Übungen zur Physik der Materie 1 Musterlösung Blatt 4 - Quantenmechanik

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1 Übungen zur Physik der Materie 1 Musterlösung Blatt 4 - Quantenmechanik Sommersemester 2018 Vorlesung: Boris Bergues ausgegeben am Übung: Nils Haag (Nils.Haag@lmu.de) besprochen am Die bereitgestellte Musterlösung enthält Lösungsvorschläge ohne Gewähr. Sollten Sie Fehler in der Musterlösung finden, senden Sie Nils Haag bitte eine Mail. In der Klausur können Sie sich nicht auf Fehler in den Lösungen berufen. Aufgabe 10: Die Unschärferelation Die Heisenberg sche Unschärferelation ist gegeben als x p 2. a) Was besagt diese Unschärferelation in Hinblick auf die gleichzeitige Messung bzw. Präparation von Ort und Impuls? b) Durch einen Spalt wird die x-komponente des Ortes eines Teilchens festgelegt. Wie verändert dies die Impulsverteilung in x-richtung und in y-richtung? c) Die Geschwindigkeiten eines Elektrons (m e = 9, kg), eines Protons (m p = 1, kg), eines Staubkorns (m Staub = 1 mg) und des Mondes (m Mond = 7, kg) werden auf v = 1 mm genau gemessen. Wie groß ist jeweils die Unschärfe s im Ort? d) Ein Elektron durchfliegt mit einer Geschwindigkeit von 1000 m einen Spalt, der 1 µm s breit ist. Berechnen Sie, welchen Öffnungswinkel der Elektronenstrahl aufgrund der Unschärferelation hinter dem Spalt hat, und vergleichen Sie dies mit dem Winkel, unter dem die ersten Beugungsminima auftreten. e) Für welche beiden weiteren physikalischen Größen gilt eine Unschärferelation? f) Im Vakuum entstehen ständig Teilchen-Antiteilchen-Paare, die aber aufgrund der Energieerhaltung sofort wieder verschwinden müssen. Nur aufgrund der Unschärferelation ist es Ihnen erlaubt, kurzzeitig zu existieren. Berechnen Sie, wie lange ein virtuelles Elektron-Positron-Paar, das sich im Vakuum spontan gebildet hat, existieren darf, bevor es sich wieder vernichten muss. Nehmen Sie als gegeben an, dass Elektron und Positron beide eine Ruheenergie von 510 kev haben. g) Die Lebensdauer eines angeregten Atomniveaus sei 10 8 s. Aus diesem Grund ist auch die emittierte Energie nicht exakt scharf, sondern unterliegt einer gewissen Breite. Berechnen Sie, ob diese durch die Unschärferelation zustande kommende Energiebreite, die Wellenlänge des ausgesandten Lichts (λ 600 nm) merklich ändert.

2 Lösungsvorschlag A10 a) Es ist nicht möglich, den Ort und den Impuls eines Teilchens gleichzeitig beliebig genau zu messen. Das liegt abermals nicht daran, dass wir selbst nicht in der Lage wären, das Teilchen besser zu lokalisieren, oder den Impuls genauer zu bestimmen, sondern beides ist prinzipiell nicht genauer festgelegt. b) Je kleiner der Spalt in x-richtung wird, desto größer wird die Unschärfe im Impuls in x-richtung. Das Bild auf dem Schirm wird immer breiter. Auf die y-richtung hat dies allerdings keine Auswirkung. c) Die Impulsunschärfe p berechnet sich aus p = m v. Dies kann dann in die Heisenberg sche Unbestimmtheitsrelation eingesetzt werden x. Damit ergibt sich: x(elektron) 5, 8 cm x(p roton) 31 µm x(staubkorn) m x(mond) m 2m v Für makroskopische Objekte spielt die Unschärfe also keine Rolle. d) Durch die Spaltbreite, die x in der Unbestimmtheitsrelation entspricht, ergibt sich eine Geschwindigkeitsunschärfe von v 2m x = 58 m s Der Öffnungswinkel ergibt sich dann aus tan φ = 58 φ = o. Zum Vergleich: Die Breite des ersten Beugungsmaximums liegt etwa bei α = 46 o, was sich aus der Lage des ersten Minimums x sin α = λ unter Verwendung von λ = h abschätzen lässt. p e) Für Energie und Zeit: E t 2 f) Die Energieunschärfe entspricht genau der Masse der beiden Teilchen zusammen, also 1,02 MeV, die sich die Teilchen im Rahmen der Unschärfe aus dem Vakuum leihen müssen. Da dies nur für kurze Zeit erlaubt ist, zerstrahlen die Teilchen wieder nach t = 2 E = s g) Die Energieunschärfe ergibt sich mit der Unbestimmtheitsrelation zu E = 2 t = 5, J = 30 nev Die Energie eines Photons mit Wellenlänge 600 nm ist E = hc λ = 2, 1 ev Eine minimale Energieverschiebung um ein paar Nanoelektronenvolt spielt also keine Rolle.

3 Aufgabe 11: Der eindimensionale Potentialtopf In dieser Aufgabe sollen Sie eine Wellenfunktion für den sogenannten eindimensionalen Potentialtopf selbst bestimmen, um zu berechnen, wo sich ein Elektron innerhalb einer unendlich tiefen Potentialsenke der Breite a aufhält und welche Energien es haben kann. a) Nennen Sie die zeitabhängige Schrödingergleichung. Welche Ähnlichkeiten und Unterschiede ergeben sich zur Wellengleichung der Optik? b) Zeigen Sie mit einem Separationsansatz Ψ(x, t) = ψ(x)χ(t), dass die Schrödingergleichung im Falle eines zeitunabhängigen Potentials in eine zeitunabhängige Gleichung umgeformt werden kann: 2m + V (x) ψ(x) = Eψ(x) c) Nehmen Sie an, die Wellenfunktion des Elektrons im Potentialtopf sei eine beliebige Linearkombination aus Kosinus und Sinus: ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx) Hierbei seien A, B und k beliebige reelle Konstanten. Zeigen Sie, dass dieser Ansatz die Schrödingergleichung für 0 < x < a erfüllt und lesen Sie daraus ab, welche Gesamtenergie (in Abhängigkeit von k) das Elektron hat. d) Welchen Wert muss die Funktion bei x = 0 und x = a annehmen? e) Berechnen Sie aus diesen Randbedingungen die möglichen Wellenzahlen k i und die Amplitude B. f) Sie haben gerade gezeigt, dass es mehrere Wellenlängen (bzw. Wellenzahlen) gibt, die in den Potentialtopf passen. Geben Sie die Energieniveaus (nun nicht mehr in Abhängigkeit von k) an, die Elektronen im Potentialtopf besetzen können. Gratulation, Sie haben bewiesen, dass in einem Potentialtopf nur diskrete Energien angenommen werden können (wie auch im Atom...)!

4 g) Wie können Sie die Amplitude A der Welle berechnen? Sie müssen diese sogenannte Normierung nicht durchführen. h) Zeichnen Sie die Wellenfunktion und die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons für die ersten drei möglichen Energieniveaus in den Potentialtopf ein. i) Nehmen Sie an, dieses Modell könnte auch für ein Wasserstoffatom angewendet werden, das einen Durchmesser von 1 Å hat. Welche Energien haben die ersten drei Energiezustände? Weswegen unterscheiden sich diese Werte von den korrekten Werten für das Wasserstoffatom? Bei Wasserstoff gilt: E 1 = 13, 6 ev E 2 = 3, 4 ev E 3 = 1, 5 ev Lösungsvorschlag A11 a) Die zeitabhängige Schrödingergleichung ist: + V (x, t) Ψ(x, t) = i t Ψ(x, t) 2m Wie schon die Wellenfunktion in der Optik handelt es sich hier um eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung im Ort, allerdings erster Ordnung in der Zeit. Aus dieser folgt analog eine Dispersionsrelation (also eine Beziehung zwischen ω bzw. E und k. Allerdings gibt es hier noch ein zusätzliches Potential, in dem sich die Teilchen befinden können (Photonen sind ungeladen und reagieren nicht auf externe Potentiale wie die Atome oder Elektronen). Die Welle selbst ist auch keine reelle Messgröße, wie es z.b. das elektrische Feld in der Optik war, sondern sie ist die schon besprochene quantenmechanische Wellenfunktion. b) Setzen wir den Separationansatz ein, erhalten wir: 2m + V (x) ψ(x)χ(t) = i t ψ(x)χ(t) 2 χ(t) 2m ψ(x) + V (x)ψ(x)χ(t) = iψ(x) tχ(t) 2 i ψ(x) + V (x) = 2mψ(x) χ(t) tχ(t) 1 χ(t)ψ(x) Da die linke Seite nur von x und die rechte Seite nur von t abhängt, müssen beide Seiten konstant sein. Wir setzen somit die rechte Seite gleich einer Konstanten E (Dass dies die Energie ist, kann man am Beispiel einer ebenen Welle sehr leicht lösen, indem man e i(kxωt) einsetzt. Dass dies aber auch im allgemeinen Fall die Energie ist, soll an dieser Stelle als gegeben angenommen werden. Wir können darüber in der Vorlesung diskutieren). Multiplizieren mit ψ(x) ergibt die gesuchte zeitunabhängige Schrödingergleichung 2m + V (x) ψ(x) = Eψ(x)

5 c) Da innerhalb des Potentialtopfes V = 0 gilt, ist der Hamiltonoperator Ĥ = 2 2m Damit wird die Schrödingergleichung für die angesetzte Funktion zu: 2m x (A sin(kx) + B cos(kx)) = 2 k 2 (A sin(kx) + B cos(kx)) 2 2m 2 2 Hψ = 2 k 2 2m ψ 2. x 2 Die Funktion löst also die Schrödingergleichung und für die Gesamtenergie E gilt E = 2 k 2. Im Folgenden müssen wir noch die drei verbleibenden Größen A, B und 2m k bestimmen. d) Da die Wellenfunktion nicht in die unendlich hohen Potentialwände eindringen kann und die Funktion an des Rändern stetig sein muss, gilt: e) Aus der ersten Randbedingung folgt: ψ(0)! = 0 und ψ(a)! = 0 ψ(0) = A sin(0) + B cos(0) = B! = 0 Es bleibt also nur der Sinus-Term übrig. Setzen wir die zweite Bedingung auch noch ein, so bekommen wir ψ(a) = A sin(ka)! = 0 Da A nicht auch Null sein darf (sonst wäre die gesamte Wellenfunktion Null) folgt, dass der Sinus Null ist. Das gilt, falls ka = nπ, wobei n N. Daraus bekommen wir direkt die erlaubten Werte für k: k = nπ a f) Setzen wir das eben erhaltene k in die Energie ein, so bekommen wir E = n2 2 π 2 2ma 2 Es gibt also viele diskrete Energieniveaus. Die bestimmende Größe hierbei ist die meist Hauptquantenzahl genannte ganze Zahl n. g) Wir haben nun zwar schon die Form der Wellenfunktion und sogar die möglichen Energieniveaus bestimmt, aber die Amplitude der Wellenfunktion A ist noch unbekannt. Diese erhalten wir durch die Normierungsbedingung ψ(x) 2 dx = 1, denn die Gesamtaufenthaltswahrscheinlichkeit muss sich insgesamt zu Eins ergeben. Dies ist ein Integral über sin 2. Für die Interessierten kommt heraus: A = Gesamtwellenfunktion für den eindimensionalen Potentialtopf: 2 ( nπ ) ψ(x) = a sin a x h) Die ersten drei Energieniveaus sind: 2 a und damit also als

6 i) Setzt man die Zahlenwerte für die Energie im Kastenpotential ein, so ergeben sich die Werte: E 1 = 38 ev E 2 = 151 ev E 3 = 340 ev Das korrekte Wasserstoffatom hat aber die Energieniveaus E 1 = 13, 6 ev E 2 = 3, 4 ev E 3 = 1, 5 ev Auch, wenn die Größenordnung halbwegs richtig ist, erkennt man doch einige Unterschiede: Die Energien sind negativ: Das Elektron befindet sich beim Wasserstoffatom in einem gebundenen Zustand und somit ist die Definition der Energien negativ. Der Abstand der Energieniveaus wird mit n 2 kleiner, statt größer wie im Kastenpotential: Im Wasserstoffatom ist das echte Potential eben kein eindimensionaler Kasten, sondern ein dreidimensionales Coulombpotential. Das Elektron kann bei einer Zufuhr von Energie (z.b. Photonenabsorption), die größer ist als die Bindungsenergie, aus dem Wasserstoffatom herauslöst werden (Ionisation): Das geht natürlich nicht im Falle des unendlich hohen Kastens. Vorbereitung Staatsexamen (SE) Auf den Übungsblättern werden immer wieder Staatsexamensaufgaben erscheinen, die in den Vorjahren gestellt wurden und die Sie mit dem bisherigen Vorlesungsstoff bearbeiten können. Die folgende Aufgabe wird nicht in der Übung besprochen, da eine nahezu identische Aufgabe schon ausführlich diskutiert wurde. Sollten Sie dennoch Fragen haben, können Sie diese natürlich ansprechen. SE 2015 Herbst: Welle-Teilchen Dualismus des Photons Betrachten Sie eine kohärente Lichtquelle, z.b. einen Laser, der aus großer Entfernung eine lichtundurchlässige Platte mit zwei schmalen Schlitzen beleuchtet. In großer Entfernung

7 hinter der Platte befinde sich ein Schirm, auf dem die Intensität des Lichtes gemessen werden kann. Der Laserstrahl sei so weit abgeschwächt, dass jeweils nur einzelne Photonen das Doppelspaltsystem passieren. a) (5 Punkte) Erläutern Sie qualitativ, welche Verteilung der Photonen Sie auf dem Schirm erwarten und begründen Sie dies! Geben Sie die Auftreffwahrscheinlichkeit eines Photons auf dem Schirm als Funktion des Winkels θ gegenüber der Einfallsrichtung der Photonen an! b) (2 Punkte) Skizzieren Sie die Verteilung der Photonen auf dem Schirm, wenn Sie - bei gleicher Anzahl der auf dem Schirm auftreffenden Photonen - zunächst einen Spalt und dann den anderen abdecken! c) (2 Punkte) Geben Sie einen Zusammenhang zwischen der Intensität eines (als kreisrund angenommenen) Laserstrahls der Wellenlänge λ und der Anzahl der pro Sekunde durch den Strahlquerschnitt propagierenden Photonen an! d) (3 Punkte) Erläutern Sie, wie in den in Teilaufgaben a) - c) betrachteten Situationen sowohl der Korpuskel- wie auch der Wellencharakter der Photonen zum Ausdruck kommt! e) (4 Punkte) Beschreiben Sie kurz den (äußeren) photoelektrischen Effekt! Nennen Sie den zentralen experimentellen Befund des Effekts, der mit der klassischen Elektrodynamik nicht zu erklären ist! f) (3 Punkte) Berechnen Sie die maximale kinetische Energie und Geschwindigkeit von Photoelektronen, die aus einer Kaliumoberfläche austreten (Austrittsarbeit 2,1 ev), wenn sie mit Licht einer Wellenlänge von 300 nm beleuchtet werden! Ab welcher Wellenlänge treten keine Photoelektronen mehr aus der Oberfläche aus? g) (1 Punkt) Nennen Sie einen weiteren Versuch, bei dem der korpuskulare Charakter der Photonen zum Ausdruck kommt!