Halbleiterphysik und Anwendungen Vorlesungsplanung Teil 5: Optische Übergänge in Halbleitern Prof. Dr.

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1 Halbleiterphysik und Anwendungen Teil 5: Optische Übergänge in Halbleitern Prof. Dr. Sven Ingebrandt Fachhochschule Kaiserslautern - Standort Zweibrücken Vorlesungsplanung Grün: Termine, die ausfallen Rot: Ersatztermine 2 1

2 Inhaltsverzeichnis: Kristallstruktur von Festkörpern Reziprokes Gitter und Röntgenbeugung Leitfähigkeit in Halbleitern Quantenmechanische Prinzipien Quantentheorie des Halbleiters Energiebänder und verbotene Zonen Kronig-Penney Modell Optische Übergänge in Halbleitern (Exzitonen, Absorption, Rekombination) Optische Bauelemente Heterostrukturen Jenseits von CMOS Speicherbauelemente Quantenbauelemente 3 Teil 5: Optische Übergänge in Halbleitern 4 2

3 Bandlücke Als Bandlücke (englisch band gap), auch Bandabstand bzw. verbotene Zone, wird der energetische Abstand zwischen Valenzband und Leitungsband eines Festkörpers bezeichnet. Dessen elektrische und optische Eigenschaften werden wesentlich durch die Größe der Bandlücke bestimmt. Direkte Bandlücke Indirekte Bandlücke 5 Bandstrukturen in Halbleitern In dreidimensionalen Kristallstrukturen hängt die Energie nicht nur vom Betrag des Wellenvektors k ab, sondern auch von dessen Richtung Bandstrukturen für Ge, Si und GaAs Indirekte Bandlücke: Ge, Si Direkte Bandlücke: GaAs Leitungsband: - elektronenartig (s) Valenzband: - schwere Löcher (p) - leichte Löcher (s) - Spin-Bahn abgespaltenes Band (s) 6 3

4 Absorption bei direkter Bandlücke Maximum des Valenzbands und Minimum des Leitungsbands bei gleichem k Mindestenergie für Absorption eines Photons: E liefert die Bandlücke E g g g (a) Photonenübergang bei direkter Bandlücke: der tiefste Punkt des LB liegt bei demselben k-wert wie der höchste Punkt des VB. Ein direkter, senkrechter optischer Übergang ist eingezeichnet. Dabei ändert sich k nur unbedeutend, da das absorbierte Photon einen sehr kleinen Wellenvektor besitzt. Die Grenzfrequenz g für Absorption durch einen direkten Übergang bestimmt die Energielücke E g. (b) Verlauf der Absorption vs. Photonenenergie [Kittel] 7 Absorption bei indirekter Bandlücke (a) Photonenübergang bei indirekter Bandlücke: die Bandkanten des VB und LB sind im k-raum weit getrennt (Differenz: ~k c ). Am indirekten Übergang sind sowohl ein Photon als auch ein emittiertes Phonon mit Wellenvektor k c K und Energie beteiligt. Die Schwellenergie für den indirekten Prozess ist grösser als die tatsächliche Bandlücke und liegt bei: E g E g 8 4

5 Absorption bei indirekter Bandlücke Valenzband- und Leitungsbandkante bei verschiedenem k mit Differenz k L k V k c notwendiger Impulsübertrag k c durch Emission eines Phonons (aus Impulserhaltung (1.2) mit Photonimpuls / c 0 K k c Energie des Phonons ( ev) im allgemeinen vernachlässigbar klein gegen E g (~ 1eV ) ) "waagrechter" Übergang in E k E g E g 9 Absorption bei indirekter Bandlücke (b) Verlauf der Absorption vs. Photonenenergie: die optische Absorption nahe der Schwelle ist geringer und erfolgt unter Anregung eines Elektron-Loch-Paares und Emission eines Phonons (Energie ). Bei E vert steigt die Absorption stark an, da nun auch direkte Absorption ("senkrechter Übergang" ohne Emission eines Phonons) erfolgen kann. [Kittel]. 10 5

6 Absorption bei indirekter Bandlücke Bemerkungen: Absorption von Photon & Emission eines Phonons in einem Schritt viel kleinere Wahrscheinlichkeit als direkter Übergang relativ schwache Absorption auch Absorption eines Phonons, falls T > 0; - Einsatz bei Energie E g - stark T-abhängiger Prozess! 11 Phononen Ein Phonon ist ein Quasiteilchen, das in der theoretischen Festkörperphysik verwendet wird, um die Eigenschaften der quantenmechanisch beschriebenen Gitterschwingungen in einem Kristall mit Hilfe eines vereinfachten Modells beschreiben zu können. Phononen sind delokalisiert, das heißt ein Phonon existiert im ganzen Kristallgitter und lässt sich keinem bestimmten Ort zuordnen (analog zur Blochwelle bei der Beschreibung des Elektrons im Gitter). Man unterscheidet akustische optische Phononen. 12 6

7 Phononen Akustische Phononen: Sie werden auch als Schallquanten bezeichnet Sie entsprechen weitestgehend den Schallwellen, die sich durch das Kristallgitter fortpflanzen. Dabei bewegen sich alle Atome einer Basis in Phase Gitterschwingung (Akustische Phononen) Optischen Phononen: Die Atome einer Basis bewegen sich gegenphasig Die Bezeichnung optisch beruht darauf, dass die Schwingungsfrequenzen optischer Phononen oft im Bereich des infraroten oder sichtbaren Lichts liegen. Diese Benennung erfolgt dabei unabhängig davon, ob die Phononen tatsächlich optisch aktiv sind. 13 Phononen Normale Vibrationsmoden die sich in einem Kristall fortpflanzen. Die Amplitude der Bewegung ist in der Animation übertrieben stark dargestellt, um den Effekt zu verdeutlichen. In einem realen Kristall ist die Bewegung typischerweise viel kleiner als der Gitterabstand. 14 7

8 Phononen Optischen Phononen: Optische Aktivität bedeutet, dass ein Phonon mit einem Photon wechselwirken kann, dass also ein Phonon erzeugt werden kann, indem ein Photon absorbiert wird, oder dass umgekehrt ein Photon emittiert werden kann, indem ein Phonon vernichtet wird. Optische Aktivität kann nur dann vorliegen, wenn innerhalb der Basis elektrische Polarisation vorliegt, was im Allgemeinen genau dann der Fall ist, wenn die Basis aus verschiedenen Atomen aufgebaut ist. Kristalle, die mit infraroten Photonen wechselwirken, nennt man infrarot-aktiv. Beispiele für solche Gitter sind Ionengitter, zum Beispiel in Natriumchloridkristallen. Das Modell der Gitterschwingungen setzt eine kristalline Ordnung des Festkörpers voraus. Auch amorphe, also nicht kristallin geordnete Festkörper wie Gläser zeigen Schwingungen der Elementarteilchen untereinander, man bezeichnet diese aber nicht als phononische Schwingungen. 15 Phononen In einem dreidimensionalen Kristall mit N Atomen in der primitiven Basis existieren zu jedem mit der Kristallsymmetrie verträglichen Wellenvektor 3N mögliche Schwingungsmoden: 3 akustische (davon eine longitudinal und zwei transversal) (3N-3) optische Der Zusammenhang zwischen Frequenz und Wellenvektor ist durch die Phononendispersion (analog zur Energiedispersion) gegeben. Bei Wellenlängen, die gegenüber der Gitterkonstante groß sind, gilt für akustische Phononen eine lineare Beziehung c s K, mit der jeweiligen Schallgeschwindigkeit c s ). Die Energiezustände E n der Phononen berechnen sich äquivalent zu den Niveaus eines harmonischen Oszillators nach 1 E( k) ( k) n

9 Phononen: Dispersion Die Dispersionsrelation gibt die Abhängigkeit der Kreisfrequenz von der Wellenzahl k an. Bei Phononen ergibt sich diese Beziehung aus der Newtonschen Bewegungsgleichung. Dazu nimmt man an, dass sich die Atome in einem periodischen Potential V befinden, in dem sie Schwingungen ausführen. Zwei benachbarte Atome haben einen Phasenunterschied von k a, wobei a der Abstand zweier benachbarter Atome in der Ruhelage ist. Ein Phasenunterschied von 2p entspricht einem von Null; höhere Phasenunterschiede sind dementsprechend äquivalent mit einem Wert zwischen 0 und 2p. Aus Symmetriegründen betrachtet man das Intervall zwischen -p und p. Das entspricht k- Werten aus der ersten Brillouin-Zone. Dadurch hat man alle physikalisch relevanten Wellenzahlen abgedeckt. 17 Phononen: Akustische Phononen Für das einfache Modell einer linearen Kette von Atomen, die durch Federn miteinander verbunden sind, lautet die Dispersionsrelation f ( k) 2 k cs k m wobei f die Federkonstante zwischen den zwei benachbarten Ebenen und m die Masse des Atoms ist. Für niedrige Werte von k ( ak 1 ) lautet der Ausdruck näherungsweise f c s ist die Schallgeschwindigkeit. ( k) a k cs k m An den Zonengrenzen gilt Die Gruppengeschwindigkeit, also die Geschwinf digkeit des Energietransports im Medium, ergibt 2 const sich zu 2 m d fa ka v g cos Am Zonenrand ist die v g Null: Stehende Welle dk m

10 Phononen: Optische Phononen Die optischen Äste existieren bei einer aus unterschiedlichen Atomen bestehenden Basis oder bei einem System mit unterschiedlichen Kraftkonstanten C (ähnlich der Federkonstanten). Beides führt zu einem Atomgitter mit mehr als einem Atom in der Basis. Die Formel beschreibt die Dispersionsrelation für das Modell einer lineare Kette mit zwei unterschiedlichen Atomen, welche die Massen m 1 und m 2 haben. Die Kraftkonstante C bleibt konstant. 2 C m1 m2 4m1 m2 2 ( k) 1 1 sin ( kd) 2 m1 m2 m1 m2 Der optische Zweig ist höherfrequenter als der akustische und nahezu dispersionslos. 19 Optische Absorption Die Fähigkeit eines Festkörpers, Licht zu absorbieren ist an die Bedingung geknüpft, die Photonenenergie mittels Anregen von Elektronen aufzunehmen. Da keine Elektronen in den verbotenen Bereich zwischen Valenz- und Leitungsband angeregt werden können, muss die Energie eines Photons die der Bandlücke übertreffen ansonsten kann das Photon nicht absorbiert werden. Die Energie eines Photons ist über die Formel E = hn an die Frequenz n der elektromagnetischen Strahlung gekoppelt. Besitzt ein Festkörper eine Bandlücke, so ist er demnach für Strahlung bis zu einer gewissen Frequenz transparent! (Im Allgemeinen ist diese Aussage nicht ganz korrekt, da es auch andere Möglichkeiten gibt, die Photonenenergie zu absorbieren)

11 Optische Absorption Es lassen sich speziell für die Durchlässigkeit von sichtbarem Licht (Photonenenergien um 2 ev) folgende Regeln ableiten: Metalle können nicht transparent sein. Transparente Festkörper sind meistens Isolatoren. Es gibt aber auch elektrisch leitfähige Materialien mit vergleichsweise hohem Transmissionsgrad, z. B. transparente, elektrisch leitfähige Oxide. Da die Absorption eines Photons mit der Anregung eines Elektrons vom Valenz- ins Leitungsband verbunden ist, besteht ein Zusammenhang mit der elektrischen Leitfähigkeit. Insbesondere sinkt der elektrische Widerstand eines Halbleiters mit steigender Lichtintensität, was z. B. bei Helligkeitssensoren genutzt werden kann. 21 Absorptionskoeffizient (1) Photonen, die Quanten des elektromagnetischen Feldes, können mit dem Halbleiterkristall wechselwirken. Neben Wechselwirkung mit Phononen, flachen Störstellen oder anderen Defekten, ist die technisch wichtigste die Wechselwirkung mit den Valenzelektronen, die zur Generation von e-h-paaren führt. c hc µm n E E Optische Generation von Elektron-Loch- Paaren in einem Halbleiter

12 Absorptionskoeffizient (2) Das Verhältnis aus Photonenenergie E = hn und Bandlücke E g entscheidet darüber, ob das Photon absorbiert wird oder nicht. Wenn hn > E g, wird ein e-h-paar generiert, wobei die überschüssige kinetische Energie in Wärme umgewandelt wird (Dissipation). Die Intensität des Photonenflusses bezeichnet man mit I n (x) [ev/cm 2 s]. Treffen Photonen bei x auf, so ist die absorbierte Photonenenergie pro Zeit und Fläche zwischen x und x+dx n I ( x) dx 23 Absorptionskoeffizient (3) Der Absorptionskoeffizient ist die relative Zahl von Photonen, die pro Längeneinheit absorbiert werden [1/cm] In ( x) I n ( x dx) In ( x) dx In ( x) dx dx In ( x) I dx n ( x) Mit der Anfangsbedingung I die Lösung In ( x) In 0 e x n ( 0) In 0 lautet Räumlicher Verlauf der Lichtintensität für zwei Werte des Absorptionskoeffizienten

13 Absorptionskoeffizient (4) Beispiel: Messung der optischen Absorption in InSb (Absorptionskoeffizient aus Intensität x I I 0 e x: Dicke des Kristalls) Optische Absorption in reinem Indiumantimonid, InSb. Da sowohl Leitungs- als auch Valenzbandkante in der Mitte der Brillouin-Zone bei k = 0 liegen, ist der Übergang direkt. Bemerkenswert ist die scharfe Schwelle [Kittel] Optische Übergänge in Halbleitern Absorptionskoeffizient (4) Si und Ge sind die einzigen indirekten Halbleiter in diesem Diagramm, man sieht den weichen Einsatz der Absorption sehr deutlich. Messungen des Absorptionskoeffizienten sehen so aus: 26 13

14 Spektrale Empfindlichkeit verschiedener Halbleiter 27 Bestimmung der Bandlücke Weitere Möglichkeiten der Bestimmung der Bandlücke: aus T-Abhängigkeit der Leitfähigkeit aus T-Abhängigkeit der Ladungsträgerdichte (Messung der Hall-Spannung) Vorteil der optischen Messungen: Unterscheidung zwischen direkter und indirekter Bandlücke. Ge, Si: indirekt InSb: direkt (s. Abb. Letzte Folie) Sn: direkt mit E g = 0 HgTe, HgSe: Halbmetall mit negativer Bandlücke ( Überlapp der Bänder) Photonen im optischen Bereich (mit Wellenlängen von nm) besitzen eine Energie von ca ev. Kristalle mit grossen Energielücken (insbesondere Isolatoren) sind durchsichtig

15 Anmerkung Bei Metallen (ohne Energielücke) sind zunächst alle optischen direkten und indirekten Übergänge möglich sehr starke Absorption, nicht nur im optischen Bereich (hohes Reflexionsvermögen, spiegelnde Oberflächen) Übergänge in höhere - unbesetzte - Bänder: sind (wie bei Nichtleitern) erst ab einer bestimmten Energie möglich (Einsetzen einer verstärkten Absorption). Falls diese Energie im optischen Bereich liegt ergibt dieser Effekt die charakteristische Färbung der Metalle (z. B. Gold, Kupfer) 29 Energielücke zwischen VB und LB (i= indirekte Lücke, d= direkte Lücke) [Kittel] 30 15

16 Generation von Elektron-Loch-Paaren Da die Intensität des Photonenflusses I n (x) [ev/cm 2 s] ist, ist die Absorptionsrate gleich I n (x) [ev/cm 3 s]. Dies ist die pro Volumen und Zeit absorbierte Energie (= Rate). Nimmt man an, dass ein absorbiertes Photon der Energie hν ein e-h-paar generiert, dann ist die entsprechende Generationsrate I n ( ) g' hnx mit der Masseinheit [Anzahl / cm 3 s]. Das Verhältnis I n (x)/hν ist der Photonenfluss (Teilchenfluss). Im allgemeinen ist die sogenannte Quantenausbeute kleiner als 1, d.h. nicht jedes Photon generiert ein e-h- Paar. Dann muss g mit einem Effizienzfaktor multipliziert werden. 31 Generation von Elektron-Loch-Paaren Zahlenbeispiel: GaAs bei 300K. Die Intensität des Photonenflusses am Ort x sei I n (x) = 0.05 W/cm 2 bei einer Wellenlänge von 0.75 µm, was typisch für Sonnenlicht ist. Der Absorptionskoeffizient von GaAs bei dieser Wellenlänge ist = /cm. Die Photonenenergie ist E = hn = 1.24/0.75 ev = 1.65 ev. Daraus erhält man g = /( ) = /(cm 3 s). Mit einer Minoritätsladungsträger-Lebensdauer von = 10-7 s folgt daraus eine Ladungsträger-Überschussdichte von δn = g = cm

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