Praktikumsanleitung zum Versuch Schiefe Biegung

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1 Praktikumsaneitung zum Versuch Schiefe Biegung Prof. Dr.-Ing. Stefan Diebes Dr.-Ing. Joachim Schmitt Universität des Saarandes Lehrstuh für Technische Mechanik c 2010

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3 3 Inhatsverzeichnis 1 Theorie Spannungs-Dehnungs-Beziehungen unter gerader Biegung Zusammenhang mit den Schnittgrößen Vernachässigung des Schubeinfusses Biegeinie Fächenträgheitsmomente Fächenmomente 1. Ordnung Fächenmomente 2. Ordnung Verschiebung des Bezugssystems Drehung des Bezugssystems Schiefe Biegung Praktische ufgabensteung 37

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5 Praktikumsversuch Schiefe Biegung 5 1 Theorie 1.1 Spannungs-Dehnungs-Beziehungen unter gerader Biegung s Baken versteht man ein schankes Bautei, das senkrecht zu seiner Längsachse beastet wird. Zie ist es, einen Zusammenhang zwischen der äußeren Beastung, den inneren Spannungen und der Durchbiegung des Bakens zu entwicken. Zur Hereitung einer technischen Biegeehre sind einige nnahmen bezügich der Kinematik eines Bakens erforderich, die im Weiteren diskutiert werden. Fogende Grundannahmen charakterisieren die sogenannte gerade Biegung: Der betrachtete Baken ist gerade. Seine Querschnittsfäche senkrecht zur Bakenachse ist ggf. veränderich, = (x 1 ), aber sie besitzt zumindest eine Symmetrieachse, vg. bb. 1. Beastung Bakenachse x 1 (x 1 ) x 2 x 3 x 3 Symmetrieachse bbidung 1: Bezeichnungen am Baken Die Beastung wirkt entang der Symmetrieachse des Bakenquerschnitts. Das gewähte Bezugssystem ist ein Hauptträgheitsachsensystem (Bedeutung kommt noch). s Konsequenz dieser nnahmen sind Beastungs- und Verformungsebene identisch.

6 6 Theorie Eine weitere nnahme betrifft die Spannungsverteiung: Normaspannungen wirken nur in Richtung der Bakenachse, Normaspannungen senkrecht zur Bakenachse werden vernachässigt. Wesentich zur Ermittung der Spannungsverteiung in der Bakenquerschnittsfäche (x 1 ) sind die nnahmen über die Kinematik. Fogende Verformung wird zu Grunde geegt: e 2 e 1 chse e 3 x x + u x 3 u ϕ 2 u 3 deformierte chse u 1 x 3 ϕ 2 bbidung 2: Deformierter Baken Ein beiebiger Punkt im Querschnitt des Bakens verschiebt sich gemäß bb. 2 von der usgangsposition x in die Position x + u, wobei die Verschiebung u = u i e i nur in der e 1 e 3 -Ebene stattfindet und von x 2 unabhängig ist: u = u 1 (x 1, x 3 )e 1 + u 3 (x 1,x 3 )e 3. (1.1) Die x 1 -chse entspricht dabei der geforderten Symmetrieinie. Für schanke Baken git weiterhin die Hypothese vom Ebenbeiben der Querschnitte. Demnach beibt ein ursprüngich ebener Querschnitt auch nach der Deformation eben. Er kann dann nur gegenüber der Bakenachse um den Winke ϕ 2 (x 1 ) gedreht sein. Diese Hypothese geht auf Jakob Bernoui ( ) zurück und wird daher auch as 1. Bernoui-Hypothese bezeichnet. Mit dieser nnahme kann der Verschiebungszustand durch die Verschiebung u des Referenzpunktes auf der Bakenachse und durch die Verdrehung ϕ 2

7 Praktikumsversuch Schiefe Biegung 7 der Querschnittsfäche dargestet werden. Es git unter der nnahme keiner Rotationen u 1 (x 1, x 3 ) = u 1(x 1 ) + ϕ 2 (x 1 )x 3 =: u 1 (x 1 ) + ϕ 2 (x 1 )x 3 u 3 (x 1 ) = u 3(x 1 ) =: w(x 1 ). (1.2) Bemerkung: Man spricht von keinen Rotationen, wenn die trigonometrischen Funktionen in guter Näherung durch die ersten Gieder einer Tayor-Reihe beschrieben werden. sinϕ 2 ϕ 2, cosϕ 2 1. (1.3) In der technischen Literatur ist es übich, die Verschiebungen der Bakenachse im Rahmen der Bakentheorie mit u = u 1 und w = u 3 zu bezeichnen. Da ae Punkte in einem Querschnitt die geiche bsenkung w(x 1 ) erfahren, ändert der Baken durch die Deformation seine Dicke nicht. Wenn man von dem Verschiebungszustand (1.2) ausgeht, ergeben sich die fogenden Verzerrungen im Inneren des Bakens: ε 11 = u 1 x 1 ε 31 = 1 ( u1 + u ) 3 2 x 3 x 1 = du + dϕ 2 x 3 dx 1 dx 1 = 1 ( ) dw + ϕ 2. 2 dx 1 (1.4) In Kombination mit dem Materiagesetz der inearen Eastizität fogt die Spannungsverteiung in Richtung der Bakenachse zu und senkrecht dazu σ 11 = Eε 11 = E ( du + dϕ ) 2 x 3 dx 1 dx 1 (1.5) ( ) dw σ 31 = 2Gε 31 = G + ϕ 2. (1.6) dx 1 Die Parameter sind der Eastizitätsmodu E = µ(2µ+3λ) und der Schubmodu µ+λ G = µ. Die Normaspannung in dem betrachteten Querschnitt ist nach (1.5) inear verteit, während die Schubspannung nach(1.6) im Querschnitt konstant ist. ufgrund der kinematischen nnahmen erfogt keine Dickenänderung, und somit existieren keine Normaspannungen σ 33 senkrecht zur Bakenachse.

8 8 Theorie 1.2 Zusammenhang mit den Schnittgrößen us der Spannungsverteiung in der Bakenquerschnittsfäche können nun die Schnittgrößen durch Integration über die Fäche (x 1 ) ermittet werden. Für die Resutierenden der Schnittgrößen geten die fogenden Definitionen, die einen Zusammenhang zwischen den Schnittgrößen und den Spannungen hersteen N 1 = σ 11 dx 2 dx 3, Q 3 = M 2 = σ 31 dx 2 dx 3, σ 11 x 3 dx 2 dx 3. (1.7) Dagegen erhät man bei der ufsteung der Geichgewichtsbedingungen einen Zusammenhang zwischen den Schnittgrößen und der Beastung dn 1 dx 1 = n 1, dq 3 dx 1 = q 3, (1.8) dm 2 dx 1 = Q 3. m geraden Baken sind das Zug- und das Biegeprobem entkoppet. Wäht mandiebakenachsedurchdiefächenschwerpunktederquerschnittsfächen 1, so fogt aus Kombination von (1.5) mit (1.7) 1,3 N 1 = M 2 = ( du E + dϕ 2 x 3 dx 1 dx 1 ( du E + dϕ 2 x 3 dx 1 dx 1 ) dx 2 dx 3 = E du dx 1, ) x 3 dx 2 dx 3 = E dϕ 2 dx 1 x 2 3dx 2 dx 3, (1.9) d. h. die Normakraft N 1 im Baken wird nur durch die achsiae Verschiebung u(x 1 ) der Querschnittsfäche hervorgerufen, das Moment M 2 nur durch das Verkippen ϕ 2 (x 1 ) des Querschnitts. Betrachtet man den Fa reiner Biegung, N 1 = 0, u = konst., so ergibt sich 1 Im Fächenschwerpunkt git x 3 dx 2 dx 3 = 0, siehe Forme zur Berechnung des Fächen- schwerpunkts.

9 Praktikumsversuch Schiefe Biegung 9 der Zusammenhang zwischen dem Biegemoment und der Normaspannung zu M 2 = E dϕ 2 dx 1 x 2 3da = σ 11(x 1, x 3 ) x 3 I 22. (1.10) Dabei wurde das sogenannte Fächenträgheitsmoment as I 22 = x 2 3dx 2 dx 3 (1.11) eingeführt. Das Fächenträgheitsmoment ist eine rein geometrische Größe. Die ineare Spannungsverteiung unter reiner Biegung kann nun direkt aus dem angreifenden Biegemoment ermittet werden zu σ 11 = M 2 I 22 x 3. (1.12) Die maximaen Biegenormaspannungen ergeben sich demnach am Rand des Bakens, wenn x 3 extrema wird. Die Beträge der Randspannungen können über das Widerstandsmoment W 22 ermittet werden: σ 11 = M 2 W 22 mit W 22 = I 22 x 3,Rand. (1.13) Für den Fa, dass der Baken sowoh durch Momente as auch durch Normakräfte beastet wird, überagern sich nach dem Superpositionsprinzip die Spannungsanteie wie in bb. 3 skizziert. Für die Normaspannung im Bakenquerschnitt ergibt sich dann σ 11 = σ N 11 + σ M 11 = N 1 + M 2 I 22 x 3. (1.14) Durch die Überagerung der konstanten Spannungsverteiung aufgrund von Normakraft und der inearen Spannungsverteiung aufgrund von Biegung verschiebt sich gegenüber der reinen Biegung der Nudurchgang der Spannungsverteiung von der Mitte des Querschnitts hin zum Rand. Die Stee, an der die Spannungsverteiung zu Nu wird, bezeichnet man as die neutrae Faser. Für ihre Lage git σ 11 = 0 x N 3 = N 1I 22 M 2. (1.15)

10 10 Theorie M 2 e 2 e 1 N 1 x N e 3 σ11 N + σ11 M = σ 11 bbidung 3: Spannungsverteiung bei Zug- und Biegebeanspruchung 1.3 Vernachässigung des Schubeinfusses Mit der angenommenen Bakenkinematik fogt aus der 1. Bernouischen Hypothese (Ebenbeiben der Querschnitte) eine konstante Verteiung der Schubspannungen über die Bakenhöhe ( ) dw(x1 ) σ 31 = G + ϕ 2 (x 1 ). (1.16) dx 1 Insbesondere am Rand kann diese ussage aufgrund der Zuordnung der Schubspannungen σ 31 = σ 13 (1.17) nicht richtig sein, da die Bakenoberfäche nicht durch Tangentiakräfte beastet ist. Dieser Feher ist eine Konsequenz des einschränkenden nsatzes in Foge der 1. Bernoui-Hypothese. Bei angen, schanken Baken (/h > 10) kann man den Schubeinfuss häufig voständig vernachässigen. In diesem Fa begeht man bewusst einen zweiten Feher, indem man fordert ϕ 2 (x 1 ) = dw(x 1) dx 1. (1.18) Diese Forderung entspricht der 2. Bernouischen nnahme vom Senkrechtbeiben der Querschnitte: Ein Querschnitt, der vor der Beastung senkrecht zur Bakenachse iegt, steht auch nach der Beastung senkrecht auf der deformierten chse, vg. bb. 4.

11 Praktikumsversuch Schiefe Biegung 11 w(x 1 ) M 2 (x 1 ) ϕ 2 (x 1 ) rechter Winke dw(x 1 ) dx 1 M 2 (x 1 ) bbidung 4: Biegewinke Ein Baken, auf den die beiden Bernoui-nnahmen zutreffen, wird auch as Bernoui-Baken bezeichnet. Die ursprüngich freie Verdrehung ϕ 2 des Querschnitts wird durch die 2. Bernoui-nnahme an die Duchbiegung der Bakenmitteachse, d. h. an die beitung der Biegeinie, gekoppet. Dadurch entfaen die Schubspannungen nach (1.16), d. h. für einen Bernoui-Baken kann man die Schubspannung nicht aus der Kinematik und dem Stoffgesetz berechnen. Dies ist eine Konsequenz der restriktiven nnahmen bezügich der Bakenkinematik. Wir werden später eine Geichgewichtsbetrachtung durchführen, um den Schubspannungsverauf in der Querschnittsfäche zu approximieren. Für den Bernoui-Baken berechnet sich die chsiaverschiebung u 1 (x 1, x 3 ) gemäß (1.2) und (1.18) as u 1 = u(x 1 ) + ϕ 2 (x 1 )x 3 = u(x 1 ) dw(x 1) dx 1 x 3. (1.19) Bemerkung: Obwoh die beiden Bernoui-Hypothesen die Kinematik stark einschränken und somit gewisse Widersprüche auftreten, stet man in vieen nwendungen fest, dass der nsatz zu reativ guten Resutaten führt. Für kurze Baken muss jedoch der Schubeinfuss berücksichtigt werden. Die Querschnitte beiben dann nicht senkrecht zur deformierten chse 2. 2 Dies führt zur Timoshenko-Theorie, die jedoch hier nicht behandet wird.

12 12 Theorie 1.4 Biegeinie Gesucht wird der Zusammenhang zwischen Durchbiegung und Beastung am Bernoui-Baken. Da am geraden Baken das Zug- und das Biegeprobem entkoppet sind, wird im Weiteren nur der Einfuss der Querkräfte und Momente untersucht. Effekte durch die Normakräfte können superponiert werden. q 3 (x 1 ) e 2 e 1 w(x 1 ) e 3 bbidung 5: Biegeinie Die Geichgewichtsbedingungen an einem Bakeneement iefern den differentieen Zusammenhang zwischen den Schnittgrößen Q 3 und M 2 und der Beastung q 3 (x 1 ) (vg. TM I, Kapite 6) in fogender Form dq 3 dx 1 = q 3 (x 1 ), dm 2 dx 1 = Q 3 (x 1 ). (1.20) Mit der bkürzung d(...)/dx 1 = (...) autet der Zusammenhang zwischen Beastung q 3 und Schnittmoment M 2 M 2 = q 3. (1.21) Die Integration von (1.21) mit den zugehörigen Randbedingungen öst das statisch bestimmte Probem. Zwischen dem Schnittmoment und der Bakenängsspannung besteht nach (1.10) der Zusammenhang σ 11 = M 2 I 22 x 3 = Eε 11. (1.22) ufgrund der getroffenen kinematischen nnahmen (Senkrecht- und Ebenbeiben der Querschnitte) ergibt sich für den Bernoui-Baken unter reiner Biegung

13 Praktikumsversuch Schiefe Biegung 13 (u 1 = 0) Die Kombination von (1.22) und (1.23) iefert ε 11 = du 1 = d2 w x dx 1 dx 2 3. (1.23) 1 EI 22 w = M 2, (1.24) so dass sich mit (1.21) schießich die Differentiageichung ergibt. Die Größe EI 22 heißt Biegesteifigkeit. (EI 22 w ) = q 3 (x 1 ) (1.25) Während für das statisch bestimmte Probem die Schnittgrößen und die Bakendurchbiegung getrennt voneinander nach (1.21) und (1.24) mit den jeweiigen Randbedingungen berechnet werden können, muss für ein statisch unbestimmtes Probem die Berechnung gekoppet nach (1.25) erfogen. Fogende Randbedingungen können angegeben werden, vg. bb. 6: Geenkige Lagerung w = 0, M 2 = EI 22 w = 0. (1.26) Einspannung w = 0, w = ϕ = 0. (1.27) Beastetes Ende M 2 = EI 22 w = M, Q 3 = EI 22 w = Q. (1.28) Freies Ende as Sonderfa M 2 = M = 0, Q 3 = Q = 0. (1.29) Bemerkung: n einem Bakenende kann entweder eine Kraft oder eine Verschiebung vorgegeben werden, jedoch nicht beides geichzeitig. naog git, dass entweder ein Moment oder eine Verdrehung vorgegeben werden kann, jedoch nicht beides geichzeitig. Es ist jedoch z. B. mögich, geichzeitig eine Kraft und eine Verdrehung vorzugeben. Im Fa von Unstetigkeiten, z. B. Einzekräften oder Einzemomenten, sprunghaftenänderungenvonq 3 oderei 22,mussdasProbeminmehrerebschnitte

14 14 Theorie Q 0 M = 0 w = 0 ϕ 2 0 Q M Q 0 M 0 Q = Q M = M w = 0 ϕ 2 = 0 w 0 ϕ 2 0 Q = 0 M = 0 w 0 ϕ 2 0 bbidung 6: Mögiche Randbedingungen unterteit werden, an deren Grenzen Übergangsbedingungen formuiert werden müssen. Die differentiee Beziehung (1.25) git dann abschnittsweise. Beispiee für die Durchbiegung unterschiedich beasteter Baken sind in bb. 7.

15 Praktikumsversuch Schiefe Biegung 15 a w(x) F b 0 x a w(x) = F ab2 6EI [( 1+ b ) ] x x3 ab x a < x w(x) = F a2 b 6EI [( 1+ a ) x ] ( x)3 ab x w(x) M w(x) = M [ ( ) ] 2 x x 3 6EI x q w(x) [ ( w(x) = q4 )3 ( ) ] x x x 4 24EI 2 + F w(x) w(x) = F [ x ( ) ] x 3 6EI + x M x w(x) w(x) = M [ x ( ) ] x 2 2EI + q [ w(x) = q4 3 4 x ( ) ] x 4 24EI x w(x) bbidung 7: Biegeinien von Trägern mit konstantem Querschnitt (aus: Dubbe, Taschenbuch für den Maschinenbau, 14. ufage)

16 16 Theorie q a x x a x x F b w(x) w(x) F b w(x) q w(x) 0 x a w(x) = F b2 4EI a < x w(x) = F 2 a 4EI [ a ( x a2 2 [ ( w(x) = q4 )3 ( ) ] x x x 4 48EI x a w(x) = F b2 6EI a < x w(x) = F a2 6EI [ 3 a [ (x w(x) = q4 )2 ( )3 ( ) ] x x EI ( 1+ a )( ) ] x 3 2 )( ) 2 ( x ( x ) 2 ( 1+ 2a 1 a2 3 2 )( x ) 3 ] 3 b ( ) 2 ( x 1+ 2b )( ) 3 x )( ) 3 x

17 Praktikumsversuch Schiefe Biegung 17 q 3 (x 1 ) = q 0 e 2 e 1 e 3 EI 22 = konst. B bbidung 8: ufgabensteung Beispie: Gesucht ist der Verauf der Durchbiegung für das in bb. 8 skizzierte System. Freischneiden des Systems iefert die Lagerreaktionen V, H, M und B. Da keine Horizontabeastung wirkt, werden in der Einspannung nur die Querkraft und das Moment aktiviert, H = 0. Zur Bestimmung der drei verbeibenden Lagerreaktionen stehen nur zwei Geichgewichtsbedinungen zur Verfügung. Das statisch unbestimmte System kann aso mit den Geichgewichtsbedingungen aeine nicht berechnet werden. a) Integration der Biegeinie Zur Ermittung der Durchbiegung eines statisch unbestimmten Systems muss die Differentiageichung der Biegeinie (1.25) integriert werden. Mit EI 22 fogt für das skizzierte System EI 22 w = q 3 = q 0. (1.1) Erste Integration: Zweite Integration: EI 22 w = q 0 x 1 + C 1. (1.2) EI 22 w = 1 2 q 0x C 1 x 1 + C 2. (1.3) Dritte Integration: EI 22 w = 1 6 q 0x C 1x C 2 x 1 + C 3. (1.4)

18 18 Theorie M q 3 (x 1 ) = q 0 e 2 H e 1 V B e 3 bbidung 9: Freischnitt Vierte Integration: EI 22 w = 1 24 q 0x C 1x C 2x C 3 x 1 + C 4. (1.5) Die vier Konstanten C 1,..., C 4 sind aus den Randbedingungen an der Einspannung und am Lager B zu ermitten. n der Stee x 1 = 0 git (Einspannung) w(0) = 0, w (0) = 0, (1.6) und an der Stee x 1 = git w() = 0, M 2 () = EI 22 w () = 0. (1.7) Somit ergeben sich die fogenden vier Bedingungen x 1 = 0 : w = 0 C 4 = 0, w = 0 C 3 = 0, x 1 = : w = 0 q C C 2 2 = 0, (1.8) Die Konstanten werden daraus zu w = 0 q C 1 + 2C 2 = 0. C 1 = 5 8 q 0, C 2 = 1 8 q 0 2, C 3 = 0, C 4 = 0 (1.9)

19 Praktikumsversuch Schiefe Biegung 19 M Q 3 (0) M 2 (0) Q 3 () V B bbidung 10: Lagerreaktionen bestimmt. Die Durchbiegung des Bakens erhät man as w(x 1 ) = q ( 0 1 EI x x ) 16 2 x 2 1. (1.10) us der Biegeinie (1.10) berechnen sich die Schnittgößen Q 3 und M 2 durch Differentiation gemäß (1.28), nämich Q 3 = EI 22 w = q 0 x q 0 (1.11) und M 2 = EI 22 w = 1 2 q 0x q 0x q 0 2. (1.12) Wie in bb. 10 skizziert, bestimmen sich die Lagerreaktionen in einem zweiten Schritt über das Schnittprinzip aus den Schnittgrößen. Die entsprechenden Geichgewichtsaussagen auten x 1 = 0 : M = M 2 (0), = Q 3 (0), (1.13) x 1 = : B = Q 3 (). Die Berechnung der Biegeinie durch Integration öst das statische und das geometrische Probem in einem Schritt.

20 20 Theorie q 0 q 0 = + B bbidung 11: Superposition b) Superposition Wie beim Stab kann im Fa inearer Geichungen das statisch unbestimmte System durch Superposition geöst werden. Dazu wird das System in ein statisch bestimmtes 0 -System und in ein 1 -System aufgeteit. Für den einseitig eingespannten Baken mit konstanter Geichstreckenast q, d. h. für das 0 -System, berechnet man die Biegeinie zu EI 22 w (0) (x 1 ) = q ( ) 0 x 4 1 4x x 2 1. (1.14) 24 Für die Durchbiegung unter der Einzekraft B des 1 -Systems fogt EI 22 w (1) (x 1 ) = B 6 ( ) x 3 1 3x 2 1. (1.15) Die tatsächich auftretende Durchbiegung ergibt sich durch Superposition der beiden Lastfäe w(x 1 ) = w (0) + w (1). (1.16) Da sich das rechte Ende des Bakens nicht absenken darf, autet die Kompatibiitätsbedingung w() = w (0) () + w (1) () = q B3 3 us dieser Bedingung berechnet sich die Lagerkraft B zu = 0. (1.17) B = 3q 0 8. (1.18)

21 Praktikumsversuch Schiefe Biegung 21 q 0 = K ( 1 ( ) ) x1 2 x 1 bbidung 12: ufgabensteung Ergebnisse der rt (1.14) und (1.15) sind in sogenannten Biegeinientafen für unterschiediche Beastungen und Randbedingungen tabeiert. Bei nwendung des Superpositionsprinzips können diese Tabeen vorteihaft genutzt werden, um die Ergebnisse mit geringen Rechenaufwand zu erzieen. Beispie: Bestimmen Sie die Lagerreaktionen für das in bb. 12 skizzierte System. Berechnung mittes Biegeinie: Zur Berechnung wird das System in zwei Systeme unterteit, die erst einma jeweis für sich betrachtet werden. Dadurch besteht nun an der Stee x 1 = 0 die Mögichkeit, dass ein Knick in der Geometrie auftritt, der in Wirkichkeit nicht auftreten kann. Um zu gewähreisten, dass dort kein Knick auftritt, wird gefordert, dass die Verdrehung am rechten Ende des inken Bereichs geich groß ist wie die Verdrehung am inken Ende des rechten Bereichs, die Baken an dieser Stee aso kompatibe sind. gemein müsste man auch sichersteen, dass an dieser Stee kein Versatz in der Geometrie auftritt. Dies ist aerdings bereits durch das Lager an der Stee x 1 = 0 gewähreistet. Wie skizziert wird die Biegeinie abschnittsweise bestimmt: EIw 1 = q(x 1 ) und EIw 2 = q(x 1 ). (1.19)

22 22 Theorie w 2 w 1 x 1 x 1 bbidung 13: ufspatung des Systems Zweifache Integration ergibt das negative Biegemoment M(x 1 ): w 1 = K ( ( ) ) x1 2 1 dx 1 dx 1 EI [ ( ) = K2 1 x1 2 ( ) ] 1 x1 4 + C 1 x 1 + C 2, EI 2 12 [ ( ) w 2 = K2 1 x1 2 ( ) ] 1 x1 4 + C 5 x 1 + C 6. EI 2 12 Durch dreifache Integration erhät man den Biegewinke: [ ( ) w 1 = K3 1 x1 3 ( ) ] 1 x EI C 1x C 2 x 1 +C 3 [ ( ) w 2 = K3 1 x1 3 ( ) ] 1 x EI C 5x C 6 x 1 +C 7. Und schießich die Durchbiegung w(x 1 ) w 1 (x 1 ) = K4 EI w 2 (x 1 ) = K4 EI [ 1 24 ( x1 ) ( ) ] x C 1x C 2x 2 1 +C 3 x 1 + C 4, [ 1 24 ( x1 ) ( ) ] x C 5x C 6x C 7 x 1 + C 8. (1.20) (1.21) (1.22)

23 Praktikumsversuch Schiefe Biegung 23 s Randbedingungen können identifiziert werden: w 1 (x 1 = 0) = 0 und w 2 (x 1 = 0) = 0 C 4 = 0 und C 8 = 0, (1.23) w 1(x 1 = 0) = w 2(x 1 = 0) = 0 C 3 = 0 und C 7 = 0, (1.24) w 1(x 1 = 0) = w 2(x 1 = 0) C 2 = C 6, (1.25) w 1(x 1 = ) = 0 und w 2(x 1 = ) = 0 5 K C EI 1 + C 2 = 0, 12 C 1 = C 5, K 2 EI + C 5 + C 6 = 0, (1.26) w 1 (x 1 = ) = 0 und w 2 (x 1 = ) = 0 7 K K C EI C = 0, + 1 C EI C = 0. (1.27) Kombination von (1.25), (1.26) und (1.27) führt zu: C 1 = 61K 120EI, C 5 = 61K 120EI, C 2 = 11K2 120EI, C 6 = 11K2 120EI. (1.28) Somit: w 1 (x 1 ) = K4 EI w 2 (x 1 ) = K4 EI [ ( ) 1 x1 4 ( ) 1 x1 6 ( 61 x ( ( ( x1 x1 x1 [ 1 24 ) ) ) ) ( ) ] x1 2 ( ) ] x1 2,. (1.29) ternative Berechnung mittes Superpositionsprinzip: Entfernt man das mittere Lager, wird das System statisch bestimmt, so dass die Biegeinie für den gesamten Baken ermittet werden kann. Dadurch erhät man jedoch in der Mitte eine bsenkung, die in Wirkichkeit aufgrund des Lagers an dieser Stee nicht auftreten kann. Dieser geometrische Feher wird dadurch korrigiert, dass man an dieser Stee eine Kraft aufbringt, die den Knoten zurück auf seine ursprüngiche Lage bringt. Diese Kraft ist dann gerade

24 24 Theorie q + 0 -System B 1 -System bbidung 14: Superpositionsprinzip die ufagerkraft an dieser Stee. Durch zweifache Integration der Beastung q(x 1 ) erhät man den Momentenverauf im 0 -System M (0) 2 = q(x 1 )dx 1 dx 1 = K( 1 2 x2 1 1 x )+C 1x 2 1 +C 2. (1.30) Verwendet man die Randbedingungen für den Momentenverauf M (0) 2 (x 1 = ) = 0 und M (0) 2 (x 1 = ) = 0, assen sich daraus sofort die Integrationskonstanten C 1 und C 2 bestimmen ( M (0) 1 2 (x 1 = ) = K ) 12 2 C 1 +C 2 = 0, ( M (0) 1 2 (x 1 = ) = K ) C 1 +C 2 = 0, C 1 = 0, C 2 = 5 12 K2, ( M (0) 1 2 = K 2 x2 1 1 x 4 ) K2. (1.31) Zweifache Integration des Momentenveraufs iefert die Biegeinie des 0 - Systems EIw (0) = K ( 1 24 x4 1 1 x ) x 2 1 +C 3 x 1 +C 4. (1.32) Verwendet man nun die Randbedingungen für die Biegeinie w (0) (x 1 = ) = 0

25 Praktikumsversuch Schiefe Biegung 25 undw (0) (x 1 = ) = 0,soerhätmandievoständigeBiegeiniedes 0 -Systems ( 1 EIw (0) (x 1 = ) = K ) 24 4 C 3 +C 4, ( 1 EIw (0) (x 1 = ) = K ) C 3 +C 4, C 3 = 0, C 4 = K4, ( 1 EIw (0) = K 24 x4 1 1 x ) x K4. (1.33) Nützt man die Symmetrie aus, ässt sich auch im 1 -System reativ einfach die Biegeinie ermitten. Betrachtet man nur die rechte Häfte des Systems (x 1 > 0), so muss wegen des Geenks am rechten Ende M (1) 2 (x 1 = ) = 0 und w (1) (x 1 = ) = 0 geten. Durch usnutzung der Symmetrie erhät man zusätzich die Bedingungen w (1) (x 1 = 0) = 0 und Q (1) (x 1 = ) = B. Die 2 Querkraft ist im rechten Bereich konstant. so fogt der Momentenverauf zu M (1) 2 (x 1 ) = B 2 x 1 +C 5, M (1) 2 (x 1 = ) = 0, C 5 = B 2, M (1) 2 (x 1 ) = B 2 x 1 B 2. (1.34) Einmaige Integration iefert EIw (1) = B 2 x 1 B 4 x2 1 +C 6, w (x 1 = 0) = 0, C 6 = 0, EIw (1) = B 2 x 1 B 4 x2 1. (1.35) Nochmaige Integration iefert die Biegeinie des 1 -Systems EIw (1) = B 4 x2 1 B 12 x3 1 +C 7, w (1) (x 1 = ) = 0, C 7 = B 6 3, (1.36) EIw (1) = B 4 x2 1 B 12 x3 1 B 6 3. us der Superposition der beiden Biegeinienveräufe erhät man nun den Gesamtverauf. Dieser muss die Bedingung erfüen, dass die Durchbiegung in der Mitte des Bakens zu nu wird. us dieser Zwangsbedingung ässt sich dann

26 26 Theorie die ufagerkraft B bestimmen ( 1 EIw = K 24 x4 1 1 x x ) B w(x 1 = 0) = 0 B = 61 w(x 1 ) = K4 EI [ 1 24 ( x1 ) K, ( x1 ) ( x1 ) EI ( 1 4 x x3 1 1 ) 6 3, ( x1 ) 2 ]. (1.37)

27 Praktikumsversuch Schiefe Biegung Fächenträgheitsmomente Fächenmomente 1. Ordnung Fächenmomente 1. Ordnung traten bereits bei der Berechnung des Schwerpunkts auf (vg. TM I). Sie sind definiert über das Moment einer Fäche bezügich eines Bezugspunkts O. Für ein vektoriees Fächeneement git da = nda, (1.38) wobei n der Normaenvektor senkrecht zum Fächeneement ist und da die Größe des Fächeneements. Ohne Beschränkung der gemeinheit wähen wir n = e 1. Das Fächeneement iegt dann wie in bb. 15 skizziert in der x 2 -x 3 - Ebene und besitzt die Größe da = dx 2 dx 3 = dx 2 dx 3 e 1. (1.39) e 2 O e1 dx 2 x e 3 dx 3 da bbidung 15: Infinitesimaes Eement einer Querschnittsfäche Das erste Moment der Fäche bezg. O ist dann as M 1 O = x da (1.40) definiert. Der Ortsvektor x zu einem Fächeneement da innerhab der Fäche hat in dem gewähten Bezugssystem die Darsteung x = x 2 e 2 + x 3 e 3. (1.41)

28 28 Theorie Man bidet das Kreuzprodukt x da = x e 1 dx 2 dx 3 = (x 3 e 2 x 2 e 3 )da, (1.42) so dass für das Fächenmoment 1. Ordnung nach (1.40) git M 1 O = x 3 dae 2 x 2 dae 3 = S 2 e 2 S 3 e 3. (1.43) Man bezeichnet die Größen S i as die statischen Momente der Fäche. Die Indizierung richtet sich nach dem zugehörigen Basisvektor d. h. e 2 : S 2 = x 3 da, e 3 : S 3 = Die Dimension der statischen Momente ist [L 3 ]. (1.44) x 2 da Fächenmomente 2. Ordnung Fächenmomente 2. Ordnung sind definiert as Moment der Momente 1. Ordnung, aso as M 2 O = x (x da) = x (x n)da. (1.45) Nach dem Entwickungssatz (Vektoridentität, vg. TM I, nhang ) git x (x n) = (x n)x (x x)n. (1.46) Eine weitere Umformung iefert mit der Eigenschaft des dyadischen Produktes (vg. TM I, nhang B) (x n)x = (x x) n (1.47) die Darsteung für das Fächenmoment 2. Ordnung M 2 O = [(x x) (x x)i]da n =: J n. (1.48) Dabei wird der Fächenträgheitstensor as J = [(x x)i (x x)]da (1.49)

29 Praktikumsversuch Schiefe Biegung 29 definiert. Bemerkung: Der Fächenträgheitstensor wird hier mit dem Symbo J gekennzeichnet, um Verwechseungen mit dem Identitätstensor I auszuschießen. Um mit der gängigen Literatur konform zu beiben werden die Koeffizienten jedoch mit I ij gekennzeichnet: J = I ij e i e j. (1.50) Für den betrachteten ebenen Fa git x = x 2 e 2 + x 3 e 3 x x = x x 2 3, (1.51) so dass fogt J = I ij e i e j = [(x x 2 3)δ ij x i x j ]dae i e j. (1.52) Die Koeffizienten des Fächenträgheitstensors werden as Fächenträgheitsmomente bezeichnet, vg.(1.11). Die Indizierung richtet sich nach den zugehörigen Basisvektoren. Die Einheit der Fächenträgheitsmomente ist [L 4 ]. Man nennt I 11 = I p = I 22 = I 33 = (x x 2 3)da : poares Fächenträgheitsmoment, x 2 3da x 2 2da I 23 = I 32 = x 2 x 3 da : axiaes Fächenträgheitsmoment, : axiaes Fächenträgheitsmoment, : Deviationsmoment. (1.53) Verschiebung des Bezugssystems s Referenzbezugssystem wird ein Basissystem gewäht, das im Schwerpunkt der betrachteten Fäche iegt. Fächenträgheitsmomente mit Bezug auf ein Basissystem im Fächenschwerpunkt heißen Eigen-Trägheitsmomente. Zur Unterscheidung der unterschiedichen Basissysteme wird das Basissystem im Fächenschwerpunkt mit ē i bezeichnet, ein beiebig gegenüber diesem System verschobenes Basissystem wird mit ê i gekennzeichnet, vg. bb. 16.

30 30 Theorie ê 2 Ô ê1 ˆx F ê 3 x ē 2 Ō ē 3 ˆx da bbidung 16: Schwerpunktsystem ē i und verschobenes Basissystem ê i Mit der Darsteung des Ortsvektors bzg. des Schwerpunktsystems x = x 2 ē 2 + x 3 ē 3 (1.54) fogt aus (1.53) für die Eigenträgheitsmomente Ī 22 = x 2 3da, Ī 33 = x 2 2da, Ī 23 = x 2 x 3 da. (1.55) Für das parae verschobene Bezugssystem ergibt sich der Ortsvektor zu Dann git für den Fächenträgheitstensor Damit ergibt sich Ĵ = Ĵ = ˆx = x + ˆx F. (1.56) [(ˆx ˆx)I ˆx ˆx]da. (1.57) [(x + ˆx F ) (x + ˆx F )I (x + ˆx F ) (x + ˆx F )]da. (1.58) Berücksichtigt man, dass das statische Moment im Bezug auf ein Schwerpunktsystem verschwindet, xda = 0, (1.59)

31 Praktikumsversuch Schiefe Biegung 31 und dass die Fäche durch = da (1.60) gegeben ist, so findet man nach usmutipikation von (1.58) für den Fächenträgheitstensor bzg. des verschobenen Bezugsystems Ĵ = J + [(ˆx F ˆx F )I ˆx F ˆx F ]. (1.61) Dieses Ergebnis wird as Satz von Steiner ( ) bezeichnet. Für die Koeffizienten bezügich der verschobenen chsen git somit Î ij = Īij + [((ˆx F 2) 2 + (ˆx F 3) 2 )δ ij ˆx if ˆx F j ]. (1.62) Konkret ergeben sich die axiaen Fächenträgheitsmomente und die Deviationsmomente bzg. des parae verschobenen Koordinatensystems zu Î 22 = Ī22 + (ˆx F 3) 2, Î 33 = Ī33 + (ˆx F 2) 2, Î 23 = Î32 = Ī23 ˆx F 2 ˆx F 3 }{{}. Steiner-nteie (1.63) Die Fächenträgheitsmomente im verschobenen Bezugsystem ergeben sich aus den Eigenträgheitsmomenten bzg. der Schwerpunktachsen und der mit dem bstand zum Quadrat gewichteten Fächen. Diese nteie werden as Steineranteie bezeichnet. Bemerkung: Bezügich der Schwerpunktachsen werden die Fächenträgheitsmomente minima, da die Steineranteie verschwinden. Bei nwendung der Formen (1.61) (1.63) muss ein System ein Schwerpunktsystem sein. Findet eine Paraeverschiebung der chsen statt, ohne dass eines der Koordinatensysteme ein Schwerpunktsystem ist, so muss der Satz von Steiner zweima angewandt werden, indem das Koordinatensystem zuerst in den Fächenschwerpunkt verschoben wird und von da aus in usgangsage, bb. 17. Für die Berechnung von Trägheitsmomenten zusammengesetzter Querschnitte ist der Steinersche Satz hifreich, wenn für die Teifächen die Eigenträgheitsmomente bekannt sind.

32 32 Theorie ê 2 Ô x F ē 2 Ō ê 3 ẽ 2 x F Õ ẽ 3 ē 3 bbidung 17: Satz von Steiner: Zweifache nwendung Drehung des Bezugssystems Neben einer Transation des Bezugsystems kann auch eine Rotation des Bezugsystems zugeassen werden. Die Drehung des Bezugsystems gemäß bb. 18 hat für die Darsteung von Tensoren einen Einfuss. Dies wurde für einen Tensor zweiter Stufe bereits für den Spannungstensor (TM I, Kapite 11) diskutiert. In diesem Fa beibt der Bezugspunkt erhaten, die Basisvektoren werden gedreht. O. B. d.. wird die Drehung eines Bezugsystems im Schwerpunkt der Fäche betrachtet. Liegt das Koordinatensystem nicht im Fächenschwerpunkt, so kann es unter nwendung des Satzes von Steiner dorthin verschoben werden. Für die gedrehten Basisvektoren git ẽ i = R ē i bzw. ē i = R 1 ẽ i =: R ẽi. (1.64) Die Drehung wird dabei durch einen orthogonaen Tensor mit der Eigenschaft charakterisiert. R T = R 1, detr = 1 (1.65) BetrachtetmaneineFächeindere 2 e 3 -Ebene,somussderorthogonaeTensor R eine Rotation um die e 1 -chse beschreiben. Dementsprechend git R = 0 cosϕ sinϕ e i e j mit R T = R 1 = R. (1.66) 0 sinϕ cosϕ

33 Praktikumsversuch Schiefe Biegung 33 ϕ ē 2 Ō = Õ ẽ 2 ẽ 3 ē 3 bbidung 18: Um ϕ rotiertes Basissystem ê i Somit ergeben sich die fogenden Darsteungen des Fächenträgheitstensors im Schwerpunktsystem ē i und im gedrehten System ẽ i J = Īijē i ē j = Ĩijẽ i ẽ j. (1.67) Mit der Transformation (1.64) fogt schießich durch Einsetzen für die beiden Koeffizientenschemata Ĩ ij = R ik Ī k Rj. (1.68) naog zur Transformation des Spannungstensors findet man für die transformierten Koeffizienten Ĩ 22 = Ī22 cos 2 ϕ + Ī33 sin 2 ϕ + 2Ī23 sin ϕ cosϕ, Ĩ 33 = Ī22 sin 2 ϕ + Ī33 cos 2 ϕ 2Ī23 sin ϕ cosϕ, (1.69) Ĩ 23 = Ĩ32 = (Ī22 Ī33) sinϕ cosϕ + Ī23(cos 2 ϕ sin 2 ϕ). Unter Berücksichtigung der dditionstheoreme fogt schießich die Darsteung Ĩ 22 = 1 2 (Ī22 + Ī33) (Ī22 Ī33)cos(2ϕ) + Ī23 sin(2ϕ), Ĩ 33 = 1 2 (Ī22 + Ī33) 1 2 (Ī22 Ī33)cos(2ϕ) Ī23 sin(2ϕ), (1.70) Ĩ 23 = Ĩ32 = 1 2 (Ī22 Ī33) sin(2ϕ) + Ī23 cos(2ϕ). Die Hauptträgheitsachsen ergeben sich aus dem Eigenwertprobem des Trägheitstensors. Die entsprechende Diskussion wurde in TM I für den Spannungstensor geführt, der bzg. der Hauptachsen Diagonagestat annimmt. us den

34 34 Theorie Geichungen (1.70) ergibt sich die Lage der Hauptträgheitsachsen aus der Forderung, dass der Trägheitstensor Diagonaform annimmt, Ĩ 23! = 0 ϕ. (1.71) Durch Einsetzen von ϕ in die Geichungen (1.70) 1,2 ergeben sich die Werte der Hauptträgheitsmomente. Bemerkung: Die Berechnung der Hauptträgheitsmomente entspricht der Berechnung der Hauptspannungen. Die graphische Lösung des Probems geschieht mit dem Mohrschen Kreis, vg. TM I, Kap. 10.

35 Praktikumsversuch Schiefe Biegung Schiefe Biegung Bisang haben wir angenommen, dass die Beastungsebene und die Verformungsebene identisch sind. In diesem Fa bezeichnet man den Biegevorgang as gerade Biegung. Dies muss nicht immer der Fa sein. Man spricht dann von schiefer Biegung. Für die schiefe Biegung so nun die Theorie für einen Bernoui-Baken entwicket werden. Wir treffen dabei die fogenden nnahmen: Der Baken ist gerade mit veränderichem Querschnitt (x 1 ). m geraden Baken sind das Zug- und das Biegeprobem entkoppet. Wir betrachten im Weiteren nur das Biegeprobem. Ebene Querschnitte beiben auch nach der Deformation eben. Querschnitte, die vor der Deformation senkrecht zur Bakenachse stehen, sind nach der Deformation senkrecht zur deformierten chse(bernoui-nnahmen). Diese nnahmen führen zu einem schubstarren Baken, d. h. aus der Deformation fogen keine Schubspannungen und dementsprechend keine Querkräfte. Diese sind viemehr über eine Geichgewichtsbetrachtung zu ermitten, vg. Kapite??. Das Bezugssystem mit den Basisvektoren e i iegt im Schwerpunkt der Querschnittsfäche, bb. 19. e 2 e 1 e 3 Q 2 M 2 M 3 N 1 Q 3 bbidung 19: Beastungen der schiefen Biegung Bei Betrachtung des reinen Biegeprobems ergibt sich die fogende Kinematik: e Punkte eines Querschnitts erfahren jeweis die geiche Verschiebung in

36 36 Theorie e 2 - und e 3 -Richtung. In e 1 -Richtung ergibt sich die Verschiebung durch die Verdrehungen ϕ 2 und ϕ 3 um die e 2 - und e 3 -chsen gemäß bb. 20. Dabei wird vorausgesetzt,dassdiedrehwinkekeinsind,sodasssinϕ i ϕ i,cosϕ i 1git (geometrisch ineare Theorie). Eine Verschiebung des Fächenschwerpunktes in e 1 -Richtung findet beim reinen Biegeprobem nicht statt. e 2 e 1 e 3 ϕ 2 ϕ 3 bbidung 20: Verdrehungen des Querschnitts Für den Verschiebungsvektor eines Punktes x git dann u = u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3 = (x 3 ϕ 2 x 2 ϕ 3 ) }{{} =:u e 1 + u 2 }{{} =:v e 2 + u 3 e 3. }{{} =:w (1.72) Einen ntei u 1(x 1 ) erhät man nur in Kombination mit dem Normakraftprobem, so dass dieser Tei hier nicht berücksichtigt wird. Damit kann die Dehnungsverteiung in der Querschnittsfäche berechnet werden ε 11 = u dϕ 2 dϕ 3 = x 3 x 2 = x 3 ϕ 2 x 2 ϕ x 1 dx 1 dx 3. (1.73) 1 Die zweite Bernoui-nnahme iefert die Forderungen ε 13 = ε 31 = 1 ( u1 + u ) 3 2 x 3 x 1 ( u1 + u ) 2 x 2 x 1 = 0, ε 12 = ε 21 = 1 = 0. 2 (1.74) Für den Verschiebungszustand nach (1.72) ergibt sich daraus der Zusammenhang ϕ 2 = u 3 x 1 = w, ϕ 3 = u 2 x 1 = v (1.75)

37 Praktikumsversuch Schiefe Biegung 37 zwischen der Drehung der Querschnittsfäche und der beitung der usenkung der Bakenachse. ufgrund der Forderung (1.74) iefert das Stoffgesetz keine Schubspannungen, sondern nur Normaspannungen in Bakenängsrichtung σ 11 = Eε 11 = E(x 3 ϕ 2 x 2 ϕ 3). (1.76) us dieser Spannungsverteiung resutieren die fogenden Schnittgrößen N 1 = σ 11 da = Eϕ 2 x 3 da Eϕ 3 x 2 da, M 2 = M 3 = x 3 σ 11 da = Eϕ 2 x 2 σ 11 da = Eϕ 3 x 2 3da Eϕ 3 x 2 2da Eϕ 2 x 2 x 3 da, x 2 x 3 da. (1.77) Da die statischen Momente bzg. der Schwerpunktsachsen Nu sind, x 2 da = x 3 da = 0, (1.78) verursacht die reine Biegung keine Normakraft im Baken (Entkoppung des Zug- und Biegeprobems). Die resutierenden Biegemomente können mit der Definition der Trägheitsmomente I 22 = x 2 3da, I 33 = x 2 2da, I 23 = x 2 x 3 da (1.79) dargestet werden as M 2 = EI 22 ϕ 2 + EI 23 ϕ 3, M 3 = EI 23 ϕ 2 + EI 33 ϕ 3. (1.80) Da as Bezugssystem ein Schwerpunktsystem gewäht wurde, handet es sich bei den Trägheitsmomenten nach (1.79) um die Eigenträgheitsmomente I 22 = Ī22, I 33 = Ī33, I 23 = Ī23. (1.81) Die Beziehungen (1.80) kann man nach ϕ 2 und ϕ 3 aufösen und erhät ϕ 2 = w = I 33M 2 I 23 M 3 E(I 22 I 33 I 2 23), ϕ 3 = v = I 22M 3 I 23 M 2 E(I 22 I 33 I 2 23). (1.82) Setzt man dieses Ergebnis in den Normaspannungsverauf (1.76) ein, so fogt σ 11 = (I 33M 2 I 23 M 3 )x 3 (I 22 M 3 I 23 M 2 )x 2. (1.83) I 22 I 33 I23 2

38 38 Theorie Wie bei der geraden Biegung stet sich auch bei schiefer Biegung eine ineare Spannungsverteiung in der Querschnittsfäche ein. Fas das Bezugssystem ein Hauptträgheitsachsensystem darstet, sind die Deviationsmomente Nu, I 23 = 0, (1.84) so dass in (1.83) die Koppungen zwischen den beiden Richtungen entfaen. In diesem Fa git mit Bezug auf die Hauptträgheitsachsen Bemerkung: σ 11 = M 2x 3 I 22 M 3x 2 I 33. (1.85) Wenn neben einer Biegebeanspruchung auch eine Normakraftbeanspruchung stattfindet, so ist in der Spannungsverteiung nach(1.83) bzw.(1.85) zusätzich ein konstanter ntei σ N 11 = N 1 / zu berücksichtigen. Die neutrae Faser für ein Hauptträgheitssystem ist dann durch die Bedingung σ 11 = 0 x N 3 = N 1I 22 M 2 + M 3I 22 M 2 I 33 x N 2 (1.86) festgeegt, d. h. es gibt eine Gerade in der Querschnittsfäche, in der die Normaspannungen zu Nu werden. Die Biegeinie der schiefen Biegung ergibt sich aus der Kombination der inkrementeen Schnittgrößenbeziehungen (Geichgewicht; (1.21)) M 2 = q 3, M 3 = q 2, (1.87) wobei die Vorzeichen aus der Wah des Koordinatensystems resutieren, mit dem Stoffgesetz (1.82) und der Kinematik (1.75). Unter der nnahme, dass die Fächenträgheitsmomente und der Eastizitätsmodu E konstant sind, iefert zweimaiges beiten von (1.82) mit Einsetzen von (1.87) die Geichungen für schiefe Biegung w = I 33q 3 + I 23 q 2 E(I 22 I 33 I 2 23), v = I 22q 2 + I 23 q 3 E(I 22 I 33 I 2 23). (1.88)

39 Praktikumsversuch Schiefe Biegung 39 2 Praktische ufgabensteung Im zweiten Tei des Praktikums so an praktischen Beispieen die im ersten Tei erarbeitete Theorie überprüft werden. n den gegebenen Baken soen fogende ufgaben durchgefhrt werden: 1. Überprüfen Sie, inwieweit die im Tei I geforderten Voraussetzungen erfüt sind bzw. wo muss eine Kraft angreifen, damit die Voraussetzungen erfüt sind? 2. Bestimmen Sie zu jedem der gegebeen Profie (a) den Fächenschwerpunkt (b) die Hauptträgheitsmomente (c) die Hauptrichtungen Dazu müssen die Profie mit den gegebenen Messgeräten vermessen werden. 3. Bestimmen Sie die Lage der Spannungsnuinie! 4. Nun wird ein Baken einseitig fest eingespannt und mit einem Gewicht beastet. Die gemessene Verformung ist mit den berechneten Werten zu vergeichen.