Ferienkurs Experimentalphysik 4

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1 Ferienkurs Experimentalphysik 4 Vorlesung 1 Quantenphysik Grundlagen Florian Lippert & Andreas Trautner

2 Inhaltsverzeichnis 1 Das Bohrsche Atommodell Bohrsche Postulate Mathematische Formulierung Fundamentale Begriffe der Quantenmechanik Zustand und statistische Interpretation Schrödinger-Gleichung Observablen, Eigenwerte und Eigenfunktionen Lösungen der freien Schrödinger-Gleichung Heisenbergsche Unschärferelation Drehimpuls in der Quantenmechanik 9 4 Spin 10 5 Fermionen und Bosonen 11 Abbildungsverzeichnis 1 Darstellung eines Wellenpaketes im Ortsraum Orts- und Impulsunschärfe eines Wellenpaketes Mögliche Drehimpulsrichtungen

3 1 Das Bohrsche Atommodell 1.1 Bohrsche Postulate Bohr formulierte sein Modell, indem er das rutherfordsche Modell um drei Postulate erweiterte. Sie lauten: Elektronen bewegen sich auf stabilen Kreisbahnen um den Atomkern. Anders als es die Theorie der Elektrodynamik vorhersagt, strahlen die Elektronen beim Umlauf keine Energie in Form von elektromagnetischer Strahlung ab. Elektronen quasi als stehende Welle. Der Radius der Elektronenbahn ändert sich nicht kontinuierlich, sondern sprunghaft. Bei diesem Quantensprung wird elektromagnetische Strahlung abgegeben (oder aufgenommen), deren Frequenz sich aus dem von Max Planck entdeckten Zusammenhang zwischen Energie und Frequenz von Licht ergibt. Wenn E n1 die Energie des Ausgangszustands und E n2 die Energie des Zielzustands ist, dann wird ein Lichtquant emittiert mit der Frequenz ν der ausgesandten Strahlung ν = (E n1 E n2 )/h. Elektronenbahnen sind nur stabil, wenn der Bahndrehimpuls L des Elektrons ein ganzzahliges Vielfaches des reduzierten planckschen Wirkungsquantums ist. (Bohr-Sommerfeld Qunatisierung) 1.2 Mathematische Formulierung Im Bohrschen Atommodell bewegt sich das Elektron (Masse m e, Ladung e) mit der Geschwindigkeit v auf einer Kreisbahn (Orbital) mit Radius r um den Schwerpunkt des Systems aus Elektron und Kern (Masse m K, Ladung Ze). Dies lässt sich durch die Bewegung eines Teilchens mit der reduzierten Masse µ = m e m K /(m e + m K ) m e (m e m K ) um das Zentrum des Coulombpotentials im Kern bei r = 0 beschreiben. Aus der Beziehung F Z = F C, also µv 2 r = 1 4πɛ 0 Ze 2 r 2, (1) ergibt sich der Radius der Kreisbahn r = Ze2 4πɛ 0 µv 2, (2) der jeden möglichen Wert annehmen kann. Setzt man jedoch für das Elektron seine Materiewelle an, so muss es sich bei dieser um eine stehende Welle handeln, damit das Elektron das Atom nicht verlässt. Der Umfang U = 2πr der Kreisbahn muss also einem ganzzahligen Vielfachen der de-broglie-wellenlänge λ entsprechen, das ist die 1

4 Quantisierungsbedinung 2πr = nλ, n N. (3) Mit λ = h/(µv) lässt sich diese auch wie von Bohr postuliert als Quantisierunsbedingung für den Bahndrehimplus verstehen: L = µrv = n. (4) In jedem Fall ergeben sich daraus die erlaubten Geschwindigkeiten des Elektrons zu v = Ze2 4πɛ 0 n (5) Setzt man die Geschwindigkeit in Gl. 2 ein, so ergeben sich die erlaubten Radien für die Kreisbahnen zu r n = 4πɛ 0 2 n 2 Ze 2 µ = Zαµc n2 = a 0 Z n2, n N. (6) Hier haben wir den Bohrschen Radius a 0 = αµc 0.5 Å (7) eingeführt. Hierbei benutzen wir auch die Zusammenfassung der Größen e 2, ɛ 0, c und zur dimensionslosen Feinstrukturkonstante α = e2 4πɛ 0 c (8) Durch die Bedingung einer stehenden Welle werden also die Radien der Elektronenbahnen im Bohrschen Atommodell gequantelt. Für die Gesamtenergie eines Körpers auf einer Kreisbahn gilt E = E kin + E pot = E pot /2 mit E kin = E pot /2 (hiervon kann man sich auch explizit überzeugen). Setzt man Gl. 6 in die Gesamtenergie ein, so erhält man E n = 1 Ze 2 = 1 2 4πɛ 0 r n 2 µα2 c 2 Z2 Z2 = Ry* n2 n, (9) 2 wobei Ry* 13.6 ev die sog. Rydbergenergie ist, welche der Ionisierungsenergie eines Wasserstoffatoms entspricht. Die Gesamtenergie ist also negativ und geht für n, 2

5 d.h. r, gegen Null. Sie kann nur diskrete Werte E(n) annehmen, die durch die Quantenzahl n festgelegt sind. Man nennt einen solchen stationären Energiezustand auch einen Quantenzustand des Atoms. Um die Beobachtung von Linienspektren in Absorption oder Emission zu erklären, geht man im Bohrschen Atommodell davon aus, dass durch Absorption eines Lichtquants mit Energie hν das Atom von einem energetisch tieferen Zustand E 1 = E(n 1 ) in einen energetisch höheren Zustand E 2 = E(n 2 ) übergehen kann, wenn die Energieerhaltung hν = E = E 2 E 1 erfüllt ist. Setzt man für die Energien die Relation 9 ein, so ergibt sich für die Energien der absorbierten Lichtquanten ( 1 hν = Ry* Z 2 1 ), (10) n 2 1 n 2 2 woraus sich ohne Weiteres die berühmte Balmerformel ableiten lässt. Das Bohrsche Atommodell ist sehr erfolgreich im Vorhersagen des Linienspektrums sowie der zugehörigen Energie, es gibt allerdings einige eklatante Mängel. So wird die Quantisierung ad-hoc postuliert und es wird nicht erklärt, warum die Elektronen nicht Energie abstrahlen (Kreisbahn ist eine beschleunigte Bewegung) und einfach in den Kern stürzen. Außerdem hätte in diesem Model nach (4) bereits der niedrigste n = 1 Zustand einen nicht verschwindenden Drehimpuls im Widerspruch zur Beobachtung. Im Folgenden wollen wir deshalb die korrekte und vollständige quantenmechanische Beschreibung entwickeln und diskutieren. 2 Fundamentale Begriffe der Quantenmechanik 2.1 Zustand und statistische Interpretation Der Zustand eines mikroskopischen Systems in der Quantenmechanik wird als Ψ oder in der Bra-Ket-Notation als Ψ bezeichnet und ist ein Element des abstrakten Hilbertraumes. Im Rahmen dieses Ferienkurses wird hauptsächlich die Projektion des Zustandes in den Ortsraum r Ψ = Ψ(t, r) (auch bekannt als Wellenfunktion) verwendet. Gemäß der statistischen Interpretation der Quantenmechanik (=Kopenhagener Deutung) gibt das Absolutquadrat Ψ(t, r) 2 d 3 r = Ψ (t, r)ψ(t, r)d 3 r der Wellenfunktion die Wahrscheinlichkeit an, ein Teilchen zur Zeit t im Intervall d 3 r um den Ort r zu finden. Man nennt Ψ(t, r) 2 die Wahrscheinlichkeitsdichte am Ort r zur Zeit t. Da die Wahrscheinlichkeit das Teilchen irgendwo im gesamten Volumen (, ) zu finden Eins betragen muss, ergibt sich die Normierungsbedingung für die Wellenfunktion ˆ d 3 r Ψ(t, r) 2 = 1. (11) 3

6 2.2 Schrödinger-Gleichung Die Dynamik eines Zustandes, also dessen zeitliche Entwicklung, wird durch eine Differentialgleichung, im nicht relativisitschen Grenzfall ist das die Schrödinger-Gleichung, beschrieben. i [ ] t Ψ(t, r) = 2 2m 2 + V (t, r) Ψ(t, r) = ĤΨ(t, r) (12) Hierbei ist Ĥ der Hamiltonoperator, der Operator der Gesamtenergie. Für viele Probleme genügt die Beschreibung durch ein stationäres d.h. zeitunabhängiges Potential V (t, r) = V (r), und man sieht sofort, dass damit auch der Hamiltonoperator also die Gesamtenergie nichtmehr von der Zeit abhängt: E = const. In diesem Fall führt ein einfacher Separationsansatz auf die stationäre Schrödinger-Gleichung Ψ(t, r) = Ψ(t = 0, r)e iωt = ψ(r)e i Et, (13) Ĥψ(r) = ] [ 2 2m 2 + V (r) ψ(r) = Eψ(r). (14) Da die Schrödinger-Gleichung eine lineare (in Ψ) homogene DGL ist, können verschiedene Lösungen linear überlagert werden (Superpositionsprinzip), d.h. mit den Lösungen ψ 1 und ψ 2 ist auch ψ 3 = aψ 1 +bψ 2 eine Lösung der Schrödinger-Gleichung. Die Schrödinger- Gleichung sollte als Eigenwertgleichung für die Wellenfunktion Ψ aufgefasst werden. Die eigentliche Aufgabe besteht nun darin, für ein vorgegebenes Potential V (r) die Wellenfunktion zu finden, die die Schrödinger-Gleichung löst. Das heißt die Lösungen ergeben sich aus den Randbedingungen die an das System gestellt werden. Leider lassen sich nur wenige Potentiale exakt analytisch lösen, im Eindimensionalen gibt es jedoch eine Reihe von Standardtypen wie z.b. den unendlich hohen Potentialtopf, die Potentialbarriere oder den harmonischen Oszillator (dieser verlangt jedoch etwas mehr Rechenaufwand). 2.3 Observablen, Eigenwerte und Eigenfunktionen Klassische Messgrößen werden in der Quantenmechanik durch sog. Observablen A ausgedrückt wobei jeder dieser physikalischen Größen (z.b. Energie, Impuls, Drehimpuls, Ort,...) ein Operator  zugeordnet wird, der sie mit der Zustandsfunktion verknüpft. Prinzipell sind im Sinne der Wahrscheinlichkeitsinterpretation nur Erwartungswerte von Observablen zugänglich. Für den Erwartungswert A einer Observable A gilt 4

7 ˆ A = d 3 r Ψ (t, r)âψ(t, r) (15) Der Operator  wird also auf die Zustandsfunktion Ψ(t, r) angewendet. Eine entscheidende Größe zur Charakterisierung des Erwartungswertes ist die Standardabweichung A, welche sich berechnet als A = A 2 A 2. (16) Als Ergebnis einer Messung der Observable A an einem System Ψ(t, r) erwarten wir also Messergebnisse die mit der Standardabweichung A um den Erwartungswert A streuen. Im Spezialfall, dass Ψ(t, r) eine Eigenfunktion zum Operator  ist, sprich ÂΨ(t, r) = aψ(t, r), ist der Erwartungswert ˆ A = ˆ d 3 r Ψ (t, r) ÂΨ(t, r) = a }{{} =aψ(t,r) ˆ d 3 r Ψ (t, r)ψ(t, r) = a d 3 r Ψ(t, r) 2 = a, (17) ganz einfach durch den Eigenwert gegeben. In diesem Fall verschwindet die mittlere quadratische Schwankung und man misst (bis auf experimentelle Messfehler) immer den gleichen Wert, der Zustand ist scharf bestimmt. Da physikalische Größen reell sein sollen, werden diese ausschließlich durch Operatoren mit reellen Eigenwerten beschrieben. Man nennt diese Operatoren hermitesch. Dies bedeutet, dass der Operator  und sein Adjungiertes  gleich sind, also  = Â. Hermitesche Operatoren haben die Eigenschaft, dass ihre Eigenfunktionen ein vollständiges System (d.h. eine Basis des Hilbertraumes) bilden, in die sich alle anderen Funktionen entwickeln lassen. Falls zwei Operatoren  und ˆB vertauschbar sind, d.h. der Kommutator [Â, ˆB] =  ˆB ˆB (18) verschwindet, haben die Operatoren die gleichen Eigenfunktionen und somit lassen sich die Erwartungswerte A und B gleichzeitig scharf messen. Ein wichtiger Spezialfall ist der Kommutator zwischen dem Hamiltonoperator Ĥ und einem Operator Â. Ist dieser gleich Null, so ist die zum Operator  gehörende Observable A eine Erhaltungsgröße des Systems. Um von klassischen Messgrößen auf die zugehörigen quantenmechanischen Operatoren (im Orstraum) zu kommen benutzt man folgende, sog. kanonische Ersetzungsregeln. 5

8 r ˆr = r (19a) p ˆp = i (19b) L ˆL = r ˆp = i (r ) (19c) E pot ˆV (ˆr) = V (r) (19d) E kin ˆp 2 /(2m) = 2 2 /(2m) (19e) E Ĥ = 2 2 /(2m) + V (r) (19f) 2.4 Lösungen der freien Schrödinger-Gleichung Wir wollen nun die Lösung der Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen (V(r)=0) betrachten. Wir beschränken uns hierfür auf den eindimensionalen Fall. In diesem Fall ist eine mögliche Lösung ψ(t, x) = ψ 0 e i (px Et) = ψ 0 e i(kx ωt), (20) eine Ebene Welle. Charakterisitsch für eine einzelne Ebene Welle ist die Phasengeschwindigkeit v Ph := ω k = E k = p 2m, (21) wobei wir im letzten Schritt die n.r. kinetische Energie E = p 2 /2m und die elementare De-Broglie Beziheung p = k verwendet haben. Die Phasengeschwindigkeit ist somit ungleich der klassischen Geschwindigkeit eines Teilchens v T = p/m. Beachte außerdem, dass ψ in diesem Fall nicht nach Bedinung (11) normiert werden kann, d.h. diese Einzel-Lösung ist mit der Wahrscheinlichkeitsinterpretation unvereinbar. Für realitische Teilchen müssen wir in jedem Fall eine normierbare Wellenfunktion angeben. Da das Superpositionsprinip gilt, können wir mehrere Ebene Wellen (20) mit verschiedenen Wellenzahlen k überlagern, sodass sich ein normierbares Wellenpaket ergibt: ψ(t, x) = 1 ˆ 2π dk A(k)e i(kx ω(k)t). (22) Die verschiedenen Wellenzahl gewichten wir hierbei mit einem Faktor A(k), den wir so wählen, dass alle vorkommenden Wellenzahlen k im Intervall [k 0 k, k 0 + k] liegen. Nimmt man an, dass alle Teilwellen in diesem Intervall gleich viel beitragen d.h. A(k) 6

9 A(k 0 ) = const. und wir ω(k) in eine Taylorreihe bis zur linearen Ordnung entwickeln ω(k) = ω 0 + dω dk (k k 0 ) + O ( k 2) (23) }{{ k=k0 } =:ω 0 lässt sich das Integral (22) elementar berechnen und für die Wellenfunktion ergibt sich (vgl. Abb. 1) 2 ψ(t, x) = π A(k 0)e i(ω 0t k 0 x) sin [ k(ω 0t x)]. (24) ω 0t x Gl. 24 stellt nun ein Wellenpaket dar, welches ein Maximum bei ω 0t x = 0 besitzt, Abb. 1: Wellenpaket als Überlagerung von unendlich vielen Wellen mit Frequenzen ω im Bereich ω 0 ± ω/2 mit konstanter Amplitude A(k) = A(k 0 ) der Teilwellen. das sich mit der Gruppengeschwindigkeit v Gr = dω dk = k 0 k=k0 m = p m = v T (25) in x-richtung bewegt, die genau der klassischen Teilchengeschwindigkeit entspricht. Somit ist das Wellenpaket die einzig richtige Beschreibung bewegter freier Teilchen, da es Normiert und mit den charakteristischen Eigenschaften des klassischen Teilchenmodells verknüpft werden kann. Trotz dieser Verknüpfungen kann das Wellenpaket nicht direkt als das Wellenmodell des Teilchens angesehen werden, denn auch hier gilt: lediglich das Betragsquadrat der Wellenfunktion hat eine physikalische Interpretation und Messwerte (wie der Ort) können lediglich durch Wahrscheinlichkeitsaussagen angegeben werden. Wellenpakete unterliegen außerdem einer Dispersion, d.h. aufgrund der endlichen Impulsverteilung wird die 7

10 Standardabweichung im Ort mit der Zeit immer größer, das Teilchen läuft aus, ein inhärent nicht klassisches Phänomen. Abb. 2: Darstellung der Unschärferelation durch die Orts- und Impulsunschärfen eines Wellenpaketes für kleine Ortsunschärfe (links) und große Ortsunschärfe (rechts). 2.5 Heisenbergsche Unschärferelation Die volle (räumliche) Breite des Maximums (d.h. die Standardabweichung der Ortsmessung) x eines normierten Wellenpakets zum Zeitpunkt t = 0 und die volle Breite (d.h. die Standardabweichung der Impulsmessung) k der zugehörigen Amplitudenverteilung folgen der Beziehung x k 1 2, (26) wobei sich zeigen lässt, dass der Minimalwert x k = 1 für eine gaußförmige Amplitudenverteilung eintritt und alle anderen Verteilungen größere Werte liefern. Je kleiner man 2 beispielsweise die Ortsunschärfe haben will, desto größer muss die Impulsunschärfe sein und umgekehrt. Mit p = k folgt die Heisenbergsche Unschärferelation (oft auch Unbestimmtheitsrelation) x p 2. (27) 8

11 Für die anderen Raumrichtungen eines dreidimensionalen Wellenpaketes erhält man analoge Ungleichungen. Die Konsequenz dieser Orts-Impuls-Unschärfe ist, dass der Ort und der Impuls eines Teilchens nicht beliebig genau bestimmbar, sondern immer mit einer Unschärfe behaftet sind (vgl. Abb. 2). Man kann die Unschärferelation also als direkte Konsequenz der Normierungsbestimmung und somit der Wahrscheinlichkeitsinterpretation verstehen, nur durch Sie waren wir gezwungen überhaupt Wellenpakete zur Beschreibung von Teilchen anstatt einfacher Ebener Wellen einzuführen. 3 Drehimpuls in der Quantenmechanik Für den Drehimpulsoperator ˆL = r ˆp = i (r ) erhält man in kartesischen bzw. sphärischen Koordinaten ( ˆL x = i y z z ) ( = i sin ϕ ) + cot ϑ cos ϕ, (28) y ϑ ϕ ( ˆL y = i z x x ) ( = i cos ϕ ) + cot ϑ sin ϕ, (29) z ϑ ϕ ( ˆL z = i x y y ) = i x ϕ. (30) Damit ergibt sich für den Operator des Drehimpuls-Betragsquadrats [ ( ˆL 2 = ˆL 2 x + ˆL 2 y + ˆL 1 2 z = 2 sin ϑ ) + 1 ] 2 sin ϑ ϑ ϑ sin 2 = 2 2 ϑ ϕ ϑ,ϕ. (31) 2 Offensichtlich ist ˆL 2 proportional zum Winkelanteil des Laplace-Operators. Dies bedeutet, dass die Kugelflächenfunktionen Y lm (ϑ, ϕ) Eigenfunktionen des Operators ˆL 2 sind. Des Weiteren sind die Kugelflächenfunktionen auch Eigenfunktionen zum Operator ˆL z. Die Eigenwertgleichungen lauten ˆL 2 Y lm (ϑ, ϕ) = 2 l(l + 1)Y lm (ϑ, ϕ) mit l = 0, 1,... (32a) ˆL z Y lm (ϑ, ϕ) = m l Y lm (ϑ, ϕ) mit m l = l,..., l. (32b) Wir nennen m l die magnetische Quantenzahl. Die Operatoren ˆL 2 und ˆL z haben also die gleichen Eigenfunktionen und sind somit gleichzeitig scharf messbar. Im Gegensatz ist keine gleichzeitige scharfe Messung von ˆL x und ˆL y möglich. Allgemein kann man zeigen, dass der Betrag und eine Richtung des Drehimpulses gleichzeitig scharf gemessen werden können. Einzelne Richtungskomponenten jedoch können 9

12 nicht gleichzeitig scharf gemessen werden. ˆL x und ˆL y sind aber in ihren Werten über die Relation ˆL 2 x + ˆL 2 y = ˆL 2 ˆL 2 z (33) beschränkt. Dabei wurde als sog. Quantisierungsachse gemäß Konvention die z-achse gewählt. Der Drehimpulsvektor ˆL hat also eine wohldefinierte Länge und Projektion auf die Quantisierungsachse, er präzediert somit um die Quantisierungsachse (vgl. Abb. 3). Abb. 3: Mögliche Richtungen eines Drehimpulses mit definierter Komponente (Quantisierungsachse) L z = m l und definiertem Betrag L = l(l + 1). 4 Spin Zusätzlich zu den klassisch bereits bekannten Freiheitsgraden, besitzen alle Teilchen einen weiteren inneren Freiheitsgrad, den Spin Ŝ. Dieser besitzt kein klassisches Analogon, lässt sich jedoch über weite Strecken als Eigendrehimpuls eines Teilchens verstehen. Wie jeder Drehimpuls ist auch der Spin mit einem magnetischem Moment µ verknüpft. Der Spin folgt somit den selben Gesetzmäßigkeiten wie der Bahndrehimpuls und besitzt daher die Erwartungswerte Ŝ 2 Ŝz = 2 s(s + 1), (34a) = m s. (34b) Für das Elektron ist die Spinquantenzahl s = 1/2 und somit m s = ±1/2. Die Zustände mit m s = 1/2 werden als Spin-Up, die mit m s = 1/2 als Spin-Down bezeichnet. Alle 10

13 anderen Eigenschaften der Zustände bleiben erhalten, der Spin kann also stets separat betrachtet werden. Das bedeutet, die Gesamtwellenfunktion lässt sich separieren in den bisher betrachteten Ortsanteil Ψ(t, r) sowie einen Spinanteil χ(s) Ψ s (t, r) = Ψ(t, r)χ(s) (35) Generell treten in der Natur zwei Arten von Teilchen auf, solche mit ganzzahliger Spinquantenzahl und solche mit halbzahliger Spinquantenzahl. s = 1 2 : Fermionen s = 1 : Bosonen 5 Fermionen und Bosonen Alle Elementarteilchen lassen sich in Fermionen(halbzahliger) und Bosonen(ganzzahliger Spin) aufteilen. Der wesentliche Unterschied zwischen Fermionen und Bosonen (abgesehen vom Spin) tritt erst in Mehrteilchenproblemen auf. Betrachten wir beispielsweise ein Zweiteilchen-Quantensystem aus zwei identischen Teilchen. Grundsätzlich sind identische Teilchen ununterscheidbar, das heißt die sämtliche Observablen (und damit das Betragsquadrat der Wellenfunktion) müssen invariant unter Austausch beider Teilchen sein: Ψ(r 1, r 2 ) 2 = Ψ(r 2, r 1 ) 2. (37) Für die Wellenfunktion ergeben sich demnach bei Austausch identischer Teilchen zwei Transformationsmöglichkeiten { + für Bosonen, Ψ(r 1, r 2 ) = ±Ψ(r 2, r 1 ) mit (38) für Fermionen. Daraus ergeben sich sehr weitreichende Konsequenzen. Betrachten wir ein System aus zwei identischen Teilchen. In Abwesenheit einer Wechselwirkung zwischen den Teilchen können wir die Wellenfunktion separieren und erhalten Ψ(r 1, r 2 ) = Ψ a (r 1 )Ψ b (r 2 ), (39) wobei a und b für einen Satz von sämtlichen weiteren Quantenzahlen (z.b. Spin) steht. Berücksichtigt man nun (38) so ist klar, dass wir die Wellenfunktion symmetrisieren bzw. anti-symmetriesieren müssen damit Sie die gewünschte Austauschsymmetrie widerspiegelt: Ψ ± (r 1, r 2 ) = C (Ψ a (r 1 )Ψ b (r 2 ) ± Ψ a (r 2 )Ψ b (r 1 )). (40) 11

14 Für Fermionen(es gilt das -) im gleichen Zustand a = b folgt daraus sofort das Pauli- Prinzip Ψ (r 1, r 2 ) a=b = 0. (41) Das heißt identische Fermionen können sicht nicht im gleichen Zustand befinden. Weitere Betrachtungen von Vielteilchenproblemen zeigen, dass sich Fermionen gemäß der Fermi- Dirac Statistik verhalten während Bosonen der Bose-Einstein Statistik unterliegen (Spin- Statistik Theorem). 12