1. Auf dem Weg zur Quantentheorie Grundlegende Experimente und Erkenntnisse

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1 1. Auf dem Weg zur Quantentheorie Grundlegende Experimente und Erkenntnisse 1.1. Theorie der Wärmestrahlung Plancksche Strahlenhypothese Untersuchungen der Hohlraumstrahlung vor 1900 zeigten, dass das beobachtbare Frequenzspektrum nicht für alle Bereiche durch eine Theorie beschrieben werden kann, in der das Strahlungsfeld, die Atome der Hohlraumwände und die gegenseitige Wechselwirkung nach den Gesetzen der klassischen Physik behandelt werden. Für kleine Frequenzen (oder hohen Temperaturen) gehorcht das Spektrum dem Rayleigh-Jeans-Gesetz (beruhend auf klassischer Elektrodynamik und statistischer Physik): 8 2 u() k 3 BT c Problem: u( ) für (`Ultraviolettkatastrophe ), damit divergiert U( T) u( ) d, experimentell aber 4 0 U( T) T

2 Für hohe Frequenzen wird das Spektrum in guter Näherung durch das Wiensche Strahlungsgesetz beschrieben (aber theoretisch nicht begründet): u() e 3 a( / T) Die richtige Frequenzabhängigkeit der Energiedichte u() Werte liefert erst das Strahlungsgesetz von Planck (1900): für alle 3 8h u() 3 h / kbt c e 1 (Vortrag am = Geburtstag der Quantentheorie) Der Ableitung dieses Gesetzes liegt die fundamentale Annahme zugrunde, dass die Energie der Wandatome (idealisiert durch lineare Oszillatoren) nicht wie in der klassischen Mechanik kontinuierliche Werte annehmen kann, sondern nur diskrete Werte: E n h, n N Osz n Die dabei eigeführte Größe h 6, Js bezeichnen wir heute als Plancksches Wirkungsquantum (Naturkonstante) und besitzt die Dimension einer sogenannten Wirkung = Energie mal Zeit 34 (statt h wird häufig h / 2 1, Js verwendet). Die Plancksche Strahlungshypothese wurde 1907 von A. Einstein benutzt, um die bei tiefen Temperaturen beobachtete Abweichung der spezifischen Wärme von Festkörpern vom Dulong-Petit-Gesetz, C 3Nk, zu erklären. B

3 1.2. Teilcheneigenschaften elektromagnetischer Strahlung Lichtquantenhypothese Die Quantenhypothese von Planck bezog sich nicht auf das Strahlungsfeld selbst, sondern auf die Energiezustände der Atome. Erst durch thermodynamische Gleichgewichtsbetrachtungen kam Planck zu einer Aussage über die Strahlung. Die Quanteneigenschaften der elektromagnetischen Strahlung formulierte A. Einstein 1905 in seiner Lichtquantenhypothese: Licht (bzw. jede Form der elektromagn. Strahlung) ist gequantelt oder genauer Licht der Frequenz besteht aus Teilchen (Lichtquanten) der Energie E = h =. (1926 wurde für die Lichtquanten der Begriff Photon eingeführt) Anstoß für die Lichtquantenhypothese gaben die Experimente zum äußeren photoelektrischen Effekt (`lichtelektrischen Effekt ) Die Anzahl der aus der Metallplatte austretenden Elektronen ist proportional der Lichtintensität, die kinetische Energie dieser Elektronen ist aber proportional der Frequenz des Lichtes und unabhängig von der Intensität des Lichtes. Maximale kinetische Energie der Elektronen: Eel h W (W Austrittsarbeit)

4 Aussagen über Impuls und Masse eines Photons: Da für elektromagnetische Wellen gilt ck und damit E ck folgt aus der Energie-Masse-Relation E mc m p c c der Relativitätstheorie für die bewegte / Masse des Photons k m c p = mc = k und die Ruhemasse m 0 = 0. und somit für den Photonenimpuls Wir erhalten damit einen Zusammenhang zwischen den Teilchengrößen E, p und den Welleneigenschaften =2, k 2 n E, p k Das Bindeglied zwischen Wellen- und Teilcheneigenschaften ist das Plancksche Wirkungsquantum. Die Eigenschaft von elektromagnetischer Strahlung, sich unter bestimmten Bedingungen wie Teilchen zu verhalten, wurde durch weitere Experimente erhärtet Comptoneffekt (1922) Bei der Streuung von monochrom. Röntgenstrahlen der Frequenz 0 an schwach gebundenen Elektronen (z.b. in Graphit) findet man in der Streustrahlung neben der eingestrahlten Strahlung noch eine zweite Linie, deren Frequenz ' vom Streuwinkel (Beobachtungsrichtung) abhängt.

5 Eine einfache Erklärung des Comptoneffektes ist auf der Grundlage eines konsequenten Photonenbildes der Strahlung möglich: Streuprozess als mechanischer Stoß zwischen einem Photon und einem freien Elektron. h ' 1 cos mc el Die Doppelnatur von elektromagnetischer Strahlung, sich bei bestimmten Experimenten wie Wellen (z.b. Beugung von Röntgenstrahlen an Kristallgittern Laue-Röntgenstrahlinterferenzen) und bei anderen Experimenten wie Teilchen (z. B. Comptonstreuung) zu verhalten, ist nicht im Rahmen der klassischen Physik zu erklären. Diese Schwierigkeit behebt die Quantentheorie. In ihr werden nur solche Aussagen getroffen, die sich auf die jeweils vorliegenden Versuchsbedingungen beziehen.

6 1.3. Vorstellungen über den Aufbau der Atome Bohr-Sommerfeld-Theorie Das Rutherfodsche Atommodell (1911) konnte die Stabilität der Atome und die diskreten Emissionsspektren nicht erklären. Unter Einbeziehung der Planckschen Quantenhypothese machte N. Bohr deshalb 2 wesentliche Annahmen Bohrsche Postulate: 1. Phasenintegralbedingung Es sind nur solche Bewegungen eines Elektrons im Atom erlaubt, für die die Bedingung pdq nh mit n 1,2, erfüllt ist. Diese Bahnen seien stabil, es erfolge keine Energieabstrahlung. 2. Frequenzbedingung Beim Übergang zwischen verschiedenen (erlaubten) Bahnen wird ein Lichtquant emittiert oder absorbiert. Es kann nur Licht abgestrahlt werden, dass der Bedingung h mn = (E n - E m ) genügt. Mit Hilfe der Postulate konnten die Spektrallinien des Wasserstoffatoms (abgesehen von Feinstrukturen) erklärt werden. Grenzen der Bohr-Sommerfeld-Theorie: o Versagt bei Mehrelektronenproblemen (z.b. beim He-Atom) o Liefert falsche Werte für die quantisierten Drehimpulse o Ad hoc eingeführte Postulate sind wenig befriedigend

7 1.4. Welleneigenschaften von Materie Nachdem Einstein der Wellentheorie des Lichtes das Konzept der Photonen als Teilchen gegenübergestellt hatte, ging de Broglie in umgekehrter Weise vor. Er entwickelte für die Elementarbausteine der Materie mit Ruhemasse m 0 0 eine Wellentheorie: Zwischen der Frequenz und der Wellenlänge dieser Materiewellen soll derselbe Zusammenhang mit den Teilchengrößen Energie und Impuls bestehen, wie sie Einstein für Lichtquanten postulierte E, k Der erste experimentelle Nachweis des Wellenaspekts von Elektronen gelang im Experiment von Davisson und Germer (1927) Nachweis von Interferenzerscheinungen bei der Reflexion von Elektronenstrahlen an einem Ni-Einkristall Durch die de Broglie Beziehung werden nur freie Materiewellen erfasst. Wie verhalten sich aber Materiewellen unter dem Einfluss einer äußeren Kraft? p

8 Schrödingersche Materiefeldgleichung (1926) Schrödinger leitete eine Differenzialgleichung für die raum-zeitliche Verteilung eines (nichtrelativistischen) Materiefeldes unter dem Einfluss eines Potentials Vr ( ) her. Dabei werden Elektronen, Protonen, nicht als punktförmige Teilchen interpretiert, sondern als Felder. Die Stärke der Felder wird durch Feldamplituden r, t beschrieben ( Materiedichte r, t 2 ), deren Abhängigkeit von Ort und Zeit durch Feldgleichungen beschrieben wird 2 r, t r, t V r r, t 0 i t 2m Diese Gleichung hat dieselbe Form wie die Schrödingergleichung der Quantentheorie, ihre Bedeutung (Interpretation) ist aber völlig anders. Sie gestattet die Welleneigenschaften der Materie zu beschreiben, nicht jedoch die Teilcheneigenschaften. Es ist z.b. nicht möglich, eine teilchenartige räumliche Lokalisierung zu realisieren, die nicht sofort in der Zeit zerfließt.

9 1.5. Dualität von Teilchen und Welle Heisenbergsche Unschärferelation Die Frage, innerhalb welcher Grenzen die klassischen Vorstellungen von Teilchen und Welle miteinander verträglich sind, wird durch die Heisenbergsche Unschärferelation (1927) beantwortet. Einfaches Beispiel: Durchgang von Licht durch einen Spalt der Breite b Vor dem Spalt: Lichtquanten haben einen Impuls p pxex ex Hinter dem Spalt: Ortsunschärfe in y-richtung y b h (aus Einstein-Beziehung) Impulsunschärfe in y-richtung durch Beugung am Spalt h py px sin px b (Abschätzung von durch Richtung vom ersten Beugungsminimum) Daraus folgt: y py h Die Unschärferelation ist eine Folge des Zusammenwirkens von Wellenvorstellung und Einstein-Beziehung. Sie ist Ausdruck für die wechselseitige Beschränkung von Teilchen- und Wellenbild. Widersprüche zwischen beiden Bildern kommen nicht zustande, wenn man sich im Rahmen der Unschärferelation bewegt.