkraft abgetragen. Die Hauptrichtungen der Querkräfte und der Momente faen nur in Speziafäen zusammen, agemein ist 0.

11 Randbedingungen agemein (eastische Patten) Patten Randbedingungen Am Rand einer Patte greifen agemein Momente m n, m tn und eine Querkraft v n an. Inhomogene Bipotentiageichung gemäss Kirchhoffscher Theorie dünner eastischer Patten mit keinen Durchbiegungen: w w w w q mit D Eh 4 4 D 1(1 ) dabei sind nur Randbedingungen an die Lösung anpassbar jedoch 3 Kraftgrössen vorhanden (m n, m tn, v n ) zusätziche Bedingung erforderich Kräfte am Pattenrand Weitere Bedingung für einfach geagerte und freie Pattenränder: Ersetzen der Drimomente m tn dt durch stetige Verteiung von vertikaen Kräftepaaren m tn, weche sich an den Grenzen zwischen den infinitesimaen Eementen jeweis bis auf den Zuwachs m tn,t dt aufheben Kräftepaare ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II 11 Am Rand einer Patte greifen agemein ein Biegemoment m n, ein Drimoment m tn und eine Querkraft v n an. Nach Kirchhoff erhät man für dünne eastische Patten mit keinen Durchbiegungen eine inhomogene Bipotentiageichung für die Durchbiegungen der Patte, deren Lösungen sich nur zwei Randbedingungen anpassen assen. Deshab wird bei der Behandung von einfach geagerten und freien Pattenrändern eine weitere Bedingung eingeführt. Die Drimomente m tn werden dabei durch eine stetige Verteiung von vertikaen Kräftepaaren ersetzt, wobei sich an den Grenzen zwischen den infinitesimaen Eementen der Länge dt die Kräfte bis auf den Zuwachs m tn,t dt aufheben.

12 Randbedingungen agemein (eastische Patten) mtn mn mnt vn t n t Patten Randbedingungen Zuwachs pro Längeneinheit dm tn / dt wird mit der Querkraft v n zu einer Stützkraft zusammengefasst (Hereitung mit Geichgewichtsbeziehung m m v 0 ) In einer Pattenecke addieren sich die Drimomente der beiden Ränder zu einer Eckkraft von m tn Stützkraft Diese Behandung von Drimomenten am Pattenrand geht auf Thomson und Tait (1883) zurück und ässt sich mit dem Prinzip von de Saint Venant «begründen». Eckkraft ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II 1 Der Zuwachs pro Längeneinheit m tn,t wird nun mit der Querkraft v n zu einer Stützkraft v n +m tn,t = m n,n +m nt,t zusammengefasst. Die beschriebene Behandung von Drimomenten am Pattenrand geht auf Thomson und Tait (1883) zurück und ässt sich mit dem Prinzip von de Saint Venant begründen.

13 Patten Randbedingungen Randbedingungen auf der Basis von Geichgewichtsüberegungen Statische Methode der Pastizitätstheorie Erkärung mit Tragwirkung im Bereich von Pattenrändern, weche nur auf Geichgewichtsüberegungen beruht: Aus Geichgewicht in einer schmaen Randzone der Patte fogt die Randquerkraft: V t -m tn sofern: Pattenrand ist spannungsfrei und die in der Randzone auftretenden Spannungen t ändern sich nicht in t-richtung (Cde, 1979). Aus der Randquerkraft V t -m tn fogen die Eckkräfte m tn und der Beitrag von m tn,t zur Stützkraft Querkraft in Randzone Stützkraft Eckkraft ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II 13 Aus der Sicht der statischen Methode der Pastizitätstheorie ist jedoch eine Erkärung der Tragwirkung im Bereich von Pattenrändern vorzuziehen, weche nur auf Geichgewichtsüberegungen beruht. Dies ist in der Abbidung iustriert. In einer schmaen Randzone der Patte muss aus Geichgewichtsgründen eine Randquerkraft V t =-m tn eisitieren, sofern der Pattenrand spannungsfrei ist und die in der Randzone auftretenden Spannungen t sich in t-richtung nicht ändern. Aus der Eistenz der Randquerkräfte V t fogen die Eckkräfte m tn und der Beitrag m tn,t der Drimomente zur Stützkraft.

14 Patten Randbedingungen Randbedingungen auf der Basis von Geichgewichtsüberegungen Randbedingungen auf Basis von Geichgewichtsüberegungen: eingespannter Rand: m n, m tn und v n beiebig einfach geagerter Rand: m n = 0, resutierende Stützkraft: mtn mn mnt vn t n t freier Rand: m n = 0, verschwindende Stützkraft: mtn mn mnt vn 0 t n t Stützkraft ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II 14 Die entsprechenden Randbedingungen assen sich wie in der Abbidung angegeben zusammenfassen. Diese fogen aus reinen Geichgewichtsbetrachtungen und sind somit für beiebiges Materiaverhaten gütig. Für dünne eastische Patten können strengere Randbedingungen formuiert werden, weche jedoch für die Behandung nach der Pastizitätstheorie nicht reevant sind.

15 Patten Randbedingungen Randbewehrung Werden entang von einfach geagerten und freien Rändern Drimomente in Rechnung gestet, so ist eine Bewehrung zur Aufnahme von V t -m tn anzuordnen. Veranschauichung (Ecke, reine Driung): Ober- und Unterseite: zueinander senkrechte, unter 45 zu den Pattenrändern geneigte Betondruckstreben, Aufnahme der randnormaen Komponenten durch randparaee Bewehrung Komponenten in Richtung der Pattenränder werden durch geneigte Betondruckstreben in den Randstreifen weitergeeitet; Vertikakomponenten entsprechen den Randquerkräften V t -m tn Aufnahme von V t -m tn mit Steckbügen oder entsprechender Abbiegung der Biegebewehrung Querkraft in Randzone Kraftfuss in Pattenecke m nt ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II 15 Die Randquerkräfte sind bei der Ausbidung der Bewehrung entang von einfach geagerten und freien Rändern von Stahbetonpatten zu berücksichtigen. Die Abbidung zeigt den Kraftfuss einer auf reine Driung beanspruchten Rechteckpatte, wecher mit einem Fachwerkmode dargestet werden kann. An der Pattenoberseite und an der Pattenunterseite biden sich zueinander senkrechte, unter 45 zu den Pattenrändern geneigte Betondruckstreben aus, deren Komponenten in Richtung der Randnormaen durch randparaee Bewehrung aufgenommen werden. Die Komponenten in Richtung der Pattenränder werden über geneigte Betondruckstreben in den Randstreifen weitergeeitet, deren Vertikakomponente wecher den Randquerkräften entspricht über eine Bewehrung aufgenommen werden muss. Diese kann mit Steckbügen oder durch entsprechende Abbiegung der Biegebewehrung reaisiert werden. Man erkennt auch, dass sich die Randquerkräfte in der Pattenecke nicht aufheben, sondern zu einer Eckkraft m nt addieren.

16 Patten Randbedingungen Diskontinuitäten Im Patteninnern sind statische Diskontinuitätsinien zuässig ( Äquivaenz von Drimomenten am Pattenrand und Randquerkräften, man füge in Gedanken zwei freie Pattenränder zusammen). An Diskontinuitätsinien müssen Biegemomente m n stetig sein (m + n = m n- ) dürfen Drimomente m nt und Querkräfte v n springen (m + nt m nt-, v + n v n- ) Somit geten für eine statische Diskontinuitätsinie, entang wecher eine Querkraft V t abgetragen wird, fogende Bedingungen: m n m n V m m t nt nt Vt t v n v n Diskontinuität ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II 16 Fügt man in Gedanken zwei Patten an ihren freien Rändern zusammen (man beachte, dass Pattenränder Diskontinuitäten darsteen, an denen i.a. ein Biegemoment m n, ein Drimoment m tn und eine Querkraft v n angreift!), so kann aus der Äquivaenz von Drimomenten am Pattenrand und Randquerkräften gemäss der Randquerkraft V t = -m tn darauf geschossen werden, dass an statischen Diskontinuitätsinien im Patteninnern die Biegemomente m n stetig veraufen müssen, die Drimomente m nt und die Querkräfte v n hingegen springen dürfen. Dabei müssen an einer statischen Diskontinuitätsinie, entang wecher eine Querkraft V t abgetragen wird, die Beziehungen gemäss der Abbidung erfüt sein.

17 Patten Randbedingungen Randbedingungen Beispie 1 (Geichgewichtsösung) Gegeben: Quadratpatte unter Fächenast q mit Ansätzen für Biegemomente m, m und Drimoment m q m 1 m u m 1 m u m m u m m m 4mu Geichgewicht: q 0 q Gesucht: Schnittkraftveräufe am Pattenrand, Stützkraft, Eckkraft, Lagerung der Patte, 6m u Drimoment entang Pattenrand: m m mu u + Querkraft entang Pattenrand: m m aus v 0 fogt: v m u m u mu + m u - m Stützkraft: v mu m u mu - m u Eckkraft: m m u u m m m v ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II 17 Das erste Beispie behandet eine Quadratpatte mit Seitenänge unter einer geichmässigen Fächenast q. Die Ansätze für die Biegemomente m und m sowie das Drimoment m (weches entang der Koordinatenachsen verschwindet) ergeben mithife der Geichgewichtsbedingung für Patten die maima aufnehmbare Last q u. Die Schnittkraftveräufe an den Pattenrändern fogen aus den gewähten Momentenansätzen; die Querkraft sowie die Stütz- und Eckkräfte werden aus den bereits hergeeiteten Geichgewichtsbedingungen ermittet. Die Lösung basiert auf der statischen Methode der Pastizitätstheorie: das Geichgewicht ist in jedem Punkt erfüt und die Fiessbedingung nirgends veretzt; es wurden jedoch keine Verträgichkeitsbedingungen aufgestet. Im Agemeinen handet sich hierbei somit um einen unteren Grenzwert der Tragast. Für das gezeigte Beispie eistieren verträgiche Bruchmechanismen, und es handet sich somit im Rahmen der getroffenen Annahmen um voständige Lösungen. Ergänzende Bemerkung - Dass die Fiessbedingung nirgends veretzt ist (unter Berücksichtigung der Drimomente m ), kann mit der Normamomenten-Fiessbedingung überprüft werden, siehe später.

18 Patten Randbedingungen Randbedingungen Beispie 1 (Geichgewichtsösung) Lagerung der Patte: Aus der konstanten Stützkraft fogt, dass die Patte entang ihrer Ränder einfach geagert sein muss. Die Ecken sind gegen Abheben gesichert ( nach unten gerichtete Eckkräfte) Stützkraft: Eckkraft: m 8 v mu mu 4m q u mu mu mu 8 m u mu 8 m u ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II 18 Aus der Grösse der Querkräfte senkrecht zum jeweiigen Pattenrand (q bei = ±/ resp. q bei = ±/) und den Drimomenten (m, bei = ±/ resp. m, bei = ±/) resutiert die Stützkraft am Pattenrand. Aus der konstanten Stützkraft fogt, dass die Patte an den Rändern einfach geagert sein muss. Aus den Randquerkräften (Querkraft entang Pattenrand, siehe vorhergehende Foie) fogen die Eckkräfte. Die nach unten gerichteten Eckkräfte bedeuten, dass die Ecken gegen Abheben gesichert sind.

19 Patten Randbedingungen Randbedingungen Beispie (Geichgewichtsösung) Gegeben: Quadratpatte unter Fächenast q mit Ansätzen für Biegemomente m,m und Drimoment m q m 1 m u m 1 m u m m u m m m 8mu Geichgewicht: q 0 q Gesucht: Schnittkraftveräufe am Pattenrand, Stützkraft, Eckkraft, Lagerung der Patte, + m u - m u m u + m u - Drimoment entang Pattenrand: Querkraft entang Pattenrand: m m aus v 0 fogt: Stützkraft: Eckkraft: m 4 v mu m 0 u m m u u m mu 8 4 v m m m u u u m m m v ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II 19 Das zweite Beispie behandet diesebe Quadratpatte unter der Fächenast q. Im Unterschied wird hier der Ansatz der Drimomente mit umgekehrtem Vorzeichen definiert. Aus der Geichgewichtsbedingung der Patte fogt damit eine drei Ma tiefere Tragast. Auch hier können mithife der Momentenansätze die Querkraft, die Stützkräfte an den Pattenrändern sowie die Eckkraft bestimmt werden. Der Wechse des Vorzeichens der Drimomente reduziert die Querkräfte entang der Pattenränder auf einen Dritte; die Stützkraft verschwindet somit.

20 Patten Randbedingungen Randbedingungen Beispie (Geichgewichtsösung) Lagerung der Patte: Aus der verschwindenden Stützkraft fogt, dass die Patte entang ihrer Ränder frei und edigich an den Ecken gestützt ist. Stützkraft: Eckkraft: m v m u 0 q 8m u mu mu mu mu ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II 0 Die Stützkraft verschwindet entang der Pattenränder; somit ist die Patte dort frei und edigich an den Ecken gestützt (nach oben gerichtete, negative Eckkräfte = Reaktionen).

21 Patten Kinematische Beziehungen ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II 1

22 Patten Kinematische Beziehungen Beziehungen für dünne Patten Nach der Theorie von Kirchhoff über dünne Patten wird angenommen, dass die Normaen zur Pattenmitteebene während der Verformung gerade und senkrecht zur verformten Mittefäche beiben. w Verschiebungen: u z - Richtung z P Verzerrungen: w w z Krümmungen: P Driung: w u z w vz - Richtung u w z z v w z z u v w z z ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II w w w In der eastische Pattentheorie werden neben den Geichgewichtsbedingungen auch die kinematischen Beziehungen benötigt, um die Verträgichkeitsbedingungen zu definieren. Nach der Theorie von Kirchhoff für dünne eastische Patten wird angenommen, dass die Normaen zur Pattenmitteebene während der Verformung gerade und senkrecht zur verformten Mittefäche beiben (anaog Bakenbiegung, Annahme von Bernoui/Navier). Aus der Abbidung können jeweis die kinematischen Reationen der Verschiebungen in Abhängigkeit der Pattendurchbiegung w ermittet werden. Daraus fogen die Verzerrungen, und bzw. die Krümmungen, und die Driung.

23 Transformation der Krümmungen und Driungen Anaog zur Transformation der Norma- und Schubspannungen Patten Kinematische Beziehungen nt X 1 n Y Po ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II 3 Aus den Beziehungen der Verzerrungen (,, ) ist ersichtich, dass auch die Krümmungen (,, ) mit einem Mohrschen Kreis dargestet werden können. Im Agemeinen ist die Mitteebene nicht verzerrungsfrei, sondern weist Verzerrungen ( 0, 0, 0 )auf, womit die Verformung eines Patteneementes agemein durch sechs kinematische Parameter ( 0, 0, 0,,, ) festgeegt ist.

24 Eastische Patten ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II 4

25 Annahmen der eastischen Pattentheorie Eastische Patten Die Theorie von Gustav Robert KIRCHHOFF für dünne Patten gründet auf fogenden Annahmen: 1. Die Pattendicke h ist konstant und kein gegenüber anderen Abmessungen. Die Normaspannungen z werden vernachässigt. Die Spannungsverteiung in der Patte darf damit as eben und über h inear angenommen werden.. Die Normaen zur Pattenmitteebene beiben gerade und senkrecht zur verformten Mitteebene. Die Schubverzerrungen z und z verschwinden in der Foge (schubstarre Patten). Damit ist z eine Hauptrichtung. 3. Der Zusammenhang zwischen den einzenen Pattenschichten wird as geöst betrachtet. Zusammen mit Annahme entspricht dies den Grundannahmen der Bakentheorie. 4. Die Durchbiegungen w sind kein gegenüber h und unabhängig von z. Das Geichgewicht kann damit am unverformten Sstem gebidet werden, es treten i.d.r. keine Membrankräfte auf. In Kombination mit Annahme ergeben sich die kinematischen Beziehungen. 5. Der Werkstoff ist homogen, isotrop und inear eastisch ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II 5 (Eräuterungen siehe Foie)

26 Eastische Patten Pattengeichung Aus dem Stoffgesetz (inear eastisch, Hooke sches Gesetz), den kinematischen Beziehungen sowie dem Geichgewicht am infinitesimaen Eement fogt die sogenannte Pattengeichung. E 1 Hooke sches Gesetz für den ebenen Spannungszustand: Pattengeichung: w w w w q mit D Eh 4 4 D 1(1 ) E E 1 1 Baken in -Richtung Zusatzterm Baken in -Richtung Pattensteifigkeit Inhomogene Differentiageichung 4. Ordnung (inhomogene Bipotentiageichung) Randbedingungen anpassbar, jedoch 3 Grössen vorhanden (m n, m nt und v t ) Stützkraft eingespannter Rand: m n,m tn und v n beiebig einfach geagerter Rand: m n = 0, resutierende Stützkraft: freier Rand: m n = 0, verschwindende Stützkraft: mtn mn mnt vn t n t mtn mn mnt vn 0 t n t Vergeiche Foie zu den Randbedingungen ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II 6 Mithife des Hookeschen Gesetzes können unter Berücksichtigung der Querdehnung die Norma- und Schubspannungen ermittet werden. Durch Einsetzen der kinematischen Beziehungen in die Geichgewichtsbedingungen ergibt sich die bereits in Foie 11 vorgestete Bipotentiageichung der eastischen Patten. D ist dabei die Pattensteifigkeit; bei Vernachässigung der Querdehnung ( = 0) ist sie geich der Bakensteifigkeit EI = Eh 3 /1 (pro Einheitsbreite). Die Patte ist sebst in den einzenen Richtungen etwas steifer as der Baken, da nicht ae Fasern getrennt sind, sondern edigich die horizonta iegenden Schichten (Einfuss der Querdehnungszah). Die Randbedingungen ergeben sich gemäss der Überegungen aus Foie 14.

27 Eastische Patten Abschätzung der Durchbiegungen Die Durchbiegungen in Pattenmitte können as Viefaches derjenigen des einfachen Bakens abgeschätzt werden (nach Bachmann, 1991): 4 5 q EI wc D q const. 384 D 1 Einfach geagerte Patte c = 0.31 In den Ecken gestützte Patte c =.5 Eingespannte Patte c = Mittefed einer Fachdecke c = Zu beachten ist der Steifigkeitsabfa infoge Kriechen (E c E c0 /3) und Rissbidung bzw. die Steifigkeitserhöhung infoge Zugversteifung und die keineren Durchbiegungen bei Vorspannung ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II 7 Bei Quadratpatten unter geichmässiger Fächenast q kann die Durchbiegung in Pattenmitte as Viefaches derjenigen des einfachen Bakens geicher Spannweite abgeschätzt werden. Daraus ist auch der Einfuss der verschiedenen Lagerungsarten ersichtich; bspw. weist eine eckgestützte Patte vie höhere Verformungen auf as eine einfach geagerte. Weiter zu beachten sind die Einfüsse auf die Steifigkeit infoge Kriechen und Rissbidung sowie Zugversteifung oder eine afäige Vorspannung.

28 Eastische Patten Tragwerksanase / Berechnungsmethoden Übersicht Eastische Pattentheorie Pastische Pattentheorie Statische Methode der Pastizitätstheorie Kinematische Methode der Pastizitätstheorie Lösung der Pattendifferentiageichung Methode der Finiten Eemente Momentenansätze Fiessgeenkinienmethode Approimative Lösungen mit Energieverfahren Methode der stevertretenden Rahmen Streifenmethode einfach erweitert ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II 8

29 Eastische Patten Lösungsverfahren Direkte Lösung der Pattengeichung für speziee Probemsteungen mögich (z.b. rotationssmmetrische Patten) Resutate sind in Literatur vorhanden und insbesondere für Abschätzungen und Pausibiitätskontroen wertvo Approimative Lösung der Pattengeichung mit Fourier-Reihenansätzen oder Energieverfahren z.b. für Rechteckpatten mit unterschiedichen Randbedingungen und Beastungsanordnungen Lösung der Pattengeichung mit der Methode der Finiten Eemente Lösung der Verträgichkeits- und Geichgewichtsbedingungen am infinitesimaen Eement beiebige Randbedingungen und Beastungen mögich heute meistens verwendet ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II 9 Die Lösung der Pattendifferentiageichung ist nur in wenigen Fäen anatisch mögich (z.b. für rotationssmmetrische Fäe), nicht direkt anwendbar oder nur mit starken Vereinfachung (da es kaum rotationssmmetrische Probeme gibt; z.b. Durchstanztheorie basiert auf rotationssmmetrischen Annahmen obschon orthogona bewehrte Patten nicht wirkich rotationssmmetrisch sind). In der Literatur finden sich einige Ansätze zur Lösung verschiedener Probeme mit unterschiedichen Geometrie und Randbedingungen; sie sind insbesondere für Abschätzungen und Pausibitätskontroen wertvo. Andere Mögichkeiten bestehen in der Verwendung von Fourierreihen, um Geichasten/Randbedingungen anzunähern oder Energieverfahren nach Ritz und Gaerkin. Aufgrund dessen werden in der Prais meist computergestützte Berechnungen basierend auf der Methode der Finiten Eemente durchgeführt. Hierbei werden am infinitesimaen Eement die Verträgichkeits- und Geichgewichtsbedingungen geöst. Heutige Computer erauben aufgrund der hohen Rechenkapazität eine angemessene Anzah an Eementen, so dass beiebige Randbedingungen und Beastungen mögich sind. Aufgrund der hohen Dichte an Diskretisierungspunkten ist eine direkte rechnerische Überprüfung der FE-Methode schwierig; daher sind die Eingabedaten und die Resutate stets kritisch zu hinterfragen und mit vereinfachten Handrechnungen zu überprüfen.

30 Eastische Patten Direkte Lösung der Pattendifferentiageichung Beispie Einfach geagerte Quadratpatte unter sinusförmiger Fächenast q (,) (Lsg. n. Navier) : Querdehnungszah q 0 Last: Differentiageichung: qq0 sin sin w w w q w 4 4 D w w m D Ansatz: w w m D wcsin sin m m q 1 0 m, 4 Randbedingungen: Lösung: 0,,,0, 0 w w w w m 0, m, m,0 m, q q 0 0 C w sin sin D 4 D ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II 30 Das Beispie zeigt eine einfach geagerte Quadratpatte unter sinusförmiger Fächenast. Der Ansatz für die Lösung der Bipotentiageichung (von Navier vorgeschagen) ist affin zur Beastung. Die Momentenveräufe können aus den zweiten Abeitungen der Durchbiegungen ermittet werden. Die einfache Lagerung der Patte bedingt, dass jeweis die Durchbiegungen wie auch die Momente an den Rändern geich nu ist. Daraus können die Durchbiegungen der Patte, und daraus die Beanspruchungen, ermittet werden.

31 Lösungsverfahren mit finiten Eementen Beispie Eastische Patten Randgestützte Quadratpatte unter Eigenast ( = 10 m, h = 0.5 m) m [kn] m [kn] m [kn] Durchbiegungen quaitativ und überhöht w ma = w(/, /) = 5.6 mm ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II 31 Die Lösung der Pattengeichung kann auch numerisch, mithife der Methode der Finiten Eemente angenähert werden. Bei genügend feiner Diskretisierung resutiert dabei die eastische Lösung. In der Abbidung sind für eine umfanggeagerte Patte unter geichmässiger Beastung die Biege- und Drimomente m, m und m as Isoinien und die (überhöhten) Durchbiegungen isometrisch dargestet (Berechnung mit kommerzieer Software Cedrus-7 von Cubus AG). Die Durchbiegungen sind gemäss den Randbedingungen geich nu entang der Pattenränder. Dies bedingt, dass die Ecken gegen Abheben gehaten sind, was auch an den Maima der Drimomente an eben jenen Orten ersichtich ist.

32 Lösungsverfahren mit finiten Eementen Beispie Eastische Patten Randgestützte Quadratpatte unter Eigenast ( = 10 m, h = 0.5 m) ohne negative Stützkräfte (=Eckkräfte) m [kn] m [kn] m [kn] Durchbiegungen quaitativ und überhöht w ma = w(/, /) = 6.6 mm ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II 3 Ist die Patte nicht gegen Abheben gesichert, gibt es keine Stützkräfte in den Ecken; somit verschwinden die Drimomente dort (bei Patten mit Eckkräften treten dort die Maima und Minima auf). Die Verformungen sind gegenüber der Patte mit Eckkräften eicht höher, da das Sstem weicher ist.

33 Lösungsverfahren mit finiten Eementen Beispie Eastische Patten Randgestützte Quadratpatte unter Eigenast ( = 10 m, h = 0.5 m) 14-3 Stützkraft am Rand [kn pro Abschnitt] Richtungen der Hauptmomente (bau: positiv, rot: negativ) ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Voresung Stahbeton II 33 Bei Betrachtung der Reaktionen der Aufager (Wände) erkennt man die konzentrierten Eckkräfte, weche die Patte gegen Abheben sichern. Die Richtung der Hauptmomente veranschauicht die Tragwirkung der Patte. In den Pattenvierten zu den Ecken hin veraufen die Hauptrichtungen jeweis im Winke von 45 zu den Koordinatenachsen, was darauf hinweist, dass die Drimomente in -Richtung maima sind (vg. Mohrscher Kreis). In den Smmetrieachsen verschwinden die Drimomente, somit veraufen die Hauptrichtungen dort in Richtung der - und -Achse.