Theoretische Physik mit Maple, WS 2010/ Übungsblatt (Besprechung am ) R( ) ( ( ( ) ( ))) ( ) u ( x)

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1 Theoretische Physik mit Maple, WS 2010/ Übungsblatt (Besprechung am ) Quantenmechanische Streuung am Kastenpotential Wir betrachten die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung (ZuSG) und machen einen Ansatz: 2 2 ħ ZuSG : Eu x u x V x u x 2 2m x Mit Kasten- V0 für x < 1 V ( x) = potential: 0 sonst ( ) = ( ) + ( ) ( ) Ansatz: iκ x iκ x e + Re für x < 1 ikx ikx u ( x) = Ae + Be für 1 < x < 1 iκ x Te für x > 1 Parameter: m = ħ = 1 (9-1) 1) Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung Stellen Sie die ZuSG auf. 2) Lösung 2.1) Gehen Sie mit dem Ansatz für u ( x) in die ZuSG ein und bestimmen Sie die Wellenzahlen k undκ so, dass der Ansatz ein Lösung der ZuSG in (9-1) ist. 2.2) Bestimmen Sie aus den 4 Bedingungen für die Koeffizienten B, A, R, T. ( ) u ( x) lim u x lim = 0 + Stetigkeit und x ± 1 x ± 1 Differenzierbarkeit: d d lim u ( x) lim = 0 + x ± 1 dx x ± 1 dx (9-2) 3) Streuphasen Plotten Sie die ( T ( E )) T ( E) I Streuphasen: δ ( E ) = arctan Maple: arctan Im T, Re T R( ) als Funktion der Energie E für V[0] {1, 1, 50}. ( ( ( ) ( ))) (9-3)

2 2 4) Reflektions- und Transmissionswahrscheinlichkeiten Plotten Sie die ( ) 2 * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Reflektionwahrsch.: ω E R E = R E R E Maple: ' conjugate R R ' Transmissionsw.: ω R T 2 * ( E ) T ( E ) = T ( E ) T ( E ) als Funktion der Energie E für V[0] {1, 1, 50}. (9-4) 5) Animation der Wahrscheinlichkeitsdichte ρ Animieren Sie die ( x E) u ( x E) 2 u ( x E) * u ( x E) Wahrscheinlichkeitsdichte : ρ, =, =,, über die Energie E für [0] {1, 1, 50} V. (9-5)

3 Physikalische Hinweise zur Quantenmechanik Streuexperiemente Materie (Kohleplättchen) wird mit Elektronen beschossen. Ablenkungswinkel und Streuphasen (Interferenzen) lassen Rückschlüsse auf die Streuzentren zu. Ganz grob: Fast alle Elektronen durchdringen das Kohleplättchen unbeeinflusst. Nur wenige werden abgelenkt. Das deutet auf punktförmige Streuzentren hin und legt das links gezeichnete Miniatur- Planetensystem als Atommodell nahe. Eine genaue Analyse mit dem 'Rutherfordschen Streuquerschnitte' bestätigt dieses Atommodell. Spektralanalyse Das von glühendem Gas abgegebene Licht wird durch ein Prisma auf einen Bildschirm gelenkt. Weißes Licht würde auf dem Bildschirm alle Spektralfarben zeigen. Das Licht glühender Gase zeigt auf dem Bildschirm sehr scharfe Spektrallinien. Das deutet auf einen Wellenvorgang als Lichtquelle hin. Scharfe Frequenzen lassen sich durch Schwingungsvorgänge mit definierten Randbedingungen erklären (Beispiele: Schwingendes Seil mit zwei fixierten Enden). Rechts sind die Schwingungsmuster dargestellt, die sich aus der Schrödingergleichung ergeben und die Linienspektren erklären. Wellen-Teilchen-Dualismus und Relativität der Materie Streuexperiemente deuten auf eine teilchenartige Struktur der Atome hin (Planetenmodell), Lichtanalyse auf eine wellenartige. Heisenberg: Ohne Angabe der Beobachtungsart macht es keinen Sinn, über die Struktur der Atome zu sprechen. Atome sind keine Objekte, sie haben keine vom Beobachter unabhängige Existenz. Sie erscheinen im Zusammenhang mit einem Experiment auf eine ganz spezifische Art als Teilchen- oder Wellenstruktur.

4 4 Doppelspaltexperiment - Interferenze Ein Elektronenstrahl wird durch einen Doppelspalt gelenkt Klassische Erwartung: Die Elektronen passieren die beiden Blendenlöcher und bewirken zwei 'Kleckse' auf dem Speicherbildschirm oder dem Fotopapier. Quantenmechanisch ohne Wegedetektor: Entsprechend der klassischen Erwartung sieht man auf dem Bildschirm mit der Zeit immer mehr kleine Lichtpunkte als Hinweise auf den Einschlag einzelner Elektronen- Entgegen der klassischen Erwartung bilden diese Lichtpunkte jedoch mit der Zeit ein Interferenzmuster und nicht zwei 'Kleckse'. Die einzelnen Einschläge deuten auf ein teilchenartiges Phänomen hin, das Interferenzmuster auf ein wellenartiges. Quantenmechanisch mit Wegedetektor: Durch einen Wegedetektor wird festgestellt, ob ein Elektron durch den unteren Spalt kommt. Dabei wird keine wesentliche Wirkung auf das System ausgeübt. Der Wegedetektor spricht in 50% der Schirmereignisse an. Das Interferenzmuster verschwindet und die klassische Erwartung von oben manifestiert sich. Bemerkenswert ist vor allem, dass auch in Fällen, in denen der Wegedetektor gar nicht angesprochen hat, das System der klassischen Erwartung folgt. Diese Phänomene sind klassisch nicht zu verstehen. Vor allem die Situation, in denen der Wegedetektor zwar messen könnte, aber nicht anspricht ist (nach Einstein) gespenstisch. Durch die statistische Interpretation der Quantenmechanik wird das Phänomen nicht weniger gespenstisch, aber doch geklärt. Der Wegedetektor macht aus Möglichkeiten Tatsachen. Spricht

5 er an, ist das Elektron unten und die Wahrscheinlichkeit für oben wird null. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude (oder 'Wellenfunktion') wird reduziert. Kopenhagener Interpretation: Zwischen Ursache und Wirkung entwickelt sich das Systemen in seinen Möglichkeiten. Durch die Beobachtung werden aus Möglichkeiten Tatsachen und es entsteht der Eindruck einer objektiven Welt. Wie das Atom, so ist auch das Elektron quantenmechanisch kein Objekt mit kontextunabhängigen Eigenschaften sondern eher ein Phänomen, vergleichbar einem Regenbogen. Dieser erscheint ebenfalls wie ein klassisches Objekt, hat aber keinen vom Beobachter unabhängigen Ort. Er erscheint nur, wenn Sonne, Regen und Beobachter eine bestimmte Beziehung zueinander haben.