Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik. 13. Übungsblatt

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1 Institut für Analysis SS07 PD Dr. Peer Cristian Kunstmann Dipl.-Mat. Leonid Caicenets, Joanna Ricter, M.Sc., Tobias Ried, M.Sc., Tobias Scmid, M.Sc. Höere Matematik II für die Facrictung Pysik 3. Übungsblatt Aufgabe 7 (Übung) (a) Seien f, g C per ([, ], C) mit Fourierkoeffizienten f und ĝ. Die Faltung von f mit g ist definiert als (f g)(t) := f(t s)g(s) ds. Zeigen Sie, dass f g(k) = f(k)ĝ(k) für alle k Z. (b) Sei f C m per([, ]) = { C m ([, ], C) : f (n) () = f (n) (), n = 0,..., m } für ein m. Dann gilt f (n) (k) = (ik) n f(k), k Z, () für n =,..., m, und ( ) f(k) = O k m. (c) Zeigen Sie: Sind die Fourierkoeffizienten einer Funktion f C per ([, ]) absolut summierbar, so konvergiert die Fourierreie gleicmäßig gegen f. Folgern Sie, dass die Fourierreie einer Funktion in C m per für m gleicmäßig gegen f konvergiert. Lösungsvorsclag (a) Es gilt nac Definition der Fourierkoeffizienten für alle k Z f g(k) = = 4 = 4 = 4 = 4 = (f g)(t) e ikt dt = +s +s = f(k)ĝ(k). f(t s) g(s) e ikt dsdt f(t s) e ik(t s) dt g(s) e iks ds f(t) e ikt dt g(s) e iks ds f(t) e ikt dt g(s) e iks ds f(t) e ikt dt g(s) e iks ds f(t s)g(s) ds e ikt dt

2 Hierbei aben wir verwendet, dass die Integrationsreienfolge vertausct werden kann, sowie die Periodizität von f, um zu folgern. +s +s f(t) e ikt dt = f(t) e ikt dt (b) Wir betracten zunäcst den Fall k = 0. Hier gilt nac dem Hauptsatz der Differentialund Integralrecnung f (n) (0) = f (n) (t) dt = [ ] f (n ) () f (n ) () = 0, da nac Anname f (n ) periodisc ist. Für k Z \ {0} geen wir induktiv vor: für n = erält man mittels partieller Integration f (k) = f (t) e ikt dt = [f(t) e ikt] ( ) d f(t) dt e ikt dt = 0 + ik f(t)e ikt dt = ik f(k). Hierbei aben wir die Periodizität von f, f() = f(), sowie der komplexen Exponentialfunktion, e ik = e ik, verwendet. Der Induktionsscritt folgt nun wieder mit partieller Integration: sei n m, und sei Gleicung () erfüllt für alle n < n. Dann gilt f (n) (k) = f (n) (t) e ikt dt = = 0 + ik [f (n ) (t) e ikt] f (n ) (t)e ikt dt = (ik)(ik) n f(k) = (ik) n f(k). Per Induktion gilt dann Gleicung () für alle n m. Weiter eralten wir für n = m und k Z \ {0} f(k) f = (m) (k) (ik) m = k m f (m) (t) e ikt dt k m f (n ) (t) ( ) d dt e ikt f (m) (t) dt C k m, wobei wir im letzten Scritt verwendet aben, dass f Cper([, m ]), also f (m) stetig und damit bescränkt auf der kompakten Menge [, ] ist, insbesondere Es folgt ˆf(k) = O( k m, falls f C m per. f (m) (t) dt sup f (m) (t) = C <. t [,] (c) Sei f C per ([, ]) mit Fourierkoeffizienten f(k), k Z, und es gelte k Z f(k) <. Dann konvergiert die Folge der Fourier-Partialsummen g N (t) = f(k) e ikt k N absolut und gleicmäßig gegen die stetige Grenzfunktion g(t) = f(k) k Z e ikt C per ([, ]), denn wegen f(k) e ikt f(k), für alle t [, ], dt

3 gilt sup g(t) g N (t) = sup f(k) e ikt t [,] t [,] k N+ sup f(k) 0 für N t [,] k N+ aufgrund der Summierbarkeit von k Z f(k) <. Weiter sind die Fourierkoeffizienten von g gleic der Fourierkoeffizienten von f (denn wegen gleicmäßiger Konvergenz können Limes und Integral vertausct werden), ĝ(k) = = g(t) e ikt dt = N j N f(j)δ kj = f(k). N j N f(j) e i(k j)t dt Nac dem Darstellungssatz 3.6 muss dann aber scon f = g gelten (beide Funktionen sind in C per!). Ist nun f C m per für ein m, so gilt wegen f(k) = O( k m ) die Reier der Fourierkoeffizienten absolut summierbar, denn f(k) f(0) + k Z da n= n s für s > konvergiert. k Z\{0} C k m = f(0) + C k m <,

4 Aufgabe 73 (Übung) Sei γ eine einfac gesclossene reguläre Kurve in R mit Länge l. Mit A werde die Fläce des von γ eingesclossenen Gebiets bezeicnet. Zeigen Sie die isoperimetrisce Ungleicung A l 4, mit Gleiceit genau dann wenn γ ein Kreis ist. Stellen Sie dazu die Komponentenfunktionen γ, der Kurve mitilfe von Fourierreien dar und verwenden sie die Parseval-Identität(en) f = k Z f(k), (f g) = k Z f(k)ĝ(k). Lösungsvorsclag Sei γ eine einfac gesclossene reguläre Kurve in R mit Parametrisierung γ : [a, b] R, γ C ([a, b]) mit γ(a) = γ(b) und γ(t) > 0 für alle t [a, b]. In der Vorlesung wurde gezeigt, dass die Fläce des von γ berandeten Gebiets berecnet werden kann über A = γ ( ) y x d s = b a (γ (s) γ (s) γ (s) γ (s)) ds Nac eventueller Umparametrisierung können wir annemen, dass die Kurve nac Bogenlänge parametrisiert ist, d.. γ(t) = für alle t [a, b], insbesondere ist dann die Länge der Kurve gegeben durc l = b a γ(t) dt = b a. Bis auf Versciebung können wir daer die Kurve parametrisieren durc γ : [ l, l ] R mir γ (t) = für alle t [ l, l ] und γ( l/) = γ(l/). Durc Umskalieren können wir das Problem etwas vereinfacen: dazu betracten wir für δ > 0 die Abbildung S δ : R R, S δ (x, y) = (δx, δy). Hat γ die Länge l, so at S δ (γ) Länge δl und die eingesclossene Fläce ist δ A. Setzen wir also δ = l, so genügt es zu zeigen, dass für Kurven mit Länge l = die Ungleicung A gilt, mit Gleiceit, wenn γ ein Kreis mit Radius eins ist. Wir betracten also eine Kurve parametrisiert durc γ : [, ] R, mit Insbesondere gilt also auc γ(t) = γ (t) + γ (t) =, für alle t [, ]. ( γ (t) + γ (t) ) dt =. () Da die Kurve gesclossen ist, γ( pi) = γ(), ist γ C per([, ]) und wir können γ und γ in Fourierreien entwickeln, γ (t) = k Z a k e ikt (3) γ (t) = k Z b k e ikt (4)

5 mit Fourierkoeffizienten a k, b k C. Da die Funktionen γ, reellwertig sind, muss gelten (siee auc Aufgabe 74(c)) Weiter ist (siee Aufgabe 7(b)) a k = a k, b k = b k, k Z. γ (t) = k Z ika k e ikt, γ (t) = k Z ikb k e ikt. und damit wegen der Parseval-Identität und () = = ika k + k Z k Z ( γ (t) + γ (t) ) dt = γ + γ ikb k = k Z k ( a k + b k ) (5) Mit der zweiten Variante der Parsevalscen Identität eralten wir für die Fläce A = (γ (s) γ (s) γ (s) γ (s)) ds = (γ γ ) (γ γ ) = k ( ) a k b k b k a k k Z Mit den einfacen Abscätzungen ak b k b k a k ak b k a k + b k (6) und n n erält man dann A k Z k a k b k b k a k k Z k ( a k + b k ) =, wobei im letzten Scritt Gleicung (5) verwendet wurde. Um Gleiceit A = zu erreicen, muss wegen n < n, für n γ (t) = a e it + a 0 + a e it, γ (t) = b e it + b 0 + b e it gelten. Da γ, reellwertig sind, wissen wir außerdem, dass a = a und b = b. Gleicung (5) impliziert nun und wegen Gleiceit in (6) muss ( a + b ) =, a = b = sein. Wir screiben a = eiα, und b = eiβ. Da = a b a b muss sin(α β) =, also α β = n Insgesamt aben wir also, k ungerade, gelten. γ (t) = a 0 + cos(α + t) γ (t) = b 0 ± sin(α + t), d.. γ ist ein Kreis mit Radius. Da für einen Kreis mit Radius die Gleicung A = gilt, ist der Beweis damit abgesclossen.

6 Aufgabe 74 (Tutorium) Sei f C per ([, ], C) mit Fourierkoeffizienten ˆf. Beweisen Sie die folgenden Aussagen: (a) f(k) = f( k) für alle k Z. (b) f(k) = f( k) für alle k Z, wobei f(t) := f( t). (c) Ist f reellwertig und gerade, d.. f( t) = f(t) für alle t [, ], so sind alle Fourierkoeffizienten rein reell, ist f reellwertig ungerade, d.. f( t) = f(t) für alle t [, ], so sind alle Fourierkoeffizienten rein imaginär. Was bedeutet das für die Sinus-/Cosinus- Koeffizienten von f? (d) f( y)(k) = ˆf(k) e iky für alle y R, k Z. Lösungsvorsclag (a) Für k Z gilt nac Definition der Fourierkoeffizienten (b) Es ist f(k) = f(k) = = f(t) e ikt dt = f(t) e ikt dt = f(t) e ikt dt f(t) e i( k)t dt = f( k). f(t) e ikt dt = f( t) e ikt dt = f(t) e ikt dt = f( k) für alle k Z. Dabei wurde die Substitution t t im vorletzten Scritt verwendet. (c) Da f reellwertig ist, folgt aus (a) f(k) = f( k) = f( k) für alle k Z, und damit für gerade Funktionen mit (b) und f = f, dass Im f(k) = ( ) f(k) f(k) = ( ) f(k) f( k) = ( f(k) f(k) ) = 0, i i i also f(k) R für alle k Z. Analog gilt für ungerade Funktionen f = f und damit Re f(k) = ( ) f(k) + f(k) = ( ) f(k) + f( k) = ( f(k) + f(k) ) = ( ) f(k) f(k) = 0, also f(k) ir für alle k Z. (d) Sei y R. Dann gilt für die verscobene Funktion f( y)(k) = f(t y) e ikt dt = = +y +y +y f(t) e ikt dt e iky = +y f(t) e ik(t+y) dt f(t) e ikt dt e iky = f(k) e iky für alle k Z, wobei im vorletzten Scritt die -Periodizität von f ausgenutzt wurde.

7 Aufgabe 75 (Tutorium) Berecnen Sie die Fourier-Koeffizienten der Funktionen f j : (, ] C, j =,..., 4, mit { (a) f (t) = a für t < a, für ein festes 0 < a <, 0 sonst (b) f (t) = cos(t), (c) f 3 (t) = t( t ) und (d) f 4 (t) = sin (t) für jedes t (, ]. Für welce t (, ] konvergiert die jeweilige Fourier-Reie? In welcen t (, ] stellt sie die jeweilige Funktion dar? Ist die Konvergenz gleicmäßig? Lösungsvorsclag (a) Da f eine gerade Funktion ist, sind die Sinuskoeffizienten b k (f ) = 0 für alle k N. Für k = 0 ist a 0 (f ) = cos(0 t)f (t)dt = a dt = a, wärend für k N gilt. a k (f ) = cos(k t)f (t)dt = a Da für jedes t 0 (, ] die Grenzwerte 0+ 0 a a a cos(kt)dt = ak [sin(kt)]t= t= pi = sin(ak) ak (t) t t 0 + =: f (t 0 )+, (t) t t 0 =: f (t 0 ), f (t 0 + ) f (t 0 )+ f (t 0 + ) f (t 0 ) =: f (t 0 )+, =: f (t 0 ) existieren, konvergiert die Fourier-Reie für jedes solce t 0 nac Abscnitt 3.6 der Vorlesung gegen (f (t 0 )+)+(f (t 0 ) ). Insbesondere stellt die Fourier-Reie für jedes t (, ] \ { a, a} die Funktion f dar, da f dort stetig ist. Für t 0 { a, a} gilt (S Nf )(t 0 ) = (f (t 0 )+) + (f (t 0 ) ) = N 4a. Folglic kann die Konvergenz auc nict gleicmäßig sein, da die Grenzfunktion unstetig bei a und a ist. (b) Da f eine gerade Funktion ist, sind die Sinuskoeffizienten b k (f ) = 0 für alle k N. Für k = 0 ist a 0 (f ) = cos(0 t)f (t)dt = ( cos(t) dt = ) cos(t)dt cos(t)dt 0 0 = ( ) [sin(t)] t= t=0 [sin(t)]t= t= = 4. Für a k (f ) mit k N berecnen wir vorbereitend eine Stammfunktion von cos(t) cos(kt) dt = sin(t) cos(kt) + k sin(t) sin(kt)dt }{{}}{{} u v

8 Für k = ist also cos (t)dt = sin(t) cos(t) + cos (t)dt cos (t)dt = (t + sin(t) cos(t)), für k > fürt eine weitere partielle Integration auf sin(t) cos(kt) + k sin(t) sin(kt) dt = sin(t) cos(kt) + k }{{}}{{} u v cos(t) cos(kt)dt = Damit folgt dann für jedes k > ( cos(t) sin(kt) + k (sin(t) cos(kt) k cos(t) sin(kt)). k a k (f ) = cos(t) cos(kt)dt = cos(t) cos(kt)dt 0 ( = ) cos(t) cos(kt)dt cos(t) cos(kt)dt 0 ( = ( k ) ( ( = ( k cos k ) ( + cos k )) = ) 0 für k = 4m 3 4 für k = 4m (k = ) (m N). 0 für k = 4m für k = 4m 4 (k ) Wegen = 4 3 und a (f ) = ) cos(t) cos(kt)dt [sin(t) cos(kt) k cos(t) sin(kt)] 0 [sin(t) cos(kt) k cos(t) sin(kt)] ( 0 4 (k ( k ) cos ) ) cos (t)dt cos (t)dt = [t + sin(t) cos(t)]t= t=0 gilt die obige Formel für alle k N. Da für jedes t 0 (, ] die Grenzwerte 0+ 0 [t + sin(t) cos(t)]t= t= (t) t t 0 + =: f (t 0 )+, (t) t t 0 =: f (t 0 ), f (t 0 + ) f (t 0 )+ f (t 0 + ) f (t 0 ) =: f (t 0 )+, =: f (t 0 ) existieren, konvergiert die Fourier-Reie für jedes solce t 0 nac Abscnitt 3.6 der Vorlesung gegen (f (t 0 )+)+(f (t 0 ) ). Da die periodisce Fortsetzung von f, wegen f () = t + f (t) =, stetig ist, stellt die Fourier-Reie für jedes t (, ] die Funktion f dar. Wegen a k (f ) 4 k <, ist f l (Z) und nac Aufgabe 7(c) konvergiert (S N (f 4 )) N N gleicmäßig. = 0 )

9 (c) Da f 3 eine ungerade Funktion ist, ist a k (f 3 ) = 0 für alle k N 0. Für k N berecnen wir mit partieller Integration vorbereitend zwei Stammfunktionen }{{} t sin(kt) dt = }{{} k t cos(kt) + cos(kt)dt k v u = k t cos(kt) + k sin(kt), }{{} t sin(kt) dt = }{{} k t cos(kt) + k }{{} t cos(kt) dt }{{} v u v u = k t cos(kt) + k t sin(kt) k sin(kt)dt = k t cos(kt) + k t sin(kt) + k 3 cos(kt). Damit folgt b k (f 3 ) = sin(kt)f 3 (t)dt = sin(kt)t( t)dt = t sin(kt)dt t sin(kt)dt = [ k t cos(kt) + k ] t= sin(kt) [ k t=0 t cos(kt) + k t sin(kt) + k ] t= 3 cos(kt) t=0 = ( ) k+ k + ( )k k + 4 k 3 ( ( )k ) = 8 ( ) k k 3 für alle k N. Da für jedes t 0 (, ] die Grenzwerte (t) t t 0 + =: f 3 (t 0 )+, 3(t) t t 0 =: f 3 (t 0 ), f 3 (t 0 + ) f 3 (t 0 )+ f 3 (t 0 ) f 3 (t 0 ) =: f 3(t 0 )+, =: f 3(t 0 )+ existieren, konvergiert die Fourier-Reie für jedes solce t 0 nac Abscnitt 3.6 der Vorlesung gegen (f 3(t 0 )+)+(f 3 (t 0 ) ). Da die periodisce Fortsetzung von f 3, wegen f 3 () = t + f 3 (t) = 0, stetig ist, stellt die Fourier-Reie für jedes t (, ] die Funktion f 3 dar. Wegen a k (f ) 8 k 3 <, ist f 3 l (Z) und nac Aufgabe 7(c) konvergiert (S N (f 3 )) N N gleicmäßig. (d) Es gilt sin (t) = sin (t)+ sin (t) = sin (t)+ ( cos (t)) = (cos (t) sin (t)) = cos(t) für alle t R. Da Fourier-Koeffizienten eindeutig bestimmt sind, folgt durc Koeffizientenvergleic, dass b k (f 4 ) = 0 für alle k N, a 0 (f 4 ) =, a (f 4 ) = 0, a (f 4 ) =, sowie a k (f 4 ) = 0 für alle k >. Da in diesem Fall die Fourier-Reie eine endlice Summe ist, konvergiert sie überall (gleicmäßig) gegen f 4.

10 Aufgabe 76 (Tutorium) Berecnen Sie die folgenden Reienwerte mitilfe geeigneter Fourierreien. (a) ( ) k+ 4k (b) k 4 Hinweis: Aufgabe 75 und Parseval-Identität. Lösungsvorsclag (a) Nac Aufgabe 70(b) gilt cos(t) = a 0(f ) + a k (f ) cos(kt) = + 4 ( ) k+ 4k cos(kt) für alle t (, ). Einsetzen von t = 0 und auflösen liefert den gesucten Reienwert ( ) k+ 4k = 4. (b) Nac Abscnitt 3.6 der Vorlesung (Beispiel ) lauten die Fourier-Koeffizienten der Funktion f : (, ] C, definiert durc f(t) = t gerade f(0) = 3, f(k) = ( ) k k, für alle k Z. Nac der Parsevalscen Gleicung (vgl. Abscnitt 3.7 Satz ) der Vorlesung gilt f = f(k). k Z Einsetzen von f = t 4 dt = 4 5, sowie der obigen Fourier-Koeffizienten liefert 4 5 = k = k 4, k= k 4 wodurc sic durc Auflösen ergibt. k 4 = 4 90 ttp://