Berechnung der Dichte der Ladungsträger

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1 Wiederholung Berechnung der Dichte der Ladungsträger Genauso kann für die Besetzung des Valenzbandes mit Löchern abgeleitet werden: WF W p = NV exp kt mit NV 2 V 3 2π mkt 2 h = 2 h N V ist die effektive Zustandsdichte des Valenzbandes -Beschreibung des Halbleiters durch zwei effektive Niveaus mit entsprechend großer Zustandsdichte -Besetzung erfolgt mit einem Boltzmann-Faktor. - allerdings ist N L,V kein echter Materialparameter, da T-abhängig

2 Der intrinsische Halbleiter Wiederholung Multiplikation ergibt: WL W F WV W F np = NL exp NV exp = kt B kt B WL WV WF + W F W G = NN L V exp = NN L V exp kt B kt B mit W = W W G L V D.h. Elektronen- und Lochkonzentration stellen sich ein nach einer Art Massenwirkungsgesetz! Für den intrinsischen Halbleiter gilt: ρ(w), ni = pi = NLNV exp W G 2kT B

3 Intrinsische Ladungsträgerdichte n i Wiederholung Source:[3]

4 Einstellen der Leitfähigkeit in HL Wiederholung metallisch isolierend verunreinigt Halbleitertechnologie ist die Kunst der gezielten Verunreinigung Si Ge GaAs GaN InAs InGaA. hochrein

5 Dotierung Wiederholung a) a) Ausschnitt aus dem Periodensystem der Elemente. b) Schema zur p-dotierung. c) Schema zur n-dotierung. b) c) p-dotierung durch Einbau eines Atoms mit 3 Valenzelektronen n-dotierung durch Einbau eines Atoms mit 5 Valenzelektronen

6 Ionisierung der Störstellen Wiederholung -Störstellen alleine reichen nicht aus -die Störstellen müssen die Ladungsträger auch an die Bandzustände abgeben

7 Banddiagramm von dotiertem HL Wiederholung Aufgrund der zusätzlichen Ladungsträger ist das Fermi-Niveau (W F ) nicht mehr in der Bandmitte! Im n-hl haben wir einen Elektronen-Überschuss im LB. Dadurch ist die 50%- Wahrscheinlichkeit, das ein Zustand besetzt ist, nach oben verschoben. Im p-hl haben wir einen Löcher-Überschuss im VB. Dadurch ist die 50%- Wahrscheinlichkeit, das ein Zustand besetzt ist, nach unten verschoben. Wie können wir die Ladungsträgerdichten in dotierten Halbleitern berechnen? p-hl n-hl W LB W LB W L W L W F W F W F W F W V W V VB x Vereinfachte Banddiagramme VB x

8 Lage des Ferminiveaus Wiederholung Quelle: Ibach/Lüth,Festkörperphysik E=W

9 Noch ein paar Bemerkungen zur Temperaturabhängigkeit des Halbleiters...

10 Verringerung der Bandlücke Temperaturerhöhung Je größer die Gitterkonstante, desto kleiner die Bandlücke. Temperaturerhöhung führt zur thermischen Ausdehnung Erhöhung der Gitterkonstante

11 Bandabstand als f(temperatur) Bandabstand verringert sich mit steigender Temperatur Quelle: F.X. Kärtner

12 Temperaturabhängigkeit in LEDs 570 Wellenlänge (nm) Temperatur ( C) -ist ein Problem für die Farbstabilität bei LEDs

13 Temperaturabhängigkeit der Beweglichkeit Beweglichkeit wird bestimmt durch die Zeit zwischen zwei Stößen: Stoß mit ionisierten Störstellen: Stoß mit Phononen: 1 τ St 1 τ Ph T N T St µ + τst τ Ph 1

14 Beweglichkeit in Ge -geringere Beweglichkeit bei hoher Dotierung

15 T-abhängige Leitfähigkeit in Ge -für hohe Temperaturen gegenläufiger Effekt von Ladungsträgerdichte und Beweglichkeit

16 Zusammenbringen von p-hl und n-hl Was passiert, wenn wir einen p-hl und einen n-hl zu einer pn-diode zusammenbringen? pn-diode p-hl n-hl W LB W LB W L W L W F W F W F W F W V W V VB x Vereinfachte Banddiagramme VB x

17 Fermi-Energie: Wasserpegel-Analogie Wasserspiegel 1 Wand zwischen Gefäßen entfernt Wasserspiegel 2 Der Wasserspiegel gibt an, bis wohin ein Gefäß mit Wasser gefüllt ist. Zwei getrennte Gefäße können verschiedene Wasserspiegel haben. Entfernt man die Abtrennung zwischen den Gefäßen sehr schnell, sind die Wasserspiegel im ersten Moment unverändert. Im Gleichgewicht ist der Wasserspiegel in beiden Gefäßen gleich. Wasserspiegel 2 Wasserspiegel 1 Gleichgewichtszustand stellt sich ein Wasserspiegel 1* Wasserspiegel 2*

18 Fermi-Energie Die Fermi-Energie gibt an, bei welcher Energie ein erlaubter Bandzustand mit 50% Wahrscheinlichkeit besetzt ist. Zwei getrennte Halbleiter können verschiedene Fermi-Energien haben. Bringt man die beiden Halbleiter zusammen, p-hl n-hl W L sind die Fermi-Energien im ersten Moment unverändert. W F W V W L W F W V Im thermischen Gleichgewicht ist die Fermi- Energie in beiden Halbleitern gleich!! Halbleiter werden zusammen gebracht W L p-hl n-hl W L W F W F W V Gleichgewichtszustand stellt sich ein W V W L W F W V p-hl n-hl W L W F W V

19 Halbleiter im Nichtgleichgewicht - Schalten (z.b. Spannung, mit Licht,...) heisst immer Erzeugung eines Nichtgleichgewichtszustandes - Bauelemente sind meist nicht homogene Halbleiter, sondern bestehen aus Bereichen mit verschiedenen Halbleitertypen sowie Metallen und Isolatoren räumliche Abhängigkeit ist relevant - Dynamik des Halbleiters bestimmt Schaltverhalten zeitliche Abhängigkeit ist relevant Quantitative Beschreibung von n(x,y,z,t) und p(x,y,z,t)?

20 Halbleiter im Nichtgleichgewicht -eine Änderung der Dichte n(x,y,z) kann erfolgen durch - Ströme (Drift- und Diffusion) -durch Vernichtung (Rekombination) -durch Erzeugung von Ladungsträgern (Generation)

21 Strom #1: Der Driftstrom Driftstrom (Feldstrom) J F infolge eines elektrischen Feldes Strom setzt sich aus einem Elektronen- und einem Löcheranteil zusammen Leitfähigkeit hängt von der Ladungsträgerdichte und der Beweglichkeit ab Source:

22 Strom # 2: Diffusionsstrom Zwei Bereiche mit verschiedener Konzentration an Ladungsträgern werden zusammengebracht Es fließt ein Strom im Durchschnitt bewegen sich mehr Träger aus dem Bereich höherer Konzentration zum Bereich niedrigerer Konzentration als anders herum Es stellt sich eine statistische Gleichverteilung der Träger ein.

23 Strom # 2: Diffusionsstrom die Diffusionskonstanten D n und D p geben an, wieviel Strom bei einem gewissen Gradienten der e s bzw. h s fließt eindimensional: J, = J (links rechts) J (rechts links) im Grenzübergang l 0: J, bzw. für die Löcher: J, nd n n nd pd = = dn edn dx dp edp dx (unterschiedliches Vorzeichen für e s und h s!)

24 Strom # 2: Diffusionsstrom Verallgemeinerung auf 3D: J nd, = dn edn dx JnD, ( r) = edn n( r) Insgesamt gilt also für die Diffusionsströme: J = J ( r) + J ( r) nd, pd, JnD, ( r) = edn n( r) JpD, ( r) = edp n( r)

25 Zusammenhang von Drift und Diffusion W e-e ϕ( Ux D ) W L W F W i W V Die bekannte Ladungsträgerstatistik erlaubt uns auch für den Bereich mit Feld eine Vorhersage über die ortsabhängige Ladungsträgerdichte: WL( ) eϕ ( x) WF nx ( ) = NL exp kt

26 Einsteinrelationen WL( ) eϕ( x) WF nx ( ) = NL exp kt Hier kommt zum Ausdruck, dass in das elektrochemische Potential (das Fermi-Niveau) in einem Halbleiter das elektrische Potential ϕ(x) mit eingeht. Da wir eine Aussage über Diffusionskonstanten machen wollen, macht es Sinn, den obigen Termin nach x abzuleiten: nx ( ) e ϕ( x) e = nx ( ) = nx ( ) Ex ( ) x kt x kt Hierbei ist E=-grad ϕ(x) das ortsabhängige elektrische Feld.

27 Einsteinrelationen Nun kann ausgenutzt werden, dass sich im Gleichgewicht Drift- und Diffussionsströme gegenseitig kompensieren: n Aus jf = jd folgt e n( x) µ ne(x)= edn x Setzt man nun die abgeleitete ortsabhängige Ladungsträgerdichte in diese Beziehung ein, so ergibt sich: e e nx ( ) µ ne(x)=( e Dn)( nx ( ) Ex ( )) kt Aus diesem Ausdruck kann das meiste weggekürzt werden, so dass man zur sogenannten Einsteinrelation kommt: kt D n = µ e n Die gleiche Ableitung liesse sich auch für die Löcher machen und man kommt auf diese Weise zu: kt D p = µ e Diese hier am Spezialfall pn-übergang hergeleitete Beziehung ist eine viel allgemeinere Beziehung der statistischen Thermodynamik und gilt z. B. genauso auch bei der Bewegung von Ionen in einer Elektrolytlösung. p

28 Generation und Rekombination Die Trägergenerationsrate g setzt sich aus verschiedenen Anteilen zusammen: n t gen = g = g( x, y, z, t) = g + g + g +... opt phonon St g opt : Generationsrate durch Absorption von Photonen (Licht) g phonon : thermische Generationsrate durch Absorption von Gitter- Phononen g St : Generationsrate durch Ionisation einer Störstelle Zu jedem Generationsprozess gibt es einen entsprechenden Rekombinationsprozess: n = r = r( x, y, z, t) = ropt + rphonon + rst +... t rec Im thermischen Gleichgewicht gilt g = r und einzeln g i = r i!

29 Quantenmechanische Übergänge am Beispiel der optischen Übergänge Bisher: Blochelektronen als Eigenzustände zum periodischen Potential des Festkörpers (=stationäre Lösungen der Schrödingergleichung) Wechselwirkung von Licht und Materie: Übergang zwischen verschiedenen Quantenzuständen Lösungen sind nicht mehr stationär explizite Betrachtung der über einen zeitabhängigen Phasenfaktor hinausgehenden Zeitabhängigkeit erforderlich Quantenmechanische Störungsrechnung

30 Quantenmechanische Übergänge Zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion wird allgemein beschrieben durch die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung: Ψ = t j H Ψ H ist hierbei der Hamiltonoperator 2 2 wobei: H = + V( r, t) 2m Störungsrechnung: Hamiltonoperator wird unterteilt in zeitunabhängigen und zeitabhängigen Anteil: 2 2 wobei: H0 = + V( r) 2m Als Lösungen ergeben sich die Blochzustände: H = H + H wobei V(r) das Gitterpotential ist. ψ (,) rt = u ()exp( r ikr) Licht als elektromagnetische Welle wird dann als eine Störung H ' des Systems behandelt. nk 0 '

31 Optische Übergänge: Quantenmechanisch Hamiltonoperator für Elektron, das elektromagnetischen Welle ausgesetzt wird, lautet: e A H r t = j kr t j + m 2 0 '(, ) exp[ ( ω )] ( ) konj. kompl. 0 Impulsoperator elektromagnetisches Vektorpotential Elektron in einem Blochzustand ψ n,k Einschalten der Störung H Blochzustand ist kein Eigenzustand mehr H induziert Übergänge zu anderen Quantenzuständen ψ n,k

32 Optische Übergänge: Quantenmechanisch Rate für Übergänge aus einem Zustand ψ 1 in einen Zustand ψ 2 : * W = π 1 2 d r Ψ 2() r H'() r Ψ 1() r δ( E 2 E ± 1 ω) (..da muss noch einmal über die Energie integriert werden, damit die Deltafunktion verschwindet) Fermis Goldene Regel Zeitliche Periodizität Delta-Funktion: Übergänge nur, wenn die Energie und k-vektor passt H (r) enthält keine explizite Zeitabhängigkeit mehr e A H r = j kr j + m 2 0 '( ) exp[ ( )] ( ) konj. kompl. 0 Impulsoperator elektromagnetisches Vektorpotential

33 Direkte und Indirekte Halbleiter Befinden sich das LB-Minimum und das VB-Maximum bei gleichem Impuls k spricht man von einem direkten Halbleiter. Befinden sich das LB-Minimum und das VB-Maximum bei verschiedenen k spricht man von einem indirekten Halbleiter. Direkter Halbleiter z.b. GaAs Indirekter Halbleiter z.b. Si, Ge Source: R. F. Pierret

34 Emission von Photonen Photonen haben einen sehr kleinen Impuls k L. Deshalb finden nur senkrechte Übergänge im W-k-Diagramm mit hoher Wahrscheinlichkeit statt. Bei direkten HL liegt die Lebensdauer für strahlende Übergänge im Bereich von Nanosekunden. Sie können als effiziente Lichtquellen verwendet werden (LED, Laser). Bei indirekten HL kann Lichtemission nur in einem unwahrscheinlichen Dreierstoß (Elektron-Photon-Phonon) stattfinden und die Lebensdauer für strahlende Emission liegt im Millisekundenbereich. Direkter Halbleiter z.b. GaAs Indirekter Halbleiter z.b. Si, Ge Source: R. F. Pierret

35 Emission im HL: Technisch Rekombinationsrate von Elektronen und Löchern durch spontane Emission: ropt = B n p wobei B: Rekombinationskoeffizient Die Rekombination steht im thermischen Gleichgewicht mit der Generation durch Absorption der thermischen Hintergrundstrahlung: gopt = ropt = Bni 2 Sind zusätzliche Photonen oder überschüssige Ladungsträger vorhanden (z.b. durch Bestrahlung) finden zusätzlich stimulierte Emissions- und Absorptionsprozesse statt, die zur Photonendichte proportionale Raten haben. LEDs

36 Absorption von Photonen Auch bei der Absorption von Photonen ist aufgrund der Impulserhaltung nur ein senkrechter Übergang im W-k-Diagramm möglich. Direkte Halbleiter absorbieren Photonen sehr effizient. Indirekte Halbleiter können Photonen mit Energien W G > W G ebenfalls effizient absorbieren. Unterhalb von W G ist Lichtabsorption sehr unwahrscheinlich. Direkter Halbleiter z.b. GaAs Indirekter Halbleiter z.b. Si, Ge W G W G Photodioden, Solarzellen

37 Störstellenrekombination LB Störstellenrekombination: Elektron und Loch werden in dieselbe Störstelle eingefangen VB - Shockley-Read-Hall-Rekombination (Betrachtung der aller Raten) z.b. Einfangprozeß 1: r = Nσv St, e t th N t : Dichte Trapniveaus σ: Einfangquerschnitt v th : therm. Geschw.

38 Oberflächenrekombination Oberflächenrekombination über Oberflächenzustände Oberflächenrekombination an der Grenzfläche zum Metall

39 Rekombination: Auger LB VB Augerrekombination: Elektron und Loch rekombinieren und Energie wird von drittem Teilchen aufgenommen r = r + r = Cn p+ C np Auger Auger, eeh Auger, ehh

40 Auger-Prozess Dies ist ein Dreier-Prozess (d.h. drei Teilchen sind beteiligt). Z.B. ein Elektron aus dem LB rekombiniert mit einem Loch im VB und durch frei werdende Energie wird an ein anderes Elektron im LB abgeregt. Die Rekombinationsrate ist: (C1/C2: Auger-Koeffizienten) Dieser Prozess ist besonders bei hohen Trägerdichten wichtig.

41 Dotierungsabhängigkeit der Lebensdauer Lebensdauer eines photoangeregten Elektrons r gesamt 1 = = τ gesamt ropt + rauger + rst +... Quelle: Goetzberger: Photovoltaik

42 Zusammenfassung: Ladungsträgerprozesse Es gibt in Halbleitern drei unterschiedliche Prozesse, durch die sich die Ladungsträgerdichte räumlich und/oder zeitlich verändern kann: 1. Driftstrom Ladungsträger bewegen sich aufgrund eines äußeren elektrischen Feldes. 2. Diffusionsstrom Ladungsträger bewegen sich aufgrund eines Konzentrationsgradienten. 3. Generations- und Rekombinationsprozesse Die Raten setzen sich aus verschiedenen Einzelprozesse zusammen (z.b. strahlende Übergänge, Übergänge durch Störstellen, Auger-Prozess, Rekombination an Oberflächen). Je nach Situation sind verschiedene Prozesse dominant. In den meisten HL dominiert die Rekombination durch Störstellen. Bei direkten HL spielen auch strahlende Übergänge eine Rolle. Bei hoher Ladungsträgerdichte von Elektronen und Löchern sind Auger- Prozesse wichtig.

43 Ladungsträgerprozesse in Halbleitern Es gibt in Halbleitern drei unterschiedliche Prozesse, durch die sich die Ladungsträgerdichte räumlich und/oder zeitlich verändern kann: 1. Driftstrom (Konvektionsstrom) Ladungsträger bewegen sich aufgrund eines äußeren elektrischen Feldes: 2. Diffusionsstrom Ladungsträger bewegen sich aufgrund eines Konzentrationsgradienten (D n und D p sind die Diffusionskonstanten der Elektronen bzw. Löcher): 3. Generations- und Rekombinationsprozesse Ladungsträger werden mit der Generationsrate g generiert und rekombinieren mit der Rekombinationsrate r. Die Raten setzen sich aus verschiedenen Einzelprozesse zusammen: