Zur Frage der h-konvergenz bei C - Verschiebungs-Elementen

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1 TECHNISCHE MECHANIK 9(1988)Heft3 Manuskripteingang: Zur Frage der h-konvergenz bei C - Verschiebungs-Eementen J. Herrbruck. Agemeines Aus der Anwendung der Finite-Eemente-Methode (FEM) ist bekannt, daß isoparametrische Co-Verschie bungs-eemente die verzerrungsfreie Starrkörperbewegung nicht erfüen. Ein Poynom-Verschiebungsansatz in kartesischen Koordinaten erfüt zwar die verzermngsfreie Starrkörpertransation, nicht aber die verzerrungsfreie Starrkörperrotation [] [4]. Wenn man Poynom-Verschiebungsansätze in einem a gemeinen Koordinatensystem (KS) zugrunde egt. muß man davon ausgehen, daß sowoh die Starrkörpertransation as auch die Starrkörperrotation einen inkorrekten Verzerrungszustand erzeugen. Diese Fakten wirken sich ungünstig auf die Konvergenz der F EM-Lösung aus. Andererseits ist es bei der Bearbeitung von Aufgaben mit spezieem Profi [2], [3] mit» unter zweckmäßig, mit einem Verschiebungsansatz in einem nichtkartesischen Koordinatensystem zu arbeiten. Je besser die Approximationsfunktion, die mögicherweise in einem nichtkartesischen KS definiert werden kann, die anzunähernde Fedgröße beschreibt, um so genauer ist die FEM-Lösung. Sacharov [] schägt das MSKE vor. Danach wird das Approximatiorispoynom so modifiziert, daß die Verzerrungsanteie infoge Starrkörperbewegung (Transation und Rotation) von vornherein verschwinden. Etwa der geiche Effekt äßt sich dadurch erreichen, daß man aus fertigen Steifigkeitsbeziehungen die Quasisteifigkeiten, wie im Abschnitt 3 gezeigt wird, eiminiert. Sofern eine tensoriee Formuierung voriegt, git die Summationsverabredung, daß über paarweise kovariant und kontravariante Indizes von bis 3 summiert wird. Matrizen sind durch [..] und Spatenvektoren {..gekennzeichnet. 2. Nachweis der h-konvergenz für C -Verschiebungseemente bei Verschiebungsansätzen in agemeinen Koordinaten Für isoparametrische finite Eemente mit Verschiebungsansätzen in kartesischen Koordinaten wird in [4] die h-konvergenz nachgewiesen. Die Praxis beim Einsatz dieser Eemente bestätigt diesen Sachverhat. In einem kartesischen Koordinatensystem x wird das Verschiebungsfed durch den Vektor V '.e (1) beschrieben (vg. Bid. ). Dieser Vektor wird auf die Basisvektoren zum KS uj Bid Koordinatensysteme. Basisvektoren é i" N. "i V Ei ' Vi g zeregt. Damit erhät man die Transformationsbeziehun gen: ri = V]. auj/axi, (2) Vi z vk Öxi/Önk. (3) M V öx 1 Bx ax 3 _ V3) ä: %ix3 g'xua V3 Die äquivaenten Beziehungen im Matrixkakü auten; {V} = [T3xu {vk} I [T3ux] {VJ}. (6) Für ein FE mit n Knoten git, fogende Transformationsvorschrift der Knotenverschiebungen: {V} [T3x u ]4 M, SV}, - [73 xu 12 gng I '[T3xu], m 229

2 Spezie am m-ten Knoten git: {v} m = [T3xum {vk} m. (8) Für isoparametrische Eemente wird zunächst für das Verschiebungsfed (in kartesischen Koordinaten) der Ansatz {v} = "EI Fm [I3] {7}, (9) as ein nterpoationsansatz angesehen, der die h-konvergenz erfüt. Dabei bedeuten: Fm Formfunktion. bezogen auf den Knoten m, [3] (3,3)-Einheitsmatrix. IK1{ }= {R}={ } - <16) Ist der Kraf_t_vektor {R} infoge der Starrkörperknotenbewegung{ ö} nicht geich dem Nuvektor, dann ist in der Steifigkeitsmatrix [K] eine Quasisteifigkeit enthaten. Diese Quasisteifigkeit beeinfußt die Konvergenz einer FEM-Lösung ungünstig. Nachfogend wird gezeigt, wie mit dem Kriterium (16) eine eventue vorkommende Quasisteifigkeit entdeckt und danach eiminiert werden kann. Setzt man jetzt (8) in (9) ein, so erhät man: n [T3xu] {vk} = E Fm [T3xum { Vk} m. (10) m= Durch Linksmutipikation mit [T3xu 3 [Täux] () ergibt sich: {vk} = n 2 Fm [Tm] [T3xu]m { 1 } m. (12) m= Damit ist eine Interpoationsvorsehrift für die kontravarianten Koordinaten des Versehiebungstensors gege ben, die auf einem Verschiebungsansatz in kartesisehen Koordinaten beruht. Für hinreichend keine FE git: [T3ux] [T3xum z [13]. Übrige Beziehung stet die skaaren Produkte der kon travarianten Basisvektoren Ei in einem beiebigen Punkt innerhab eines finiten Eementes mit den kovarianten Basisvektoren Ek im Knoten m dar. Auf den geichen Punkt bezogen git: 91» _ j _öujöxi g g 5 - ~. - k k öx'öuk (14) ö'k ist dabei das KroneckerSymbo. Mithin sind für keine Eemente der nterpoationsansatz (9) und die Beziehung {vk} z mi Fm [I3] {vk} m (13) geichwertig Der oben geführte Beweis für einen Verschiebungsansatz in den kontravarianten Koordinaten des Verschiebungstensors äßt sich anaog auf die kovarianten und die physikaisr:h-teehniscben Koordinaten sowie auf zweidimensionae Probeme übertragen. 3. Eimination von Quasisteifigkeiten Es hat sich gezeigt, da3 für den Aufbau von Steifigkeitsbeziehungen oftmas Programme verwendet werden. die die verzerrungsfreie Starrkörperbewegung nicht hinreichend sichern. Das kann durch fogende Beziehung geprüft werden : 230 Bid 2 Starrkörperhewegungen D_e_.r Verschiebungsvektor infoge Starrkörperbewegung {ö} für ein FE mit n Knoten (vg. Bid 2) Iäßt sich in der Form { 8 } [z] {s} (17> darsteen. Darin bedeuten: _{ä} ={wi, w; w' wv'z W;}T (18) "{5} 2 {Wk 7 2~ W3. 1,w2. 3}T, (19) «pi Starrkörperrotation um die kartesische Achse x'; Starrkörpertransaion in Richtung der karte-u sisehen Achse x ; w. * Verschiebung am Knoten n in Richtung der kartesisehen Achse x'; ~ agemeine Verschiebungskoordinate am Knoten n, bezogen auf die Koordinate uj; xk kartesische Knotenkoordinate xi am Knoten k. Die Matrix wird in die Submatrizen [Zi] zeregt: [e = H211", [221T,...[z 1 1. V (20) Die Submatrix [Zk] = [TR] [A] (21) ergibt sich aus der Transformationsbeziehung (21). Die Matrix

3 x. >'<u Q A O O I -_0 r [K111 [K12] is} (22) [K221 [K1e bezieht sich auf den k-ten Knoten des FE. Die Matrix [Tk] ist die Transformationsmatrix der Knotenverschiebungen am k ten Knoten: ~k~vk~k _ k_k_k [w w2,w3] w2 w3][tk]. {R} = {s} (33) {E} Dabei geten fogende Abkürzungen: [K111 = 5(31T[E1[81 dv. (34) [K121 z {WIT [E1 [B] dv = [Kuz], (35) <23) Der Verschiebungsvektor { ö} infoge einer Beastun setzt sich aus dem Vektor der Starrkörperbewegung{ Ö [K221 = ; FBI [E ﬁdv = [21T [K11][Z]= [K1e [2], und einem Vektor{3} der Restverschiebungen zusam- <36) V men. Aus (7) fogt: {ö} ={5}+ {ä} [z]{s}+{ }. (24) {R} = {f} (37) {E} -1e {f}. (38) Die Matrix [K11] nach (33) ist identisch mit der SteifigDie Verzerrungen { 7} assen sich mit den Verschiebun- keitsmatrix [K] eines FE, wie sie ohne besondere Berück- gen {wk} durch die Operatormatrix [D] verknüpfen: sichtigung der Starrkörperbewegung entsteht. Das Besondere des Verfahrens besteht darin, daä die Eemente der Matrix [Z] konstant sind und demzufoge aus {7} = [D] {wk}. (25) Mit dem In terpoationsansatz {wk} = {ms} = [F][2]{s} + [F] {ä} dem Integranden nach (18) bis (20) herausgenommen (26) werden können. Die Matrizen [K12] und [K22] sind Funktionen der kartesischen Knotenkoordinaten und der Steifigkeitsmatrix ([F] Matrix der Formfunktionen) ergibt sich: Durch Eimination. des Vek- tors{ s} aus der Beziehung (32) ergibt sich eine Steifig- {7} : {Bums} + {HHS} = {ms} + [31mm keitsbeziehung, die nur den Verschiebungsvektor {ö} enthät. Die potentiee Energie des deformierten FE beträgt x was wir ([Kn] - [K12HK22] 1[K12]T){g} (23) =-<u,.1 IK121 [ IzJT>{R} <38) mit der symmetrischen Eastizitätsmatrix [E] und dem Die reduzierte Steifigkeitsmatrix Knotenkrafvektor Setzt man den Vektor {7} nach (27) ein. so erhät man: X f E): {5} [B]T [E][B]{s}dV+ ä 65}? [B]T [E] [B] {adv + V IE1 = [Ku IKmHKzzI mmﬂ <39) sichert voraussetzungsgemäß die Bedingung (16): {KKK} r [EH2] = (40) {{s}" [ä1" [r21[s1{.} dv.3; f {s}t[ B]T[E][B]{5} dv + 2 Fogich kann in die Steifigkeitsbeziehung (38) auch der 9% + { i1 {r} + {s}" I21" {f}. (29) Verschiebungsvektor {Ö} eingesetzt werden. Wenn die Komponenten des Lastvektors aus Lastfäen hervorgehen, die durch Integration des VerzerrungsvekAus dem Satz vom Minimum des eastischen Potentias fogt die Steifigkeitsbeziehung. Dabei werden der V*ektor der Starrkörperbewegung {s} und der Vektor{ö} getrennt ausgewiesen. Durch Differentiation wird das Minimum bestimmt: ax/a{ä} T = {0}: 5 [BIT [E1 [BdViäi + {[[BT [E] [Edv{s}+{f}, (30) tors{ 7} entstehen, (Temperatur, Vorspannung, Vor- dehnung), dann muffs auch der Lastvektor reduziert werden: {E}: ([1,,1 -- [K12] [K22]-1 [215 { R}. (41) Mit den Geichungen (39) und (41) sind die Grundagen gegeben, um die Steifigkeitsmatrizen und Lastvektoren nachträgich zu korrigieren. Diese Korrektur ist z. B. mr der Assembierung der Gesamtsteifigkeitsbeziehungen mögich. ax/a{s} T = {es} = yeitieueidvg} + {II 31T [Ema] dv {ä} + [21T {f}. (31) 4. Konvergenzuntersuchungen am offenen Kreisring Übrige Beziehungen werden im Matrizengeichungssy- In [1] wird die Brauchbarkeit einer FEM-Lösung anhand stem (32) zusammengefaßt: eines offenen Kreisringes (vg. Bid 3) für den die anayti231

4 Offener Kreisring (reative Feher) td _ 3. nfe Anzah der Eemente A. V'V [.100 V=_"_-._1LE v E 3 h Gecme I - Kurve anrssgtf appmxtirsanon Steifigkeitskm-rektur 3 MSKE nach SACHAROV [1] u.a. 7 i Rototionssc-Iuenprogrnmm BA Freiberg z I3 5 z I3! ndn 8 Scheibeneemem isopnram. K,2 K,2 "ein 9 Membraneement " m K 2 Z,2 "95" 10 Membraneement n FEMA 2.2 2,2 "9 " 11 Membraneement I K.Z Z Membmneement u z 2 2:2 JG Z A Zyinderkoordinatensystem Ks kartesisches Koordinatensystem 2 a poyquudrutischer Verschiebungsunsotz:{ P} -, { x30 A10 Am) Ä" A2o)a?2)x2)121}7 Bid 3 A i u'nr u2=x, ßß (U- j (U2)ß 3 5= Nomaennchtung ö-ten Grades i Tungentiaverschiebungen 3. Grades Geschützter Kreisring sehe Lösung bekannt nach der Stabtheorie bekannt ist. getestet. Der Einfachheit haber wird ein Scheibenmode gewäht. Dieses Beispie so fogende Einfüsse auf die Konvergenz der FEM-Lösung zeigen: w Verschiebungsansatz in Zyinder- und kartesisehen Koordinaten. Geometrieapproximation in Zyinder- und kartesi sehen Koordinaten. Steifigkeitskorrektur. In der zugehörigen Übersicht ist der Feher der Reativverschiebungen \ für die verschiedenen Fäe eingezeirhnet. Der Fehvr wird nach der Forme * 100% berechnet. Dabei bedeuten: T theoretischer Wert der Verschiebung. \ berechneter Wert der Verwhiebung. Auf das konkrete Beispie bezogen. assen sich aus dem Diagramm fogende Aussagen abeiten:. Die Steifigkeitskorrektur nach (39) iefert für grobe Eementeinteiungen eine Konvergenzverbessem11g. 2. Ein Verschiebungsansatz in Zyinderkoordinuten erbringt eine Konvergenzverbesserung (ohne Steifig keitskorrektur kaum merkiche mit Steifigkeitskorrekur stärker). LITERATUR: Atenbach, J.: Sacharov, A. S. u. 3.: Die Methode der finiten Eemente in der Festkörpermechanik. VEB Furh buchverag Leipzig

5 [2] [3] [4] Herrbruck, 1.; Krüger, H. J.: Konstruktion und 3-D-Berechnung des Scheusenbereiches im Stahzeencontainment. Bauakademie der DDR F, Berin Herrbruck. J: Beitrag zur Anayse dreidimensionaer. heterogener Kontinua in agemeinen Koordinaten bei besonderer Berücksichtigung der Stahzeenverbundbauweise mit Hife der FEM. Bauakademie der DDR FI, Berin Zienkiewicz, 0. (3.: The Finite Eement Method. McGraw Hi Book Company (UK) Ltd.,