Physik im Querschnitt (nicht vertieft) Übungsblatt Atom- und Molekülphysik

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1 Physik im Querschnitt (nicht vertieft) Übungsblatt Atom- und Molekülphysik WS2018/19 Pupeza/Nubbemeyer Aufgabe 25 Spektroskopie von Quantenniveaus a) Benennen Sie zwei Experimente, mit denen sich die Quantisierung von Energieniveaus und die damit verbundenen Übergänge nachweisen lassen! b) In einem Experiment werden die folgenden Energieniveaus relativ zum Vakuum für drei verschiedene Quantensysteme bestimmt: i) E = 0,5 ev; 1,5 ev; 2,5 ev; 3,5 ev; 4,5 ev; 5,5 ev ii) E = 2,0 ev; 8,0 ev; 18 ev; 32 ev; 50 ev; 72 ev; 98 ev iii) E = -10,0 ev; -2,5 ev; -1,1 ev; -0,625 ev; -0,40 ev; -0,27 ev; -0,20 ev Skizzieren Sie schematisch die Energieniveaus der drei Quantensysteme in je einem eigenen Graphen! Ordnen Sie die folgenden drei Potenziale den Systemen (i) bis (iii) zu: Coulomb- Potenzial, Potenzial des harmonischen Oszillators beziehungsweise Kastenpotenzial. Zeichnen Sie den entsprechenden Potenzialverlauf V(x) als Funktion der Ortskoordinate x ein! c) Die Zustände des Wasserstoatoms werden mittels der Hauptquantenzahl n charakterisiert. Benennen Sie weitere notwendige Quantenzahlen zur eindeutigen Beschreibung der Eigenzustände des Wasserstoatoms! Geben Sie die Werte dieser Quantenzahlen an, die sie jeweils bei gegebener Hauptquantenzahl n annehmen können! Führen Sie für n=3 alle Zustände explizit auf! Berechnen Sie mit diesen Überlegungen den Entartungsgrad eines Zustands der Hauptquantenzahl n im Wasserstoatom unter Vernachlässigung der Spin-Bahn-Wechselwirkung! d) Benennen Sie zwei Mechanismen, durch welche die Breiten von Emissionslinien im atomaren Wassersto beeinusst werden können! e) Schätzen Sie den Durchmesser d = 2r der Grundzustands-Wellenfunktion des Wasserstoatoms ab! Betrachten Sie hierzu die kinetische Energie E kin, die durch eine Impulsunschärfe p hervorgerufen wird, nähern Sie E kin durch den Betrag der halben Bindungsenergie und verwenden Sie dann die Heisenbergsche Unschärferelation! Vergleichen Sie den so erhaltenen Wert für r mit der De-Broglie-Wellenlänge des gebundenen Elektrons! Erläutern Sie in einem halbklassischen Bild, wie sich die Quantisierung der Energieniveaus aus der Wellennatur des Elektrons ergibt!

2 Aufgabe 26 Atomspektroskopie In der Sonne vollzieht sich im ionisierten Helium (He + ) unter Photonenemission ein Übergang vom Zustand mit der Hauptquantenzahl n = 6 zum Zustand mit n = 2. a) Verwenden Sie das Bohr'sche Atommodell, um die Übergangsenergie zu berechnen (in ev). Geben Sie auch die zugehörige Wellenlänge an. b) Können diese Photonen von den in der Sonne vorkommenden Wasserstoatomen resonant absorbiert werden? Wenn ja, zwischen welchen Energiezuständen vollzieht sich der resonante Übergang im Wasserstoatom? c) Ist für diese Atome die Verwendung nichtrelativistischer Gleichungen im Bohrschen Atommodell angebracht? Berechnen Sie dazu für den Grundzustand des Wasserstoatoms die Geschwindigkeit des Elektrons v in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit c. d) Elektronen, die durch eine Potentialdierenz von 12,3 V beschleunigt wurden, treen auf Wasserstoatome im Grundzustand. Welche Wellenlängen treten im emittierten Licht auf und in welchen Spektralbereichen des elektromagnetischen Spektrums liegen diese jeweils? e) Ein angeregtes Wasserstoatom bendet sich im 6d-Zustand. Benennen Sie alle Zustände (n, l), in die das Atom unter Emission eines Photons erlaubter Weise übergehen kann. Wie viele verschiedene Wellenlängen treten auf (ohne Berücksichtigung der Feinstruktur)? Bestimmen Sie die zugehörigen Wellenlängen. (6 Punkte)

3 Aufgabe 27 Atome im Magnetfeld a) Betrachten Sie zunächst einen elektronischen d-zustand und einen elektronischen p-zustand ohne Berücksichtigung des Elektronenspins (d.h. Annahme Spin s = 0, ausschlieÿlich Bahndrehimpuls 1). Geben Sie für die beiden Zustände den Betrag des Drehimpulsvektors l an, sowie die möglichen Werte der magnetischen Quantenzahl m l und der dritten Komponente l z, des Drehimpulsvektors! Geben Sie auch den Entartungsgrad ohne äuÿeres B-Feld (d.h. für B = 0) an, d.h. die Anzahl der Zustände gleicher Energie! b) Der betrachtete p-zustand liege energetisch tiefer als der d-zustand, wie dies z.b. für 2p und 3d zutrit. Durch das Anlegen eines äuÿeren Magnetfeldes spaltet nun sowohl der als auch der p-zustand energetisch in mehrere Energieniveaus auf, da die quantisierten magnetischen Momente mit den Drehimpulsquantenzahlen verknüpft sind. Skizzieren Sie in einem Diagramm für beide Zustände die Energie E aller Niveaus als Funktion der Magnetfeldstärke, d.h. den E(B)-Verlauf. c) Das äuÿere Magnetfeld zeige in z-richtung. Die z-komponente µ z, des magnetischen Moments µ beträgt für die einzelnen Zustände µ z = h e 2m e m l (m l = magnetische Quantenzahl, d. h. z-quantenzahl des Bahndrehimpulses). Berechnen Sie die Energiedierenz E (Einheit: ev) zwischen dem höchstenergetischen und den tiefstenergetischen p-zustand für die Feldstärke B = 1,5T! d) Nun soll ein optischer Übergang zwischen dem d-zustand und dem p-zustand (z.b. 3d > 2p) stattnden. Hierbei beobachtet man im Zeeman-Eekt, dass die Spektrallinie dieses Übergangs im äuÿeren Magnetfeld in drei Linien aufspaltet. Skizzieren Sie für ein festes B- Feld die Energiewerte der Niveaus und die erlaubten Übergänge! Begründen Sie anhand der Auswahlregeln für optische Dipolübergänge, warum genau drei Linien auftreten! e) Aus dem Stern-Gerlach-Versuch hat sich anhand der räumlichen Aufspaltung eines Atomstrahls in einem B-Feld B z, mit einem Feldgradienten dbz zwingend die Existenz des Eigendrehimpulses des Elektrons (Spin) ergeben. Die Aufspaltung erfolgt durch die Kraft dz db F z = µ z z, mit µ dz z als z-komponente des magnetischen Moments, welches sich aus dem elektronischen Drehimpuls ergibt. Bestimmen Sie, in wie viele Komponenten der Strahl aufspalten würde i) für Bahndrehimpuls l = 0, sowie Spin s = 0, ii) für Bahndrehimpulsquantenzahl l = 1, sowie Spin s = 0, iii) für Bahndrehimpuls l = 0 und Spinquantenzahl s = 1/2!

4 Aufgabe 28 Molekülspektren a) Mikrowellen Der Orion-Nebel emittiert Mikrowellen u. a. mit einer Frequenz von f = 5, s 1. Zeigen Sie, dass diese Wellenlänge dem Übergang von n 1 = 107 auf n 2 = 106 im Wasserstoatom entspricht. b) Molekülbindungen Beschreiben Sie die Unterschiede zwischen ionischer Bindung, kovalenter Bindung und Vander-Waals-Bindung. Welche dieser Bindungen ist die schwächste? c) Schwingungen und Rotationen Moleküle können zu Schwingungen und Rotationen angeregt werden. Ordnen Sie die beiden Anregungen nach ihrer Energie und geben Sie typische Spektralbereiche für Schwingungsund Rotationsübergänge an. d) Rotationsspektrum 1 Das Rotationsspektrum eines zweiatomigen Moleküls beschreibt die Übergänge zwischen diskreten Rotationsenergieniveaus. Ein Beispiel zeigt Abb. 1. Welche Auswahlregel muss erfüllt sein, damit ein Übergang zwischen zwei Rotationsniveaus stattnden kann? Zeigen Sie, dass der Frequenzabstand benachbarter Absorptionslinien konstant sein muss. Hinweis: E rot = J(J + 1) h2 2Θ e) Rotationsspektrum 2 Bestimmen Sie das Trägheitsmoment des 1 H 35 Cl-Moleküls unter der Annahme, dass der Abstand zwischen den Absorptionslinien konstant ν = 19, 6cm 1 beträgt (siehe Abb. 1). Berechnen Sie auch den Abstand der beiden Atome im HCl-Molekül. (6 Punkte)

5 Aufgabe 29 Rotationsspektren zweiatomiger Gase a) Geben Sie die klassische Rotationsenergie eines zweiatomigen Moleküls (Hantel aus den Massen m 1 und m 2 ) als Funktion des Drehimpulses an! Die Rotation erfolgt um den Schwerpunkt des Systems senkrecht zur Verbindungsachse. b) In der Quantenmechanik ist der Drehimpuls gequantelt. Geben Sie die Eigenwerte des Drehimpulses in Abhängigkeit der Drehimpulsquantenzahl an! c) Der quantenmechanische Ausdruck für die Rotationsenergie lautet: E rot = J(J + 1) h2. 2Θ Welche physikalische Gröÿe wird durch Θ dargestellt? Welche Bedeutung hat das Produkt J(J + 1)? d) Skizzieren Sie in einem Energiediagramm die Rotationsniveaus und auf einer Energieskala die Positionen der Übergangsfrequenzen. Leiten Sie eine Formel für die Übergangsfrequenzen her, die in einem Absorptionsspektrum beobachtet werden! Beachten Sie dabei die Auswahlregel! e) Welche molekulare Gröÿe ist dann anhand der Absorptionsfrequenzen und der bekannten Massen der beteiligten Atome zugänglich und wie berechnet sie sich? f) Das Rotationsspektrum von HCl lässt sich im Experiment durch die direkte Absorption elektromagnetischer Strahlung bestimmen. Für H 2 funktioniert dies nicht. Begründen Sie diesen Unterschied! In welchem Frequenz- oder Wellenzahlenbereich nden sich die Rotationsübergänge? g) Nennen Sie einen Mechanismus, der zu einer endlichen Breite der einzelnen Absorptionslinien führt!

6 Aufgabe 30 Potentialtopf als Molekülmodell Als einfaches Modell für das Verständnis des optischen Verhaltens von langkettigen Farbstomolekülen kann ein eindimensionaler Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden herangezogen werden. Dabei wählt man die Länge L des Topfes gemäÿ der Zahl der Bindungen im Molekül. Wir nehmen hier an, dass jede Bindung die Länge L B = 0,15 nm zur Kastenlänge beiträgt und ein im Kastenpotential frei bewegliches Elektron beisteuert. Hinweis: Die Energiezustände eines Elektrons der Masse m 0 in einem eindimensionalen Potentialtopf der Länge L mit unendlich hohen Wänden sind gegeben durch: E n = h2 8m 0 L n 2 mit 2 n = 1, 2, 3,... (h ist das Plancksche Wirkungsquantum, m 0 die Ruhemasse des Elektrons). a) Berechnen Sie die Lage der unteren drei Energieniveaus E 1, E 2 und E 3 eines Elektrons für ein lineares Molekül mit 8 Bindungen (allgemein und Zahlenwerte)! b) Für die Absorption von Licht sind nur Übergänge zwischen benachbarten Niveaus relevant. Welche Übergangsenergien ndet man als Funktion der Quantenzahl n des unteren Niveaus (allgemein und Zahlenwerte für n = 1 und n = 4)? Wir besetzen nun die Zustände des Kastens mit den Bindungselektronen und nehmen dabei vereinfachend an, dass die Elektronen nicht untereinander wechselwirken und Energiezustände gemäÿ der oben angegebenen Formel besetzen. c) Für die Bindungselektronen gilt das Pauli-Prinzip. Bis zu welchem Niveau sind die Zustände in dem betrachteten Molekül mit acht Bindungen besetzt? d) Wir betrachten nun den allgemeinen Fall, dass k Bindungen in dem Molekül vorliegen (k gerade). Berechnen Sie allgemein, wie die Absorptionswellenlänge aus dem Grundzustand des Moleküls von der Zahl k der Bindungen abhängt! Geben Sie die Absorptionswellenlänge im Fall von k = 10 an (Zahlenwert)! (9 Punkte)