Finite-Elemente-Methode

Transkript

1 Finite-Eemente-Methode Rechnergestützte Einführung von Peter Steinke 3., bearb. Auf. Finite-Eemente-Methode Steinke schne und portofrei erhätich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG Thematische Giederung: Computeranwendungen in Wissenschaft & Technoogie Springer 21 Verag C.H. Beck im Internet: ISBN

2 Kapite 9 Fedprobeme 9

3 9 9 Fedprobeme 9.1 Wärmeübertragung Die Poisson sche Geichung Randbedingungen Das Funktiona der Wärmeübertragung Eindimensionae Wärmeübertragung Probemdefinition Funktiona des eindimensionaen Wärmeübertragungsprobems Diskretisierung des Funktionas Variation des Funktionas Beispie zur eindimensionaen Wärmeübertragung Übungsbeispiee: Eindimensionae Wärmeübertragung Zweidimensionae Wärmeübertragung Probemdefinition Randbedingungen bei der zweidimensionaen Wärmeübertragung Diskretisierung des Funktionas Variation des Funktionas Beispie zur zweidimensionaen Wärmeübertragung Übungsbeispiee zur zweidimensionaen Wärmeübertragung Torsion von prismatischen Körpern Funktiona des Torsionsprobems Anaogie - Wärmeübertragung zu Schichtenströmung Probembeschreibung Grundgeichungen Anaogie der Randbedingungen Anaoges Funktiona des Strömungsprobems

4 9 Fedprobeme Das Bid 9.1 zeigt einen dreidimensionaen Körper, in dem die Fedgröße φ = φ(x, y, z)asgesuchtegröße auftritt. As bekannte Größe tritt im Inneren des Körpers die Quegröße Φ auf. Auf der Oberfäche Ω φ wird die Größe φ as bekannt vorausgesetzt. Die Fußgröße q tritt auf der Oberfäche Ω q auf. Bid 9.1. Ein dreidimensionaer Körper mit den Größen der betrachteten Fedprobeme Die Zuordnung dieser Größen ist im Tonti-Diagramm in Bid 9.2 gegeben. Die kinematische Beziehung 1 stet sich as Gradient g = φ dar. Die Stoffgeichung verknüpft über die Stoffmatrix ˆD die Fußgröße q mit dem Gradienten g. In der Geichgewichtsbedingung q = Φ tritt die Quegröße Φ auf. Die wesentiche Randbedingung φ wird der Oberfäche Ω φ zugeordnet. Die natüriche Randbedingung q = e n q = e T n q beschreibt auf Ω q die Fußgröße. Die Größen in den schattierten Kästchen werden as bekannt vorausgesetzt. Setzt man den Gradienten g in die Stoffgeichung ein, so erhät man: q = ˆD φ (657) Einsetzen in die Geichgewichtsbeziehung führt auf: ( ˆD φ) = ĝ = Φ (658) In ausführicher Schreibweise erhät man: ( ) φ λ x + ( ) φ λ y + ( ) φ λ z = Φ (659) x x y y z z 1 Die Begriffe im Tonti-Diagramm sind in Bid 2.12 auf der S. 58 eingeführt.

5 Fedprobeme Bid 9.2. Das Tonti-Diagramm der betrachteten Fedprobeme Diese Geichung nennt man die agemeine Poisson sche Geichung. Verschwindet der Term Φ und sind die Größen λ i = konstant, so erhät man die Lapace Geichung. Viee physikaische Probeme steen sich as Fedprobeme bzw. Potentiaprobeme dar. Hierunter faen z.b. das Wärmeeitungsprobem, die Potentiaströmung und die Torsion eines prismatischen Stabes, um nur einige zu nennen. A diese Probeme sind dadurch gekennzeichnet, daß sie sich durch (659) beschreiben assen. Die wichtigsten physikaischen Probeme dazu sind in Tab. 9.1 zusammengefaßt. Tabee 9.1. Zusammensteung anaoger Fedprobeme Probem Variabe φ Stoffgröße Φ Wärmeübertragung Temperatur Wärmeeitfähigkeit Wärmequeendichte Torsion Spannungsfunktion 1 2 Driwinke Schubmodu Spritzgießen Druck Fuidität Schmieröfim Druck Funktionen der Fimdicke Wirksamer Fuß und Viskosität Sickerströmung Druckhöhe Durchässigkeit Strömungsquee Reibungsfreie, Potentiafunktion 1 Quee oder Senke inkompressibe, wirbefreie Strömung Eektrostatik Fedpotentia Dieektrizitätskonstante Ladungsdichte

6 9.1 Wärmeübertragung Wärmeübertragung Die Poisson sche Geichung Das Wärmeübertragungsprobem äßt sich mit Hife der Poisson schen Geichung (659) beschreiben. Dabei ist die unbekannte Größe φ die Temperatur T. Φ ist die Wärmequeendichte und die Hauptdiagonaeemente der Stoffmatrix D steen sich as Wärmeeitfähigkeiten λ i eines orthotropen Körpers dar: D = λ x λ y (66) λ z Für die Stoffmatrix D git beim Wärmeübertragungsprobem: D = ˆD. Damit autet die Stoffgeichung in Abwandung von (657): q = D T (661) Diese Beziehung nennt man Fourier sche Geichung. Einsetzen in die Geichgewichtsbeziehung führt auf: ( ) T λ x + ( ) T λ y + ( ) T λ z + Φ = (662) x x y y z z Randbedingungen Die wesentichen Randbedingungen beschreiben auf der Oberfäche Ω T die Temperaturen T = T.Dienatürichen Randbedingungen erfassen auf der Oberfäche Ω q die Wärmestromdichten: q = e T n q = q T e n (663) Der Einheitsnormaenvektor e n steht norma zur Oberfäche Ω q (s. Bid 9.1). Einsetzen von (661) in (663) führt zu: q = (D T ) T e n = ( T ) T D e n (664)

7 27 9. Fedprobeme Der Wärmeübergang auf Ω q kann durch Leitung q oder Konvektion α(t T u ) stattfinden 1.Damiterhät man mit (664): ( T ) T D e n + q + α(t T u ) = (665) In skaarer Form ergibt sich für ein okaes Koordinatensystem, in dem die n-achse in Richtung von e n zeigt: λ n T n + q + α(t T u ) = (666) Die Geichung (666) beschreibt die natürichen Randbedingungen des Wärmeübertragungsprobems. Dabei ist α der Wärmeübergangskoeffizient und T u die Umgebungstemperatur Das Funktiona der Wärmeübertragung Das zuvor dargestete Wärmeübertragungsprobem äßt sich aternativ über ein Funktiona 2 der fogenden Form beschreiben: Π= 1 ( ( T ) T D TdV Φ TdV + ) T i Q i 2 V V }{{} i }{{} Wärmeeitung (Π w) Innere Wärmeerzeugung (Π Q) [ α (T u 12 ) ] T + q TdΩ Ω } R {{} Wärmeübergang auf den Oberfächen des Körpers (Π q) (667) Hierbei wird die Geichgewichtsbeziehung q = Φ sowie die natüriche Randbedingung e T n q = q in schwacher, d.h. in gemitteter Form, berücksichtigt. Das Probem stet ein C -Probem dar, da im Funktiona nur erste Abeitungen von T auftreten. Das Funktiona beschreibt den dreidimensionaen Fa. Für die später betrachteten ein- und zweidimensionaen Fäe ändert sich nur die Dimension des Naba-Vektors. Zudem treten dann Integrae über die Ränder des entsprechenden Körpers auf. Die Größen in (667) haben fogende Bedeutung: T-Temperatur Φ-Wärmequeendichte (pro Voumeneinheit erzeugte Wärmemenge) 1 Wärmestrahung kann in ähnicher Form berücksichtigt werden. 2 Die Euer-Lagrange schen Geichungen hiervon führen auf (662) und (664).

8 9.2 Eindimensionae Wärmeübertragung 271 α -Wärmeübergangszah T u - Umgebungstemperatur Q i - Punktförmige Wärmequeen D -StoffmatrixmitdenWärmeeitfähigkeiten 9.2 Eindimensionae Wärmeübertragung Probemdefinition In Bid 9.3 ist ein eindimensionaer Körper mit mögichen Randbedingungen dargestet. Die Hauptausdehnungsrichtung veräuft in x-richtung und ist sehr vie größer as die Ausdehnung quer zur x-achse. Diese wird durch die Querschnittsfäche A erfasst. Die unbekannte Größe ist die Temperatur T. Sie ändert sich nur in Richtung der x-achse (T = T (x)). Es iegt aso ein eindimensionaes Probem vor. Es sind vier Formen von Randbedingungen angeführt. Einer Stirnfäche des Körpers ist eine Temperatur T aufgeprägt. Die weiteren Randbedingungen assen sich mit Hife von (666) eräutern: Bid 9.3. Die Randbedingungen beim eindimensionaen Wärmeübertragungsprobem Wärmeisoation auf der Mantefäche Ω I ( q = α =). Wärmeübertragung durch Leitung auf der Stirnfäche Ω q ( q,α=). Wärmeübertragung durch Konvektion auf der Mantefäche Ω α (α, q =) Funktiona des eindimensionaen Wärmeübertragungsprobems Das Funktiona des eindimensionaen Wärmeübertragungsprobems autet:

9 Fedprobeme Π= 1 ( ) 2 dt λ dv 2 V dx }{{} Wärmeeitung (Π w) [ α Ωq ( (T u 12 T ) + q ) T Φ dv +Σ i T i Q i } V {{ } Innere Wärmeerzeugung ] (Π Q) TdΩ } {{ } Wärmeübergang auf den Oberfächen des Körpers (Π q) (668) In dem Ausdruck der Wärmeeitung reduziert sich die Stoffmatrix D auf die skaare Wärmeeitfähigkeit λ. Der Gradient T vereinfacht sich zu dt/dx. Die innere Wärmeerzeugung wird um die punktueen Wärmequeen der Form i T iq i ergänzt. Der Wärmeübergang auf der Oberfäche des Körpers entspricht dem dreidimensionaen Fa Diskretisierung des Funktionas Bid 9.4. Wärmeübertragung durch ein eindimensionaes Eement In Bid 9.4 ist ein Körper dargestet, der eine Hauptausdehnungsrichtung aufweist. Er besteht aus einem konischen und einem prismatischen Abschnitt. Der prismatische Abschnitt wird in ein finites Eement eingeteit, das in der Schwereachse des Körpers iegt, die mit der x-achse zusammenfät. Das Eement hat eine Länge, eine Querschnittsfäche A sowie eine Wärmeeitfähigkeit λ. Es weist an seinen beiden Enden jeweis einen Knoten i bzw. j auf. Für diese beiden Knoten werden as Unbekannte die Knotentemperaturen T i und T j eingeführt. Diesen zugeordnet sind die punktförmigen Wärmequeen Q i und Q j. Sie beschreiben die Wärmemengen, die am Knoten i (Q i )bzw.j (Q j ) in das Eement hinein- oder herausfießen. Die Wärmeübergangskoeffizienten α i, α j, α M, sowie die Umgebungstemperatur T u dienen zur Beschreibung der Konvektion, die sich auf den Stirnfächen oder der Mantefäche ausbidet. Die ineare Temperaturverteiung in diesem eindimensionaen Eement wird wie fogt beschrieben:

10 9.2 Eindimensionae Wärmeübertragung 273 [ T (x) = 1 x x ] T i T j [ = ] N 1 N 2 T i T j = N T T (669) Die Formfunktionen N 1, N 2 entsprechen denen, die beim Stabeement Verwendung finden (s. (258)). Die Abeitung der Temperatur nach x autet: [ dt dx = 1 ] 1 T i = B T T (67) }{{} T j B ( ) T 2 dt = B dx T T B T T = T T B B T T (671) Wärmeeitung Damit erhät man für Π w : Π w = 1 2 V λ T T B B T TdV= 1 2 T T λ B B T dv V } {{ } K w T (672) Das dyadische Produkt B B T führt zu: B B T = 1 1 [ 1 1 ] = (673) 1 1 Bei konstantem Querschnitt des betrachteten Eementes kann man schreiben (dv = Adx): Π w = λ T T TAdx 1 = T 2 T Aλ 1 1 T 1 1 } {{ } K w = 1 2 T T K w T (674)

11 Fedprobeme Innere Wärmeerzeugung Π Q = V T Φ dv +Σ i T i Q i (675) Die Temperatur T in (675) wird über die Formfunktion nach (669) beschrieben (Φ = konstant): Π Q = Φ T T NAdx +Σi T i Q i = T T A Φ = T T 1 2 V Φ 1 1 } {{ } F Q + T T F = T ( T FQ + F ) 1 x x dx +Σ i T i Q i (676) Wärmeübergang auf den Oberfächen Π q = Ω [ α (T u 12 ) ] T + q TdΩ= 1 2 αt 2 dω + } Ω {{ } Π q1 Ω β {}}{ (αt u + q) TdΩ } {{ } Π q2 (677) Konvektionsmatrix Der erste Summand aus (677) führt auf die Konvektionsmatrix K k : T = N T T ; T 2 = N T T N T T = T T N N T T N N 1 x ( [ T = x 1 x ] x 1 x ) 2 ( x x = ( ) 2 ( ) 2 x x x ) 2 (678) Die Integration dω erstreckt sich über die Oberfäche des eindimensionaen Eementes. Dies sind zum einen die Mantefäche und zum anderen die beiden Stirnfächen.

12 9.2 Eindimensionae Wärmeübertragung 275 Π q1 = 1 2 Ω αt 2 dω= 1 2 αt 2 Udx }{{} Mantefäche ] [ ] 1 2 αt2 A i + x= 2 αt2 A j x= }{{} Stirnfächen (679) [ 1 + Es wird in (679) vorausgesetzt, daß der Querschnitt im Eement konstant ist. Damit git: dω = Udx, wobei U der Umfang des Querschnittes ist. Π q1 = 1 T 2 T α M ( 1 x ) 2 x ( x 1 x + 1 T 2 T α i A i = 1 T 2 T M α M = 1 2 T T ( 1 x ) ) ( ) 2 x dx T T 1 + T 2 T α j A j T + α i A i M α M 3 + α M ia i α M 6 M M α M α M + α j A j α ja j }{{} K k T T = 1 2 T T K k T (68) M = U ist die Mantefäche des Eementes. α M ist der Wärmeübergangskoeffizient auf der Mantefäche. α i und α j sind die Wärmeübergangskoeffizienten für die Stirnfächen am Anfangs- und Endknoten des Eementes. Wärmeübergangsvektor Die Integration über die Größe β in (677) erstreckt sich über die Mantefäche und die Stirnfächen (A i, A j ) des Eementes: Π q2 = βtdω= Ω = β M U T T [ ] β M TUdx+ β i T 1 x x dx + β i T T [ ] β j T A j x= A i + x= A i + β j T T A j

13 Fedprobeme = T T β M U = T T 1 2 β MM + β i A i 1 2 β M M + β j A j + β i A i } {{ } F q + β j A j = T T Fq (681) Bei β = αt u + q ist zwischen β M (Mantefäche) und β i,β j (Stirnfächen) zu unterscheiden. M = U ist wiederum die Mantefäche des Eementes Variation des Funktionas Damit ergibt sich für das Funktiona: Π=Π w Π Q Π q1 Π q2 = 1 2 T T ( K w + K k ) T T T ( FQ + F + F q ) Die Variation führt auf fogenden Ausdruck: ( ) K w + K k T = Fq + F Q + F Aλ α M M +6α i A i α M M T i α M M 2 α M M +6α j A j T j }{{}}{{} Wärmeeitung (K w ) Konvektion (K k ) = 1 β M M +2β i A i + Φ V + Q i 2 2 β M M +2β j A j } {{ } Wärmeübergang ( F q) 1 1 } {{ } Wärmeerzeugung ( F Q) Q j }{{} Punktwärmequeen ( F ) (682) (683) Der Wert β = αt u + q wird für die Mantefäche β M sowie die Stirnfächen β i,β j unterschieden. Findet auf diesen Fächen keine Konvektion statt, so ist α Nu. Ebenso ist q Nu, wenn diesen Fächen keine Wärmestromdichte aufgeprägt wird.

14 9.2 Eindimensionae Wärmeübertragung Beispie zur eindimensionaen Wärmeübertragung In Bid 9.5 ist ein Kühstab mit der Wärmeeitfähigkeit λ dargestet, der von einer Füssigkeit mit der Temperatur T u umgeben ist und per Konvektion über seine Mantefäche Wärme abführen so. Am Fußpunkt des Stabes ist die Temperatur T f bekannt. Er hat eine Höhe h und einen Durchmesser d. Gesucht ist die Temperaturverteiung T = T (x) im Stab und die Wärmeabgabe, wobei die Wärmeabgabe über die Stirnfäche vernachässigt wird. Weiterhin ist der Feher bei der FEM zu betrachten (Anaytische Lösung s. Kap ). Bid 9.5. Einteiung des Stabes in zwei Eemente. Bei der Zahenrechnung werden fogende Werte angenommen: h = 1, d = 1, T f = 1, T u = 2, α =1/2, λ =3/5 Lösung mit zwei zweiknotigen Eementen Der Stab nach Bid 9.5 wird in zwei Eemente der Länge h/2 eingeteit. Den beiden Eementen wird eine Wärmeeitfähigkeit λ zugeordnet. Auf der Mantefäche der Eemente wirkt eine Wärmeübergangszah 1 α=m 2 Aλ/U,diedie Konvektion berücksichtigt. Im Knoten 1 ist die Temperatur mit T f bekannt. Wärmeeitungs- und Konvektionsmatrizen Die Wärme- und Konvektionsmatrizen auten nach (683): K w1 = K w2 = Aλ = 3 12 h π K k1 = K k2 = 1 6 α M M 2 1 = Aλ h m 2 1 = π (684) Mit m = m 2 h 2 und K i = K wi + K ki ergibt sich: 1 Die Abkürzung m 2 = αu/(aλ) entstammt der anaytischen Lösung.

15 Fedprobeme K 1 = K 2 = Aλ 12 h 2(12 + m) m 24 m 24 2(12 + m) = π (685) Gesamtsteifigkeitsmatrix Die Gesamtsteifigkeitsmatrix K g ergibt sich aus der Überagerung der beiden Einzesteifigkeitsmatrizen K 1 und K 2 : T 1 T 2 T 3 K g = Aλ 2(12 + m) m 24 T 1 12 h m 24 4(12 + m) m 24 T 2 m 24 2(12 + m) T 3 T 1 T 2 T 3 = π 68 7 T T 2 (686) 7 68 T 3 Rechte Seite des Probems Der Vektor der Temperaturen wird in zwei Anteie zeregt. T erfaßt die bekannten Temperaturen: T T =[T f ].In ˆT stehen die unbekannten Temperaturen ( ˆT ) T =[ T 2 T 3 ]: K g ( T + ˆT )= F Kg ˆT = F Kg T (687) Nach (683) enthät die rechte Seite zwei Anteie. Der erste Antei geht auf die Konvektion zurück. Für Eement 1 und 2 erhät man mit β M = αt u und α = maλ/(u h 2 ): F 1 = F 2 = 1 β M M 2 β M M Aλ =3 mt u 1 12 h 1 = 5 2 π 1 1 (688)

16 9.2 Eindimensionae Wärmeübertragung 279 Der zweite Antei K g T tritt infoge der gegebenen Fußtemperatur Tf auf. Das Produkt K g T stet sich wie fogt dar: 2(12 + m) m 24 K Aλ g T = m 24 4(12 + m) m h m 24 2(12 + m) 2(12 + m) 68 Aλ = T f m h = π 7 6 T f (689) Aus (688) und (689) ergibt sich damit die rechte Seite zu: 1 2(12 + m) F K Aλ g T =3 mt u 2 12 h T Aλ f m h 1 3 mt u 2(12 + m)t R f Q 1 = Aλ 6 mt 12 h u +(24 m)t f + = π 6 3 mt u R Q R Q 1 (69) Aus dem Geichungssystem mit der Koeffizientenmatrix nach (686) und der rechten Seite nach (69) kann die erste Zeie und Spate gestrichen werden: Aλ 12 h 4(12 + m) m 24 m 24 2(12 + m) π T 2 T 3 T 2 T 3 = Aλ 6 mt u +(24 m)t f 12h 3 mt u = π (691) Daraus ergeben sich die Temperaturen zu:

17 28 9. Fedprobeme T 2 T 3 = (9 m + 216) mt u +[(12 m)2 m + 576]T f m +7 m 2 ( m + 48)6 mt u +[( m 48) m + 576]T f m +7 m 2 15, 86 = (692) 2, 426 = Anaytische Lösung des Wärmestromes am Fußpunkt Über die Fourier sche Geichung Q = A λ dt/dx erhät man aus der anaytischen Lösung T = T u +(T f T u )cosh[m (h x)] / cosh (mh) denwärmestrom: Q(x) =Aλ m sinh [m(h x)] (T f T u ) (693) cosh(mh) Für den Fußpunkt ergibt sich mit x =: Q(x =)=Aλm tanh(mh)(t f T u )=21, 765 (694) Wärmestrom bei zwei Eementen Aus der Beziehung K g T = F äßt sich der Wärmestrom am Knoten 1 berechnen. Dazu wird die erste Zeie aus K g (686) mit den Temperaturen T f und T 2 mutipiziert und man erhät den Wärmestrom am Knoten 1: Aλ 12 h [2(12 + m)t f +( m 24)T 2 ]= Aλ 12 h 3 mt u + R Q 1 (695) Einsetzen der Temperatur T 2 aus (692) führt zu: R Q 1 = Aλ h (48 + m)(12 + m) m +7 m 2 m (T f T u )=28, 332 (696) Die Temperaturveräufe T (ξ) sind im Bid 9.6 für ein bis fünf Eemente der exakten Lösung gegenübergestet. Beim zweiknotigen Eement ist nach (669) die Temperatur im Eement inear verteit. Bei Steigerung der Eementanzah schmiegt sich der Temperaturverauf in Form eines Poygonzuges immer mehr an die exakte Lösung an. Bei fünf Eementen ist oberhab von ξ=1/5 kaum

18 9.2 Eindimensionae Wärmeübertragung 281 Bid 9.6. Vergeich der exakten Lösung mit der FE-Lösung für unterschiediche Eementanzahen noch ein Unterschied zwischen der FE-Lösung und der exakten Lösung zu erkennen. Feherbetrachtung beim zweiknotigen Eement In Bid 9.7 ist der Feher für Temperatur und Wärmefuß in Abhängigkeit von der Anzah der Eemente in einem doppet ogarithmischen System dargestet. Bid 9.7. Feherdarsteung der Temperatur und des Wärmefusses in Abhängigkeit von der Eementanzah Bei einem Eement beträgt der Feher 3% und fät bei 1 Eementen unterhab von 1%. Der Feher des Wärmefusses bei x= ist größer as der der Temperatur, da der Wärmefuß sich as Gradient der Temperatur darstet. Bei einem Eement beträgt er fast 1% und fät auf ca. 2% ab.

19 Fedprobeme Übungsbeispiee: Eindimensionae Wärmeübertragung 9.1 Wärmeübertragungsbeispie I Bid 9.8. Rundstab bzw. Rippe umgeben von einer Füssigkeit. Die Größe b ist beim Rundstab der Durchmesser d. Die Hauptausdehnung der Rippe der Länge L erstreckt sich norma zur Zeichenebene. Bei einer Dicke t git unter der Voraussetzung t/l << 1: t=b/2 Für das Beispie aus Kap auf der S. 277 ist die anaytische Lösung herzueiten. Dazu ist das Geichgewicht der Wärmefüsse an einem Voumeneement, wie es in Bid 9.8 dargestet ist, anzusetzen. Mit Hife der Fourier schen Geichung 1 und der Beziehung für die Konvektion 2 ist die Differentiageichung des Probems zu formuieren. Über die Randbedingungen (T (x =)=T f und dt/dx(x = h) = ) ist die Differentiageichung zu ösen. 9.2 Wärmeübertragungsbeispie II Gegeben ist in Bid 9.9 ein Schnitt durch eine Wand, die in zwei Richtungen unendich ausgedehnt ist und in x-richtung eine endiche Dicke von 3 besitzt. Die beiden äußeren Wände weisen eine Wärmeeitfähigkeit λ auf, die mittere Isoierschicht eine Wärmeeitfähigkeit fλ,mitf 1. Die Temperaturen T w und T a sind bekannt. Es soen die Temperaturen an den Steen x= und x=2 sowie der Wärmestrom und die Wärmestromdichte in der Wand berechnet werden. 9.3 Wärmeübertragungsbeispie III Eine in zwei Richtungen unendich ausgedehnte Wand (s. Bid 9.1) weist auf ihrer Innenseite eine Temperatur von T w auf. Die Wand ist über ihre Dicke (x-richtung) in drei Teiwände aufgeteit. Die innere Wand weist eine Dicke 1 und eine Wärmeeitfähigkeit λ auf. Die Außenwand hat eine Stärke 1 dq dx = Aλ d 2 T. A ist die Querschnittsfäche. dx 2 2 dq α dx = αu(t Tu). U ist der Umfang.

20 9.2 Eindimensionae Wärmeübertragung 283 Bid 9.9. Wärmeeitung durch eine in zwei Richtungen unendich ausgedehnte Wand mit einer Isoierungsschicht 3 und eine Wärmeeitfähigkeit λ. Dazwischen ist eine Isoierschicht der Dicke 2 angeordnet. Für die Wärmeeitfähigkeit git das Verhätnis f = λ b /λ. Die Umgebungstemperatur ist T u und der Wärmeübergangskoeffizient α. Bid 9.1. Wärmeeitung durch eine isoierte Wand mit unterschiedichen Wandstärken und Konvektion auf der Außenseite Gesucht sind der Temperaturverauf über die Wanddicke sowie der Wärmefuß durch die Wand in Abhängigkeit von f = λ b /λ. Wärmeübertragungsbeispie IV 9.4 Bid Rundstab mit Konvektion auf der Stirnfäche A In Bid 9.11 ist ein Rundstab mit der Querschnittsfäche A, derhöhe h sowie der Wärmeeitfähigkeit λ dargestet. Auf der Stirnfäche A des Stabes tritt Konvektion mit einer Wärmeübergangszah α auf. Die Umgebungstemperatur beträgt T u.diemantefäche des Stabes ist isoiert. Am Fußpunkt des Stabes ist die Temperatur mit T f bekannt.

21 Fedprobeme Der Stab so in zwei Eemente eingeteit werden. Gesucht sind die Temperaturverteiung T = T (x) sowiediewärmemenge, die vom Stab abgegeben wird. 9.5 N Wärmeübertragungsbeispie V Aternativ so das Probem aus Bid 9.5 auf der S. 277 mit einem dreiknotigen Eement geöst werden. Dazu sind mit dem Programm Fedprobeme 1D (s. Kap auf S. 377) die benötigten Matrizen und die rechte Seite für das dreiknotige Eement zu ermitten. Damit sind die Temperaturveräufe im Stab zu berechnen. Ergänzend sind die Lösungen von zwei-, drei-, vier- und fünfknotigen Eementen gegenübergestet. Aufgabe mit FEM GEN und FEM CAS Das Beispie in Bid 9.5 auf der S. 277 so mit FEM CAS mit vier zweiknotigen Eementen gerechnet werden. Gesucht ist der Wärmefuß Q = Q(h, A, U, α, λ, T f,t u ) Zweidimensionae Wärmeübertragung m J Probemdefinition Im fogenden wird as Fedprobem das ebene Wärmeübertragungsprobem betrachtet. In Bid 9.12 ist ein ebener Körper mit einer Dicke t dargestet. Die Dicke so sehr vie keiner sein as die äußeren Abmaße dieses Körpers. Gesucht ist die Temperaturverteiung T (Ω) in diesem Körper, wobei diese as konstant über die Dicke angenommen wird. Der Wärmeübergang findet über die Stirnfächen und über die Deckfächen des Körpers statt. Für diese Ränder können verschiedene Randbedingungen formuiert werden Randbedingungen bei der zweidimensionaen Wärmeübertragung Zur eindeutigen Beschreibung des Probemes müssen neben (662) entsprechende Randbedingungen berücksichtigt werden. Die verschiedenen Randbedingungen sind in Bid 9.12 dargestet. Sie werden in zwei Fäe unterteit: Die Temperaturverteiung ist auf dem Teirand Γ T bekannt. Diese Randbedingung entspricht den bisherigen in der Eastostatik 1. Die zweite Form der Randbedingung beim ebenen Wärmeübertragungsprobem wird durch (666 auf der S. 27) beschrieben 2. Hierin beschreibt die Wärmestromdichte q die Wärmeeitung auf dem Rand Ω q.diekonvektion 1 Diese Randbedingung wird auch Dirichet sche Randbedingung genannt. 2 Diese Randbedingung ist nach Cauchy benannt.