Gliederung der Vorlesung Festkörperelektronik

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1 Gliederung der Vorlesung Festkörperelektronik 1. Grundlagen der Quantenphysik 2. Elektronische Zustände 3. Aufbau der Materie 4. Elektronen in Kristallen 5. Halbleiter 6. Quantenstatistik 7. Dotierte Halbleiter 8. Der pn-übergang

2 4.1 Vom Atom zum Molekül zum Festkörper Verallgemeinerung von zwei auf Atome

3 Vom Molekül zum Festkörper Verallgemeinerung von zwei auf Atome

4 Potential eines Gitters Viele Atome mit Abstand a und überlappenden Potentialen Es ergibt sich ein periodisches Gesamtpotential (gestrichelt).

5 Energiezustände des Gitters Temperatur = 0 K: Aufspaltung der Energiezustände Für N Atome Aufspaltung in N Energiezustände Diese energetisch nahe zusammenliegenden Zustände bilden Bänder von erlaubten Zuständen. Komplexes Verhalten durch Überkreuzungen Abb.: Schema der Energieniveaus, wenn (fiktiv) aus unabhängigen Si-Atomen durch Verringerung des atomaren Abstandes ein Kristall gemacht wird.

6 4.2 Halbleiterkristalle - chemische und physikalische Eigenschaften der Elemente sind durch ihre Elektronenkonfiguration im Grundzustand sowie durch naheliegende angeregte Zustände bestimmt - z.b. Germanium Ge (32 Elektronen) und Silizium Si (14 Elektronen): - jeweils vier Elektronen in der äußersten Schale

7 Atome in Festkörpern - Elektronen in der äußersten Schale gehen Verbindungen mit anderen Atomen ein (kovalente Bindung, teilweise ionisch bei unterschiedlichen Atomen, z.b. GaAs) - Anordnung der Atome erfolgt so, dass die Gesamtenergie minimal wird Dies ist oft gegeben, wenn eine Unterschale gefüllt wird. Jedes Si- oder Ge-Atom geht Verbindungen mit vier weiteren Atomen ein.

8 Ordnung in Festkörpern Je nach Art der Herstellung können sich die Atome verschieden geordnet zu Festkörpern zusammenschliessen. Kristalle: Die Atome sind periodisch angeordnet. Polykristalline Festkörper: Kristalline Bereiche, aber keine Fernordnung Amorphe Festkörper: nur Nahordnung, keine Periodizität, keine Fernordnung. - Halbleitermikroelektronik wird dominiert durch kristalline Siliziumchips - Halbleiteroptoelektronik wird dominiert durch Verbindungshalbleiter (mehr als ein Element) - polykristalline und amorphe Halbleiter bei großflächiger und kostengünstiger Elektronik kristallin polykristallin amorph Source: Wolfe, Holonyak, Stillman

9 Ordnung in Festkörpern Kristalliner Wafer Si-Mikroelektronik Polykristalline Si-Solarzelle Amorphe Dünnfilmtransistoren

10 3D-Kristallgitter In 3D wird die Anordnung durch drei Gittervektoren a 1, a 2 und a 3 eindeutig beschrieben. In 3D gibt es 14 verschiedene Kristallgitter. Die Grundeinheit Sie kann auch eine kompliziertere Einheit Atomen sein. muss nicht ein einzelnes Atom sein. aus mehreren simple cubic einfach kubisch (sc) body-centered cubic kubisch raumzentriert (bcc) face-centered cubic kubisch flächenzentriert (fcc) Source: B. Van Zeghbroeck

11 Verbindungshalbleiter Verbindungshalbleiter bilden sich ebenfalls nach der Regel, möglichst die Unterschalen zu füllen. Dadurch entstehen IV-IV, III-V und II-VI Halbleiter. Halbleiter aus zwei Elementen nennt man binäre Halbleiter. SiGe Halbleiter aus drei Elementen nennt man ternäre Halbleiter. z.b. Al 1-x Ga x As Halbleiter aus vier Elementen nennt man quarternäre Halbleiter. z.b. In 1-x Ga x As 1-y P y

12 Kristallstruktur von Si und Ge Si und Ge bilden Diamantgitter Die Diamantstruktur hat ein fcc-gitter mit einer Einheitszelle, die aus zwei Atomen bei (0,0,0) und (1/4,1/4,1/4)a besteht. a ist die Länge der Einheitszelle.

13 Einkristallwachstum: Czochralski-Verfahren -für gute Transporteigenschaften ist einkristallines Material erforderlich Bruchstücke von poly-si werden unter Schutzgas aufgeschmolzen (T S =1415 C) Eintauchen eines einkristallinen Keims einkristallines Wachstum unter Zieh- und Drehbewegungen Wachstum von einkristallinen Stäben

14 Einkristallwachstum: Czochralski-Verfahren -für gute Transporteigenschaften ist einkristallines Material erforderlich Bruchstücke von poly-si werden unter Schutzgas aufgeschmolzen (T S =1415 C) Eintauchen eines einkristallinen Keims einkristallines Wachstum unter Zieh- und Drehbewegungen Abbildung eines einkristallinen Si-Stabes Wachstum von einkristallinen Stäben

15 Methoden der Epitaxie: MBE Molekularstrahlepitaxie (molecular beam epitaxy, MBE) Verdampfung der Elemente aus fester Quelle im Ultrahochvakuum (10-10 mbar)

16 4.3 Periodische Potentiale Periodische Anordnung von Atomen Periodisches Potential V(x) Schematische Darstellung eines quantenmechanischen Elektrons in einem periodischen Potential eines kristallinen Festkörpers Drastische Effekte, wenn die halbe Wellenlänge der Elektronen (oder ein ganzzahliges Vielfaches) gleich der Periode des Potentials ist Ausbildung von stehenden Wellen

17 Vom freien Elektron zum Kristallelektron E -π/a π/a gestreute Teilwellen Dispersionsrelation des freien Elektrons E einfallendes Elektron a a a 2 2 k = Konstruktive Überlagerung 2m der Teilwellen falls λ/2=a oder k=π/a

18 Vom freien Elektron zum Kristallelektron c) Ψ*Ψ(x) obere Bandkante b) Ψ*Ψ(x) untere Bandkante Dispersionsrelation des Kristallelektrons Aufspaltung der Parabeläste bei IkI=π/a, Ausbildung von stehenden Wellen -bei einer Wellenlänge zwei qualitativ unterschiedliche Möglichkeiten die stehende Welle im Verhältnis zu den Atomrümpfen zu platzieren.

19 Vom freien Elektron zum Kristallelektron Gittervektoren: R = na = nae n x Reziproker Gittervektor: 2 K π = e 2 π x K n = n ex a a

20 Periodische Bandstruktur Es genügt, den Bereich von -0.5K bis 0.5K darzustellen. Diesen Bereich nennt man die erste Brillouin-Zone. Einfachere Darstellung

21 Gegenüberstellung freie Elektronen Bloch-Elektronen Freie Elektronen Reduktion auf die erste Brillouin-Zone Bloch-Elektronen Klassifizierung nach dem Wellenvektor: Ψ ( r ) = e ikr k mit E k ka Klassifizierung nach reduziertem Wellenvektor k und Bandindex n: Ψ ( ) ikr nk r = e 2 u ( k) ( r) nk = unk ( r) = unk ( r + R 2m ) 0 (gitterperiodische Funktion)

22 Bloch-Elektronen Ψ ( r) = e ikr u ( r) nk nk

23 Richtungsabhängigkeit des Potentials Bisher haben wir nicht bedacht, dass das Potential für die verschiedenen Raumrichtungen verschieden ist. Nehmen wir z.b. an wir haben ein 2D-Gitter. Die Atome sind entlang der X-Richtung näher zusammen als entlang der L-Richtung. Daher erwarten wir, dass durch den unterschiedlichen Potentialverlauf auch die Energiezustände unterschiedlich sind. X Γ L z.b. beim quadratischen Gitter in 2D: Γ: K=(0,0) X: K=(0,1) L: K=(1,1)

24 Richtungsabhängigkeit des Potentials In der Tat zeigen Berechnungen, dass die Energiezustände richtungsabhängig sind. Oft werden deshalb in einem Bandstruktur-Diagramm die Energiezustände für verschiedene relevante Richtungen gezeigt: Γ K=(0,0) X K=(0,1) Γ (0,0) L k=k(1,1) L Γ X

25 Bandstruktur von Silizium Darstellung der Eigenzustände in Bandstrukturen. Gibt wieder die Abhängigkeit von ω (bzw. E) von k an. Allerdings handelt es sich nicht mehr um einzelne ebene Wellen sondern um komplexe Überlagerungen. Die neuen Eigenzustände heissen Blochzustände.

26 Bandstruktur von Germanium

27 Bandstruktur von GaAs