GRUNDVORSTELLUNGEN BEI DER EINFÜHRUNG DER BEIDEN BEGRIFFE DIFFERENZENQUOTIENT UND DIFFERENTIALQUOTIENT

Transkript

1 GRUNDVORSTELLUNGEN BEI DER EINFÜHRUNG DER BEIDEN BEGRIFFE DIFFERENZENQUOTIENT UND DIFFERENTIALQUOTIENT Dr. Bernard Salzger Don Bosco-Gymnasium, Ebreicsdorf-Unterwalterdorf Ebreicsdorf-Unterwaltersdorf, 2004

2 INHALTSVERZEICHNIS ABSTRACT WOZU GRUNDVORSTELLUNGEN IN DER MATHEMATIK? Die Motivation des Lerers Motivation nac außen Motivation nac innen Angestrebte Ziele Leitlinien Inaltsbezogene Leitlinien Metodisce Leitlinien Facperspektive Grundvorstellungen zum Differenzenquotienten Grundvorstellungen zum Differentialquotienten Scülerperspektive RAHMENBEDINGUNGEN DES PROJEKTSFEHLER! TEXTMARKE NICHT DEFINIERT. 2.1 Die Klasse Die Sculform Tecnisce Hilfsmittel Das Konzept Die Durcfürung Die Evaluierung DAS PROJEKT IN ELF UNTERRICHTSEINHEITENFEHLER! TEXTMARKE NICHT DEFINIERT. 3.1 Der Begriff des Differenzenquotienten (erste Eineit Seite 2

3 3.2 Deutungsmöglickeiten (zweite Eineit Das Vorzeicen des Differenzenquotienten (dritte Eineit Zusammenang zur Steigung einer Funktion (vierte Eineit Der Differenzenquotient als Faktor (fünfte Eineit Vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten (secste Eineit Änderungsrate und Tangentensteigung (siebente Eineit Kommentare zur Screibweise (acte Eineit Deutungen des Differentialquotienten (neunte Eineit Bilder von Funktionsgrapen (zente Eineit Ableitungsregeln So einfac get das!? (elfte Eineit BEMERKUNGEN UND AUSWERTUNGEN Die Auswal der Aufgaben Der Besuc einer Matematikdidaktikvorlesung im Ramen des Projekts Ein glücklicer Zufall Reaktionen der Scülerinnen und Scüler Die Ergebnisse der Absclusstests Der Test zum Differenzenquotienten Der Test zum Differentialquotienten Eine persönlice Gesamteinscätzung KONSEQUENZEN LITERATUR ANHANG Seite 3

4 ABSTRACT In elf Unterrictseineiten wurden die Begriffe Differenzenquotient und Differentialquotient in einer siebenten Klasse AHS des Don Bosco-Gymnasiums Ebreicsdorf- Unterwaltersdorf über den Zugang mittels Grundvorstellungen zu den beiden Begriffen gelert. Unter Berücksictigung von inaltsbezogenen und metodiscen Leitlinien wurde die Klasse mit Hilfe des Grafikrecners TI-82 unterrictet. Grundlage des Unterricts war ein Konzept zum Tema Grundvorstellungen von Univ. Prof. Dr. Günter Malle mit dem Titel: Differenzenquotient und Differentialquotient. Ein Lergang zur Grundbildung. Ziele dieses Projekts waren u. a. das Deuten-, das Interpretieren- und das Umgeen-Können mit den matematiscen Inalten, die inter den beiden Begriffen steen. Absclusstests am Ende der Unterrictssequenzen bracten ser interessante Ergebnisse, die in der künftigen Unterrictsarbeit berücksictigt werden sollen. 1 WOZU GRUNDVORSTELLUNGEN IN DER MA- THEMATIK? Grundvorstellungen im Matematikunterrict? Vielleict denkt man beim Lesen dieses Begriffs zunäcst einmal an Veranscaulicungen der Grundrecenarten oder an einface geometrisce Aufgaben, die das Vorstellungsvermögen der Lernenden fördern sollen. Grundvorstellungen können aber auc auf bereits vorandenes Wissen zurückgreifen und dieses in einen neu koordinierten Lösungsprozess einbinden; sie wären demnac notwendiger Bestandteil der Allgemeinbildung. 1 Wie ist diese Bezeicnung Grundvorstellungen nun etwa bei der Einfürung der Differentialrecnung zu versteen? Hierzu können im Unterrict Bezugspunkte gewält werden, die die Alltäglickeit fremd klingender matematiscer Ausdrücke in den Vordergrund rücken. In mereren Unterrictseineiten wurden am Don Bosco-Gymnasium Ebreicsdorf- Unterwaltersdorf in einer 7. Klasse (11. Sculstufe die Begriffe Differenzenquotient und Differentialquotient nac den Gesictspunkten der Grundvorstellungen nac U- niv. Prof. Dr. Günter Malle eingefürt. 1.1 Die Motivation des Lerers Motivation nac außen Da viele Scülerinnen und Scüler den Matematikunterrict als notwendiges Übel anseen und nac act Jaren Gymnasium einige Formeln auswendig aufsagen können, one einen matematiscen Inalt dainter zu seen, sceint es mitunter 1 Vgl. (27. April 2004 Seite 4

5 folgerictig, diesem Umstand entgegenwirken zu wollen. Scülerinnen und Scüler sollten versteen, was sie im Matematikunterrict anwenden, und mit diversen matematiscen Inalten Vorstellungen verbinden können. Aus diesem Grund ist ein Zugang mit Grundvorstellungen zu matematiscen Begriffen und Inalten unentberlic Motivation nac innen Als jemand, der scon seit Jaren versuct, Scülerinnen und Scülern Matematik unter den Gesictspunkten des Begründens, des Interpretierens und des kritiscen Reflektierens zu vermitteln, ersceint es als logisce Folge, diese Art des Unterrictens im Ramen eines Projektes noc bewusster als biser zu praktizieren. Der gezielte Einsatz der Sprace im Matematikunterrict ist in diesem Zusammenang als weiteres Motivationskriterium zu nennen. Die Sprace der Matematik als eine solce anzuerkennen und tatsäclic bewusst von dieser in die Alltagssprace zu übersetzen und umgekert ist folglic ein weiterer Punkt, der als zusätzlicer Motivationsscub anzufüren wäre. Denn durc den Zugang mittels Grundvorstellungen wird dieser Bereic des Erfassens neuer Inalte, Fäigkeiten und Fertigkeiten gefördert. 1.2 Angestrebte Ziele Grundvorstellungen können auf bereits vorandenes Wissen zurückgreifen und dieses in einen neu koordinierten Lösungsprozess einbinden. Sie sind notwendiger Bestandteil der Allgemeinbildung. Deutungen der beiden Begriffe sollen im Unterrict eine essentielle Rolle spielen. Scülerinnen und Scüler sollen in der Lage sein diese Deutungen in Worte zu fassen und somit zeigen, dass sie versteen, womit sie im Unterrict umgeen. Die allgemeinen Bildungsziele des Lerplans (didaktisce Grundsätze und Inalte sind zu beacten und als Grundlage des Unterricts eranzuzieen Leitlinien Inaltsbezogene Leitlinien Höere Grundbildung kann auf Grundvorstellungen basieren. Diese dienen in erster Linie dazu den Scülerinnen und Scülern Verbindungen zwiscen matematiscen 2 Vgl. IFF (Hrsg.: Didaktisce Strukturierung für den Unterrict. IMST-S1 Scwerpunktprogramm Grundbildung. Worksop I, Yspertal (6. November Vgl. IFF (Hrsg.: Ein dynamisces Konzept für matematisc-naturwissenscaftlice Grundbildung (Handreicung für die Prais. IMST-S1 Scwerpunktprogramm Grundbildung (25. August 2003 Seite 5

6 Inalten und dem Alltagsleben zu flecten, die im späteren Leben als selbstverständlic angeseen und selbst ab- bzw. ergeleitet werden sollen. Dass iermit ein gewisses Wissenscaftsverständnis aufgebaut wird, liegt auf der Hand. Ebenso wird so die Entwicklung individueller Perspektiven angeregt, die im zukünftigen Berufsleben vonnöten sind Metodisce Leitlinien Wie scon erwänt, können Grundvorstellungen an bereits erworbenes Wissen anknüpfen und somit in Kombination mit scon Vertrautem neue Ideen zur Lösung von Problemstellungen liefern. Wenn nun Alltagsbezüge ergestellt bzw. von Scülerseite selbst gefunden weden, so sceint es nae liegend, dass ierbei Grundvorstellungen einerseits die Alltagsproblemaik andererseits die matematiscen Inalte betreffend eine entsceidende Rolle spielen. Umso wictiger ersceint es, bei der Darbietung neuer Inalte auf matematisce und alltagsbezogene Erfarungen zurückgreifen zu können. Dies soll dazu füren, dass Wissen in diversen Zusammenängen neu angewandt werden kann. Letztlic ist auc der Einsatz adäquater tecniscer Hilfsmittel mitunter eine Erleicterung bei der Vermittlung neuer Inalte, da zu den oben genannten Metoden auc noc der Recner als unterstützende Kraft nützlic ist, der vor allem durc grapisce Darstellungen das Veranscaulicen abstrakter Prozesse (vor allem im Bereic der Differentialrecnung unkompliziert ermöglict. 1.4 Facperspektive 4 Hier steen die beiden zu erarbeitenden Begriffe und die matematiscen Inalte im Vordergrund: Beim Differenzenquotienten gilt es, den Terminus zu definieren, in zu deuten (z. B. als Steigung, eine Verbindung zu linearen und nictlinearen Funktionen erzustellen, die Bedeutung der Sekantenfunktion zu erfassen und Anwendungsaufgaben zu bearbeiten. Beim Differentialquotienten stet seine Bedeutung als Grenzwert des Differenzenquotienten an vorderster Stelle, Deutungen des Begriffs sowie Anwendungsaufgaben ierzu sind in der Folge als wictige Punkte zu seen Grundvorstellungen zum Differenzenquotienten Ziel der Unterrictssequenzen ist es, Grundvorstellungen als tragende Säulen matematiscer Inalte zu etablieren. Bei der mittleren Änderungsrate andelt es sic um folgende Grundvorstellungen, die in den Unterrictseineiten mer oder weniger stark zur Geltung kommen sollen: Der Differenzenquotient soll als Verältnis aufgefasst werden: Die mittlere Änderungsrate ist gleic dem Verältnis der Änderung der Funktionswerte zur Änderung der Argumente. 4 Vgl. IFF (Hrsg.: Didaktisce Strukturierung für den Unterrict. IMST-S1 Scwerpunktprogramm Grundbildung. Worksop I, Yspertal (6. November 2003 Seite 6

7 Der Differenzenquotient als mittlere Änderung pro Eineit: Die mittlere Änderungsrate ist gleic der mittleren Änderung der Funktionswerte pro Argumenteineit. Der Differenzenquotient als Faktor: Die mittlere Änderungsrate ist gleic dem Faktor, mit dem die Änderung der Argumente multipliziert werden muss, um die Änderung der Funktionswerte zu eralten. Das Vorzeicen des Differenzenquotienten: Ist die mittlere Änderungsrate von einer Funktion in einem Intervall positiv, so steigt der Grap der Funktion insgesamt in diesem Intervall, muss aber nict monoton steigend in diesem Intervall sein. Ist die mittlere Änderungsrate von einer Funktion in einem Intervall negativ, so fällt der Grap der Funktion insgesamt in diesem Intervall, muss aber nict monoton fallend in diesem Intervall sein. Ist die mittlere Änderungsrate von einer Funktion in einem Intervall gleic 0, so ist der Grap der Funktion insgesamt in diesem Intervall weder steigend noc fallend, muss aber nict konstant in diesem Intervall sein. Der Differenzenquotient einer linearen Funktion ist in jedem Intervall gleic der Steigung der linearen Funktion. Der Differenzenquotient einer Funktion in einem Intervall ist gleic der Steigung der zugeörigen Sekantenfunktion Grundvorstellungen zum Differentialquotienten Ebenso wie zum Differenzenquotienten können Grundvorstellungen zum Differentialquotienten entwickelt werden: Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten. Der Differentialquotient f ( ist näerungsweise gleic dem Differenzenquotienten von f in einem ser kleinen Intervall um. Der Differentialquotient einer linearen Funktion ist an jeder Stelle gleic der Steigung der linearen Funktion. Der Differentialquotient f ( ist gleic der Steigung einer Funktion von f an der Stelle bzw. gleic der Steigung der Tangente an den Grapen von f im Punkt ( f( Scülerperspektive 7 Um an das Vorwissen anknüpfen zu können, müssen auf Seiten der Scüler diverse Voraussetzungen gegeben sein: 5 Vgl. Malle, G.: Grundvorstellungen zum Differenzenquotienten (zur mittleren Änderungsrate. o. J. 6 Vgl. Malle, G.: Grundvorstellungen zum Differentialquotienten (zur Änderungsrate. o.j. 7 Vgl. IFF (Hrsg.: Didaktisce Strukturierung für den Unterrict. IMST-S1 Scwerpunktprogramm Grundbildung. Worksop I, Yspertal (6. November 2003 Seite 7

8 Mit dem Funktionenbegriff sowie dem Begriff der Steigung einer linearen Funktion mit Blick auf das Steigungsdreieck sollte umgegangen werden können. Ebenso sollte der Grap einer Funktion erstellt und interpretiert werden können. Ferner muss der Grenzwertbegriff bereits erfasst worden sein. Außerdem müssen Wortbedeutungen wie Differenz oder Quotient in mereren Zusammenängen gedeutet und verstanden werden können. Seite 8

9 2 RAHMENBEDINGUNGN DES PROJEKTS 2.1 Die Klasse An diesem Projekt war eine siebente Klasse Aufbaugymnasium beteiligt. Diese bestet aus act Scülern und elf Scülerinnen, wobei zwei Scüler den Status außerordentlicer Scüler aben und an dem Projekt nur am Rande mitgewirkt aben. Die Klasse ist, was die sculiscen Leistungen betrifft, als durcscnittlic einzustufen, wobei wenige Scülerinnen und Scüler besonders gut und auf der anderen Seite ebenfalls wenige besonders scwac einzustufen sind. Mitunter ist die Klasse nict ser leict motivierbar, was auc im Matematikunterrict zu erkennen ist. 2.2 Die Sculform Bei dieser Klasse andelt es sic um die Sculform eines Aufbaugymnasiums mit spraclicem Scwerpunkt. Die Form Aufbaugymasium weist einen Unterscied zur Form des Gymnasiums dadurc auf, dass erst in der fünften Klasse mit einer zweiten lebenden Fremdsprace bzw. mit Latein begonnen wird. Darüber inaus standen vor der Stundenreduzierung in der Oberstufe in der fünften Klasse jeweils vier Wocenstunden in allen Scularbeitsfäcern zur Verfügung, um vor allem Einsteigern aus der Hauptscule den Lerstoff intensiver vermitteln zu können. Für das Fac Matematik gilt der Lerplan für das Gymnasium. 2.3 Tecnisce Hilfsmittel Seit der fünften Klasse arbeiten die Scülerinnen und Scüler mit dem grafikfäigen Recner TI-82. Beim Eintieg in die Differentialrecnung erweist sic dieser Umstand oft als Vorteil, da Funktionsgrapen iermit scnell veranscaulict werden können und somit elfen, eine bessere Vorstellung von der jeweiligen Saclage zu bekommen. 2.4 Das Konzept Grundlage des Unterricts war ein Konzept zum Tema Grundvorstellungen von U- niv. Prof. Dr. Günter Malle mit dem Titel: Differenzenquotient und Differentialquotient. Ein Lergang zur Grundbildung. Im Ramen dieser Vorlage war freie Gestaltungsmöglickeit des Unterricts möglic sowol, was den zeitlicen Ramen als auc, was die Unterrictsmetoden betrifft. Seite 9

10 2.5 Die Durcfürung Das Projekt des Einstiegs in die Differentialrecnung auf der Basis der Grundvorstellungen wurde in elf Unterrictseineiten durcgefürt. Für die Scülerinnen und Scüler waren es keine Projekt-Unterrictsstunden, sondern normaler Unterrict, bei dem auf Grundvorstellungen, Deutungen und Begriffsinterpretationen etwas mer Wert gelegt wurde, als vielleict von inen erwartet. Den Scülerinnen und Scülern war jedoc bewusst, dass es sic ierbei um eine besondere Art der Einfürung in ein neues Kapitel andelte und dass dies im Ramen eines Projekts verwirklict werden sollte. Ein wesentlicer Unterscied zu erkömmlicen Unterrictsabläufen war die Konzentration auf den klaren und unmissverständlicen Einstieg in ein Kapitel und in die Problematik der Begriffsdeutungen. Mer Wert wurde durcwegs auf Veranscaulicungen, Klärungen von Definitionen, spraclice Präzision bei Erläuterungen sowol seitens des Lerers als auc seitens der Scülerinnen und Scüler und auf Alltagsbezüge gelegt, weniger auf Recenfertigkeiten. 2.6 Die Evaluierung Den Abscluss des Projekts bildeten zwei Tests, der eine zum Tema Differenzenquotient, der andere zum Tema Differentialquotient. Die anscließende Evaluierung fand durc Mag. Angela Scuster (Fackoordinatorin für Matematik der Abteilung S1-Grundbildung nac einem Auswertungsscema von Univ. Prof. Dr. Günter Malle statt. Seite 10

11 3 DAS PROJEKT IN ELF UNTERRRICHTSEINHEI- TEN Werden im Tet Aufgabennummern genannt, so bezieen sic bspw. 1.01, 1.32,... auf jene Übungen des Kapitels Differenzenquotient und Differentialquotient. Ein Lergang zur Grundbildung. Das Lerbuc Bürger Fiscer Malle. Matematik Oberstufe 3 wird in der Folge BFM3 genannt. Aufgabennummern wie bspw. BFM3 1.14, BFM3 1.23,... bezieen sic auf Übungen im Lerbuc Bürger Fiscer Malle. Matematik Oberstufe 3. Ist im Tet von Scülern die Rede, sind Scülerinnen und Scüler gemeint. 3.1 Der Begriff des Differenzenquotienten (erste Eineit Nac einer kurzen Einleitung des Lerers bezüglic der Bedeutung der Differentialrecnung in diversen Bereicen des Alltags wird der Begriff des Differenzenquotienten an den Anfang der Eineit gestellt. Hierzu wird um die Alltäglickeit in den Vordergrund zu rücken die Aufgabe 1.01 (Angabe BFM gewält und darauf ingewiesen, dass Farpläne dieser Art äufig zu finden seien. Nun stellt man die Frage nac der Gescwindigkeit des Zuges wolgemerkt nac der Durcscnittsgescwindigkeit zwiscen den einzelnen Städten. Aus der Pysik ist die Formel Gescwindigkeit ist gleic Weg durc Zeit geläufig. Eine Präzisierung dieser Formel wird genannt: Mittlere Gescwindigkeit ist gleic die Länge des zurückgelegten Weges durc die dafür benötigte Zeit. Anand der Aufgabe 1.01a wird dies für die Strecke Villac (VI Klagenfurt (K ausprobiert: VI K Zurückgelegter Weg: 38km Dafür benötigte Zeit: 24min (also 0,4 v wird als Bezeicnung für die mittlere Gescwindigkeit eingefürt. 38km v 95km / 0,4 8 Aufgabe 1.01 bzw. BFM3 1.14: Die nebensteende Tabelle ist ein Auszug aus dem Farplan des Epresszuges Romulus. a Berecne die mittlere Gescwindigkeit des Zuges zwiscen Villac und Klagenfurt, Klagenfurt und Leoben, Leoben und Bruck an der Mur, Bruck an der Mur und Wiener Neustadt, Wiener Neustadt und Wien! In welcen dieser Streckenabscnitte färt der Zug am scnellsten? b b Die Bewegung des Zuges werde durc die Zeit-Ort-Funktion s: t s(t bescrieben. Gib eine Formel für die mittlere Gescwindigkeit v(t 1,t 2 des Zuges im Zeitintervall [t 1, t 2 ] an! Seite 11

12 Ebenso wird für die Strecke Klagenfurt (K Leoben (LE vorgegangen. Hier ist zusätzlic die Länge der Strecke aus den Daten durc die Differenz 196km 38km zu ermitteln. Ebenso wird die Differenz aus den beiden Zeitpunkten ermittelt: K LE (Differenz: 1,9 Streckenlänge (Differenz: 158km 158km v 83km / 1,9 Hier folgt wieder der Hinweis, dass es sic bei jenem Bructerm bereits um den Differenzenquotienten andle. (Auf die Frage einer Scülerin, ob nun die Gleicung o- der nur der Bruc den Differenzenquotienten darstelle, wird noc einmal darauf ingewiesen, dass nur der Bruc, also der Quotient, den Differenzenquotienten darstellt. Nun wird versuct, die Bedeutung der Differenzen in Zäler und Nenner mit dem Begriff einer Zeit-Ort-Funktion zu verknüpfen und damit deutlicer ervorzustreicen: v( t ; t 1 2 Zeit-Ort-Funktion t s(t (Zeit-Intervall [t 1 ; t 2 ] s( t s( t 2 1 sei nun die mittlere Gescwindigkeit in [t 1 ; t 2 ]. v ist von t 1 und t 2 t2 t1 abängig, ebenso wie s (s zum Zeitpunkt t 1 und zum Zeitpunkt t 2. Weiters werden die Scüler gebeten, den Tet der Aufgabe BFM durczulesen und die beigefügte Lösung zu a zu erklären. Dies gesciet, indem der Zäler als Wegdifferenz und der Nenner als Zeitdifferenz (ausgebessert: Differenz zwiscen zwei Zeitpunkten bezeicnet werden. Der Lerer fürt Aufgabe BFM b an der Tafel durc und klärt noc einmal die Begriffe und die Aussage der Lösung: Ein Körper im freien Fall at zwiscen der ersten und der zweiten Sekunde nac Fallbeginn die mittlere Gescwindigkeit von 15m/s. Als Hausübung werden die Aufgaben BFM (Strecken LE-BM und BM-WN und BFM3 1.15cd gegeben. 3.2 Deutungsmöglickeiten (zweite Eineit Die Aufgaben BFM (Strecken LE-BM und BM-WN und BFM3 1.15cd der Hausübung aben weitgeend keine Probleme bereitet. Es wurde nur noc die Bedeutung von Zäler und Nenner beim Differenzenquotienten (Deutung als Verältnis noc einmal betont. 9 Aufgabe BFM3 1.15: Für einen frei fallenden Körper ist eine Zeit-Ort-Funktion s durc s(t 0,5g. t gegeben. (Dabei wird vorausgesetzt, dass der freie Fall zum Zeitpunkt 0 beginnt und s(0 0 ist. Wird t in Sekunden und s(t in Metern gemessen, dann ist g 9,81m/s 10m/s. Wir betracten daer die Zeit-Ort-Funktion s mit s(t 5t. Berecne die mittlere Gescwindigkeit im Zeitintervall: a [0;1] b [1;2] c [2;3] d [1;10] Seite 12

13 Nun wurde im Buc BFM (Seite 5 die Tabelle zur Aufgabe BFM betractet. Analog zu den bereits beandelten Aufgaben wird ier die Temperaturdifferenz in einem bestimmten Zeitraum ermittelt. Im Intervall [8; 14] findet man Temperaturzuname, in [14;20] Temperaturabname und in [12;18] an sic etwas Kurioses: Die Temperaturdifferenz ist gleic 0. Laut Tabelle ändert sic aber zwiscen 12 Ur und 18 Ur die Temperatur immer wieder. Hier wurde darauf besonderen Wert gelegt, dass nur die genannten beiden Zeitpunkte für diese Aussage entsceidend seien. T(b T(a ist also nur die Temperaturdifferenz. Stellt man nun eine Bezieung dieser Differenz zur verstricenen Zeit er, so lässt sic aussagen, in welcem dieser Zeitintervalle die Temperatur am scnellsten zunimmt. Die Scüler stellen ierzu den Differenzenquotienten auf, z. B.: T (14 T ( Im Intervall [12; 14] steigt die Temperatur im Mittel um zwei Grad pro Stunde. So lässt sic auc ermitteln, dass in diesem Intervall die Temperatur am scnellsten zunimmt. Es wird der allgemeine Ausdruck T ( b T ( a b a als mittlere Änderungsrate notiert. Dieser Aufgabe folgt nun die Definition: f sei eine reelle Funktion f: A R, wobei a, b A und a b. f ( b f ( a Dann nennt man den Differenzenquotienten oder die mittlere b a f ( b f ( a Änderungsrate von f in [a;b]. ist dabei eine reelle Zal, die je nac b a f ( b f a f a f b Problemstellung gedeutet werden muss. Weiters gilt: ( ( (. b a a b In der Folge wird die Aufgabe 1.03a 11 beandelt. (Anmerkung: Die Aufgabe wird an die Tafel gescrieben. Die Scüler aben die gesamte Aufgabenstellung nict kopiert vor sic. Das Scätzen ziet bei den Scülern zunäcst Unklareit nac sic, viele scätzen aber rictig, da sie vom bereits vorandenen Volumen vor der Volumenzuname ausgeen. Die Volumenzuname wird daraufin berecnet. Die Scätzung der meisten bestätigt sic. Die Ergebnisse 381cm³ und 505cm³ werden zur Kenntnis genommen. Allgemein wird notiert: V(r 1 V(r In dieser Tabelle sind die zu versciedenen Urzeiten eines Tages gemessenen Temperaturen an einem bestimmten Ort angegeben. (BFM3, Seite 5 11 Aufgabe 1.03a: Ein kugelförmiger Ballon vom Radius r at das Volumen V(r4πr³/3 (r in cm, V in cm³. Der Ballon wird aufgeblasen. Berecne die Volumszuname im Radiusintervall [5;6] bzw. [20;20,1]! (Scätze zuerst, in welcem Fall die Volumszuname größer ist! Seite 13

14 In den Aufgaben zuvor wurde auf die benötigte bzw. verstricene Zeit Bezug genommen. Auf die Frage, ob man dies ier auc könne, bejaen die Scüler zunäcst, merken aber alsbald, dass dieses Problem zweitrangig ist. Ein Scüler mact den Vorsclag, den Radius als Bezugspunkt zu nemen. Die Differenzenquotienten werden gebildet: V (6 V ( ( cm³ / cm V (20,1 V (20 20, ( cm³ / cm Eine interessante Frage einer Scülerin ierzu lautet: Warum nimmt man bei der zweiten Recnung nict Millimeter? Eine Begründung des Lerers beziet sic auf die Vergleicbarkeit der beiden Ergebnisse. Die Differenz der beiden Volumina mit den Radien 20cm und 20,1cm bezögen sic onein auf die Zuname um einen Millimeter. Als Hausübung werden die Aufgaben BFM3 1.03ac 12, BFM3 1.04bd 13 und BFM3 1.06a 14 gegeben. 3.3 Das Vorzeicen des Differenzenquotienten (dritte Eineit Die Aufgaben der Hausübung BFM3 1.03ac, BFM3 1.04b d und BFM3 1.06a aben weitgeend keine Probleme bereitet. Eine interessante Anmerkung sei genannt. Ein Scüler setzte bei der Aufgabe BFM3 1.03a vor den Differenzenquotienten v. Dies so die Erwiderung des Lerers wäre nur eine Deutung des Differenzenquotienten. Dieser ist jedoc lediglic eine reelle Zal, keine Gleicung. Diese Eineit wurde der Grundvorstellung zum Vorzeicen des Differenzenquotienten gewidmet. Die Scüler saen sic ierzu Fig.1.1a-c auf Seite 7 des Lerbucs BFM3 an. Das Vorzeicen des Differenzenquotienten gilt ier als Hinweis darauf, ob eine reelle Funktion in einem Intervall im Mittel steigt, fällt oder gleic bleibt. 12 Aufgabe BFM3 1.03: Berecne die mittlere Änderungsrate von f im angegebenen Intervall: a f: 3, [1;5] c f: 2/, [-5;-2] 13 Aufgabe BFM3 1.04: Gib den Differenzenquotienten (die mittlere Änderungsrate der nacsteenden Funktion im angegebenen Intervall an: b g(, [a,a] d z y(z, [-z 0,z 0 ] 14 Aufgabe BFM3 1.06: Gib den Differenzenquotienten der Funktion f im angegebenen Intervall an: a f(, [a,a] Seite 14

15 Zusätzlic zu den drei Abbildungen im Buc zeicnete der Lerer die Abbildungen 1a, 1b und 1c des Lergangs Differenzenquotient und Differentialquotient. Ein Lergang zur Grundbildung an die Tafel, wobei das Steigungsdreieck jeweils mit Farbkreide ervorgeoben wurde. Zunäcst 1a: Die Differenz der Funktionswerte gebrocen durc die Differenz der zugeörigen Argumente ergeben den Differenzenquotienten. Da sowol Zäler als auc Nenner positiv sind, ist auc der Differenzenquotient positiv. f ( b f ( a f(b f(a > 0 > 0 f ( b > f ( a, wenn b a > 0 b a f steigt im Mittel in [a;b], muss aber nict monoton steigend sein. Bei 1b gab es einige Verständnisscwierigkeiten, da an die Tafel der Ausdruck f ( b f ( a gescrieben wurde. Die Tatsace, dass es sic in der Zeicnung um die Länge einer Strecke andle und diese nict negativ sein könne, verwirrte die Scüler teilweise. Warum screiben Sie nict einfac f(a f(b? Klareit konnte darauf die Screibung mittels Differenzenquotienten bringen. Da der Zäler negativ ist und der Nenner positiv, ist der Differenzenquotient insgesamt negativ. f ( b f ( a f(b f(a < 0 < 0 f ( b < f ( a, wenn b a > 0 b a f fällt im Mittel in [a;b], muss aber nict monoton fallend sein. Die Abbildung 1c zu versteen war dann relativ einfac. Hier sollte im Randfall eines Steigungsdreiecks im Zäler 0 steen. Damit ist auc der Wert des Differenzenquotienten in diesem Fall geklärt. f ( b f ( a f(b f(a 0 0 f ( b f ( a, wenn b a > 0 b a f muss aber nict konstant sein. Als Hausübung werden die Aufgaben BFM und BFM gegeben. Eine kurze Erklärung bzw. Anleitung folgte noc in der Unterrictseineit. Da alle Scüler den Recner TI-82 besitzen, mögen sie sic im Grafikfenster ein paar reelle Funktionen (vornemlic einface Polynomfunktionen anseen, die sie zur Lösung der Aufgaben eranzieen können. Die Frage einer Scülerin, ob man für a und b des Intervalls [a;b] jede beliebige Zal (Argumente bestimmen könnte, wurde bejat. 15 Aufgabe BFM3 1.07: Gib drei versciedene Funktionen an, deren Differenzenquotient im Intervall [0;1] genau 1 beträgt! 16 Aufgabe BFM3 1.08: a Gib mindestens eine Funktion an, die in einem Intervall [a,b] einen positiven Differenzenquotienten at, aber in [a,b] nict monoton steigend ist! b Gib mindestens eine Funktion an, die in einem Intervall [a,b] einen negativen Differenzenquotienten at, aber in [a,b] nict monoton fallend ist! (Hinweis: Betracte etwa die Funktion in einem geeigneten Intervall [a,b]! Seite 15

16 3.4 Zusammenang zur Steigung einer Funktion (vierte Eineit Die Aufgabe BFM der Hausübung at kaum Probleme bereitet. Eine grapisce Darstellung eines Funktionsgrapen von einem Scüler gezeicnet und vom Lerer kommentiert at kleinere Unsicereiten bezüglic der Wal von Punkten auf dem Grapen weitgeend beseitigt. Die Begriffe positiver Differenzenquotient und negativer Differenzenquotient wurden größtenteils mit der Steigung der Sekante gleicgesetzt. Die Aufgabe BFM at nur bei jenen Scülern keine Probleme aufgeworfen, denen klar war, dass diese Vorscrift für alle Funktionen der Gestalt f( n (n N\{0} gilt. Aufgrund der Ergebnisse und Rücksclüsse der Hausübungsaufgaben sollte diese Eineit unter dem Titel Zusammenang zur Steigung einer Funktion gefürt und die Frage beandelt werden, wie der Differenzenquotient bei linearen und bei nictlinearen Funktionen ermittelt wird. All die Aufgaben zuvor (Tema: Steigung einer Sekante sollten Vorarbeiten zur Aufgabe sein. Mit der Vorscrift f( k d für f ( b f ( a die allgemeine lineare Funktion und dem Einsetzen in den Term konnte b a an der Tafel der Zusammenang zwiscen Differenzenquotient und Steigung einer linearen Funktion erkannt werden. Diese Erkenntnis gipfelte zunäcst in jenem Satz, der eine der Grundvorstellungen darlegt: Satz: Der Differenzenquotient einer linearen Funktion ist in jedem Intervall [a;b] gleic der Steigung k. Die im Tet des Lerganges folgenden Abbildungen 1 und 2 wurden in Kopie an die Scüler ausgeteilt. Der Satz konnte an der Abbildung 1 noc einmal nacvollzogen werden. Wictig war ier die Feststellung, dass bei einer linearen Funktion die Wal des Intervalls beliebig ist. Die Abbildung 2 wurde von Scülerseite scon etwas kritiscer aufgenommen. Der Begriff Sekantenfunktion wurde erst dadurc etwas klarer, dass als wictiges Faktum festgealten wurde, dass es nur von Bedeutung sei, dass zwei Punkte der Funktionsgrapen von f und von der Sekantenfunktion s gleic sein müssen. Die Funktion f kann in jenem Intervall [a;b] irgendwie verlaufen. Entsceidend sei, dass (a f(a (a s(a und (b f(b (b s(b. Der Tet des Lergangs bezüglic der Definition der Sekantenfunktion von f wurde den Scülern scriftlic vorgebract. Weiters wurde aufgescrieben: 17 Aufgabe 1.20: Berecne den Differenzenquotienten einer linearen Funktion f mit f( k d in einem Intervall [a,b]! Seite 16

17 f ( b f ( a s( b s( a b a b a k Satz: Der Differenzenquotient einer Funktion f im Intervall [a;b] ist gleic der Steigung k der Sekantenfunktion von f im Intervall [a;b]. Dass dieser Sacveralt (eine der Grundvorstellungen rect einfac zu versteen sei, sollte die Aufgabe 1.22b 18 beweisen. Sie wurde vom Lerer mit Hilfe von Scülervorsclägen durcgerecnet. Zusätzlic wurde die Termdarstellung der Sekantenfunktion s ermittelt: 1.22b f ( b f ( a s( b s( a b a b a k f (11 f ( s(11 s( Die Steigung k der Sekantenfunktion s von f ist also im Intervall [3;11] gleic Die Sekantenfunktion at nun folgende Darstellung: s( 51 d Da nun f(a s(a und f(b s(b kann nun Folgendes gescrieben werden: d d 126 s( Als Hausübung werden die Aufgaben 1.21a 19 und 1.22ac 20 (beide als Kopie verseen mit Aufgabennummer 1 und 2 gegeben. Abbildung zu Aufgabe 1.21: 3.5 Der Differenzenquotient als Faktor (fünfte Eineit Die Aufgaben 1.21a und 1.22ac aben den Scülern keine Probleme bereitet. Fast alle ermittelten zusätzlic zur Aufgabenstellung bei 1.22ac eine Termdarstellung der Sekantenfunktion s(. Bei mancen Scülern wurde das Ergebnis der Aufgabe 18 Aufgabe 1.22b: Sei f( Ermittle die Steigung der Sekantenfunktion von f im Intervall [3;11]! 19 Aufgabe 1.21a: Zeicne in Abb. 3 die Sekantenfunktion von f im Intervall [-2;1] ein! Ermittle deren Steigung und gib eine Termdarstellung der Sekantenfunktion an! (Abb. 3 zeigt das Bild eines Funktionsgrapen. 20 a. a. O. Intervalle: a [0;9], c [10;100]! Seite 17

18 1.21a erst nac einer grapiscen Darstellung des Lerers an der Tafel deutlic. Hier müsste man nicts recnen, sondern lediglic vom Grapen ablesen. Da man nur s(, aber nict f( kennt, kann man zwar mit der Termdarstellung der Sekantenfunktion, nict aber mit der gezeicneten nictlinearen Funktion arbeiten bzw. weiterrecnen. Nac der Bekanntgabe des Scularbeitsstoffs für die 1. Scularbeit (Temengebiete: Komplee Zalen, algebraisce Gleicungen öeren Grades; Differentialrecnung (Differenzenquotient und notwendigen Erläuterungen folgte (als Verdeutlicung der Deutung des Differenzenquotienten die Aufgabe BFM3 1.11a. Die Erklärung der f ( ier vorliegenden Screibweise für den Differenzenquotienten stellte keine Probleme bei den Scülern dar. f( Wievielmal stärker ändern sic die Funktionswerte von f( als die Argumente im Intervall [2;4]? Der Differenzenquotient wird mit k bezeicnet: k f ( b f ( a b a k f (4 f ( Hier ist der Antwortsatz von großer Bedeutung: Die Funktionswerte von f( ändern sic im Intervall [2;4] secsmal so stark wie die Argumente von f(. Das ist alles? So eine Scülermeinung am Ende der Aufgabe. Dies wurde vom Lerer bejat. Eine weitere Grundvorstellung wurde iermit erarbeitet. Ein Hinweis folgte aber noc: Ganz wictig sei der Teil der Antwort: im Intervall [2;4]. Setzte man das Intervall weiter in Rictung an, so wäre der Differenzenquotient größer als im vorgegebenen Intervall. Ginge man noc weiter nac rects auf der Zalengeraden, so würde der Differenzenquotient in einem Intervall [n;n2] immer größer, die Steigung der Sekante immer steiler werden. Somit würde der Faktor (eine der Deutungen des Differenzenquotienten immer größer werden. Der Differenzenquotient ändert sic bei einer nictlinearen Funktion, wärend er bei einer linearen Funktion gleic bleibt. Eine Hausübung gibt es in dieser Stunde nict, nur den Hinweis, man möge im eigenen Interesse die Aufgaben 1.21bc 21 und 1.22d 22 zum besseren Verständnis bearbeiten. Die folgenden beiden Eineiten sollten sic mit der Wiederolung von Aufgaben zum Temengebiet Komplee Zalen befassen. Die näcste ier genannte Eineit setzt nac der Scularbeit mit dem Gebiet der Differentialrecnung fort. 21 a. a. O. Intervalle: b [1;3], c [3;5] 22 a. a. O. Intervall [100;110] Seite 18

19 3.6 Vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten (secste Eineit Diese Eineit ist die erste nac der Scularbeit. Am Anfang der Stunde wurde die Scularbeit nacbesprocen (inkl. Details zur Scularbeitsverbesserung. Diese Unterrictseineit stand unter dem Titel: Vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten. Einer Wiederolung der Deutungen des Differenzenquotienten folgte ein Gedankeneperiment: Eine allen Scülern bekannte Wegstrecke kurz vor der Stadt Ebreicsdorf diente als Grundlage für die Vorstellung der Berecnung der mittleren Gescwindigkeit. Zwei Punkte an der Strecke wurden bestimmt. Wärend diese Strecke durcfaren wird, muss einmal bescleunigt und einmal abgebremst werden; eine konstante Gescwindigkeit ist auf dieser Strecke nict zu erreicen. Man kann demnac nur die mittlere Gescwindigkeit berecnen. Wollte man nun wissen, wie scnell man am Anfang der Strecke färt, müsse man sic so eine Scülerantwort mit dem zweiten Punkt näer an den ersten Punkt begeben. Das muss ja dann fast die Gescwindigkeit sein. Der Begriff Momentangescwindigkeit fällt auf Seiten der Scüler. Die Aufgabe BFM wird als konkretes Beispiel erangezogen. Die Angabe war aus Aufgabe BFM bekannt. Die Funktion wird wieder in Erinnerung gerufen: s(t 5t Die mittlere Gescwindigkeit wird im Intervall [3;5] berecnet: s(5 s(3 v ( 3; Nun wird die Tabelle auf Seite 12 (BFM3 betractet und es wird erkannt, dass das immer kleiner werdende Zeitintervall (immer näer an 3 im Differenzenquotienten eingesetzt eine mittlere Gescwindigkeit liefert, die der Momentangescwindigkeit scon ser nae kommen muss. Auf die Frage eines Scülers, warum nict einfac 3 eingesetzt werden könne, wird allgemein gerecnet: v (3; z s( z s(3 z 3 5z 5 3 z 3 5( z 9 z 3 5( z 3( z 3 z 3 Nun läge auf der Hand, den Ausdruck (z 3 in Zäler und Nenner zu kürzen. Da aber z 3 vorausgesetzt werden muss, da der Ausdruck 0 0 nict beim Kürzen erangezogen werden darf. Nur durc unbegrenzte Näerung von z an die Zal 3 kann ier Abilfe scaffen und somit der Begriff des Grenzwerts, der aus der 6. Klasse bereits bekannt ist. Nun kann Folgendes gescrieben werden: 23 Aufgabe BFM3 1.16: Bestimme näerungsweise die Gescwindigkeit eines frei fallenden Körpers nac drei Sekunden! Seite 19

20 5( z 3( z 3 v(3 limv(3; z lim z 3 z 3 z 3 lim5( z 3 30 z 3 Hier soll fortgesetzt werden. Als Hausübung wird neben der Scularbeitsverbesserung aufgegeben, die Zusammenfassung auf den Seiten 12f. (BFM3 zu lesen und etwaige Fragen für die näcste Stunde vorzubereiten. 3.7 Änderungsrate und Tangentensteigung (siebente Eineit Die Erkenntnisse der letzten Unterrictseineit werden vom Lerer und von Scülern kurz zusammengefasst und in folgender Aussage scriftlic dargelegt: Ein Körper bewege sic gemäß einer Zeit-Ort-Funktion s(t. Dann nennt man s( z s( t v( t limv( t; z lim die Momentangescwindigkeit des Körpers zum z t z t z t Zeitpunkt t. Ein Lererkommentar zum besseren Verständnis: Diese Momentangescwindigkeit findet man auf jedem Tacometer. Die mittlere Gescwindigkeit kann man selbst ermitteln, z. B. färt man um eine bestimmte Urzeit in Ebreicsdorf weg und kommt um eine andere bestimmte Urzeit in Salzburg an. Wenn man nun die Länge der Wegstrecke kennt, kann man sic die mittlere Gescwindigkeit ausrecnen. Vielleict bekommt man 68,5km/ eraus, weil man einmal 140km/ gefaren ist, dann war ein kurzer Stau (0km/, dann wieder eine Baustelle, in Salzburg merere Ampelkreuzungen im Stadtverker usw. Die Momentangescwindigkeit kann sic aber andauernd ändern, man muss nur den Tacometer verfolgen. Auf die Frage eines Scülers, ob das jetzt dieser Differentialquotient sei, folgte einerseits die Bestätigung des Lerers und anscließend die Definition: Def.: f sei eine reelle Funktion. f ( z f ( Der Grenzwert f ( lim eißt Differentialquotient der Funktion f z z an der Stelle oder Änderungsrate von f an der Stelle. Anscließend erfolgt ein Hinweis auf die Lerbucseite 17 (BFM3 und den Merksatz (eine Grundvorstellung: Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten. Auf die Frage, wie das nun bei einem Grapen aussee, wenn ein Punkt immer näer zum anderen wandert, alf die Tafelskizze der Parabel f( bei der Vorstellung. Die eingezeicnete Sekante (bei einem beliebig angenommenen Intervall symbolisiere die Sekantenfunktion, die durc diese beiden Punkte verläuft und eine gewisse Steigung k at. Liegen diese beiden Punkte etwas näer beieinander, so erält man wiederum eine Sekante, deren Steigung nun eine andere ist. Liegen diese beiden Punkte nun noc näer beieinander, sodass sie kaum mer voneinander zu untersceiden sind, liegt streng genommen immer noc eine Sekante vor, die durc Seite 20

21 diese beiden Punkte gezogen werden kann, der Grenzübergang z soll aber die Bezeicnung Tangente zulassen. Die Frage einer Scülerin, ob es nict in diesem einen Punkt merere Tangenten gebe, wurde mit der Definition des Differentialquotienten beantwortet. Eine andere Tangente als jene, die sic aus dem Grenzübergang ergibt, wäre ja eine Sekante, die die Kurve in einem anderen Punkt wieder scneiden müsste. Die Aufgabe BFM (bzw im Lergang 24 wird vom Lerer als erste Recenübung gewält: Gegeben sei die Funktion f( 1. Gesuct sind f (3 und f (5. Auf die Frage des Lerers, was denn mit f (3 gemeint sei, kam nac einigen missglückten Lösungsansätzen der Scüler ( Das ist 11. ; Der Punkt. ; Das get ja gar nict. Ic ab ja kein z gegeben. doc die Antwort: die Steigung der Tangente an der Stelle 3. Notiert wird: f ( k. Kommentar des Lerers: z ist nur eine Stelle in der Näe von 3. Wir müssen den Wert von z nict kennen. Gemäß der Definition wird fortgefaren: f ( z f (3 z z 1 (3 3 1 z z 12 f (3 lim lim lim z 3 z 3 z 3 z 3 z 3 z 3 ( z 3( z 4 lim lim( z 4 7 z 3 z 3 z 3 Für f (5 wird genauso verfaren: f ( z f ( 5 z z 1 ( z z 20 f ( 5 lim lim lim z 5 z 5 z 5 z 5 z 5 z 5 ( z 5( z 4 lim lim ( z 4 9 z 5 z 5 z 5 Die Steigung der Tangente an der Stelle 5 der Funktion f ist k 9. Als Hausübung sind die Aufgaben BFM3 1.31ab 25 und BFM3 1.32a 26 in diesem Sinne zu bearbeiten. 3.8 Kommentare zur Screibweise (acte Eineit Die Hausübungsaufgaben BFM3 1.31ab aben zum größten Teil keine großen Scwierigkeiten bereitet Vorzeicenfeler ausgenommen. Scwieriger war an- 24 Aufgabe 1.37 bzw. BFM3 1.30: Gegeben ist die Funktion f: - 1. Stelle eine Formel für den Differentialquotienten f ( auf und berecne f (3 sowie f (5! 25 Aufgabe BFM3 1.31: Stelle eine Formel für den Differentialquotienten f ( auf und berecne f (1 und f (-3! a f( b f( - 26 Aufgabe BFM3 1.32: Stelle eine Formel für den Differentialquotienten f ( auf und berecne f (1 und f (-3! a f( -2/ Seite 21

22 sceinend die Aufgabe BFM3 1.32a, da es sic in der Angabe um einen Bructerm andelt. Aufgrund von Erklärungen des Lerers und einiger Scüler zu einzelnen Recenscritten bei der Ausarbeitung der Aufgabe konnte auc diese Problematik weitgeend beseitigt werden. Die Unterrictseineit stet unter dem Zeicen der Verdeutlicung der Untersciede zwiscen beispielsweise f(3 und f (3. Die Scüler werden gebeten diese beiden Screibweisen zu kommentieren. Ein weiteres Mal wird der Unterscied zwiscen Differenzenquotient und Differentialquotient betont. Nun wird versuct die Aufgabe BFM3 1.31a allgemein zu lösen. Man erspare sic, so der Kommentar des Lerers, bei allgemeiner Berecnung die konkrete für merere Stellen, an denen die Steigung der Tangente gesuct wird; eine Recnung genüge, die Zalenwerte könne man anscließend in das Ergebnis von f ( einsetzen: f ( z f ( z f ( lim lim z z z z lim( z 2 z ( z ( z lim z z Nun könne in das Ergebnis jeder beliebige Wert eingesetzt werden und man eralte jeweils die Steigung der Tangente an der bezeicneten Stelle. Für 1 und 3 wird das Ergebnis mit dem der Hausübung verglicen. Ebenso wird der Grap auf dem TI-82 betractet und das Vorzeicen der Steigung interpretiert. Eine für die Scüler etwas scwierigere Aufgabe ist nun BFM3 1.31c 27, da ier das Aufspalten in zwei Linearfaktoren im Nenner nict möglic ist. Man brauct einen Linearfaktor und ein quadratisces Polynom. Hier gibt es Scwierigkeiten bei den Recenzeicen inneralb des Polynoms. Letztendlic kann folgendes Ergebnis präsentiert werden: f ( ³ f ( z f ( z³ ³ ( z ( z z z³ f ( lim lim lim z z z z z z lim( z z 3 z Eine Scülerin (eine Repetentin möcte wissen, warum wir nict erste Ableitung dazu sagen. Der Lerer reagiert auf diese Frage und lässt Folgendes notieren: f ( nennt man auc die erste Ableitung der Funktion f( an der Stelle. Als Hausübung werden die Aufgaben BFM3 1.31d 28 und BFM3 1.32b 29 mit dem Hinweis gegeben, dass die erste Ableitung allgemein ermittelt werden soll. 3.9 Deutungen des Differentialquotienten (neunte Eineit Diese Unterrictseineit stet im Zeicen der untersciedlicen Screibweisen und der Deutungen des Differentialquotienten. Die Hausübungsaufgaben aben in der 27 a. a. O. c f( ³ 28 a. a. O. d f( ³ a. a. O. b f( 3/ Seite 22

23 Seite 23 Durcfürung große Probleme bereitet, da ein Funktionsterm aus mereren Summanden bestand und ein anderer ein Bructerm war. Daer wurde die Aufgabe BFM3 1.31d gemeinsam gerecnet und ierbei eine weitere Darstellungsmöglickeit des Differentialquotienten betractet, wie auc im Lergang (Sticwort: Gescictlices zur Differentialrecnung Leibniz Screibweise erwänt: Setzt man die Differenz im Nenner (z gleic einem Wert, so könnte dies einige Recenscritte vereinfacen, um zum Differentialquotienten zu gelangen. Der Grenzwert ist dann nict mer als z, sondern als 0 zu versteen. Ebenso wird aus f(z nun f(. Die Aufgabe BFM3 1.31d wird nun nac dieser Variante gerecnet. Zuvor wird jedoc diese Screibweise erst an der Funktion f( getestet : f f f f 2 lim(2 2 lim 2 lim ( lim ( ( lim ( ( Nun wagte man sic an die Aufgabe 1.31d: f f f f lim( ³ 3 3 lim 5 ³ ³ 3 3 ³ lim 1 5 ³ 1 5( ³ ( lim ( ( lim ( 1 5 ³ ( Dieses Procedere wird von den meisten Scülern als äußerst müsam eingestuft, die Gefar einen Recen- oder Vorzeicenfeler zu macen wird deutlic erkannt. Von Seiten des Lerers erfolgt der Kommentar, dass Aufgaben in dieser Form bei einer Scularbeit kaum zu erwarten seien. Um nun endgültig Differenzenquotient und Differentialquotient in eine noc engere Bezieung zu bringen, wird nac Kapitel 1.6 des Lergangs verfaren. Folgende Grundvorstellung wird erwänt, kommentiert und notiert: z f z f f z ( ( lim ( Ist z ser nae bei, dann ist z f z f f ( ( (. Man könne sic unter dem Differentialquotienten an der Stelle näerungsweise einen Differenzenquotienten in einer ser kleinen Umgebung von vorstellen. Die Deutungen des Differenzenquotienten lassen sic nun unter der Bedingung, dass sic alles in der Näe von abspielt, auf den Differentialquotienten übertragen:

24 Der Differentialquotient ist ungefär gleic dem Verältnis der Änderung der Funktionswerte zur Änderung der Argumente in der Näe von, der mittleren Änderung der Funktion pro Argumenteineit in der Näe von, dem Faktor, mit dem die Änderung der Argumente in der Näe von multipliziert werden muss, um die Änderung der Funktionswerte zu eralten. All dies kann dann so geseen werden, wenn die Differenz von z und ser, ser klein ist. Eine neue Hausübung gibt es nict, da erst die vergangene vervollständigt bzw. erst bearbeitet werden muss Bilder von Funktionsgrapen (zente Eineit Die Aufgaben wurden zum größten Teil nacgeolt, einige Scwierigkeiten waren jedoc bei der Berecnung des Differentialquotienten zu finden (Feler beim Herauseben, beim Kürzen, Vorzeicenfeler u. dgl.. Als Vorbereitung für diese Unterrictseineit wurden die Bilder der Funktionsgrapen der Aufgaben und auf Overead-Folie kopiert um so anand der Projektion versciedene Beispiele zur Deutung der Tangentensteigung an den Grapen einer Funktion darzustellen. Zuvor wurden die Aufgaben und für die Scüler kopiert. 30 Aufgabe 1.63: Die Höe (t eines lotrect nac oben geworfenen Steines zum Zeitpunkt t sei durc die Kurve in Abb. 7 gegeben (s(t in Meter, t in Sekunden. a Was bedeutet die Steigung der Funktion an einer Stelle t pysikalisc? b Entnimm der Figur, wann der Betrag der Gescwindigkeit am größten, wann am kleinsten ist! c Wie groß ist ungefär die Gescwindigkeit zu den Zeitpunkten 1 und 2? d In welcem Bereic ist die Gescwindigkeit positiv, in welcem negativ, wann gleic Null? 31 Aufgabe 1.64: In Abb. 8 ist der Treibstoffverbrauc einer bestimmten Autotype in Abängigkeit von der Gescwindigkeit für versciedene Gänge dargestellt. a Was bedeutet die Steigung der Kurve an einer Stelle t? b Es wird mit 50km/ gefaren. Bestimme durc möglicst genaue Messung die Änderungsraten des Treibstoffverbraucs, falls im zweiten, dritten bzw. vierten Gang gefaren wird! c Es wird im vierten Gang gefaren. Bewirkt eine Gescwindigkeitseröung von 70 auf 71km/ eine größere Änderung des Treibstoffverbraucs als eine Gescwindigkeitseröung von 100 auf 101km/? 32 Aufgabe 1.55: Durcfärt ein Auto der Masse m eine kreisförmige Kurve vom Radius r, so ist seine Fliekraft gegeben durc F mv/r (m in kg, r in m, v in m/s. Wir betracten ein Auto der Masse m 1200kg, das eine Kurve vom Radius r 100m durcfärt. a Gib eine Termdarstellung der Funktion F: r F(r an! b Das Auto eröt seine Gescwindigkeit. Gib eine Formel für die mittlere Änderungsgescwindigkeit der Fliekraft im Gescwindigkeitsintervall [v,z] an! c Gib eine Formel für die Änderungsgescwindigkeit der Fliekraft bei der Gescwindigkeit v an! d Wie scnell ändert sic die Fliekraft bei einer Gescwindigkeit von 100km/? Deute das Ergebnis auf drei versciedene Arten! (Vergiss nict, die Gescwindigkeit zuerst in m/s umzurecnen! 33 Aufgabe 1.62: Ser große astronomisce Entfernungen misst man äufig in Megaparsec. Ein Megaparsec (Mpc ist die Länge des Weges, den das Lict in 3,24 Millionen Jaren zurücklegt. Der amerikanisce Astronom Edwin Hubble at in den zwanziger Jaren des vorigen Jarunderts erausgefunden, dass das Weltall sic aus- Seite 24

25 Anand der Aufgabe 1.62 wurden die versciedenen Deutungen des Differentialquotienten diskutiert. Die Aufgabenstellung bzw. der Hintergrund der Aufgabe wurde von Seiten einiger Scüler als ser interessant und faszinierend empfunden. Die Fragestellungen der Teilaufgaben a, b und c ermöglicte die Erfarung des Erkennens der versciedenen Deutungen anand eines Beispiels aus der Astronomie. Außerdem wurde den Scülern klar, dass zur Bewältigung dieser Aufgabe nict gerecnet werden musste. Die Aufgabe 1.55 wurde zur Hausaufgabe erklärt. Da nun die Deutung des Differentialquotienten anand der Aufgabe 1.62 in der Teorie erfolgte, wurden nun Funktionsgrapen als Deutungsilfe erangezogen: Das Situation in der Aufgabe 1.63 ist leict vorstellbar, trotzdem wurde erst nac einigen falscen Antworten klar, dass die Steigung der Tangente an die Funktion an einer bestimmten Stelle t ier als Momentangescwindigkeit im Zeitpunkt t gedeutet werden kann. (Einige ser falsce Antworten waren etwa: Höe, Weg oder Rictung. Die Teilaufgabe b war wiederum kein Problem, nur mit der negativen Steigung atte so mancer seine Scwierigkeit: Da der Weg des Steins in die umgekerte Rictung erfolgen müsse, nimmt man den Betrag der Steigung als Gescwindigkeit an. So in etwa lautete die Erklärung des Lerers. Bei der Teilaufgabe c wurde mer oder weniger genau gescätzt. (Eine Bleistift-Grapitmine diente auf der Overead- Folie als Tangentenersatz. Teilaufgabe d stellte kein Problem dar, aber erst ier wurde mancen Scülern der Funktionsgrap erst rictig klar. Die Verwertung matematiscer Modelle im Hinblick auf den Differentialquotienten wurde anand der Aufgabe 1.64 deutlic. Obwol der Funktionsgrap an sic leict zu deuten war, erscien die Bedeutung des Differentialquotienten zunäcst nict ser sinnvoll, was anand der Teilaufgabe a zu erkennen war. Erst nac der Erinnerung des Lerers, was denn die Grundbedeutung des Differential- wie auc des Differenzenquotienten sei, kam der Begriff des Änderungsmaßes und somit auc die rictige Antwort ins Spiel. Somit waren die Teilaufgaben b und c dann auc one größere Scwierigkeiten zu bewältigen. dent. Fast alle Sternensysteme bewegen sic von uns fort, und zwar umso scneller, je entfernter sie sind. Die Ausbreitungsgescwindigkeit v im Abstand r von der Erde ist näerungsweise gegeben durc v 100r (v in km/s, r in Mpc. Beantworte die folgenden Fragen one zu recnen: a Wie groß ist die Änderungsrate der Ausbreitungsgescwindigkeit im Abstand r von der Erde? b Wievielmal scneller wäcst die Ausbreitungsgescwindigkeit v als der Abstand r von der Erde? c Um wie viel nimmt die Ausbreitungsgescwindigkeit pro Megaparsec zu? Seite 25

26 Dementsprecend sollten nun als Hausübung die Aufgaben 1.65 (BFM und BFM bearbeitet werden Ableitungsregeln So einfac get das!? (elfte Eineit Die Hausübungsbesprecung gestaltete sic rect ereignisreic, da mance die Aufgabe 1.55 als zu einfac eracten und daer gar nict bearbeiteten. Die mündlice Erarbeitung dieser Aufgabe war unproblematisc, da sowol das Aufstellen der Funktion als auc das Bilden des Differenzen- und Differentialquotienten für einige Scüler bereits langweilig war. Interessanter war jedoc das Interpretieren und Ablesen an den Grapen. Bei Aufgabe BFM fürte lediglic das Ablesen der Spannungsänderung aufgrund der untersciedlicen Eineiten auf beiden Acsen zu Problemen. Bei Aufgabe BFM wurde zunäcst die Rictigkeit des Funktionsgrapen in Zweifel gezogen. Im Weltall ist es doc kalt, da at s doc nict über 1000 C. Ein kleiner Ekurs zum Tema Aufbau der Erdatmospäre (insbesondere der Termospäre bracte offentlic ein wenig mer Klareit. Kritisces Betracten des Bildes eines Funktionsgrapen war ier sicerlic dies wäre positiv anzumerken gegeben. Auc ier war das Ablesen aufgrund der untersciedlicen Eineiten ein kleines Problem, aber auc dieses konnte in weiten Bereicen gelöst werden. Aufgrund aller bereits errecneten Differentialquotienten (ersten Ableitungen sollte nun in Partnerarbeit ein möglices Scema des Ableitens gefunden werden. Einige 34 Aufgabe 1.65: Der Zeigeraussclag eines Voltmeters in Abängigkeit von der angelegten Spannung ist in Abb. 9 dargestellt. a Um wie viel Grad steigt der Zeigeraussclag zwiscen 0 und 1 Volt bzw. 6 und 7 Volt? b Nimmt der Zeigeraussclag mit zunemender Spannung zu oder ab? c Die Änderungsrate des Zeigeraussclags bezüglic der Spannung bezeicnet man als Empfindlickeit des Voltmeters. Nimmt die Empfindlickeit des Voltmeters mit steigender Spannung zu oder ab? d Bei wie viel Volt ist die Empfindlickeit des Voltmeters bezüglic der Spannung am größten bzw. am kleinsten? 35 Aufgabe BFM3 1.51:In Fig ist die mittlere Temperatur T der Atmospäre in Abängigkeit von der Höe für einen bestimmten Ort der Erde eingezeicnet. T ( eißt Temperaturgradient in der Höe. Entnimm aus der Figur durc möglicst genaue Messung jene Höen, in denen der Temperaturgradient a 6, b 3, c 0 beträgt! (Hinweis: Beacte die untersciedlicen Eineiten auf beiden Acsen! Seite 26

27 Beispiele aus scon mit Hilfe des Grenzwertes gefundenen ersten Ableitungen sollte eine allgemeine Regel für Polynomfunktionen gefunden werden. Die folgende Ableitungsregel wurde scnell gefunden: f( n f ( n n 1 (Eine Gruppe macte folgenden interessanten Feler: f ( ( n n 1 Bei den Sonderfällen f( f ( und f( 1 0 f ( kam zur Veranscaulicung wieder das Änderungsmaß ins Spiel: Die lineare Funktion f( könne als Änderungsmaß nur den Wert 1 aben, da eine bei einer linearen Funktion nur eine konstante Änderung der Fall sein könne (besonders gilt ier: Differenzenquotient Differentialquotient an jeder Stelle der linearen Funktion, die konstante Funktion f( 1 abe ingegen an jeder Stelle die Änderung 0, die Steigung der Funktion ist an jeder Stelle k 0. Einige Aufgaben (Zitat eines Scülers: So einfac get das!? Und ic recne da mit dem Limes stundenlang erum...! ierzu (zur Einübung wurden in der Unterrictsstunde gerecnet, einige als Hausübung gegeben.an diesem Projekt war eine siebente Klasse Aufbaugymnasium beteiligt. Diese bestet aus act Scülern und elf Scülerinnen, wobei zwei Scüler den Status außerordentlicer Scüler aben und an dem Projekt nur am Rande mitgewirkt aben. Die Klasse ist, was die sculiscen Leistungen betrifft, als durcscnittlic einzustufen, wobei wenige Scülerinnen und Scüler besonders gut und auf der anderen Seite ebenfalls wenige besonders scwac einzustufen sind. Mitunter ist die Klasse nict ser leict motivierbar, was auc im Matematikunterrict zu erkennen ist. Seite 27

28 4 BEMERKUNGEN UND AUSWERTUNGEN 4.1 Die Auswal der Aufgaben Bei der Auswal der Aufgaben, die im Unterrict bzw. als Hausübung zu bearbeiten waren, standen einerseits Überlegungen im Vordergrund, die Alltagsbezüge und wenn möglic Veranscaulicungen beinalten sollten, andererseits sollte die Abfolge der Aufgaben auc abwecslungsreic sein. Weiters sollte das Interpretieren von Grapen, das Deuten von Begriffen, das Begründen von Lösungsansätzen, das Reflektieren über die matematiscen Inalte sowie die spraclice Seite bei Erklärungen und Kommentierungen von Bezeicnungen und Recengängen gefördert werden. 4.2 Der Besuc einer Matematikdidaktikvorlesung im Ramen des Projekts Ein glücklicer Zufall Die didaktisce Einfürung in die Differentialrecnung war im Wintersemester 2003/04 das Tema einer Vorlesung von Univ. Prof. Dr. Günter Malle am Institut für Matematik der Universität Wien. Einem vorer angekündigten Besuc dieser Vorlesung von Scülerinnen und Scülern der 7G des Don Bosco-Gymnasiums Ebreicsdorf-Unterwaltersdorf stand Prof. Malle ser positiv gegenüber. Es sollte dies einerseits eine Ergänzung zum Unterrict, andererseits auc ein erstes Kennenlernen des Universitätsbetriebs mit anscließendem Gespräc mit Prof. Malle sein. Am Nacmittag des 25. November 2003 fand dann diese Ekursion statt, bei der fast alle Scülerinnen und Scüler dieser Klasse dabei waren. Das gerade im Matematikunterrict beandelte Tema konnte so von einer etwas anderen Perspektive erfaren werden. Der Zufall wollte es so, dass die Unterrictssequenzen des Projekts zeitlic mit dem Inalt der besucten Vorlesung tematisc ziemlic eakt übereinstimmten. Das Projekt wurde infolgedessen für die Scülerinnen und Scüler autnaer. Deren verstärkte Einbindung sollte der Motivation dienen, auc bei den Absclusstests ernstaft mitzumacen Reaktionen der Scülerinnen und Scüler Die Reaktionen der Scülerinnen und Scüler insictlic des Besucs einer Vorlesung an der Universität waren zum größten Teil positiv. Einige meinten aber auc, der Besuc ätte für sie nicts gebract, da man den Stoff in dieser Form onein nict lernen müsse; somit ätte sic aufzupassen nict wirklic gelont. Seite 28

29 Ein paar scriftlice Rückmeldung von Scülerinnen und Scülern seien ier angefürt: Also, ic (wir denken, dass diese Ekursion ser lerreic war, da man sic ein Bild über die Lernmetoden und das Arbeitsklima an einer Universität macen konnte. Weiters glaube ic, dass durc diese Vorarbeit das Stoffgebiet leicter zu versteen war. Mir at der Besuc in der Universität gut gefallen. Ic denke auc, dass es ser günstig war, vor der Scularbeit inzufaren. Der Besuc der Vorlesung at mir persönlic nicts gebract, da ic nict vorabe am matematiscen Institut zu studieren. Dieser Ausflug in die Uni war für mic ser interessant, jedoc war es ser scwierig immer den Erklärungen zu folgen. Für die Scularbeit at es mir ein wenig geolfen. Ic finde, dass dieser Ausflug für mic weniger braucbar, jedoc rect interessant war, da genau das besprocen wurde, was wir scon im Unterrict gelernt aben. Weiters konnte ic mir auc ein Bild von einer Vorlesung macen und deren Tafellösctecnik. Die Ekursion in die (Mate-Uni at mic ser beeindruckt. Es at mir ein wenig Angst eingeflößt, da es ja einface Matematik war (Matematik für Scüler! und es ab und zu scwer war, das Gesceen mitzuverfolgen. Ic war erlic überrasct, dass es auc so kleine Hörsäle gibt, weil ic eigentlic immer mit einem Hörsaal in der Uni einen riesigen, leict ansteigenden Raum verbunden abe. Außerdem abe ic von Erzälungen geört, dass es ser scwer ist, bei einer Vorlesung alles genau mitzuscreiben, aber der Tag in der Uni at mic überzeugt, dass es auc anders sein kann. Der Besuc im Matematik-Institut war sinnvoll, um sic ein Bild von der Uni zu macen um das Unterrictsgesceen dort mitzubekommen. Ic finde, es war eine ser gute Idee, an einer Vorlesung teilzunemen, da es wirklic interessant war mitzuerleben, wie so etwas abläuft und man einen gewissen Einblick in das Ganze bekommt. Außerdem erwartet das sicerlic viele von uns und da das Tema zu unserem damaligen Matematikunterrict geörte, konnte man auc der Vorlesung folgen. Ein Dankescön an Prof. Salzger und Prof. Malle, die diesen Besuc ermöglicten! 4.3 Die Ergebnisse der Absclusstests Der Test zum Differenzenquotienten Definitionen und einface Recenaufgaben stellten für den Großteil der Klasse keine Scwierigkeiten dar. Das Angeben von Termdarstellungen mit konkreten Zalen war etwas scwieriger, mit Variablen war das Problem noc größer. Seite 29

30 So war die scwierigste Aufgabe (fünf völlig bzw. fast rictige Antworten, zwölfmal eine falsce oder keine Antwort für die Scülerinnen und Scüler die folgende: Gib eine Termdarstellung einer Funktion f und ein Intervall [a, b] an, sodass der Differenzenquotient von f in diesem Intervall negativ ist, aber f in diesem Intervall nict streng monoton fallend ist! Zeicne den Grapen von f! Recenfeler sowie falsce Funktionsterme fürten vor allem zu diesem Ergebnis. Als einfacste Frage (bis auf eine Ausname nur völlig bzw. fast rictige Antworten wurde die folgende aufgefasst: Was verstet man unter einem Differenzenquotienten? Der Test zum Differentialquotienten Ebenso wie im vorangegangenen Test waren ier Definitionen und einface Recenaufgaben zum größten Teil keine großen Scwierigkeiten. Bei Fragen zu Deutungen wurde oft nur eine Deutung angegeben. Dies deutet daruf in, dass sic die Scülerinnen und Scüler oft nur eine Version eingeprägt aben, mit der sie arbeiten. Das Interpretieren von Grapen stellte für diejenigen, die die jeweilige Frage bearbeitet aben, keine großen Probleme dar, die anderen aben die Frage erst gar nict beantwortet; falsce Antworten gibt es ierbei kaum. Zudem fällt auf, dass Aufgaben, die aus viel Tet bestanden, von vielen ganz ausgelassen wurden. Die Frage, die von fast allen Scülerinnen und Scülern ausgelassen wurde (nur eine fast rictige und eine falsce Bearbeitung, sonst keine Bearbeitung ierzu, war die folgende: Wenn ein Stein ins Wasser geworfen wird, get vom Aufprallpunkt eine kreisförmige Welle aus. Die Wellenfront ist daer ein Kreis mit wacsendem Radius r. Es sei U(r der Umfang und A(r der Fläceninalt dieses Kreises. a Was verstet man unter der mittleren Änderungsrate des Umfangs bezüglic des Radius im Radiusintervall [r,z]? Was unter der Änderungsrate des Umfangs bezüglic des Radius beim Radius r? b Was verstet man unter der mittleren Änderungsrate des Fläceninalts bezüglic des Radius im Radiusintervall [r,z]? Was unter der Änderungsrate des Fläceninalts bezüglic des Radius beim Radius r? c Stelle eine Formel für die Änderungsrate des Umfangs bezüglic des Radius auf und zeige, dass diese Änderungsrate konstant ist! d Stelle eine Formel für die Änderungsrate des Fläceninalts bezüglic des Radius auf! Ist diese Änderungsrate auc konstant? Ist sie zum Radius direkt proportional? Als einfacste Frage (bis auf eine Ausname nur völlig bzw. fast rictige Antworten wurde die folgende aufgefasst: Was verstet man unter einem Differentialquotienten?Ist der Differentialquotient dasselbe wie der Differenzenquotient? Wenn nein, wann sind die beiden wenigstens ungefär gleic? 4.4 Eine persönlice Gesamteinscätzung Bezüglic der Grundvorstellungen der beiden Begriffe Differenzenquotient und Differentialquotient lässt sic erkennen, dass die Scülerinnen und Scüler zum Großteil zumindest eine Vorstellung zu den beiden Termini zur Verfügung aben, die inen als Grundlage für weitere Überlegungen dient. Den meisten Scülerinnen und Scülern merere Deutungen nacaltig zu vermitteln, konnte nur ansatzweise erreict Seite 30

31 werden. Außerdem ist festzustellen, dass längere Angabetete abscreckend wirkten. Diese Sceu vor dem Einlesen in eine Aufgabe muss noc genommen werden. Ansonsten kann resümiert werden, dass diese genaue Bescäftigung mit den Grundlagen der Differentialrecnung im Endeffekt von großem Vorteil war, da ierdurc weiterfürende Unterkapitel in diesem Stoffgebiet (z. B. Funktionsanalysen, Etremwertaufgaben scneller beandelt werden konnten als üblic. Seite 31

32 5 KONSEQUENZEN Abscließend kann konstatiert werden, dass der Zugang zu diesem Kapitel mittels Grundvorstellungen von den meisten Scülerinnen und Scülern als durcaus positiv aufgefasst wird. Durc das Anknüpfen an bereits vorandenes Wissen aus dem Alltag und aus der Matematik findet eine Vernetzung statt, die als Resultat das Kennen der beiden Begriffe und das Umgeen-Können mit inen nac sic ziet. Grundvorstellungen können auf jeden Fall als Fundament der Grundbildung bezeicnet werden, das Zugänge zu neuen Begriffen ereblic erleictert. Die Zeit, die man sic als Lerperson für das Erarbeiten von Grundvorstellungen nemen muss, felt zwar mitunter beim Festigen von Recenfertigkeiten; da zu den Begriffen aber eine Vorstellung mit einem matematiscen Inalt verbunden wird, profitiert davon jedoc die Allgemeinbildung. Seite 32

33 6 LITERATUR BÜRGER, H. et al.: Matematik Oberstufe 3. Arbeitsbuc für die 7. Klasse der AHS. Hölder-Picler-Tempsky: Wien IFF (Hrsg.: Didaktisce Strukturierung für den Unterrict. IMST-S1 Scwerpunktprogramm Grundbildung. Worksop I, Yspertal (6. November 2003 IFF (Hrsg.: Ein dynamisces Konzept für matematisc-naturwissenscaftlice Grundbildung (Handreicung für die Prais. IMST-S1 Scwerpunktprogramm Grundbildung (25. August 2003 MALLE, G.: Differenzenquotient und Differentialquotient. Ein Lergang zur Grundbildung. o. J. MALLE, G.: Grundvorstellungen zum Differenzenquotienten (zur mittleren Änderungsrate. o. J. MALLE, G.: Grundvorstellungen zum Differentialquotienten (zur Änderungsrate. o. J. ttp://imst.uni-klu.ac.at/materialien/_design/innovation_kurz.dot (25. April 2004 ttp://imst.uni-klu.ac.at/materialien/_design/innovation_lang.dot (25. April 2004 ttp:// (27. April 2004 Abbildungen aus: BÜRGER, H. et al.: Matematik Oberstufe 3. Arbeitsbuc für die 7. Klasse der AHS. Hölder-Picler-Tempsky: Wien MALLE, G.: Differenzenquotient und Differentialquotient. Ein Lergang zur Grundbildung. o. J. Seite 33

34 7 ANHANG 1.SCHULARBEIT (Gruppe A 7G Montag, 27.Oktober a Gegeben sei die komplee Zal z 2 5i. (α Erläutere die Merkmale von Binomial- und Polardarstellung einer kompleen Zal! (β Berecne z³ auf zwei Arten und gib das Ergebnis in jenen beiden Darstellungen an! (γ Berecne alle dritten Wurzeln ζ i aus z in C und gib die Ergebnisse in der Polardarstellung an! [ 8 P.] b Stelle alle vierten Eineitswurzeln in der Gaußscen Zalenebene dar! [ 2 P.] 2 Gegeben sei die Gleicung ³ (α Wie viele Lösungen der Gleicung in C sind öcstens zu erwarten? Begründe! (β Ermittle mit dem TI-82 eine reelle Lösung der Gleicung und berecne die restlicen mittels Polynomdivision! (γ Screibe das Polynom ³ als Produkt von Linearfaktoren an! [ 8 P.] 3 Der Differenzenquotient ist ein wictiges Maß bei der Analyse von Funktionen. (α Definiere den Differenzenquotienten allgemein! (β Gib mindestens zwei Deutungen des Differenzenquotienten an! (γ Berecne den Differenzenquotienten von f( im Intervall [1;5]! [ 6 P.] 4 Gegeben sei die Funktion f( (α Erläutere den Begriff der Sekantenfunktion s einer reellen Funktion f allgemein! (β Ermittle eine Termdarstellung der Sekantenfunktion s( von f( im Intervall [0;2]! (γ Stelle den Grapen von f( auf dem TI-82 dar, skizziere den Grapen im Heft und zeicne darauf zwei Punkte A(a f(a und B(b f(b ein, durc die eine Sekante mit positiver Steigung verläuft! [ 8 P.] VIEL SPASS! Seite 34

35 2.SCHULARBEIT (Gruppe A 7G Freitag, 5.Dezember Gegeben sei die Funktion f( 3 2. (α Stelle eine Formel für den Differentialquotienten f ( laut Definition auf! (β Berecne f (3 als Grenzwert des Differenzenquotienten! (γ Ermittle eine Termdarstellung der Tangentenfunktion t( von f( bei 0 3! [ 8 P.] 2 Die Höe (in m eines lotrect nac oben geworfenen Steines nac t Sekunden sei durc die Funktion s(t 4t 20t gegeben. (α Berecne die Gescwindigkeit des Steines zum Zeitpunkt t 0 2! (β Zu welcem Zeitpunkt ist die Gescwindigkeit des Steines v 0? (γ Übersetze diese Gleicungen in die Alltagssprace: s(1 16; s (1 12 [ 8 P.] 3 Der Grap einer Polynomfunktion f zweiten Grades abe bei 0 3 eine lokale Etremstelle. Die Tangente an den Grapen im Punkt P(5 0 sei zu der Geraden g: 4 y 1 parallel. Ermittle eine vollständige Funktionsgleicung von f! [ 8 P.] 4 Der Kesselwandferner im Ötztal ist ein Gletscer, der sic merere Jarzente lang stark zurückgezogen at. Vor einigen Jaren ist er wieder vorgestoßen, d.. seine Länge at zugenommen. Aus Trendberecnungen vergangener Beobactungen aben Geopysiker und Meteorologen der Universität Innsbruck folgende Funktionsgleicung ergeleitet, die die Länge des Kesselwandferners (in m für den Zeitraum vom 1. Jänner 1922 bis zum 1. Jänner 1986 näerungsweise angibt: l (t ,45 (1966 t Für t ist die jeweilige Jareszal einzusetzen. (α Berecne, welce Länge der Gletscer am 1. Jänner 1936 atte! (β Berecne, wie groß die mittlere absolute Längenänderung im Zeitraum zwiscen dem 1. Jänner 1936 und dem 1. Jänner 1986 war! (γ Ermittle aus dem Grapen von l (t, in welcem Jar der Gletscer faktisc keine Ausdenung atte und recne mit Hilfe der Differentialrecnung nac! [ 8 P.] ALLES GUTE! Seite 35

36 Test zum Differenzenquotienten 1. Was verstet man unter einem Differenzenquotienten? 2. Gegeben sei eine reelle Funktion f. a Screibe die mittlere Änderungsrate von f im Intervall [2;7] an! b Wie groß ist diese mittlere Änderungsrate, wenn f( 2 ist? c Deute das Ergebnis auf drei versciedene Arten! 3. Zeicne den Grapen der Funktion f mit f( im Intervall [0;4]. a Um wie viel wäcst f(, wenn von 0 auf 4 eröt wird? b Um wie viel wäcst f( im Mittel, wenn von 0 auf 4 eröt wird? 4. Ein Auto färt in eine Kurve. Wir nemen an, dass die auf das Auto wirkende Fliekraft durc die Formel F(v 15 v 2 gegeben ist, wobei v die Gescwindigkeit in m/s und F(v die Fliekraft in Newton ist. Das Auto eröt seine Gescwindigkeit in der Kurve von 22m/s auf 28m/s. In welcem Verältnis stet dabei die Fliekrafteröung zur Gescwindigkeitseröung? 5. Das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge s ist gegeben durc V(s s 3. Die Kantenlänge wird von 1 auf 10 vergrößert. Wievielmal stärker wäcst dabei das Volumen als die Kantenlänge? 6. Gib Termdarstellungen von zwei versciedenen Funktionen an, die im Intervall [0;2] den Differenzenquotienten 1 aben! 7. Gib eine Termdarstellung einer Funktion f und ein Intervall [a,b] an, sodass der Differenzenquotient von f in diesem Intervall negativ ist, aber f in diesem Intervall nict streng monoton fallend ist! Zeicne den Grapen von f! 8. Gib jeweils ein Intervall an, in dem der Differenzenquotient der nebensteend abgebildeten Funktion a positiv, b negativ, c gleic 0 ist. Wie groß ist der Differenzenquotient jeweils? 9. Gegeben sei die lineare Funktion f mit f( 3 2. Wie groß ist der Differenzenquotient dieser Funktion in einem beliebigen Intervall [a,b]? Beantworte die Frage zuerst one Recnung und recne dann nac! 10. Sei f( Zeicne den Grapen von f im Intervall [0;4]. Zeicne die Sekantenfunktion s im Intervall [1;4] ein und gib eine Termdarstellung von s an! Test zum Differentialquotienten 1. a Was verstet man unter einem Differentialquotienten? b Ist der Differentialquotient dasselbe wie der Differenzenquotient? Wenn nein, wann sind die beiden wenigstens ungefär gleic? 2. Ist die mittlere Gescwindigkeit in einem Zeitintervall dasselbe wie die Gescwindigkeit zu einem Zeitpunkt? Wenn nein, erläutere den Unterscied! 3. Sei f( 1. Berecne f (2 und deute das Ergebnis auf drei versciedene Arten! 4. Wenn ein Stein ins Wasser geworfen wird, get vom Aufprallpunkt eine kreisförmige Welle aus. Die Seite 36