Das Mehrgitterverfahren

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1 KAPITEL 3 Das Mergitterverfaren Mergitterverfaren kombinieren ein iteratives Lösungsverfaren mit einer Hierarcie untersciedlicer Diskretisierungsgitter. Ausgeend von einer Näerungslösung auf einem feinen Gitter werden dabei sukzessiv Korrekturterme auf gröberen Gittern berecnet, bis scließlic das resultierende lineare Gleicungssystem ein zugeöriges Defektsystem auf dem gröbsten Gitter teoretisc exakt berecnet wird. Dementsprecend benötigt man zur Herleitung eines Mergitterverfarens die folgenden Bestandteile: a einen Glätter. Darunter versteen wir ein iteratives Lösungsverfarens, das den Feler glättet, wobei grundsätzlic die oen Frequenzen im Residuum deutlic scneller verscwinden als die niedrigen Frequenzen. b geeignete Prolongations und Restriktionsoperatoren. Diese Transferoperatoren werden benötigt, um eine vorgegebene Näerungslösungen von einem feinen bzw. groben auf das näcst gröbere bzw. näcst feinere Gitter zu verscieben. c einen Mergitteralgoritmus. Dieser Algoritmus verknüpft auf geeignete Weise die Glättung mit der Prolongation bzw. Restriktion. d eine Konvergenzanalyse. Damit werden die Vorteile des Mergitterverfarens gegenüber klassiscen iterativen Verfaren untersuct. 1. Glättungseigenscaft iterativer Lösungsverfaren Der wesentlice Nacteil iterativer Lösungsverfaren bestet darin, dass oe Frequenzen im Feler rapide gedämpft werden, der globale Feler bzw. niedrige Frequenzen nur langsam verscwinden. Diese Eigenscaft bezeicnet man gewönlic als die Glättungseigenscaft von iterativen Verfaren. Als einfürendes Beispiel betracten wir im Folgenden die eindimensionale Poissongleicung in Kombination mit der gedämpften Ricardson Iteration: Das resultierende lineare Gleicungssystem besitzt eine Systemmatrix A der Form A = Wesentlic bei der Untersucung der Glättungseigenscaft eines iterativen Verfarens ist die Kenntnis der Eigenwerte und zugeörigen Eigenvektoren der Systemmatrix A, d.. wir 33

2 34 3. DAS MEHRGITTERVERFAHREN berecnen zunäcst die Eigenvektoren von A: Mit dem Ansatz v i = v i 1,..., vi n und v i j = 2 sinijπ den man über eine Diskretisierung der Eigenvektoren des kontinuierlicen Problems u = 0 erält, ergibt sic 1 sinjj 1π + 2 sinijπ sinij + 1π 2 = 1 1 cosij sinijπ 2 = 4 ij 2 sin2 sinijπ, i, j = 1,..., n 2 {{ λ i Damit sind die Eigenwerte von A gegeben durc λ i = 4 iπ 2 sin2 2 und der minimale und maximale Eigenwert ist gegeben durc λ min = A 1 2 = 4 π 2 cos2 λ max = A = 4 π 2 sin2 2 Eine wictige Beobactung ist, dass der minimale bzw. maximale Eigenwert gerade das Veralten der niedrigsten bzw. öcsten Frequenz bescreibt, denn wir eralten für λ min den Eigenvektor v 1 = sinπ, sin2π,..., sinnπ sowie für λ max den Eigenvektor v n = sinnπ, sin2nπ,..., sinn 2 π Mit dieser Vorbetractung untersucen wir nun das Veralten der niedrigen und oen Frequenzen, wobei wir als iteratives Lösungsverfaren die gedämpfte Ricardson Iteration verwenden: u k = u k 1 + w f Au k 1 Für den Feler e k = u k u ergibt sic e k 1 = u k u = u k 1 u + w f Au k 1 = e k 1 + w Au Au k 1 = I wa e k 1 und wir entwickeln nun den Feler in der Basis der oben berecneten Eigenvektoren des Problems: n e k 1 = i=1 ξ i k 1 vi

3 Damit ergibt sic 2. GRUNDLEGENDE IDEEN ZUM MEHRGITTERVERFAHREN 35 e k 1 = I wa n i=1 i=1 ξ i k 1 vi = n i=1 ξ i k 1 1 wλ i v i und unter Verwendung des Dämpfungsfaktors w = 1/λ max eralten wir n e k = ξ i k 1 1 λi v i λ max Entwickelt man den Anfangsfeler e 0 = u 0 u in der Form n e 0 = so ergibt sic scließlic 0 i=1 ξ i 0 vi i k e k = 1 λi v i λ max und als Resultat lassen sic die folgenden Aussagen ablesen: ocfrequente Feler vescwinden deutlic scneller als niedrige der Feler in der öcsten Freuquenz verscwindet sofort der Feler in der niedrigsten Frequenz verscwindet mit der Gescwindigkeit 1 λ min λ max k und 1 λ min λ max 1 für 0 Daer ängt die Konvergenzgescwindigkeit der gedämpften Ricardson Iteration explizit von der Gitterweite ab und ist von der Größenordnung O 2 für 0. Es läßt sic aber noc mer sagen: Da die Bezieung sin 2 nπ 4n cos 2 π 4 2n+1 erfüllt ist, folgt, dass die Hälfte der Frequenzen, nämlic gerade die öeren, mit einer festen und von der Gitterweite unabängigen Gescwindigkeit von 3/4 gegen Null konvergieren. 2. Grundlegende Ideen zum Mergitterverfaren Die grundlegende Idee des Mergitterverfarens ist wie bereits oben erwänt die Kombination eines iterativen Lösungsverfaren für lineare Gleicungssysteme mit einer Hierarcie von Gitter, die bei der Diskretisierung von Differentialgleicungen verwendet werden, wobei man ausgeend von einem gegebenem feinen Gitter sukzessiv gröbere Gitter durc das Auslassen einzelner Gitterpunkte generiert. Das lineare System Au = f mit der Systemmatrix A R n n sei also aus aus einer Diskretisierung der Differentialgleicung u = f mit einer Gitterweite = 1/n + 1 entstanden. Dann existieren aufgrund der Eigenvektoren v i, i = 1,..., n genau n Frequenzen, die

4 36 3. DAS MEHRGITTERVERFAHREN zu dem gegebenen feinen Gitter Ω mit Gitterweite geören. Wir definieren nun das gröbere Gitter Ω H mit der Gitterweite H = 2, indem wir jeden zweiten Gitterpunkt von Ω auslassen. Damit sind auf Ω H nur die ersten n 1/2 Frequenzen des Gitters aktive und die Hälfte dieser verscwindet auf Ω H scnell, d.. unabängig von der Gitterweite H = 2. Um vorandene Näerungslösungen simultan auf den beiden Gitter Ω und Ω H darzustellen, ist es notwendig sogenannte Prolongations und Restriktionsoperatoren zu definieren: Prolongation: eine vorandene Näerungslösung auf dem groben Gitter Ω H wird auf das feinere Gitter Ω prolongiert Restriktion: eine vorandene Näerungslösung auf dem feinen Gitter Ω wird auf das gröbere Gitter Ω H restringiert Wir betracten zunäcst wie oben nur zwei untersciedlice Gitter: ein feines Gitter mit Gitterweite ein grobes Gitter mit Gitterweite H und erläutern die Idee im eindimensionalen Fall auf dem Intervall [0, 1], d.. wir sucen nac geeigneten Prolongations und Restriktionsoperatoren P : R n H R n R : R n R n H Sind die Operatoren linear, so gilt insbesondere P R n n H bzw. R R n H n Verwendet man zur Prolongation eine lineare Interpolation, so ergeben sic im Fall von omogenen Randbedingungen auf dem Intervall [0, 1] die Interpolationsformeln ũ = P u, u R n H, ũ R n H und ũ 1 = 1 2 u 1 { ũ i = ũ nh = 1 2 u n 1 2 u i 1 2 u i/2 i gerade und i = 2,..., n 1 + u i+1 i ungerade und i = 3,..., n H 2 2

5 2. GRUNDLEGENDE IDEEN ZUM MEHRGITTERVERFAHREN 37 Die zugeörige Matrixdarstellung P R n n H lautet dann 1/ /2 1/ P = 0 1/2 1/ /2 1/ /2 Der Restriktionsoperator R : R n R n H wird verwendet, um eine auf dem feinen Gitter gegebene Lösung auf das grobe Gitter einzuscränken. Bei der Wal des Restriktionsoperators gibt es mer Walmöglickeiten als bei der Prolongation: Gegeben seien die diskreten Werte ũ R n auf dem feinen Gitter. Die einfacste Art der Restriktion ist es, die Werte des feinen Gitters einfac auf dem groben Gitter zu übernemen, d.. wir setzen u i = ũ 2i, i = 1,, n H Diese Vorgeensweise ist im Ramen des Mergitterverfarens allerdings aus versciedenen Gründen nict sinnvoll. Eine besser geeignete Form ist die der gewicteten Restriktion, d.. man definiert die diskreten Werte auf dem groben Gitter mittels u i = 1 4 ũ 2i 1 + 2ũ 2i + ũ 2i+1, i = 1,, n H Die zugeörige Matrixdarstellung des Operators R R n n H mit u H = Rũ lautet dann 1/4 1/2 1/ /4 1/2 1/ /4 1/2 1/ /4 1/2 1/4 Bei der P induzierten Restriktion wird der Operator R mittels eines gegebenen Prolongationsoperators P definiert, in dem man R als den zu P adjungierten Operator setzt: R = P Ist P ein linearer Operator, so folgt R = P = P. Beispiel 3.1. Als kurzes Beispiel betracten wir wieder die eindimensionale Poissongleicung und untersucen den Fall eines feinen Gitters in 0, 1 besteend aus drei Gitterpunkten und dem zugeörigen groben Gitters, das genau einen Punkt entält. Die Systemmatrix A auf dem feinen Gitter lautet dann A = , = 1 4 = 1 2 = 16

6 38 3. DAS MEHRGITTERVERFAHREN Der über lineare Interpolation definierte Prolongationsoperator ist gegeben durc P = 1/2 1 = ũ1 ũ 2 = 1/2 1 u 1 = u 1/2 u 1 1/2 ũ 3 1/2 u 1 /2 und der durc P induzierte Restriktionsoperator ist gerade mit R = P = P = 1/2, 1, 1/2 = u 1 = 1/2, 1, 1/2 ũ1 ũ 2 ũ 3 = 1 2 ũ 1 + 2ũ 2 + ũ 3 Die eindimensionale Betractung der Prolongations und Restriktionsoperatoren läßt sic direkt auf den merdimensionalen Fall übertragen, wobei nun die Gitterweiten und H = 2 in jeder Koordinatenrictung gewält werden. Wir betracten im Folgenden wiederum nur das Modellproblem u = f in[0, 1] 2 und bezeicnen wieder mit n bzw. n H die Anzal der Gitterpunkte pro Koordinatenrictung. Die lineare Interpolation passiert auf der linearen Funktion fx, y = a + bx + cy deren Koeffizienten dadurc bestimmt werden, dass man ein gegebene quadratisce Zelle mittels der Diagonalen in zwei Dreiecke zerlegt und dann die Koeffizienten a, b und c der oben steenden linearen Funktion über die diskreten Werte an den Ecken des Dreiecks festlegt. Damit ergeben sic die Formeln ũ 11 = u 11 ũ 22 = 1 2 u 11 + u 22 ũ 12 = 1 2 u 11 + u 12 ũ 23 = 1 2 u 12 + u 22 ũ 13 = u 12 ũ 33 = u 22 Bei der bilinearen Interpolation verwendet man die Funktion fx, y = a + bx + cy + dxy die auf der ganzen quadratiscen Zelle mittels der diskreten Werte an den Ecken der Zelle bestimmt wird. Damit erält man ũ 11 = u 11 ũ 21 = 1 2 u 11 + u 21 ũ 31 = u 21 ũ 12 = 1 2 u 11 + u 12 ũ 22 = 1 4 u 11 + u 12 + u 21 + u 22 ũ 32 = 1 2 u 21 + u 22 ũ 13 = u 12 ũ 23 = 1 2 u 21 + u 22 ũ 33 = u 22 Analog zu den Ausfürungen im eindimensionalen Fall läßt sic dann wieder ein geeigneter Restriktionsoperator definieren. Eine Aufteilung des Lösungsvektors u R n eines LGS Au = f in grobe und feine Gittergitterpunkte und die dazugeörigen Prolongations und Restriktionsoperatoren lassen sic auc one Verwendung eines konkreten Diskretisierungsgitters definieren. Man sprict

7 2. GRUNDLEGENDE IDEEN ZUM MEHRGITTERVERFAHREN 39 dann von einem algebraiscen Mergitterverfaren. Hierzu teilt man den Vektor u R in zwei disjunkte Menge, die jeweils die groben bzw. feinen Punkte entalten sollen, d.. u = u 1,..., u n = v 1,..., v nc w 1,..., w nf Dadurc wird gleiczeitig die gegebene Systemmatrix A als auc die recte Seite f des LGS in die folgende Blockstruktur zerlegt: ACC A A = CF fc, f = f F Mit Hilfe der Transformation ergibt sic wobei die Matrix S C durc A F C T = A F F I A 1 F F A F C O I A = T SC O T O A F F S C = A CC A CF A 1 F F A F C gegeben ist. Die Matrix S C nennt man auc das Scur Komplement von A CC in A, i.e. das Scur Komplement der Punkte des feinen Gitters. Mit Hilfe des Scur Komplement lassen sic die folgenden Prolongations und Restriktionsoperatoren definieren: 3.1 P = I A 1 F F A F C und 3.2 R = I, A CF A 1 F F Das folgende Lemma läßt sic durc einfaces Nacrecnen beweisen: Lemma 3.2. Gegeben seien die Prolongations und Restriktionsoperatoren 3.1 und 3.2. Dann gilt S C = R A P Beispiel 3.3. Für die eindimensionale Poissongleicung und einem feinen Gitter mit drei Punkten ergibt sic somit A = I, P = A F F A = 1 1/2 F C 1/2 Weiter berecnet man A 1 F F A F C = 1/ /2 1 1 A CF A 1 F F = 1, 1 1/2 0 R = I, A CF A 1 F F 1/2 =, S 1/2 C = 1 2 = 1/2, 1/2 0 1/2 = 1, 1/2, 1/2

8 40 3. DAS MEHRGITTERVERFAHREN 3. Das Zweigitterverfaren Bevor wir den Algoritmus des Mergitterverfarens angeben, bescäftigen wir uns ier kurz mit der Darstellung des sogenannten Zweigitterverfarens TGM. Hierzu benötigen wir die folgenden Bestandteile der zurückliegenden Abscnitte: einen Glätter Prolongations und Restriktionsoperatoren eine Zerlegung des Lösungsvektors u R n in grobe und feine Gitterpunkte. Im Speziellen sei das LGS auf dem feinen Gitter gegeben durc das System A u = f mit der Dimension n N, auf dem groben Gitter sei das System A H u H = f H der Dimension n H gegeben, wobei n > n H gelte. Auf dem feinen Gitter betracten wir die Iteration u k = T ω u k 1 + M 1 Dadurc werden die oe Frequenzen im Feler e k beseitigt, d.. zerlegen wir den Feler in die oe und niedrigen Frequenzen e k smoot und ek osc, so gilt offensictlic nac einigen Glättungsscritten e k smoot ek osc Die Idee ist nun, nac Durcfürung dieser Glättungsscritte eine Grobgitterkorrektur v zu berecnen, die irerseits den Feler in den niedrigen Frequenzen reduziert, i.e. wir setzen u k+1 = u k + v Zur Berecnung der Grobgitterkorrektur v betracten wir den folgenden Algoritmus: a Berecne den Defekt d der Näerungslösung u k : d = f A u k Der Defekt entält im Wesentlicen niedrige Frequenzen. b Restringiere den Defekt d auf das grobe Gitter: d = R d und bestimme die exakte Lösung des nacfolgenden, auf dem groben Gitter definierten linearen Gleicungssystem c Es gilt und v H A H v H = d H = A 1 H d H = A 1 H R d v H w exact = A 1 d

9 3. DAS ZWEIGITTERVERFAHREN 41 bis auf die oen Frequenzen, die auf dem groben Gitter nict aufgelöst werden können. d Prolongiere v H auf das feine Gitter, d.. v H = P v H Es gilt weiterin nur v H w exact, wobei wiederum die oen Frequenzen nict exakt wiedergeben werden. e Addiere die Grobgitterkorrektur v auf die Näerungslösung u k,.d. u k+1 = u k + v Damit ist u k+1 nac Konstruktion eine gute Näerungslösung für die niedrigen Frequenzen, aber die Grobgitterkorrektur v gibt die oen Frequenzen, die in der recten Seite f steen können, nur ungenau war. f Berecne weitere Glättungsscritte, d.. u k+l+1 = T ω u k+l + M 1, l = 1,..., m Damit läßt sic das Zweigitterverfaren folgendermaßen definieren: Gegeben sei das LGS A u = f, u R n ein Glätter S iteratives Lösungsverfaren, Prolongations und Restriktionsoperatoren P und R sowie ein Grobgitter LGS der Form A H u H = f H, u H R n H, n H < n a Bestimme eine Anfangsnäerung u 0 für die Lösung des LGS A u = f b Füre für n = 1, 2,... die folgende Iteration durc: ũ = S ν 1 u k 1, f, ν 1 Glättungsscritte d = R f A ũ v = P A 1 H u k = S ν 2 ũ + v, ν 2 Glättungsscritte Bemerkung 3.4. Der Operator S stet für die Anwendung eines iterativen Lösungsverfarens, zum Beispiel ũ = Su, f = T ω u + ωm 1 f Im Folgenden untersucen wir die einzelnen Scritte des Zweigitterverfarens etwas genauer: Ein wictiger Scritt im Algoritmus ist die Berecnung der Grobgitterkorrektur v H, d.. die Berecnung der Lösung des LGS A H u H = d = R d

10 42 3. DAS MEHRGITTERVERFAHREN Bis jetzt sind wir noc nict darauf eingegangen, wie die Systemmatrix A H auf dem groben Gitter berecnet werden soll, also insbesondere, wie die Matrix mit Hilfe des Ausgangssystems A u = f bestimmt werden kann. Prinzipiell existieren ierzu zwei grundlegende Möglickeiten: a Resultiert die Systemmatrix A aus einer Diskretisierung einer partiellen Differentialgleicung, so läßt sic die Grobgitter Matrix A H durc Anwendung des identiscen Diskretisierungsverfarens nun aber auf dem groben Gitter bestimmen. b Die Grobgitter Matrix A H läßt sic auf der Basis der Prolongations und Restriktionsoperatoren P und R berecnen. Definition 3.5. Gegeben seien die zur Feingitter Matrix A geörenden Prolongations und Restriktionsoperatoren P und R. Dann bezeicnet man die Grobgitter Matrix A H definiert durc = R A H P als Galerkin Approximation von A. A H Die Verwendung der Galerkin Approximation ist natürlic insbesondere beim algebraiscen Mergitterverfaren naeliegend. Dort verwendet man die Zerlegungen ACC A A = CF I, P = A F C A F F A 1 F F A F C und R = I, A CF A 1 F F Für die Galerkin Approximation gilt dann offensictlic A H = R A P Bemerkung 3.6. In vielen Fällen sind die resultierenden Grobgitter Matrizen nac beiden Metoden identisc. Der Kern des Zweigitterverfarens läßt sic auc als ein neuartiger Präkonditionierer darstellen: Wir nemen an, dass ν 1 = ν 2 = 0 gilt. Dann folgt ũ = u k 1 d H = R f A ũ v = P A 1 H d H u k = u k 1 + v Zusammengefaßt ergibt sic damit das folgende iterative Lösungsverfaren u k = u k 1 = u k 1 + P A 1 d H H + P A 1 H R = I P A 1 H RA f u k 1 A u k 1 + P A 1 H R f

11 Definiert man also den Präkonditionierer M mittels 3.3 M 1 4. DER MEHRGITTER ALGORITHMUS 43 = P A 1 H R so läßt sic der Kern des Zweigitterverfarens auc als das folgende präkonditionierte iterative Verfaren formulieren u k = I M 1 A k 1 u + M 1 f wobei M 1 durc 3.3 gegeben ist. Bemerkung 3.7. Mit Hilfe des Zweigitterverfarens und einer speziellen Nacglättung läßt sic das sogenannte exakte Zweigitterverfaren konstruieren. Wir kombinieren dabei den Präkonditionier M 1 = P A 1 H R sowie die Galerkin Approximation dem Scur Komplement A H = RA P mit dem speziellen Nacglättungsoperator I GA, wobei die Matrix G durc 0 0 G = 0 A 1 F F gegeben ist. Ein direktes Nacrecnen ergibt, dass mit der Anwendung der Nacglättung die exakte Lösung des LGS A u = f bestimmt wird. 4. Der Mergitter Algoritmus Das exakte Zweigitterverfaren besitzt den entsceidenen Nacteil, dass das Grobgitter Defektsystem gegeben durc A H v H = d H exakt gelöst werden muss, ob eine geeignete Grobgitter Korrektur zu bestimmen. Obwol die Anzal der Gitterpunkte gegenüber dem Ausgangssystem A u = f deutlic reduziert ist, ist die exakte Berecnung der Grobgitter Korrektur weiter ser recenintensiv und damit das gesamte Zweigitterverfaren für praktisce Anwendungen weniger geeignet. Ein Ausweg ist die Verwendung einer Hierarcie von Gittern, sodass die direkte Lösung eines Grobgitter Defektsystem auf dem gröbsten Gitter vom Aufwand er vertretbar wird. Dies liefert der nacfolgend diskutierte Mergitter Algoritmus. Wir definieren dazu zunäcst eine Hieracie von Gittern gegeben durc Ω 0 Ω 1... Ω lmax wobei Ω lmax das feinste Ausgangs Gitter bezeicne. Desweiteren seien die folgenden Prolongations und Restriktionsoperatoren zum Übergang zwiscen zwei benacbarten Gittern gegeben: ũ = P l,l 1 u, u R n l 1, ũ R n l und ũ = R l 1,l u, u R n l, ũ R n l 1, wobei n l und n l 1 die Größe der Gitter Ω l und Ω l 1 bezeicnet. Scließlic bezeicnen wir im Folgenden mit A l die Systemmatrizen und mit S l die Glättungsverfaren auf den

12 44 3. DAS MEHRGITTERVERFAHREN Gittern Ω l mit l = 0,..., l max. Gelöst werden soll das LGS 3.4 A u = f, wobei die Gitterweite des feinsten Gitters Ω lmax bezeicnet, was wir im Folgenden auc in der Form A lmax u lmax = f lmax screiben können. Die Idee des Mergitter Algoritmus läßt sic dann einfac bescreiben: Wir ersetzen das Defektsystem des Zweigitterverfarens in der Form A H v H = d H, das in der Mergitter Notation dem LGS A lmax 1 u lmax 1 = d lmax 1 entsprict, durc die entsprecende γ malige Anwendung der Zweigitter Iteration auf den gröberen Gittern Ω l und dies für l l max 1. Wir wollen uns die Vorgeensweise an einem einfacen Beispielen klarmacen: Wir nemen an, dass wir mit drei untersciedlicen Gittern arbeiten, die die Gitterweiten, 2 und 4 verwenden. Dies bedeutet l max = 2 und das zugeörige Mergitterverfaren MGM läßt sic im Vergleic zum Zweigitterverfaren TGM wie folgt darstellen, wobei wir bei der Darstellung die folgenden Noationen verwendet aben: ν 1 malige der Vorglättung und Defektberecnung Grobgitterkorrektur und ν 2 malige Nacglättung Grobgitterkorrektur, ν 2 malige Nacglättung, ν 1 malige Vorglättung und Defektberecnung Berecnung der exakten Lösung Restriktion Prolongation Grapisce Darstellung des TGM Gitter Ω 2 Ω 1 Grapisce Darstellung des MGM für γ = 1 Gitter Ω 2 Ω 1 Ω 0

13 4. DER MEHRGITTER ALGORITHMUS 45 Grapisce Darstellung des MGM für γ = 2 Gitter Ω 2 Ω 1 Ω 0 Grapisce Darstellung des MGM für γ = 3 Gitter Ω 2 Ω 1 Ω 0 Ausgeend von der grapiscen Darstellung des Mergitter-Algoritmus für versciedene Werte von γ bezeicnet man den Mergitter Algoritmus für γ = 1 als den sogenannten V Zykel und entsprecend für γ = 2 als W Zykel. Bemerkung 3.8. Um das Defektsystem auf dem Gitter Ω 1 iterativ mittels des Mergitter- Algoritmus zu starten, setzt man gewönlic als Startvektor des iterativen Verfarens die Nulllösung. Beispiel 3.9. Grapisce Darstellung des MGM für l max = 3 und γ = 3 Gitter Ω 3 Ω 2 Ω 1 Ω 0 Wir geben nun eine rekursive Definition des MGM Algoritmus, wobei von den nacfolgenden Bestandteilen des Verfarens ausgeen: Gegeben sei eine Hierarcie von Gittern Ω 0 Ω 1... Ω max sowie die Gittertransfer Operatoren P l,l 1 und R l,l 1 für l = 1,..., l max. Desweiteren seien die Systemmatrizen A l und die Glätter S l, l = 1,..., l max auf den versciedenen Gittern gegeben. Wir definieren die MGM Iteration u k+1 = MGM u k, f, l max wobei der Index für das LGS auf dem feinsten Gitter stet, folgendermaßen:

14 46 3. DAS MEHRGITTERVERFAHREN MGM u l, f l, l { if l = 0 u l = A 1 l f l ; else 0 { u l = S ν 1 u l, f l ; 1 d l 1 = R l 1,l f l A l u l ; 2 v l 1 = 0 ; 3 for j = 0 ; j < γ ; j = j + 1 MGMv l 1, d l 1, l 1 ; 4 u l = u l + P l,l 1 v l 1 ; 5 u l = S ν 2 u l, f l ; 6 Dabei aben die einzelnen Scritte der MGM Prozedur die folgende Bedeutung: Scritt 0 : Haben wir das gröbste Gitter Ω 0 erreict, so lösen wir das System exakt. A 0 u 0 = f 0 Scritt 1 : Füre ν 1 Vorglättungsscritte auf dem l ten Gitterstufe durc, d.. wir wenden ν 1 mal auf das System A l u l = f l ein iteratives Verfaren an. Scritt 2 : Wir berecnen den Defekt aus Scritt 1 und restringieren den Defekt auf das näcst gröbere Gitter mit Index l 1. Scritt 3 : Wir setzen für das System A l 1 v l 1 = d l 1 den Startwert v l 1 =. Scritt 4 : Wende die MGM Prozedur γ mal auf das System A l 1 v l 1 = d l 1 auf der Stufe l 1 an. 1 Dieser Scritt beinaltet die rekursive Definition der MGM Prozedur. Scritt 5 : Prolongiere die Korrektur aus Scritt 4 vom Gitter Ω l 1 auf das Gitter Ω l und addiere die Korrektur auf den aktuellen Wert u l auf dem Gitter Ω l. Scritt 5 : Füre ν 2 Nacglättungsscritte für das System A l u l = f l auf dem Gitter Ω l durc. Am Ende der MGM Prozedur wird der aktuelle Werte aus Scritt 6 zurückgegeben u l = MGMu l, f l, l Definition Der oben definierte Mergitteralgoritmus eißt V ν 1, ν 2 Zykel, if γ = 1 1 Beacte, dass für l = 1 und γ > 1 die FOR Scleife nur einmal durclaufen wird

15 4. DER MEHRGITTER ALGORITHMUS 47 bzw. V ν 1, ν 2 Zykel, if γ = 2 Beispiel Als Beispiel reproduzieren wir den oben angegebenen Fall mit l m ax = 3 und γ = 2 W Zykel: u k+1 = MGM u k, f, l max Damit ergeben sic konkret die folgenden Scritte erster γ Zykel zweiter γ Zykel u 3 = S ν 1 u 3, f 3 d 2 = = S ν 1 u k, f R 2,3 f 3 A 3 u 3 v 2 = 0 MGM v 2, d 2, 2 v 2 = S ν 1 v 2, d 2 d 1 = R 1,2 d 2 A 2 v 2 v 1 = 0 MGM v 1, d 1, 1 v 1 = S ν 1 v 1, d 1 d 0 = R 0,1 d 1 A 1 v 1 v 0 = 0 MGM v 0, d 0, 0 v 0 = A 1 0 d 0 v 1 = v 1 + P 1,0 v 0 v 1 = S ν 2 v 1, d 1 MGM v 1, d 1, 1 v 1 = S ν 1 v 1, d 1 d 0 = R 0,1 d 1 A 1 v 1 v 0 = 0 MGM v 0, d 0, 0 v 0 = A 1 0 d 0 v 1 = v 1 + P 1,0 v 0 v 1 = S ν 2 v 1, d 1 v 2 = v 2 + P 2,1 v 1 v 2 = S ν 2 v 2, d 2 MGM v 2, d 2, 2 v 2 = S ν 1 v 2, d 2 d 1 = R 1,2 d 2 A 2 v 2 v 0 = 0 Ω 3 : Ω 2 : 2 Ω 1 : 4 γ0 = 1 γ0 = 1

16 48 3. DAS MEHRGITTERVERFAHREN erster γ Zykel zweiter γ Zykel MGM v 1, d 1, 1 v 1 = S ν 1 v 1, d 1 d 0 = R 0,1 d 1 A 1 v 1 MGM v 0, d 0, 0 v 0 = A 1 0 d 0 v 1 = v 1 + P 1,0 v 0 v 1 = S ν 2 v 1, d 1 MGM v 1, d 1, 1 v 1 = S ν 1 v 1, d 1 d 0 = R 0,1 d 1 A 1 v 1 v 0 = 0 MGM v 0, d 0, 0 v 0 = A 1 0 d 0 v 1 = v 1 + P 1,0 v 0 v 1 = S ν 2 v 1, d 1 v 2 = v 2 + P 2,1 v 1 v 2 = S ν 2 v 2, d 2 u 3 = u 3 + P 3,2 v 2 u 3 = S ν 1 u 3, d 3 γ0 = 1 γ0 = 1 Danac kert man aus MGMu k,f,3 mit dem durc definierten Wert u k+1 = u 3 zurück. Der Übersictlickeit wegen ist noc einmal die grapisce Darstellung angegeben. Grapisce Darstellung des MGM für l max = 3 und γ = 3 Gitter Ω 3 Ω 2 Ω 1 Ω 0 Wirkommen zu einigen abscließenden Bemerkungen zum Mergitter Algoritmus. Zunäcst ängt das Verfaren entsceidend von den folgenden Bestandteilen ab: R l,, 1 R l,, 1 S l A l den Prolongationsoperatoren den Restriktionsoperatoren den Glättern den Systemmatrizen, e.g. A l 1 = R l,l 1 A l P l,l 1 beim Galerkin Ansatz

17 sowie den Parametern ν 1 ν 2 γ 4. DER MEHRGITTER ALGORITHMUS 49 Anzal der Vorglättungsscritte Anzal der Nacglättungsscritte Anzal der Zweigitter Iterationen Einige in praktiscen Anwendungen typisce Werte für ν 1 und ν 2 sind ν 1 = 1, 2, 3, or 4 ν 2 = 0, 1, 2, 3, or 4 mit den Standardwerten ν 1 = 2 and ν 2 = 1. Diese Parameter kann auc mit den Gitterstufen variieren, d.. ν 1 = ν 1 l ν 2 = ν 2 l γ = γl wobei stets γ0 = 1 gilt, da wir dann das gröbste Gitter erreict aben. Im sogenannten verallgemeinerten V Zykel wält man zum Beispiel die Anzal der Glättungsscritte folgendermaßen: ν 1 l = 2ν 1 l + 1 ν 2 l = 2ν 2 l + 1 l = 1,..., l max 1 Wie bei anderen iterativen Verfaren beendet man die MGM Prozedur u k+1 = MGM u k, f, l max sobald eine gewünscte Genauigkeit erreict ist. Zum Beispiel testet man das Defektsystem auf die Bedingung f A u k f A u 0 wobei die Anzal der Iterationen durc kmax ε = O ln ε 1 gegeben ist. Eine Variante des Mergitter Algoritmus ist das sogenannte volle Mergitterverfaren full multigrid metod, FMGM. Die Idee ist dabei eine geeignete Startlösung u 0 auf dem feinsten Gitter dadurc zu berecnen, dass mann ausgeend von der exakten Lösung auf dem grobsten Gitter Ω 0 mit Hilfe des Mergitter Algoritmus und dem Übergang auf die feineren Gitter eine effizient zu berecnende Näerungslösung erält. Der zugeörige F MGM Algoritmus läßt sic dann in der Form angeben. u 0 = A 1 0 f 0 for l = 1; l < l max + 1; l = l + 1 { u l = P l,l 1 u l,l 1, for k, = 1; k < k l + 1; l = l + 1 MGM u l, f l, l