Ferienkurs Experimentalphysik Übung 4 - Musterlösung

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1 Ferienkurs Experimentalphysik 4 11 Übung 4 - Musterlösung 1. Übergänge im Wasserstoffatom (**) Ein Wasserstoffatom befindet sich im angeregten Zustand p und geht durch spontane Emission eines Photons in den Grundzustand 1s über. a) Berechnen Sie den Einsteinkoeffizienten für diesen Übergang für den Fall eines linear polarisierten Photons. Hinweise: Ψ nlml (r) = R nl (r)y lml (ϑ, ϕ), R 1 (r) = e r/a, R a 3/ 1 (r) = 1 re r/(a), 6a 5/ Y (ϑ, ϕ) = 1 3 4π, Y 1 (ϑ, ϕ) = cos ϑ, 4π dr r n e αr = n!. α n+1 b) Die mittlere Lebensdauer des p-zustands beträgt τ = 1.6 ns. Berechnen Sie die natürliche Breite für die Lyman-α-Linie (p 1s) und vergleichen Sie diese mit der Doppler-Breite bei Zimmertemperatur. c) Vergleichen Sie die sich aus b) ergebenden Breiten der Lyman-α-Linie (p 1s) mit der Hyperfeinstrukturaufspaltung (HFS) des Wasserstoffgrundzustandes, die durch die Wellenlänge λ = 1.1 cm zwischen den beiden F -Zuständen charakterisiert ist. Welche Temperatur muss erreicht werden, damit die HFS von einem idealen Spektrometer aufgelöst werden kann? Hinweis: Vernachlässigen Sie hierbei die Hyperfeinstruktur der p Energieniveaus d) Wie groß sind Übergangswahrscheinlichkeit und natürliche Linienbreite des Übergangs 3s p im Wasserstoffatom, wenn die Lebensdauer der Zustände τ(3s) = 3 ns und τ(p) =.1 µs betragen? Lösung a) Die Übergangswahrscheinlichkeit ist gemäß der Vorlesung gegeben durch A ik = e ωik 3 3 ε c 3 h M ik. Der p-zustand besitzt drei entartete m-komponenten (m =, ±1), da es sich jedoch laut Aufgabenstellung hier um ein linear polarisiertes Photon handelt, können wir uns auf m = beschränken. 1

2 Zunächst berechnen wir die einzelnen Komponenten des Matrixelements M ik = (M ik ) x + (M ik ) y + (M ik ) z mit Hilfe von Kugelkoordinaten. Man erhält (M ik ) x = (M ik ) y = (M ik ) z = ˆ ˆ ˆ ˆπ dr r 3 R 1 (r)r 1 (r) dϕ sin ϕ } {{ } = ˆπ dr r 3 R 1 (r)r 1 (r) dϕ cos ϕ ˆπ dr r 3 R 1 (r)r 1 (r) = 1 ˆ a 4 dr r 4 e 3 } {{ } =4!(a /3) 5 } {{ } = ˆπ r a ˆπ dϕ ˆπ ˆπ dϑ sin ϑy (ϑ, ϕ)y 1 (ϑ, ϕ) = dϑ sin ϑy (ϑ, ϕ)y 1 (ϑ, ϕ) = dϑ sin ϑ cos ϑy (ϑ, ϕ)y 1 (ϑ, ϕ) = dϑ sin ϑ cos ϑ } {{ } =/3 = 15/ 3 5 a Wir benötigen nun nur noch die Kreisfrequenz ω ik des emittierten Photons, welche sich mit Hilfe der Balmerformel für n = 1 und m = ( 1 E = ω = Ry* n 1 ) = 3 m 4 Ry* ω = π Hz berechnen lässt (Feinstruktur etc. kann hier vernachlässigt werden). Für die Übergangswahrscheinlichkeit erhalten wir letztendlich A ik = e a πε 4 c 3 Ry*3 = s 1. b) Der Zusammenhang zwischen der natürlichen Breite der Lyman-α-Linie und der Lebensdauer τ des p-zustandes ist gegeben durch ν nat = 1 πτ = 1 MHz. Für die Doppler-Verbreiterung ergibt sich gemäß der Formel aus der Vorlesung bei T = 93 K und der Frequenz ν die in a) berechnet wurde ν D = ν 8 ln kb T = 3.1 GHz 3 ν nat. c m H

3 c) Beim Übergang p 1s, können wir bei hinreichend guter Auflösung zwei Linien erkennen, jeweils für F = und F = 1 der HFS des 1s Energieniveaus. Damit die HFS aufgelöst werden kann, muss die Doppler-Verbreiterung kleiner sein als der Abstand zwischen den beiden Linien. ν c 8 ln kb T m H ν T m Hc 8 ln k B ( ) ν =.66 K. d) Der 3s-Zustand kann nur in den p-zustand zerfallen. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit für diesen Übergang Die natürliche Linienbreite ist ν nat = 1 π A ik = 1 τ(3s) = s 1. ( 1 τ(3s) + 1 τ(p) ν ) = 7 MHz.. Einsteinium und exotische Atome (**) a) Berechnen Sie für ein fast vollständig ionisiertes Einsteinium-Ion ( 54 99Es 98+ ) den Bahnradius und die Gesamtenergie im Grundzustand mit verschiedenen gebundenen Teilchen in der Hülle: i) Elektron ii) Myon (m µ 7m e ) iii) Anti-Proton b) Berechnen Sie für alle drei Fälle die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im 1s- Zustand innerhalb des Kernvolumens (R K 1.1 fm A 1/3 ). α Hinweise: R 1 (r) = 3 αr e mit α = Z/r B (Bahnradius r B ), Ŕ ( ) dr r e αr = e αr R + R + +. α α α 3 α 3 Lösung a) Mit den Relationen r n = n Z a mit a.5 Å, E n = Z Ry* mit Ry* 13.6 ev n 3

4 aus der Verlosung erhält man für n = 1 und Z = 99 für die verschiedenen Teilchen folgende Ergebnisse: i) Elektron ii) Myon (m µ 7m e ) iii) Anti-Proton a e = a, Ry* e = Ry*, r e 1( 54 99Es 98+ ) = n Z a = m, E1( e 54 99Es 98+ ) = Z Ry* = 133 kev. n a µ = m e m µ a, Ry* µ = m µ m e Ry*, r µ 1 ( 54 99Es 98+ ) = m e m µ n Z a = m, E µ 1 ( 54 99Es 98+ ) = m µ Z Ry* = 7 MeV. m e n a p = m e a, m p Ry* p = m p m e Ry*, r p 1 ( 54 99Es 98+ ) = m e n m p Z a = m, E p 1 ( 54 99Es 98+ ) = m p Z Ry* =.4 GeV. m e n b) Die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit erhält man durch Integration bis zum Kernrand: ˆR ˆR P 1 (R) = dr r R 1 (r) = α3 dr r e αr = ( ) α = 1 e αr R + αr + 1. Der Kernradius berechnet sich zu R = / m = m. Mit den in a) berechneten Bahnradien ergeben sich somit für die drei Teilchen folgende Aufenthaltswahrscheinlichkeiten innerhalb des Kerns: P e 1(R) =.53, P µ 1(R) 1, P p 1 (R) 1. Sowohl das Myon als auch das Anti-Proton befinden sich also vollständig im Kern! 4

5 3. Schwingungs-Rotations-Übergänge von HCl (**) Wir betrachten ein zweiatomiges Molekül und lassen sowohl Schwingung als auch Rotation zu. Die Energie der Schwingungs-Rotationszustände beträgt dann ( E = E vib + E rot = ω ν + 1 ) + hcbj(j + 1) mit ν =, 1,... und j = 1,,... Die Schwingungsenergie ist dabei um ein Vielfaches größer als die Rotationsenergie. Im Energiespektrum gehört deshalb zu jedem Schwingungszustand eine Gruppe von Rotationszuständen. a) Skizzieren Sie das Energieniveausschema für ν = 1, und j =, 1,, 3 und zeichnen Sie die Absorptionsübergänge zwischen den Schwingungs-Rotations- Zuständen ein. Die Auswahlregeln für diese Übergänge sind ν = ±1, j = ±1. Abb. 1: Infrarottransmissionsspektrum von HCl. b) Abb. 1 zeigt das Infrarottransmissionsspektrum von Salzsäuredampf (HCl). Wie man erkennt zerfällt es in zwei Teile, einen sogenannten P-Zweig und einen R-Zweig. Ordnen Sie die Peaks im Transmissionsspektrum den Übergängen in ihrem Energieniveauschema gemäß der angegebenen Nomenklatur zu (R(), R(1),..., P(1), P(),...). Was charakterisiert P-Übergange/R- Übergänge? Warum ergibt sich im Spektrum eine Lücke? Welchem Übergang würde das entsprechen? Wie groß ist demnach die Energie des ersten angeregten Vibrationszustandes? c) Berechnen Sie den mittleren Kernabstand R des HCl-Moleküls. Hinweis: m Cl = kg, m H = kg d) Bei genauer Betrachtung fällt auf, dass die Absorptions-Peaks eine Substruktur (Doppelpeak) haben. Wie erklären Sie diese Tatsache? 5

6 Lösung: a) Erlaubte Absorptionsübergänge: 3 E υ = 1 1 J 3 υ = R() R(1) R() P(1) P() P(3) 1 b) Aus dem Vergleich von Termschema umd Transmissionsspektrum erhält man: Im P-Zweig nimmt die Absorptionsenergie mit sinkendem j, im R-Zweig mit steigendem j zu. Im P-Zweig gilt j = 1, im R-Zweig j = +1. Der Übergang j = j = ist verboten. Deshalb fehlt im Spektrum diese Linie. Die Energie E = hc x des fehlenden Übergangs entspräche genau der Differenz E = ω zwischen Schwingungsgrundzustand und erstem angeregten Zustand. Die Energie des ersten angeregten Zustands beträgt E (1) vib = 3 ω = hc x =.54 ev. c) Der Kernabstand kann aus dem Energieintervall zwischen den Rotationspeaks bestimmt werden. Zwischen x 1 = 359 cm 1 und x = 65 cm 1 befinden sich 19 (näherungsweise) äquidistante Linien (inklusive des fehlenden Mittelpeaks). Der mittlere Abstand ist dann x = x 1 x =.4 cm 1. 6

7 Für die Energie beim Übergang zweier benachbarter Niveaus gilt E = [E(ν, j) E(ν 1, j 1)] [E(ν, j 1) E(ν 1, j )] = hcb = hc x. Über die Definition der Rotationskonstante B = /(4πcI) und dem Trägheitsmoment I = µr, wobei für reduzierte Masse µ = m Cl m H m Cl + m H = kg gilt, erhält man B = 4πcµR = x R = 1 h π cµ x 1.3 Å. d) Atomares Chlor kommt in der Natur in zwei Isotopen vor: 35 Cl (75.5%) und 37 Cl (4.5%). Der Massenunterschied führt zu unterschiedlichen Trägheitsmomenten und damit zu verschobenen Absorptionspeaks im Rotationsspektrum. 4. Moleküle im interstellaren Medium (**) In der Radio- und Infrarotastronomie beobachtet man u.a. auch Moleküllinien im interstellaren Medium. Aus diesen Beobachtungen können Rückschlüsse auf die galaktische Verteilung und Häufigkeit der Moleküle sowie auf Sternentstehungsgebiete und -mechanismen gezogen werden. a) Kohlenmonoxid 1 C 16 O emittiert beim Übergang vom ersten angeregten Rotationsniveau (J = 1) zum Grundzustand (J = ) eine Linie der Wellenlänge λ =.6 mm. Berechnen Sie die dazu gehörige Energie und den Abstand der beiden Atome im Molekül. b) Berechnen Sie die Energie und Frequenz des gleichen Übergangs auch für das Molekül 13 C 16 O sowie die relative Frequenzverschiebung. Hinweis: Nehmen Sie den gleichen Abstand R wie bei 1 C 16 O. Lösung: a) Mit der Formel für die Rotationsenergie aus der Verlosung E rot (J) = J(J + 1), I mit dem Trägheitsmoment I = µr, wobei die reduzierte Masse 7

8 µ = 1 u 16 u 1 u + 16 u 6.86 u beträgt, erhält man für die Energie des Übergangs von J = 1 nach J = E 1 = E rot (J = 1) E rot (J = ) = I = hc λ = E. Somit erhält man aus der Rotationskonstanten und dem Trägheitsmoment I = h 4π µr = hc R = 1 hλ 1.13 Å. λ π cµ b) Beim 13 C 16 O ändert sich im Vergleich zu 1 C 16 O nur die reduzierte Molekülmasse µ 13 = Damit ergibt sich für die Energie für die Frequenz 13 u 16 u 13 u + 16 u 7.17 u. E 13 = µ 1 µ 13 E ev, ν 13 = E 13 h und für die relative Frequenzverschiebung 111 GHz ν ν 1 = E E 1 = 1 µ 1 µ 13, 4. 8