Halbleiterphysik und Anwendungen Vorlesungsplanung Teil 2: Einführung in die Quantenmechanik Prof. Dr.

Transkript

1 Halbleiterphysik und Anwendungen Teil : Einführung in die Quantenmechanik Prof. Dr. Sven Ingebrandt Fachhochschule Kaiserslautern - Standort Zweibrücken Vorlesungsplanung Grün: Termine, die ausfallen Rot: Ersatztermine 1

2 Inhaltsverzeichnis: Kristallstruktur von Festkörpern Reziprokes Gitter und Röntgenbeugung Leitfähigkeit in Halbleitern Quantenmechanische Prinzipien Quantentheorie des Halbleiters Energiebänder und verbotene Zonen Kronig-Penney Modell Optische Übergänge in Halbleitern (Exzitonen, Absorption, Rekombination) Optische Bauelemente Heterostrukturen Jenseits von CMOS Speicherbauelemente Quantenbauelemente 3 4

3 Prinzipien der Quantenmechanik Unter dem Begriff photoelektrischer Effekt (kurz Photoeffekt) werden drei nah verwandte, aber unterschiedliche Prozesse der Wechselwirkung von Photonen mit Materie zusammengefasst. In allen drei Fällen wird ein Photon von einem Elektron, das z.b. in einem Atom oder im Valenzband oder im Leitungsband eines Festkörpers gebunden ist, absorbiert und das Elektron aus der Bindung gelöst. Die Energie des Photons muss dazu mindestens so groß wie die Bindungsenergie dieses Elektrons sein. Man unterscheidet drei Arten des photoelektrischen Effekts: Als äußeren photoelektrischen Effekt bezeichnet man das Herauslösen von Elektronen aus einer Halbleiter- oder Metalloberfläche durch Bestrahlung. Dieser Effekt wurde bereits im 19. Jahrhundert entdeckt und 1905 von Albert Einstein erstmals gedeutet, wobei er den Begriff des Lichtquants einführte. Der innere photoelektrische Effekt tritt in Halbleitern auf. Man unterscheidet zwei Fälle: Als Photoleitung bezeichnet man die Zunahme der Leitfähigkeit von Halbleitern durch Bildung von nicht aneinander gebundenen Elektron-Loch-Paaren. Darauf aufbauend ermöglicht der photovoltaische Effekt die Umwandlung von Licht- in elektrische Energie. Unter Photoionisation (auch atomarer Photoeffekt) schließlich versteht man die Ionisation von Atomen oder Molekülen durch Bestrahlung mit Licht genügend hoher Frequenzen. 5.1 Prinzipien der Quantenmechanik Max Karl Ernst Ludwig Planck Energiequanten. Der photoelektrische Effekt demonstriert eine Inkonsistenz zwischen den Aussagen der klassischen Physik und dem Experiment. Die Austrittsarbeit eines Elektrons ist von der Frequenz abhängig. Albert Einstein Max Planck hat 1900 postuliert, dass thermische Strahlung von einem heissen Körper gequantelt emittiert wird: E =h h = 6.65 x Js Einstein (1905) interpretiert den photoelektrischen Effekt als Resultat diskreter Energiepakete = Photonen. Austrittsarbeit = Energie, um ein Elektron vom Körper ins Vakuum zu bringen. Beziehung zwischen Energie, Wellenlänge und Frequenz: Elektromagnetische Wellen können sich wie Teilchen verhalten (a) Photoelektrischer Effekt, (b) maximale kinetische Energie als Funktion der Lichtfrequenz. hc E h 6 3

4 .1 Prinzipien der Quantenmechanik Der Welle-Teilchen-Dualismus: Louis de Broglie postuliert 194, dass sich Teilchen wie Wellen verhalten können. Da der Impuls eines Photons p=h/ ist, kann die Wellenlänge eines Teilchens analog dazu als =h/p definiert werden. Louis-Victor de Broglie Das elektromagnetische Frequenzspektrum 7.1 Prinzipien der Quantenmechanik Clinton Davisson und Lester Germer (Bell Labs) beweisen 197 die Wellennatur von Elektronen. Elektronen wurden senkrecht auf die Oberfläche eines Nickel-Einkristalls geschossen und die Intensität der reflektierten Strahlen als Funktion des Streuwinkels gemessen. Es ergaben sich ausgeprägte Maxima, besonders für eine Beschleunigungsspannung von 54 V. Röntgenstrahlen Elektronenstrahlen 8 4

5 .1 Prinzipien der Quantenmechanik Die Unschärfe-Relation: Nach dem Korpuskularmodell kann man den Zustand eines Teilchens durch Angabe seines Ortsvektors r und seines Impulses p Werner Heisenberg 1933 eindeutig festlegen. Im mikroskopischen Bereich der Elementarteilchenabmessungen schränkt die Heisenbergsche Unschärferelation dies ein. Ihr zufolge sind gewisse Paare von Grössen, z.b Ort r und Impuls p oder Energie E und Zeit t, nicht mehr gleichzeitig scharf messbar. Vielmehr gelten für das Produkt der Ungenauigkeiten die Relationen h xp x Et Umso genauer der Ort bei einer Messung bestimmt wird, desto ungenauer ist der Impuls bekannt. Erfolgt bei einer Messung eine scharfe Ortsbestimmung, bleibt der Impuls völlig unbekannt. 9.1 Prinzipien der Quantenmechanik Die Wellenfunktion: Erwin Schrödinger, 1933 Der quantenmechanische Zustand eines Teilchens wird durch die Schrödinger- Gleichung beschrieben. Ihre Lösungen sind sogenannte Wellenfunktionen. Mit ihrer Hilfe können alle messbaren Grössen eines Systems (Ort, Energie, Impuls, Drehimpuls, ) berechnet werden. Die Wellenfunktion y beschreibt in der Quantenmechanik den quantenmechanischen Zustand eines Elementarteilchens oder eines Systems von Elementarteilchen im Ortsraum, ihr Betragsquadrat bestimmt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens. Nach der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik enthält die Wellenfunktion eine Beschreibung aller Informationen einer Entität oder eines ganzen Systems. Die quantenmechanische Wellenfunktion ist die meist komplexe Lösung einer Wellengleichung, vor allem der besonders wichtigen Schrödingergleichung. Lösungen dieser Wellengleichungen können sowohl gebundene Teilchen wie Elektronen im Orbitalmodell oder freie Teilchen (z. B. als Wellenpaket) beschreiben. Bei Teilchensystemen bezeichnet man eine solche Lösung auch als Vielteilchen- Wellenfunktion. 10 5

6 . Die Schrödinger-Gleichung Die Wellenfunktion ( r, t) eines quantenmechanischen Systems, z.b. eines Elektrons, gehorcht der Gleichung V ( r, t) j m t Hängt die potentielle Energie V nicht von der Zeit ab, liegt der stationäre Fall vor. Mit dem Produktansatz ( r, t) y ( r ) ( t) wird die Gleichung dann separierbar y 1 Ortsanteil: V ( r) E Zeitanteil: j E m y t y ( E V ) y 0 m stationäre Schrödinger-Gleichung 11. Die Schrödinger-Gleichung Zur Lösung der stationären Schrödinger-Gleichung werden gebraucht: 1. Der räumliche Verlauf von V (r). Aussagen über die Grösse des Gebietes, in dem sich das Elektron bewegt 3. Werte an den Rändern dieses Gebietes (Randwerte) Für den zeitabhängigen Teil der Wellenfunktion (t) ergibt sich die Lösung ( t) exp j Sie beschreibt einen zeitlich harmonischen Vorgang mit der (Kreis-)Frequenz E f E t 1 6

7 . Die Schrödinger-Gleichung Das kräftefreie Elektron: Für V = 0 vereinfacht sich die stationäre Schrödinger- Gleichung zu E 0 y m oder k y 0 mit dem Quadrat der Wellenzahl k kx k y kz me bzw. k E m Die beiden linear unabhängigen Lösungen lauten y exp jk r 13. Die Schrödinger-Gleichung Die Wellenfunktion des kräftefreien Elektrons ist eine ebene Welle y ( r) ( t) exp die sich in Richtung des Wellen- oder Ausbreitungsvektors k mit der (Materie-) Wellenlänge / k und der Frequenz ausbreitet. Energie E und Wellenzahl k hängen quadratisch zusammen: E Das nennt man auch parabolische Dispersionsrelation. Durch Vergleich mit der klassischen kinetischen Energie E p / m erkennt man nochmal, dass in der Quantenmechanik der Zusammenhang zwischen Impuls und Wellenzahl gilt. k m p k j k r t 14 7

8 . Die Schrödinger-Gleichung Quantenmechanische Fragestellungen 1. Welche physikalische Bedeutung hat die Wellenfunktion?. Wie berechnet man bestimmte physikalische Grössen (Energie, Impuls, Drehimpuls, ) mithilfe der Wellenfunktion? Niels Henrik David Bohr Die Wellenfunktion ist komplex, sie selbst kann daher keine physikalische Grösse repräsentieren. Jedoch, gemäss der Kopenhagener Schule (Niels Bohr, 196) gilt: 1. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit, d.h. die Wahrscheinlichkeit w r, t ein Elektron am Ort r zur Zeit t anzutreffen, beträgt, * * mit w r, t r, t r, t r, t dv 1. Der Mittelwert der kinetischen Energie E kin des Elektrons beträgt * E dv m 15. Die Schrödinger-Gleichung Der Potentialtopf V(x) V( x) 0 für x 0, x a im Inneren y ( x) Ae jkx Be y ( 0) y ( a) 0 jkx im Inneren (die Elektronenwelle kann in eine unendlich hohe Potentialwand nicht eindringen!) Ausnutzung der beiden Randbedingungen ergibt die Gleichungen jka jka A B 0 Ae Be 0 oder zusammen: sin( ka) 0 Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden 16 8

9 Potenzialtopf sin( ka) 0 ist die Quantisierungsbedingung für die Wellenzahl k. Nur diskrete Werte n k n mit n = 1,, a erfüllen diese Bedingung. Daher ist auch die Energie quantisiert: E n k m n n ma a) Die vier niedrigsten Energieniveaus, b) zugehörige Wellenfunktionen, c) zugehörige Aufenthaltswahrscheinlichkeiten. 17 Potenzialtopf Die Wellenfunktionen sind stehende Wellen: y ( x) n n sin x a a Wellenlänge: a n n k n a) Die vier niedrigsten Energieniveaus, b) zugehörige Wellenfunktionen, c) zugehörige Aufenthaltswahrscheinlichkeiten. 18 9

10 .3 Anwendungen der Schrödinger-Gleichung Die Potentialstufe Ae y ( x) Be jkx jkx E V 0 E V 0 k mv E 0 Die Quantenmechanik erlaubt eine endliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens im Bereich II, der bei Energien E < V 0 klassisch verboten ist. Einfallende Wellen mit E < V 0 werden vollständig reflektiert und dringen dabei gleichzeitig in den Bereich II ein. Funktionsverlauf der Potentialstufe. Einfallende Wellen mit E > V 0 werden teilweise reflektiert und teilweise über die Potentialstufe hinweg in den Bereich II hinein transmittiert Anwendungen der Schrödinger-Gleichung Die Potentialbarriere Durchdringungswahrscheinlichkeit: T exp k a Die Quantenmechanik erlaubt eine endliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilches im (klassisch verbotenen) Bereich II. Einfallende Wellen werden teilweise reflektiert, sie können aber den Bereich II durchdringen, und damit die Barriere überwinden (Tunneleffekt). 0 10

11 .3 Anwendungen der Schrödinger-Gleichung: Der Tunneleffekt Tunneleffekt ist in der Physik eine veranschaulichende Bezeichnung dafür, dass ein atomares Teilchen eine Potentialbarriere von endlicher Höhe auch dann überwinden kann, wenn seine Energie geringer als die Höhe der Barriere ist. Nach den Vorstellungen der klassischen Physik wäre dies unmöglich, nach der Quantenmechanik ist es möglich. Reflexion an und Durchtunneln einer Potentialbarriere durch ein Elektron-Wellenpaket. Ein Teil des Wellenpaketes geht durch die Barriere hindurch, was nach der klassischen Physik nicht möglich wäre. Ein Teilchen trifft von links kommend auf eine Potentialbarriere. Die Energie des getunnelten Teilchens bleibt gleich, nur die Amplitude der Wellenfunktion wird kleiner und somit die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen aufzufinden Die Quantenmechanik von Atomen Das Einelektronenatom (H-Atom) Die Schrödingergleichung kann für das Wasserstoffatom exakt gelöst werden: Vier Quantenzahlen beschreiben den Zustand eines Elektrons: 1. die Hauptquantenzahl n = 1,,3,.. die Nebenquantenzahl l = n-1, n-,, 0 3. die magnetische Quantenzahl m = -l, -l+1,, 0,, +l 4. der Elektronenspin s = 1/ E n m e 4 n negative quantisierte Energien => gebundene Zustände Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit: a) im Grundzustand, b) im 1. angeregten Zustand. 11

12 .4 Die Quantenmechanik von Atomen Lösung der Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom: Die dreidimensionale Schrödinger-Gleichung (eine partielle Differentialgleichung) kann aufgrund der Kugelsymmetrie der elektromagnetischen Wechselwirkung in drei unabhängige Gleichungen separiert werden. Jede der drei Einzelgleichungen kann mathematisch exakt gelöst werden. Die wichtigste Gleichung ergibt die Energiezustände und Energiewerte des Elektrons im Wasserstoffatom; es ist üblich, die verschiedenen diskreten Energiewerte über die Hauptquantenzahl n als E n zu bezeichnen. Der tiefste Energiezustand ist E 1, die weiteren Anregungszustände sind E und E 3. Die beiden anderen Gleichungen enthalten die Winkelabhängigkeit (Bahndrehimpulsquantenzahl, magnetische Quantenzahl). Das Wasserstoffatom ist eines der wenigen quantenmechanischen Systeme, die sich exakt berechnen lassen. Die Lösung der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom ist auch deshalb ein Standardverfahren der universitären Physik- und Chemieausbildung und wird auch als Wasserstoffproblem bezeichnet. 3 Das Periodensystem der Elemente 4 1

13 5 13