Ein Raum-Zeit Dünngitterverfahren zur Diskretisierung parabolischer Differentialgleichungen

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1 Ein Raum-Zeit Dünngitterverfahren zur Diskretisierung paraboischer Differentiageichungen Dissertation zur Erangung des Doktorgrades (Dr. rer. nat.) der Mathematisch Naturwissenschaftichen Fakutät der Rheinischen Friedrich Wihems Universität Bonn vorgeegt von Danie Oetz aus Bornheim-Sechtem Bonn 26

2 Angefertigt mit Genehmigung der Mathematisch Naturwissenschaftichen Fakutät der Rheinischen Friedrich Wihems Universität Bonn 1. Referent: Prof. Dr. Michae Griebe 2. Referent: Prof. Dr. Rof Krause Tag der Promotion: 27. Juni 26 Diese Dissertation ist auf dem Hochschuschriftenserver der ULB Bonn onine eektronisch pubiziert.

3 Zusammenfassung In der voriegenden Arbeit werden effiziente adaptive Diskretisierungsverfahren zur numerischen Lösung paraboischer Probeme vorgestet. Hierbei geingt es erstmaig, aufbauend auf spezieen diskreten Funktionenräumen, den sogenannten Raum- Zeit Dünngitterräumen, paraboische Probeme mit der geichen Kompexität im Speicher- und Rechenaufwand wie stationäre eiptische Probeme zu ösen. Obwoh wesentich weniger Freiheitsgrade as bei kassischen paraboischen Diskretisierungsverfahren benötigt werden, erreichen wir mit den vorgesteten Verfahren die (bis auf einen ogarithmischen Faktor) geichen Konvergenzraten wie bei herkömmichen Diskretisierungen. Hierzu werden edigich etwas stärkere Gattheitsvoraussetzungen an die Lösung des paraboischen Probems benötigt. Es wird jedoch in dieser Arbeit gezeigt, dass diese Gattheitsvoraussetzungen bei geeigneten Annahmen an das Gebiet, die rechte Seite und die Anfangs- und Randbedingungen für die Lösung paraboischer Probeme erfüt sind. Ferner steen wir für den Fa, dass die zu approximierende Funktion nicht genügend gatt ist, eine adaptive Erweiterung des Verfahrens in Raum und Zeit vor. Die resutierenden adaptiven Diskretisierungen weisen in den numerischen Experimenten für Probeme mit nicht gatten Lösungen nahezu die geiche Effizienz wie die nicht adaptiven Diskretisierungsverfahren für Probeme mit genügend gatten Lösungen auf. Besonders bemerkenswert ist hierbei, dass das vorgestete adaptive Verfahren automatisch zu okaen Zeitschritten (oca time stepping) führt, deren Umsetzung bei herkömmichen Diskretisierungen agorithmisch aufwändig ist. Zur effizienten Lösung der bei der Diskretisierung anfaenden inearen Geichungssysteme werden in dieser Arbeit Mutieveöser in Raum-Zeit entwicket. Wir untersuchen die Konvergenzeigenschaften der Löser an numerischen Beispieen, die zeigen, dass die Konvergenzraten von der Feinheit der Diskretisierung unabhängig sind. Zum Abschuss verwenden wir die Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierungen zur numerischen Lösung der zu instationären verteiten Kontroprobeme gehörenden Sattepunktsprobeme. Während bisherige Arbeiten zur Diskretisierung dieser Sattepunktsprobeme auf Grund der hohen Zah an Freiheitsgraden kassischer Diskretisierungsverfahren hierbei edigich zwei Ortsdimensionen behanden, sind wir mit den Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierungen in der Lage, erstmas auch Probeme in drei Ortsdimensionen zu behanden. Hierzu erweitern wir die Mutieveöser und die Adaptivität auf die Lösung von Systemen paraboischer Differentiageichungen. Unterschiediche numerische Beispiee demonstrieren dabei die Effizienz der adaptiven Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierung zur Lösung der Sattepunktsprobeme in bis zu drei Ortsdimensionen.

4 Danksagung An dieser Stee möchte ich es nicht versäumen, den Personen Dank auszusprechen, die auf die eine odere andere Art dazu beigetragen haben, dass es mögich war, diese Arbeit zu beginnen, durchzuhaten und zu einem erfogreichen Abschuss zu bringen. Zunächst gebührt an dieser Stee mein Dank Prof. Michae Griebe, der mich in dieses Thema eingeführt und mir mit zahreichen Ideen und Ratschägen weiter gehofen hat. Ebenso möchte ich mich bei Prof. Rof Krause für die Übernahme des Zweitgutachtens und für die Zeit, die er stets für Diskussionen mit mir übrig hatte, bedanken. Dip. Math. Jürgen Braun und Nino Meurer git mein Dank für das Korrekturesen. Einen ganz besonderen Dank git Herrn Dr. Marc Aexander Schweitzer dafür, dass er immer ein offenes Ohr und viee Denkanstöße für mich hatte und mir bei jegichen Computerprobemen zur Seite stand. As weitere wichtige Person, ohne die ich nur hab so vie Freude bei der Arbeit gehabt hätte, sei meinem Koegen Herrn Dip. Phys. Lukas Jager Dank gesagt, der viee meiner Launen mit getragen hat und mit dem ich jede Idee ausführich besprechen konnte. Schießich möchte ich aen Koegen und Mitarbeitern des Instituts für Numerische Simuation der Universität Bonn für die angenehme und inspirierende Arbeitsatmosphäre danken. Bonn, im März 26 Danie Oetz

5 Kapite 1 Eineitung Die numerische Simuation hat in den etzten Jahren eine immer bedeutendere Roe in der Forschung und Entwickung eingenommen. Kostenintensive oder in der Reaität gefähriche Experimente werden heute zunehmend durch Simuationen auf dem Computer ersetzt. Zusätzich können Prozesse simuiert werden, deren Beobachtung nur sehr schwer oder sogar unmögich wäre, da die zu beobachtenden Phänomene auf zu keiner oder zu großer Größen- oder Zeitskaa stattfinden. As Anwendungsgebiete assen sich hier beispiesweise die Simuation von Crash-Tests, der eektronische Windkana, die Optionspreisbewertung oder die Wettervorhersage anführen. Für die Simuation socher Prozesse wird zunächst ein mathematisches Mode benötigt, das ae Größen, an deren Beobachtung Interesse besteht, mögichst genau reproduziert. Bei diesen mathematischen Modeen handet es sich um Näherungen an die Wirkichkeit, wobei nicht jedes Mode unumstritten ist. Häufig werden soche Modee durch partiee Differentiageichungen beschrieben. Aufgrund der den reaen Probemen zugrunde iegenden Kompexität sind diese partieen Differentiageichungen in aer Rege jedoch nicht anaytisch ösbar. Aus diesem Grund versucht man mit Hife des Computers edigich eine Näherungsösung zu berechnen. Dabei hat es nicht nur die außerordentiche Leistungsentwickung der Computer ermögicht, soche kompexen Prozesse auf heutigen Rechnern zu ösen. Es ist auch vor aem der Entwickung effizienter Agorithmen für die entsprechenden Probemsteungen zu verdanken, dass gegenwärtig immer mehr Probeme schne durch die Anwendung numerischer Verfahren auf dem Computer mit der gewünschten Genauigkeit geöst werden können. Für den Gesamt-Rechenaufwand zur Berechnung einer Näherungsösung sind einerseits die Anzah der benötigten Freiheitsgrade und andererseits die pro Freiheitsgrad benötigten Rechenoperationen von ausschaggebender Bedeutung. Daher ist die Minimierung der Anzah benötigter Freiheitsgrade und des Rechenaufwands pro Freiheitsgrad, d.h. die Entwickung effizienter Agorithmen, das zweite große 1

6 2 Kapite 1. Eineitung Forschungsgebiet des wissenschaftichen Rechnens und der numerischen Simuation. In dem Kontext dieses zweiten Zweiges des wissenschaftichen Rechnens und der numerischen Simuation ist es der Anspruch der voriegenden Arbeit einen Beitrag zur Bewätigung der angesprochenen Schwierigkeiten zu eisten. Hierbei betrachten wir die numerische Lösung paraboischer Geichungen. Dieser Typ partieer Differentiageichungen resutiert aus der Modeierung verschiedenster zeitabhängiger Phänomene in den Natur-, Ingenieurs- und Wirtschaftswissenschaften und beschreibt die Entwickung bestimmter Größen im Ort, z.b. der Temperatur, unter vorgegebenen äußeren Einfüssen in Abhängigkeit von der Zeit. Zur Lösung paraboischer Geichungen existieren bereits Ansätze. Dabei wird im Wesentichen zwischen drei Verfahrenstypen unterschieden: In der ersten Methode, der so genannten Linienmethode (method of ines, MOL), wird zunächst der Ort mittes Finiter Differenzen oder Finiter Eemente diskretisiert was das Ursprungsprobem in ein System gewöhnicher Differentiageichungen transformiert, vg. [7, 16]. Dieses System kann nun mit herkömmichen Integrationsschemata geöst werden. Die Genauigkeit im Ort kann dabei durch kassische a posteriori Feherschätzer für stationäre Probeme kontroiert werden. Aerdings ist es technisch schwierig, Veränderungen der Ortsdiskretisierung in der Zeit zu behanden. Vergichen mit der Linienmethode wird bei der Rothe Methode genau entgegengesetzt vorgegangen und zunächst die Zeit diskretisiert [7]. Dies führt zu einer Sequenz von eiptischen Probemen, die durch Standardtechniken adaptiv geöst werden können. Hierbei ist nun eine adaptive Behandung der Zeit technisch aufwändig. Bei der Discontinuous-Gaerkin Diskretisierung [49, 5, 51, 52, 53] werden schießich Raum und Zeit zugeich diskretisiert wodurch die Theorie im Hinbick auf die Feherschätzung und Adaptivität vereinfacht wird. In der Praxis zerfät diese Methode aerdings, wie bei den beiden vorherigen Ansätzen, zu einem Zeitschrittverfahren, d.h. dass eine Sequenz von Ortsprobemen geöst werden muß. Damit ist die geichzeitige Adaptivität bzg. des Ortes und der Zeit in der praktischen Umsetzung auf dem Computer technisch schwierig und aufwändig. Die Diskretisierung mit Hife dieser drei Verfahren führt etztendich immer zu einer Sequenz von diskreten Probemen, deren Lösungen die Lösung des Ursprungsprobems an den verschiedenen diskreten Zeitpunkten approximieren. Wird etwa ein geeignetes Diskretisierungsschema auf einem uniformen Gitter mit einem Feher der Ordnung p im Ort mit N d Freiheitsgraden und einem Feher der Ordnung q in der Zeit angewendet, so benötigen wir O(N d+p/q ) Freiheitsgrade in Raum und Zeit um insgesamt eine Feherordnung von p zu erhaten. So resutiert beispiesweise für das

7 impizite Euerverfahren mit q = 1 und bei entsprechender Ortsdiskretisierung mittes Finiter Differenzen oder inearer Finiter Eemente eine Feherordnung p = 2 und ein Gesamtaufwand O(N d+2 ), während wir für das Crank-Nicoson Verfahren, für das q = 2 git, einen Gesamtaufwand von O(N d+1 ) feststeen können. Die Lösung besitzt aso eine Genauigkeit von O(N 2 ) wenn wir O(N d+1 ) bzw. O(N d+2 ) Freiheitsgrade verwenden. Sebst wenn die bei den Verfahren anfaenden Ortsprobeme mit O(N d ) Unbekannten noch reativ schne geöst werden können, führen die O(N) oder O(N 2 ) Zeitschritte dazu, dass auch auf modernsten Computern sehr ange gerechnet werden muß, bis eine Lösung mit zufrieden steender Genauigkeit approximiert ist. Aus diesem Grund ist die Untersuchung und Entwickung von numerischen Verfahren zur Lösung von paraboischen Geichungen Gegenstand aktueer Forschung. Hierbei wird von einer für die Lösung von paraboischen Probemen typischen Eigenschaft Gebrauch gemacht: Die im Ort hochfrequenten Lösungsanteie entwicken sich auf einer gröberen Zeitskaa as die niederfrequenten Anteie. Auf dieser Beobachtung basierend sind bereits Ansätze zur schneen Lösung paraboischer Probeme entwicket worden. In [27, 28] wird mit der so genannten frozen τ Technik vorgeschagen, die Lösung zu verschiedenen Zeitpunkten auf unterschiedich feinen Gittern zu berechnen. Bei diesem Ansatz wird die Steuerung, weches Gitter zu wechem Zeitschritt zur Berechnung verwendet werden so, während der Berechnung eines Zeitschrittes über die Größe von Mehrgitterkorrekturen heuristisch bestimmt. Dieses Vorgehen macht eine a priori Feheranayse sehr schwer und führt zusätzich dazu, dass unter Umständen an manchen Zeitschritten auf zu feinen Gittern gerechnet wird, was wiederum die Kompexität verschechtert. Ein der frozen τ Technik ähniches Verfahren wird in [36, 37] für paraboische Probeme mit periodischen Randbedingungen auf dem Einheitswürfe diskutiert. Hierbei wird der Ort aerdings nicht mit Hife einer Gitterhierarchie zeregt, sondern mit einer Fourierbasis diskretisiert, wobei dann die unterschiedichen Ortsfrequenzen mit verschiedenen Zeitschritten integriert werden. Durch die Verwendung von Fourierbasen ist dieser Ansatz aerdings auf Probeme mit periodischen Randbedingungen auf dem Einheitswürfe beschränkt, wobei der eiptische Tei des paraboischen Operators durch den Lapace-Operator beschrieben wird. Die Ergebnisse dieser Arbeiten begründen die Hoffnung, dass wesentich effizientere Verfahren zur Lösung paraboischer Probeme existieren, as die oben beschriebenen kassischen Zeitschrittverfahren. Insbesondere drängt sich die Frage auf, ob und wie es mögich ist, die durch die Zeit entstandene, um den Faktor O(N) bzw. O(N 2 ) vergichen mit rein stationären Probemen erhöhte Kompexität zu reduzieren. Betrachten wir die Zeit as zusätziche Dimension, so sehen wir, dass die Dimension des paraboischen Probems im Vergeich zu einem rein stationären Probem 3

8 4 Kapite 1. Eineitung um eins größer ist. Der Effekt, dass die Zah der Freiheitsgrade exponentie mit wachsender Dimension steigt, während die Approximationsrate konstant beibt, ist as Fuch der Dimension wohbekannt [15]. Der Faktor O(N) bzw. O(N 2 ) um den sich die Kompexität der Zeitschrittverfahren vergichen mit Verfahren zur Lösung zeitunabhängiger Probeme verschechtert, kann demnach einfach as ein Beispie für den Fuch der Dimension aufgefasst werden. Dieser Fuch der Dimension kann aerdings stark verringert werden, wenn man das Probem auf die Approximation von Funktionen aus bestimmten Funktionenkassen einschränkt. Hierbei haben die so genannten Dünngitter in den etzten Jahrzehnten eine immer stärkere Bedeutung erangt. Dünngitter wurden bereits erfogreich bei einer Reihe von Probemen angewendet, wie etwa in der Quantenmechanik [57, 73, 125], zur Lösung von stochastischen Differentiageichungen [11], bei der Quadratur von hochdimensionaen Funktionen in der Physik und Finanzmathematik [1, 18, 58, 9] und zur Lösung von eiptischen partieen Geichungen [5, 6, 29]. Unter zusätzichen Gattheitsannahmen approximieren Dünngitter Funktionen mit (fast) geicher Rate wie voe Gitter, obwoh in d-dimensionen Dünngitter mit O(N og(n) d 1 ) Freiheitsgraden wesentich weniger Freiheitsgrade benötigen as voe Gitter, die O(N d ) Unbekannte haben. Tatsächich wurden in [94, 99] paraboische Probeme mit Hife dünner Gitter (in Raum und Zeit) und der Kombitechnik geöst, während in [5] eine Gaerkinartige Dünngitterdiskretisierung paraboischer Probeme mit Hife des unidirektionaen Prinzips vorgestet wurde. In [91] werden schießich innerhab einer p-version zur Zeitdiskretisierung dünne Gitter zur Lösung der anfaenden stationären Probeme verwendet. Obwoh die numerischen Experimente dieser Arbeiten vie versprechend sind, beiben dennoch die für Dünngitter typischen Probeme erhaten. So ist die Behandung von beiebigen variaben Koeffizienten im Differentiaoperator sehr schwierig und die Reguaritätsannahmen an die Lösung des Probems im Fa von Dünngittern sind ausgesprochen restriktiv. Eine weitere Probematik stet die Behandung von beiebigen Geometrien dar [1, 46, 47, 98]. Diese Probeme treten im Fa großer Dimensionen, d.h. d > 3, in den Hintergrund, da in diesem Fa nahezu ae auftretenden Gebiete eicht auf den Einheitswürfe transformiert werden können. Aus diesem Grund scheint die Dünngitterdiskretisierung für hochdimensionae Probeme (d > 3) durchaus Erfog versprechend [56]. Für den Fa d 3 konnten sich Dünngitter aus den genannten Gründen in der Praxis aerdings nicht durchsetzen. Wir steen in dieser Arbeit as Veragemeinerung der kassischen Dünngitter die Raum-Zeit Dünngitter vor. Ist das dem paraboischen Probem zugrunde iegende Ortsgebiet Ω zeitunabhängig, so besitzt der zugehörige Raum-Zeit Zyinder Ω (, T ) offensichtich eine triviae Tensorproduktstruktur, die wir bei den Raum-Zeit Dünngittern ausnutzen werden. Hierbei konstruieren wir die Dünngitterfunktionen as Tensorprodukt von einer eindimensionaen Mutievebasis in der Zeit und ei-

9 ner d-dimensionaen Mutievebasis im Ort. Es wird sich erweisen, dass die oben erwähnten Probeme kassischer Dünngitter mit diesem Prinzip umgangen werden können. Zusätzich werden wir zeigen, dass damit Raum-Zeit Diskretisierungen mögich sind, die anstee der O(N d+1 ) oder O(N d+2 ) Freiheitsgrade einer kassischen paraboischen Diskretisierung mit beispiesweise dem Crank-Nicoson oder dem impiziten Euer Verfahren edigich O(N d ) Freiheitsgrade benötigen, wobei unter geeigneten Gattheitsvoraussetzungen die Konvergenzordnung (nahezu) unverändert erhaten beibt. Des Weiteren wird in dieser Arbeit ein Mutieveverfahren in Raum-Zeit entwicket, mit dem die bei der Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierung entstehenden inearen Geichungssystem mit einem zur Zah der Unbekannten proportionaen Aufwand geöst werden können. Die mit diesem Mutieveverfahren erzieten Konvergenzraten sind dabei unabhängig von der Feinheit der Diskretisierung. Somit führt die Kombination aus dem Diskretisierungsverfahren mit dem effizienten Löser zu einem Gesamtverfahren, das bei genügender Gattheit eine numerische Lösung des paraboischen Probems mit dem geichem Aufwand wie die Lösung eines stationären Probems ermögicht. Für den Fa, dass die Lösung des paraboischen Probems die benötigten Gattheitsvoraussetzungen nicht erfüt, steen wir eine adaptive Erweiterung der vorgesteten Diskretisierungsmethoden vor. Es wird anhand einiger numerischer Beispiee gezeigt werden, dass der Einsatz der vorgesteten Adaptivität in Raum-Zeit die Lösung von Probemen mit singuären Lösungen mit einem vergeichbaren Aufwand wie die Lösung von Probemen mit gatten Lösungen eraubt. Schießich wird auch die Erweiterung der Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierungen auf instationäre verteite Kontroprobeme untersucht werden. Die numerische Lösung der zu dem Kontroprobem gehörigen Sattepunktsprobeme ist aufgrund der hohen Kompexität herkömmicher Verfahren bisher edigich für die Untersuchung von zweidimensionaen Probemen eingesetzt worden. Mit Hife der Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierungen sind wir hingegen erstmaig in der Lage, auch soche Sattepunktsprobeme in drei Ortsdimensionen adaptiv zu ösen und geben einige numerische Ergebnisse in bis zu drei Ortsdimensionen an. Wir gehen bei unserer Untersuchung der Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierungen in der voriegenden Arbeit wie fogt vor. In Kapite 2 führen wir zunächst die Raum-Zeit Dünngitter ein. Wir untersuchen dabei deren Eigenschaften bezügich der Dimension und der Approximationsrate in bestimmten Soboev-Räumen. Dabei betrachten wir zunächst den Fa, dass die in der Konstruktion verwendeten Mutievespittings gewisse Normäquivaenzen erfüen (wie sie etwa für Waveets geten). Da die Konstruktion socher Spittings auf agemeinen Geometrien aerdings ausgesprochen schwierig ist, untersuchen wir auch den Fa der Verwendung der hierarchischen Basis innerhab der Dünngitterkonstruktion, der auch in den weiteren Teien dieser Arbeit betrachtet wird. In Kapite 3 werden wir dann kassische Reguaritätsresutate für ineare paraboische Differentiageichungen betrachten. Dabei werden wir zeigen, dass die 5

10 6 Kapite 1. Eineitung Lösungen von paraboischen Probemen für die Approximation in den Dünngitterräumen wichtige Gattheitsannahmen erfüen, sofern gewisse Bedingungen an das zugrunde iegende Gebiet, den eiptischen Tei des paraboischen Operators und die Anfangs- und Randbedingungen erfüt sind. In Kapite 4 diskutieren wir auf den Raum-Zeit Dünngittern basierende Diskretisierungsverfahren. Wir untersuchen eine Raum-Zeit Dünngittervariante des Crank- Nicoson und des Discontinuous-Gaerkin Verfahrens. Für das Discontinuous-Gaerkin Verfahren mit stückweise inearen oder konstanten Funktionen in der Zeit werden wir zusätzich a priori Feherabschätzungen angeben, die den Feher nach oben gegen Interpoationsfeher des Raum-Zeit Dünngitters abschätzen. Schießich führen wir noch das Unidirektionae Prinzip ein, mit dem das Matrix-Vektor Produkt des mit den Raum-Zeit Dünngittern diskretisierten Systems effizient, d.h. mit einer zu der Zah der Unbekannten proportionaen Anzah an Rechenschritten, berechnet werden kann, obwoh die zugrunde iegende Matrix nicht dünn besetzt ist. Dazu veragemeinern wir das bereits in [5] vorgestete Prinzip auf beiebige Tensorprodukt- Biinearformen und steen auch neue, fexibere Varianten der in dem Agorithmus benötigten Teiagorithmen Bottom Up und Top Down vor. Schießich werden wir anhand einiger numerischer Experimente die Konvergenz der vorgesteten Diskretisierungsverfahren untersuchen. Da nicht nur die Anzah der zum Erreichen einer vorgegebenen Genauigkeit benötigten Freiheitsgrade, sondern auch die pro Freiheitsgrad benötigte Anzah an Rechenschritten zur Lösung des Probems für ein effizientes Verfahren von Bedeutung sind, werden wir in Kapite 5 Verfahren zur Lösung der anfaenden inearen Geichungssysteme betrachten. In Anehnung an [61] werden wir einen neuen Mutieve-Löser für die entstehenden Geichungssysteme as (Bock-) Gauss-Seide Verfahren über ein mittes des Erzeugendensystems assembierten singuären Systems entwicken. Ferner untersuchen wir die Konvergenzeigenschaften des Verfahrens an verschiedenen numerischen Beispieen. Die Experimente zeigen, dass das Verfahren mit einer von der Feinheit der Diskretisierung unabhängigen Rate konvergiert. Um Probeme, deren Lösungen nicht die geforderten Gattheitseigenschaften erfüen, effizient behanden zu können, diskutieren wir in Kapite 6 Adaptivität im Kontext der Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierungen. Hierzu übertragen wir einen auf den hierarchischen Koeffizienten der diskreten Lösung basierenden Feherindikator für kassische Dünngitter [5, 32, 62] auf die vorgesteten Raum-Zeit Dünngitter und untersuchen die Effizienz dieses Feherindikators anhand einiger numerischer Beispiee. In den etzten Jahren hat die Feherschätzung bezügich inearer Funktionae in dem Kontext von adaptiven Finiten Eement Diskretisierungen eine immer stärkere Bedeutung erangt [8, 13]. Damit wird vor aem dem Zie Rechnung getragen, nicht unbedingt die Lösung sebst mögichst exakt zu bestimmen, sondern eventue nur gewisse gemittete Größen der Lösung zu berechnen. Hierzu zeigen wir

11 eine Mögichkeit der Konstruktion eines Feherindikators für ineare Funktionae im Kontext der Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierung auf. Zudem diskutieren wir die Effizienz dieses Feherindikators an einigen numerischen Ergebnissen. In Kapite 7 beschäftigen wir uns mit der Frage, wie die zunächst für den skaaren Fa vorgesteten Diskretisierungsverfahren auf die Diskretisierung von Systemen partieer Differentiageichungen übertragen werden können. As besonders interessante Anwendung werden wir dabei unsere Untersuchung auf instationäre verteite Kontroprobeme fokussieren, zu deren Lösung gekoppete Systeme von Vorwärts- und Rückwärtsgeichungen geöst werden müssen. Wir werden zeigen, dass sich die in den vorherigen Kapiten untersuchten Agorithmen auf diese Probemkasse übertragen assen und die geichen Konvergenzraten des Lösers und der Diskretisierung wie in den skaaren Beispieen erreicht werden. Man beachte, dass Raum-Zeit Diskretisierungen dieser Systeme auf voen Gittern wegen des enormen Speicherpatzbedarfes der Vogitterräume bisher nur für maxima zwei Ortsdimensionen durchgeführt wurden [22, 23, 24], während mit Raum-Zeit Dünngittern auf Grund der wesentich geringeren Kompexität, nun erstmas auch Ergebnisse in drei Ortsdimensionen diskutiert werden können. In Kapite 8 fassen wir schießich die Ergebnisse dieser Arbeit kurz zusammen und geben einen Ausbick auf offene Fragesteungen im Kontext der Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierungen. 7

12 8 Kapite 1. Eineitung

13 Kapite 2 Raum-Zeit Dünngitter In diesem Kapite beschreiben wir die Konstruktion der Raum-Zeit Dünngitterräume und untersuchen einige Eigenschaften dieser Räume etwas genauer. Hierzu führen wir zunächst die benötigte Notation ein. Dann steen wir die Raum- Zeit Dünngitterkonstruktion vor und untersuchen die Dimension der resutierenden Räume. Im Kontext von [79] diskutieren wir außerdem die Approximationseigenschaft dieser Räume unter der Voraussetzung, dass gewisse Normäquivaenzen für die in der Konstruktion verwendeten Mutievebasen im Ort und in der Zeit geten. Da die Konstruktion von Basen, die diese Normäquivaenzen erfüen, in der Praxis auf beiebigen Geometrien sehr schwierig und aufwändig ist (oder sogar unmögich), werden wir auch ein Resutat vorsteen, bei dem edigich obere Abschätzungen für die entsprechenden Mutievebasen geten müssen. Wir steen zudem die eindimensionaen Mutievebasen vor, die wir in dieser Arbeit innerhab der Konstruktion der Raum-Zeit Dünngitter für die Zeitkomponente verwenden. Schießich diskutieren wir die Approximationseigenschaften der Raum-Zeit Dünngitterräume bei Verwendung dieser eindimensionaen Mutievebasen in der Zeit und der inearen bzw. d-inearen hierarchischen Basis im Ort, die aus einer Foge von ineinander geschachteten Finite Eement Räumen gewonnen wird. 2.1 Notation In diesem Abschnitt führen wir einige Funktionenräume und die dazugehörige Notation ein, die wir für die theoretische Betrachtung der Raum-Zeit Dünngitterräume benötigen. Diese Räume sind eine Veragemeinerung der in der Theorie über die kassischen Dünngitterräume vorkommenden Räume dominierender gemischter Gattheit, vergeiche [35, 14, 15]. Mit fett gedruckten Buchstaben bezeichnen wir im Fogenden Mutiindizes, d.h. k bezeichnet einen Vektor mit Komponenten k i, 1 i n, wobei n aus dem Kontext 9

14 1 Kapite 2. Raum-Zeit Dünngitter hervorgeht. Wir verwenden die Normen und die Abkürzung k := max 1 i n k i, k f := k 1 x 1... k d x d f. k 1 := d i=1 k i, Sei Ω R d, d 1, ein beschränktes Gebiet. Wie übich definieren wir für festes m N und 1 p < die Norm und die Seminorm u m,p := k 1 m u m,p := k 1 =m Ω Ω k u p dx k u p dx 1/p 1/p (2.1), (2.2) wobei die so genannte schwache Abeitung k u von u, sofern sie existiert, definiert ist durch k u ϕ dx = ( 1) k 1 u k ϕ dx ϕ C (Ω). (2.3) Für p = erhaten wir anaog Ω u m, := Ω k 1 m k u. (2.4) Für m N, 1 p bezeichnen wir mit H m,p (Ω) wie agemein übich den Soboev-Raum H m,p (Ω) := {u L p (Ω) es existiert k u und k u L p (Ω) k 1 m}. Für den am häufigsten vorkommenden Fa p = 2 kürzen wir die Schreibweisen durch Wegassen von p ab, d.h. wir definieren m := m,2 und H m (Ω) := H m,2 (Ω). Sei T > fest und Ω T := Ω (, T ). Die Reguaritätstheorie für die Lösung paraboischer Probeme zeigt, dass die Lösung bzg. der Ortsvariaben und der Zeit durchaus unterschiedich gatt sein kann. Wir betrachten daher im Fogenden zusätzich den Raum H 2m,m (Ω T ) := {u L 2 (Ω T ) k u L 2 (Ω T ) k 1 + 2k d+1 2m}, (2.5) dessen Funktionen im Ort eine doppet so hohe Gattheit wie in der Zeit besitzen. Wir definieren nun die Räume dominierender gemischter Gattheit mittes Tensorproduktbidung.

15 2.2. Konstruktion und Eigenschaften der Raum-Zeit Dünngitter 11 Definition 2.1. Für m, k N und 1 p, q definieren wir H (m,p),(k,q) mix (Ω T ) := H m,p (Ω) H k,q ((, T )) (2.6) mit der Norm u := (m,p),(k,q) H mix (Ω T ) i 1 m j k j t i x u L p (Ω) L q ((,T )). (2.7) Fas p = q = 2 git, schreiben wir auch kürzer H m,k mix (Ω T ) und H m,k m = k kürzen wir weiter durch Hmix m (Ω T ) und H m mix (Ω T ) ab. mix (Ω T ) und für Für eine etwas ausführichere Diskussion des Tensorproduktes verweisen wir auf [97, 116]. Wir merken an dieser Stee nur an, dass wir für zwei Funktionen u Ω H m,p (Ω) und u T H k,q ((, T )) das Tensorprodukt der beiden Funktionen mit dem Produkt dieser beiden Funktionen identifizieren, u Ω u T = u Ω u T. Zusätzich werden wir später ausnutzen, dass im Fa p = q = 2 für ein Orthonormasystem {e Ω i } von Hm (Ω) und {e T j } von Hk ((, T )) die Produkte e Ω i e T j wieder ein Orthonormasystem von H m,k mix (Ω T ) biden und insbesondere H m,k mix (Ω T ) wieder ein Hibertraum ist. Man beachte, dass wir bisher edigich die Produktstruktur des Raum-Zeit Zyinders ausgenutzt haben. Damit haben wir uns edigich auf in der Zeit konstante Gebiete Ω eingeschränkt und benötigen keinerei Produktstruktur des Ortsgebietes Ω. Aus diesem Grund können wir agemeinere Probeme as im Fa kassischer Dünngitter [79] behanden, deren Konstruktion nur auf Produktgebieten durchführbar ist. Besitzt hingegen Ω Produktstruktur, d.h. Ω = I 1... I d mit I i R, git H m (I 1 )... H m (I d ) H k ((, T )) H m,k mix (Ω T ) und die oben definierten Räume sind echt größer as die kassischen Räume dominierender gemischter Abeitungen, die in der Anayse kassischer Dünngitter eine zentrae Roe spieen. 2.2 Konstruktion und Eigenschaften der Raum-Zeit Dünngitter In diesem Abschnitt führen wir die Raum-Zeit Dünngitter ein, die as Veragemeinerung der kassischen Dünngitterräume aufgefasst werden können. Kassische Dünngitterräume werden von Tensorprodukten eindimensionaer Mutiskaenbasen unterschiedicher Leve aufgespannt, d.h. die Basisfunktionen des Dünngitterraumes sind im agemeinen stark anisotrop. Hiermit ist es mögich, dass diese Räume für

16 12 Kapite 2. Raum-Zeit Dünngitter Funktionen, die genügend gatt sind, mit N Freiheitsgraden eine Approximationsgenauigkeit von O(N α ) erreichen, wobei α > unabhängig von der Dimension ist. Dies ist der große Vortei gegenüber anderen kassischen Ansatzräumen wie zum Beispie Finiten Eementen, deren Approximationsordnung sich exponentie mit der Dimension verschechtert. Dementsprechend sind in den etzten Jahren die Dünngitterräume insbesondere für Probeme in hohen Dimensionen untersucht und angewendet worden, wie zum Beispie in der Quantenmechanik [73, 57, 125], bei stochastischen Differentiageichungen [11], bei hochdimensionaer Quadratur in der Physik und Finanzmathematik [1, 18, 58, 9] und zur Lösung von hautpsächich eiptischen Differentiageichungen [5, 6, 29]. Insbesondere sei an dieser Stee auf den Übersichtsartike [35] und die Referenzen dort verwiesen. Dabei beruht das Konstruktionsprinzip der dünnen Gitter wesentich auf der Tensorproduktbidung eindimensionaer Funktionen. Diese Tensorproduktbidung führt aerdings zu Schwierigkeiten. So ist der Agorithmus, das so genannte Unidirektionae Prinzip, zur effizienten Berechnung des Matrix-Vektor Produktes bei der Gaerkin-Diskretisierung mit Dünngittern für eiptische Probeme zunächst nur im Fa von Koeffizientenfunktionen anwendbar, die Tensorproduktstruktur besitzen. In [46, 93] werden entsprechende Modifikationen vorgeschagen, so dass der Agorithmus auch auf agemeinere Fäe angewendet werden kann. Aerdings wird dazu die zugrunde iegende Biinearform derart modifiziert, dass unkar ist, mit wecher Rate die diskrete Lösung des derartig diskretisierten Probems gegen die exakte Lösung konvergiert. Eine weitere Schwierigkeit besteht in der Behandung agemeiner Gebiete, da die Tensorproduktkonstruktion zunächst nur auf Gebiten mit Produktstruktur durchgeführt werden kann. Für Gebiete, die sich as Vereinigung von d-dimensionaen Quadern darsteen assen, können herkömmiche Gebietszeregungsmethoden in Kombination mit der Dünngittertechnik, wie in [98] beschrieben, angewendet werden. Für krumminig berandete Gebiete wurde in [33, 46, 47, 98] vorgeschagen, die entsprechenden Gebiete mit Hife geeigneter Abbidungen auf den Einheitswürfe zu transformieren. Schießich wird in [1] eine Art Finite Eement Ansatz betrachtet, bei dem das zugrunde iegende Gebiet durch ein Gitter aufgeöst wird, wobei in jedem Quader des Gitters oka ein Dünngitterraum aufgesetzt wird. Bei diesen Lösungsansätzen treten aerdings weitere Schwierigkeiten auf. Während in den etzten Jahren die Entwickung von Gittergeneratoren vorangetrieben wurde und dementsprechend groß die Auswah von verfügbaren Gittergeneratoren ist, ist kein Programmpaket verfügbar, das die benötigten Gebietszeregungen mit den entsprechenden Transformationen auf den Einheitswürfe berechnet. Des Weiteren führt eine entsprechende Gebietstransformation in der Rege zu variaben Koeffizientenfunktionen, deren Behandung im Dünngitterfa, wie oben diskutiert, nicht ohne weiteres mit der geichen Effizienz mögich ist, wie im Fa von Tensorprodukt-Ko-

17 2.2. Konstruktion und Eigenschaften der Raum-Zeit Dünngitter 13 effizientenfunktionen. Wie wir sehen, beruhen die beschriebenen Probeme hauptsächich auf der Tensorproduktkonstruktion der Dünngitterräume. Die Idee für zeitabhängige Probeme besteht nun darin, die dem Dünngitterprinzip immanente Idee nur auf die natüriche Produktstruktur zwischen Raum und Zeit anzuwenden. Für Ω R d und T > seien dazu im fogenden endich dimensionae Räume Vj Ω, j N, mit und V T j L 2 (Ω) = j V Ω j, L2 ((, T )) = j V T j, und Vj Ω Vj+1, Ω Vj T Vj+1 T gegeben. Des Weiteren seien Wj Ω und Wj T dazugehörige Überschußräume, d.h. es git Vj Ω Vj T = V Ω j 1 W Ω j, j 1, = V T j 1 W T j, j 1, und W Ω := V Ω, W T := V T. Ferner seien für jedes j N im Fogenden Basen {ψω j,i } bzw. {ψj,i} T von Wj Ω bzw. Wj T gegeben. Insbesondere äßt sich damit jede Funktion u Ω, bzw. u T eindeutig mit Hife geeigneter Koeffizienten u Ω j,i R bzw. u T j,i R darsteen as u Ω = u Ω j,i ψω j,i, ut = u T j,i ψt j,i. j,i j,i Später in diesem Kapite werden wir beispiesweise im Ort die aus einer Sequenz von Finiten Eement Räumen konstruierten hierarchischen Überschussräume und die dazugehörige hierarchische Basis [123] verwenden. Aerdings können auch gänzich andere Zeregungen Verwendung finden, wie etwa Zeregungen mit Hife von Fourieroder Poynombasen. Um die Agemeinheit des Konstruktionsprinzips zu zeigen, verzichten wir an dieser Stee deshab zunächst darauf, die Räume Wj Ω und Wj T näher zu spezifizieren. In den späteren Untersuchungen werden wir die für die Theorie benötigten Bedingungen an die Räume formuieren und erst zum Ende dieses Kapites werden wir unsere Betrachtungen auf konkret gegebene Zeregungen einschränken. Da L 2 (Ω T ) = L 2 (Ω) L 2 ((, T )) git, erhaten wir L 2 (Ω T ) = j N 2 V j, mit V j = V Ω j 1 V T j 2 und die Überschußräume W j = W (j1,j 2 ) := W Ω j 1 W T j 2 (2.8)

18 14 Kapite 2. Raum-Zeit Dünngitter x t x t Abbidung 2.1. Die zu Ṽ 4 (inks) und V 4 (rechts) für d = 1 gehörigen Dünngitter, wobei zur Konstruktion der Mutievehierarchien die ineare hierarchische Basis in Raum und Zeit verwendet wurde (die Punkte markieren die Steen, an denen die entsprechenden Basisfunktionen den Wert 1 annehmen). sowie die Basen {ψ j,i := ψj Ω 1,i 1 ψj T 2,i 2 }. Zur Vereinfachung der Notation schreiben wir, sofern dies nicht zu Mißverständnissen führt, die Normen ohne Angabe des Integrationsgebiets, d.h. wir schreiben beispiesweise L 2 anstee von L 2 (Ω). Definition 2.2. Für N definieren wir die Vogitterräume und V Ṽ sowie die Raum-Zeit Dünngitterräume := j 1, j 2 2 := j V := 2j 1 +j 2 2 W j (2.9) W j (2.1) W j (2.11) und Ṽ := j 1 W j. (2.12) Unsere Definition des Raum-Zeit Dünngitterraumes Ṽ ist ähnich zu den kassischen Dünngitterräumen, vg. [34, 35, 63]. Aerdings sind die Träger der Basisfunktionen isotrop bzg. des Raumes und eine Anisotropie ist edigich zwischen Raum und Zeit vorhanden. Man beachte, dass der Vogitterraum V und der Dünngitterraum V in der Zeit doppet so fein wie im Ort aufgeöst sind und deshab mehr Unbekannte enthaten as die entsprechenden Räume Ṽ und Ṽ.

19 2.2. Konstruktion und Eigenschaften der Raum-Zeit Dünngitter x 2.4 x x t x t x 2.4 x x t x t Abbidung 2.2. Kassische Dünngitter in Raum-Zeit (d = 2) (inks) und Raum-Zeit Dünngitter (rechts) auf Leve = 4 (oben) und Leve = 5 (unten). Diese Eigenschaft ist besonders deutich in Abbidung 2.1 zu sehen. Hier haben wir zur Konstruktion der Dünngitterräume V4 und Ṽ 4 für Ω = (, 1), T = 1. as Überschußräume Wj Ω und Wj T die hierarchischen Überschußräume, die durch die stückweise ineare hierarchische Basis {ψj,i Ω } bzw. {ψt j,i } [55, 123, 124] in Ort und Zeit aufgespannt werden, verwendet. Die Punkte in der Abbidung markieren die Orte, an denen die Basisfunktionen {ψ j,i = ψj Ω 1,i 1 ψj T 2,i 2 } der Dünngitter V4 und Ṽ 4 jeweis den Wert 1 annehmen. Besondere Beachtung verdient dabei die Tatsache, dass in dem Fa d = 1 die Raum-Zeit Dünngitter mit den aus der inearen hierarchischen Basis konstruierten kassischen Dünngittern übereinstimmen. Aerdings ist dies offensichtich für d > 1 nicht mehr der Fa. Während bei den kassischen Dünngittern in jeder Zeitscheibe wiederum ein kassisches Dünngitter im Ort verwendet wird, so haben wir bei den Raum-Zeit Dünngittern in jeder Zeitscheibe ein voes Gitter. In Abbidung 2.2 sind dazu für den Fa d = 2 kassische und Raum- Zeit Dünngitter dargestet, wobei wir hier die biineare hierarchische Basis auf einem uniformen Gitter im Ort und die eindimensionae ineare hierarchische Basis in der Zeit zur Konstruktion des Raum-Zeit Dünngitters verwendet haben. In der Abbi-

20 16 Kapite 2. Raum-Zeit Dünngitter dung sind die Punkte an den Steen, an denen die Basisfunktionen des jeweiigen Dünngitterraumes den Wert 1 annehmen. Anhand der Definition 2.2 ist erkennbar, dass die zum Leve gehörigen Dünngitterräume eine echte Teimenge der Vogitterräume sind. Daher besitzen die Raum- Zeit Dünngitteräume offensichtich weniger Freiheitsgrade as die Vogitterräume. Eine quantitative Aussage über die Dimensionen dieser Räume iefert das fogende Lemma. Lemma 2.3. Unter der Annahme, dass für die Überschußräume dim(w Ω j ) = O(2d j ) und dim(w T j ) = O(2j ) git, erhaten wir die Abschätzungen dim(v ) = O(2 (d+2) ), (2.13) O(2 2 ) für d = 1, dim(v ) = O(2 2 ) für d = 2, (2.14) O(2 d ) für d > 2, dim(ṽ ) = O(2 (d+1) ), (2.15) { O(2 dim(ṽ ) = ) für d = 1, O(2 d (2.16) ) für d > 1. Beweis. Die Abschätzungen (2.13) und (2.15) ergeben sich unmittebar aus der Definition dieser Räume. Aus der Definition (2.11) für den Dünngitterraum V fogt dim(v ) = ( ) dim(wj Ω 1 ) dim(wj T 2 ) j 1 j 2 2 2j 1 c j 1 dim(w Ω j 1 )2 2 2j 1 c 2 2 j 1 2 (d 2)j 1. Da j 1 2(d 2)j 1 2 für d = 1 und j 1 2 = + 1 im Fae d = 2 git, ist (2.14) für d 2 gezeigt. Für d > 2 fogt 2 2 j 1 2 (d 2)j 1 = (d 2) j 1 2 (d 2)(j 1 ) c 2 d und somit auch die Behauptung. Für Ṽ dim(ṽ ) = j 1 = git dim(w T j 1 ) dim(v Ω j 1 ) c = c 2 d 2 (1 d)j 1, j 1 = 2 j 1 2 d( j 1) j 1 =

21 2.2. Konstruktion und Eigenschaften der Raum-Zeit Dünngitter 17 Anzah der Freiheitsgrade Dünngitter voes Gitter Anzah der Freiheitsgrade Dünngitter voes Gitter Anzah der Freiheitsgrade Dünngitter voes Gitter Abbidung 2.3. Anzah der Freiheitsgrade eines voen Gitters und des mit Hife der hierarchischen Basis in der Zeit und im Ort konstruierten Raum-Zeit Dünngitters Ṽ für d = 1, (oben inks), d = 2 (oben rechts) und d = 3 (unten). und wir erhaten (2.16). Das obige Lemma zeigt, dass die Dimension der Dünngitterräume (bis auf einen ogarithmischen Faktor) von geicher Ordnung wie die Dimension der entsprechenden Approximationsräume V Ω im Ort ist. Damit besitzen die Raum-Zeit Dünngitter wesentich weniger Freiheitsgrade as die voen Gitter. Besonders anschauich ist dies in Abbidung 2.3 zu beobachten, wo die Dimensionen des mit Hife der eindimensionaen hierarchischen Basis in der Zeit und der d-inearen hierarchischen Basis im Ort konstruierten Dünngitters Ṽ und des voen Gitters Ṽ für d = 1, 2, 3 in Abhängigkeit des Leves dargestet sind. Vergeichen wir die Dimension der Raum-Zeit Dünngitter aerdings mit der Dimension der kassischen Dünngitterräume, die im Raum-Zeit Fa (hier muss auch die Zeit as zusätziche Dimension beachtet werden) von der Ordnung O(2 d ) ist, so sehen wir, dass die soeben definierten Räume wesentich mehr Freiheitsgrade besitzen. Dies scheint auf den ersten Bick ein Rückschritt zu sein. Es wird sich in dieser

22 18 Kapite 2. Raum-Zeit Dünngitter Arbeit aerdings noch heraussteen, dass die Raum-Zeit Dünngitter dafür andere Vorteie gegenüber den kassischen Dünngittern besitzen. So reduziert sich etwa das Probem der Behandung einer agemeinen Geometrie Ω auf das Probem der Konstruktion einer Mutievebasis auf Ω, das z.b. auch schon aus anderen Verfahren wie etwa den Mehrgitterverfahren bekannt und teiweise auch geöst ist. Es wird sich in dem Abschnitt über die Diskretisierung paraboischer Probeme zusätzich zeigen, dass Raum-Zeit Dünngitter probemos auch für Operatoren mit jedem beiebigen, in der Zeit konstanten, eiptischen Operator zweiter Ordnung effizient anwendbar sind, während wir, wie eingangs diskutiert, bei kassischen Dünngittern dabei auf Schwierigkeiten stoßen. Wir beschäftigen uns nun mit der Approximationseigenschaft der soeben eingeführten Räume. Dabei wird sich heraussteen, dass wir hier unter schwächeren Gattheitsannahmen as bei kassischen Dünngittern übich, nahezu die geichen Approximationsraten von voen Gitter erhaten. Hier wird ein weiterer Vortei gegenüber den kassischen dünnen Gittern erkennbar, die wesentich stärkere Gattheitsvoraussetzungen benötigen. Wir werden später sogar anhand von kassischen Reguaritätsresutaten feststeen, dass die Lösungen paraboischer Probeme die benötigten Gattheitsvoraussetzungen erfüen. Sebstverständich kommen wir bei unserer Anayse bzg. der Approximationseigenschaft nicht ohne geeignete Annahmen an die Räume Vj Ω und Vj T aus. Wie bei kassischen Dünngittern unterscheiden wir im Wesentichen zwischen zwei Fäen. Zunächst betrachten wir die Approximationseigenschaft unter der Annahme, dass die Sequenz der Räume Vj Ω und Vj T gewisse Normäquivaenzen erfüt. Für ein einfaches rechteckiges Gebiet Ω existieren eine Reihe von Mutiskaenbasen, wie etwa orthogonae Waveets, Spine-Waveets, Prewaveets, biorthogonae Waveets, ifting Waveets und ähniche Konstruktionen, die aus Transation und Diatation einer Mutterfunktion gewonnen werden, siehe dazu auch [38, 4, 41, 44, 13] und die Referenzen dort. Da für beiebige Gebiete die Konstruktion socher Räume ausgesprochen schwierig ist [42, 43, 87, 12], werden wir anschießend untersuchen, wie sich die Konvergenzrate ändert, wenn nur noch einseitige Normabschätzungen vorhanden sind, wie dies etwa bei der Verwendung der hierarchischen Basis der Fa ist. Wir fogen in diesem Abschnitt im wesentichen der ausführichen Darsteung in [79], in der sich anaoge Resutate für kassische Dünngitter finden. Wie übich nennen wir zwei Normen, äquivaent,, wenn es Konstanten c 1, c 2 > gibt, so dass c 1 v v c 2 v für ae v git. Wir nehmen nun an, dass für fest gegebene s, t > und für jedes v Ω H s (Ω), v Ω = j wω j, w Ω j W Ω j, und jedes v T H t ((, T )), v T = j wt j,

23 2.2. Konstruktion und Eigenschaften der Raum-Zeit Dünngitter 19 w T j W T j die Normäquivaenzen v Ω 2 H s j v T 2 H t j 2 2sj wj Ω 2 L2, (2.17) 2 2tj wj T 2 L2, (2.18) geten. Wir erhaten aus diesen Normäquivaenzen dann direkt entsprechende Aussagen für das Tensorprodukt. Lemma 2.4. Es geten für feste s, t > die Normäquivaenzen (2.17) und (2.18). Dann erhaten wir die Normäquivaenz u 2 H s,t mix (Ω T ) j 2 2 (sj 1,tj 2 ) 1 w j 2 L 2 (Ω T ), (2.19) für u H s,t mix (Ω T ), u = j w j, w j W j. Geten die Normäquivaenzen zusätzich für s =, d.h. die Mutiskaenzeregung ist L 2 -stabi, dann git für u H s (Ω T ) u 2 H s (Ω T ) j 2 2s (j 1,j 2 ) w j 2 L 2 (Ω T ). (2.2) Zum Beweis des Lemmas benutzen wir die Tensorproduktdarsteung (2.6) von H s,t mix (Ω T ) und die Darsteung H s (Ω T ) = ( H s (Ω) L 2 ((, T )) ) ( L 2 (Ω) H s ((, T )) ) sowie die fogenden zwei Propositionen über additive Unterraumzeregungen aus [65], die wir der Voständigkeit haber hier kurz wiederhoen. Hierzu bezeichnen wir einen Hibertraum H mit dem dazugehörigen Skaarprodukt a(, ) mit {H; a}. Seien zwei Hiberträume H 1, H 2 und dazu zwei Sequenzen von abgeschossenen Unterräumen V 1i H 1, V 2i H 2, i N, gegeben so dass H 1 = i V 1i und H 2 = i V 2i git. Für eine Foge b i (, ) von Biinearformen auf V i, = 1, 2, nennen wir {H ; a } = i {V i; b i } eine stabie, additive Unterraumzeregung, wenn a (u, u) inf u i V i, u= P i u i b i (u i, u i ) (2.21) git. Für das Tensorprodukt und den Schnitt von stabien Zeregungen geten dann die fogenden zwei Propositionen. i

24 2 Kapite 2. Raum-Zeit Dünngitter Proposition 2.5. Wenn die Zeregungen {H ; a } = i {V i; b i }, = 1, 2, stabi sind, dann ist die Tensorprodukt-Zeregung {H 1 H 2 ; a 1 a 2 } = i 1 i 2 {V 1i1 V 2i2 ; b 1i1 b 2i2 } stabi. Proposition 2.6. Seien {α 1i } i1 R + und {α 2i } i R +, zwei Fogen reeer positiver Zahen. Weiter seien die Biinearform b(, ) auf den Hiberträumen H 1 und H 2 und stabie Unterraumzeregungen {H ; a } = i {V i ; α i b}, = 1, 2 gegeben, wobei die Summen direkt sind. Dann git für ae α 1 > und α 2 >, dass die Zeregung {H 1 H 2 ; α 1 a 1 + α 2 a d } = i {V i ; (α 1 α 1i + α 2 α 2i )b} stabi ist. Für einen Beweis dieser beiden Aussagen verweisen wir auf [79] und beginnen nun mit dem Beweis des Lemmas 2.4. Beweis. Mit Proposition 2.5 und der Stabiität der Mutieve-Zeregungen (2.17) und (2.18) von H s (Ω) sowie H t ((, T )) erhaten wir direkt die Stabiität der Zeregung {H s,t mix (Ω T ); H s,t } = {W j ; 2 2 (s j 1,t j 2 ) 1 L 2}. mix j Damit ist (2.19) gezeigt. Aus Proposition 2.5 fogt die Stabiität der Zeregungen {H s (Ω) L 2 ((, T )); H s (Ω) L 2 ((,T ))} = j {L 2 (Ω) H s ((, T )); L 2 (Ω) H s ((,T ))} = j {W j ; 2 2(s j 1) L 2}, {W j ; 2 2(s j 2) L 2}. Nun verwenden wir die Darsteung H s (Ω T ) = (H s (Ω) L 2 ((, T ))) (L 2 (Ω) H s ((, T ))) aus [79] und Proposition 2.6 iefert zusammen mit der Abschätzung 2 2sj sj 2 2 max{2 2sj 1, 2 2sj 2 } 2 2 2s j

25 2.2. Konstruktion und Eigenschaften der Raum-Zeit Dünngitter 21 die Ungeichung (2.2). Mit Hife dieser Normäquivaenzen erhaten wir nun die fogenden Resutate über die Approximationseigenschaften der Vo- bzw. Dünngitterräume. Satz 2.7. Seien t s > fest gegeben. Für die Mutiskaenzeregung bzg. der Zeit sei die Normäquivaenz (2.18) sowoh für s as auch für t erfüt. Die Mutiskaenzeregung bzg. des Ortes erfüe die Normäquivaenz (2.17) mit 2s und 2t. Zusätzich gete W Ω j H 2s (Ω) sowie W T j H s ((, T )). Dann gibt es eine Konstante c > so dass für ae u H 2t,t (Ω T ) und ae N inf v V u v 2 H 2s,s (Ω T ) c 24(s t) u 2 H 2t,t (Ω T ) (2.22) git. Ist u H 2t,t mix (Ω T ), so erhaten wir inf u v 2 v V H 2s,s (Ω T ) c 24(s t) u 2 (2.23) H 2t,t mix (Ω T ) mit einer Konstanten c > unabhängig von u und. Geten die Normäquivaenzen (2.17) bzg. des Ortes mit s, t und ist W Ω j H s (Ω), dann git für u H t (Ω T ) inf u v 2 v Ṽ H s (Ω T ) c 22(s t) u 2 H t (Ω T ) (2.24) und für u H t mix (Ω T ) inf u v 2 v Ṽ H s (Ω T ) c 2 2(s t) u 2 Hmix t (Ω T ). (2.25) Beweis. Wir beschränken uns auf den Fa (2.23) da die anderen Fäe anaog fogen. Für u H 2t,t mix (Ω T ), u = j w j, w j W j, erhaten wir mit Lemma 2.4 und den Voraussetzungen die Normäquivaenzen u 2 H 2s,s mix (Ω T ) j u 2 H 2t,t mix (Ω T ) j 2 2s (2j 1,j 2 ) 1 w j 2 L 2 (Ω T ), 2 2t (2j 1,j 2 ) 1 w j 2 L 2 (Ω T ).

26 22 Kapite 2. Raum-Zeit Dünngitter Damit fogt inf u v 2 v V H 2s,s (Ω T ) u w j 2 H 2s,s (Ω T ) 2j 1 +j 2 2 c 2 2s (2j 1,j 2 ) w j 2 L 2 (Ω T ) = c c 2j 1 +j 2 >2 2j 1 +j 2 >2 2 2s (2j 1,j 2 ) 2t (2j 1,j 2 ) 1 2 2t (2j 1,j 2 ) 1 w j 2 L 2 (Ω T ) max 2j 1 +j 2 >2 22s (2j 1,j 2 ) 2t (2j 1,j 2 ) 1 u 2 H 2t,t mix (Ω T ) c 2 4(s t) u 2 H 2t,t mix (Ω T ). Das obige Resutat zeigt, dass wir unter etwas stärkeren Voraussetzungen an die Gattheit der zu approximierenden Funktion u für die Raum-Zeit Dünngitter V bzw. Ṽ die geiche Approximationsordnung wie für die Räume V bzw. Ṽ erhaten. Wie bereits zu Anfang erwähnt, ist die Konstruktion von Mutiskaenzeregungen, die die entsprechenden Normäquivaenzen erfüen, auf agemeinen Geometrien schwierig oder gar unmögich. Das fogende Lemma zeigt jedoch, dass wir nur eine obere Normabschätzung benötigen, um ein ähnich gutes Approximationsverhaten für die Raum-Zeit Dünngitter zu erhaten. Lemma 2.8. Es seien und zwei vorgegebene Normen. Für feste t > s, gebe es eine Konstante c >, so dass für jedes u mit u <, u <, u = j w j, w j W j, w j c 2 s j t j 1 u für ae j N 2 (2.26) git. Dann gibt es eine Konstante c >, so dass { c 2 inf u v (s t) u für s =, t >, v Ṽ c 2 (s t) u für s >, t >. (2.27) Beweis. Für den Fa kassischer Düngitter mit = H s sowie = H t mix findet sich ein Beweis für die obige Behauptung in [79], der sich auf unseren Fa übertragen äst. Aus Gründen der Voständigkeit und um zu zeigen, dass die Parameter s, t nicht mit Soboev-Normen zusammenhängen müssen, führen wir den Beweis dennoch an dieser Stee.

27 2.2. Konstruktion und Eigenschaften der Raum-Zeit Dünngitter 23 Es git mit u = j w j, w j W j, Für s > erhaten wir und schätzen weiter ab Damit git inf u v w j c 2 s j t j 1 u v Ṽ j 1 > j 1 > c u 2 s j t j 1. j 1 > j 1 =k 2 s j t j 1 = j 1 > 2 s j 2 j 1 > k=+1 j 1 =k 2 2 sk 2 tk 2 sj 1 = 2 j 1 =k k j 1 = 2 s j 2 sj 1 k 2 s(j1 k) c 2 sk. j 1 = 2 s j t j 1 c2 (s t), woraus die Behauptung für s > fogt. Für den Fa s = git j 1 > 2 t j 1 k=+1 2 tk j 1 =k 1 = k=+1 = 2 t 2 tk (k + + 1) c 2 t k=1 2 tk k. k=1 2 tk (k + 1) Die unendiche Summe ist konvergent und somit fogt die Behauptung. Ein ähniches Resutat erhaten wir für den Dünngitterraum V. Lemma 2.9. Es seien und zwei vorgegebene Normen. Für feste t > s, gebe es eine Konstante c >, so dass für jedes u mit u <, u <, u = j w j w j c 2 s (2j 1,j 2 ) t (2j 1,j 2 ) 1 u für ae j N 2 (2.28)

28 24 Kapite 2. Raum-Zeit Dünngitter git. Dann gibt es eine Konstante c > unabhängig von und u mit { c 2 (s t)2 u inf u v für s =, t >, v V c 2 (s t)2 u für s >, t >. (2.29) Beweis. Es git für u = j w j inf v V u v c u Für s > git 2 s (2j 1,j 2 ) t (2j 1,j 2 ) 1 2j 1 +j 2 >2 k c k 2+1 2j 1 +j 2 >2 k tk 2 s (2j 1,j 2 ) t (2j 1,j 2 ) 1. 2j 1 +j 2 =k 2 tk 2 (s t)k 2j 1 +j 2 =k womit die Behauptung für s > fogt. Im Fae s = git 2 t (2j 1,j 2 ) 1 2 tk 1 2j 1 +j 2 >2 c k=2+1 k=2+1 2j 1 +j 2 =k 2 s (2j 1,j 2 ) 2 tk k c2 2t 2 sj 2 c k tk k. k= 2 tk k j 2 = 2 sj 2 Wir wähen für festes t > s in Lemma 2.8 = H s und = H t mix (Ω T ) und nehmen an, dass für jedes u H t (Ω T ) die Abschätzung (2.26) git. Damit erhaten wir im Fae s = die Abschätzung inf u v L 2 (Ω T ) c2 t u H t v Ṽ mix (Ω T ) die sich vergichen mit den Ergebnissen des Satzes 2.7 edigich um den ogarithmischen Faktor unterscheidet, während wir für s > inf v Ṽ u v H s (Ω T ) c2 s t u H t mix (Ω T ) und somit sogar die geichen Raten wie im Fa von Lemma 2.8 erhaten. As Konsequenz aus Lemma 2.8 und Lemma 2.9 resutiert die Feststeung, dass es ausreicht, Zeregungen zu verwenden, die obere Normabschätzungen der Art (2.26) und (2.28) erfüen, um die (bis auf einen ogarithmischen Faktor) geiche Approximationsordnung wie im Fa von Zeregungen, die die Normäquivaenzen (2.17) und (2.18) erfüen, zu erhaten.

29 2.3. Eindimensionae Mutiskaenzeregungen 25 Abbidung 2.4. Beispiefunktion aus den Räumen V3,1 T T (oben inks), V3, (mitte inks) und V T,disc 3,1 (unten inks) sowie die entsprechenden Basisfunktionen der hierarchischen Überschußräume W3,1 T (oben rechts), W 3, T T,disc (mitte rechts) und W3,1 (unten rechts). 2.3 Eindimensionae Mutiskaenzeregungen Nachdem wir in dem vorherigen Abschnitt die Approximationseigenschaften der Raum-Zeit Dünngitterräume diskutiert haben, steen wir in diesem Abschnitt kurz drei mögiche Mutieve-Zeregungen von L 2 ((, T )) und dazugehörige eindimensionae Mutievebasen vor. Diese Zeregungen werden wir später zur Konstruktion der Raum-Zeit Dünngitterräume für die verschiedenen Diskretisierungsverfahren benötigen. Zur Vereinfachung der Darsteung beschränken wir uns dabei auf Funktionen mit Nurandwerten. Die Überegungen assen sich jedoch direkt auf Funktionen mit beiebigen Randwerten übertragen. Wir nehmen zur Vereinfachung der Darsteung T = 1 an. Für festes N

30 26 Kapite 2. Raum-Zeit Dünngitter unterteien wir das Interva (, 1] in 2 Teiintervae I k, 1 k 2, I k = ((k 1)2, k2 ]. Mit V,1 T bezeichnen wir den Raum der auf jedem Teiinterva I k Funktionen mit der übichen nodaen Basis ϕ T,1,k, 1 k < 2, inearen, stetigen ϕ T,1,k (t) := { 1 k 2 t für ae t I k I k+1, sonst. (2.3) As Überschußräume W,1 T wähen wir hier die durch die kassische ineare hierarchische Basis ψ,1,k T := ϕt,1,2k 1, 1 k < 2 1, auf Leve aufgespannten Räume, V T,1 = V T 1,1 W T,1 = V T 1,1 span{ψ T,1,k 1 k < 2 1 }. (2.31) Wir betrachten nun die Zeregung in die Räume V, T der auf jedem Teiinterva I k stückweise konstanten Funktionen. Dieser Raum wurde bereits bei der Konstruktion kassischer Dünngitter in [5] verwendet. Eine Basis dieses Raumes biden die Funktionen ϕ T,,k, 1 k < 2, die auf dem Teiinterva Ik konstant eins sind und übera sonst verschwinden, { 1 fas t I ϕ T,,k(t) := k, (2.32) sonst. Hierbei verwenden wir im fogenden die Überschußräume W, T, die durch die stückweise konstante hierarchische Basis ψ,,k T := ϕt,1,2k 1, 1 k < 2 1, aufgespannt werden, d.h. V T, := V T 1, W T, = V T 1, span{ψ T,,k 1 k < 2 1 }. (2.33) Schießich betrachten wir noch die Räume V T,disc,1 der auf jedem Teiinterva Ik inearen Funktionen. Die Funktionen ϕ T,k,disc und ϕt,k,disc, { 1 k 2 ϕ T,disc,k(t) := t fas t Ik, sonst, { 1 (k 1) 2 ϕ T,disc,k(t) := t fas t Ik, sonst, biden eine Basis von V T,disc,1. Bemerkenswert ist, dass V,1 T V T,disc,1 git und insbesondere die Dimension dieses Raumes nahezu doppet so groß wie die Dimension des Raumes V,1 T ist, was später bei der Kosten-Nutzen Diskussion der unterschiedichen Diskretisierungsverfahren von Bedeutung sein wird. Ein mögicher Überschußraum W T,disc,1 wird durch die hierarchische Basis ψ T,disc,k := ϕ T,disc,2k+1, ψt,disc,k := ϕ T,disc,2k,

31 2.4. Verwendung der hierarchischen Basis 27 mit 1 k < 2 1, aufgespannt, V T,disc,1 = V T,disc 1,1 W T,disc,1 (2.34) = V T,disc 1,1 span({ψ,disc,k T 1 k 2 1 } { ψ,disc,k T 1 k 2 1 }). Abbidung 2.4 zeigt für = 3 für jeden der soeben definierten Räume Beispiefunktionen und die jeweiigen Basisfunktionen der hierarchischen Überschußräume. Im fogenden Abschnitt untersuchen wir die Raum-Zeit Dünngitter im Hinbick auf Lemma 2.8, die aus der Konstruktion mit den soeben vorgesteten eindimensionaen Mutieve-Zeregungen in der Zeit und der aus einer Sequenz von Finite Eement Räumen gewonnenen inearen bzw. d-inearen hierarchischen Basis konstruiert werden. 2.4 Verwendung der hierarchischen Basis Sei T j, j N, eine geschachtete Foge von Trianguierungen (in Dreiecke oder Vierecke bzw. Tetraeder oder Hexaeder) des Gebietes Ω R d, 1 d 3, T j T j+1, d.h. die Menge N j der Knoten von T j ist eine echte Teimenge der Knoten N j+1 von T j+1, N j N j+1. Wir bezeichnen den Durchmesser von T T j mit h(t ) und definieren ρ(t ) := sup{diam(b) B T, B ist eine Kuge}. Es sei T j eine Foge von reguären Trianguierungen, d.h. es gibt von j unabhängige Konstanten σ > und c >, so dass h(t ) ρ(t ) σ, h j := max T Tj h(t ) c2 j, für ae j und T T j git. Des Weiteren nehmen wir an, dass die Anzah der Knoten jeder Trianguierung T j durch N j c 2 dj (2.35) mit c > unabhängig von j abgeschätzt werden kann. Sei Vj Ω der zur Trianguierung T j gehörige Finite Eement Raum der stückweise inearen bzw. d-inearen Funktionen. Ist eine Abbidung P j : C (Ω) Vj Ω gegeben, so hat für jedes u C (Ω) die Funktion u := P u V Ω die Darsteung mit den Überschußräumen 1 u = P u + (P j+1 u P j u ), (2.36) j= W Ω j+1 := range(p j+1 P j ) (2.37)

32 28 Kapite 2. Raum-Zeit Dünngitter und W Ω := V Ω. Wähen wir zum Beispie P ju as den Interpoanten von u C (Ω) in Vj Ω, d.h. P j u(x) = u(x) für ae x N j, (2.38) so erhaten wir eine Zeregung in Überschußräume Wj Ω, die von der hierarchischen Basis [123] aufgespannt werden. Wähen wir hingegen P j u as die L 2 -Projektion auf V j, so spannen L 2 -orthogonae Waveetbasen die resutierenden Überschußräume auf. Im fogenden wähen wir für P j den Interpoationsoperator (2.38). Sei ϕ Ω j,i, 1 i dim(vj Ω Ω ) die nodae Basis des Finite Eement Raumes Vj. Eine Teimenge dieser nodaen Basis bidet wiederum eine Basis der hierarchischen Überschußräume und wir bezeichnen die Eemente dieser hierarchischen Basis mit ψj,i, Ω 1 i dim(wj Ω ). Zur Vereinfachung nehmen wir (nach Umnummerierung) an, dass der Index i eines Basiseements ψj,i Ω den nodaen Punkt n i N j bezeichnet, an dem die Basisfunktion eins ist, d.h. für beiebiges n k N j git { 1 fas k = i, ψj,i(n Ω k ) = sonst. Wir erhaten aus der Definition (2.37) des Raumes Wj Ω für die Koeffizienten wj,i Ω der hierarchischen Überschüsse wj Ω = dim(w j ) i=1 wj,iψ Ω j,i Ω die Darsteung w Ω j,i = (P ju P j 1 u)(n i ). (2.39) Anaoges git für die eindimensionaen Mutievezeregungen des vorigen Abschnitts. Wir untersuchen nun mit Hife von Lemma 2.8 bzw. Lemma 2.9 die Approximationseigenschaften der Raum-Zeit Dünngitter, die mit Hife der Mutievezeregungen des vorigen Abschnitts in der Zeit und der (d-) inearen hierarchischen Basis {ψ Ω j,i} im Ort konstruiert werden. Dazu nehmen wir an, dass die Foge von Finite Eement Räumen affin äquivaent ist, d.h. jedes Eement ässt sich durch eine affine Abbidung auf ein Referenzeement zurückführen. Zusätzich benötigen wir die fogende kassische Interpoationsfeherabschätzung für Finite Eemente, siehe z.b. [25, 39]. Lemma 2.1. Für eine reguäre Foge von Trianguierungen und inearen bzw. d- inearen, affin äquivaenten Finite Eementen gibt es eine Konstante c >, so dass für ae u H 2 (Ω) u P j u L 2 (Ω) c 2 2j u H 2 (Ω), (2.4) u P j u H 1 (Ω) c 2 j u H 2 (Ω), (2.41) unabhängig von j git. Für u H 2, (Ω) git außerdem u P j u L (Ω) c 2 2j u H 2, (Ω). (2.42)

33 2.4. Verwendung der hierarchischen Basis 29 Wir erhaten damit für die hierarchischen Koeffizienten wj,i Ω mit Hife der Reation (2.39) und der Interpoationsfeherabschätzung (2.42) die Abschätzung des nächsten Lemmas. Lemma Für eine reguäre Foge von Trianguierungen und inearen bzw. d- inearen affin äquivaenten Finiten Eementen gibt es eine Konstante c >, so dass für ae u H 2, (Ω), u = j wω j = j i wω j,iψj,i, Ω wj Ω Wj Ω, git. Weiter ist w Ω j,i P j u P j 1 u L (Ω) c 2 2j u H 2, (Ω) (2.43) w Ω j L 2 (Ω) c 2 2j u H 2 (Ω), (2.44) w Ω j L (Ω) c 2 2j u H 2, (Ω). (2.45) Dabei ist zu berücksichtigen, dass die eindimensionae Zeregung (2.31) in der Zeit genau der eindimensionaen hierarchischen Basis entspricht, so dass wir das geiche Ergebnis für diese Zeregung erhaten. Ebenso erhaten wir für die Zeregung (2.34) das geiche Resutat, da u H 2 ((, T )) und damit stetig ist. Da wir annehmen, dass unsere Finiten Eement Räume Vj Ω affin äquivaent sind und die zugrundeiegende Trianguierung reguär ist, geten für die hierarchische Basis ψj Ω 1,i 1 die Normabschätzungen ψ Ω j 1,i 1 H 1 (Ω) c2 (d 2) (j 1/2), (2.46) ψ Ω j 1,i 1 L 2 (Ω) c2 dj 1/2, (2.47) siehe z.b. [39]. Wir erhaten nun die fogende Aussage über die Approximationseigenschaft des Dünngitterraumes Ṽ bei Verwendung der (d-) inearen hierarchischen Basis im Ort und der inearen hierarchischen Basis in der Zeit. Satz Sei Vj Ω eine Foge von (d-) inearen, affin äquivaenten Finite Eement Räumen, deren zugrunde iegende Trianguierungen reguär sind. Dann gibt es eine Konstante c >, so dass für den aus (2.12) mit Hife der (d-) inearen hierarchischen Basis im Ort und der inearen hierarchischen Basis in der Zeit konstruierten Raum- Zeit Dünngitterraum Ṽ und für ae u Hmix 2 (Ω T ) bzw. u H (2, ),(2, ) mix (Ω T ) inf v Ṽ inf u v L 2 (Ω T ) c 2 2 u H 2 v Ṽ mix (Ω T ), (2.48) inf u v H 1, v Ṽ mix (Ω T ) c 2 u (2, ),(2, ) H mix (Ω T ) (2.49) u v c (,2),(, ) H mix (Ω T ) 2 2 u (2,2),(2, ) H mix (Ω T (2.5) )

34 3 Kapite 2. Raum-Zeit Dünngitter git. Beweis. Da wir die ineare hierarchische Basis in der Zeit verwenden, können wir Lemma 2.11 auch bzg. der Zeit anwenden. Damit erhaten wir für u T H 2 ((, T )) bzw. u T H 2, ((, T )), u T = j wt j, w T j L 2 ((,T )) c 2 2j u T H 2 ((,T )), (2.51) w T j L ((,T )) c 2 2j u T H 2, ((,T )). (2.52) Mit einem Tensorproduktargument für u H 2 mix (Ω T ), bzw. u H (2,2),(2, ) mix (Ω T ), u = j w j, fogt w j L 2 (Ω T ) c 2 2 j 1 u H 2 mix (Ω T ), (2.53) w j c (,2),(, ) H mix (Ω T ) 2 2 j 1 u. (2.54) (2,2),(2, ) H mix (Ω T ) Somit iefert die Anwendung des Lemmas 2.8 für s = und t = 2 die Ungeichungen (2.48) und (2.5). Sei nun u H (2, ),(2, ) mix Tensorproduktargument (Ω T ), u = j i w j,iψ j,i, dann git wiederum mit einem w j,i c 2 2 j 1 u H (2, ),(2, ) mix (Ω T ). Des Weiteren git mit (2.46) und (2.47) für ψ j,i = ψ Ω j 1,i 1 ψ T j 2,i 2 ψ j,i H 1, mix (Ω T ) c 2 ((d 2) j 1+j 2 )/2. Da die Foge der Trianguierungen reguär ist, kann die Anzah der Zeen, die einen Knoten gemeinsam haben, durch eine Konstante unabhängig von dem Leve j 1 nach oben abgeschätzt werden [75]. Insbesondere erhaten wir damit eine obere Abschätzung für die Anzah an Basisfunktionen ψj Ω 1,i 1 auf einem fest vorgegebenem Leve j 1, deren Träger nicht disjunkt zu einer weiteren beiebig vorgegebenen Basisfunktion des geichen Leves sind. Ebenso fogt daraus eine soche Abschätzung für den Raum-Zeit Fa und die Basisfunktionen ψ j,i. Insgesamt erhaten wir für w j = i w j,iψ j,i w j 2 H 1, mix (Ω T ) c i c i w j,i 2 ψ j,i 2 H 1, mix (Ω T ) 2 4 j 1 2 2j 1 2 dj 1 j 2 u 2 H (2, ),(2, ) mix (Ω T ). Mit Hife von (2.35) schießen wir, dass die Summe O(2 dj 1 j 2 ) Summanden besitzt. Somit git w j 2 H 1, mix (Ω T ) c2 4 j 1 2 2j 1 2 dj 1 j 2 u 2 1 H (2, ),(2, ) mix (Ω T ) c2 2 j 4 j 1 u 2 H (2, ),(2, ) mix (Ω T ) i

35 2.4. Verwendung der hierarchischen Basis 31 und Lemma 2.8 mit s = 1 und t = 2 zeigt (2.49). Verwenden wir anstee der stückweise inearen, stetigen Zeregung in der Zeit nun die stückweise ineare (aber unstetige) Zeregung (2.34), so erhaten wir anaog die fogenden Resutate. Satz Sei Vj Ω eine Foge von (d-) inearen, affin äquivaenten Finite Eement Räumen, deren zugrunde iegenden Trianguierungen reguär sind. Dann gibt es eine Konstante c >, so dass für den aus (2.12) mit Hife der (d-) inearen hierarchischen Basis im Ort und der aus der Zeregung (2.34) in der Zeit konstruierten Raum-Zeit Dünngitterraum Ṽ git. inf v Ṽ inf u v L 2 (Ω T ) c 2 2 u H 2,2 v Ṽ mix (Ω T ), (2.55) inf u v H 1, v Ṽ mix (Ω T ) c 2 u, (2.56) (2, ),(1, ) H mix (Ω T ) u v c (,2),(, ) H mix (Ω T ) 2 2 u (2,2),(2, ) H mix (Ω T (2.57) ) Da ae eindimensionaen Funktionen u T H 1, ((, T )) bzw. u T H 2 ((, T )) stetig sind, übertragen sich die Argumente in dem Beweis von Satz 2.12 auf den Fa, dass wir die Zeregung (2.34) in der Raum-Zeit Dünngitterkonstruktion verwenden. Betrachten wir nun den Fa, dass wir die stückweise konstante hierarchische Zeregung (2.33) in der Zeit verwenden und schreiben abkürzend ψj,i T := ψj,,i. T Mit Hife der kassischen Interpoationsfeherabschätzung für die stückweise konstante Interpoation erhaten wir die Existenz einer Konstanten c >, so dass für jede Funktion u T H 1, ((, T )), u T = j wt j = j i wt j,i ψt j,i, w T j,i c 2 j u T H 1, ((,T )) (2.58) git, wobei c > von u, j und i unabhängig ist. Durch eichtes nachrechnen fogt, dass für die stückweise konstanten Basisfunktionen in der Zeit ψ T j 2,i 2 L 2 ((,T )) = 2 j 2/2 (2.59) gütig ist. Damit erhaten wir das fogende Ergebnis über die Approximationseigenschaften des entsprechenden Raum-Zeit Dünngitters. Satz Sei Vj Ω eine Foge von (d-) inearen, affin äquivaenten Finite Eement Räumen, deren zugrunde iegenden Trianguierungen reguär sind. Dann gibt es eine Konstante c >, so dass für den aus (2.11) mit Hife der (d-) inearen hierarchischen

36 32 Kapite 2. Raum-Zeit Dünngitter Basis im Ort und der stückweise konstanten Zeregung (2.33) konstruierten Raum- Zeit Dünngitterraum V inf v V inf u v L 2 v V (Ω T ) c 2 2 u H 2,1 mix (Ω T ), (2.6) inf u v H 1, v V mix (Ω T ) c 2 u, (2.61) (2,2),(1, ) H mix (Ω T ) u v c (,2),(, ) H mix (Ω T ) 2 2 u (2,2),(1, ) H mix (Ω T (2.62) ) mit stückweise konstanten Funk- git. Verwenden wir anstee von V den Raum Ṽ tionen in der Zeit, so erhaten wir entsprechend inf v Ṽ inf u v L 2 (Ω T ) c 2 u H 2,1 v Ṽ mix (Ω T ), (2.63) inf u v H 1, v Ṽ mix (Ω T ) c 2 u H 2,1 mix (Ω T ), (2.64) u v c (,2),(, ) H mix (Ω T ) 2 u. (2.65) (2,2),(1, ) H mix (Ω T ) Beweis. Wir beschränken uns auf den Beweis der Abschätzungen bezügich des Raumes V mit Hife von Lemma 2.9. Die Abschätzungen für Ṽ fogen anaog aus Lemma 2.8. Für u T H 1, ((, T )) git für die hierarchische Zeregung u T = j wt j w T j L 2 ((,T )) c 2 j u T H 1, ((,T )), (2.66) wobei c > von j und u unabhängig ist. Dieses Resutat wird wie (2.58) mit Hife von Interpoationsfeherabschätzungen und der Dreiecksungeichung gezeigt. Über ein Tensorproduktargument, siehe [66], erhaten wir damit für u H (2,2),(1, ) mix (Ω T ), u = j w j, w j c (,2),(, ) H mix (Ω T ) 2 (2j 1+j 2 ) u. (2.67) (2,2),(1, ) H mix (Ω T ) Lemma 2.9 iefert nun mit s =, t = 1, = H (,2),(, ) und = (2,2),(1, ) H mix (Ω T die Abschätzung (2.62). ) Anaog zu (2.67) ist für jedes u H 2,1 mix (Ω T ), u = j w j die Abschätzung w j L 2 (Ω T ) c 2 (2j 1+j 2 ) u H 2,1 mix (Ω T ) (2.68) mit c > unabhängig von u und j gütig. Daraus fogt wiederum mit Lemma 2.9 für s =, t = 1, = L 2 (Ω T ) und = H 2,1 mix (Ω T ) die Ungeichung (2.6). Sei nun u H (2, ),(1, ) mix (Ω T ), u = j i w j,iψ j,i. Dann ergeben (2.43) und (2.58) über ein Tensorproduktargument w j,i c 2 2j 1 j 2 u H (2, ),(1, ) mix (Ω T ).

37 2.4. Verwendung der hierarchischen Basis 33 Des Weiteren git mit (2.46) und (2.59) für ψ j,i = ψ Ω j 1,i 1 ψ T j 2,i 2 Daraus fogt für w j = i w j,iψ j,i ψ j,i 2 H 1, mix (Ω T ) c 2 (d 2) j 1 j 2. w j 2 H 1, mix (Ω T ) i w j,i 2 ψ j,i 2 H 1, mix (Ω T ) c i c2 4j 1 2j 2 2 (2j 1,j 2 ) 2 dj 1 j 2 2 4j 1 2j 2 2 2j 1 2 dj 1 j 2 u 2 H (2, ),(1, ) mix (Ω T ) c2 (2j 1,j 2 ) 2 (2j 1,j 2 ) 1 u 2 H (2, ),(1, ) mix (Ω T ) und Lemma 2.9 mit s = 1/2 und t = 1 zeigt die Behauptung. i u 2 H (2, ),(1, ) mix (Ω T ) Zum Abschuss dieses Kapites ist es angebracht, den angesprochenen Vergeich zwischen den kassischen Dünngittern und den Raum-Zeit Dünngittern intensiver zu behanden. Während wir die Verwendung der Raum-Zeit Dünngitter bisher vor aem mit der einfacheren Handhabbarkeit kompizierter Geometrien und der Behandung von Differentiaoperatoren mit variaben Koeffizienten motiviert haben, fogt aus den theoretischen Betrachtungen, dass wir unter schwächeren Gattheitsannahmen as bei kassischen dünnen Gittern die geichen Approximationsraten erhaten. Geichzeitig besitzen die Raum-Zeit Dünngitter zu vorgegebenem Leve wesentich mehr Freiheitsgrade as die entsprechenden kassischen Dünngitter. Dies wirft die Frage auf, ob wir für manche Funktionen, die die von den kassischen Dünngittern benötigten Gattheitsannahmen nicht erfüen, dennoch ein besseres Kosten-Nutzen Verhätnis für die Raum-Zeit Dünngitter erwarten können. Dabei verstehen wir unter dem Kosten-Nutzen Verhätnis die Reation von der Anzah an verwendeten Freiheitsgraden N zu dem in einer vorgegebenen Norm gemessenen Feher e, e := u u, zwischen der exakten Funktion u und der approximierenden Funktion u des entsprechenden Raumes. In engem Zusammenhang mit dem Kosten-Nutzen Verhätnis steht die so genannte ε-kompexität [35, 17, 122] einer numerischen Methode. Hierbei bezeichnet die ε-kompexität den Aufwand zur Berechnung einer Näherungsösung mit einer vorgegebenen Genauigkeit ε. Hierbei ist insbesondere der Exponent α von Interesse, der für eine gegebene Anzah an Unbekannten N die Genauigkeit durch ε(n) = O(N α ) bestimmt. In diesem Sinne besitzt ein Verfahren ein besseres Kosten-Nutzen Verhätnis as ein anderes Verfahren, wenn der Wert α für das erstere Verfahren echt größer as der Wert α des zweiten Verfahrens ist. Wir betrachten nun Ω T = (, 1) 2 (, 1) und messen den Interpoationsfeher der Funktion u(x, t) = exp( t) x 1 x 2 8/5

38 34 Kapite 2. Raum-Zeit Dünngitter 1 1 Kassisches Dünngitter Raum Zeit Dünngitter 1 2 L Feher Anzah Unbekannter Abbidung 2.5. L - Interpoationsfeher für u(x, t) = exp( t) x 1 x 2 8/5 auf Ω T = (, 1) 2 (, 1) des kassischen, aus dem Tensorpodukt der eindimensionaen hierarchischen Basis konstruierten Dünngitters und des Raum-Zeit Dünngitters, bei dem im Ort die biineare hierarchische Basis auf einer uniformen Verfeinerung und in der Zeit die ineare hierarchische Basis verwendet wurde. auf dem kassischen Dünngitter und dem Raum-Zeit Dünngitter. Dabei git u Hmix 2 (Ω T ), womit die Funktion die für die obige Theorie benötigten Gattheitsvoraussetzungen erfüt. Geichzeitig erfüt u nicht die Gattheitsvoraussetzungen aus der Theorie der kassischen Dünngitter, d.h. u H 2 ((, 1)) H 2 ((, 1)) H 2 ((, 1)). Abbidung 2.5 zeigt nun den L -Interpoationsfeher in Abhängigkeit von der Anzah der benötigten Freiheitsgrade für das kassische Dünngitter, das aus der inearen hierarchischen Basis konstruiert wurde, und dem aus der biinearen hierarchischen Basis im Ort und der inearen hierarchischen Basis in der Zeit konstruierten Raum-Zeit Dünngitter Ṽ. Insgesamt ist die Steigung der zu dem Raum-Zeit Dünngitter gehörenden Kurve steier und somit der Wert α größer as für das kassische Dünngitter. Eine näherungsweise Bestimmung über die Steigungen der Regressionsgeraden durch die beiden Kurven führt zu den Werten α =.83 für das Raum-Zeit Dünngitter und α =.44 für das kassische Dünngitter. Somit iefert das Raum-Zeit Dünngitter, obwoh wir zunächst mit einem größeren Feher pro Unbekannter starten, bereits für V 7 einen wesentich keineren Feher pro Unbekannter as das kassische Dünngitter. Dies zeigt, dass wir in dem hier betrachteten Fa tatsächich für das Raum-Zeit Dünngitter ein wesentich besseres Kosten-Nutzen Verhätnis as für das kassische Dünngitter erhaten. Wie in diesem Kapite deutich geworden ist, ist es mögich, die Idee kassischer Dünngitter auf die natüriche Tensorproduktstruktur zwischen Raum und Zeit zu übertragen. Benötigt werden hierzu edigich Mutievezeregungen von L 2 ((, T )) und L 2 (Ω). Mit Hife dieser Konstruktion können wesentiche Nachteie kassischer Dünngitter, wie etwa die Behandung kompizierter Geometrien und variaber Ko-

39 2.4. Verwendung der hierarchischen Basis 35 effizienten, behoben oder zumindest stark verbessert werden. Verwendet man im Ort und in der Zeit die aus einer Sequenz von ineinander geschachteten Finite Eement Räumen konstruierten hierarchischen Überschußräume in der Raum-Zeit Dünngitterkonstruktion, so sind die Dimensionen der Raum-Zeit Dünngitterräume und der Finite Eement Räume im Ort von (bis auf einen ogarithmischen Faktor im Fa einer Ortsdimension) geicher Ordnung. Geichzeitig iefern die Raum-Zeit Dünngitterräume unter etwas stärkeren Gattheitsvoraussetzungen die geichen Approximationsraten wie voe Gitter. Dies resutiert in der weiterführenden Fragesteung, ob diese Gattheitsannahmen an die Lösung paraboischer Probeme reaistisch sind, was wir in dem nachfogenden Kapite untersuchen werden.

40 36 Kapite 2. Raum-Zeit Dünngitter

41 Kapite 3 Paraboische Probeme und Reguarität Wie in dem vorhergehenden Kapite deutich wurde, iefern die Raum-Zeit Dünngitter unter etwas stärkeren Gattheitsvoraussetzungen die geichen Interpoationsfeherraten wie voe Gitter. Da wir an der Lösung paraboischer Geichungen interessiert sind, stet sich daher die Frage, unter wechen Voraussetzungen die Lösungen paraboischer Geichungen die benötigte Reguarität aufweisen. Dieser Fragesteung gehen wir in diesem Kapite nach. Hierzu wiederhoen wir zunächst kassische Reguaritätsresutate für ineare paraboische Probeme, wobei wir der Darsteung in [121] fogen. Im Anschuss zeigen wir, dass die dort vorkommenden Räume zu den H m,n mix (Ω T ) Räumen, die für die Interpoationseigenschaften der Raum-Zeit Dünngitterräume maßgebich sind, identisch sind. 3.1 Notation Sei Ω R d, d = 1, 2, 3, ein beschränktes Gebiet und Ω T := Ω (, T ). Wir bezeichnen mit C k,1 (Ω) die Menge der k-ma stetig differenzierbaren Funktionen, deren k-te Abeitungen ipschitzstetig sind. Für Ω, Ω R d nennen wir eine bijektive Abbidung ϕ = (ϕ 1,..., ϕ d ) : Ω R d Ω R d einen (k, 1)-Diffeomorphismus, wenn ϕ i C k,1 (Ω) für ae 1 i d und für die Umkehrabbidung ϕ 1 = ( ϕ 1,..., ϕ d ) ϕ i C k,1 ( Ω) für ae 1 i d geten. Das Gebiet Ω heißt C k,1 gatt, fas es für jedes x Ω eine Umgebung U x gibt, so dass ein (k, 1)-Diffeomorphismus ϕ Ux : U x ( 1, 1) d mit ϕ Ux (U x Ω) = {x ( 1, 1) d x d = }, ϕ Ux (U x Ω) = {x ( 1, 1) d < x d < 1}, ϕ Ux (U x \ Ω) = {x ( 1, 1) d 1 < x d < } existiert, vg. Abbidung 3.1. Für einen Hibertraum V mit Norm V bezeichne 37

42 38 Kapite 3. Paraboische Probeme und Reguarität ϕ Ω Abbidung 3.1. Diffeomorphismus ϕ Ux, der eine Umgebung U x des Punktes x auf das Quadrat ( 1, 1) 2 abbidet. L 2 ((, T ); V ) die Menge aer schwach meßbaren Funktionen, für die git. Wir definieren weiter T u(t) 2 V < W ((, T ); H 1 (Ω)) := {f f L 2 ((, T ); H 1 (Ω)) und t f L 2 ((, T ); H 1 )} (3.1) und versehen den Raum mit dem Skaarprodukt (f, g) := T ((f(t), g(t)) H 1 (Ω) + ( t f(t), t g(t)) H 1 (Ω) dt. Hierbei ist das Skaarprodukt des Duaraumes H 1 (Ω) von H 1 (Ω) durch (v, w) H 1 (Ω) := (θ(v), θ(w)) H 1 (Ω) definiert, wobei die Abbidung θ : H 1 (Ω) H 1 (Ω) jedem v H 1 (Ω) das Eement θ(v) H 1 (Ω) zuordnet, so dass (θ(v), u) H 1 (Ω) = v(u) für ae u H 1 (Ω) git. Wir führen nun die für die Reguaritätstheorie paraboischer Probeme wichtigen W k ((, T ); H m (Ω))-Räume ein. Definition 3.1. Für k, m N sei der Raum W k ((, T ); H m (Ω)) die Menge aer Funktionen u : (, T ) H m (Ω) für die d j u dt j L2 ((, T ); H m (Ω)) für ae j k (3.2) git. Dabei sind die Abeitungen im Distributionensinne zu verstehen. Die Norm auf W k ((, T ); H m (Ω)) ist definiert durch u 2 W k ((,T );H m (Ω)) := k j= T dj u dt j 2 H m (Ω) dt. (3.3)

43 3.2. Reguarität der Lösung paraboischer Differentiageichungen 39 Für k ist W k ((, T ); Ω) ein Hibertraum. 3.2 Reguarität der Lösung paraboischer Differentiageichungen Im fogenden sei L ein inearer eiptischer Differentiaoperator zweiter Ordnung, d.h. Lu = (A u) + b u + cu (3.4) mit A = (a ij ) d i,j=1 : Ω T R d d, b = (b i ) d i=1 : Ω T R d und c : Ω T R. Für eine gegebene rechte Seite f : Ω T R, eine Anfangsbedingung u : Ω R und eine Randbedingung g : Ω (, T ] suchen wir eine Funktion u : Ω T R, die die Geichungen t u + Lu = f in Ω T, (3.5) u = g auf Ω (, T ], (3.6) u(, ) = u ( ) auf Ω (3.7) erfüt. Wenn wir nun die Geichung (3.5) mit einer Testfunktion ϕ H 1 (Ω) mutipizieren und partie integrieren, so erhaten wir die zugehörige schwache Formuierung des Probems, ( t u, ϕ) L 2 (Ω) + a(t; u, ϕ) = (f, ϕ) für ae ϕ H 1 (Ω), t (, T ], u(, ) = u ( ) f.ü. in Ω, u(t, x) = g(t, x) für ae t (, T ) f.ü. in Ω, (3.8) wobei a(t; u, v) := Ω ( u) T A v + bv u + cuv dx. (3.9) Wir suchen somit eine Funktion u, die jedem t (, T ] eine Funktion u(t, ) H 1 (Ω) zuordnet und die im Distributionensinne in t differenzierbar ist. Aus dieser Betrachtungsweise heraus nehmen Funktionen mit Werten in dem Hibertraum H 1 (Ω), deren Abeitungen in H 1 (Ω) iegen, aso den Funktionen, die in dem Raum W ((, T ); H 1 (Ω)) enthaten sind, eine bedeutende Roe bei der Behandung paraboischer Probeme ein. Um die Existenz einer Lösung von (3.8) zu garantieren, steen wir die fogenden Bedingungen an die Biinearform a(t;, ) A1) Für ϕ, ψ H 1 (Ω) fest sei a(t; ϕ, ψ) meßbar auf [, T ]. A2) Es existiere eine Konstante C > unabhängig von t [, T ], so dass a(t; ϕ, ψ) C ϕ H 1 (Ω) ψ H 1 (Ω), für ae t [, T ], ϕ, ψ H 1 (Ω) (3.1) git.

44 4 Kapite 3. Paraboische Probeme und Reguarität A3) Es existiere eine Konstante c > unabhängig von t [, T ], so dass erfüt ist. c ϕ 2 H 1 (Ω) a(t; ϕ, ϕ) für ae ϕ H1 (Ω) (3.11) Unter diesen Voraussetzungen an a(t;, ) äßt sich nun die Lösbarkeit des Probems (3.8) zeigen. Satz 3.2. Die Randfunktion g asse sich derart in das Innere des Gebietes Ω fortsetzen, dass g W ((, T ); H 1 (Ω)) ist. Es geten A1, A2 und A3 für die Biinearform a( ;, ). Dann besitzt das Probem (3.8) für jedes f L 2 ((, T ), H 1 (Ω)) und u H 1 (Ω) eine eindeutige Lösung u W (, T ; H 1 (Ω)). Für den Beweis verweisen wir auf [121] und untersuchen nun die Reguarität der Lösung u des Probems (3.8). Dabei ist, wie auch bei eiptischen Probemen, die Gattheit der Lösung von der Gattheit des Gebietes Ω abhängig, so dass Bedingungen an das Gebiet unumgängich sind. Im Fogenden nehmen wir daher an, dass Ω beschränkt und von der Gattheit C 1+k,1 ist. Zusätzich gete für die Koeffizientenfunktionen des eiptischen Operators L(t) K1) a ij (, t), b i (, t), c(, t) C k ( Ω) für ae t [, T ], K2) t a ij, t b i, t c C( Ω [, T ]) für k. Wir erhaten dann das fogende Resutat bzg. der Differenzierbarkeit der Lösung u von (3.8) nach t. Satz 3.3. Für festes k N seien die Voraussetzungen A1, A2, A3, K1 und K2 erfüt. Weiterhin sei die Randfunktion g in das Innere von Ω fortsetzbar mit g W k ((, T ); H 1 (Ω)) und t k+1 g L 2 ((, T ); H 1 (Ω)). Zusätzich seien für die Rand- und Anfangsbedingungen die Kompatibiitätsbedingungen t u(, ) t g(, ) H1 (Ω), für ae k 1, (3.12) t k u(, ) k t g(, ) L2 (Ω), (3.13) erfüt. Dann besitzt das Probem (3.8) für jedes f W k ((, T ); H 1 (Ω)) genau eine Lösung u und es git u W k ((, T ); H 1 (Ω)) und k+1 t u L 2 ((, T ); H 1 (Ω)). (3.14)

45 3.2. Reguarität der Lösung paraboischer Differentiageichungen 41 Die Kompatibiitätsbedingungen (3.12) und (3.13) sind nur die Kurzschreibweise für u(, ) = u ( ), t u(, ) = f(, ) L(, )u, u.s.w., die wir durch Differentiation und Auswerten an der Stee t = aus (3.5) erhaten. Um nun Aussagen über die Gattheit der Lösung bzg. des Ortes zu erhaten, erhöhen wir die Differenzierbarkeitsvoraussetzungen bzg. der Ortsvariaben x. Wir nehmen daher für q N an, dass die Bedingungen des vorherigen Satzes nun für k + q geten. Wir erhaten dann aus [121] die fogende Reguaritätsaussage. Satz 3.4. Für k, q N gete die Bedingung K1 mit k + q anstee von k. Das Gebiet Ω sei beschränkt und C 1+q+k,1 gatt. Für die Umkehrabbidung L 1 (t) : H 1 (Ω) H 1 (Ω) gete t n L 1 (t)f H 2+q (Ω) c q f H q (Ω) (3.15) mit c q unabhängig von t für ae f H 2+q (Ω) H 1 (Ω) und n k 1. Des Weiteren seien die Voraussetzungen des vorigen Satzes erfüt und es sei f W k 1 ((, T ); H q (Ω)) und k t f L 2 ((, T ); H 1 (Ω)). (3.16) Wir definieren rekursiv die Zahen m j, 1 j k, durch m 1 = 2 + min(1, q), m j+1 = 2 + min(q, m j ). Für q := max 1 j k m j sei die gegebene Randfunktion g in das Innere von Ω mit g W k ((, T ); H 2+ q (Ω)) und k+1 t g L 2 ((, T ); H 1 (Ω)) (3.17) fortsetzbar. Dann besitzt das Probem (3.8) genau eine Lösung u und es git u W k j ((, T ); H 2+min(q,m j) ) für ae 1 j k. (3.18) Die Bedingung (3.15) an L(t) ist triviaerweise erfüt, wenn die Koeffizientenfunktionen des eiptischen Operators nicht von der Zeit abhängen. Die beiden Sätze zeigen, dass es für fest gewähte k, m N stets mögich ist, geeignete Bedingungen an die rechte Seite, die Randbedingung und die Anfangsbedingung, die Gattheit des Gebietes Ω und die Koeffizienten des eiptischen Operators L(t) zu steen, so dass für die Lösung u der schwachen Formuierung u W k ((, T ); H m (Ω)) (3.19) git. Wie wir im vorigen Kapite bereits diskutiert haben, spieen die Räume H m,k mix (Ω T ) dominierender gemischter Gattheit eine wichtige Roe in dem Kontext der Raum- Zeit Dünngitterräume. Präziser formuiert können wir Funktionen aus diesen Räumen

46 42 Kapite 3. Paraboische Probeme und Reguarität mit Hife der Raum-Zeit Dünngitterräume mit der geichen (bis auf einen ogarithmischen Faktor) Approximationsordnung wie mit den Vogitterräumen approximieren. Deshab wäre für die Diskretisierung paraboischer Probeme mit Raum- Zeit Dünngittern eine Reguaritätstheorie bzg. dieser Räume von Bedeutung. Wie der fogende Satz aerdings zeigt, entsprechen die Räume H m,k mix (Ω T ) den Räumen W k ((, T ); H m (Ω)). Satz 3.5. Für k, m N git W k ((, T ); H m (Ω)) = H m,k mix (Ω T ). (3.2) Beweis. Sei u W k ((, T ); H m (Ω)) und {e n ( )} eine orthonormae Basis von H m (Ω). Wir definieren u n (t) := (u(t), e n ) H m (Ω), (3.21) und für festes t (, T ) git u(t)( ) = n u n(t)e n ( ). Des Weiteren erhaten wir für die Foge w j := j n=1 u n(t) e n im w j = u in W k ((, T ); H m (Ω)) j und somit ist w j insbesondere eine Cauchy-Foge in W k ((, T ); H m (Ω)). Wir haben außerdem T u n (t) 2 dt T weshab u n (t) L 2 ((, T )) git. Für 1 k ist u(t) 2 H m (Ω) dt <, t u n(t) = ( d u dt u(t), e n) H m (Ω) L 2 (, T ). (3.22) Damit git u n (t) H k (, T ) und somit w j H m (Ω) H k ((, T )). Da nun w j eine Cauchy-Foge in W k ((, T ); H m (Ω)) ist und w j w W k ((,T );H m (Ω)) = w j w H m,k mix (Ω T ), ist w j auch eine Cauchy-Foge in H m,k mix (Ω T ). Aus der Voständigkeit von H m,k mix (Ω) fogt dann u = im t w j H m,k mix (Ω). Sei nun u H m,k mix (Ω). Dann gibt es eine Foge ut n (t) Hk ((, T )), eine Foge u Ω n(x) H m (Ω) und eine Foge von Koeffizienten λ n, so dass u n := n λ i u Ω i (x) ut i (t) i=1 gegen u in H m,k mix (Ω) konvergiert. Somit ist u n Cauchy Foge in H m,k mix (Ω) und insbesondere auch eine Cauchy-Foge in W k ((, T ); H m (Ω)). Da W k ((, T ); H m (Ω)) voständig ist, fogt damit u = im n u n W k ((, T ); H m (Ω)).

47 3.2. Reguarität der Lösung paraboischer Differentiageichungen 43 Satz 3.4 iefert im Hinbick auf Satz 3.5 somit Reguaritätsaussagen bzg. der H m,k mix (Ω T ) Räume. Nehmen wir an, dass Gebiet Ω sei von der Gattheit C 4,1 und es gete f W 2 ((, T ); L 2 (Ω)), 3 t f L2 ((, T ); H 1 (Ω)), g W 3 ((, T ); H 2 (Ω)), 4 t g L2 ((, T ); H 1 (Ω)), und die Anfangs- und Randbedingungen seien ausreichend kompatibe. Ist des Weiteren der eiptische Operator L zeitunabhängig, so fogt aus Satz 3.4 für die Lösung u des Probems u H 2 mix (Ω T ). Diese Reguarität benötigten wir jedoch gerade in den Sätzen 2.12 und 2.13 zur Abschätzung des Approximationsfehers bzg. der L 2 -Norm. Schwächen wir die obigen Gattheitsvoraussetzungen an das Gebiet, die rechte Seite und die Randbedingungen weiter ab, so dass Ω von der Gattheit C 3,1 ist und f W 1 ((, T ); L 2 (Ω)), 2 t f L2 ((, T ); H 1 (Ω)), g W 2 ((, T ); H 2 (Ω)), 3 t g L2 ((, T ); H 1 (Ω)), git, so erhaten wir für die Lösung u H 2,1 mix (Ω T ). Diese Gattheitsvoraussetzung haben wir in Satz 2.14 für die Approximationsfeherabschätzungen der aus der hierarchischen Basis im Ort und der stückweise konstanten hierarchischen Basis in der Zeit konstruierten Raum-Zeit Dünngitterräume V und Ṽ bzg. der L 2 -Norm gefordert. Diese Beispiee zeigen, dass die Gattheitsvoraussetzungen in Kapite 2 keineswegs wikürich gewäht sind, sondern für die Lösungen paraboischer Probeme durchaus zutreffen. In diesem Kapite haben wir einige kassische Resutate der Reguaritätstheorie für ineare paraboische Probeme wiederhot. Es stet sich dabei as ein wesentiches Resutat heraus, dass die Räume, in denen die Lösungen der paraboischen Geichungen nach den Reguaritätsresutaten enthaten sind, gerade den in (2.6) definierten Räumen dominierender gemischter Raum-Zeit Abeitungen entsprechen. Dieses Ergebnis zeigt, dass die für die Theorie der Raum-Zeit Dünngitter benötigten Gattheitsannahmen tatsächich für die Lösungen von paraboischen Probemen zu erwarten sind. Somit haben wir eine weitere Motivation dafür, auf den Raum-Zeit Dünngittern basierende Diskretisierungsverfahren zu entwicken, was wir im nun fogenden Kapite vertiefen werden.

48 44 Kapite 3. Paraboische Probeme und Reguarität

49 Kapite 4 Diskretisierung In diesem Kapite diskutieren wir die Diskretisierung paraboischer Probeme mit Hife der Raum-Zeit Dünngitter. Hierzu verwenden wir as Ausgangspunkt die schwache Formuierung (3.8) des paraboischen Probems. Zur Diskretisierung von paraboischen Probemen existieren im wesentichen drei Methoden, die sich in der Reihenfoge der Diskretisierung von Raum und Zeit unterscheiden. Bei der (vertikaen) Linienmethode wird in einem ersten Schritt der Ort, beispiesweise mittes Finiter Eemente, diskretisiert. Das dadurch entstandene System gewöhnicher Differentiageichungen kann anschießend mit herkömmichen Zeitintegratoren, wie z.b. dem Runge-Kutta Verfahren, geöst werden. Hierbei wird der Feher im Ort mit Hife von Feherschätzern für stationäre Probeme [2, 17] kontroiert. Bei der Rothe-Methode interpretiert man das kontinuieriche Probem hingegen as gewöhniche Differentiageichung in einem Hibertraum, wobei die zeitiche Komponente durch geeignete Zeitintegratoren diskretisiert wird. Die in jedem Zeitschritt durchzuführende Ortsdiskretisierung wird dabei as Störung der Zeitintegration aufgefasst. Somit können Kriterien entwicket werden, mit denen entschieden werden kann, wie der Feher der Ortsdiskretisierung beschränkt sein muß, damit sich der Feher mit der Zeitdiskretisierung nicht zu sehr aufschauket und beschränkt beibt. Zur Kontroe des Ortsfehers werden, wie schon zuvor bei der (vertikaen) Linienmethode, kassische Feherschätzer für stationäre Probeme herangezogen [83, 19, 21]. Ein dritter Ansatz, bei dem Ort und Zeit geichzeitig diskretisiert werden, ist die Discontinuous-Gaerkin Methode [49, 5]. Hierbei kommen geeignete Raum-Zeit Feherschätzer zur Kontroe des Gesamtfehers zur Anwendung. Da sowoh bei der Rothe-Methode as auch bei der (vertikaen) Linienmethode Ort und Zeit getrennt behandet werden, erscheinen diese Verfahren auf den ersten Bick as wenig geeignet, um auf den Raum-Zeit Dünngitterfa übertragen zu werden. Betrachten wir beispiesweise die Linienmethode, so ist zu verschiedenen Zeitpunkten jeweis ein stationäres Probem zu ösen, das in der Rege die Lösung 45

50 46 Kapite 4. Diskretisierung an bestimmten vorherigen Zeitpunkten aber keine Lösung an späteren Zeitpunkten benötigt. Zur Berechnung einer Raum-Zeit Dünngitterinterpoierenden einer Funktion an einem festen Punkt im Ort zu einem festen Zeitpunkt benötigen wir jedoch bereits Werte der zu interpoierenden Funktion an dem geichen Ortspunkt zu einem späteren Zeitpunkt. Dieses Beispie iustriert, dass Raum-Zeit Dünngitter wenig geeignet für ein schrittweises Vorgehen in der Zeit sind. Dennoch assen sich herkömmiche Zeitschrittverfahren auf den Raum-Zeit Dünngitterfa übertragen, indem die Zeitdiskretisierung as Petrov-Gaerkin Verfahren interpretiert wird. Da hierbei der Ansatzraum meist aus in der Zeit stetigen Funktionen besteht, wird diese Vorgehensweise auch as Continuous Gaerkin Verfahren bezeichnet [48, 54]. In [5] wurde bereits das Crank-Nicoson und das impizite Euerverfahren in diesem Sinne as Petrov-Gaerkin Verfahren interpretiert, wobei die Verwendung von kassischen Dünngitterräumen as Ansatz- und Testraum zu einer Dünngitterdiskretisierung führt. Wir diskutieren diese Vorgehensweise im Kontext der Raum-Zeit Dünngitter in Abschnitt 4.1, wobei eine Stabiitätsabschätzung die eindeutige Lösbarkeit des diskreten Probems zeigt. Da bei dem Discontinuous-Gaerkin Verfahren Raum und Zeit geichzeitig diskretisiert werden, ist das Discontinuous-Gaerkin Verfahren direkt auf den Raum-Zeit Dünngitterfa übertragbar. Dieses Vorgehen beschreiben wir in Abschnitt 4.2 und untersuchen dort auch das Konvergenzverhaten der Discontinuous-Gaerkin Diskretisierung im Fa von stückweise konstanten oder stückweise inearen Funktionen in der Zeit, wobei wir eine a-priori Feherabschätzung für die Dünngitter Discontinuous- Gaerkin Diskretisierung erhaten. Die durch die Diskretisierung mit den Raum-Zeit Dünngittern und dem Discontinuous Gaerkin oder dem Crank-Nicoson Verfahren anfaenden inearen Geichungssysteme sind in der Rege nicht dünn besetzt. Aerdings kann, wie schon bei kassischen Dünngittern, das Matrix-Vektor Produkt mit einem zur Zah der Freiheitsgrade proportionaen Aufwand berechnet werden. Dies geschieht mit Hife des Unidirektionaen Prinzips, das erstmas in [5] für kassische Dünngitter beschrieben wurde, und das wir in Abschnitt 4.3 auf die Raum-Zeit Dünngitter veragemeinern. Da wir hier mit beiebigen inearen bzw. d-inearen hierarchischen Basen im Ort arbeiten, müssen wir dafür insbesondere die benötigten Teiagorithmen Top Down und Bottom Up anpassen. Schiessich untersuchen wir in Abschnitt 4.4 anhand einiger numerischer Ergebnisse das Konvergenzverhaten des Crank-Nicoson und des Discontinuous Gaerkin Verfahrens mit stückweise konstanten bzw. stückweise inearen Funktionen in der Zeit.

51 4.1. Das Crank-Nicoson Verfahren Das Crank-Nicoson Verfahren Ersetzen wir in der schwachen Formuierung ( t u, ϕ) L 2 (Ω) + a(t; u, ϕ) = (f, ϕ) für ae ϕ H 1 (Ω), t (, T ], u(, ) = u ( ), f.ü. in Ω, u(t, x) = g(t, x) für ae t (, T ) f.ü. in Ω des paraboischen Probems die punktweise in t geforderte Geichheit durch Testen mit beiebigen H 1 (Ω) L 2 ((, T ))-Funktionen ϕ, so erhaten wir die äquivaente Formuierung T ( d dt u, ϕ) L 2 (Ω) + a(t; u, ϕ) dt = T (f, ϕ) dt für ae ϕ H 1 (Ω) L2 ((, T )) u(, ) = u ( ), f. ü. in Ω, (4.1) u(x, t) = g(x, t) für ae t (, T ] f. ü. in Ω. Wir wähen die Formuierung (4.1) as Ausgangspunkt für eine Petrov-Gaerkin Diskretisierung. Dazu beschäftigen wir uns nun mit der Wah zweier geeigneter endichdimensionaer Teiräume von H(Ω) 1 L 2 ((, T )), die wir as Ansatz- bzw. Testraum verwenden können. Hierzu betrachten wir zunächst die schwache Formuierung einer gewöhnichen Differentiageichung, d.h. wir suchen eine Funktion u, so dass T d T dt u v dt = f v dt für ae v L 2 ((, T )), (4.2) u() = u, (4.3) git. Im fogenden sei das Zeitgebiet (, T ) durch die N + 1 Zeitpunkte = t < t 1 <... < t N = T unterteit und wir definieren I k := (t k 1, t k ) für 1 k N. Seien V ansatz und V T est stetige Funktionenräume auf dem Einheitsinterva (, 1) wobei für ein fest gewähtes r > dim(v Ansatz ) = r + 1 und dim(v T est ) = r geten so. Bezeichnet π k : I k (, 1) die affin ineare Transformation auf das Einheitsinterva, so definieren wir damit die diskreten Räume VN Ansatz VN T est := {ϕ C(, T ) (ϕ Ik ) π k V Ansatz für ae 1 k N}, := {ϕ L 2 (, T ) (ϕ Ik ) π k V T est für ae 1 k N}. Verwenden wir VN Ansatz as Ansatzraum und VN T est as Testraum einer Petrov-Gaerkin Diskretisierung von (4.2), wobei wir f durch den Interpoanten in dem Ansatzraum ersetzen, so erhaten wir damit je nach Wah der Räume V Ansatz und V T est bekannte

52 48 Kapite 4. Diskretisierung Zeitdiskretisierungsverfahren. Aufgrund der Forderung, dass die Funktionen des Ansatzraumes stetig sein soen, werden diese Methoden auch as Continuous Gaerkin Verfahren bezeichnet, vg. [11, 48, 54]. Im übrigen erkärt sich mit der Stetigkeitsforderung auch die Bedingung, dass die Dimension von V Ansatz um genau eins größer sein so as die Dimension des Testraumes V T est. Damit erhaten wir, dass der Ansatzraum VN Ansatz d.h. genau einen Freiheitsgrad mehr as der Testraum V T est N dim(vn Ansatz ) = N r + 1 = dim(vn T est ) + 1, besitzt, und mit der Forderung, dass die Anfangsbedingung erfüt sein so, beiben genauso viee Freiheitsgrade, wie in dem Testraum vorhanden sind, übrig. Wähen wir nun beispiesweise zu fest gewähtem Parameter θ V T est := span{1} und V Ansatz := span{1, φ(t) = t + 3(2θ 1)t(1 t)}, so erhaten wir das θ Schema. As Speziafa führt die Wah θ = 1 zu dem impiziten Euerverfahren, vg. [11]. Wähen wir hingegen für vorher fest gewähtes r > 1 den Ansatzraum V Ansatz as den Raum aer Poynome vom Grad r, V Ansatz := span{x i 1 i r} und den Testraum V T est as den Raum aer Poynome vom Grad r 1, V T est := span{x i 1 i r 1}, so erhaten wir das (r, r) Padé Schema der Ordnung 2r. Für r = 1 resutiert insbesondere das Crank-Nicoson Verfahren u(t k ) u(t k 1 ) = f(t k) + f(t k 1 ) t k t k 1 2 für ae 1 k N. Für die Speziafäe des impiziten Euerverfahrens und des Crank-Nicoson Verfahrens ist die Interpretation as Petrov-Gaerkin Verfahren bereits in [5] unabhängig von den früher zitierten Arbeiten angeführt und zur Dünngitterdiskretisierung paraboischer Probeme umgesetzt worden. Wir konzentrieren uns in diesem Abschnitt auf die Crank-Nicoson Diskretisierung. Mit der obigen Interpretation des Crank-Nicoson Verfahrens zur Lösung der gewöhnichen Differentiageichung erhaten wir unmittebar die Interpretation der Crank-Nicoson Diskretisierung des paraboischen Probems mit Finiten Eementen im Ort as Petrov-Gaerkin Verfahren mit der durch (4.1) gegebenen Biinearform. Hierbei ist der Ansatzraum as das Tensorprodukt des zu dem Crank-Nicoson Verfahren gehörigen Ansatzraumes in der Zeit und dem Finite Eement Raum zu wähen. Anaog ist der Testraum as das Tensorprodukt des Testraumes der Crank- Nicoson Diskretisierung in der Zeit und dem Finite Eement Raum gegeben.

53 4.1. Das Crank-Nicoson Verfahren 49 Es ist nun naheiegend, anstee der Vogitterräume die entsprechenden Dünngitterräume zu verwenden, d.h. as Ansatzraum verwenden wir den mit Hife der hierarchischen Basis im Ort und der inearen hierarchischen Basis in der Zeit konstruierten Raum Ṽ,Ansatz, den wir im fogenden mit Ṽ bezeichnen. Der Testraum,T est Ṽ ist dann as der aus der hierarchischen Basis im Ort und der stückweise konstanten Zeregung in der Zeit konstruierte Raum Ṽ zu wähen. Wir erhaten damit das diskretisierte Probem: Finde u Ṽ,Ansatz, so dass u die Anfangs- und Randbedingungen erfüt und mit B(u, ϕ) = B(u, ϕ) := T T (f, ϕ) dt für ae ϕ ( d dt u, ϕ) L 2 (Ω) + a(t; u, ϕ) dt Ṽ,T est, (4.4) git. Wir nehmen zur Vereinfachung der Notation T = 1 an und wähen im Fogenden für festes die diskreten Zeitpunkte t k := k 2. Wir erhaten dann die fogende Stabiitätsaussage. Lemma 4.1. Die Biinearform a(t;, ) sei unabhängig von t, d.h. a(t;, ) = a(, ) und es gete a(v(, T ), v(, T )) für ae v Ṽ,Ansatz. Ist u =, so git für die Lösung u der Dünngitter-Crank-Nicoson Diskretisierung (4.4) t u L 2 (Ω T ) f L 2 (Ω T ) (4.5) und u (t k ) L 2 (Ω) 2 /2 k 1/2 f L 2 (Ω T ). (4.6) Beweis. Da die Abeitung bzg. der Zeit für jedes u Ṽ,Ansatz iegt, d.h. t u Integration T Ṽ,T est in dem Testraum, setzen wir ϕ = t u in (4.4) ein und erhaten mit partieer ( t u, t u ) L 2 (Ω) dt a(u (, T ), u (, T )) = T f t u dt. Da nach Voraussetzung a(u (, T ), u (, T )) git, fogt daraus die Ungeichung (4.5). Weiter git tk u (t k ) L 2 (Ω) = t u (τ) dτ L 2 (Ω) t u L 2 (Ω) L 1 ((,t k )) 2 /2 k 1/2 t u L 2 (Ω) L 2 ((,t k )) 2 /2 k 1/2 f L 2 (Ω)

54 5 Kapite 4. Diskretisierung und die Abschätzung 4.6 ist gezeigt. Die Stabiitätsabschätzung zeigt, dass das Probem (4.4) eine eindeutige Lösung besitzt. Lemma 4.2. Die Biinearform a(t;, ) sei unabhängig von t, a(t;, ) = a(, ), und koerziv. Dann besitzt das diskrete Probem (4.4) eine eindeutige Lösung. Insbesondere zeigt das Lemma, dass das anfaende ineare Geichungssystem, mit dessen Lösung wir uns später beschäftigen werden, eindeutig ösbar ist. Der Beweis dieses Lemmas fogt sofort aus dem vorherigen Resutat. Sind nämich u und ũ zwei Lösungen von (4.4), so ist u ũ eine Lösung von (4.4) mit u (, ) ũ (, ) = und f =. Aus der Abschätzung (4.5) fogt damit u = ũ. 4.2 Das Discontinuous-Gaerkin Verfahren Bei der Disontinuous-Gaerkin Methode [49, 5, 51, 52, 53] wird das Zeitgebiet (, T ] zunächst in Teiintervae I k = (t k 1, t k ], 1 k N, mit diskreten Zeitpunkten = t < t 1 <... < t N = T zeregt. Für eine gegebene Ortsdikretisierung Vh Ω mit Finiten Eementen und für fest gewähtes q N betrachtet man dann den Raum V := {v v(x, t) Ik = q j= t j v j (x) mit v j V Ω h } von in der Zeit stückweise stetigen Funktionen. Dabei ist q der maximae Poynomgrad der Ansatzfunktionen in der Zeit. Man beachte, dass die Funktionen dieses Raumes im Agemeinen unstetig an den Intervagrenzen sind. Um dies in der fogenden Formuierung berücksichtigen zu können, benötigen wir noch die Definition der Sprungfunktionen [v] k := v + k v k mit v+( ) k := im v(t k + s) s +( ) für jedes v V. Bei der Discontinuous-Gaerkin Diskretisierung des Probems (3.8) sucht man nun ein u V, so dass u die Anfangs- und Randbedingungen und B(u, v) = T (f, v) L 2 (Ω) dt für ae v V, (4.7) erfüt, wobei B(v, w) := N N 1 ( t v, w) L 2 (Ω) + a(t; v, w) dt + ([v] k, w + k ) L 2 (Ω) (4.8) I k k=1 k=

55 4.2. Das Discontinuous-Gaerkin Verfahren 51 und (u ) := u. Für q = erhaten wir damit das impizite Euer Verfahren während q = 1 ein Verfahren ähnich dem subdiagonaen Padé-Schema der Ordnung (2, 1) iefert, vg. [49]. Wie wir sehen, ist die abstrakte Formuierung (4.7) forma unabhängig von der Wah des Ansatzraumes V. Wir können hier aso ohne weiteres auch unsere Raum- Zeit Dünngitterräume verwenden, wobei wir weiterhin in der Biinearform B(, ) über die Zeitpunkte des in den Raum-Zeit Dünngittern vorkommenden feinsten Zeiteves summieren. In Anaogie zu dem obigen Raum V verwenden wir hierbei Raum-Zeit Dünngitter, die aus der stückweise konstanten oder der stückweise inearen Mutieve-Zeregung des Abschnitts 2.3 in der Zeit und der hierarchischen Basis im Ort konstruiert werden. Wir erhaten damit die zu den kassischen Discontinuous- Gaerkin Diskretisierungen anaogen Raum-Zeit Dünngitterverfahren. In [49] wird gezeigt, dass für ineare Finite Eemente im Ort mit geeigneten Gattheitsvoraussetzungen an die kontinuieriche Lösung u das Verfahren in der Zeit goba von der Ordnung q +1 ist und an den Zeitschritten t k sogar eine Ordnung von 2q + 1 erreicht wird. Wir untersuchen nun anaog die Konvergenzrate des Raum-Zeit Dünngitterverfahrens mit stückweise konstanten bzw. stückweise inearen Funktionen in der Zeit. Hierbei werden wir von der Ungeichung a b ε 2 a ε b2 (4.9) für beiebige a, b R und ε > Gebrauch machen. Zusätzich schreiben wir abkürzend a(, ) anstee von a(t;, ), obwoh die Biinearform weiterhin von der Zeit abhängig sein kann. Wir erhaten zunächst das fogende Lemma. Lemma 4.3. Für ae v H 1, mix (Ω T ) mit t (v Ik ) L 2 (Ω I k ) für ae 1 k N und v = git B(v, v) = T a(v, v) dt + 1 D(v), (4.1) 2 wobei D(v) := v N 2 L 2 (Ω) + N 1 k= [v] k 2 L 2 (Ω). Beweis. Partiee Integration iefert I k ( t v, v) L 2 (Ω) dt = 1 2 ( ) v k 2 L 2 (Ω) v+ k 1 2 L 2 (Ω).

56 52 Kapite 4. Diskretisierung Unter Verwendung von (4.9) mit ε = 1 und v B(v, v) = = N 1 k= T + T = erhaten wir ( (v + k v k, v+ k ) L 2 (Ω) + 1 ( ) ) v k 2 2 L 2 (Ω) v+ k 2 L 2 (Ω) a(v, v)dt v N 2 L 2 (Ω) a(v, v)dt v N 2 L 2 (Ω) und die Behauptung ist gezeigt. N 1 k= ( 1 2 v+ k 2 L 2 (Ω) (v k, v+ k ) + 1 ) 2 v k 2 L 2 (Ω) Ist a(t;, ) positiv definit, so kann das obige Lemma as positive Definitheit des Discontinuous-Gaerkin Operators B(, ) interpretiert werden. Insbesondere fogt aus der Identität (4.1), dass das bei der Diskretisierung anfaende ineare Geichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt. Sind nämich u und ũ zwei Lösungen des diskreten Probems (4.7), so ist u ũ eine Lösung des diskreten Probems (4.7) mit f = und u =. Deshab git B(u ũ, u ũ ) = und mit (4.1) fogt u = ũ. Wir bezeichnen mit e := u u den Feher zwischen der kontinuierichen Lösung u und der Lösung des diskretisierten Probems u. Das fogende Resutat gibt eine obere Abschätzung für die Konvergenz der diskreten Lösung u gegen die kontinuieriche Lösung für die Dünngitterkonstruktion mittes stückweise konstanter Funktionen in der Zeit. Wir setzen für festes N := 2 und beschränken uns zur Vereinfachung der Darsteung auf T = 1. Satz 4.4. Es gebe Konstanten C > und c >, so dass für die Biinearform a(, ) die Bedingungen (3.1) und (3.11) erfüt sind. Sei die Lösung u des Probems (3.8) genügend gatt. Sei V der aus der hierarchischen Basis im Ort und der stückweise konstanten Zeregung in der Zeit konstruierte Raum-Zeit Dünngitterraum und P V sei der zugehörige Interpoationsoperator. Dann gibt es eine Konstante c unabhängig von und u, so dass für die Lösung u V von (4.7) mit V = V ( ) e 2 L 2 (Ω T ) + D(e ) c u P V u 2 Hmix 1. (Ω T ) + 2 u P V u 2 H (,2),(, ) mix (Ω T ) git. Beweis. Da u und u die geiche Anfangsbedingung erfüen, git e (x, ) = für ae x Ω

57 4.2. Das Discontinuous-Gaerkin Verfahren 53 und wir können die Identität (4.1) des vorigen Lemmas zusammen mit der Koerzivität (3.11) der Biinearform a(, ) ausnutzen. Wir erhaten dann ( T e 2 L 2 (Ω T ) + D(e ) c a(e, e ) dt + 1 ) 2 D(e ) = c B(e, e ) (4.11) und es genügt, B(e, e ) nach oben abzuschätzen. Ist u in den Zeitpunkten t k, 1 k 2, stetig, so git [u k ] = für ae 1 k 2 = N, weshab u as Lösung des paraboischen Probems triviaerweise (4.7) erfüt. Hieraus fogt B(e, ϕ) = für ae ϕ V, und insbesondere git B(e, e ) = B(e, u P V u). Damit ergibt sich B(e, e ) = B(e, u P V u) N = ( t e, u P V u) L 2 (Ω)dt + I k k=1 N 1 + k= ([e ] k, (u P V u) + k ) L 2 (Ω). T a(e, u P V u)dt Wir schätzen nun diese drei Terme weiter ab. Für T a(e, u P V u)dt erhaten wir unter Verwendung der Abkürzung 2 a := a(, ) T a(e, u P V u) dt C 1 2 T T e a u P V u a dt e 2 L 2 (Ω) dt + c T u P V u 2 H 1 (Ω) dt, wobei wir im etzten Schritt die Ungeichung (4.9) mit geeignet gewähtem ε sowie die Stetigkeit von a(, ) ausgenutzt haben. Der Term N k=1 ([e ] k 1, (u P V u) + k 1 ) L 2 (Ω) äßt sich wiederum mit (4.9) und geeignetem ε durch N 1 ([e ] k, (u P V u) + k ) L 2 (Ω) k= abschätzen. N 1 k= ( ) 1 4 [e ] k 2 L 2 (Ω) + c2 (u P V u) + k 2 L 2 (Ω) 1 4 D(e ) + c 2 u P V u 2 H (,2),(, ) mix (Ω T )

58 54 Kapite 4. Diskretisierung Da u (x, t) auf jedem Interva I k in t konstant ist, aso insbesondere t u Ik = git, fogt N k=1 I k ( t e, u P V u) L 2 (Ω)dt = N k=1 I k ( t u, u P V u) L 2 (Ω)dt t u L 2 (Ω T ) u P V u L 2 (Ω T ) und die Behauptung ist bewiesen. Wie wir in dem obigen Beweis zu Satz 4.4 sehen, benötigen wir außer in der Abschätzung des Terms N k=1 I k ( t e, u P V u) L 2 (Ω)dt an keiner anderen Stee, dass die Funktionen in der Zeit stückweise konstant sind. Wir können daher im wesentichen den obigen Beweis für das fogende Resutat im Fa der stückweisen Linearität der Funktionen in der Zeit verwenden. Satz 4.5. Es gebe Konstanten c > und C > so dass (3.1) und (3.11) erfüt sind. Die Lösung u des Probems (3.8) sei genügend gatt. Desweiteren sei V der aus der hierarchischen Basis im Ort und der stückweise inearen Zeregung in der Zeit konstruierte Raum-Zeit Dünngitterraum mit zugehörigem Interpoationsoperator P V. Dann gibt es eine Konstante c unabhängig von und u, so dass für die Lösung u V (d.h. q = 1) von (4.7) ( e 2 L 2 (Ω T ) + D(e ) c u P V u 2 + H 1, mix (Ω T ) 2 u P V u 2 H (,2),(, ) mix (Ω T ) + u P V u L 2 (Ω T ) t (u P V u) L 2 (Ω T ) +2 2 u P V u 2 L 2 (Ω T ) ) git. Beweis. Es verbeibt die Abschätzung des Terms N k=1 I k ( t e, u P V u) L 2 (Ω)dt. Da jedes v(x, t) V auf dem Interva I k inear in der Zeit ist, existiert eine Konstante c > mit t v L 2 (Ω I k ) c 2 v L 2 (Ω I k ), (4.12) die unabhängig von und der gewähten Funktion v V ist. Dies fogt direkt aus den inversen Abschätzungen für Finite Eemente, vg. [39]. Wir erhaten dann mit

59 4.2. Das Discontinuous-Gaerkin Verfahren 55 der Abkürzung Ω k := Ω I k und unter Verwendung von (4.12) N k=1 I k ( t (u u ), u P V u) L 2 (Ω)dt N k=1 t (u u ) L 2 (Ω k ) u P V u L 2 (Ω k ) N ( u P V u L 2 (Ω k ) t (u P V u) L 2 (Ω k ) k=1 ) + t (P V u u ) L 2 (Ω k ) N k=1 u P V u L 2 (Ω k ) ) + c2 P V u u L 2 (Ω k ). ( t (u P V u) L 2 (Ω k ) Die Anwendung der Cauchy-Schwarz Ungeichung auf die Summe iefert weiter N k=1 I k ( t u u, u P V u) L 2 (Ω)dt u P V u L 2 (Ω T ) + c2 P V u u L 2 (Ω T ) u P V u L 2 (Ω T ) ( t (u P V u) L 2 (Ω T ) ) ( t (u P V u) L 2 (Ω T ) ) + c2 ( P V u u L 2 (Ω T ) + u u L 2 (Ω T )). Nach Anwendung der Poincaré-Ungeichung fogt mit Hife von (4.9) mit geeignet gewähtem ε 2 u P V u L 2 (Ω T ) u u L 2 (Ω T ) c 2 2 u P V u 2 L 2 (Ω T ) (u u ) 2 L 2 (Ω T ). Damit git dann schießich N k=1 I k ( t e, u P V u) L 2 (Ω)dt c u P V u L 2 (Ω T ) woraus die Behauptung fogt. ( t (u P V u) L 2 (Ω T ) ) +2 2 u P V u L 2 (Ω T ) e 2 L 2 (Ω T ) In den obigen Feherabschätzungen wurde der Feher gegen den Interpoationsfeher u P V u in bestimmten Normen abgeschätzt. Setzen wir für u eine höhere

60 56 Kapite 4. Diskretisierung nz = 146 Abbidung 4.1. Besetzungsstruktur der Matrix des Raum-Zeit Dünngitter Crank-Nicoson Verfahrens mit einer Ortsdimension auf Leve = 4. Gattheit voraus, so können wir mit Hife der Resutate des Abschnitts 2.4 diesen Interpoationsfeher weiter abschätzen. Betrachten wir zunächst den Fa des Discontinuous-Gaerkin Verfahrens mit stückweise konstanten Funktionen in der Zeit, d.h. das Dünngitter V bzw. Ṽ das mit der stückweise konstanten hierarchischen Basis aus Abschnitt 2.3 und einer inearen bzw. d-inearen hierarchischen Basis im Ort konstruiert wird. Wir erhaten dann mit Satz 4.4 und den Interpoationsfeherabschätzungen (2.61) und (2.62) die Feherabschätzung e 2 L 2 (Ω T ) + D(e ) c(2 2 2 u 2 H 2,1 mix (Ω T ) u 2 H (2,2),(1, ) (Ω T ) ) (4.13) bei Verwendung des Raum-Zeit Dünngitterraumes Ṽ und entsprechend für V e 2 L 2 (Ω T ) + D(e ) c(2 2 u 2 + H 2,1 mix (Ω T ) u 2 ). (4.14) H (2,2),(1, ) mix (Ω T ) Betrachten wir hingegen den Fa von stückweise inearen Funktionen in der Zeit, so erhaten wir mit den Interpoationsfeherabschätzungen (2.48), (2.49) und (2.5) im Fa von Ṽ e 2 L 2 (Ω T ) + D(e ) c 4.3 Das Unidirektionae Prinzip ( 2 2 u 2 H (2,2),(2, ) mix (Ω T ) u 2 H 2,2 mix (Ω T ) +2 3 u H 2,2 mix (Ω T ) u H 1,2 mix (Ω T ) u 2 H 2,2 mix (Ω T ) Wie in den beiden vorhergehenden Abschnitten deutich geworden ist, ist es mögich, kassische Verfahren zur Diskretisierung paraboischer Probeme forma auf die Diskretisierung mit Hife der Dünngitterräume zu übertragen. Durch die Verwendung ).

61 4.3. Das Unidirektionae Prinzip 57 ψ i1,j+1 ψ i2,j ψ i2+1,j Abbidung 4.2. Eindimensionaes Beispie für die hierarchische Reation >. Es git (j, i 2 ) > (j + 1, i 1 ) während zwischen (j + 1, i 1 ) und (i 2 + 1, j) keine Reation besteht. von Mutievebasen in der Dünngitterkonstruktion sind die durch die Diskretisierung anfaenden inearen Geichungssysteme aerdings nicht dünn besetzt. Der Träger gröberer Basisfunktionen überappt mit den Trägern von Basisfunktionen auf feineren Leven, weshab man eine Art Fingerstruktur as Besetzungsmuster der resutierenden Matrix erhät. In Abbidung 4.1 ist die Besetzungsstruktur einer sochen Matrix für die Crank-Nicoson Diskretisierung auf Leve = 4 dargestet. Aerdings ist es mögich, das Matrix-Vektor Produkt effizient, d.h. mit einem Aufwand proportiona zu der Anzah Unbekannter, zu berechnen. In [5, 6] wurde dazu ein Verfahren, das sogenannte Unidirektionae Prinzip, für kassische Dünngitter mit der inearen oder konstanten hierarchischen Basis vorgestet. Dieses Prinzip wurde dann in [1, 32] auf kassische, aus hierarchischen Poynombasen konstruierten, Dünngitter erweitert. In diesem Abschnitt steen wir das Unidirektionae Prinzip etwas genauer vor. Da in der Literatur bisher nur in schwacher Form gegebene Differentiaoperatoren behandet wurden, wir aber durchaus auch agemeinere Biinearformen betrachten, wie etwa die Biinearform der Discontinuous-Gaerkin Diskretisierung (4.8), werden wir in einem ersten Schritt das Unidirektionae Prinzip auf beiebige Tensorprodukt- Biinearformen veragemeinern. In einem zweiten Schritt diskutieren wir, wie die bei dem Unidirektionaen Prinzip anfaenden niederdimensionaen Terme effizient berechnet werden können. Zur Vereinfachung der Notation betrachten wir hier den Fa der Dünngitterräume Ṽ. Die Ergebnisse assen sich aerdings direkt auf V übertragen. Wir definieren die Indexmenge, mit der wir im Fogenden das Raum-Zeit Dünngitter beschreiben werden, durch G := {(j, i) j 1 + j 2, 1 i 1 dim(w Ω j 1 ), 1 i 2 dim(w T j 2 )}. Desweiteren seien wie in Abschnitt 2.4 mit {ψj,i Ω } und {ψt j,i } die Basen der Überschussräume Wj Ω bzw. Wj T bezeichnet. Damit erhaten wir mit B V = {ψ j,i := ψ Ω j 1,i 1 ψ T j 2,i 2 (j, i) G } (4.15) eine Basis des Dünngitterraumes Ṽ und haben somit insbesondere für jede Funktion u Ṽ eine Darsteung u = (j,i) G u j,i ψ j,i mit geeigneten Koeffizienten u j,i.

62 58 Kapite 4. Diskretisierung Abbidung 4.3. Ausschnitt eines Raum-Zeit Dünngitters. Für fest gewähten Index (j, i) gehören die rot markierten Punkte zu der Menge I+ Ω (j, i) {(j 2, i 2 )} und die bau markierten Punkte zu {(j 1, i 1 )} I+ T (j, i) (bau). Ferner definieren wir für die Indizes (j 1, i 1 ) und ( j 1, ĩ 1 ) der Mutievebasis im Ort die hierarchischen Reationen (j 1, i 1 ) > ( j 1, ĩ 1 ) : j 1 < j 1 supp(ψ Ω j 1,ĩ 1 ) supp(ψ Ω j 1,i 1 ), (j 1, i 1 ) ( j 1, ĩ 1 ) : j 1 j 1 supp(ψ Ω j 1,ĩ 1 ) supp(ψ Ω j 1,i 1 ), (j 1, i 1 ) < ( j 1, ĩ 1 ) : ( j 1, ĩ 1 ) > (j 1, i 1 ). Anaog definieren wir die hierarchischen Reationen der Indizes für die Mutievebasen in der Zeit. Abbidung 4.2 zeigt ein eindimensionaes Beispie für die hierarchische Reation. Man beachte, dass bei dieser Definition, im Gegensatz zu der bei den kassischen Dünngittern verwendeten eindimensionaen hierarchischen Basis, die Träger von hierarchisch niedrigeren Basisfunktionen nicht voständig in den Trägern von hierarchisch höheren Basisfunktionen enthaten sein müssen. für die Seien a T (, ) : V T V T R und a Ω (, ) : V Ω V Ω R zwei Biinearformen, supp(ψj,i T ) supp(ψt j,ĩ ) = at (ψj,i T, ) =, (4.16) ψt j,ĩ supp(ψj,i Ω ) supp(ψω j,ĩ ) = aω (ψj,i Ω, ) = (4.17) ψω j,ĩ geten. Für u V, u = (j,i) G u j,i ψ j,i, möchten wir nun die Größen a(u, ψ j,ĩ) := (aω a T )(u, ψ j,ĩ) (4.18)

63 4.3. Das Unidirektionae Prinzip 59 für ae Basisfunktionen ψ j, ĩ des Dünngitters berechnen. Wir erhaten dann a(u, ψ j, ĩ ) = (aω a T )( = (j,i) G u j,i ψ j,i, ψ j, ĩ ) (j,i) G u j,i a Ω (ψ Ω j 1,i 1, ψ Ω j 1,ĩ 1 ) a T (ψ T j 2,i 2, ψ T j 2,ĩ 2 ) und definieren abhängig von ( j, ĩ) die Indexmengen I Ω + ( j, ĩ) := {(j 1, i 1 ) (j 1, i 1 ) > ( j 1, ĩ 1 ), ((j 1, j 2 ), (i 1, ĩ 2 )) G }, I Ω ( j, ĩ) := {(j 1, i 1 ) (j 1, i 1 ) ( j 1, ĩ 1 ), ((j 1, j 2 ), (i 1, ĩ 2 )) G }, I T + ( j, ĩ) := {(j 2, i 2 ) (j 2, i 2 ) > ( j 2, ĩ 2 ), (( j 1, j 2 ), (ĩ 1, i 2 )) G }, I T ( j, ĩ) := {(j 2, i 2 ) (j 2, i 2 ) ( j 2, ĩ 2 ), (( j 1, j 2 ), (ĩ 1, i 2 )) G }, siehe auch Abbidung 4.3. Da wegen (4.16) und (4.17) jeweis nur dann zwei Faktoren in der Summe nicht verschwinden, wenn für den Mutieveindex (j, i) und geichzeitig (j 1, i 1 ) ( j 1, ĩ 1 ) oder (j 1, i 1 ) < ( j 1, ĩ 1 ) (j 2, i 2 ) ( j 2, ĩ 2 ) oder (j 2, i 2 ) < ( j 2, ĩ 2 ) git, können wir diese Summe auch umschreiben zu a(u, ψ j,ĩ) = u j,i a Ω (ψj Ω 1,i 1, ψ Ω j 1,ĩ 1 ) a T (ψj T 2,i 2, ψ T j 2,ĩ 2 ) + = (j 1,i 1 ) I Ω + ( j,ĩ) + (j 2,i 2 ) I T + ( j,ĩ) (j 2,i 2 ) I T ( j,ĩ) (j 1,i 1 ) I Ω + ( j,ĩ) a Ω (a T ( + (j 2,i 2 ) I T + ( j,ĩ) (j 2,i 2 ) I T ( j,ĩ) (j 2,i 2 ) I T ((j 1, j 2 ),(i 1,ĩ 2 )) (j 2,i 2 ) I T + ((j 1, j 2 ),(i 1,ĩ 2 )) (j 1,i 1 ) I Ω (( j 1,j 2 ),(ĩ 1,i 2 )) a T (a Ω ( (j 2,i 2 ) I T ((j 1, j 2 ),(i 1,ĩ 2 )) (j 2,i 2 ) I T + ((j 1, j 2 ),(i 1,ĩ 2 )) (j 1,i 1 ) I Ω (( j 1,j 2 ),(ĩ 1,i 2 )) u j,i a Ω (ψ Ω j 1,i 1, ψ Ω j 1,ĩ 1 ) a T (ψ T j 2,i 2, ψ T j 2,ĩ 2 ) u j,i ψ T j 2,i 2, ψ T j 2,ĩ 2 )ψ Ω j 1,i 1, ψ Ω j 1,ĩ 1 ) + u j,i ψ Ω j 1,i 1, ψ Ω j 1,ĩ 1 )ψ T j 2,i 2, ψ T j 2,ĩ 2 ). Definieren wir nun für gegebene Koeffizienten u j,i R und beiebige ( j, ĩ) G ū Ω j, := ĩ aω ( u j,i ψj Ω 1,i 1, ψ Ω j 1,ĩ 1 ), u Ω j, := ĩ aω ( u j,i ψj Ω 1,i 1, ψ Ω j 1,ĩ 1 ), (j 1,i 1 ) I+ Ω ( j,ĩ) (j 1,i 1 ) I+ Ω ( j,ĩ)

64 6 Kapite 4. Diskretisierung sowie ū T j, ĩ := at ( (j 2,i 2 ) I T + ( j,ĩ) u j,i ψ T j 2,i 2, ψ T j 2,ĩ 2 ), u T j, ĩ := at ( (j 2,i 2 ) I T ( j,ĩ) u j,i ψ T j 2,i 2, ψ T j 2,ĩ 2 ), so erhaten wir aus den obigen Überegungen den Agorithmus 4.1 zur Berechnung der Werte a(u, ψ j,i ) für ae (j, i) G. Agorithmus 4.1 (Unidirektionaes Prinzip). 1. Gegeben seien Koeffizienten u j,i R der Darsteung u = (j,i) G u j,i ψ j,i. 2. Setze v j,i = u j,i für ae (j, i) G. 3. Für ae j 2, ĩ 2 so dass es j 1, ĩ 1 mit ( j, ĩ) G gibt: (a) Für ae j 1, ĩ 1 mit ( j, ĩ) G : u j, ĩ = uω j, ĩ. 4. Für ae j 1, ĩ 1 so dass es j 2, ĩ 2 mit ( j, ĩ) G gibt: (a) Für ae j 2, ĩ 2 mit ( j, ĩ) G : u j, ĩ = ut j, ĩ + ūt j, ĩ, v j, ĩ = vt j, ĩ + vt j, ĩ. 5. Für ae j 2, ĩ 2 so dass es j 1, ĩ 1 mit ( j, ĩ) G gibt: (a) Für ae j 1, ĩ 1 mit ( j, ĩ) G : v j, ĩ = vω j, ĩ. 6. Für ae ( j, ĩ): u j, ĩ = u j, ĩ + v j, ĩ. Haben wir nun einen Agorithmus verfügbar, der die inneren Scheifen (a) effizient berechnet, so ermögicht der Agorithmus 4.1 die effiziente Berechnung des Matrix-Vektor Produktes. Für eiptische Probeme und kassische Dünngitter sind soche Agorithmen bekannt und werden Top-Down bzw. Bottom-Up Agorithmen genannt, vg. [1, 5, 6, 32, 56]. Bei diesen Ansätzen nutzt man aus, dass die eindimensionaen Mutievebasisfunktionen durch Transation und Diatation einer (oder mehrerer) Mutterfunktionen entstehen. Dabei werden die Werte der Biiniearform bezügich der Mutterfunktion berechnet und dann geeignet (durch Transformation) auf die anderen Mutievebasisfunktionen übertragen. Bei Anordnung der eindimensionaen Mutievebasen in einer Baumstruktur können somit die entsprechenden Werte mittes einer Pre- oder Post-Order Traversierung (daher der jeweiige Name Bottom-Up oder Top-Down) durch den Baum berechnet werden. Dieses Vorgehen ist in unserem Fa nicht mögich, da wir im Ort die aus einer Sequenz von Finiten Eement Räumen konstruierte hierarchische Basis verwenden, für die wir keine Mutterfunktion haben, die durch einfache Transation und Diatation die anderen Funktionen generiert. Zusätzich besteht aus unserer Sicht bei der in

65 4.3. Das Unidirektionae Prinzip 61 der Literatur beschriebenen Vorgehensweise das Probem, dass für jede neue Biinearform oder Mutievebasis die Agorithmen jeweis neu bestimmt werden müssen. Dies macht eine Verwendung in einem fexiben Code, der eine mögichst große Probemkasse abdecken so, nahezu unmögich. Wir steen daher im Fogenden eine Mögichkeit vor, wie anaoge Agorithmen aus einer gegebenen Foge von Interpoationsoperatoren zwischen den Gittern und der auf dem feinsten Leve diskretisierten Biinearform gewonnen werden können. Dieses Prinzip ist sehr fexibe und kann direkt auf beiebige Biinearformen, die nur auf dem feinsten Gitter diskretisiert werden müssen, ohne Modifikationen angewendet werden. Bevor wir mit der Beschreibung dieser Agorithmen im nächsten Abschnitt fortfahren, möchten wir an dieser Stee aerdings auf einen weiteren wichtigen Unterschied zwischen kassischen Dünngittern und unseren Raum-Zeit Dünngittern hinweisen. Um das Unidirektionae Prinzip anwenden zu können, benötigen wir die Tensorproduktstruktur der Biinearform bezügich Raum und Zeit. Betrachten wir die Discontinuous-Gaerkin bzw. die Crank-Nicoson Diskretisierungen der etzten Abschnitte, so sehen wir, dass diese Biinearformen immer as Summe von sochen Tensorprodukten geschrieben werden können, soange der eiptische Tei a(, ) des paraboischen Operators Tensorproduktstruktur bezügich Raum und Zeit besitzt. Dies ist zum Beispie immer dann der Fa, wenn a(, ) zeitunabhängig ist. Kassische Dünngitter benötigen hingegen, dass a(, ) as Tensorprodukt von eindimensionaen Biinearformen geschrieben werden kann, was eine sehr starke Einschränkung darstet. In [1, 46, 47, 93] wurde daher vorgeschagen, im Fa von eiptischen Biinearformen mit beiebigen variaben Koeffizientenfunktionen, die Koeffizienten durch entsprechende Dünngitterinterpoanten zu ersetzen. Dabei besitzt der resutierende Operator, da der Dünngitterinterpoant Tensorproduktstruktur aufweist, ebenfas Tensorproduktstruktur und das Unidirektionae Prinzip kann etwas modifiziert angewendet werden. Aerdings schränken bei diesem Vorgehen die Gattheitsanforderungen an die Koeffizientenfunktionen die behandebaren Probeme sehr ein und es ist bis heute unkar, wie die Konvergenzraten dadurch beeinfusst werden. Wir sehen aso, dass mit Hife der Raum-Zeit Dünngitter durch Ausnutzung der natürichen Tensorproduktstruktur zwischen Raum und Zeit eine größere Kasse von Probemen behandet werden kann, as dies im Fa von kassischen Dünngittern mögich ist Top-Down und Bottom-Up Wir beschäftigen uns nun mit der effizienten Berechnung der inneren Scheifen (a) des Agorithmus 4.1. Da die Agorithmen für die Zeitprobeme bzg. a T (, ) nur (eindimensionae) Speziafäe der Agorithmen für die anfaenden Ortsprobeme sind, betrachten wir hier aus Gründen der Übersichtichkeit unter Verwendung der Notation aus Ab-

66 62 Kapite 4. Diskretisierung schnitt 2.4 nur die Agorithmen für die hierarchische Basis im Ort. Wir möchten aso für feste j 2, ĩ 2 und für ae j 1, ĩ 1 mit ( j, ĩ) G die Terme ū Ω j, ĩ und uω j, ĩ berechnen. Für den gesamten Abschnitt sei daher j 2, ĩ 2 fest gewäht und wir definieren G Ω := {(j 1, i 1 ) (j 1, j 2, i 1, ĩ 2 ) G }. Wie in Abschnitt 2.4 sei mit {ϕ Ω Ω j,i } die nodae Basis von Vj bezeichnet und P j : C (Ω) Vj Ω sei der nodae Interpoationsoperator. Für eine fest gegebene Funktion u = j,i u j,iψj,i Ω möchten wir nun für ae ( j, ĩ) den Term (j,i)>( j,ĩ), (j,i) G Ω a Ω (u j,i ψj,i Ω, ) (4.19) ψω j,ĩ berechnen. Wir unterteien dazu die Summe (4.19) in die einzenen Leve und erhaten a Ω (u j,i ψj,i Ω, ψω j,ĩ ) = a Ω ( u j,i ψj,i Ω, ). ψω j,ĩ j< j (j,i)>( j,ĩ), (j,i) G Ω i, (j,i)>( j,ĩ) Wir nutzen nun aus, dass die Räume Vj Ω ineinander geschachtet sind, so dass wir die Funktion i,(j,i)>( j,ĩ) u j,iψj,i Ω Ω mit Hife des Interpoationsoperators P j exakt in V j darsteen können und es fogt a Ω ( j< j i,(j,i)>( j,ĩ) u j,i ψ Ω j,i, ψω j,ĩ ) = j< j a Ω (P j... P j+1( i,(j,i)>( j,ĩ) u j,i ψj,i Ω ), ). (4.2) ψω j,ĩ Wir betrachten nun den zweiten Term a Ω (u j,i ψj,i Ω, ), (4.21) ψω j,ĩ (j,i) ( j,ĩ), (j,i) G Ω bei dem wir wiederum die Summe nach Leven sortieren und die Testfunktionen auf dem feinsten Leve darsteen a Ω (u j,i ψj,i Ω, ψω j,ĩ ) = a Ω (u j,i ψj,i Ω, P j... P j ). (4.22) ψω j,ĩ j j (j,i) ( j,ĩ), (j,i) G Ω (j,i) G Ω (j,i) ( j,ĩ) Sei A j die zu a Ω (, ) gehörige Systemmatrix bzg. der nodaen Basis ϕ Ω j,i des Raumes Vj Ω, d.h. Aj = (a j ik ) mit a j ik = aω (ϕ Ω j,k, ϕω j,i ). Weiter sei P j+1 j R dim(v j+1 Ω ) dim(v j Ω) die Matrixdarsteung der auf den Raum Vj Ω eingeschränkten Proongation P j+1 bzg. der nodaen Basis. Dann erhaten wir mit (4.2) den Agorithmus 4.2 zur Berechnung von (4.19) für fest gegebene Koeffizienten

67 4.3. Das Unidirektionae Prinzip 63 u j,i und ae ( j, ĩ) G Ω, wobei das Ergebnis in den Koeffizienten u j,i abgespeichert wird. Agorithmus 4.2 (Top-Down). u j,i ψ Ω j,i und Vek- 1. Gegeben: Koeffizienten u j,i R der Darsteung u = (j,i) G Ω toren u j R dim(v j Ω) für ae j. 2. Für ae j : Setze u j so, dass u j i = fas ϕω j,i W Ω j, und sonst uj i = u k, mit ϕ Ω j,i = ψ Ω k,. 3. Setze j = und soange j : (a) Fas j = : u j = A j u j, (b) Sonst: u j = A j (u j + P j j 1 uj ). (c) j = j Setze für ae (j, i) G Ω u j,i = u j k mit ψω j,i = ϕω j,k. Fät die Dimension der Räume Vj Ω geometrisch mit faendem Leve j ab (wie dies bei einer Sequenz von Finite Eement Räumen, die durch uniforme Verfeinerung einer groben Trianguierung entstehen, der Fa ist), so sehen wir, das der Top-Down Agorithmus edigich O(dim(V Ω )) Rechenoperationen und Speicherpatz benötigt. Anaog erhaten wir mit Hife von (4.22) zur Berechnung von (4.21) für fest gegebene Koeffizienten u j,i und ae ( j, ĩ) G Ω den Agorithmus 4.3. Agorithmus 4.3 (Top-Down). u j,i ψ Ω j,i und Vek- 1. Gegeben: Koeffizienten u j,i R der Darsteung u = (j,i) G Ω toren u j R dim(v j Ω) für ae j. 2. Für ae j : Setze u j so, dass u j i = fas ϕω j,i W Ω j, und sonst uj i = u k, mit ϕ Ω j,i = ψ Ω k,. 3. Setze j = und soange j : (a) Fas j = : u j = A j u j, (b) Sonst: u j = A j u j + (P j+1 j ) T u j+1. (c) j = j Setze für ae (j, i) G Ω u j,i = u j k mit ψω j,i = ϕ Ω j,k.

68 64 Kapite 4. Diskretisierung Obwoh in der obigen Diskussion Ansatz- und Testraum geich waren, assen sich die Agorithmen unmittebar auf den Petrov-Gaerkin Fa übertragen. Hierfür verwendet man in dem Bottom-Up Agorithmus edigich die Proongationen zwischen den Ansatzräumen, während im Fa des Top-Down Agorithmus die Proongationen der Testräume verwendet werden müssen. 4.4 Numerische Ergebnisse In diesem Abschnitt untersuchen wir die Konvergenzraten des Discontinuous-Gaerkin Verfahrens und des Crank-Nicoson Verfahrens anhand einiger Beispiee. Hierbei sind wir an dem Feherverhaten bzg. der Normen u L := ess sup t (,T ) u(, t) L (Ω), ( ) 1/2 u L 2 := u(, t) 2 L 2 (Ω) dt, u H (1,2),(, ) mix u H (1,2),(,2) mix <t<t := ess sup t (,T ) u(, t) H 1 (Ω), ( ) 1/2 := u(, t) 2 H 1 (Ω) dt <t<t interessiert. Wir approximieren dabei den Feher e := u u zwischen der Dünngitterösung u der diskretisierten Geichungen auf Leve und der kontinuierichen Lösung u durch den Feher ê zwischen dem Interpoanten u V bzw. u Ṽ der Lösung u und der Lösung des diskretisierten Probems, ê := u u. Wir messen im fogenden die reativen Feher e H (1,2),(, ) mix e L := ê L, e u L L 2 := ê L 2 ê (1,2),(, ) H mix :=, e u H (1,2),(, ) H 1, mix u L 2, := ê 1, H mix u 1, H mix Zur Bestimmung der Konvergenzordnung untersuchen wir zusätzich die zugehörigen Feherreduktionen ρ H (1,2),(, ) mix ρ L := ê +1 L, ê L ρ L := ê +1 L 2 2 ê +1 (1,2),(, ) H mix := ê, ρ (1,2)(, ) H 1, H mix mix. ê L 2, := ê+1 1, H mix ê 1, H mix Während wir für das Discontinuous-Gaerkin Verfahren in Abschnitt 4.2 den Feher bezügich der H 1, mix-norm gegen den Dünngitter-Interpoationsfeher abgeschätzt.

69 4.4. Numerische Ergebnisse x x 1.. t x 1.. t x Abbidung 4.4. Lösung u(x, t) = sin(π ) (inks) des eindimensionaen Probems (4.25) und Feher (rechts) der Raum-Zeit Dünngitter Crank-Nicoson t+.5 Diskretisierung auf Leve = 6. haben, stehen uns soche Abschätzungen für das Crank-Nicoson Verfahren sowie für die anderen Normen im Fae des Discontinuous-Gaerkin Verfahrens nicht zur Verfügung. Bestenfas können wir Feherreduktionsraten erwarten, die den Feherreduktionsraten des Interpoationsfehers der zugrunde iegenden Ansatzräume entsprechen. Nach den Sätzen 2.12 und 2.13 erwarten wir daher im günstigsten Fa für das Crank-Nicoson Verfahren bzg. Ṽ, abgekürzt CN, und das Discontinuous Gaerkin Verfahren mit in der Zeit stückweise inearen Funktionen, abgekürzt DG1, ρ +1 L.25 ρ H (1,2),(, ) mix, ρ L , ρ.5. H 1, mix, (4.23) Im Fa des Euer Verfahrens mit Ṽ erwarten wir nach Satz 2.14 ρ +1 L.5, ρ L.5 +1, ρ H (1,2),(, ) mix.5 +1, ρ H 1, mix. (4.24) während die Interpoationsfeherabschätzungen für das Euer Verfahren bzg. V, das wir auch as anisotropes Euerverfahren bezeichnen, die geichen oberen Schranken für die Feherreduktionen wie im Fa des CN und des DG1 Verfahrens iefern. Sofern nicht anders erwähnt verwenden wir im Ort die aus einer Sequenz von uniformen Trianguierungen konstruierte d-ineare hierarchische Basis. Ae für diese Arbeit benötigten Ortsdiskretisierungen wurden mit Hife des frei verfügbaren Finite Eement Paketes dea.ii [7] berechnet. Beispie 4.1. Wir untersuchen zunächst ein eindimensionaes Probem. Gesucht

70 66 Kapite 4. Diskretisierung Tabee 4.1. Konvergenz der verschiedenen Diskretisierungsverfahren für das eindimensionae Probem (4.25) mit Lösung u(x, t) = sin(π e L ρ L e L 2 ρ L 2 e H (1,2),(, ) mix ρ H (1,2),(, ) mix x ). t+.5 e H 1, mix ρ H 1, mix Crank-Nicoson DG Euer Euer anisotrop ist hierbei eine Funktion u, die die Geichungen t u xx u = f für ae x Ω = (, 1), t (, 1], u(x, t) = g(x, t) für ae t (, 1] und x Ω, (4.25) u(x, ) = u (x) für ae x Ω erfüt. Dabei setzen wir die rechte Seite f, die Randbedingung g und die Anfangs-

71 4.4. Numerische Ergebnisse Crank Nicoson DG1 Euer Euer anisotrop 1 1 Crank Nicoson DG1 Euer Euer anisotrop Reativer Feher Reativer Feher Anzah Unbekannter Anzah Unbekannter Abbidung 4.5. Konvergenzhistorie für das Probem (4.25) bzg. der L 2 - (inks) und der H 1, mix-norm (rechts) für das CN, das DG1, das Euer und das anisotrope Euer Verfahren. bedingung u ( ) derart, dass wir u(x, t) = sin(π x t +.5 ) (4.26) as exakte Lösung des Probems erhaten, vg. Abbidung 4.4. Tabee 4.1 zeigt die entsprechenden Resutate der unterschiedichen Diskretisierungsverfahren. Wir betrachten zunächst das DG1 Verfahren. Die Feherreduktionsraten bzg. der H 1, (1,2),(, ) mix-norm und der H mix -Norm betragen ρ =.5, was dem in (4.23) beschriebenen Verhaten des Interpoationsfehers des zugrunde iegenden Dünngitters entspricht. So ist der Feher bzg. der H (1,2),(, ) mix auf Leve = 8 nur noch hab so groß wie der Feher auf Leve = 7. Für die Feher in der L - und der L 2 -Norm beobachten wir ein eichtes Abnehmen der Feherreduktionsrate mit wachsendem Leve, wobei sich die Rate dem Wert ρ =.25 zu nähern scheint. So haben wir etwa im Fa der L -Norm auf Leve = 5 einen Feher e L = und damit eine Reduktion um den Faktor.33 vergichen mit dem Feher e L = auf Leve = 4, während die Reduktion von Leve = 7 auf Leve = 8 ρ L =.28 beträgt. Dieses Verhaten deutet auf den ogarithmischen Faktor ( + 1)/ hin, der auch für die Reduktion des Interpoationsfehers in Erscheinung tritt, vg. (4.23). Mit wachsendem Leve nähert sich dieser Faktor dem Wert 1 und die Reduktionsrate nähert sich somit dem Wert ρ =.25. Betrachten wir nun die Ergebnisse des Crank-Nicoson Verfahrens, so ist das geiche Verhaten wie bei dem DG1 Verfahren beobachtbar. Insbesondere verhaten sich auch hier die Diskretisierungsfeher wie die Interpoationsfeher. Wir erhaten Feherreduktionsraten von.5 für die Normen, die den Gradienten im Ort enthaten, während sich für die beiden anderen Normen die Raten dem Wert ρ =.25 nähern. Aerdings fät auf, dass die Feher gemessen in der L - und der L 2 -Norm

72 68 Kapite 4. Diskretisierung keiner sind as die entsprechenden Feher für das DG1 Verfahren. So ist auf Leve = 8 der Feher gemessen in der L -Norm mit für das DG1 Verfahren mehr as doppet so groß wie der entsprechende Feher des CN Verfahrens, der beträgt. Dies ist vor aem insofern von Bedeutung, da der Ansatzraum der stückweise inearen, unstetigen Funktionen doppet so viee Freiheitsgrade enthät wie der Raum der stückweise inearen, stetigen Ansatzfunktionen. Damit besitzt der entsprechende Dünngitterraum im DG1 Fa doppet so viee Freiheitsgrade wie der Dünngitterraum des Crank-Nisoson Verfahrens, führt aber dennoch zu einem wesentich größeren reativen Feher. Für die Euerdiskretisierung beobachten wir, dass sich die Reduktionsraten für ae betrachteten Normen mit wachsendem Leve dem Wert.5 nähern. Hierbei dominiert offensichtich die Feherreduktionsrate der stückweise konstanten Ansatzfunktionen in der Zeit den Gesamtfeher, so dass wir für die L 2 - und L -Normen keine besseren Raten as im Fa der H 1, mix- bzw. der H(1,2),(, ) mix -Normen erhaten. Dies deckt sich mit den Abschätzungen (4.24) für die Interpoationsfeher, die einen Abfa von 2 sowoh für die L 2 -Norm as auch für die H 1, mix-norm zeigen. Dieser Effekt wird durch eine feinere Zeitaufösung (auf Kosten der Anzah an Unbekannten) bei dem Dünngitterraum V ausgegichen. Somit erhaten wir in der Tat für das anisotrope Euer Verfahren eine Feherreduktion von.5, unabhängig von dem Leve, in der H 1, mix- und H(1,2),(, ) mix -Norm, während sich die Feherreduktionsrate bezügich der beiden anderen Normen dem Wert ρ =.25 nähert. Wir vergeichen nun die Verfahren im Hinbick auf die Kosten-Nutzen Reation. Dabei verstehen wir unter dem Kosten-Nutzen Verhätnis das Verhätnis der benötigten Anzah von Freiheitsgraden zu der erzieten Genauigkeit. Die Abbidung 4.5 zeigt dazu die Anzah der Freiheitsgrade in Reation zu den Fehern in der L 2 - und der H 1, mix -Norm. Im Fae der L2 -Norm sehen wir deutich, dass das Crank- Nicoson Verfahren zu dem keinsten Feher pro Unbekannter führt und damit das beste Kosten-Nutzen Verhätnis iefert. Wie wir auch aus der obigen Diskussion erwarten würden, veräuft der zum DG1 Verfahren mit stückweise inearen Funktionen in der Zeit gehörige Graph nahezu parae zu dem Graphen des Crank-Nicoson Verfahrens. Interessant ist der Vergeich zwischen der Euer und der anisotropen Euer Diskretisierung. Während für die L 2 -Norm die Euer Diskretisierung und das anisotrope Euer Verfahren nahezu das geiche Kosten-Nutzen Verhätnis aufweisen (die entsprechenden Graphen sind fast identisch), so ist der Feher bzg. der H 1, mix -Norm im Verhätnis zu der Anzah der Unbekannten bei dem Euer Verfahren wesentich geringer as bei dem anisotropen Euer Verfahren. Hier wird aso im Fa der L 2 - Norm die wesentich größere Dimension des Raumes V im Vergeich zu Ṽ durch eine bessere Feherreduktion kompensiert, während wir im Fa der H 1, mix-norm die geichen Reduktionsraten erhaten und somit das gesamte Kosten-Nutzen Verhätnis für V schechter ist as für Ṽ. Beispie 4.2. Anaog zu dem vorigen Beispie 4.1 betrachten wir nun das zwei-

73 4.4. Numerische Ergebnisse 69 Tabee 4.2. Konvergenz der verschiedenen Diskretisierungsverfahren für x das zweidimensionae Probem (4.27) mit Lösung u(x, t) = sin(π 1 ) sin(π x 2 ). t+.5 t+.5 e L ρ L e L 2 ρ L 2 e H (1,2),(, ) mix ρ H (1,2),(, ) mix e H 1, mix ρ H 1, mix Crank-Nicoson DG Euer Euer anisotrop dimensionae Probem t u u = f für ae x Ω = (, 1) 2, u(x, t) = g(x, t) für ae t (, 1] und x Ω, (4.27) u(x, ) = u (x) für ae x Ω. Wir setzen die rechte Seite f und die Anfangsbedingung u ( ) so, dass das Probem die exakte Lösung besitzt. u(x, t) = sin(π x 1 t +.5 ) sin(π x 2 t +.5 ) (4.28)

74 7 Kapite 4. Diskretisierung Crank Nicoson DG1 Euer Euer anisotrop Crank Nicoson DG1 Euer Euer anisotrop Reativer Feher Reativer Feher Anzah Unbekannter Anzah Unbekannter Abbidung 4.6. Konvergenzhistorie von Probem (4.27) bzg. der L 2 - (inks) und der H 1, mix-norm (rechts) für das CN, das DG1, das Euer und das anisotrope Euer Verfahren. Die entsprechenden Ergebnisse sind in Tabee 4.2 zusammengefasst. Wie in dem vorherigen Beispie mit nur einer Ortsdimension beobachten wir für das DG1 Verfahren und das Crank-Nicoson Verfahren Feherreduktionen von ρ =.5 im Fae der H 1, mix- und der H(1,2),(, ) mix -Normen. Bezügich der L 2 - und der L -Normen sehen wir hier erneut einen Abfa der Reduktionsraten mit steigenden Levezahen. Im Fa des Crank-Nicoson Verfahrens erhaten wir beispiesweise für Leve = 5 den Feher e L 2 = und damit eine Reduktion von ρ L 2 =.36 des Fehers e L 2 = auf Leve = 4, während der Feher e L 2 = von Leve = 9 um einen Faktor.29 auf einen Feher e L 2 = auf Leve = 1 reduziert wird. Wie auch im eindimensionaen Fa nähert sich die Feherreduktion des Euer Verfahrens mit wachsendem Leve einer Feherreduktion von ρ =.5 in aen Normen an. Verwenden wir hingegen das anisotrope Euer Verfahren, bei dem die Zeit mit doppet so großer Levezah wie der Ort aufgeöst wird, so sehen wir, dass sich die Feherreduktionen ρ L 2 und ρ L mit wachsendem Leve auch im zweidimensionaen Fa dem asymptotischen Wert.25 annähern. In Abbidung 4.6 sind die Feher der Diskretisierungsverfahren bzg. der L 2 - und -Normen in Abhängigkeit von der Anzah der Unbekannten dargestet. Die Crank-Nicoson und die DG1 Diskretisierung verhaten sich dabei sehr ähnich, d.h. die Kurven besitzen nahezu die geiche Steigung. Hierbei iefert das Crank-Nicoson Verfahren im Fae der L 2 -Norm einen etwas geringeren Feher pro Unbekannter as das DG1 Verfahren. Man beachte, dass bereits im zweidimensionaen Fa das Euer der H 1, mix Verfahren mit V ein besseres Kosten-Nutzen Verhätnis as das Euer Verfahren mit Ṽ aufweist. Dies git sowoh bzg. der L 2 -Norm as auch bzg. der H 1, mix-norm und ist darauf zurückzuführen, dass die Dimension des Raumes V in zwei Dimensionen edigich um einen ogarithmischen Faktor schechter ist as die Dimension des

75 4.4. Numerische Ergebnisse 71 Tabee 4.3. Konvergenz der verschiedenen Diskretisierungsverfahren für das dreidimensionae Probem (4.29) mit Lösung u(x, t) = 3 i=1 sin(π x i ). t+.5 e L ρ L e L 2 ρ L 2 e H (1,2),(, ) mix ρ H (1,2),(, ) mix e H 1, mix ρ H 1, mix Crank-Nicoson DG Euer Euer anisotrop Raumes Ṽ, während wir bessere Approximationseigenschaften erhaten. Insbesondere weist die Kurve des anisotropen Euer Verfahrens bzg. der L 2 -Norm nahezu die geiche Steigung auf, wie die Kurven des CN und des DG1 Verfahrens, obwoh der Feher im Vergeich zu diesen beiden Verfahren immer noch größer ist. Beispie 4.3. Wir betrachten nun das dreidimensionae Probem t u u = f für ae x Ω = (, 1) 3, u(x, t) = g(x, t) für ae t (, 1] und x Ω, (4.29) u(x, ) = u (x) für ae x Ω. Wir setzen die rechte Seite f und die Anfangsbedingung u ( ) so, dass wir u(x, t) = 3 x i sin(π t +.5 ) i=1 as Lösung erhaten. Wie in den zwei vorherigen Beispieen so ist auch hier feststebar, dass sich die Feherreduktionsraten ρ L 2 und ρ L des Crank-Nicoson und des

76 72 Kapite 4. Diskretisierung Crank Nicoson DG1 Euer Euer anisotrop Crank Nicoson DG1 Euer Euer anisotrop Reativer Feher 1 3 Reativer Feher Anzah Unbekannter Anzah Unbekannter Abbidung 4.7. Konvergenzhistorie für die CN, die DG1, die Euer und die anisotrope Euer Diskretisierung des Probems (4.29) bzg. der L 2 - (inks) und der -Norm (rechts). H 1, mix DG1 Verfahrens mit wachsendem Leve verbessern, während wir Reduktionsraten ρ.5 bzg. der H (1,2),(, ) mix - und H 1, mix-normen erhaten. Das geiche Verhaten beobachten wir für das anisotrope Euer Verfahren, aerdings sind hier die Feher im Vergeich zu dem Crank-Nicoson und dem DG1 Verfahren um eine Größenordnung schechter. Besonders interessant ist dabei die Untersuchung der Kosten-Nutzen Reation in Abbidung 4.7. Wie wir in Lemma 2.3 gezeigt haben, besitzt die Dimension der Räume Ṽ und V in drei Ortsdimensionen die geiche Kompexität bzg. des gewähten Leves. Da wir jedoch ähniche Reduktionsraten für das anisotrope Euer Verfahren wie für die Crank-Nicoson oder die DG1 Diskretisierung erhaten, stimmen die Steigungen der in Abbidung 4.7 dargesteten Kurven dieser drei Verfahren nahezu überein. Damit iefert das anisotrope Euer Verfahren sowoh in der L 2 as auch in der H 1, mix-norm mit wesentich weniger Freiheitsgraden den geichen Feher wie die Euer Diskretisierung und der Betrag der Steigung der entsprechenden Kurve ist wesentich größer. Beispie 4.4. Wie bereits in Kapite 2 diskutiert wurde, besteht ein wesenticher Vortei der Raum-Zeit Dünngitter gegenüber den kassischen Dünngitterräumen in der einfacheren Handhabung kompizierter Geometrien. Da wir im Ort die (d-) ineare hierarchische Basis verwenden, benötigen wir zur Konstruktion der Raum- Zeit Dünngitter edigich eine Sequenz von ineinander geschachteten Finite Eement Räumen, die heute von vieen Finite Eement Paketen im Zusammenhang mit geometrischen Mehrgitterösern bereitgestet wird.

77 4.4. Numerische Ergebnisse 73 Abbidung 4.8. In Beispie 4.4 verwendete Geometrie mit einem Beispie-Gitter. Tabee 4.4. Ergebnisse für Beispie 4.4 mit der exakten Lösung u(x, t) = x sin(π 1 ) sin(π x 2 ) auf dem in Abb. 4.8 dargesteten Gebiet für verschiedene t+.5 t+.5 Anzahen an Unbekannten (Leven). dof e L ρ L e L 2 ρ L 2 e H (1,2),(, ) mix ρ H (1,2),(, ) mix e H 1, mix ρ H 1, mix Crank-Nicoson DG Euer Wir betrachten das zu dem Beispie 4.2 anaoge Probem t u u = f für ae x Ω, u(x, t) = g(x, t) für ae t (, 1] und x Ω, (4.3) u(x, ) = u (x) für ae x Ω, wobei wir hier nicht Ω = (, 1) 2 wähen, sondern das in Abbidung 4.8 mit einem

78 74 Kapite 4. Diskretisierung Beispiegitter dargestete kompiziertere Gebiet Ω verwenden. Hierbei konstruieren wir durch sukzessive uniforme Verfeinerung eines groben Ausgangsgitters die feineren Gitter. Wir setzen die rechte Seite f und die Anfangsbedingung u ( ) so, dass wir as exakte Lösung erneut u(x, t) = sin(π x 1 t +.5 ) sin(π x 2 t +.5 ) (4.31) erhaten. Da wir in den etzten Beispieen bereits ausführich die Euer Diskretisierung mit der anisotropen Euer Diskretisierung vergichen haben, verzichten wir im Fogenden auf die Präsentation der Ergebnisse der anisotropen Euer Diskretisierung. In Tabee 4.4 sind die Ergebnisse für die verschiedenen Diskretisierungsverfahren zusammen mit der dazugehörigen Zah an Freiheitsgraden aufgeführt. Erneut beobachten wir für das DG1 und das Crank-Nicoson Verfahren sowoh bzg. der H (1,2),(, ) mix - as auch bzg. der H 1, mix-norm eine Feherreduktion von.5. Im Fa der L - und L 2 -Normen beobachten wir für das Crank-Nicoson Verfahren, dass die Konvergenzraten auf den keineren Leven zunächst bereits ρ =.25 betragen, sich dann aber mit wachsendem Leve etwas verschechtern. So erhaten wir von Leve = 4 auf Leve = 5 eine Feherreduktion von ρ L =.31 während von Leve = 1 auf Leve = 2 eine Reduktion von ρ L =.25 feststebar ist. Für das DG1 Verfahren beobachten wir das geiche Verhaten wie in den vorherigen Beispieen: Die Konvergenzrate bzg. der L 2 - und der L -Norm nähert sich mit zunehmendem Leve dem Wert.25 an. Im Fa des Euer Verfahrens erhaten wir ähniche Resutate wie in den früheren Beispieen. Während der Feher bzg. der L - und der L 2 -Norm mit.5 unabhängig vom Leve abfät, verbessern sich die Feherreduktionen für die anderen beiden Normen mit zunehmenden Leven. So ist beispiesweise eine Feherreduktion ρ (1,2),(, ) H mix =.58 von = 3 auf Leve = 4.7 von Leve = 1 auf Leve = 2 und ρ (1,2),(, ) H mix zu konstatieren. Beispie 4.5. Um das Unidirektionae Prinzip im Fa kassischer Dünngitter effizient anwenden zu können, ohne dass dabei die Konvergenzordnung der Diskretisierung veroren geht, muss der zugrunde iegende Differentiaoperator im Ort Tensorproduktstruktur aufweisen. Damit ist die Diskretisierung beiebiger Differentiaoperatoren mit variaben Koeffizienten im kassischen Dünngitterfa sehr schwierig. Wie in Abschnitt 4.3 diskutiert, benötigen wir zur Anwendung des Unidirektionaen Prinzips auf die Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierungen edigich eine Tensorproduktstruktur des Differentiaoperators bezügich Raum und Zeit. Wir können somit ohne weiteres paraboische Probeme behanden, bei denen der eiptische Antei des paraboischen Operators beiebige in der Zeit konstante aber im Ort variabe Koeffizienten enthät. As Beispie hierfür betrachten wir nun das zweidimensionae =

79 4.4. Numerische Ergebnisse 75 Tabee 4.5. Numerische Ergebnisse für das zweidimensionae Probem (4.32) mit variaben Koeffizienten und der exakten Lösung u(x, t) = sin(π x 1 x 2 t+.5 t+.5 1)2. e L ρ L e L 2 ρ L 2 e a(, ) L ρ a(, ) L e a(, ) L 2 ρ a(, ) L 2 Crank-Nicoson DG Probem mit t u div(a u) = f für ae x Ω = (, 1) 2, A = u(x, t) = g(x, t) für ae t (, 1] und x Ω, (4.32) u(x, ) = u (x) für ae x Ω, ( exp( (x1.5) 2 (x 2.5) 2 ) 1 Hierbei wähen wir die rechte Seite f, die Anfangs- und die Randbedingung so, dass wir erneut x 1 u(x, t) = sin(π t +.5 ) sin(π x 2 t +.5 ) as die Lösung des Probems erhaten. Wir ersetzen in der Fehermessung die H 1 - Norm durch die von dem Differentiaoperator induzierte Energienorm v 2 a := ( v) T A v dx und erhaten dementsprechend Ω ). ρ a(, ) L := ê +1 a(, ) L ê a(, ) L, ρ a(, ) L 2 := ê +1 a(, ) L 2 ê a(, ) L 2.

80 76 Kapite 4. Diskretisierung Tabee 4.6. Numerische Ergebnisse für die Raum-Zeit Dünngitter Crank- Nicoson Diskretisierung des zweidimensionaen Probems (4.2) mit exakter Lösung x u(x, t) = sin(π 1 ) sin(π x 2 ) auf Ω = (, t+.5 t+.5 1)2 bei Verwendung einer biquadratischen hierarchischen Basis im Ort. e L ρ L e L 2 ρ L 2 e H (1,2),(, ) mix ρ H (1,2),(, ) mix e H 1, mix ρ H 1, mix Crank-Nicoson, Ansatzraum Ṽ Crank-Nicoson, Ansatzraum V In Tabee 4.5 sind die Ergebnisse für das Crank-Nicoson und das DG1 Verfahren dargestet. Wir erhaten das geiche Konvergenzverhaten wie in den vorherigen Beispieen. Der Feher gemessen in der a(, ) L - und der a(, ) L 2-Norm wird von Leve zu Leve habiert, während sich die Reduktionsraten bzg. der L 2 - und der L -Normen mit wachsenden Leven dem Wert.25 nähern. Beispie 4.6. Wie wir in Abschnitt 4.3 ausführich diskutiert haben, können wir für jede Foge ineinander geschachteter Räume Vj Ω bzw. Vj T, sofern wir Interpoationsoperatoren zwischen den Räumen gegeben haben, das Matrix-Vektor Produkt der Dünngitterdiskretisierungen effizient berechnen. Dabei ist der Agorithmus unabhängig von der konkreten Wah der Räume. Wir sind somit in der Lage, ohne weitere Modifikationen Ansatzfunktionen höherer Ordnung im Ort oder in der Zeit zur Diskretisierung zu verwenden. Dies ist ein grundegender Vortei der in Abschnitt vorgesteten Agorithmen Top-Down und Bottom-Up gegenüber früheren Versionen, bei denen die Agorithmik den zugrunde iegenden diskreten Funktionenräumen jeweis angepasst werden mußte, vg. [32]. As Beispie betrachten wir nun die Crank-Nicoson Diskretisierung des Probems (4.2) in zwei Dimensionen mit der Lösung u(x, t) = sin(π x 1 t +.5 ) sin(π x 2 ), (4.33) t +.5 wobei wir im Ort stückweise biquadratische Lagrange-Eemente verwenden. Da wir in der Zeit weiterhin nur ineare Ansatzfunktionen benutzen, erwarten wir, dass die Crank-Nicoson Diskretisierung auf Ṽ mit biquadratischen Lagrange-

81 4.4. Numerische Ergebnisse Crank Nicoson biinear Crank Nicoson biquadratisch Crank Nicoson biquadratisch, anisotrop 1 2 Crank Nicoson biinear Crank Nicoson biquadratisch Crank Nicoson biquadratisch, anisotrop Reativer Feher Reativer Feher Anzah Unbekannter Anzah Unbekannter Abbidung 4.9. Konvergenzhistorie für das Probem (4.27) bzg. der L 2 - (inks) und der H 1, mix-norm (rechts) und das Crank-Nicoson Verfahren mit biinearer Basis im Ort (Crank-Nicoson), mit biquadratischer Basis im Ort (Crank-Nicoson biquadratisch) und dem Crank-Nicoson Verfahren auf V (Crank-Nicoson biquadratisch, anisotrop). Eementen bzg. der L 2 - und der L -Normen ähniche Resutate wie die Crank- Nicoson Diskretisierung mit biinearen Finiten Eementen in Beispie 4.2 iefert, da der Feher bzg. der Zeitdiskretisierung den Gesamt-Diskretisierungsfeher dominiert. Im Gegensatz dazu sote dieser Effekt, vergeichbar mit der Euer Diskretisierung, bei Verwendung von V durch eine feinere Zeit- as Ortsaufösung ausgegichen werden und die Ergebnisse soten sich dementsprechend verbessern. Die Ergebnisse für die Raum-Zeit Dünngitter Crank-Nicoson Diskretisierung bzg. der Räume Ṽ und V bei Verwendung der biquadratischen hierarchischen Basis im Ort sind in Tabee 4.6 aufgeführt. Wie erwartet beobachten wir für Ṽ eine Feherreduktion des Fehers gemessen in der L 2 - bzw. in der L -Norm um einen Faktor ρ =.25. Die Verwendung einer Diskretisierung die von höherer Ordnung im Ort ist, scheint den ogarithmischen Faktor ( + 1)/, den wir noch in Beispie 4.2 beobachten konnten, zu eiminieren. Für die Normen, die die Abeitungen bzg. des Raumes enthaten, beobachten wir unabhängig davon, ob wir V oder Ṽ verwenden, eine Reduktionsrate von.25. Hier wird aso die höhere Abeitung bzg. der Ortsvariaben in der Norm bereits durch die Verwendung der biquadratischen Eemente kompensiert. Verwenden wir hingegen das in der Zeit mit doppet so großem Leve wie im Ort konstruierte Raum-Zeit Dünngitter V, so erhaten wir damit, wie in Tabee 4.6 zu sehen, schießich die Reduktionsraten ρ L 2.12 und ρ L.12. In Abbidung 4.9 sind die Zah der benötigten Freiheitsgrade zu dem Feher gemessen in der L 2 - und H 1, mix-norm für die Crank-Nicoson Diskretisierung bzg. Ṽ mit biinearen Eementen sowie die Crank-Nicoson Diskretisierung mit biquadrati-

82 78 Kapite 4. Diskretisierung schen Eementen bzg. V und Ṽ dargestet. Obwoh wir bei der Verwendung von biquadratischen Eementen im Ort bei geichem Leve mehr Freiheitsgrade benötigen und somit die resutierenden Raum-Zeit Dünngitter mehr Freiheitsgrade as bei Verwendung der biinearen hierarchischen Basis besitzen, erreichen wir bei Verwendung einer biquadratischen Basis bedingt durch die geringere Feherreduktion ein besseres Kosten-Nutzen Verhätnis. In diesem Kapite haben wir die Diskretisierung paraboischer Probeme mit Hife der Raum-Zeit Dünngitter diskutiert. Zur Erweiterung des kassischen Crank- Nicoson Verfahrens auf eine Crank-Nicoson Raum-Zeit Dünngitter Diskretisierung haben wir das Crank-Nicoson Verfahren as Continuous Gaerkin oder auch Petrov-Gaerkin Verfahren interpretiert. Des Weiteren haben wir das Discontinuous- Gaerkin Verfahren untersucht, bei dem wir as Ansatz- und Testraum den aus der hierarchischen Basis im Ort und der stückweise inearen bzw. stückweise konstanten hierarchischen Basis in der Zeit konstruierten Raum-Zeit Dünngitterraum verwendet haben. Hierbei konnten wir eine a priori Feherabschätzung angeben, die den Diskretisierungsfeher durch entsprechende Interpoationsfeher abschätzt. Zur effizienten Berechnung des Matrix-Vektor Produktes haben wir das von den kassischen Dünngittern bekannte Unidirektionae Prinzip auf den Raum-Zeit Dünngitterfa übertragen und dabei insbesondere die erforderichen Teiagorithmen Bottom Up und Top Down entsprechend modifiziert. Hiermit ist es ohne weitere Schwierigkeiten direkt mögich, Differentiaoperatoren mit beiebigen variaben (in der Zeit konstanten) Koeffizienten zu behanden, was bei kassischen Dünngittern zu besonderen Probemen führt. Schießich haben wir anhand einiger numerischer Beispiee die Konvergenzeigenschaften der Raum-Zeit Dünngitter Crank-Nicoson und der Discontinuous-Gaerkin Verfahren mit stückweise konstanten bzw. inearen Funktionen in der Zeit und der d-inearen hierarchischen Basis im Ort untersucht. Die Ergebnisse deuten daraufhin, dass sich der Diskretisierungsfeher wie der Interpoationsfeher des Raum-Zeit Düngitters verhät.

83 Kapite 5 Lösung des inearen Geichungssystems Die im vorigen Kapite beschriebenen Raum-Zeit Dünngitter Diskretisierungen des paraboischen Probems führen zu großen inearen Geichungssystemen. Dabei sind die zugehörigen Matrizen nicht dünnbesetzt, sondern besitzen eine für die Diskretisierung mit Mutieve-Basen typische Fingerstruktur, vg. Abbidung 4.1. Wie wir in Abschnitt 4.3 gezeigt haben, kann das Matrix-Vektorprodukt mit einem Aufwand proportiona zu der Anzah der Unbekannten mit Hife des Unidirektionaen Prinzips berechnet werden. Aus diesem Grund scheinen sich zur Lösung der inearen Geichungssysteme iterative Löser anzubieten, die nur die Berechnung des Matrix-Vektor Produktes benötigen. Hierbei haben wir insbesondere zu beachten, dass die zugehörigen Matrizen weder positiv definit noch symmetrisch sind. Die Eigenwerte sind kompex und iegen in der rechten Habebene wie in Abbidung 5.1 am Beispie der Crank-Nicoson und der Euer Diskretisierung in einer Ortsdimension für Ṽ 5 und Ṽ 7 zu sehen ist. Wir benötigen daher einen iterativen Löser für unsymmetrische Probeme. Bei einer ersten Betrachtung bieten sich so genannte Kryov-Unterraum-Verfahren für unsymmetrische Probeme, wie etwa das CGNE-, das QMR- das GMRES oder das BiCGStab-Verfahren [9] an. Aerdings verschechtern sich in der Praxis die Konvergenzraten dieser Verfahren mit wachsender Kondition. Wie bei der Diskretisierung von eiptischen Probemen ist die Kondition der Matrizen der Raum- Zeit Dünngitter Diskretisierungsverfahren jedoch von der Levezah des verwendeten Dünngitters abhängig und wächst mit steigender Levezah. In Abbidung 5.1 ist dieses Verhaten gut nachzuvoziehen. So erkennt man, dass der betragsmäßig größte Eigenwert von Leve zu Leve wächst. Bei Verwendung dieser Kryov-Unterraum- Verfahren würde deshab die Anzah der benötigten Iterationen zur Lösung des inearen Geichungssystems mit steigender Diskretisierungsgenauigkeit zunehmen, da die Verfahren immer angsamer konvergieren. Wir möchten daher in diesem Abschnitt die Entwickung von Lösern diskutieren, deren Konvergenzrate unabhängig von der Feinheit der Diskretisierung ist. 79

84 8 Kapite 5. Lösung des inearen Geichungssystems Im(Eigenwert).5.5 Im(Eigenwert) Re(Eigenwert) Re(Eigenwert) Im(Eigenwert) x Re(Eigenwert) Im(Eigenwert) Re(Eigenwert) Abbidung 5.1. Die zur Crank-Nicoson Diskretisierung (oben) und der Euer Diskretisierung (unten) auf Ω T = (, 1) (, 1) mit Ṽ 5 (inks) und Ṽ7 (rechts) gehörigen Eigenwerte. Hierbei spieen Mehrgitter- [72, 18] und Mutievemethoden [61] eine bedeutsame Roe, die in den etzten Jahrzehnten zur effizienten Lösung großer inearer Geichungssysteme entwicket worden sind. Diese Verfahren besitzen pro Iteration einen Rechenaufwand, der proportiona zu der Zah der Unbekannten ist, während sich deren Konvergenzraten durch eine von der Feinheit der Diskretisierung unabhängigen Konstanten keiner 1 nach oben abschätzen assen. Wir beschäftigen uns daher in diesem Kapite mit der Entwickung und Untersuchung entsprechender Mutievemethoden für unsere Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierung. Für die Lösung paraboischer Probeme auf voen Gittern sind einige Mutieveverfahren entwicket und untersucht worden. Zur Lösung der auf voen Gittern diskretisierten paraboischen Probeme ist im Regefa eine Sequenz von stationären Ortsprobemen zu ösen. In diesem Fa können die Geichungssysteme der stationären Probeme mit Hife von kassischen Mehrgitterverfahren für eiptische Probeme [28, 71, 76] geöst werden. Eine weitere Mögichkeit besteht darin, das auf voen Gittern diskretisierte Raum-Zeit Probem geichzeitig in Raum und Zeit mit-

85 tes Mehrgittermethoden zu behanden, vg. [71, 11]. Da hier forma nicht zwischen Raum und Zeit unterschieden wird, (obwoh eigentich ein Zeitschrittverfahren voriegt) assen sich diese Verfahren nicht nur bzg. des Ortes sondern auch bzg. der Zeit effizienter paraeisieren. Zusätzich ermögichen Mehrgitterverfahren auf voen Raum-Zeit Gittern die effiziente Lösung von Systemen paraboischer Geichungen, bei denen einige Unbekannte vorwärts- und andere rückwärts in der Zeit aufen, wie dies beispiesweise bei instationären Kontroprobemen häufig anzutreffen ist [24]. Für die Lösung mit Hife der Waveform-Reaxation wurden Raum-Zeit Mehrgitterverfahren beispiesweise in [19, 111, 112] untersucht. Aerdings werden diese Raum-Zeit Mehrgittermethoden aufgrund der hohen Kompexität und des damit verbundenen hohen Speicherverbrauchs von voen Gittern bisang nur auf Probeme mit maxima zwei Ortsdimensionen angewendet. Im Fa von kassischen Dünngittern gibt es für paraboische Probeme hingegen keine genaueren Untersuchungen zur Lösung der anfaenden inearen Geichungssysteme. In [5] wird zwar ein Iterationsverfahren über die Zeit vorgeschagen, bei dem die anfaenden Ortsprobeme mittes eines vorkonditionierten CG Verfahrens geöst werden, jedoch beibt eine theoretische oder numerische Untersuchung des Konvergenzverhatens der Methode aus. Für eiptische Probeme existieren mehrere Arbeiten zur Lösung der bei der Diskretisierung mit kassischen Dünngittern anfaenden Geichungssysteme. In [6, 92] werden Mehrgitterverfahren für die Dünngitterdiskretisierung mittes der eindimensionaen hierarchischen Basis im eiptischen Fa vorgestet, die as Foge von V- Zyken mit Semi-Vergröberung interpretiert werden können. Die numerischen Experimente assen dabei auf eine eveunabhängige Konvergenzrate schießen. Für Dünngitterdiskretisierungen mit Mutievebasen höherer Ordnung wird in [31] ein Mehrgitterverfahren entwicket. In [61] werden schießich kassische Mutieveöser as Iterationsverfahren über einem mit Hife eines Erzeugendensystems diskretisierten System interpretiert. Dies ermögicht die einfache Beschreibung verschiedenster Mutieve-Verfahren, die sich eicht auf den Dünngitterfa übertragen assen. Ordnet man beispiesweise das Erzeugendensystem eveweise an, so entspricht im Vogitterfa ein symmetrisches Gauß-Seide Verfahren über dem Erzeugendensystem dem kassischen V -Mehrgitterzykus und kann auf Dünngitter direkt übertragen werden. Die numerischen Experimente in [61] zeigen dabei, dass somit auch im Dünngitterfa eveunabhängige Konvergenzraten erziet werden können. Die hohe Fexibiität dieser Sichtweise und die einfache Beschreibung der Verfahren sind der Grund dafür, dass wir in diesem Kapite das Erzeugendensystem zur Entwickung eines Mutieve-Verfahrens zur Lösung der inearen Geichungssysteme verwenden werden. In Abschnitt 5.1 führen wir zunächst das Erzeugendensystem ein. Ferner untersuchen wir die Konvergenzeigenschaften des (Bock-) SOR Verfahrens im Fa von unsymmetrischen, semidefiniten Matrizen. Es wird sich zeigen, dass der Reaxati- 81

86 82 Kapite 5. Lösung des inearen Geichungssystems onsparameter stets so gewäht werden kann, dass das (Bock-) SOR Verfahren für die aus der Diskretisierung mit dem Discontinuous-Gaerkin Verfahrens bzg. des Erzeugendensystems resutierenden inearen Geichungssysteme konvergiert. Dadurch motiviert konstruieren wir in den Abschnitten 5.2 und 5.3 zwei unterschiediche Mutieveverfahren as (Bock-) Gauß-Seide Verfahren über dem Erzeugendensystem. Abschießend untersuchen wir in Abschnitt 5.4 die Konvergenzeigenschaften der beiden Verfahren exemparisch anhand einiger numerischer Beispiee. 5.1 Iterationsverfahren über dem Erzeugendensystem Wie bereits in Kapite 2 sei Vj Ω ein Finite Eement Raum bzg. Leve j mit nodaer Basis ϕ Ω j,i, 1 i dim(vj Ω ) im Ort und ψj,i Ω bezeichne die dazugehörige hierarchische Basis. Sei Vj T einer der Räume aus Abschnitt 2.3 mit nodaer Basis ϕ T j,i, 1 i dim(vj T ) und der hierarchischen Basis ψj,i. T Dann erhaten wir wie in (4.15) mit Hife der hierarchischen Basen eine Basis B V für den Raum-Zeit Dünngitterraum. Wir bezeichnen nun den Dünngitterraum, den wir as Ansatzraum der Raum-Zeit Diskretisierung verwenden, mit V,an und den Dünngitterraum, den wir as Testraum verwenden woen as V,te. Dabei ist ψj,i an B V,an die entsprechende hierarchische Basis des Ansatzraumes und ψj,i te B V,te die hierarchische Basis des Testraumes. Sei n die Dimension des Ansatzraumes und nach (eventueer Eimination von Anfangsund Randbedingungen) entspricht diese Dimension der Dimension des Testraumes, d.h. n := dim(v,an ) = dim(v,te ). Sei B(, ) nun die zu einer wie in Kapite 4 beschriebenen Diskretisierung gehörige Biinearform, so erhaten wir nach Anordnung der Basisfunktionen des Ansatz- und,an dim(v des Testraumes den Koeffizientenvektor u = (u i ) R ) der eindeutigen Darsteung u = n i=1 u iψ i der diskreten Lösung u über die Lösung des inearen Geichungssystems Lu = f mit L R n n, f R n, (L) ij := B(ψ an (f) i := T j, ψ te i ), ψ an j (f, ψ te i ) dt, ψ te i B V,an, ψi te B V,te. B V,te, Hierbei wissen wir aus Lemma 4.1 bzw. 4.3 dass die bei der Crank-Nicoson bzw. Discontinuous-Gaerkin Diskretisierung anfaenden inearen Geichungssysteme eine eindeutige Lösung besitzen und jede Funktion des Dünngitterraumes durch genau einen Koeffizientenvektor repräsentiert wird. Wir assen nun eine nicht-eindeutige Darsteung von Funktionen in unserem Dünngitterraum zu und erweitern daher wie

87 5.1. Iterationsverfahren über dem Erzeugendensystem 83 für den Dünngitterraum zu einem Erzeugen- in [61] beschrieben unsere Basis B V densystem E V, E V = {ϕ j,i := ϕ Ω j 1,i 1 ϕ T j 2,i 2 j 1 +j 2, 1 i 1 dim(v Ω j 1 ), 1 i 2 dim(v T j 2 )}. (5.1) Wir bezeichnen mit E V,an das auf diese Weise konstruierte Erzeugendensystem für das Erzeugendensystem des Testraumes V,te. den Ansatzraum V,an und mit E V,te Wir können ohne Einschränkung annehmen (nach eventueer Eimination der Randund Anfangsbedingungen), dass E V,an enthaten und definieren n E := E V,an und E V,te = E V,te. die geiche Anzah von Eementen Ordnen wir nun die Eemente des Erzeugendensystems an, so erhaten wir für die Koeffizienten u E = (u E i ) R n E einer Darsteung der Lösung u bzg. des Erzeugendensystems das Geichungssystem mit L E R n E n E, f E R n E, (L E ) ij := B(ϕ an (f E ) i := T j L E u E = f E (5.2), ϕte i ), ϕan j (f, ϕ te i ) dt, ϕ te i E V,an, ϕ te i E V,te. E V,te, Die derart definierte Matrix L E ist semidefinit und besitzt den geichen Rang wie die Matrix L. Zusätzich ist das ineare Geichungssystem ösbar, da die rechte Seite konsistent konstruiert ist, vg. [61]. Obwoh die Darsteung einer Funktion u V,an bzg. des Erzeugendensystems nicht eindeutig ist, können wir durch Interpoation und Summation ohne Schwierigkeiten die eindeutige Darsteung bzg. der Basis berechnen. Damit erhaten wir nach Anordnung der Eemente der Basis B V,an und der Funktionen des Erzeugendensystems E V,an eine surjektive ineare Abbidung S E,B : R n E R n, (5.3) die einen Koeffizientenvektor bzg. des Erzeugendensystems E V,an einer Funktion u V,an in den entsprechenden Koeffizientenvektor bzg. der Basis B V,an transformiert. Mit Hife dieser Abbidung können wir die Matrix L E durch L E = (S E,B ) T LS E,B (5.4) darsteen. Nun können, wie in [61] beschrieben, herkömmiche ineare stationäre Iterationsverfahren der Art u E,it+1 = u E,it + C E ( f E L E u E,it), (5.5)

88 84 Kapite 5. Lösung des inearen Geichungssystems wobei C E reguär ist, zur Lösung der Geichung (5.2) betrachtet werden. Das Iterationsverfahren (5.5) ist dabei genau dann konvergent, wenn ρ(i C E L E ) < 1. (5.6) Hierbei ist ρ(a) der veragemeinerte Spektraradius der Matrix A ρ(a) := max{ λ λ σ(a), λ 1}, (5.7) wobei σ(a) den Spektraradius der Matrix A bezeichnet. Wir erhaten nun unterschiedichste Mutieveverfahren indem wir kassische Iterationsverfahren zur Lösung des semidefiniten Systems (5.2) anwenden. Im Fogenden betrachten wir zwei Methoden, die auf dem (Bock-) Gauß-Seide Verfahren basieren. Sei dazu die Matrix L E = D E + U E + R E in eine (Bock-) Diagonamatrix D E, eine untere (Bock-) Dreiecksmatrix U E und eine obere (Bock-) Dreiecksmatrix R E aufgespaten. Wir erhaten das (Bock-) SOR Verfahren für das Probem (5.2) durch die Wah von C E := ω(d E + ωu E ) 1 in der Iterationsvorschrift (5.5) und damit as Speziafa für ω = 1. das (Bock-) Gauß-Seide Verfahren. Im Fa unsymmetrischer Matrizen ist nur sehr wenig Konvergenztheorie für kassische Iterationsverfahren vorhanden, was theoretische Betrachtungen und eine systematische Untersuchung von Verfahren zur Lösung von (5.2) sehr schwierig macht. Für den Fa, dass die zugrunde iegende Matrix reguär ist, werden in [117] Konvergenzuntersuchungen für das SOR Verfahren unter der Voraussetzung angestet, dass der nicht-symmetrische Antei der Matrix genügend kein ist. Hierbei erhät man ähniche Bedingungen an den Reaxationsparameter wie im symmetrischen, positiv definiten Fa. Ist der symmetrische Antei der Matrix positiv definit ist, wird in [88] ebenfas ein Wertebereich für den Reaxationsparameter ω angegeben, für den das SOR Verfahren konvergent ist. Dieses Resutat veragemeinern wir nun auf den Fa singuärer Matrizen. Wir nehmen dazu an, dass D E = I git und spaten L E additiv in L E = I + B auf, wobei I die Identität bezeichnet und die Matrix B = U E + R E in eine untere Dreiecksmatrix U E und eine obere Dreiecksmatrix R E aufgeteit ist. Anaog dazu definieren wir B := U E R E. Für eine Matrix L E bezeichne G(L E ) den symmetrischen und S(L E ) den schiefsymmetrischen Antei G(L E ) := 1 2 (LE + L ET ), S(L E ) := 1 2 (LE L ET ).

89 5.1. Iterationsverfahren über dem Erzeugendensystem 85 Sei P die bzg. des eukidischen Skaarproduktes orthogonae Projektion auf den Kern von L E, P : R n E ker(l E ) und P dementsprechend die orthogonae Projektion auf das orthogonae Kompement des Kernes, P : R n E (ker(l E )). Wir verwenden abkürzend ñ = dim(ker(l E ) ). Es sei ˆB R ñ ñ definiert durch ˆB := P BP (ker(l E )). Es seien ĝ 1 ĝ 2... ĝñ, die Eigenwerte der symmetrischen Matrix G( ˆB). Anaog seien g 1... g n die Eigenwerte des symmetrischen Teis G( B) von B. As Veragemeinerung des Resutates in [88] erhaten wir nun für das SOR Verfahren die fogende Abschätzung für den Reaxationsparameter ω. Satz 5.1. Der symmetrische Antei G(L E ) der Matrix L E sei eingeschränkt auf (ker(l E )) positiv definit. Seien ˆσ und σ die Spektraradien von S( ˆB) bzw. S( B). Weiter gete ker(l E ) = ker((l E ) T ). Dann konvergiert das SOR-Verfahren für ae ω mit ( < ω < 2 1 g 1 + ˆσ σ ) ĝ 1 Der Beweis ist sehr technisch und veräuft ähnich wie der Beweis in [88] für den Fa von reguären Matrizen. Aus diesem Grund verzichten wir an dieser Stee auf eine Beweisführung und diskutieren den Beweis im Anhang. Die Ergebnisse des Satzes übertragen sich anaog auf das Bock-SOR Verfahren. Wie Satz 5.1 zeigt, ist das SOR-Verfahren bei geeigneter Wah des Reaxationsparameters konvergent, fas die Matrix L E die obigen Bedingungen erfüt. Das nächste Resutat zeigt, dass das diagonaskaierte System L E := (D E ) 1/2 L E (D E ) 1/2, weches aus der Dünngitter Discontinuous-Gaerkin Diskretisierung stammt, die für die Anwendung des Satzes notwendigen Bedingungen erfüt. Satz 5.2. Sei L E die aus der Raum-Zeit Dünngitter Discontinuous-Gaerkin Diskretisierung, vg. (4.7), resutierende Matrix eines paraboischen Probems mit in der

90 86 Kapite 5. Lösung des inearen Geichungssystems Zeit konstantem eiptischen Ortsoperator a(, ) und u =. Dann erfüt die diagonaskaierte Matrix L E des diskretisierten Probems die notwendigen Bedingungen des Satzes 5.1, d.h. es git ker( L E ) = ker(( L E ) T ) und G( L E ) eingeschränkt auf (ker( L E )) ist positiv definit. Beweis. Aus (4.1) fogt unmittebar, das G(L B ) positiv definit ist. Da nun per Konstruktion ker(l E ) = ker(s E,B ) git, fogt aus der Darsteung (5.4), dass für ae x ker(l E ) git. Des Weiteren haben wir x T G(L E )x = (S E,B x) T G(L B )(S E,B x) > (5.8) ker( L E ) = ker(s E,B (D E ) 1/2 ), und für x ker(s E,B (D E ) 1/2 ) git (D E ) 1/2 x ker(s E,B ). Zusammen mit (5.8) fogt daraus, dass L E auf (ker( L E )) positiv definit ist. Weiterhin git und die Behauptung ist gezeigt. ker( L E ) = ker(s E,B ) = ker(( L E ) T ) Verschwindet die Anfangsbedingung des paraboischen Probems nicht, so kann das aus der Eimination der Anfangsbedingung aus dem ursprüngichen Geichungssystem resutierende System as die Diskretisierung eines Probems mit Nurandbedingungen und modifizierter rechter Seite aufgefasst werden. Aus diesem Grund überträgt sich das Ergebnis auch auf den Fa von inhomogenen Anfangsbedingungen. Für die Crank-Nicoson Diskretisierung ist der symmetrische Antei eingeschränkt auf das orthogonae Kompement des Kerns nicht positiv definit, weshab wir Satz 5.1 nicht anwenden können, um die Konvergenz des SOR Verfahrens zu beweisen. Man beachte, dass die Konvergenzgeschwindigkeit in aer Rege von der gewähten Anordnung der Unbekannten abhängt. So ist anzunehmen, dass bei paraboischen Geichungen die zugehörigen Unbekannten nicht rückwärts in der Zeit durchaufen werden soten. Wie schon in [61] beschrieben, erhät man durch die Wah von unterschiedichen Durchaufreihenfogen, verschiedenste Partitionierung in Böcke und entsprechenden Bock-Varianten des SOR Verfahrens unterschiedichste Mutieveverfahren. Motiviert durch das obige Resutat steen wir nun auf Basis des (Bock-) SOR Verfahrens zwei Mutieveöser vor, die sich durch die Bock-Partitionierung und damit verbunden in der Durchaufreihenfoge unterscheiden. Wir beschränken

91 5.2. Die Zeiteveweise angeordnete Bock-Gauß-Seide Iteration 87 Abbidung 5.2. Durchaufreihenfoge des nach Zeiteven angeordneten Bock-Gauß-Seide Verfahrens. uns bei der Untersuchung auf den Fa ω = 1 und verwenden für die eine Methode das Gauß-Seide Verfahren, während die andere Methode auf dem Bock-Gauß-Seide Verfahren beruht. Zur Vereinfachung der Darsteung betrachten wir in den nächsten beiden Abschnitten den Fa, dass der Ansatz- und der Testraum geich sind, d.h. V,an = V,te = Ṽ. Die Überegungen assen sich jedoch direkt auf den Petrov-Gaerkin Fa übertragen. 5.2 Die Zeiteveweise angeordnete Bock-Gauß-Seide Iteration Für das Bock-Gauß-Seide Verfahren, das wir in diesem Abschnitt betrachten, ordnen wir die Funktionen des Erzeugendensystems nach dem Leve der Zeitfunktionen ϕ T j,i an, d.h. wir zeregen die Menge E Ṽ in Teimengen E j, 1 j, so dass Ṽ EṼ = j=1 E j Ṽ mit E j Ṽ := {ϕ j,i j 1 = j} git. Wir erhaten damit das Bocksystem L E... L E..... L E... L E u. u = f. f, (5.9)

92 88 Kapite 5. Lösung des inearen Geichungssystems wobei L E ij := (B(ϕ p 1,q 1, ϕ p2,q 2 )) ϕp1,q 1 E ĩ V,ϕ p2,q 2 E j. Ṽ Bei dem zugehörigen Bock-Gauß-Seide Verfahren treten in dem it-ten Iterationsschritt zur Bestimmung der it+1-ten Unbekannten nun die zu ösenden Teiprobeme L kk u it+1 k k 1 = f k j= L kj u it+1 j j=k+1 L kj u it j (5.1) auf. Dabei ist L kk in der Rege immer noch zu groß, um mittes eines direkten Verfahrens, wie beispiesweise der Gauß-Eimination, geöst zu werden. Da aerdings ae in jedem Teiprobem vorkommenden Funktionen bzg. der Zeit geiches Leve haben, reduziert sich die Lösung jedes Teiprobems auf das der Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierung zugrunde iegende kassische Zeitschrittverfahren, bei dem eine Foge von eiptischen Probemen zu ösen ist. Für die Behandung der eiptischen Teiprobeme bieten sich zwei Mögichkeiten an. Zunächst können wir jedes Teiprobem inexakt mit Hife von wenigen Schritten eines stationären inearen Iterationsverfahrens ösen. In unserem Kontext kann dieses Vorgehen as Gättung des Fehers interpretiert werden. Hierbei übernimmt das verwendete Iterationsverfahren die Aufgabe eines Gätters. Da jedes anfaende eiptische Probem wiederum Mutievestruktur besitzt, können die eiptischen Teiprobeme jedoch auch effizient mittes eines Mutieveverfahrens exakt (bis auf Maschinengenauigkeit) geöst werden. Numerische Experimente haben aerdings gezeigt, dass wir auch bei inexakter Lösung der Bock-Systeme die geichen Konvergenzraten wie bei exakter Lösung erhaten. Hierbei haben wir die Lösung jedes eiptischen Probems durch jeweis einen Schritt des symmetrischen Gauß-Seide Verfahrens über dem Erzeugendensystem im Ort approximiert, was einem symmetrischen V-Mehrgitterzykus, vg. [61], entspricht. Dieses Vorgehen führt zu nahezu den geichen Konvergenzraten wie die bis auf Maschinengenauigkeit exakte Lösung jedes Teiprobems mit Hife eines symmetrischen V-Zykus. Aus diesem Grund werden wir in den numerischen Ergebnissen nur die Resutate für das Bock- Gauß-Seide Verfahren mit inexakter Lösung diskutieren. Für das Bock-Gauß-Seide Verfahren wähen wir die Bockdurchaufreihenfoge k =,..., 1,, 1...,, d.h. wir verwenden ein symmetrisches Bock-Gauß-Seide Verfahren das mit dem gröbsten Zeiteve beginnt. Abbidung 5.2 zeigt am Beispie von Ṽ 3 die Durchaufreihenfoge dieses Verfahrens, das wir abkürzend auch einfach as Gauß-Seide Verfahren bezeichnen werden.

93 5.3. Die Ortseveweise angeordnete Gauß-Seide Iteration 89 Abbidung 5.3. Durchaufreihenfoge des nach Ortseven angeordneten Waveform-Gauß-Seide Verfahrens. 5.3 Die Ortseveweise angeordnete Gauß-Seide Iteration: Das Waveform-Gauß-Seide Verfahren In Anehnung an die Mehrgitter-Waveform-Reaxation [19] steen wir nun einen auf dem Gauß-Seide Verfahren über dem Erzeugendensystem basierenden Mutieveöser vor. Hierbei ist wiederum die Wah der Durchaufenreihenfoge bzw. die Anordnung der Unbekannten für das Verfahren von Bedeutung. Betrachten wir hierfür zunächst eine Semidiskretisierung des paraboischen Probems bezügich des Ortes mit Finiten Differenzen auf einem Gitter der Maschenweite h. Wir erhaten dann ein großes System gewöhnicher Differentiageichungen t u h (t) = L h u h (t) + f h (t) (5.11) für die semidiskrete Lösung u h (t) = (u 1 h (t),..., u2 h (t))t, wobei L h die zu der Ortsdiskretisierung gehörende Finite Differenzen Matrix bezeichnet. Ist nun zum Beispie d = 1 und L h die Finite Differenzen Diskretisierung des Lapace Operators, so erhät man die exikographisch angeordnete Gauß-Seide Waveform Reaxation zur Bestimmung der ν-ten Iterierten u ν h = (uν h,,..., uν h,n ) as Lösung von t u ν h,i = uν h,i 1 2uν h,i + uν 1 h,i+1 h 2 + f h,i. (5.12) Agemein erhaten wir für eine gegebene Matrix L h = (a ij ) die ν-te Iterierte der Gauß-Seide Waveform Reaxation (in exikographischer Durchaufreihenfoge) durch

94 9 Kapite 5. Lösung des inearen Geichungssystems t u ν h,i = j i a ij u ν h,j + j>i a ij u ν 1 h,j + f h,i. (5.13) Somit wird für jeden Gitterpunkt im Ort eine gewöhniche Differentiageichung geöst, die wiederum mittes geeigneter Zeitschrittverfahren diskretisiert wird. Hierbei ist die Konvergenzgeschwindigkeit des Verfahrens von der Feinheit der Diskretisierung abhängig. Um ein von dem Diskretisierungseve unabhänig konvergierendes Verfahren zu erhaten, wird nun in [19] in Anaogie zu herkömmichen Mehrgittermethoden die so genannte Mutigrid-Waveform Methode vorgeschagen. Wie bei eiptischen Probemen wird hierbei das Residuum r ν h r ν h = tu ν h L hu h f h der ν-ten Iterierten zunächst auf ein gröberes Gitter (mit der Maschenweite H) mit Hife eines Restriktionsoperators Rh H transformiert und dort die so genannte Defektgeichung t u H (t) = L H u H (t) + R H h r h, u H () = geöst. Ist dieses grobe Probem noch zu groß, um exakt geöst zu werden, so wird das Verfahren rekursiv angewendet. Anschießend wird die mit Hife eines Interpoationsoperators I h H in den Feingitterraum interpoierte Grogbitterösung u H as Korrektur auf die momentane Feingitteriterierte addiert u ν+1 h,i + = I h H u H, weshab u H auch Grobgitterkorrektur genannt wird. Um ein ähniches Verfahren für die Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierung zu erhaten, zeregen wir zunächst das Erzeugendensystem EṼ in Teimengen E j so dass Ṽ EṼ = j=1 E j Ṽ mit E j Ṽ := {ϕ j,i j 2 = j} git. Daraus resutiert ein Bocksystem L E... L E..... L E... L E u. u = f. f, (5.14) wobei hier in jedem Bock L E ij := (B(ϕ p1,q 1, ϕ p2,q 2 )) ϕp1,q 1 E ĩ V,ϕ p2,q 2 E j Ṽ

95 5.4. Numerische Ergebnisse 91 ae Funktionen des Erzeugendensystems, die zu dem geichem Ortseve gehören, enthaten sind. Zunächst unterteien wir die zu den einzenen Böcken gehörigen Unbekannten weiter, so dass ae Unbekannten, die zu der geichen Basisfunktion im Ort gehören, in der geichen Partition enthaten sind. Dies führt für die Diagonaböcke L E kk auf die Bockstruktur L E kk = T11 k... T1N k..... TN1 k... TNN k wobei N := dim(vk Ω ). Ein Schritt des Bock-Gauß-Seide Verfahrens bzg. dieser Bockstruktur für die Lösung von L E kkx = b entspricht der Gauß-Seide Waveform Reaxation (5.13), wobei die Ortsdiskretisierung bzg. Vk Ω durchgeführt ist und das System gewöhnicher Differentiageichungen mit dem der Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierung zugrunde iegendem Zeitschrittverfahren diskretisiert wurde. Insgesamt kann damit ein Schritt des symmetrischen Gauß-Seide Verfahrens über das derartig angeordnete System as Raum-Zeit Dünngitter Version der Mutigrid- Waveform Reaxation betrachtet werden. Abbidung 5.3 veranschauicht die Durchaufreihenfoge des Verfahrens für d = 1 an dem Beispie von Ṽ Numerische Ergebnisse, In diesem Abschnitt untersuchen wir die Konvergenzeigenschaften der vorgesteten Verfahren. Dazu setzen wir bei aen betrachteten Probemen die rechte Seite, sowie die Anfangsbedingung und die Randbedingungen auf Nu, so dass der Nuvektor die Lösung des inearen Geichungssystems ist. Wir bezeichnen mit 2 die 2 -Norm, d.h. x 2 2 = n i=1 x2 i für jedes x Rn. As Startwert wähen wir einen Zufasvektor x der derart normiert ist, dass L E x 2 = 1 git. Die Iteration wird gestoppt, wenn das 2 -Residuum L E x i 2 der i-ten Iterierten x i keiner as 1 11 ist. Wir messen im fogenden die Feherreduktion ( ) L E 1/(i 2) x 2 2 ρ = L E x i 2 wobei x i die Iterierte der etzten Iteration ist, bevor das Abbruchkriterium erfüt ist. Wir beziehen die ersten zwei Iterierten nicht in die Messung mit ein, da dort die Reduktionsraten je nach Probem und Verfahren übermäßig gut sein können und somit das Ergebnis verfäschen würden. Da wir in den Experimenten keinen Unterschied in dem Löserverhaten für die Diskretisierung mit V und Ṽ beobachtet haben, beschränken wir uns auf die Diskussion der Ergebnisse für Ṽ.

96 92 Kapite 5. Lösung des inearen Geichungssystems 2 Norm des Residuums =4 =5 =6 =7 =8 =9 =1 2 Norm des Residuums =4 =5 =6 =7 =8 =9 = Anzah der Iterationen Anzah der Iterationen 2 Norm des Residuums =4 =5 =6 =7 =8 =9 =1 2 Norm des Residuums =4 =5 =6 =7 =8 =9 = Anzah der Iterationen Anzah der Iterationen 2 Norm des Residuums =4 =5 =6 =7 2 Norm des Residuums =4 =5 =6 = Anzah der Iterationen Anzah der Iterationen Abbidung 5.4. Konvergenzhistorie des Gauß-Seide (inks) und des Waveform-Gauß-Seide Verfahrens (rechts) für das mit dem Crank-Nicoson Verfahren diskretisierte Probem (5.15) und d = 1 (oben), d = 2 (mitte) und d = 3 (unten).

97 5.4. Numerische Ergebnisse 93 Abbidung 5.5. Startfeher (inks oben), Feher nach ein (rechts oben), zwei (inks unten) und vier (rechts unten) Iterationen des Gauß-Seide Verfahrens für die Crank-Nicoson Diskretisierung des Probems (5.15) auf Leve = Erste numerische Ergebnisse und das kombinierte Gauß-Seide Verfahren In diesem Abschnitt untersuchen wir die Konvergenzeigenschaften des Gauß-Seide und des Waveform-Gauß-Seide Verfahrens für das Probem t u u = in Ω T = (, 1) d (, 1] (5.15) mit d = 1, 2, 3. Abbidung 5.4 zeigt die Konvergenzhistorie des Gauß-Seide und des Waveform-Gauß-Seide Verfahrens für das mit dem Crank-Nicoson Verfahren auf unterschiedichen Leven diskretisierte Probem (5.15). Betrachten wir zunächst die Ergebnisse für das Gauß-Seide Verfahren. Hierbei ist eine besonders große Reduktion des Residuums durch die ersten zwei Iterationen insbesondere für d = 1, 2 auffäig. Das Gauß-Seide Verfahren iefert insgesamt sehr gute Konvergenzraten. Für den eindimensionaen Fa erhaten wir beispiesweise auf Leve = 1 eine Reduktionsrate ρ =.21, während d = 2 und Leve = 1

98 94 Kapite 5. Lösung des inearen Geichungssystems Abbidung 5.6. Startfeher (inks oben), Feher nach ein (rechts oben), zwei (inks unten) und vier (rechts unten) Iterationen des Waveform-Gauß-Seide Verfahrens für die Crank-Nicoson Diskretisierung des Probems (5.15) auf Leve = 7. zu ρ =.16 und d = 3 mit = 7 zu ρ =.5 führen. Aerdings beobachten wir mit wachsendem Leve einen eichten Anstieg der Anzah der benötigten Iterationen. Dabei ist die Konvergenz der ersten zwei bis drei Iterationen und der etzten Iterationen, bevor das Abbruchkriterium erreicht wird, nahezu eveunabhängig. Zum Beispie erhaten wir im zweidimensionaen Fa d = 2 eine Reduktion des Residuums durch die etzte Iteration von.5 für = 5 und.8 für = 1. Dieses Verhaten deutet daraufhin, dass einige Feherkomponenten, die nicht optima reduziert werden können, nach den ersten Iterationen dominieren, bis nach entsprechend vieen weiteren Iterationen wiederum die Feherkomponenten auftreten, die mit besseren Raten reduziert werden. Hierzu sind für den eindimensionaen Fa d = 1 in Abbidung 5.5 der Startfeher und die Feher nach ein, zwei und vier Iterationen des Gauß-Seide Verfahrens dargestet. Dabei ist beachtenswert, dass bereits nach wenigen Iterationen der Feher zum Endzeitpunkt dominiert. Obwoh wir dieses Feherverhaten durchaus erwarten dürfen,

99 5.4. Numerische Ergebnisse 95 2 Norm des Residuums =4 =5 =6 =7 =8 =9 =1 2 Norm des Residuums =4 =5 =6 =7 =8 =9 = Anzah der Iterationen Anzah der Iterationen 2 Norm des Residuums =4 =5 =6 = Anzah der Iterationen Abbidung 5.7. Konvergenzhistorie des aus dem Waveform-Gauß-Seide und des Gauß-Seide Verfahrens konstruierten Verfahrens für den mit dem Crank- Nicoson Verfahren diskretisierten Operator (5.15) und d = 1 (oben inks), d = 2 (oben rechts) und d = 3 (unten). schießich entspricht der Endzeitpunkt dem freien Rand und ein ähniches Verhaten beobachtet man auch für Mehrgitteröser im Fa von eiptischen Probemen am Neumann-Rand, ist dieser Effekt überraschend stark ausgeprägt und mögicherweise die Ursache für das beobachtete Verhaten des Lösers. Wir diskutieren nun die Ergebnisse für das Waveform-Gauß-Seide Verfahren in Abbidung 5.4. Während die Konvergenzrate im eindimensionaen Fa d = 1 unabhängig von der Levezah beschränkt ist, beobachten wir für d = 2 und d = 3 eine Verschechterung der Konvergenz des Waveform-Gauß-Seide Verfahrens mit wachsendem Leve. Vergeichen wir die in Abbidung 5.6 dargestete Feherentwickung des Waveform- Gauß-Seide Verfahrens nach ein, zwei und vier Iterationen mit der Feherentwickung des Gauß-Seide Verfahrens, so sehen wir deutich, dass beide Verfahren bereits nach wenigen Iterationen zu sehr unterschiedichen Fehern führen. Während der Feher des Waveform-Gauß-Seide Verfahrens reativ geichmäßig über den ge-

100 96 Kapite 5. Lösung des inearen Geichungssystems 2 Norm des Residuums =4 =5 =6 =7 =8 =9 =1 2 Norm des Residuums =4 =5 =6 =7 =8 =9 = Anzah der Iterationen Anzah der Iterationen 2 Norm des Residuums =4 =5 =6 =7 =8 =9 =1 2 Norm des Residuums =4 =5 =6 =7 =8 =9 = Anzah der Iterationen Anzah der Iterationen 2 Norm des Residuums =4 =5 =6 =7 2 Norm des Residuums =4 =5 =6 = Anzah der Iterationen Anzah der Iterationen Abbidung 5.8. Konvergenzhistorie des Gauß-Seide (inks) und des Waveform-Gauß-Seide Verfahrens (rechts) für den mit dem Euer Verfahren diskretisierten Operator (5.15) und d = 1 (oben), d = 2 (mitte) und d = 3 (unten). samten Raum-Zeit Zyinder verteit ist, dominiert bereits nach wenigen Iterationen des Gauß-Seide Verfahrens der Feher zum Endzeitpunkt. Dabei ist der Feher des Gauß-Seide Verfahrens keiner as der Feher des Waveform-Gauß-Seide Verfahrens. Das unterschiediche Feherverhaten beider Verfahren motiviert dazu, das Gauß-

101 5.4. Numerische Ergebnisse 97 Seide Verfahren mit dem Waveform-Gauß-Seide Verfahren zu kombinieren. Dabei hoffen wir, dass das Waveform-Gauß-Seide Verfahren die Feheranteie effizient reduziert, die bei dem Gauß-Seide Verfahren zu schechteren Reduktionsraten für einige Iterationen führen. Umgekehrt sote geichzeitig das Gauß-Seide Verfahren die Feherkomponenten stark dämpfen, für die das Waveform-Gauß-Seide Verfahren nur angsam konvergiert. Die Kombination verschiedener Durchaufreihenfogen ist bereits in [92] mit dem so genannten Q-Zykus im Dünngitterkontext für eiptische Probeme vorgeschagen worden. Mit dem Q-Zykus wurden dabei in numerischen Experimenten gute Konvergenzresutate erziet. Wir definieren daher eine neue Iteration, bei der in jedem Iterationsschritt zunächst ein Vorwärtsschritt des Gauß-Seide Verfahrens und danach ein Rückwärtsschritt des Waveform-Gauß-Seide Verfahrens ausgeführt werden. Die Konvergenzhistorien dieses kombinierten Gauß-Seide Verfahrens sind in Abbidung 5.7 dargestet. Die Ergebnisse zeigen deutich, dass das resutierende Verfahren schneer as das Gauß-Seide Verfahren konvergiert. Wir erhaten so zum Beispie für = 1 und d = 2 eine Reduktionsrate ρ =.5. Zusätzich scheint die Residuenreduktion unabhängig von der Anzah der Iterationen zu sein, d.h. wir erhaten während der Iteration keine Feherkomponenten, die angsamer as andere reduziert werden. Wenden wir uns jetzt den Ergebnissen für die Euer Diskretisierung des Probems (5.15) zu. Man beachte, dass der symmetrische Antei des aus der Euer Diskretisierung resutierenden inearen Geichungssystems positiv semidefinit ist. Scheinbar ist dies eine wichtige Eigenschaft für die Konvergenz der Iterationsverfahren bei unsymmetrischen Probemen, wie wir dies bereits an Satz 5.1 über die Konvergenz der SOR-Iteration gesehen haben. Wir erwarten daher, dass die Verfahren im Fa der Euer Diskretisierung mindestens so gute Resutate iefern wie für die Crank- Nicoson Diskretisierung, deren symmetrischer Antei nicht positiv definit ist. In der Tat zeigen die Ergebnisse in Abbidung 5.8, dass sowoh das Gauß-Seide as auch das Waveform-Gauß-Seide Verfahren sehr schne mit eveunabhängigen Reduktionsraten konvergieren. Im Fa des Gauß-Seide Verfahrens verkeinern sich die Raten sogar mit zunehmendem Leve. So iefert das Gauß-Seide Verfahren in zwei Ortsdimensionen eine Reduktionsrate von ρ =.7 auf Leve = 5 und auf Leve = 1 den Wert ρ =.4. Die Kombination aus dem Gauß-Seide und dem Waveform-Gauß-Seide Verfahren iefert hingegen noch etwas bessere Resutate as das Gauß-Seide Verfahren. Aerdings sind die Konvergenzraten des Gauß-Seide Verfahrens und des Waveform-Gauß-Seide Verfahrens bereits so gut, dass wir an dieser Stee auf die Präsentation der Ergebnisse für das kombinierte Verfahren verzichten möchten.

102 98 Kapite 5. Lösung des inearen Geichungssystems 2 Norm des Residuums Norm des Residuums Anzah der Iterationen Anzah der Iterationen 2 Norm des Residuums Anzah der Iterationen Abbidung 5.9. Konvergenzhistorie des Gauß-Seide Verfahrens (oben inks), des Waveform-Gauß-Seide Verfahrens (oben rechts) und der Kombination aus beiden Verfahren (unten) für das mit dem Crank-Nicoson Verfahren auf Leve = 1 diskretisierte Probem (5.16) und verschiedenen ε Numerische Ergebnisse für ein zeitich anisotropes Probem Die Länge des Zeitintervas (, T ], für das eine Lösung gesucht ist, wird in reaen Anwendungen stark variieren. In unserer Formuierung bedeutet das, dass wir nach Transformation auf das Einheitsinterva (, 1] einen entsprechenden Faktor vor dem eiptischen Tei des paraboischen Operators erhaten. Wir möchten nun die Robustheit der Verfahren gegenüber einem sochen Parameter ε untersuchen. Dazu betrachten wir das Probem t u ε u = (5.16) auf Ω = (, 1) 2. Dieses Beispie ist nicht nur interessant wei wir einen sochen Parameter durch Transformation auf das Einheitsinterva erhaten, sondern auch die Verwendung von unterschiedichen Materiaien mit unterschiedichen Wärmeeitkoeffizienten führt zu einer Reihe von verschiedenen Werten für ε.

103 5.4. Numerische Ergebnisse 99 2 Norm des Residuums Norm des Residuums Anzah der Iterationen Anzah der Iterationen 2 Norm des Residuums Anzah der Iterationen Abbidung 5.1. Konvergenzhistorie des Gauß-Seide Verfahrens (oben inks), des Waveform-Gauß-Seide Verfahrens (oben rechts) und der Kombination aus beiden Verfahren (unten) für das mit dem Euer Verfahren auf Leve = 1 diskretisierte Probem (5.16) und verschiedenen ε. Abbidung 5.9 zeigt die Konvergenzhistorie der Verfahren für die Crank-Nicoson Diskretisierung auf Leve = 1 des Probems für verschiedene Werte ε. Wie in Abschnitt konvergiert die Kombination aus dem Waveform-Gauß-Seide und dem Gauß-Seide Verfahren am schnesten. Auffäig ist, dass für den Grenzfa ε = die Konvergenz der drei Verfahren sehr schne ist, dann für wachsendes ε etwas schechter wird, und ab einem gewissen Schwewert die Konvergenz wieder bescheunigt. Interessant ist hierbei das unterschiediche Verhaten des Waveform-Gauß-Seide und des Gauß-Seide Verfahrens. Während das Gauß-Seide Verfahren für den Grenzfa ε = schneer konvergiert as für ε = 1 4, iefert das Waveform-Gauß-Seide Verfahren für ε = 1 4 bessere Ergebnisse as im Fa ε =. Dementsprechend erhaten wir für die Kombination aus beiden Verfahren nahezu die geichen Reduktionsraten für ε = und ε = 1 4. Die Ergebnisse für die Euer Diskretisierung auf Leve = 1 sind in Abbi-

104 1 Kapite 5. Lösung des inearen Geichungssystems Tabee 5.1. Ergebnisse des Gauß-Seide Verfahrens (GS), des Waveform- Gauß-Seide Verfahrens (WGS) und der Kombination aus beiden Verfahren (KGS) für die Crank-Nicoson Diskretisierung von (5.17) auf Ṽ. γ = γ = 1 γ = 2 γ = 3 GS WGS KGS GS WGS KGS GS WGS KGS GS WGS KGS Tabee 5.2. Ergebnisse des Gauß-Seide Verfahrens (GS), des Waveform- Gauß-Seide Verfahrens (WGS) und der Kombination aus beiden Verfahren (KGS) für die Euer Diskretisierung von (5.17) auf Ṽ. γ = γ = 1 γ = 2 γ = 3 GS WGS KGS GS WGS KGS GS WGS KGS GS WGS KGS dung 5.9 festgehaten. Hierbei ist die Konvergenz des Gauß-Seide und des aus dem Gauß-Seide und dem Waveform-Gauß-Seide Verfahren kombinierten Verfahrens unabhängig von ε. Im Fae des Waveform-Gauß-Seide Verfahrens beobachten wir zudem eine Verbesserung mit wachsendem ε. So konvergiert das Waveform-Gauß-Seide Verfahren für ε = mit einer Reduktionsrate von ρ =.3, wogegen wir für ε = 1 eine Reduktion von ρ =.9 erhaten, die sich mit wachsendem ε auch nicht weiter verändert. Insgesamt verhaten sich ae drei Verfahren robust gegenüber dem Parameter ε, wobei die Kombination aus dem Gauß-Seide und dem Waveform-Gauß-Seide Verfahren sowoh für die Crank-Nicoson as auch für die Euer Diskretisierung in diesem Zusammenhang zu den besten Resutaten führt Numerische Ergebnisse für Probeme mit springenden Koeffizienten In der Praxis werden häufig Probeme betrachtet, bei denen unterschiediche Materiaien aneinander grenzen. Diese unterschiedichen Materiaien besitzen verschiedene Materiaparameter, die direkt as Koeffizienten in den eiptischen Tei des paraboischen Operators eingehen. Dies führt zu unstetigen Koeffizientenfunktionen

105 5.4. Numerische Ergebnisse 11 Ω Ω Ω Ω Abbidung Zeregung des zu dem Probem (5.17) gehörigen Gebietes Ω. im Raum-Zeit Operator. Im Fa von stationären eiptischen Probemen verschechtert sich die Konvergenz von kassischen geometrischen Mehrgittermethoden mit zunehmender Sprunggröße. Somit sind die Verfahren im Sinn von [12] nicht robust. Aus diesem Grund können wir im paraboischen Fa für die in diesem Kapite vorgesteten Löser keineswegs ein von der Sprunggröße unabhängiges Konvergenzverhaten erwarten. An dieser Stee wenden wir uns den Konvergenzeigenschaften der Verfahren bezügich socher Sprünge zu. Dazu unterteien wir das Gebiet Ω = (, 1) 2 wie in Abbidung 5.11 dargestet in die vier Teigebiete Ω 1, Ω 2, Ω 3 und Ω 4. Wir betrachten für festes γ das Probem t u div(a(x) u) = (5.17) mit A(x) = { 1. fas x Ω1 Ω 4 1 γ fas x Ω 2 Ω 3. Für γ = erhaten wir damit das Probem (5.15). Die Ergebnisse für die Crank-Nicoson Diskretisierung des Probems (5.17) mit γ {, 1, 2, 3} sind in Tabee 5.1 wiedergegeben. Die Reduktionsrate des Residuums nimmt für ae drei Verfahren mit wachsendem γ zu. Festzusteen ist im Fa der Kombination aus dem Gauß-Seide und dem Waveform-Gauß-Seide Verfahren eine Reduktionsrate von ρ =.5 für = 1 und γ =, während wir für γ = 3 eine Reduktionsrate von ρ =.24 erhaten. Im Ergebnis iefert die Kombination des Gauß-Seide und des Waveform-Gauß-Seide Verfahrens aerdings gute Resutate, wobei wir sebst für den größten betrachteten Sprung mit γ = 3 eine Konvergenzrate ρ =.24 auf Leve = 1 erhaten. Wir nehmen nun die Ergebnisse für die Euer Diskretisierung in Tabee 5.2 in Augenschein. Wie schon bei der Crank-Nicoson Diskretisierung verschechtert sich auch hier die Konvergenz mit wachsendem γ, so dass wir beispiesweise für γ = 3 eine Reduktionsrate ρ =.26 für das Gauß-Seide Verfahren auf Leve = 1 messen, während γ = zu der Rate ρ =.6 führt. Insbesondere ist die Rate ρ =.26 für = 1 und γ = 3 für das aus dem Gauß-Seide und dem Waveform-Gauß-Seide Verfahren kombinierte Verfahren nahezu identisch zu der Rate ρ =.24 im Fae der

106 12 Kapite 5. Lösung des inearen Geichungssystems Crank-Nicoson Diskretisierung, obwoh wir für γ = bei der Euer Diskretisierung wesentich bessere Ergebnisse erziet haben. Insgesamt beobachten wir unabhängig von der gewähten Diskretisierung jeweis eine Verschechterung der Konvergenz mit wachsendem Sprung, wie wir dies auch für geometrische Mehrgittermethoden bei eiptischen Probemen mit Sprüngen erwarten. Dennoch iefert die Kombination aus dem Waveform-Gauß-Seide und dem Gauß-Seide Verfahren auch für den Fa γ = 3 noch akzeptabe Resutate, so dass wir dennoch eine recht große Probemkasse effizient ösen können. Um die Resutate weiter zu verbessern und auch noch größere Sprünge behanden zu können, sind Modifikationen der Raum-Zeit Mutieveöser wie sie auch bei geometrischen Mehrgitterverfahren durchgeführt wurden, denkbar. So könnten die Proongationsoperatoren für den Ortsantei wie im eiptischen Fa matrixabhängig (bzg. des eiptischen Teis des paraboischen Operators) berechnet werden [45, 118, 119]. Ebenso ist eine matrixabhängige Vergröberung wie bei den agebraischen Mehrgitterverfahren [26, 96] denkbar. Dabei soten die agebraisch konstruierten Proongationsoperatoren und Gitterhierarchien nur zur Lösung der Geichungssysteme, nicht aber zur Konstruktion der Mutievebasis im Ort verwendet werden, da sich sonst u. U. die Approximationsraten der Raum-Zeit Dünngitter verschechtern. Der Einsatz matrixabhängiger Proongationen und Vergröberungsagorithmen so an dieser Stee nicht weiter vertieft werden, da das den Umfang dieser Arbeit sprengen würde, sondern Gegenstand zukünftiger Forschung sein. In diesem Kapite haben wir zwei verschiedene Mutieveverfahren zur Lösung der mit dem Raum-Zeit Dünngitter Crank-Nicoson bzw. Euer Verfahren diskretisierten inearen Geichungssysteme vorgestet. Hierbei haben wir Mutieveverfahren, wie in [61] beschrieben, as kassische Iterationsverfahren über einem mittes eines Erzeugendensystems diskretisierten System interpretiert. Wir haben gezeigt, dass das SOR-Verfahren mit geeignet gewähtem Reaxationsparameter für das semidefinite, unsymmetrische Geichungssystem der Raum-Zeit Euerdiskretisierung mittes des Erzeugendensystems konvergiert. Durch dieses Ergebnis motiviert haben wir dann auf Basis des (Bock-) Gauß-Seide Verfahrens zwei verschiedene Mutieveöser vorgestet und deren Konvergenzeigenschaften an zahreichen Beispieen untersucht. Hierbei hat vor aem die Kombination aus beiden Verfahren sowoh für die Crank-Nicoson as auch für die Euer Diskretisierung zu von der Levezah unabhängigen Konvergenzraten geführt. Des Weiteren verhät sich das Verfahren robust gegenüber dem Verhätnis von Zeitschrittweite und Ortsaufösung. Wie bei geometrischen Mehrgittermethoden im eiptischen Fa sind die vorgesteten Löser nicht robust gegenüber Sprüngen in den Koeffizienten des eiptischen Anteis des paraboischen Operators, iefern aber für moderat große Sprünge immer noch gute Resutate, so dass auch soche Probeme effizient geöst werden können. Für große Sprünge könnte der Einsatz von matrixabhängigen Proongationsoperatoren und Vergröberungen ähnich wie im eiptischen Fa zu robusten Verfahren führen. Dies

107 5.4. Numerische Ergebnisse 13 sote Gegenstand zukünftiger Forschung sein.

108 14 Kapite 5. Lösung des inearen Geichungssystems

109 Kapite 6 Adaptivität in Raum-Zeit Die numerischen Experimente in Abschnitt 4.4 dokumentieren, dass das Raum-Zeit Dünngitter Crank-Nicoson sowie das Euer und das Discontinuous-Gaerkin Verfahren mit stückweise inearen Ansatzfunktionen in der Zeit die geichen Feherreduktionsraten aufweisen, wie der entsprechende Interpoant des Ansatzraumes der exakten Lösung. Wie in Abschnitt 2.4 beschrieben, benötigen wir aerdings eine gewisse Reguarität der zu interpoierenden Funktion, um die entsprechenden Feherreduktionsraten zu erhaten. Die Lösungen der in dem Abschnitt 4.4 betrachteten paraboischen Probeme wiesen dabei aesamt die benötigte Gattheit auf. Wie die Diskussion in Abschnitt 3.2 gezeigt hat, erfüt die Lösung unter geeigneten Annahmen an das Gebiet, die rechte Seite, die Anfangs- und Randbedingungen des paraboischen Probems diese Gattheitsvoraussetzungen. Aerdings sind die Einschränkungen an das Gebiet und die Bedingungen an die rechte Seite, die Anfangs- und Randbedingungen in reaen Anwendungen nicht immer erfüt. Somit besitzt auch die Lösung der paraboischen Geichung unter Umständen eine geringere Gattheit. In diesem Fa verschechtern sich jedoch die Approximationsraten der entsprechenden Raum-Zeit Dünngitterräume. Somit benötigen wir zur Diskretisierung dieser Probeme wesentich mehr Freiheitsgrade um die geiche Größenordnung des Fehers, wie bei Probemen mit ausreichend gatten Lösungen, zu erhaten. Doch sebst wenn das betrachtete Probem eine genügend gatte Lösung u besitzt, kann die entsprechende Norm von u, die in der Interpoationsfeherabschätzung auftaucht, sehr groß sein. Wir erhaten dann zwar die von der Theorie vorhergesagten Reduktionsraten, aerdings ist der Feher auf dem gröbsten Gitter so groß, dass dennoch eine sehr feine Aufösung notwendig ist, um die gewünschte Genauigkeit zu erreichen. Abhife schaffen hier adaptive Diskretisierungsverfahren. Hierbei wird der Feher zwischen exakter und diskretisierter Lösung zunächst mit Hife so genannter a posteriori Feherschätzer bzw. Feherindikatoren geschätzt. Mit Hife dieser Information werden dann nur soche Freiheitsgrade zu der bestehenden Diskretisierung hinzugefügt, die den größten Einfuß auf den geschätzen Feher haben. Für eiptische 15

110 16 Kapite 6. Adaptivität in Raum-Zeit Probeme, insbesondere in dem Kontext Finiter Eemente, existieren eine Viezah an Arbeiten zu dem Thema Feherschätzer und adaptive Verfeinerung, vg. [115] und die Referenzen dort. Darüber hinaus wurden in den etzten Jahrzehnten auch zahreiche Fortschritte für die kassische Diskretisierung paraboischer Probeme mittes der Rothe- oder der Linienmethode erziet. Im Fa der Linienmethode, bei der zunächst der Raum mittes Finiter Eemente diskretisiert wird, kann das anfaende System gewöhnicher Differentiageichungen mit Hife herkömmicher adaptiver Zeitschrittverfahren geöst werden. Um bei dieser Vorgehensweise den Ortsfeher zu kontroieren, geangen herkömmiche Feherschätzer für eiptische Probeme zur Anwendung, vg. [2, 16, 17]. Die Interpretation der Rothe Methode, bei der zunächst die Zeit diskretisiert wird, kann abstrakt as Cauchy Probem in einem Funktionenraum aufgefasst werden [19, 2, 21]. Dabei wird die Diskretisierung der Ortsprobeme as Störung des diskreten Orbits des in der Zeit semidiskretisierten Probems interpretiert. Diese Störung muß soweit verkeinert werden, dass die Genauigkeit des semidiskreten Probems nicht verschechtert wird. Um die Genauigkeit der Ortsdiskretisierung zu steuern, können wiederum herkömmiche adaptive Verfahren für eiptische Probeme verwendet werden. Offensichtich wird bei den obigen Vorgehensweisen weiterhin zwischen Raum und Zeit unterschieden, was sich durch die Trennung der Feherschätzung und Adaption für die Ortsprobeme auf der einen Seite und die Zeitschrittweite auf der anderen Seite bemerkbar macht. In vieen Fäen ist es aerdings sinnvo, dass in manchen Regionen des Ortsgebietes größere Zeitschrittweiten verwendet werden as in anderen Regionen, was auch as oca time stepping bezeichnet wird. Die Trennung zwischen Raum und Zeit in der Feherschätzung ist daher nicht von Vortei, sondern edigich damit zu erkären, dass ein voes Raum-Zeit Gitter aufgrund der größeren Kompexität durch die zusätziche Zeitdimension im Vergeich zu stationären Probemen nicht mehr im Hauptspeicher des Computers zu behanden ist. Hier stoßen auch die Discontinuous-Gaerkin Methoden auf voen Gittern an ihre Grenzen. Obwoh forma zunächst nicht zwischen Raum und Zeit unterschieden wird, und daher Feherschätzer in Raum und Zeit sehr einfach zu konstruieren sind [49, 5], sind auf Grund des imitierten Hauptspeichers die Verfahren derart angeegt, dass am Ende wiederum nur eine Sequenz von stationären Probemen geöst werden muß. Aus diesem Grund ist eine wirkiche Raum-Zeit Adaptivität mit oca time stepping auch in diesem Kontext in der agorithmischen Umsetzung ausgesprochen aufwändig. Hier wird ein weiterer Vortei der Diskretisierung mit Hife der Raum-Zeit Dünngitter erkennbar. Da dank der geringen Dimension der Raum-Zeit Dünngitterräume keine expizite Trennung von Raum und Zeit notwendig ist, sondern nun die voe Raum-Zeit Diskretisierung im Hauptspeicher verwatet werden kann, ergibt sich durch das einfache Einfügen von Basisfunktionen von feineren Leven das oca time stepping auf natüriche Weise. Wir unterscheiden nicht zwischen einer Orts- oder

111 6.1. A posteriori Feherschätzer und Feherindikatoren 17 Zeitadaptivität, sondern erhaten bei richtiger Wah eines Feherschätzers oder Feherindikators ein Raum-Zeit adaptives Verfahren mit oca time stepping. In diesem Kapite diskutieren wir nun den Einsatz von Adaptivität im Kontext der Raum-Zeit Dünngitter. Hierzu übertragen wir in Abschnitt 6.1 einen Feherindikator, basierend auf den hierarchischen Überschüssen der diskreten Lösung, der für kassische Dünngitter sowoh bei eiptischen Probemen [29, 3, 92, 126] as auch bei paraboischen Probemen [5] gute Resutate geiefert hat. Dabei fogen wir im Wesentichen der Darsteung in [62] für kassische Dünngitter. Danach zeigen wir in Abschnitt 6.2 anhand einiger numerischer Ergebnisse, dass die Verwendung dieses Feherindikators zusammen mit einer geeigneten Verfeinerungsstrategie auch die effiziente Behandung paraboischer Probeme ermögicht, deren Lösung nicht die notwendigen Gattheitsvoraussetzungen aus Abschnitt 2.4 erfüen. In 6.3 untersuchen wir die Mögichkeit der Feherschätzung bzg. inearer Funktionae im Kontext der Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierungen und präsentieren in diesem Rahmen in Abschnitt 6.4 die Ergebnisse einiger numerischer Experimente. 6.1 A posteriori Feherschätzer und Feherindikatoren Wie in Abschnitt 2.4 bezeichne {ψ j,i } = {ψj Ω 1,i i ψj T 2,i 2 } eine Basis des Raum-Zeit Dünngitters. Wir beschreiben ein Raum-Zeit Dünngitter über eine Menge G von Mutiindizes der Basisfunktionen, weche das Dünngitter aufspannen. Zum Beispie besitzt das Raum-Zeit Dünngitter Ṽ die Indexmenge G = {(j, i) j 1, 1 i 1 dim W Ω j 1, 1 i 2 dim W T j 2 }. Weiterhin definieren wir für eine Basisfunktion ψ j,i die Menge H(ψ j,i ) der hierarchischen Söhne H(ψ j,i ) := {ψ j, ī ( j 1, j 2 ) = (j 1 + 1, j 2 ) oder ( j 1, j 2 ) = (j 1, j 2 + 1), ψ T j 1,i i > ψ T j 1,ī 1 oder ψ Ω j 2,i 2 > ψ Ω j 2,ī 2 }, (6.1) wobei > die in Abschnitt 4.3 definierte hierarchische Reation ist. Betrachten wir für eine Funktion u die unendiche Darsteung u = u j,i ψ j,i (6.2) j i bezügich der Basis ψ j,i in Raum-Zeit, so können wir diese unendiche Reihe abschneiden, indem wir für fest vorgegebenes ε > und eine gewähte Norm nur die Summanden u j,i ψ j,i beibehaten, die in der Norm gemessen größer sind as die Schranke ε, vg. [62]. Damit erhaten wir die Approximation u ε := u j,i ψ j,i (6.3) u j,i ψ j,i ε

112 18 Kapite 6. Adaptivität in Raum-Zeit mit dem Feher u u ε = u j,i ψ j,i <ε u j,iψ j,i. Somit bietet sich für eine fest gewähte Norm as Feherindikator die Größe γ j,i u j,i := ψ j,i u j,i (6.4) an, wobei γ j,i = ψ j,i die von der gewähten Norm abhängige Gewichtung des hierarchischen Koeffizienten darstet. Für gegebenes ε > ist jedoch weder die exakte Lösung u des Probems noch die Darsteung (6.3) von u ε bekannt, sondern edigich die approximierte Lösung u gegeben. Wir verwenden daher die Koeffizienten dieser approximierten Lösung in der Berechnung des Feherindikator. Haben wir nun eine feste Schranke ε > vorgegeben, so bestimmen wir zunächst die Indexmenge G + aer hierarchischen Söhne ψ j,i von Basisfunktionen des aktueen Dünngitters, für die der Feherindikator größer as die Schranke ε ist, d.h. G + := {( j, ī) (j, i) G so dass ψ j,ī H(ψ j,i ) und γ j,i u j,i ε}. (6.5) Wir erhaten dann die neue Indexmenge des verfeinerten Dünngitters durch G = G G +. Man beachte, dass bei diesem Vorgehen der Ort und die Zeit geichzeitig verfeinert werden. Entscheidenden Einfuss auf die Vergröberung hat die Wah des Parameters ε. Im Wesentichen gibt es zwei Mögichkeiten, diesen Parameter zu bestimmen. Man kann einerseits ε unabhängig von der aktue berechneten diskreten Lösung wähen, wobei in diesem Fa ε im Sinne von (6.3) as ein Maß für die gewünschte Genauigkeit der Approximation interpretiert werden kann [5, 62]. Hierbei ist aerdings a priori nicht zu entscheiden, ob das durch die Wah von ε vorherbestimmte adaptive Gitter tatsächich in den zur Verfügung stehenden Speicher passt. Der Adaptivitätszykus wird unter Umständen vor Erreichen der vorgegebenen Schranke abgebrochen und damit auch vor Erreichen des optimaen Gitters beendet. Ein socher Abbruch führt häufig zu Gittern, die die Singuarität mit der gegebenen Anzah Unbekannter nur schecht aufösen. Ist ε beispiesweise sehr kein, so erhaten wir bei frühzeitigem Abbruch nur ein sehr feines reguäres Raum-Zeit Dünngitter, das keinerei adaptive Struktur aufweist, was für viee Probeme in der Rege nicht optima ist. In [98] wird deshab vorgeschagen, für fest vorgegebenes ε zunächst mit einem größeren Startwert ε > ε zu beginnen. Es wird dann mit diesem ε der adaptive Zykus soange durchgeführt, bis keine neue Funktion mehr in den Raum aufgenommen wird. Der Wert ε wird dann um einen konstanten Faktor c < 1 verkeinert, und mit dem so entstandenen neuen Wert ε 1 := c ε wird der Verfeinerungsprozess erneut gestartet. Man erhät damit rekursiv eine Foge ε k und der Prozess wird abgebrochen, sobad ε ε git.

113 6.1. A posteriori Feherschätzer und Feherindikatoren 19 In [1] wird ein etwas anderes Verfahren vorgeschagen, das auch wir im Fogenden verwenden, bei dem der Parameter ε aus der aktue berechneten diskreten Lösung bestimmt wird. Hierzu definiert man ε max := max γ j,i u j,i, (6.6) (j,i) G, H(ψ j,i ) G d.h. wir wähen das Maximum der gewichteten Koeffizienten, die zu den Basisfunktionen gehören, deren hierarchische Söhne nicht bereits kompett in dem aktueen Raum-Zeit Dünngitter enthaten sind. Für fest gewähtes c < 1 erhaten wir dann ε := c ε max. (6.7) Das adaptive Verfahren wird abgebrochen, wenn entweder eine vorher fest vorgegebene maximae Schranke an Verfeinerungsschritten durchaufen wurde, oder wenn eine vorher festgeegte Zah an Unbekannten überschritten ist. Dieses Vorgehen ist anaog zu dem Agorithmus der Gitterverfeinerung bei Finiten Eementen, bei dem nur soche Eemente verfeinert werden, auf denen der Feherindikator oder Feherschätzer größer as das skaierte Maximum über ae Feherschätzer ist, siehe [3, 95, 114]. Insgesamt erhaten wir damit den Verfeinerungsagorithmus 6.1. Agorithmus 6.1 (Verfeinerungsagorithmus). 1. Gegeben: Schranke N der maximaen Anzah an Unbekannten bzw. maximae Anzah der Verfeinerungsschritte k max, Faktor c < 1, Ausgangsgitter G. 2. Setze k =. 3. Soange G < N und k < k max : (a) Berechne diskrete Lösung u k des paraboischen Probems bzg. des durch G beschriebenen Raum-Zeit Dünngitters. (b) Berechne ε max aus u k gemäß (6.6). (c) Setze ε := c ε max. (d) Berechne G + gemäß (6.5). (e) Setze k = k + 1 und G = G G +. Bisher haben wir die frei wähbare Norm noch nicht näher spezifiziert. Bei den Untersuchungen für kassische Dünngitter im Rahmen eiptischer Probeme werden dabei übicherweise die L 2 -, die L, die L 1 oder die H 1 -Norm verwendet. Für paraboische Probeme sind aerdings auch andere Normen denkbar, wobei die Orts- und Zeitabeitungen jeweis unterschiedich gewichtet werden, wie dies etwa bei den bereits betrachteten H 1, mix- und H(1,2),(, ) mix -Normen der Fa war. Da bei unseren

114 11 Kapite 6. Adaptivität in Raum-Zeit Tabee 6.1. Feher für die Crank-Nicoson Diskretisierung auf reguären Dünngittern verschiedener Leve für das Probem (6.8) mit Lösung u(x, t) = (x 2 + t 2 ) 1/3. e L ρ L e L 2 ρ L 2 e H 1 L 2 ρ H 1 L Untersuchungen die L -Norm zufrieden steende Resutate geiefert hat, woen wir uns in den fogenden Untersuchungen auf die Verwendung dieser Norm beschränken. Wir erhaten damit γ j,i = 1. as Gewichtung der hierarchischen Koeffizienten. 6.2 Numerische Ergebnisse Anhand einiger Beispiee untersuchen wir nun den in dem vorherigen Abschnitt diskutierten Verfeinerungsagorithmus. Dabei beschränken wir uns bei unseren Untersuchungen auf das Crank-Nicoson Verfahren. Numerische Experimente haben gezeigt, dass wir für das Discontinuous-Gaerkin Verfahren ähniche Ergebnisse erhaten, auf deren Präsentation wir aus Patzgründen deshab verzichten. Zu beachten ist, dass wir zur Fehermessung diesma nicht die Approximation ê := u u h des Fehers e := u u wie in Abschnitt 4.4 heranziehen können, da die betrachteten Funktionen u in der Rege nicht mehr die notwendigen Gattheitsanforderungen erfüen und somit der Interpoant u h auf dem zu Leve gehörenden voen Gitter die exakte Lösung u nicht mehr hinreichend genug approximiert. Stattdessen wähen wir ein sehr feines voes Gitter fest und verwenden den Interpoanten auf diesem voen Gitter. Hierbei ist ε so gewäht, dass die in dem resutierenden adaptiven Raum-Zeit Dünngitter enthatenen feinsten Basisfunktionen maxima zu einem Leve gehören, das mindestens noch zwei Leve über der Levetiefe des zur Fehermessung verwendeten voen Gitters ist. Zur Bestimmung des Parameters ε := c ε max verwenden wir in den fogenden Untersuchungen den Faktor c =.5. Beispie 6.1. Wir betrachten das Probem t u xx u = f in Ω = (, 1), u(x, ) = u (x) für ae x Ω, (6.8) u(x, t) = g(x, t) für ae t (, 1] und x Ω,

115 6.2. Numerische Ergebnisse 111 Reativer Feher L 2, reguär H 1 L 2, reguär L 2, adaptiv H 1 L 2, adaptiv x Anzah Unbekannter t Abbidung 6.1. Feher der adaptiven und reguären Crank-Nicoson Diskretisierung des Probems (6.8) gegen Freiheitsgrade (inks) und das nach 14 Verfeinerungsschritten resutierende Raum-Zeit Dünngitter (rechts). Abbidung 6.2. Startfeher (oben inks) und Feher nach 5 (oben rechts), 1 (unten inks) und 15 Verfeinerungsschritten der Crank-Nicoson Diskretisierung des Probems (6.8) ausgehend von Leve = 4.

116 112 Kapite 6. Adaptivität in Raum-Zeit Tabee 6.2. Feher für die Crank-Nicoson Diskretisierung auf adaptiven Dünngittern für das Probem (6.8) mit Lösung u(x, t) = (x 2 + t 2 ) 1/3. dof e L ρ L e L 2 ρ L 2 e H 1 L 2 ρ H 1 L wobei die rechte Seite, die Rand- und Anfangsbedingungen derart gewäht sind, dass wir as Lösung des Probems die Funktion u(x, t) = (x 2 + t 2 ) 1/3 erhaten. Für diese Funktion git zwar u H 5/3 ε (Ω T ), siehe z.b. [8], für beiebig keine ε >, die für die in Satz 2.12 angegebenen Interpoationsfeherabschätzungen notwendigen Gattheitsannahmen sind jedoch nicht erfüt. Da die numerischen Experimente des Abschnitts 4.4 gezeigt haben, dass sich die Diskretisierungsfeher wie die Interpoationsfeher verhaten, erwarten wir bei diesem Beispie eine Verschechterung der Konvergenzraten vergichen mit den Ergebnissen des Abschnitts 4.4. Tabee 6.1 enthät die Ergebnisse für die Crank-Nicoson Diskretisierung auf verschiedenen Leven. In der Tat sind die Ergebnisse schechter as in den Beispieen in Abschnitt 4.4. Für den Feher gemessen in der H (1,2),(,2) mix -Norm beobachten wir eine sehr geringe Reduktion. So iefert das Crank-Nicoson Verfahren von Leve = 4 zu Leve = 5 nahezu keine Reduktion des Feher und von Leve = 11 auf Leve = 12 wird der Feher edigich um.91 reduziert. Wir erinnern uns daran, dass wir für genügend gatte Funktionen in den früheren numerischen Experimenten für diese Norm Raten um die.5 erhaten haben. Auch für den Feher gemessen in der L 2 - und der L -Norm führt das Crank-Nicoson Verfahren zu schechteren Raten as in den vorherigen Beispieen. So erhaten wir beispiesweise eine Feherreduktion von Leve = 11 auf Leve = 12 von ρ L 2 =.57. Betrachten wir nun die in Tabee 6.2 dargesteten Ergebnisse des von Leve = 4 ausgehenden adaptiven Verfahrens. Hierbei sind aus Patzgründen die Ergebnisse nur für jeden zweiten Verfeinerungsschritt angegeben. Es fät zunächst auf, dass der Feher ebenfas recht angsam abzunehmen scheint. Aerdings handet es sich hier ja nicht um reguäre Diskretisierungen bzg. unterschiedicher Leve, sondern um Diskretisierungen auf unterschiedichen adaptiven Gitter, deren Freiheitsgrade bedeutend angsamer zunehmen as im reguären Fa. So besitzt der nach zwei Verfeinerungsschritten resutierende Raum-Zeit Dünngitterraum 166 Freiheitsgrade und

117 6.2. Numerische Ergebnisse 113 Tabee 6.3. Feher für die Crank-Nicoson Diskretisierung auf reguären Dünngittern verschiedener Leve für das Probem (6.8) mit Lösung u(x, t) = exp( (x.5) 2 /(t +.5)). e L ρ L e L 2 ρ L 2 e H 1 L ρ H 1 L e H 1 L 2 ρ H 1 L nach zwei weiteren adaptiven Verfeinerungen ist die Zah der Freiheitsgrade edigich um den Faktor 1.6 auf 257 Unbekannte gestiegen. Erinnern wir uns daran, dass bei reguären dünnen Gittern Ṽ im eindimensionaen Fa der Anstieg einen (bis auf einen ogarithmischen Faktor) Faktor zwei beträgt. Damit erhaten wir insgesamt ein wesentich besseres Kosten-Nutzen Verhätnis as bei der reguären Verfeinerung, d.h. wir erreichen mit wesentich weniger Freiheitsgraden einen keineren oder vergeichbar großen Feher wie bei den reguären Raum-Zeit Dünngitter. So iefert das adaptive Crank-Nicoson Verfahren mit 1675 Freiheitsgraden einen L 2 -Feher von und einen H (1,2),(,2) mix -Feher von , während wir im reguären Fa mit (Leve = 12) einen L 2 -Feher von und einen H (1,2),(,2) mix -Feher von erhaten. Besonders deutich ist dieser Unterschied zwischen dem adaptiven und dem reguären Verfahren in Abbidung 6.1 zu sehen, in dem der L 2 - und der H (1,2),(,2) - Feher in abhängig von den Freiheitsgraden gepottet ist. Zusätzich ist dort das nach acht adaptiven Verfeinerungsschritten resutierende Raum-Zeit Dünngitter zu sehen. Man sieht deutich, wie besonders zu dem Punkt (, ), in dem die Singuarität iegt, Freiheitsgrade eingefügt wurden. Dadurch wird erreicht, dass der Feher in dem Gebiet nahezu geichmäßig verteit ist. Dieser Effekt kann in Abbidung 6.1 beobachtet werden. Dort ist der Startfeher und der Feher nach 5, 1 und 15 Verfeinerungsschritten zu sehen. Beispie 6.2. Wir betrachten erneut das Probem (6.8) des vorigen Beispies, wobei wir jedoch die rechte Seite, die Anfangs- und die Randbedingung derart wähen, das wir as Lösung u(x, t) = exp( (x.5) 2 /(t +.5)) erhaten. Diese Funktion ist zwar unendich oft differenzierbar, besitzt aber zum Zeitpunkt t = einen sehr stark ausgeprägten Peak in x =.5, der bereits nach kurzer Zeit stark abfacht. Wir erwarten deshab asymptotisch, d.h. für großes, die geichen Feherreduktionsraten wie in Abschnitt 4.4. Aerdings könnte, bedingt durch

118 114 Kapite 6. Adaptivität in Raum-Zeit Tabee 6.4. Feher für die Crank-Nicoson Diskretisierung auf adaptiven Dünngittern ausgehend von einem reguären Dünngitter auf Leve = 3 für das Probem (6.8) mit Lösung u(x, t) = exp( (x.5) 2 /(t +.5)). dof e L ρ L e L 2 ρ L 2 e H 1 L ρ H 1 L e H 1 L 2 ρ H 1 L L, reguaer L L 2, reguaer L, adaptiv L L 2, adaptiv 1 H 1 L, reguaer H 1 L 2, reguaer H 1 L, adaptiv H 1 L 2, adaptiv Reativer Feher 1 2 Reativer Feher Anzah Unbekannter Anzah Unbekannter Abbidung 6.3. Feher der adaptiven und reguären Crank-Nicoson Diskretisierung des Probems (6.8) bzg. der L 2 - und der L -Norm (inks) und bzg. der H 1, mix- und H(1,2),(, ) mix -Norm (rechts) in Abhängigkeit von der Anzah benötigter Freiheitsgrade. den starken Peak, die Feherreduktion für keine Leve, d.h. in der Präasymptotik, durchaus schechter sein. In Tabee 6.3 sind die Ergebnisse der Crank-Nicoson Diskretisierung auf verschiedenen Leven aufgeführt. In der Tat ist die Feherreduktion für keinere Levezahen geringer as bei den früheren Experimenten in Abschnitt 4.4. Im Fa der L -Norm beobachten wir sogar einen eichten Anstieg des Fehers von Leve = 8 zu Leve = 9 von auf In Abbidung 6.4 sind die Feher der Diskretisierung für = 5 und = 6 dargestet und man erkennt deutich, dass der Feher ungeich über den Raum-Zeit Zyinder verteit ist und zu sehr frühen Zeitpunkten dominiert. Wir betrachten nun die in Tabee 6.4 dargesteten Ergebnisse des adaptiven Verfahrens, wobei wir as Ausgangseve für die adaptive Verfeinerung das Leve = 4

119 6.2. Numerische Ergebnisse 115 Abbidung 6.4. Feher der Crank-Nicoson Diskretisierung des Probems (6.8) mit Lösung u(x, t) = exp( (x.5) 2 /(t +.5)) auf Leve = 5 (inks) und = 6 (rechts). Tabee 6.5. Konvergenzergebnisse des Crank-Nicoson Verfahrens bei reguärer Verfeinerung für das Probem (6.9). e L ρ L e L 2 ρ L 2 e H 1 L ρ H 1 L e H 1 L 2 ρ H 1 L gewäht haben. Wir erhaten ein wesentich besseres Kosten-Nutzen Verhätnis as bei der reguären Verfeinerung. So beträgt der L -Feher im adaptiven Fa mit nur 745 Freiheitsgraden , während wir e L = auf dem reguären Dünngitter Ṽ 9, das 6145 Freiheitsgrade besitzt, erzieen. Dieser Unterschied wird besonders in Abbidung 6.3 deutich, in der die Feher der reguären und adaptiven Diskretisierungen in Abhängigkeit von der Zah der Freiheitsgrade dargestet sind. Abbidung 6.5 zeigt die bei einem von Leve = 3 ausgehenden Verfeinerungszykus entstandenen adaptiven Gitter und die dazugehörigen Feher. Man beobachtet dort, das zum einen feinere Zeitschritte zum Anfangszeitpunkt hin eingefügt werden, geichzeitig aber auch der Ort an der Stee des Peaks feiner aufgeöst wird. Dadurch verringert sich die Dominanz des Fehers an frühen Zeitpunkten und nach wenigen Verfeinerungsschritten ist der Feher nahezu geichmäßig über das gesamte Gebiet verteit. Beispie 6.3. As ein Beispie für Singuaritäten, die durch die Geometrie erzeugt

120 116 Kapite 6. Adaptivität in Raum-Zeit x t x t x t Abbidung 6.5. Feher (inks) und adaptives Raum-Zeit Dünngitter (rechts) für die Crank-Nicoson Diskretisierung des Probems (6.8) nach zwei (oben), vier (mitte) und sechs (unten) Verfeinerungsschritten ausgehend von Leve = 3. werden, betrachten wir das Probem t u u = f für ae x Ω = (, 1) 2, u(x, t) = g(x, t) für ae t (, 1] und x Ω, (6.9) u(x, ) = u (x) für ae x Ω.

121 6.2. Numerische Ergebnisse 117 Tabee 6.6. Konvergenzergebnisse des Crank-Nicoson Verfahrens bei adaptiver Verfeinerung ausgehend von dem reguären Raum-Zeit Dünngitter auf Leve = 3 für das Probem (6.9). dof e L ρ L e L 2 ρ L 2 e H 1 L ρ H 1 L e H 1 L 2 ρ H 1 L Reativer Feher L, reguär H 1 L, reguär L, adaptiv H 1 L, adaptiv x Anzah Unbekannter 1.5 x 1 t.5 1 Abbidung 6.6. Adaptives Raum-Zeit Dünngitter entstanden aus der adaptiven Verfeinerung von einem reguären Raum-Zeit Dünngitter auf Leve = 3 für das Probem (6.9) mit Lösung u(r, φ, t) = exp( t) r 2/3 sin( 2φ π 3 ). Wir wähen dabei die rechte Seite und die Randbedingungen so, dass wir die exakte Lösung u in Poarkoordinaten (r, φ) u(r, φ, t) = exp( t) r 2/3 sin( 2φ π ) 3 erhaten. Derartige Funktionen entstehen zum Beispie bei eiptischen Probemen durch eine einspringende Ecke. Für jedes feste t ist die Funktion edigich in H s mit s < 5/3 und erfüt daher nicht die Gattheitsannahmen, die wir zur Abschätzung der Dünngitter Interpoationsfeher benötigen. Im Gegensatz zu dem vorherigen Beispie erwarten wir daher im Agemeinen nicht die geichen asymptotischen Feherreduktionsraten, die bereits in Abschnitt 4.4 gemessen wurden. Tabee 6.5 zeigt die Ergebnisse der Crank-Nicoson Diskretisierung für verschiedene Leve. Die Feherreduktionsrate des L -Fehers ist dabei mit.63 unabhänig vom Leve besonders schecht. Es sei daran erinnert, dass wir bei genügender Gattheit für die Crank-

122 118 Kapite 6. Adaptivität in Raum-Zeit Nicoson Diskretisierung Reduktionsraten gemessen haben, die sich mit wachsendem Leve dem Wert.25 nähern. Ausgehend von dem reguären Raum-Zeit Dünngitter Ṽ 3 sind in Tabee 6.6 die Ergebnisse des adaptiven Verfahrens ausgehend. Besonders interessant ist der Vergeich der Kosten-Nutzen Reationen in Abbidung 6.6, in der der Feher in Abhängigkeit von der Anzah der Freiheitsgrade für verschiedene reguäre und adaptive Raum-Zeit Dünngitter bzg. der L - und der H (1,2),(, ) mix -Norm dargestet ist. Es ist deutich erkennbar, dass das adaptive Verfahren mit wesentich weniger Freiheitsgraden zu keineren Fehern as die reguäre Verfeinerung führt. In Abbidung 6.6 ist zusätzich das nach drei Verfeinerungsschritten resutierende adaptive Raum-Zeit Dünngitter dargestet. Wir beobachten hier, dass die Singuarität im Punkte x = (, ) zu aen Zeitpunkten erkannt und aufgeöst wird. 6.3 Adaptivität für ineare Funktionae In vieen Anwendungen ist man primär nicht an der Lösung u, sondern viemehr an dem Wert eines bestimmten Funktionas ( ) ausgewertet an der Stee u interessiert. Ein Beispie sind hier etwa Optimierungsprobeme, bei denen die paraboische Differentiageichung as Nebenbedingung auftritt. Eine Diskretisierung für diese Probeme sote demnach die Größe (u) (u ) berücksichtigen. Diese Aufgabensteung sote sebstverständich auch bei der adaptiven Behandung socher Probeme nicht außer Acht geassen werden. Insbesondere der Feherschätzer bzw. der Feherindikator muss dabei angepasst werden, so dass Feher nicht mehr bzg. einer Norm, sondern viemehr bzg. des Funktionas betrachtet werden. Die Feherschätzung bzg. inearer Funktionae hat daher in den vergangenen Jahren zunehmend an Bedeutung gewonnen und ist Gegenstand aktueer Forschung. Hierbei hat sich im Fa der Finiten Eemente vor aem der Ansatz der duaitätsbasierten Feherschätzer as besonders vie versprechend erwiesen [11, 13, 59], bei dem die Lösung eines duaen Probems zur Feherschätzung mit einbezogen wird. In Anehnung an diese duaitätsbasierten Feherschätzer für Finite Eemente ist in [32, 1] ein Feherindikator für die kassische Dünngitterdiskretisierung eiptischer Probeme zur Abschätzung des Fehers bzg. inearer Funktionae vorgeschagen worden. Hierbei werden die hierarchischen Koeffizienten mit den hierarchischen Koeffizienten der Lösung eines duaen Probems gewichtet. Wir möchten nun in diesem Abschnitt die in [32, 1] vorgeschagenen Heuristiken auf die Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierung übertragen. Hierbei beschränken wir uns auf den Fa der Crank-Nicoson Diskretisierung, deren Behandung etwas schwieriger ist as die Untersuchung für das Discontinuous-Gaerkin Verfahren, da es sich um ein Petrov-Gaerkin Verfahren handet. Insbesondere assen sich die fogenden Überegungen eicht auf den Discontinuous-Gaerkin Fa übertragen. Des Weiteren behanden wir zur Vereinfachung der Darsteung nur den Fa homoge-

123 6.3. Adaptivität für ineare Funktionae 119 ner Anfangsbedingungen u = und homogener Dirichet Randbedingungen. Für L 2 (Ω T ) betrachten wir das durch (φ) := (, φ) L 2 (Ω T ) definierte Funktiona ( ) auf L 2 (Ω T ). Sei u die Lösung des paraboischen Probems in schwacher Form (3.8). Wir bezeichnen mit u V,Ansatz die Lösung des mit dem Crank-Nicoson Verfahren aus Abschnitt (4.1) diskretisierten paraboischen Probems, d.h. nach (4.4) git B(u, ϕ) = T (f, ϕ) für ae ϕ V,T est, wobei V,Ansatz der aus der inearen hierarchischen Basis in der Zeit und der (d-),t est inearen hierarchischen Basis im Ort und V der aus der stückweise konstanten hierarchischen Basis in der Zeit und der (d-) inearen hierarchischen Basis im Ort konstruierte Dünngitterraum ist. Bei dem zu (3.8) adjungierten Probem suchen wir nun ein z, das ( t z, ϕ) L 2 (Ω) + a(t; ϕ, z) = (ϕ) für ae ϕ H 1 (Ω), t (, T ] z(t, ) =, f.ü. in Ω, (6.1) z(x, t) =, für ae t (, T ] und x Ω. erfüt. Nach weiterer partieer Integration des Terms mit der Zeitabeitung (hierbei nutzen wir aus, dass ϕ(x, ) = für ae ϕ V,Ansatz git) erhaten wir das,t est diskretisierte Probem: Finde z V so dass B(ϕ, z ) = T (, ϕ) für ae ϕ V,Ansatz (6.11) git und z die Endzeitnurandbedingung sowie die homogene Dirchetrandbedingung erfüt. Man beachte, dass wir zur Diskretisierung des adjungierten Probems die Wah des Ansatz- und Testraumes vertauscht haben, d.h. der Ansatzraum für das Ursprungsprobem ist nun der Testraum für das adjungierte Probem und umgekehrt ist der Testraum für das ursprüngiche Probem nun der Ansatzraum des adjungierten Probems. Mit Hife dieser Roenvertauschung erhaten wir B(u u, z ) =, was wir nun ausnutzen woen. Offensichtich git für die Lösung z des adjungierten Probems (6.1) B(ϕ, z) = T (, ϕ) für ae ϕ H(Ω) 1 L 2 ((, T )), ϕ(x, ) =, und damit insbesondere für ae ϕ V,Ansatz. Wir erhaten für den Feher e := u u und mit B(u u, z ) = fogt (e ) = (u u ) = B(u u, z) (e ) = B(u u, z z ). (6.12)

124 t 12 Kapite 6. Adaptivität in Raum-Zeit L Feherindikator, L L Feherindikator, e(p) Punkt Feherindikator, L Punkt Feherindikator, e(p) Feher Anzah Unbekannter x Abbidung 6.7. Links: Ergebnisse der adaptiven Raum-Zeit Dünngitter Crank-Nicoson Diskretisierung des Beispies 6.4 bei Verwendung des Absoutwertes der hierarchischen Koeffizienten as Feherindikator und des duaen Feherindikators (6.14). Rechts: Das ausgehend von dem reguären Raum-Zeit Dünngitter Ṽ 5 nach sechs Verfeinerungsschritten mit Hife des duaen Feherindikators resutierende Raum-Zeit Dünngitter. In [32] wird nun für kassische Dünngitter im Fa von eiptischen Probemen vorgeschagen, die Biinearform B(, ) durch die Diagonae der diskretisierten Biinearform und den Feher e z := z z des adjungierten Probems sowie den Feher e durch den Absoutwert der hierarchischen Koeffizienten der diskreten Lösungen u = (j,i) G u j,i ϕ j,i und z = (j,i) G z j,i ψ j,i zu ersetzen. Wir erhaten mit diesem Vorgehen (e ) u j,i b j,i z j,i, (6.13) (j,i) G wobei b j,i := B(ψ j,i, ψ j,i ). Motiviert durch (6.13) verwenden wir dann die Größen η j,i := u j,i b j,i z j,i (6.14) as Feherindikator. Man beachte, dass die obigen Überegungen nur as Motivation für die Wah des Indikators η j,i dienen soen und einer strengen mathematischen Prüfung nicht standhaten. Die fogenden numerischen Ergebnisse zeigen jedoch, dass dieser Feherindikator in der Praxis gute Resutate iefert. 6.4 Numerische Ergebnisse Beispie 6.4. Wir betrachten das eindimensionae Standardprobem t u xx u = f in Ω = (, 1), u(x, ) = u (x) für ae x Ω, (6.15) u(x, t) = g(x, t) für ae t (, 1] und x Ω,

125 6.4. Numerische Ergebnisse 121 wobei die rechte Seite und die Randbedingung derart gesetzt sind, dass wir as exakte Lösung x u(x, t) = sin(π t +.1 ) erhaten. Aerdings sind wir nun nicht mehr an dem Feher innerhab des gesamten Gebietes (bzg. einer fest vorgegeben Norm), sondern edigich an der Kontroe des Fehers in dem Punkt p = (x, t ) = (.9,.5) interessiert. Hierzu wähen wir das Funktiona (u) = u(p), indem wir as die Dirac Distribution an diesem Punkt einsetzen. Man beachte, dass in unserem Fa die exakte Lösung punktauswertbar ist, weshab wir hier so vorgehen können. Ist die Lösung nicht bekannt und ist demnach auch unkar, ob die Lösung punktauswertbar ist, ersetzt man in der Rege die Dirac Distribution durch eine so genannte moification, vg. [89]. Wir vergeichen die Ergebnisse des adaptiven Verfahrens bei Verwendung des Feherindikators aus Abschnitt 6.1 (Absoutwert des hierarchischen Koeffizienten der diskreten Lösung) und des duaen Feherindikators (6.14). In Abbidung 6.7 sind der Punktfeher in dem Punkt p sowie der Feher bzg. der L -Norm in Abhängigkeit von der Zah der Freiheitsgrade dargestet. Während der adaptive Zykus bei Verwendung des duaen Feherindikators den Feher gemessen in der L -Norm nur in dem ersten Verfeinerungsschritt verkeinert und danach nicht weiter verringert, ist der Feher im Punkt p bei nahezu geicher Anzah an Freiheitsgraden wesenticher keiner as im Fa der adaptiven Verfeinerung mittes des hierarchischen Koeffizienten. Das adaptive Dünngitter nach sechs Verfeinerungsschritten ist in Abbidung 6.7 zu sehen. Wie zu erwarten war, ist das Gitter nur für Zeiten t.5 verfeinert worden, da spätere Zeitpunkte den Feher im Punkte p nicht mehr beeinfussen. Ferner ist erkennbar, dass der größte Tei der Verfeinerung nur für x.5 stattgefunden hat, da nur soche Werte einen großen Einfuss auf den Feher im Punkte p haben. Beispie 6.5. Wir untersuchen nun die Verfeinerung mittes des duaen Feherschätzers anhand des zweidimensionaen Probems aus Beispie 6.3 mit Lösung u(r, φ, t) = exp( t) r 2/3 sin( 2φ π ). Wir wähen für x 3 = (.9,.9) das Funktiona (u) = T u(x, t) dt, d.h. wir sind daran interessiert, den Feher an der Stee x im integraen Mitte über die Zeit mögichst kein zu haten. Die Ergebnisse für den duaen Feherindikator (6.14) und den Feherindikator aus Abschnitt 6.1 bzg. der L -Norm und bzg. des Funktionas sind aus Abbidung 6.5 ersichtich. Wie schon im vorherigen Beispie wird der L -Feher bei Verfeinerung mittes des duaen Feherindikators kaum reduziert. Betrachten wir hingegen den Feher im Kostenfunktiona, so beobachten wir eine stärkere Reduktion des Fehers pro Freiheitsgrad bei Verwendung des duaen Indikators as bei Verwendung des Absoutwertes des hierarchischen Koeffizienten. Somit erhaten wir beispiesweise einen Feher von bzg. des Kostenfunktiona für 2242 Unbekannte bei Verwendung des duaen Feherschätzers, während die Verwendung des Absoutwertes der hierarchischen Koeffizienten zu einem Feher mit 22 Unbekannten

126 122 Kapite 6. Adaptivität in Raum-Zeit L Feherindikator, L L Feherindikator, e(p, ) L 1 Reativer Feher Linien Feherindikator, L Linien Feherindikator, e(p, ) L y Anzah Unbekannter 1.5 x t.5 1 Abbidung 6.8. Links: Ergebnisse für die adaptive Raum-Zeit Dünngitter Crank-Nicoson Diskretisierung des Beispies 6.5 bei Verwendung der hierarchischen Koeffizienten as Feherindikator und des duaen Feherindikators. Rechts: Das ausgehend von Ṽ 4 nach sechs Verfeinerungsschritten mit Hife des duaen Feherindikators resutierende Raum-Zeit Dünngitter für Beispie 6.5. führt. Abbidung 6.5 zeigt zusätzich das ausgehend von Ṽ 4 nach acht Verfeinerungsschritten resutierende Raum-Zeit Dünngitter bei Verwendung des duaen Feherindikators. Es ist offenkundig, dass nun, obwoh die Singuarität der Lösung im Nupunkt iegt, nicht zu der Singuarität, sondern zu dem Punkt (.9,.9) verfeinert wird, an dem wir mit dem gewähten Funktiona den Feher messen. In diesem Kapite haben wir Adaptivität für die Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierungen untersucht. Hierbei haben wir sowoh einen Feherindikator basierend auf den hierarchischen Koeffizienten der diskreten Lösung as auch einen mit Hife der diskreten Lösung des duaen Systems konstruierten Feherindikator zur Feherschätzung bzg. inearer Funktionae entwicket. Insbesondere führt die Verfeinerung des Raum-Zeit Dünngitters mit den vorgesteten Feherindikatoren zu Gittern, die das so genannte oca time stepping beinhaten, d.h. wir erhaten an unterschiedichen Orten unterschiedich feine Zeitaufösungen. Dieses oca time stepping bereitet bei kassischen Diskretisierungsverfahren sowoh unter dem Bickwinke der Feherschätzung, as auch unter dem Gesichtspunkt der Agorithmik erhebiche Schwierigkeiten. Die durch die Adaptivität mit Hife der beiden Feherindikatoren erzieten Resutate der numerischen Ergebnisse sind dabei sehr vie versprechend und zeigen, dass wir mit dem adaptiven Raum-Zeit Dünngitterverfahren ein effizientes Verfahren zur Lösung von Probemen mit nichtgatten Lösungen erhaten.

127 Kapite 7 Instationäre verteite Kontroprobeme In der Praxis werden häufig Probeme betrachtet, bei denen nicht nur eine Größe u, sondern mehrere Größen u 1,..., u n auftreten. Wir erhaten dann ein System paraboischer Geichungen. Dabei sucht man eine vektorwertige Funktion u = (u 1,..., u n ), so dass n n n t u xi ( a ij (x, t) xj u + A i (x, t)u) + B i (x, t) xi u + A(x, t)u = f (7.1) i=1 j=1 für gegebene a ij (x, t) R, 1 i j, A i (x, t), B i (x, t), A(x, t) R n, 1 i n und f(x, t) R n git, und vorgegebene Anfangs- und Randbedingungen erfüt sind. Unter ähnichen Voraussetzungen wie für den in Kapite 3 vorgesteten skaaren Fa besitzt das Probem eine eindeutige Lösung, vg. [82]. Wir können Probeme der Art (7.1) mit den in Kapite 4 beschriebenen Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierungen ösen, indem wir nun für jede Unbekannte u i einen eigenen Ansatz- und Testraum definieren. Im Fogenden iustrieren wir diese Vorgehensweise an dem Beispie von instationären Kontroprobemen. Der Abschnitt 7.1 gibt zunächst eine kurze Einführung in instationäre verteite Kontroprobeme. Danach beschreiben wir in Abschnitt 7.2 wie die bisher betrachteten Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierungen von skaaren Geichungen auf den Fa von Systemen paraboischer Geichungen und insbesondere von instationären Kontroprobemen veragemeinert werden können. Dabei beschränken wir uns in unseren Untersuchungen auf die Crank-Nicoson Diskretisierung, da sich die Discontinuous-Gaerkin Diskretisierung anaog auf den Systemfa übertragen äßt. Wir zeigen schießich exemparisch an einigen numerischen Ergebnissen, dass wir bei der Diskretisierung der instationären Kontroprobeme die geichen Konvergenzraten, sowoh für den Zustand as auch für die Kontroe, wie bei den skaaren Probemen erhaten. In Abschnitt 7.3 behanden wir die Lösung der aus der Diskretisierung entstandenen diskreten Optimaitätssysteme. Dabei sind die vorgesteten Löser Erweite- 123 i=1

128 124 Kapite 7. Instationäre verteite Kontroprobeme rungen des Gauß-Seide Verfahrens bzw. des Waveform-Gauß-Seide Verfahrens. Die numerischen Ergebnisse des Abschnitts zeigen, dass wir mit diesen Erweiterungen ähnich gute Konvergenzresutate für die diskreten Kontroprobeme wie im Fa der skaaren Probemen erhaten. Abschießend geben wir in Abschnitt 7.4 einen kurzen Ausbick auf die adaptive Diskretisierung der instationären verteiten Kontroprobeme und beenden den Abschnitt sowie dieses Kapite mit einigen Beispierechnungen. 7.1 Instationäre Kontroprobeme Oftmas werden paraboische Geichungen geöst, um die Auswirkungen eines von außen beeinfussbaren Parameters auf das Gesamtverhaten des Systems zu studieren. Zie ist es dabei, den Parameter in dem Sinne optima zu wähen, dass die Lösung der Geichung bzw. das Verhaten des Systems einem vorher festgeegten Verhaten mögichst ähnich ist. Diese Aufgabensteung kann as ein instationäres Kontroprobem mathematisiert werden, d.h. as Optimierungsprobem, bei dem die paraboische Differentiageichung as Nebenbedingung auftritt. As Beispiee sind hier etwa inverse Probeme zur Bestimmung von in den Geichungen vorkommenden Materiaparametern mit Hife einiger Messwerte zu nennen. Zur Lösung socher Optimierungsprobeme ist dabei as Teiprobem sehr häufig ein System paraboischer Geichungen zu ösen, das eine interessante Struktur aufweist: Während einige (skaare) Geichungen dieses Systems in der Zeit vorwärts aufen, sind andere Geichungen in der Zeit rückwärts gerichtet. Diese Struktur des Systems stet für die numerische Lösung dieser Probeme eine besondere Herausforderung dar. Um soche Systeme, bei denen miteinander gekoppete skaare Vorwärtsund Rückwärtsgeichungen auftreten, zu ösen, müssen Lösungen einzener skaarer Geichungen zu beiebigen Zeitpunkten auswertbar sein. Damit dies auf dem Computer schne durchführbar ist, müssen ae Werte zu den berechneten Zeitpunkten im Hauptspeicher gehaten werden. Aufgrund der hohen Zah (O(N d+1 ) bzw. O(N d+2 ) bei uniformer Verfeinerung in Raum und Zeit) an Freiheitsgraden des voen Raum- Zeit Gitters werden dabei schne die Grenzen des technisch Machbaren erreicht. Aus diesen Gründen ist die Fragesteung nach effizienten Verfahren zur Lösung paraboischer Geichungen insbesondere innerhab der instationären Kontroprobeme Gegenstand aktueer Forschung. Dabei ist es nicht nur von Bedeutung, dass die paraboischen Geichungen effizient geöst, sondern dass die berechneten Lösungen (zum Beispie die der Zustandsvariaben) auch zu beiebigen Zeitpunkten schne ausgewertet werden können (um beispiesweise innerhab des Lösungsprozesses für die zu der adjungierten Variaben gehörenden skaaren Geichung verwendet zu werden). Für Vogitterdiskretisierungen sind dabei insbesondere zwei Methoden entwicket worden. Eine Verfahrenskasse zur Reduktion des Speicheraufwands sind die so ge-

129 7.1. Instationäre Kontroprobeme 125 nannten reduced order modes [74, 81], die aus der Lösung des zeitabhängigen Probems an wenigen Zeitpunkten, so genannten snapshots, die für die Lösung wichtigsten Orts-Moden berechnen. Dies führt zu wenigen Funktionen im Ort, die die Lösung (hoffentich) gut über die Zeit approximieren können. Mit Hife dieser wenigen Funktionen werden nun die anfaenden paraboischen Probeme geöst. Wie erwähnt muß dazu aerdings zunächst ein instationäres Probem zu Beginn geöst werden und es kann sogar notwendig sein, während der Optimierung die errechneten Moden um neue zu ergänzen, so dass auch dann wieder ein paraboisches Probem mit den oben beschriebenen Verfahren geöst werden muß. Ein weiteres Verfahren ist das so genannte checkpointing [69], bei dem die Lösung der paraboischen Geichung an verschiedenen, wenigen Zeitpunkten abgespeichert wird. Zur Berechnung der Lösug an einem Zeitschritt, der nicht abgespeichert wurde, wird das paraboische Probem von dem Zeitpunkt aus geöst, der dem gesuchten Zeitpunkt am nächsten ist, wobei die dort abgespeicherte Lösung as Anfangswert verwendet wird. Die Diskussion zeigt, wie schwierig die Behandung von instationären Kontroprobemen mit kassischen Diskretisierungsverfahren auf voen Gittern aufgrund der hohen Kompexität ist. Für die Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierungen, bei denen ae Freiheitsgrade und somit die Funktion in Raum-Zeit kompett im Hauptspeicher des Rechners verwatet werden können, stoßen wir nicht auf die beschriebenen Probeme Verteite Kontroprobeme Bei verteiten Kontroprobemen versucht man, über eine Veränderung der rechten Seite das System in einen gewünschten Zustand einzusteen. Bezeichnen wir mit z den gewünschten Zustand und sei γ > vorgegeben, so suchen wir eine Kontroe u L 2 (Ω T ), so dass das Kostenfunktiona J(, ) J(y, u) := 1 2 y z 2 L 2 (Ω T ) + γ 2 u 2 L 2 (Ω T ), (7.2) unter der Nebenbedingung t y + L(t)y = f + u für ae x Ω, t (, T ], (7.3) y(x, t) = auf Ω (, T ], (7.4) y(x, ) = y (x) für ae x Ω (7.5) minimiert wird. Für eine eingehendere Diskussion und agemeinere Kostenfunktionae verweisen wir an dieser Stee auf [84]. Bezeichnen wir mit L (t) die Adjungierte von L(t) und nehmen wir an, das die zu L(t) gehörige Sesquiinearform a(t;, ) die Bedingungen A1 und A2 des Abschnitts 3.2 erfüt, so ist eine Lösung (y, u) des

130 126 Kapite 7. Instationäre verteite Kontroprobeme Kontroprobems durch das System t y + L(t)y = f + u für ae x Ω, t (, T ], t p + L (t)p + (y z) = für ae x Ω, t [, T ), γu p = in Ω T mit den zugehörigen Randbedingungen y(x, t) = auf Ω (, T ], y(x, ) = y (x) für ae x Ω, p(x, t) = auf Ω [, T ), p(x, T ) = für ae x Ω, charakterisiert [84]. Nutzen wir die Reation γu = p zwischen der Kontroe u und dem Lagrangeparameter p, der übicherweise auch as Adjungierte bezeichnet wird, aus, so erhaten wir schießich das System mit den Randbedingungen t y + L(t)y 1 p = f für ae x Ω, t (, T ], γ (7.6) t p + L (t)p + (y z) = für ae x Ω, t [, T ), (7.7) y(x, t) = auf Ω (, T ], y(x, ) = y (x) für ae x Ω, (7.8) p(x, t) = auf Ω [, T ), p(x, T ) = für ae x Ω. (7.9) Somit kann eine Lösung des ursprüngichen verteiten Kontroprobems (7.2) mit den Nebenbedingungen (7.3), (7.4) und (7.5) durch die Lösung des Systems (7.6), (7.7) mit den entsprechenden Randbedingungen bestimmt werden. Bevor wir im nächsten Abschnitt die Diskretisierung dieses Systems behanden, möchten wir an dieser Stee kurz die Roe des Parameters γ diskutieren. Verschiedene Werte für den Parameter γ führen zu unterschiedichen Optimierungsprobemen und damit zu unterschiedichen Lösungen. As erstes Beispie betrachten wir auf Ω T = (, 1) 2 das Kontroprobem 1 min (y,u) 2 y sin(4πx/(t + 1)) 2 L 2 (Ω T ) + γ 2 u 2 L 2 (Ω T ) mit (7.1) y(x, t) = auf Ω (, 1], (7.11) y(x, ) = sin(4πx) für ae x (, 1). (7.12) Dabei verwenden wir für γ die Werte 2 1 3, 1 3, 5 1 4, Abbidung 7.1 zeigt die entsprechenden numerisch berechneten Resutate für den Zustand y und die Kontroe u. Man sieht deutich, dass die betragsmäßig größten Funktionswerte der Kontroe u mit keiner werdendem γ wachsen. Dieser Effekt ist auch zu erwarten, da für keiner werdendes γ der Einfuss der Kontroe auf das Kostenfunktiona

131 7.1. Instationäre Kontroprobeme 127 Abbidung 7.1. Zustand y (inke Spate) und Kontroe u (rechte Spate) für das Kontroprobem (7.11) mit γ = 2 1 3, 1 3, 5 1 4, (von oben nach unten).

132 128 Kapite 7. Instationäre verteite Kontroprobeme abnimmt. Geichzeitig nähert sich zu dem Endzeitpunkt T = 1 der Zustand y immer mehr dem gewünschten Zustand z(x, t) = sin(4πx/(t + 1)). Wie wir sehen, beeinfusst die Wah des Parameters γ sowoh den Zustand as auch die Kontroe. Geichzeitig bestimmt die Größe des Parameters die Stärke der Koppung zwischen dem Zustand und der Kontroe über die Geichung (7.6). Die Stärke der Koppung kann aerdings Auswirkungen auf die Resutate der zugrunde iegenden numerischen Verfahren haben, wie beispiesweise auf das Konvergenzverhaten des inearen Lösers. Aus diesen Gründen ist die Frage nach einem typischen Wertebereich für den Parameter γ interessant. Wird der Parameter γ as Reguarisierungsparameter interpretiert, der edigich eingeführt wird, um die Lösbarkeit des Optimierungsprobems zu garantieren, wird man bestrebt sein, γ so kein wie mögich zu wähen. Aerdings äßt sich der Term γ 2 u 2 L 2 (Ω T ) auch as die Kosten für die Kontroe u interpretieren, die sich beispiesweise direkt auf die Kosten eines Produktionsprozesses (Energieaufwand) auswirken. Aus diesem Bickwinke betrachtet hat der Anwender von Fa zu Fa γ sebst zu wähen, wobei nun je nach Anwendung γ keinesfas sehr kein sein muß. Wir werden in dem Abschnitt zur Lösung der diskreten Optimaitätsprobeme auf diese Diskussion zurückkommen. 7.2 Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierung instationärer verteiter Kontroprobeme Wir beschäftigen uns nun mit der Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierung des durch (7.6) und (7.7) beschriebenen Systems. Die Crank-Nicoson Diskretisierung dieses Vorwärts-Rückwärts Systems erhaten wir ohne große Modifikationen. Sei wie in Abschnitt 4.1 Ṽ,Ansatz der aus der hierarchischen Basis im Ort und der inearen hierarchischen Basis in der Zeit konstruierte Raum-Zeit Dünngitterraum Ṽ,T est sowie Ṽ der Dünngitterraum, bei dem wir in der Zeit die stückweise konstante Basis verwendet haben. Dann erhaten wir as Raum-Zeit Dünngitter Crank-Nicoson Diskretisierung das diskrete Probem: Finde y, p Ṽ,Ansatz die die homogenen Rand- und Anfangs- bzw. Endbedingungen sowie B(y, ϕ) 1 γ (p, ϕ) L 2 (Ω T ) = B (p, ϕ) + (y, ϕ) L 2 (Ω T ) = T T (f, ϕ) dt ϕ (z, ϕ) dt ϕ Ṽ,T est, (7.13) Ṽ,T est (7.14)

133 7.2. Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierung 129 mit B(v, w) := B (v, w) := T T ( t v, w) + a(t; v, w) dt ( t v, w) + a(t; w, v) dt erfüen. Bei der Discontinuous-Gaerkin Diskretisierung müssen wir aerdings den spezieen Rückwärtscharakter der Geichung (7.7) berücksichtigen. Zudem sind wir an den Werten der adjungierten Variaben zum Zeitpunkt t = interessiert, an dem die stückweise konstanten oder inearen Funktionen forma nicht definiert sind. Für festes N unterteien wir das Interva [, 1) nun in 2 Teiintervae I k, 1 k 2, Ĩ k = [(k 1)2, k2 ) und betrachten anaog zu Abschnitt 2.3 Mutieve-Zeregungen in stückweise konstante oder ineare Funktionen, die nun im Gegensatz zu Abschnitt 2.3 rechts- und nicht mehr inksseitig stetig sind. Sei V,y der aus der stückweise konstanten oder inearen hierarchischen Basis in der Zeit und der hierarchischen Basis im Ort konstruierte Raum-Zeit Dünngitterraum Ṽ und V,p der Dünngitterraum, bei dem wir stattdessen die Zeregung in rechtsseitig stetige, stückweise konstante bzw. ineare Funktionen in der Zeit verwendet haben. Dann autet die Discontinuous-Gaerkin Diskretisierung des Optimierungsprobems: Gesucht sind y V,y, p V,p, die die homogenen Anfangs- bzw. Endbedingungen, die homogenen Randbedingungen sowie B(y, ϕ) 1 γ (p, ϕ) L 2 (Ω T ) = (f, ϕ) L 2 (Ω T ) für ae ϕ V,y, B (p, ϕ) + (y, ϕ) L 2 (Ω T ) = (z, ϕ) L 2 (Ω T ) für ae ϕ V,p mit B(v, w) := B (v, w) := N N 1 ( t v, w) L 2 (Ω) + a(t; v, w) dt + ([v] k, w + k ) L 2 (Ω), k=1 I k k= N N ( t v, w) L 2 (Ω) + a (t; v, w) dt ([v] k, w k ) L 2 (Ω) I k k=1 k=1 und (p ) + N := erfüen. Für die effiziente Anwendung des Matrix-Vektorproduktes (und den von dem Mutieveöser benötigten Operationen) äßt sich das in Abschnitt 4.3 diskutierte Unidirektionae Prinzip ohne besondere Schwierigkeiten auf den Systemfa übertragen.

134 13 Kapite 7. Instationäre verteite Kontroprobeme Tabee 7.1. Konvergenz der Raum-Zeit Dünngitter Crank-Nicoson Diskretisierung für die Kontroe u = 1 2 p und den Zustand y für das Probem (7.15) mit d = 1. e L ρ L e L 2 ρ L 2 e H 1 L ρ H 1 L e H 1 L 2 ρ H 1 L 2 Zustand y Kontroe u Tabee 7.2. Konvergenz der Raum-Zeit Dünngitter Crank-Nicoson Diskretisierung für die Kontroe u = 1 2 p und den Zustand y für das Kontroprobem (7.15) mit d = 2. e L ρ L e L 2 ρ L 2 e H 1 L ρ H 1 L e H 1 L 2 ρ H 1 L 2 Zustand y Kontroe u Numerische Ergebnisse Wir untersuchen nun anhand einiger numerischer Experimente die Konvergenzeigenschaften der Crank-Nicoson Dünngitterdiskretisierung für das durch (7.6) und (7.7) beschriebene Optimaitätssystem.

135 7.2. Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierung 131 Tabee 7.3. Konvergenz der Raum-Zeit Dünngitter Crank-Nicoson Diskretisierung für die Kontroe u = 1 2 p und den Zustand y für das Kontroprobem (7.15) mit d = 3. e L ρ L e L 2 ρ L 2 e H 1 L ρ H 1 L e H 1 L 2 ρ H 1 L 2 Zustand y Kontroe u Ebenso wie in Abschnitt 4.4 messen wir den Feher zwischen der Lösung des diskreten Probems und der Interpoierenden auf dem entsprechenden voen Raum- Zeit Gitter. Hierzu betrachten wir für d = 1, 2, 3 das Probem t y y 1 γ p = f für ae x Ω := (, 1)d, t (, 1], (7.15) t p p + y = z für ae x Ω, t [, 1) mit den homogenen Anfangs- und Randbedingungen y(x, t) = auf Ω (, 1], y(x, ) = für ae x Ω, p(x, t) = auf Ω [, 1), p(x, 1) = für ae x Ω. Dabei wähen wir γ = 1 2 und die rechte Seite f sowie den bevorzugten Zustand z derart, dass wir as Lösung y(x, t) = exp( t) d x i sin(π t +.5 ), p(x, t) = 1 2 (1 t) 2 i=1 d x i (1 x i ) erhaten. Tabee 7.1 enthät die Ergebnisse für den Zustand y und die Kontroe u = 1 2 p im Fa d = 1. Wir beobachten im Wesentichen das geiche Verhaten des Fehers wie bei den numerischen Experimenten des Abschnitts 4.4 für die skaaren Probeme. Sowoh für die Kontroe as auch für den Zustand iefert das Verfahren - und der H(1,2),(, ) mix -Norm eine Feherreduktion ρ.5. Für die L 2 - und die L -Normen erreichen wir bei diesem Beispie sogar etwas bessere Feherreduktionsraten as in den früheren numerischen Experimenten. So beträgt die Feherreduktionsrate bzg. der L 2 -Norm für den Zustand y bei den betrachteten Leven etwa.2, während wir für die Kontroe eine Reduktion von.26 erreichen. Wir erwarten dennoch, dass sich die Reduktion bzg. der L 2 -Norm asymptotisch dem Wert ρ =.25 nähert. bzg. der H 1, mix i=1

136 132 Kapite 7. Instationäre verteite Kontroprobeme Für den Fa d = 2 sind die entsprechenden Ergebnisse in Tabee 7.2 abgebidet. Auffäig ist, dass sich die Reduktionsraten bzg. der H 1, mix-norm für den Zustand dem Wert ρ =.5 mit steigender Levezah von unten nähern. Insgesamt verhät sich auch in diesem Fa das Crank-Nicoson Verfahren wie bei den früher betrachteten skaaren Probemen. Auch für das dreidimensionae Probem, für das die Ergebnisse in Tabee 7.3 zu finden sind, iefert das Crank-Nicoson Verfahren das geiche Konvergenzverhaten wie in Abschnitt 4.4. Die Ergebnisse deuten darauf hin, dass wir das Raum-Zeit Dünngitterprinzip mit wenig Aufwand zur Diskretisierung von in der Zeit gekoppeten Vorwärts-Rückwärts Geichungen der Art (7.6) und (7.7) verwenden können. Hierbei ändert sich das Konvergenzverhaten im Vergeich zu dem skaaren Fa nicht. Dabei haben wir uns in unseren Untersuchungen auf die Crank-Nicoson Diskretisierung beschränkt. Aerdings ist das geiche Verhaten ebenfas für die Discontinuous-Gaerkin Diskretizierung in Experimenten zu beobachten. Daher verzichten wir an dieser Stee aus Patzgründen auf die Darsteung der Ergebnisse. Wir untersuchen nun im nächsten Abschnitt, wie die bei der Diskretisierung der Optimaitätssysteme anfaenden inearen Geichungssysteme geöst werden können. 7.3 Die Lösung des diskretisierten Optimaitätssystems Um die bei der Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierung von (7.6) und (7.7) anfaenden inearen Geichungssysteme zu ösen, können wir erneut Mutieve-Iterationsverfahren, wie in Kapite 5 beschrieben, aus kassischen Iterationsverfahren über dem Erzeugendensystem konstruieren. Hierbei ist aerdings darauf zu achten, dass die anfaenden Geichungssysteme aus der Diskretisierung eines System von paraboischen Differentiageichungen stammen und nicht mehr nur aus einer einzigen skaaren Geichung hervorgehen. Im Fa geometrischer Mehrgittermethoden hat sich für soche Probeme oftmas herausgestet, dass Gätter, die für die Lösung der Diskretisierung skaarer Probeme im Mehrgitterzykus funktionieren, für den Systemfa angepasst werden müssen [18], um ähnich gute Konvergenzresutate zu iefern. Dies ist insbesondere dann der Fa, wenn die Koppung zwischen den einzenen Geichungen besonders stark ist. An dieser Stee ist bei den instationären verteiten Kontroprobemen dem Reguarisierungsparameter γ besondere Bedeutung beizumessen, da er die Stärke der Koppung beeinfußt. Die Arbeiten [22, 23, 24] zeigen für die Lösung mittes Raum-Zeit Mehrgitterverfahren zur Lösung kassischer Diskretisierungen auf voen Gittern der obigen Optimaitätssysteme, dass man nur unter dem Einsatz eines spezieen Gätters bzg. des Parameters γ robuste Verfahren erhät. Diese Gätter beruhen auf der zweimaigen Anwendung des Bock-Gauß-Seide Verfahrens. Hierbei iegen die zu dem geichen Zeit- und Ortsgitterpunkt gehörigen Unbekannten der Adjungierten und des

137 7.3. Die Lösung des diskretisierten Optimaitätssystems 133 Zustands in dem geichen Bock. Die zu dem Zustand gehörigen Freiheitsgrade werden dabei durch ein Bock-Gauß-Seide Verfahren, das die Unbekannten in der Zeit vorwärts durchäuft, reaxiert, während die zur Adjungierten gehörigen Freiheitsgrade durch ein Bock-Gauß-Seide Verfahren, das in der Zeit das System rückwärts durchäuft, korrigiert werden. Dieser Ansatz äßt sich ohne Schwierigkeiten auf die Mutieveverfahren des Kapites 5 übertragen. Ein Nachtei ist dabei jedoch, dass durch die zwei separaten Bock-Reaxationen bzg. der Adjungierten und des Zustands die resutierenden Löser doppet so viee Rechenoperationen pro Freiheitsgrad benötigen, wie die Löser für die skaaren Probeme. Aus diesem Grund möchten wir auf den Verfahren des Kapites 5 beruhende aternative Lösungsverfahren vorsteen, die den geichen Rechenaufwand wie die skaaren Löser besitzen, dabei aerdings nicht robust bzg. des Reguarisierungsparameters γ sind. In den numerischen Experimenten hat sich jedoch herausgestet, dass wir für Werte γ 1 3 noch gute Konvergenzresutate erhaten. Wie die Diskussion bzg. des Parameters γ in Abschnitt gezeigt hat, sind wir damit in der Lage, eine Viezah von Probemen zu ösen, bei denen die Kontroe tatsächich Kosten verursacht und dementsprechend γ nicht beiebig kein gewünscht wird. Um voständig robuste Verfahren zu erhaten, soten aerdings in Zukunft gemäß [22, 23, 24] entsprechend modifizierte, auf das Kapite 5 basierende, Mutieveöser entwicket und untersucht werden. Bei der Weiterentwickung des Gauß-Seide und des Waveform-Gauß-Seide Verfahren zur Lösung der diskreten Optimaitätssysteme sote beachtet werden, dass der Lagrangeparameter p rückwärts in der Zeit durch die Geichung (7.7) bestimmt wird, was auch in der Durchaufreihenfoge des zugrunde iegenden Iterationsverfahrens berücksichtigt werden muß. Zunächst unterteien wir die Unbekannten in zwei Mengen. Eine Menge enthät ae zur adjungierten Variaben gehörenden Unbekannten, während die andere Menge aus aen zum Zustand gehörenden Freiheitsgraden besteht. Damit erhaten wir das 2 2-Bocksystem ( L E yy L E py L E yp L E pp ) ( y p ) = ( f z ) (7.16) wobei L E yy die Diskretisierung von B(, ) bzg. des für den Zustand y verwendeten Erzeugendensystems und entsprechend L E pp die Diskretisierung von B (, ) bzg. des für die Adjungierte gewähten Erzeugendensystems sind. Die Böcke auf den Nebendiagonaen sind dementsprechend die Diskretisierungen der Koppungsterme 1 (, ) γ L 2 (Ω T ) und (, ) L 2 (Ω T ). Wir könnten versuchen, das Bock-Systems mit Hife eines Bock-Gauß-Seide Verfahrens mit inexaktem Bock-Löser zu ösen. Hierbei würden sich die Mutieveverfahren des Kapites 5 as Teiprobemöser anbieten. Wir erwarten jedoch, dass die Konvergenzeigenschaften dieser Methode sehr stark von der Struktur der Nebendiagonaböcke und damit von der Größe des Parameters γ abhängen. Aus diesem Grund reaxieren wir stattdessen mit einem Teischritt des

138 134 Kapite 7. Instationäre verteite Kontroprobeme Gauß-Seide oder des Waveform-Gauß-Seide Verfahrens abwechsend jeweis immer nur eine Unbekannte in jedem Bock. Dabei durchaufen wir die zur adjungierten Variaben gehörigen Unbekannten rückwärts in der Zeit. Je nachdem, ob wir das Gauß-Seide oder das Waveform-Gauß-Seide Verfahren dabei verwenden, sprechen wir für das resutierende Verfahren zur Vereinfachung wiederum von dem Gauß-Seide bzw. Waveform-Gauß-Seide Verfahren. Beispie 7.1. Wir betrachten das Probem t y y 1 γ p = f für ae x Ω := (, 1)d, t (, 1], t p p + y = z für ae x Ω, t [, 1) mit γ = 1 3, f = sowie homogenen Rand- und Anfangs- bzw. Endzeitbedingungen. Dementsprechend ist die exakte Lösung des mit dem Crank-Nicoson Verfahren diskretisierten Probems durch den Nuvektor gegeben. As Startwert verwenden wir einen Zufasvektor, der derart normiert ist, das die eukidische Norm des Residuums dem Wert eins entspricht. Die Abbidung 7.2 zeigt die Ergebnisse für das Gauß-Seide und das Waveform- Gauß-Seide Verfahren mit d = 1, 2, 3. Wir beobachten im wesentichen das geiche Konvergenzverhaten wie für die skaaren Probeme des Abschnitts 5.4. Während sich die Konvergenz des Waveform-Gauß-Seide Verfahrens mit wachsender Ortsdimension verangsamt, konvergiert das Gauß-Seide Verfahren für festes Leve mit von d unabhängigen Konvergenzraten. Aerdings beobachten wir für beide Verfahren keine Unabhängigkeit der Konvergenzrate von der Levetiefe der Diskretisierung. Dieser Effekt ist bereits in Abschnitt 5.4 für skaare Probeme diskutiert worden, wobei sich herausstete, dass eine Kombination aus beiden Verfahren, wobei wir zunächst eine Vorwärtsiteration des Gauß-Seide Verfahren und dann eine Rückwärtsiteration des Waveform-Gauß-Seide Verfahrens ausführen, zu eveunabhängigen Konvergenzraten führt. Diesen Effekt beobachten wir auch in Abbidung 7.3, in der die entsprechenden Resutate für die Kombination aus beiden Verfahren dargestet sind. 7.4 Adaptivität Zum Abschuss dieses Kapites geben wir in diesem Abschnitt einen Ausbick auf den Einsatz von Adaptivität bei der Diskretisierung instationärer verteiter Kontroprobeme. Adaptivität für die Diskretisierung von Kontroprobemen mittes Finiter Eemente ist Gegenstand reger Forschung [11, 12, 14]. Im Bereich von kassischen Dünngitterdiskretisierungen sind zu diesem Thema bisher keinerei Untersuchungen angestet worden. Aus diesen Gründen würde eine tiefer gehende Behandung von Adaptivität im Kontext der Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierung von Kontroprobemen sicherich den Rahmen der voriegenden Arbeit sprengen.

139 7.4. Adaptivität Residuum =4 =5 =6 =7 =8 =9 2 Residuum =4 =5 =6 =7 =8 = iter iter 2 Residuum =4 =5 =6 =7 =8 =9 2 Residuum =4 =5 =6 =7 =8 = iter iter =4 =5 = =4 =5 =6 2 Residuum Residuum iter iter Abbidung 7.2. Konvergenzhistorie des Gauß-Seide (inks) und des Waveform-Gauß-Seide Verfahrens (rechts) für die Raum-Zeit Dünngitter Crank- Nicoson Diskretisierung auf verschiedenen Leven des Probems (7.15) und d = 1 (oben), d = 2 (mitte), d = 3 (unten). Stattdessen möchten wir einen keinen Einbick geben, wie ohne einen Mehraufwand mit den bestehenden Datenstrukturen und Feherindikatoren instationäre Kontroprobeme adaptiv behandet werden können. Hierzu benötigen wir zunächst einen Feherindikator bzw. Feherschätzer. Die oben zitierten Arbeiten geben dazu im Kontext Finiter Eemente Feherschätzer an, die die Größe J(y, u) J(y, u ) zwischen der exakten Lösung (y, u) und der

140 136 Kapite 7. Instationäre verteite Kontroprobeme 2 Residuum =4 =5 =6 =7 =8 =9 =1 2 Residuum =4 =5 =6 =7 =8 = iter iter =4 =5 =6 2 Residuum iter Abbidung 7.3. Konvergenzhistorie des aus dem Gauß-Seide und dem Waveform-Gauß-Seide Verfahren kombinierte Iterationsverfahrens für die Raum- Zeit Dünngitter Crank-Nicoson Diskretisierung auf verschiedenen Leven des Probems (7.15) für d = 1 (inks oben), d = 2 (rechts oben), d = 3 (unten). approximierten Lösung (y, u ) abschätzen. Die dort beschriebenen Ansätze assen sich im Wesentichen ähnich wie im Fa der Feherschätzung bzg. inearer Funktionae des Abschnitts 6.3 zur Konstruktion von Feherindikatoren für die Raum-Zeit Dünngitter Diskretisierung instationärer Kontroprobeme heranziehen. Zur Demonstration der grundsätzichen Funktionsweise der adaptiven Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierung verwenden wir jedoch den in Abschnitt 6.1 vorgesteten, auf den hierarchischen Koeffizienten der diskreten Lösung basierenden Feherindikator. Die Konstruktion anderer Feherindikatoren sote Gegenstand zukünftiger intensiver Untersuchungen sein. Wir beschränken unsere Darsteung auf den Fa der Crank-Nicoson Diskretisierung, bei dem sowoh der Ansatz- as auch der Testraum für die adjungierte Variabe und den Zustand jeweis geich sind. Die Überegungen können aerdings direkt auf die Discontinuous-Gaerkin Diskretisierung übertragen werden. Wie in Abschnitt 6.1 sei G die Menge von Mutiindizes, die beschreibt, weche

141 7.4. Adaptivität 137 Basisfunktionen {ψ j,i } zur Diskretisierung des Zustands y und der Adjungierten p herangezogen werden soen. Wir verwenden aso eine gemeinsame Indexmenge, d.h. das geiche Gitter zur Diskretisierung der adjungierten Variaben und des Zustands. Es wäre durchaus auch denkbar, die beiden Größen auf zwei verschiedenen Gittern zu diskretisieren. Wie ein späteres Beispie zeigen wird, kann es tatsächich vorkommen, dass für die Adjungierte und den Zustand in jeweis unterschiedichen Regionen des Gebietes das Gitter verfeinert werden muß. Aerdings ist die Anzah der Rechenoperationen pro Freiheitsgrad des in Abschnitt 4.3 behandeten Unidirektionaen Prinzips zur Berechnung des Matrix-Vektor Produktes im Fa getrennt verwateter Gitter geich der Zah an Rechenoperationen für ein Gitter, das aus der Vereinigung der beiden Gitter besteht. Eine separate Verwatung von zwei Gittern bringt daher keine Reduktion bezügich des Rechenaufwands. Man würde aso bei zwei Gittern edigich weniger Unbekannte benötigen und den damit verbundenen Speicher sparen. Geichzeitig steigt für zwei Gitter vergichen mit nur einem Gitter der Verwatungsaufwand und der Speicherpatzbedarf, so dass bei der Verwendung zweier Gitter unter Umständen zwar weniger Unbekannte, jedoch ein ähnicher Speicherpatz benötigt wird und zusätzich die Rechenzeit ansteigt. Aus diesen Gründen verwenden wir im Fogenden für beide Größen ein gemeinsames adaptives Raum-Zeit Dünngitter. Wir verfogen nun im Wesentichen die geiche Strategie wie in Abschnitt 6.1: Sind ein Gitter G und dazugehörige Lösungen der Diskretisierung y G = (j,i) y j,iψ j,i und p G = (j,i) p j,iψ j,i gegeben, so berechnen wir für gegebene γ j,i, ε p, ε y > die Menge G + durch G + := {( j, ī) (j, i) G so dass ψ j,ī H(ψ j,i ) und γ j,i p j,i ε u oder γ j,i y j,i ε y }. Hierbei kann γ j,i je nach der Norm, bzg. der wir den Feher verringern möchten, variieren. Wie in Abschnitt 6.1 wähen wir für unsere Betrachtungen γ j,i = 1. Im Gegensatz zum skaaren Fa benötigen wir nun anstee von einem Parameter zwei Parameter ε p, ε y, die wir anaog zum skaaren Fa für c < 1 fest gewäht durch ε p := c max γ j,i p j,i, ε y := c max γ j,i y j,i, (7.17) (j,i) G, (j,i) G, H(ψ j,i ) G H(ψ j,i ) G berechnen. Wir erhaten damit das neue Gitter as die Vereinigung des aten Gitters mit dem Gitter G +, G = G G +. Beispie 7.2. Wir betrachten das Probem t y xx y p = für ae x Ω := (, 1), t (, 1], t p xx p + y = x 2 (1 + t) 2 für ae x Ω, t [, 1),

142 t t 138 Kapite 7. Instationäre verteite Kontroprobeme x 1 x Abbidung 7.4. Mit der Raum-Zeit Dünngitter Crank-Nicoson Diskretisierung berechnete Lösung zu Beispie 7.2. Es sind dargestet: Links oben der Surface- Pot des Zustand, rechts oben der Surface-Pot der Kontroe, inks unten Kontourfächen des Zustands und rechts unten Kontourfächen der Kontroe. mit den Randbedingungen y(x, ) = x für ae x Ω, y(, t) = für ae t (, T ], y(1, t) = 1 für ae t (, T ], p(x, T ) = für ae x Ω, p(x, t) = auf Ω [, 1). Bedingt durch die Anfangsbedingung y(x, ) = x besitzt y zum Zeitpunkt t = an der Stee x = eine Singuarität. Wir erwarten daher eine Verfeinerung des Gitters zu diesem Punkt. Die Ziefunktion z = x 2 (1+t) 2 nimmt auf dem Gebiet [, 1] [, 1] ihr Maximum im Punkte (x, t) = (1, 1) an und es git z(1, 1) = 4. Zusätzich fixiert die Randbedingung den Zustand y in diesem Punkt auf den Wert 1. Um dies zu kompensieren, wird die Kontroe vermutich die größten Werte in einem Gebiet in der Nähe dieses Punktes annehmen. Da durch die Randbedingung in diesem Punkt die Kontroe auf gesetzt ist, iegt die Vermutung nahe, dass in einer Region um den Punkt (1, 1) die Kontroe sehr große Abeitungen besitzt. Daher sote das adaptive

143 t t t t 7.4. Adaptivität x x x x Abbidung 7.5. Von einem reguären Dünngitter auf Leve 4 nach 4 (inks oben), 7 (rechts oben), 1 (inks unten) und 13 (rechts unten) Verfeinerungsschritten resutierendes Raum-Zeit Dünngitter für Beispie 7.2. Verfahren das Gitter zusätzich in der Nähe des Punktes (1, 1) verfeinern. Wir wähen für den adaptiven Zykus zur Bestimmung der Schranken ε y und ε p in (7.17) c =.7 und starten mit einem reguären Dünngitter auf Leve = 4. Abbidung 7.4 zeigt die Ergebnisse der nach 13 Verfeinerungsschritten resutierenden adaptiven Raum-Zeit Dünngitter Crank-Nicoson Diskretisierung. Hierbei ist deutich zu sehen, dass die Kontroe in der Nähe des Punktes (1, 1) große Abeitungen besitzt. Die in Abbidung 7.5 dargesteten adaptiven Dünngitter sind, wie vermutet, besonders in der Nähe der Eckpunkte (, ) und (1, 1) fein aufgeöst. Ziehen wir hingegen nur die hierarchischen Koeffizienten des Zustands y zur Verfeinerung heran, wird das Dünngitter vornehmich in Richtung des Eckpunktes (, ) verfeinert, während wir bei Verfeinerung nach den Koeffizienten der Adjungierten p ein zum Punkt (1, 1) feiner aufgeöstes Gitter erhaten. Dies ist in Abbidung 7.6 gut zu erkennen, in der die nach 1 adaptiven Verfeinerungsschritten resutierenden Dünngitter, bei denen jeweis nur die hierarchischen Koeffizienten von y bzw. p zur Verfeinerung verwendet wurden, dargestet sind.

144 14 Kapite 7. Instationäre verteite Kontroprobeme x t x t Abbidung 7.6. Von einem reguären Dünngitter auf Leve 4 nach 1 Verfeinerungsschritten resutierendes adaptives Dünngitter bei Verwendung der hierarchischen Koeffizienten der Kontroe (inks) und des Zustands (rechts) as Feherindikator für Probem 7.2. Abbidung 7.7. Das Gebiet Ω aus Beispie 7.3 mit einem Beispiegitter. Beispie 7.3. Wir betrachten das Probem t y y 1 3 p = für ae x Ω, t (, 1], t p p + y = 1 für ae x Ω, t [, 1), mit homogenen Anfangs- bzw. Endzeit- und Randbedingungen auf dem Gebiet Ω, das zusammen mit einem Beispiegitter in Abbidung 7.7 dargestet ist. Wir erwarten durch die homogenen Randbedingungen an den einspringenden Ecken des Gebietes, das sowoh der Zustand as auch die Kontroe an diesen Punkten besonders große Abeitungen besitzen. Das adaptive Verfahren sote dementsprechend Gitter erzeugen, die zu den einspringenden Ecken feiner aufgeöst sind. Abbidung 7.8 zeigt den durch das adaptive Crank-Nicoson Verfahren mit c =.5 nach fünf Verfeinerungsschritten berechneten Zustand y zum Zeitpunkt t =.2 und t = 1.. Die dazugehörige Kontroe ist in Abbidung 7.9 zu den Zeitpunkten t = und t =.8 zu sehen. Das entsprechende adaptive Raum-Zeit Dünngitter ist

145 7.4. Adaptivität 141 Abbidung 7.8. Der mit dem adaptiven Raum-Zeit Dünngitter Crank- Nicoson Verfahren nach fünf Verfeinerungsschritten berechnete Zustand y zu den Zeitpunkten t =.2 (inks) und t = 1. (rechts). Abbidung 7.9. Die mit dem adaptiven Raum-Zeit Dünngitter Crank- Nicoson Verfahren nach fünf Verfeinerungsschritten berechnete Kontroe u zu den Zeitpunkten t = (inks) und t =.8 (rechts). in Abbidung 7.1 dargestet. Wie oben diskutiert, ist das Gitter besonders an den einspringenden Ecken verfeinert Beispie 7.4. Zum Abschuß dieses Kapites betrachten wir auf dem Gebiet Ω = ( 1, 1) 3 \ ( 1, ) 3 die adaptive Diskretisierung des dreidimensionaen Sattepunktprobems t y y 1 3 p = für ae x Ω, t (, 1], t p p + y = 1 für ae x Ω, t [, 1), mit homogenen Rand- und Anfangs- bzw. Endzeitbedingungen. Durch die einspringende Ecke und die Nurandbedingungen erwarten wir, dass sowoh die Kontroe as auch der Zustand im Nupunkt die benötigte Reguarität nicht erfüen. Man beachte, dass durch die hohe Kompexität kassischer Diskretisierungsverfahren die direkte Diskretisierung eines sochen Sattepunktprobems in drei Ortsdimensionen in bisherigen Arbeiten noch nicht betrachtet wurde. Wir verwenden zur Lösung das adaptive Raum-Zeit Dünngitter Crank-Nicoson Verfahren ausgehend von Leve = 3 mit vier Verfeinerungsschritten, wobei wir c =.5 gewäht haben.

146 142 Kapite 7. Instationäre verteite Kontroprobeme x x 1 Abbidung 7.1. Nach fünf Verfeinerungsschritten resutierendes Raum- Zeit Dünngitter (oben) und Ausschnitt des Gitters zum Zeitpunkt t= (unten) für Beispie 7.3. Abbidung 7.11 zeigt einige Isofächen für den Zustand y zum Zeitpunkt t = 1. und in Abbidung 7.12 sind Isofächen der Kontroe zum Zeitpunkt t = dargestet. In diesem Kapite haben wir die Veragemeinerung der Raum-Zeit Dünngitterdiskretisierungen für ineare skaare paraboische Probeme auf den Systemfa diskutiert. Hierbei haben wir uns auf die Diskretisierung der Sattepunktsformuierung von instationären verteiten Kontroprobemen as Beispie für ein System paraboischer Geichungen konzentriert. Durch die speziee Struktur der Sattepunktsprobeme, bei denen miteinander gekoppete Vorwärts- und Rückwärtsgeichungen auftreten, zerfaen kassische Diskretisierungsverfahren nicht mehr in Zeitschritt-

147 7.4. Adaptivität 143 Abbidung Isofächen für den mittes des adaptiven Raum-Zeit Dünngitter Crank-Nicoson Verfahrens berechneten Zustand y des Beispies 7.4. Abbidung Isofächen für die mittes des adaptiven Raum-Zeit Dünngitter Crank-Nicoson Verfahrens berechnete Kontroe u des Beispies 7.4.