Quantentheorie I. Skriptum zur Vorlesung im SS Prof. Dr. K. Becker. TU-Dresden

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1 . Quantentheorie I Skriptum zur Vorlesung im SS 2008 Prof. Dr. K. Becker TU-Dresden

2 2 INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1 2 Teilcheneigenschaften elektromagnetischer Wellen Hohlraumstrahlung Photoelektrischer Effekt Compton-Effekt Welleneigenschaften von Teilchen Das Experiment von Davisson, Germer, Thomson und Rupp (1928)* Doppeltspaltexperiment Dualität von Wellen- und Teilchenbild: Heisenberg-Unschärferelation Diskrete Zustände Richtungsquantelung Energiequantelung Semiklassische Modellvorstellungen zum Atomaufbau* 19 6 Die Schrödinger Materiewellen Elektronen im Wellenbild Kräftefreie Schrödinger Feldgleichung Schrödinger Feldgleichung für Teilchen im Potential Eigenschaften Fundamentale Konzepte Stern-Gerlach-Experiment Aufeinander folgende Stern-Gerlach-Apparaturen Analogie zur Polarisation von Licht Der unitäre Vektorraum Vektoren des unitären Raumes Lineare Operatoren Das Eigenwertproblem (hermitescher) Operatoren Grundlagen der Quantentheorie Quantisierung Vertauschungsrelationen

3 INHALTSVERZEICHNIS 3 10 Die statistischen Aussagen der Quantentheorie Mittelwert (Erwartungswert) von Messungen Zustandsvektor und quantentheoretischer Erwartungswert Streuung einer Observablen Einfluß des Meßprozesses auf den Zustandsvektor Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Meßwertes Vergleich mit Stern-Gerlach-Versuch Messung von vertauschbaren Observablen Messung von nichtvertauschbaren Observablen Die Heisenberg Unschärferelation Konstruktion des unitären Raums eines gegebenen Sysstems Systemzusammensetzung: Produktraum Systeme mit den Observablen Ort und Impuls Eindimensionale Systeme Eigenwertproblem von H in Ortsdarstellung Allgemeine Eigenschaften der Eigenwertgleichung von H Grenzbedingungen Impulsdarstellung eindimensionaler Probleme Der harmonische Oszillator Hamiltonoperator (eindimensionaler Fall d = 1) Oszillatoreigenfunktionen in der Ortsdarstellung Ortdarstellung in zusammengesetzten Systemen Zeitabhängigkeit in der Quantentheorie Problemstellung Die fundamentale Zeitabhängigkeit in der Quantentheorie Nichtfundamentale Zeitabhängigkeit Schrödingerbild Heisenbergbild Wechselwirkungsbild Schrödingergleichung für die Wahrscheinlichkeitsamplitude Das Ehrenfestsche Theorem Energie-Zeit-Unschärferelation Die mit dem Symbol gekennzeichneten Kapitel und Unterkapitel wurden nicht in der Vorlesung behandelt.

4 1 1 Einführung Am Ende des 19. Jahrhunderts schien die Physik verstanden zu sein: Die Newtonsche Mechanik erklärte die Bewegungen auf der Erde und im Himmel. Aus der Newtonschen Mechanik folgten auch die Hydrodynamik und die Aerodynamik mit Hilfe der Euler- bzw. der Navier-Navier-Stokes-Gleichungen. Die Maxwell-Theorie verband die Elektrizitätslehre mit dem Magnetismus und schloss auch die Optik mit ein. Licht war eine elektromagnetische Welle. Schließlich gelang es Boltzmann, die Wärmelehre auf die Statistische Mechanik zurückzuführen. Gleichzeitig häuften sich in dieser Zeit jedoch die experimentellen Befunde, die sich nicht in Einklang mit dem existierenden physikalischen Gebäude bringen ließen. Beispiele hierfür sind: Physik der Atomhülle der Atome mit dem Auftreten diskreter Energieniveaus Phänomene aus der Physik makroskopischer Körper wie z. B. Supraleitung, Suprafluidität und Ferromagnetismus aus dem Bereich der Festkörperphysik Kern - und Elementarteilchenphysik: Wechselwirkung von Teilchen mit Kernen, Kernspaltung, Kernfusion, Stabilität von Kernen usw. Weiterhin gibt es mechanische und elektromagnetische Eigenschaften von Elementarteilchen wie Masse, Eigendrehimpuls (Spin), Ladung, magnetisches Moment sowie ihre Wechselwirkungen, die ebenfalls nur mit Hilfe der Quantentheorie erklärt werden können.

5 22 TEILCHENEIGENSCHAFTEN ELEKTROMAGNETISCHER WELLEN 2 Teilcheneigenschaften elektromagnetischer Wellen 2.1 Hohlraumstrahlung Den Grundstein der Quantentheorie legte Max Planck im Jahre 1900 mit seinen Arbeiten zur Hohlraumstrahlung, Die Hohlraumstrahlung war bis nicht verstanden. Insbesondere konnten das experimentell beobachtete Frequenzspektrum nicht in allen Frequenzbereichen durch eine klassische Theorie beschrieben werden. Was versteht man unter der Hohlraumstrahlung? Jeder Körper bei einer Temperatur T 0 emittiert und absorbiert elektromagnetische Strahlung. In einem (evakuierten) Hohlraum der Temperatur T wird sich daher ein Gleichgewicht zwischen der Strahlung im Hohlraum (Hohlraumstrahlung) und den Wänden einstellen. Klassische Betrachtung: In einer klassischen Betrachtung erhält man die räumliche Energiedichte (Energie pro Volumeneinheit) u(ω)dω im Energieintervall zwischen ω und ω + dω wie folgt: In einem Hohlraum mit reflektierenden Metallwänden bilden sich stehende Wellen aus, mit Komponenten E i, die als Superposition von Wellen der Form E i ( x, t) = e iωt sin k 1 x 1 sin k 2 x 2 sin k 3 x 3 mit k α = π L n α, n α = 1, 2, 3,... dargestellt werden können. wobei als Randbedingung E i (x α = 0) = E i (x α = L L) = 0 erfüllt ist.. Man beachte, dass der Ansatz für E i ( r, t) die Wellenglei-

6 2.1 Hohlraumstrahlung 3 chung erfüllt 1 c 2 2 t 2 E i( r, t) = E i ( r, t) woraus sich als Dispersionsrelation ergibt 1 c 2 ω2 = k k k 2 2, ω 2 = c 2 k 2 In einem k 1, k 2, k 3 - Koordinatensystem bilden die erlaubten k - Werte im ersten Oktanden ein Gitter von diskreten Punkten mit einem Volumen von (π/l) 3 pro Punkt. k dk... k k π.. L k 1 Abbildung 1: Wellenvektoren im k-raum Die Anzahl der k-punkte (d.h. der möglichen Wellen) in einem Intervall zwischen k und k + dk erhält man dann zu dn = 1 8 Volumen der Kugelschale im k-raum Volumen des k-raumes pro k-punkt Die Kugelschale besitzt das Volumen 4πk 2 dk, so daß man unter Verwendung der Dispersionsbeziehung ω = ck dn = 4πk2 dk 8(π/L) 3 = L3 2π 2 c 3 ω2 dω

7 42 TEILCHENEIGENSCHAFTEN ELEKTROMAGNETISCHER WELLEN erhält. Für die Energiedichte im Frequenzintervall zwischen ω, und ω + dω findet man den Ausdruck u(ω) dω = 2 dn k BT V Der Faktor 2 ist eine Folge der beiden möglichen Polarisationsrichtungen der Wellen. Jede dieser stehenden Wellen trägt mit dem Energieinhalt k B T zur Energie bei, da Strahlungsgleichgewicht herrscht. Nach Einsetzen von V = L 3 und des Ausdruckes für dn erhält man schließlich als klassisches Ergebnis u(ω) dω = 2 L 3 2π 2 c 3 ω2 dω k BT L 3 u(ω) dω = k BT π 2 c 3 ω2 dω ω 2 dω Dieses Resultat heißt Rayleigh-Gesetz. Für niedrigere Frequenzen stimmt es mit den experimentellen Ergebnissen überein. Es kann jedoch nicht für alle Frequenzen ω gültig sein, da wegen u(ω) dω = der Hohlraum einen unendlichen Energieinhalt besitzen würde. Die Divergenz der Energiedichte für hohe Frequenzen wird als Ultraviolett-Katastrophe bezeichnet. Für große Werte von ω hat deshalb W. Wien 1896 eine empirische Verbesserung vorgeschlagen: u(ω) ω Aω 3 e gω T (A, g = const.) Die richtige Abhängigkeit der Energiedichte von der Frequenz für alle Werte

8 2.1 Hohlraumstrahlung 5 u(ω) ω 2 ω Abbildung 2: Energiedichte von ω liefert jedoch erst das Strahlungsgesetz von Planck (1900): u(ω) = 2 ω 3 π 2 c 3 e ω k B T 1 Die hier eingeführte Größe heißt Plancksches Wirkunsquantum und besitzt den Wert = erg s = 1, W s 2 Der Ableitung dieses Gesetzes liegt die Hypothese zugrunde, daß man die Wandatome als idealisierte harmonische Oszillatoren betrachten kann und die Energie von den Wänden an die Strahlung nur in Vielfachen von ω, nämlich E osc n = n ω, n N (1) abgegeben wird. Beachte: Für kleine ω (besser ω k B T ) geht die Plancksche Strahlungsformel

9 62 TEILCHENEIGENSCHAFTEN ELEKTROMAGNETISCHER WELLEN in das klassische Ergebnis von Rayleigh über, während sich für große ω das Gesetz von Wien ergibt. Die Übereinstimmung des Planckschen Strahlungsgesetzes mit dem Experiment liefert einen ersten deutlichen Hinweis auf die Quantisierung der Energiezustände der Atome.. Die Quantenhypothese von Planck bezog sich, streng genommen, auf die Annahme diskreter Energiezustände von Atomen und nicht auf das Strahlungsfeld. Erst durch thermodynamische Überlegungen schloß Planck auf Eigenschaften des elektromagnetischen Feldes. Die Teilcheneigenschaften für elektromagnetische Strahlung formulierte A. Einstein 1905 in seiner Lichtquantenhypothese, die im folgenden Abschnitt dargestellt wird. 2.2 Photoelektrischer Effekt Licht (Frequenz ω = ck) Elektronen Läßt man Licht z.b. auf eine Metallplatte fallen, so werden aus dem Metall Elektronen herausgelöst. Dabei stellt sich heraus: Die Anzahl der austretenden Elektronen ist proportional zur Lichtintensität. Die maximale kinetische Energie der Elektronen ergab sich (bis auf einen Schwellwert) propoertional zur Frequenz des Lichts. Dieses Experiment läßt sich nicht im Rahmen der klassischen Elektrodynamik verstehen, und zwar aus den folgenden Gründen Gründen: Die kinetische Energie der austretenden Elektronen (und nicht ihre Anzahl) sollte von der Intensität des eingestrahlten Lichts abhängen.

10 2.2 Photoelektrischer Effekt 7 Außerdem sollte es keine untere Frequenz des Lichtes für das Auftreten des Photoeffekts geben. A. Einstein postulierte 1905 die folgenden Quanteneigenschaften der elektromagnetischen Strahlung: Licht der Frequenz ω besteht aus Teilchen (Photonen oder Lichtquanten) der Energie E ph = ω Die Energie des Photons dient dem Herausschlagen eines Elektrons. Der Energiesatz lautet: E photon = ω = E el + W oder E el = ω W wobei W die sogenannte Austrittsarbeit des Elektrons ist (W 1 ev ). Folgerung:

11 82 TEILCHENEIGENSCHAFTEN ELEKTROMAGNETISCHER WELLEN Mit Hilfe der folgenden Beziehungen der Relativitätstheorie E = p 2 c 2 + m 2 0c 4 v = E p = pc 2 p2 c 2 + m 2 0c 4 lassen sich Aussagen über Impuls und Masse des Photons gewinnen. Wegen v = c folgt zunächst m 0 = 0 und somit E = pc. (2) Für elektromagnetische Wellen gilt aber gleichzeitig E = ω = ck. Durch Vergleich mit (2) findet man die Einstein-Relation p = k p k p = k Somit kann man zusammenfassen: Licht besteht aus Photoonen. Sie besitzen als Energie und Impuls E = ω = ck, p = k Diese Gleichungen stellen die Beziehungen zwischen den Teilchengrößen E, p und den Welleneigenschaften ω, k dar mit dem Wirkunsquantum = h/2π als Bindeglied. Die Doppelnatur der elektromagnetischen Strahlung, sich bei bestimmten Experimenten wie Wellen und bei anderen wie Teilchen zu verhalten, wird noch durch weitere Versuche erhärtet: 2.3 Compton-Effekt Compton zeigte 1923, daß Röntgenstrahlen die gleichen Effekte besitzen, wie sie Teilchen mit Energie E = ω und Impuls p = k hervorrufen.

12 2.3 Compton-Effekt 9 Bei dem Experiment läßt man monochromatische Röntgenstrahlen der Frequenz ω 0 (Wellenlänge λ 0 ) auf einen Streukörper (z.b. Paraffin) einfallen. Man findet eine gestreute Strahlung (die sogenannte Compton-Linie) mit einer geringeren Frequenz ω (< ω 0 ) (bzw. mit Wellenlänge λ größer als λ 0. Die Frequenzverschiebung ω ω 0 hängt vom Winkel Θ ab, den der Primärstrahl und die Streurichtung miteinander einschliessen. Das Experiment ist im Widerspruch zur elementaren Wellenvorstellung: Die einfallende Welle sollte zu einer erzwungenen Schwingung der Atome des Streukörpers führen, die ihrerseits Strahlung der gleichen Frequenz emittieren sollten. Erklärung: Die Compton-Linie läßt sich unter der Annahme eines mechanischen Stoßes zwischen Photon und Elektron verstehen, wobei wieder der Teilchencharakter des Lichts verwendet wird. Die folgende Herleitung verwendet diese Annahme. Wir verwenden den Impulssatz und den Energiesatz ( k k ) = p c (k k ) + m o c = p 2 + m 2 0c 2 Hierbei muß das Elektron relativistisch behandelt werden, da die Impulsänderung des Elektrons von der Ordnung m 0 c sein kann. Quadriert man den energiesatz und verwendet den Impulssatz auf der rechten Seite, findet man 2 kk + 2 (k k )m 0 c = 2 2 k k Mit k k = kk cos Θ ( wobei Θ der winkel zwischen k und k bedeutet),

13 102 TEILCHENEIGENSCHAFTEN ELEKTROMAGNETISCHER WELLEN ν 0 Θ ϑ e - ν c Abbildung 3: (T ) ergibt sich mit k k = 2π λ 2π λ = 2π λ λ λλ als Resultat λ λ = 4π m 0 c sin2 Θ 2 Beachte: Während der Compton-Effekt zeigt deutlich den Teilchencharakter von Licht zeigt, besitzt das Licht weiterhin auch Welleneigenschaften, die sich etwa in Interferenz- und Beugungserscheinungen äußern. Ein Beispiel hierfür sind die Röntgenstrahlinterferenzen an Kristallen (Max von Laue 1912): Dabei werden die im Kristall periodisch angeordneten Atome durch den einfallenden Röntgenstrahl zum Mitschwingen gebracht und bilden Zentren von Sekundär-(Streu-)Wellen. Diese interferieren miteinander und führen in bestimmten Raumrichtungen zu Maxima und Minima der Streuintensität. Die Doppelnatur des Lichts läßt sich im Rahmen der klassischen Physik nicht in konsistenter Weise erklären. Erst die Quantentheorie behebt diese Schwierigkeiten. Hier werden nur Aussagen gemacht, die sich auf die jeweiligen Versuchsbedingungen beziehen.

14 11 3 Welleneigenschaften von Teilchen Eine ähnliche Dualität wie für Lichtwellen existiert auch für die konventionellen Teilchen der klassischen Physik. Dies zeigt 3.1 Das Experiment von Davisson, Germer, Thomson und Rupp (1928)* Durchsetzt ein Materiestrahl aus Elektronen ein Kristallgitter, so entstehen Interferenzerscheinungen, wie sie aus der Optik für sichtbares Licht wohlbekannt sind. Empirisch ergibt sich auf diesem Weg für nichtrelativistische Elektronen (kin. Energie E kin = p2 ) eine Wellenlänge λ von 2m λ = 2π p = 2π c ( p 2 2mc 2 2m ) = 12.2 Ekin (ev ). Das Experiment bestätigt eine Hypothese von de Broglie, nach der sich den Elementarbausteinen der Materie wie Elektronen und Protonen Größen wie Wellenlänge und Frequenz zuordnen lassen, die charakteristisch für Wellen sind (siehe nächster Abschnitt). Die Elementarbausteine besitzen somit Wellencharakter. Die physikalische Bedeutung der entsprechenden Welle muß später geklärt werden. Andererseits besitzt auch der Teilchenbegriff im mikroskopischen Bereich weiterhin seine Berechtigung. Beispiele hierfür sind Ionisationsspuren in der Wilson-Kammer: Elektronen dringen in die mit übersättigtem Wasserdampf gefüllte Kammer ein und ionisieren die Gasatome entlang ihrer Flugbahn. Streu- und Stoßexperimente zwischen mikroskopischen Teilchen Der Millikan Versuch beschreibt die Quantisierung der elektrischen Ladung in Einheiten der Elementaladung e. Zusammenfassend läßt sich sagen, dass für die Materie ebenfalls ein Welle - Teilchen - Dualismus, wie er auch bei Licht zu finden ist.

15 12 3 WELLENEIGENSCHAFTEN VON TEILCHEN Hypothese von de Broglie (1923) Der experimentelle Befund von Davisson und Germer war in Übereinstimmung mit einer Hypothese von de Broglie, die Elementarbausteine der Materie mit Ruhemasse m 0 0 (Elektronen, Protonen) betraf, von denen man bisher überzeugt war, dass sie nur Teilchencharakter besaßen. De Broglie entwickelte für diese Elementarbausteine eine Wellentheorie: Für die Frequenz und die Wellenlänge solcher Materiewelle sollte derselbe Zusammenhang zu den Teilcheneigenschaften Energie und Impuls bestehen, wie ihn Einstein für die Lichtquanten formuliert hatte: Wellencharakter Teilchencharakter ω = E/ k = p/ 3.2 Doppeltspaltexperiment Experimentell findet man beim Durchgang von Elektronen durch einen Doppelspalt Beugungserscheinungen, so dass man Elektronen auch einen Wellencharakter zuordnen kann. Experimentelle Anordnung: Wir betrachten eine Wand mit zwei Öffnungen. i) Zunächst sei die Öffnung 2 geschlossen. Beim Durchgang der Teilchen durch die Öffnung 1 werden diese am Rand der Öffnung reflektiert

16 3.2 Doppeltspaltexperiment 13 bzw. gestreut. Mittelt über einen längeren Zeitraum, beobachtet man eine Streuintensität P 1 (x) auf den Anfangsschirm im Abstand L hinter der Wand, die um die Position der öffnung 1 auf dem Auffangschirm verteilt ist. Sie wird erzeugt durch das Auftreffen der einzelnen Teilchen. Dies deutet zunächst darauf hin, dass die Elektronen keine Wellen sondern Teilchen sind. ii) Als nächstes wird die Öffnung 2 geöffnet und die öffnung 1 verschlossen. Erwartungsgemäß ist hier die gefundene Streuintensität P 2 (x) gegenüber P 1 (x) nach unten hin verschoben. iii) Schließlich werden beide öffnungen geöffnet. Im Fall klassischer Teilchen würde man eine Superposition von P 1 und P 2 erwarten. P (x) = P 1 (x) + P 2 (x) Tatsächlich findet man Interferenzbilder, wenn hinreichend viele Elektroneen auf den Schirm aufgefallen sind, wie man es von einem optischen Experiment erwarten würde. P (x) = P 1 (x) + P 2 (x) + P 12 (x) wobei P 12 (x) den Interferenzterm beschreibt. Das Ergebnis steht im klaren Widerspruch zur klassischen Physik. Das Phänomen lässt sich mathematisch über der Annahme eines Wellchencharakters von Elektronen beschreiben. Seien L + und L L + = L 2 + (x + d 2 )2 L = L 2 + (x d 2 )2 die Strahllängen der Strahlen, die von Öffung 1 bzw. 2 kommen, so lautet die Bedingung für Interenzmmaxima (x sei der Abstand der Maxima unterhalb der Mittellienie) L + L = nλ n = 0, ±1, ±2, ±3,...

17 14 3 WELLENEIGENSCHAFTEN VON TEILCHEN Auflösen nach x liefert für die Lage der Maxima x max = nλ 2 d Die Frage erhebt sich, ob beim Doppelspaltexperiment die Teilchennatur der Elektronen noch vorhanden ist? Zunächst beobachtet man, dass dem Experiment Einzelereignisse zugrunde liegen. Verringert man nämlich den Strom der einfallenden Elektronen, so werden Einzelereignisse beobachtet, die nicht als Folge des Zusammenwirken von verschiedenen Teilchen interpretiert werden können. Bei einer Welle müßte das Intereferenzbild auch bei geringer werdender Intensität als Ganzes vorhanden bleiben, das nur schwächer wird. Zwei Detektoren, die sich an verschiedenen Maxima befinden, müßten gleichzeitig ansprechen, was jedoch nicht der Fall ist. Die Elektronen benehmen sich demnach beim Durchgang durch den Doppeltspalt wie Teilchen. Sie bauen jedoch aus Einzelereignissen ein Interferenzbild auf, das so aussieht als wäre es durch Interferenz von Wellen gebildet worden.

18 3.3 Dualität von Wellen- und Teilchenbild: Heisenberg-Unschärferelation Dualität von Wellen- und Teilchenbild: Heisenberg- Unschärferelation Die Heisenbergsche Unschärferelation (1927) beantwortet die Frage, innerhalb welcher Grenzen die klassischen Vorstellungen von Teilchen- und Wellenbild miteinander verträglich sind. Sie wird im Folgenden an einem einfachen instruktiven Beispiel dargestellt. Dazu sei der Durchgang von Licht (Photonen) durch einen Spalt der Breite b betrachtet. Der Impuls der Lichtquanten vor dem Spalt in x-richtung beträgt p x = k = h λ (Einstein-Beziehung) Die Ortsunschärfe in y-richtung am Spalt ist gleich der Spaltbreite y = b Die Impulsunschärfe in y-richtung kommt durch die Beugung am Spalt zustande. Es gilt in etwa p y = p sin α p x α wobei der Winkel α durch die Richtung zum 1. Beugungsminimum festgelegt

19 16 3 WELLENEIGENSCHAFTEN VON TEILCHEN ist. Für diesen gilt α = λ/b. Damit folgt p y p x α h λ λ b = h b sodass sich mit b = y als Ergebnis ergibt y p y h Diese Beziehung läßt sich wie folgt interpretieren: Bei geringer werdender Unschärfe der Ortsmessung y (d.h. bei Verkleinerung der Spaltbreite) wird automatisch die Unschärfe des Impulses vergrößert. Umgekehrt ist die Richtungsabweichung und damit die Impulsunschärde in y-richtung um so kleiner, je weniger der Strahl durch die Öffnung begrenzt ist Im Spezialfall eines völlig unbestimmten Ortes y = b ist die Impulsunschärfe p y = 0. Der Impuls in y-richtung ist exakt bekannt. Die Unschärferelation besagt, dass die der Teilchenvorstellung entstammenden Größen Ort nd Impuls nicht gleichzeitig beliebig scharf meßbar sind, wobei die gegenseitige Beschränkung durch das Plancksche Wirkungsquantum bestimmt ist. Die Unschärferelation ist eine Folgerung des Zusammenwirkens aus Wellen- und Teilchencharakter infolge der Einstein-Beziehung. Widersprüche zwischen beider Bildern kommen nicht zustande, wenn man sich im Rahmen der Unschärferelation bewegt.

20 17 4 Diskrete Zustände Es sollen im Folgenden noch zwei weitere grundlegende experimentelle Phänomene diskutiert werden, die sich ebenfalls nicht im Rahmen der klassischen Physik verstehen lassen. 4.1 Richtungsquantelung Der Stern-Gerlach-Versuch zeigt in drastischer Weise die Unzulänglichkeiten der klassischen Konzepte und demonstriert exemplarisch die Notwendigkeit einer radikalen Abwendung von den klassischen Physik.. Beim Stern-Gerlach-Experiment (1922) werden aus einem Ofen austretende paramagnetische Atome (z.b. Ag) einem räumlichen Bereich mit einem inhomogenem Magnetfeld ausgesetzt. klassische Betrachtung: Ag-Atome 2 besitzen ein magnetisches Moment µ. Ein bezüglich der z-richtung inhomogenes Magnetfeld übt auf die Ag-Atome eine Kraft in z-richtung aus: K = grad( µ H) = µ z H t e z Da die z-komponenten von µ im Strahl kontinuierlich verteilt sind, erwartet man entsprechend eine kontinuierliche Verteilung der abgelenkten Atome auf einem Auffangschirm nach Durchgang durch den Magnetfeldbereich. Experiment: 2 Ag besteht aus einem Kern mit 47 Elektronen, von denen 46 eine abgeschlossene Schale bilden (also kein magnetisches Moment besitzen). Das verbleibende 47. ungepaarte Elektron besitzt ein magentisches Moment (Spin).

21 18 4 DISKRETE ZUSTÄNDE Der experimentelle Befund zeigt stattdessen zwei diskrete Auftreffpunkte und keine Kontinuierliche Verteilung. Für die z-komponente von µ werden nur zwei Werte beobachtet: Die Meßwerte des magnetischen Moments sind gequantelt. Dieselbe Aussage findet man analog für die x-bzw. y-komponente von µ, wenn das Feld eine Inhomogenität in x- bwzw. y-richtung besitzen würde. 4.2 Energiequantelung Aus spektroskopischen Untersuchungen wurde gefunden, dass Licht von Atomen in scharfen Spektrallinien emittiert (bzw. absorbiert) wird. Beim H-Atom fandet man die berümte Balmer-Serie mit diskreten Frequenzen ν: ( 1 ν = R n 1 ) 2 m 2 (m > n falls Licht emittiert wird) R Rydbergkonstante Eine klassische Erklärung schlägt fehl, da die Elektronen auf Keplerbahnen kontinuierliche Energien abstrahlen würden und folglich instabil wären. Eine Erklärung des Phänomens ist nur möglich, falls Atome diskrete Energien besitzen würden. Entsprechend würden bei Übergängen diskrete Energien frei. E n E m = hν = Energie des Lichtquants

22 5 Semiklassische Modellvorstellungen zum Atomaufbau* a) Das Rutherford-Atommodell Basisexperiment: α-teilchen (2-fach geladene He-Kerne) werden auf eine dünne Metallfolie geschossen. Wegen m α 7350 m el wird die Bahn der α-teilchen kaum von den Elektronen beeinflußt, sondern sie wird allein durch die Wechselwirkung mit den Kernen bestimmt. Unter der Annahme, daß die Wechselwirkung mit dem Kern auf der Coulomb-Abstoßung beruht, bewegt sich das Teilchen nach den Gesetzen der klassischen Mechanik auf einer Hyperbelbahn, in deren Brennpunkt sich der Kern Z (Masse M) befindet. (Weil M m α gilt, fällt der gemeinsame Schwerpunkt von Kern und α-teilchen näherungsweise mit dem Kern zusammen.) Die bei diesem Experiment interessierende Größe ist der Streuquerschnitt, d.h. die Zahl der α-teilchen, die in den Winkelbereich zwischen Θ und Θ + dθ gestreut werden. Der Ablenkwinkel Θ ist eine Funktion der Anfangsgeschwindigkeit v 0 und des Abstandes d der Hyperbelasymptote vom Streuzentrum 3. Für den einfach differentiellen Streuquerschnitt gilt 19 dσ dω = q 2 αq 2 Z 16E 2 kin sin4 Θ 2 wobei q α und q Z die Ladungen von α-teilchen und Kern bedeuten. Aus der Übereinstimmung des berechneten Wirkungsquerschnitts mit Experimenten schloß Rutherford, daß die Coulomb-Energie die entscheidende Wechselwirkung im Atom ist (Kernkräfte nichtmagnetischen Ursprungs werden erst bei Abständen d cm wirksam). Diese Aussagen führten zum Atommodel von Rutherford (1911): Negativ geladene Elektronen umlaufen (als Folge der Coulomb-Wechselwirkung) planetenartig einen positiv geladenen Kern. Dieser hat eine sehr kleine Ausdehnung und trägt fast die gesamte Masse des Atoms. 3 Die auf diesem Wege berechnete Rutherfordsche Streuformel ist auch im Rahmen der Quantenmechanik gültig, sie bedarf jedoch für schnelle Teilchen noch relativistischer Korrekturen.

23 205 SEMIKLASSISCHE MODELLVORSTELLUNGEN ZUM ATOMAUFBAU* Folgende Punkte rufen jedoch Kritik am Rutherford-Atommodell hervor: Die Elektronen führen auf ihren Bahnen eine beschleunigte Bewegung aus und müßten, wie ein Hertzscher Dipol, fortwährend Energie abstrahlen. Dadurch würden die Bahnen immer kleiner und das Atom könnte nur etwa 10 8 s existieren. Außerdem müßte, da die Umlauffrequenz kontinuierlich variiert, ein kontinuierliches Emissionssprektrum von Licht existieren. Tatsächlich zeigen aber die Experimente, daß die Emissionslinien diskret und nicht kontinuierlich sind. b) Die Postulate von Bohr und Sommerfeld N. Bohr (1913) und A. Sommerfeld (1916) führten eine neue Beschreibung des Atoms ein, in welche die Plancksche Quantenhypothese mit einbezogen wurde. Wie früher bereits erwähnt wurde, leitete Planck das Strahlungsgesetz unter der Annahme her, daß die Wandatome harmonische Oszillatoren darstellen und nur bestimmte diskrete Energiewerte abgeben können. Im Folgenden wird diese Hypothese auf beliebige Atome angewendet. Vorbetrachtung: Analyse des Planckschen Oszillators Der Plancksche Oszillator ist ein harmonischer Oszillator, dessen Energie nach Einstein der Bedingung E = nhν mit positiv ganzzahligem n genügt. Durch Gleichsetzen dieses Ausdruckes mit der Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators findet man H = p2 2m + 2π2 mν 2 x 2 = E = nhν (n Z + ) p 2 2mE + 2π2 mν 2 x 2 E = 1

24 21 ( ) 2 p + 2mnhν x hn 2π 2 mν 2 = 1 Diese Gleichung hat die Form einer Ellipsengleichung, im Phasenraum kommen demnach nur diskrete Ellipsen mit den Halbachsen a n = nh 2mnhν, b n = 2π 2 mν vor (n ganzzahlig). Die Fläche einer solchen Ellipse beträgt pdx = πa n b n = nh = 2πn Der Phasenraum wird in Gebiete der Größe h eingeteilt (h hat die Dimension einer Wirkung). Verallgemeinerung auf die Bewegung eines Elektrons im Atom durch Nils Bohr: 1. Postulat: Es sind nur solche Bewegungen erlaubt, für welche die Phasenintegralbedingung pdg = nh erfüllt ist. Diese Bahnen sind stabil, das Atom strahlt auf ihnen nicht. 2. Postulat: Lediglich beim Übergang zwischen verschiedenen Bahnen werde ein EINSTEIN-Lichtquant emittiert oder absorbiert. Dabei können nur solche Frequenzen ν ausgestrahlt werden, die der Frequenzbedingung ν = 1 h (E a E b )

25 225 SEMIKLASSISCHE MODELLVORSTELLUNGEN ZUM ATOMAUFBAU* genügen (Energiesatz). Als Folge der Diskretheit der Energien der Elektronen eines Atoms sind nur ganz bestimmte Frequenzen der ermittierten Strahlung möglich. Dies erklärt die experimentell beobachteten Linienspektren. Anwendungsbeispiel: Das Wasserstoffatom Als einfachster Fall werde ein Elektron auf einer Kreisbahn mit dem Radius a um den Kern betrachtet. Die Gesamtenergie H = T +V setzt sich aus der kinetischen Energie T = m 2 a2 ϕ 2 (mit der Winkelgeschwindigkeit ϕ) und der potentiellen Energie V = q2 a zusammen. Da der Radius der Elektronenbahn konstant ist, besitzt der Ortsvektor in Polarkoordinaten nur den Drehwinkel ϕ als Freiheitsgrad. Die zu ϕ gehörende Impulskoordinate lautet p ϕ = ma 2 ϕ Man erhält demnach das Phasenintegral 2π 0 p ϕ dϕ = 2πma 2 ϕ = nh ( )

26 23 Weiterhin gilt noch: ma ϕ }{{} 2 q 2 = }{{} a 2 Radialkraft Coulombkraft Die beiden Gleichungen für ϕ und a liefern diskrete Bahnen und Winkelgeschwindigkeiten a n = n 2 h 2 4π 2 mq 2, ϕ n = 1 n 3 8π 3 mq 4 h 3. Indem man diese Ergebnisse in den Ausdruck für die Energie E = T + V = m 2 a2 ϕ 2 q2 a einsetzt, erhält man die diskreten Energiewerte E n = 1 n 2 2π 2 mq 4 h 2 D.h. es ergeben sich diskrete Spektrallinien, welche mit den experimentellen Befunden (für Wasserstoffatom, ohne Feinstruktur) übereinstimmen. Bemerkung: Mit den bekannten Werten für q, h, m erhält man für die kleinste Bahn (n = 1) den Radius a 1 = cm = A Dieser läßt sich als Ausdehnung eines Atoms interpretieren.

27 245 SEMIKLASSISCHE MODELLVORSTELLUNGEN ZUM ATOMAUFBAU* Kritik an Bohrschen Postulaten Die Theorie von Bohr - Sommerfeld konnte die bis dahin nicht verstandenen Linienspektren des Wasserstoffs erklären. Sie weist aber einige problematische Punkte auf. Unter anderem liefert sie bei quantisierten Drehimpulsen falsche Aussagen, die mit der Erfahrung nicht übereinstimmen scheitert sie an der Behandlung von Mehrelektronensystemen (z.b. He- Atome) sind die ad hoc eingeführten Postulate von Bohr wenig befriedigend. c) Experimenteller Nachweis diskreter Energie-Niveaus durch den Franck - Hertz - Versuch (1913) K Abbildung 4: Franck-Hertz-Versuch Die Versuchsanordnung ist in Abbildung 4 dargestellt. In einer mit Quecksilberdampf gefüllten Röhre werden die Elektronen zwischen K und G beschleunigt und müssen anschließend eine kleine Gegenspannung zwischen G und A überwinden, bevor sie die Anode A erreichen. Bei Spannungserhöhung steigt der Strom I zunächst an. Wenn jedoch die kinetische Energie der Elektronen bei G so groß ist, daß sie ein Hg-Atom vom Grundzustand in den ersten angeregten Zustand überführen können, verlieren sie kinetische Energie. Infolge der negativen Gegenspannung erreichen sie Anode A nun nicht mehr und der Strom fällt. Bei 10 V und 15 V passiert das Ganze noch einmal, hier finden zwei bzw. drei Einzelstösse der Elektronen mit den Quecksilberatomen statt.

28 Dieses Experiment zeigt deutlich, daß von den Quecksilberatomen nur ganz bestimmte Elektronenenergien aufgenommen werden können. Die Frequenz des von den Hg-Atomen emittierten Lichts entspricht ebenfalls dieser Energie. 25

29 26 6 DIE SCHRÖDINGER MATERIEWELLEN 6 Die Schrödinger Materiewellen Im Rahmen der Hypothese von de Broglie (1923) besitzen Elektronen Wellencharakter. Es lag deshalb nahe, zu versuchen, Elektronen durch Materiewellen zu beschreiben. Erwin Schrödinger leitete 1926 eine Differentialgleichung für die raumzeitliche Verteilung eines (nichtrelativistischen) Materiefeldes für Elektronen unter dem Einfluß eines Potentials her. Die Schrödinger Feldgleichungstheorie war eine rein klassische Beschreibung. Elektronen wurden nicht als punktförmige Teilchen sondern als Felder interpretiert. Die Materiefeldgleichung bildete somit ein Gegenstück zur Maxwllschen Theorie der elektromagnetischen Strahlung dar. Nach Maßgabe der Feldamplitude waren die Elektronen als Materiewellen mehr oder weniger über dem gesamten Raum verteilt. Die Materiefeldgleichung gestattet es, die Welleneigenschaften von Elektronen zu beschreiben, jedoch nicht die Partikeleigenschaften. Dadurch stellte die Schrödinger Feldgleichung quasi eine Vorstufe zur eigentlichen Quantentheorie dar, bei der erst das Problem der Dualität von Wellen- und Teilcheneigenschaften bewältigt wurde. 6.1 Elektronen im Wellenbild Wie läßt sich ein Teilchen durch eine Materiewelle beschreiben? Ausgangspunkt ist eine ebene, monochromatische Welle, die darstellbar ist durch Ψ( r, t) = Ae i( k r ωt) wobei ω = ω( k). Die ebene Welle stellt eine Schwingung mit der Wellenlänge λ = 2π/k dar, die sich mit konstanter Geschwindigkeit in Richtung des Wellenvektors k ausbreitet. Diese Ausbreitungsgeschwindigkeit der Ebenen gleicher Phase ist die sogenannte Phasengeschwindigkeit v ph = ω k Die Beschreibung von Elektronen durch ebene Wellen erscheint allerdings problematisch, da ebene Wellen unendlich ausgedehnt sind. Anstelle ein punktförmi-

30 6.1 Elektronen im Wellenbild 27 ges Teilchen durch eine einfache ebene Welle zu beschreiben, kann man versuchen, das Elektron durch ein auf ein endliches Raumgebiet lokalisiertes Wellenpaket abzubilden. Im dreidimensionalen Fall bedeutet dies, dass man als Feld ansetzt Ψ( r, t) = A( k )e i( k r ω( k )t) d 3 k Hierbei bestimmt die Wahl der Funktion A( k ) die spezielle Struktur der räumlichen Verteilung: Nimmt man an, dass A( k ) nur in der Umgebung von k = k (eindimensionaler Fall) einen wesentlichen Beitrag besitzt, so läßt sich ω(k ) um ω(k) entwickeln ω(k ) = ω(k) + dω(k) dk (k k) Damit läßt sich Ψ(x, t) mit k k + k umformen in (eindimensional) Ψ(x, t) = A k (x, t) e i(kx ω(k)t) wobei die Feldamplitude A k (x, t) gegeben ist durch A k (x, t) = d ka(k + k)e i k(x dω dk t) Das Wellenpaket besteht aus einer Trägerwelle exp i(kx ω(k)t), die sich mit der Phasengeschwindigkeit v ph = ω(k)/k ausbreitet. Die Trägerwelle wird moduliert durch die Amplitudenfunktion A k (x, t), die von x und t abhängt. Flächen gleicher Amplitude sind durch x dω/dk t = const definiert und breiten sich mit der Gruppengeschwindigkeit v Gr aus v Gr = dω(k) dk

31 28 6 DIE SCHRÖDINGER MATERIEWELLEN Es liegt aufgrund dieser Eigenschaft nahe, die Gruppengeschwindigkeit mit der Geschwindigkeit v T = p/m des Teilchens zu identifizieren. Also v Gr = dω(k) dk = v T = p m Verwendet man für p die Broglie-Beziehung, p = k, so folgt daraus dω/dk = k/m und somit für die Frequenz ω(k) = k2 2m und für die Teilchenenergie E(k) = p2 2m = 2 k 2 2m = ω(k), Die letzte Beziehung wird auch als zweite de Broglie Relation bezeichnet. 6.2 Kräftefreie Schrödinger Feldgleichung Für ein freies Teilchen läßt sich in eindeutiger Weise eine Wellengleichung für die Welle Ψ( r, t) gewinnen. Ausgangspunkt ist die obige Darstellung für das Wellenpaket, mit dem sich ein freies Teilchen beschreiben läßt (wieder dreidimensional) Ψ( r, t) = A( k )e i( k r ω( k )t) d 3 k Durch partielle Ableitung nach t bzw. nach r erhält man Ψ( r, t) t = i ω( k)a( k)e i( k r ω( k)t) d 3 k Ψ( r, t) = k 2 A( k)e i( k r ω( k)t) d 3 k

32 6.3 Schrödinger Feldgleichung für Teilchen im Potential 29 Wegen ω( k) = k 2 /(2m) sind jedoch beide Integranden zueinander proportional, sodass folgt i ψ t = 2 2m ψ Dies ist die klassische Schrödinger Feldgleichung für ein freies Teilchen. Sie stellt eine lineare und homogene Gleichung in erster Ordnung in der Zeit und zweiter Ordnung im Ort dar. Wegen E = p 2 /(2m) ist sie auf eine nichtrelativistische Bewegung eines Teilchens beschränkt. 6.3 Schrödinger Feldgleichung für Teilchen im Potential Um die Wellengleichung für ein Teilchen in einem skalaren Potential V ( r) aufzustellen, betrachten wir den Term auf der rechten Seite 2 Ψ( r, t) = 2m 2 k 2 2m A( k)e i( k r ω( k)t) d 3 k Hier entspricht der Vorfaktor 2 k 2 /2m in etwa der klassischen kinetischen Energie E kin des Teilchens. Ersetzen wir im Fall des Vorhandenseines eines Potentials V ( r) die Energie durch 2 k 2 2m 2 k 2 2m + V ( r)

33 30 6 DIE SCHRÖDINGER MATERIEWELLEN so erscheint die folgende Erweiterung der Schrödinger Materiefeldgleichung für ein geladenes Teilchen der Masse m unter dem Einfluß eines Potentials V ( r) sinnvoll i ψ t = 2 ψ + V ( r)ψ 2m Dies ist in der Tat die Materiefeldgleichung für ein Teilchen der Masse m unter dem Einfluß eines Potentials V ( r). Sie stellt eine klassische Feldgleichung dar, mit der man Welleneigenschaften der Materie beschreiben kann. In der Quantentheorie werden wir später eine Gleichung kennenlernen, die die gleiche Form wie die Materiefeldgleichung besitzt. Sie hat jedoch eine völlig andere Bedeutung. Im Gegensatz zu den Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik ist die Schrödinger Feldgleichung komplexartig, so daß auch eine konjugiert komplexe Gleichung existiert: i ψ t = 2 2m ψ + V ( r)ψ 6.4 Eigenschaften a) Kontinuitätsgleichung Es ist naheliegend, das Amplitudenquadrat (bis auf eine Konstante) als Dichte ρ der Materieverteilung in einem Raum-Zeit-Punkt zu interpretieren, d.h. es soll gelten ρ( r, t) = Cψ ψ = C ψ 2 Da die Materie weder vernichtet noch erzeugt werden soll, muß eine Kontinuitätsgleichung der Form ρ t + div j = 0

34 6.4 Eigenschaften 31 existieren. Zum Beweis gehen wir von den beiden obigen Differentialgleichungen aus und multiplizieren mit ı ψ bzw. ı ψ: i ψ t 2 ψ + V ( r)ψ = 0 2m i ψ t 2 2m ψ + V ψ = 0 ı ψ ı ψ Durch Addition folgt ψ ψ t + 2mı (ψ ψ ψ ψ ) = 0 Der zweite Term auf der rechten Seite läßt sich umformen, sodass ψ ψ t + 2mı div (ψ ψ ψ ψ ) = 0 Wie erwartet, besitzt das Ergebnis die Form einer Kontinuitätsgleichung. Für die Dichte ρ und die Stromdichte j des Materiefeldes ergibt sich demnach ρ = Cψ ψ j = C 2mı (ψ ψ ψ ψ ) mit einer noch freien Kontanten C. Integriert man über den gesamten Raum, so erhält man mit Hilfe des Gaußschen Satzes d ρ d 3 r + j df dt = 0 V S(V )

35 32 6 DIE SCHRÖDINGER MATERIEWELLEN Fordert man noch, daß durch eine unendlich entfernte Kugel kein Strom fliessen soll, so folgt ψ ( r, t)ψ( r, t)d 3 r = const Dies entspricht der Aussage, daß die gesamte betrachtete Materiemenge zeitlich konstant bleibt. Man beachte, daß das obige Integral nur dann existiert, wenn die Wellenfunktion ψ( r, t) quadratintegrabel ist, d. h. das Raumintegral von ψ 2 existiert. Dazu muß ψ im Unendlichen stärker als r 3/2 abfallen. Dies garantiert auch das oben geforderte Verschwinden der Stromdichte j auf einer unendlich weit entfernten Kugel. b) Superpositionsprinzip Da die Feldgleichungen linear sind, gilt das Superpositionsprinzip. Sind zum Beispiel ψ 1 und ψ 2 Lösungen der Feldgleichung, so ist auch die Summe ψ 1 +ψ 2 eine Lösung. Dies ermöglicht die Beschreibung von Interferenzerscheinungen: ρ ψ 1 + ψ 2 2 = ψ ψ ψ 1 ψ 2 + ψ 2ψ 1 }{{} Interferenzterm c) Quantisierung der Energieniveaus von Atomen Mit Hilfe der Schrödingerschen Wellentheorie der Materie läßt sich auch einfach verstehen, daß gebundene Teilchen diskrete Energien besitzen (Bsp. Wasserstoff - Problem). Gegenüber der Bohrschen ad hoc - Annahme der Phasenintegralbedingung stellt dies einen wesentlichen Fortschritt im Verständnis dar. Auf diesen Punkt soll jedoch erst später im Rahmen der Quantentheorie genauer eingegangen werden. Zudem wurden auch die Schwierigkeiten bei der Behandlung des Drehimpulses gelöst. d) Das Versagen des Wellenbildes der Materie Die Schrödinger Materiewellengleichung entspricht einer Beschreibung des Wellencharakters von Teilchen. Alle Versuche, mit Hilfe einer solchen klassischen Feldtheorie auch dem Teilchencharakter der Materie gerecht zu wer-

36 6.4 Eigenschaften 33 den, scheiterten. Insbesondere fanden die folgenden Probleme keine adäquate Lösung im Rahmen der Materiefeldgleichung: Zerfließen des Wellenpaketes Ein Wellenpaket als Lösung der kräftefreien Schrödingerschen Feldgleichung hat für d=3 die Form (vgl. oben) ψ( r, t) = 1 (2π) 3 2 a( k)e ı k r k 2 2m d t 3 k Hierbei wurde der früher verwendete Koeffizient A( k) ersetzt durch 1/(2π) 3 2 a( k). Bei t = 0 nimmt das Wellenpaket die Gestalt ψ( r, t = 0) = 1 (2π) 3 2 a( k) e ı k r d 3 k an, die der Form eines Fourierintegrals entspricht. Die Entwicklungskoeffizienten a( k) ergeben sich aus der Rücktransformation, d. h. a( k) = 1 (2π) 3 2 ψ( r, 0) e ı k r d 3 r Setzt man dies in ψ( r, t) ein, so erhält man die folgende Darstellung des Wellenpaketes ψ( r, t) = 1 (2π) 3 ψ( r, 0) e ı k ( r r ) ı k2 2m t d 3 k d 3 r bzw. ψ( r, t) = ψ( r, 0) U( r r, t)d 3 r

37 34 6 DIE SCHRÖDINGER MATERIEWELLEN wobei als Abkürzung eingeführt wurde U( r, r, t) = U(x, x, t) U(y, y, t) U(z, z, t) mit U(x, x, t) = 1 e ık x(x x ) ı k2 x 2m t dk x 2π (analog für y und z). Dieses Integral läßt sich einfach auswerten U(x, x, t) = m 2ıπ 1 e ım 2 t (x x ) 2 t wobei im Grenzfall t 0 das Resultat in die δ-funktion δ(x x ) übergehen muß. Die Kenntnis von U erlaubt es nun, ein beliebiges kräftefreies Wellenpaket zu berechnen. Nimmt man beispielsweise zum Zeitpunkt t = 0 eine Gaußförmige Anfangsverteilung ψ( r, t = 0) = Ae ık 0x e x2 2a 2 mit der Dichte ρ(x, 0) = Cψ (x, 0)ψ(x, 0) ρ(x, 0) = C A 2 e x2 a 2 an, so liefert die Auswertung des obigen Ausdrucks für ψ( r, t) die Dichtever-

38 6.4 Eigenschaften 35 teilung (Beweis siehe Übungen) für ρ(x, t): ρ(x, t) = C A ( ) e t 2 ma 2 ( x k 0 t) 2 m a [1 2 + ( ) ] t 2 ma 2 Die größte Dichte zum Zeitpunkt t herrscht offenbar an der Stelle x m = k 0 m t mit einem Wert ρ(x m, t) = C A ( ) t 2 ma 2 Die hierin zum Ausdruck kommende Abnahme der maximalen Dichte im Laufe der Zeit ist begleitet von einer Verbreiterung des Wellenpaketes. Dieses Zerfließen ist eine Folge der Tatsache, daß die Gruppengeschwindigkeit der Materiewelle v gr selbst wieder eine Funktion von k ist (v gr = m k und deshalb sich verschiedene k - Anteile des Paketes mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten fortbewegen 4. Setzt man für m die Elektronenmasse und für a eine atomare Länge ( < 10 8 cm) ein, so folgt, daß sich die Ausdehnung des Wellenpaketes bereits nach einer Zeit τ < s verdoppelt hat. D. h. die Lokalisierung des Elektrons läßt sich im Laufe der Zeit nicht aufrechterhalten. Das Zerfließen des Materiefeldes ist eine der Ur- 4 Man beachte, dass das Zerfließen bei dem genäherten Wellenpaket von Abschnitt d) nicht mehr vorhanden ist.

39 36 6 DIE SCHRÖDINGER MATERIEWELLEN sachen dafür, daß die Wellenvorstellung der Materie keine ausreichende Beschreibung für das Verhalten von Elementarteilchen darstellt. Coulomb - Selbstwechselwirkung Die Bewegung eines geladenen Materiefeldes wird durch die obige Schrödingersche Feldgleichung beschrieben. Wenn noch zusätzlich die elektromagnetischen Potentiale A und ϕ berücksichtigt werden sollen, gilt: ψ ı t + 1 ( 2m ı q ) 2 A c ψ + V ( r)ψ + qϕψ = 0 Die Potentiale A und ϕ können einerseits durch äußere elektromagnetische Felder bestimmt sein. Andererseits sind aber die Raumladung und der elektrische Strom des Materiefeldes selbst wieder Quellen eines elektromagnetischen Feldes, das auf die Verteilung ψ( r, t) des Materiefeldes zurückwirkt. Man muß also ein Differentialgleichungsystem lösen, welches das Schrödingerfeld an das Maxwellfeld koppelt. Beschränken wir uns allein auf den Einfluß der Ladungsdicht des Materiefeldes, so ergeben sich die beiden folgenden gekoppelten Gleichungen ( A 0) 0 = ψ ı t + 1 ψ + V ( r)ψ + qϕψ 2m ϕ = 4π(qψ ψ) (Poisson- Gleichung) Der Term qψ ψ entspricht hier der Ladungsverteilung des Materiefeldes. Die letzte Gleichung hat die Lösung, wenn man Retardierungseffekte vernachlässigt ψ ( r ϕ( r, t) = q, t)ψ( r, t) d 3 r r r

40 6.4 Eigenschaften 37 sodass man mit der ersten Beziehung folgende Gleichung erhält: ı t 2 ψ ( r + V ( r) +, t)ψ( r, t) q2 2m d 3 r ψ( r, t) = 0 r r Das Ergebnis stellt eine komplizierte Integrodifferentialgleichung für das Materiefeld ψ( r, t) dar. Der Einfluß der Coulombabstoßung solte besonders an Stellen großer Intensität stark sein und sollte sich in einem Auseinanderdrängen des Materiefeldes äußern. Für ein Einelektronensystem läßt sich diese Selbstwechselwirkung jedoch experimentell nicht nachweisen. So findet man etwa die richtigen Energiewerte beim Wasserstoffatom, wenn der Coulomb-Term nicht berücksichtigt wird. Dies läßt sich im Rahmen des klassischen Feldbildes nicht verstehen.

41 38 7 FUNDAMENTALE KONZEPTE 7 Fundamentale Konzepte 7.1 Stern-Gerlach-Experiment Im Folgenden soll anhand des schon früher erwähnten Stern-Gerlach-Versuchs noch einmal die Unzulänglichkeit der klassischen Konzepte aufgezeigt erden. Insbesondere wird noch einmal die Notwendigkeit deutlich, sich von den Konzepten der klassischen Mechanik abzuwenden. Gleichzeitig soll in anschaulicher Weise Hinweise darauf gegeben werden, welche fundamentalen Eigenschaften und Konzepte die Quantentheorie erfüllen muß. Betrachten wir zunächst entsprechend Abschnitt 4.1 eine Stern-Gerlach-Apparatur, bei der der durchgehende Strahl von Ag-Atomen einem inhomogenen Magnetfeld in z-richtung ausgesetzt wird. Die Apparatur soll im folgenden als SGẑ-Apparatur bezeichnet werden. Die SGẑ-Apparatur spaltet den ursprünglichen Silberstrahl in zwei verschiedene Komponenten auf, was man früher als Raumquantisierung oder Richtungsquantelung bezeichnet hat. Da die Apparatur die z-komponente des magnetischen Moments µ mißt, bedeutet dies, dass für die z-komponente von µ als experimentelle Möglichkeiten nur zwei Werte beobachtet werden, die wir mit (µ + z ) und (µ z ) bezeichnen wollen. 7.2 Aufeinander folgende Stern-Gerlach-Apparaturen Der Atomstrahl soll nun hintereinander durch zwei oder mehr Stern-Gerlach- Apparaturen in Folge gehen. 1. Versuchsaufbau (S )Komp. z+ Ofen SG z SG z (S -) Komp. z (S )Komp. z+ keine (S -) Komp. z Nach der ersten Stern-Gerlach-Apparatur (SGẑ) für die Messung der z-komponente des magnetischen Moments (bzw. des Spins) wird die (sµ z )-Komponente blockiert. In eine zweite Stern Gerlach Apparatur (SGẑ) tritt dann nur die

42 7.2 Aufeinander folgende Stern-Gerlach-Apparaturen 39 verbleibene (µ + z )-Komponenten ein. Meßergebnis: Man findet im Ausgangsstrahl nach der 2.G-Apparatur nur eine heraustretende Komponente,die, wie man erwarten würde, wieder die (µ + z )- Komponente. 2. Versuchsaufbau (S )Komp. z+ Ofen SG z SG x z (S )Komp. z+ (S -) Komp. z Wir betrachten die gleiche Versuchsapparatur wie unter 1). Jedoch wird die zweite Stern-Gerlach-Apparatur jetzt durch eine (SGˆx)-Apparatur ersetzt, mit einem inhomogenen Magnetfeld in x-richtung. Meßergebnis: Der (µ + z )-Strahl wird in zwei Komponenten uafgespalten: in eine (µ + x )- und in eine (µ x )-Komponente, die beide die gleiche Intensität besitzen. Das Ergebnis könnte unter Umständen folgendermaßen interpretiert werden: Die Hälfte des in die SGˆx-Apparatur einlaufenden (µ + z )-Strahls besteht aus Atomen, die durch magnetische Momente (µ + z ) und (µ + x ) charakterisiert sind während die andere Hälfte aus magnetischen Momenten (µ + z )- und (µ x )- Komponenten besteht. Es wird sich zeigen, daß sich dieses Bild als nicht konsistent erweist. 3. Versuchsaufbau (S z+) Strahl (S x+) Strahl Ofen SG z SG x SG z (S -) Strahl z (S +) z (S x -) Strahl (S z-) Wir betracheten den gleichen Aufbau wie unter 2.), nur wird der (µ x )-Strahl nach der zweiten Stern-Gerlach-Apparatur herausgeblendet. Der (µ + x )-Strahl wird in eine weitere SGẑ-Apparatur geschickt, die wieder das magnetische

43 40 7 FUNDAMENTALE KONZEPTE Moment in z-richtung mißt. Meßergebnis: Aus der dritten Stern-Gerlach-Apparatur kommen im Gegensatz zur Erwartung wieder zwei Komponenten heraus und zwar wiederum eine (µ + z )- und eine (µ z )-Komponente von gleicher Intensität. Nach der obigen Interpretation ist dieses Ergebnis unverständlich: Die (µ z )- Komponente wurde nach der ersten Stern-Gerlach-Apparatur blockiert. Sie taucht jetzt aber wieder auf. Nach dem obigen Bild sollte der (µ + x )-Strahl vor der dritten SG-Apparatur nur aus Komponenten (µ + x ) und (µ + z ) bestehen. Bemerkung: Dieses Experiment wird häufig benutzt, um zu illustrieren, daß die magnetischen Momente in z- und in x-richtung Richtung nicht gleichzeitig meßbar sind. Besser sollte man sagen, daß die zweite Apparatur (SGˆx) die vorherige Information über µ z vollständig zerstört hat. 7.3 Analogie zur Polarisation von Licht Wir betrachten eine monochromatische, in x-richtung polarisierte Lichtwelle, die sich in z-richtung ausbreitet E = E 0 e x cos(k z z ωt) Analog gilt für eine in y-richtung polarisierte Welle, die sich ebenfalls in z-richtung ausbreitet E = E 0 e y cos(k z z ωt) Experimentell erhält man diese Wellen durch Einfügen von Polarisationsfilter in einen unpolarisierten Strahl in x- bzw. in y-richtung.

44 7.3 Analogie zur Polarisation von Licht 41 Versuchsaufbau: Zwischen das x- und das y-filter fügen wir nun ein zusätzliches Filter ein, das nur Licht durchläßt, das in eine Richtung x polarisiert ist, die einen 45 o - Winkel sowohl mit der x-richtung als auch mit der y-richtung bildet. Man beachte hierbei die enge Analogie zum obigen Stern-Gerlach-Versuch: wenn man identifiziert (µ ± z ) Atome in x- bzw. y-polarisiertes Licht (µ ± x ) Atome in x - bzw. y - polarisiertes Licht Wie läßt sich das in x - und y - polarisierte Licht beschreiben? { 1 E 0 e x cos(kz ωt) = E 0 2 e x cos(kz ωt) + 1 } e y cos(kz ωt) 2 { 1 E 0 e y cos(kz ωt) = E 0 e x cos(kz ωt) + 1 } e y cos(kz ωt) 2 2 Die Analogie zum Stern-Gerlach-Versuch würde bedeuten, daß man die beiden (µ ± x )-Komponenten nach der SGˆx-Apparatur darstellen kann als Linearkombination von (µ + z ) und (µ z ) Komponenten. Nutzt man in der Notatation bereits aus, dass das magnetische Moment µ von Ag-Atomen proportional zum Spin s (mit s=1/2) ist, heißt dies

45 42 7 FUNDAMENTALE KONZEPTE s x ; +? = 1 2 s z ; s z ; s x ;? = 1 2 s z ; s z ; Hier wurde der Zustand der Atome im (s + x ) und im (s x )-Strahl durch Vektoren ( Ket -Vektoren in der Dirac-Schreibweise ) in einem geeigneten Vektorraum gekennzeichnet. Dies wird genauer im nächsten Kapitel diskutiert. Die Analogie suggeriert, daß es möglich sein sollte, den Spinzustand von Silberatomen durch eine Art Vektor eines zweidimensionalen Vektorraums zu repräsentieren. Die Zustände s ; x+ werden als Linearkombination von zwei anderen Zuständen s z ; + und s z ; betrachtet. Bei der erneuten SGẑ- Messung im dritten SG-Versuchsaufbau wird dadurch das Auftreten beider Komponenten (s ± z ) verständlich. Ein nächstes Problem stellt sich unmittelbar: Wie kann man die (s ± y )-Zustände bei einer Messung in y-richtung repräsentieren? Da die x- vor der y-richtung nicht ausgezeichnet ist, sollten die Zustände s y ; ± ebenfalls als Linearkombination der Zustände s z ; ± darstellbar sein. Wie wir später noch genauer sehen werden, gilt s y ; ± =? 1 s z ; + ± i s z ; 2 2

46 7.3 Analogie zur Polarisation von Licht 43 Man beachte, dass die Darstellung von s y ; ± sich von der für s x ; ± unterscheidet, da die rechte Seite komplexe Koeffizienten enthält.