Differenzierbarkeit von Funktionen

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1 Differenzierbarkeit von Funktionen ist ein fundamentales Konzept zur a Beschreibung von Naturvorgängen: Änderungsrate, Momentangeschwindigkeit, Beschleunigung Differentialgleichungen als Bewegungsgleichungen b Untersuchung von globalen Eigenschaften: die Ableitung zeigt, ob eine Funktion monoton, konvex... ist und wo Extremwerte liegen. Nachfolgend: nur Funktionen mit reellem Definitionsbereich D D C Vorlesung Funktionentheorie Definition. : Sei I R ein Intervall, x I ein innerer Punkt und f : I C f differenzierbar in x I : fx fx lim x x existiert in C Schreibweisen: f x, df dx x, f x, df dx x...

2 . DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 2 Bemerkungen: / fx fx x x heißt Differenzenquotient bei x. 2 Ersetzt man x durch x + h, so sieht man: f x = lim h 0 h fx + h fx falls existent h fx +h fx auf Graph f. = Steigung der Sekante durch die Punkte x, fx, x +h, fx +h x 0 f x 0 + h Beispiele: fx = x n, n N, x R x n x n = x n + x n 2 x x x n 2 + x n x x n x n Also: dx n dx x = n x n 2 fx = ln x, x > 0 nach Satz 8.4: h ln h h h > 0

3 . DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 3 also: ln x ln x = ln x x = falls x>x /x/x ln x ln x x x = x ln x ln x x es folgt: lim x x ln x ln x = x und genauso: lim x x ln x ln x = x zusammen: d dx lnx = x x > 0 3 fx = e c x, c C, x R in Satz 8.6 wurde gezeigt: lim y 0 y ey = sei a R beliebig = Diff.quot. von f bei a = / fa + h fa h = e c a+c h e c a / h = / e c a e c h h = c e c a ec h c h c e c a h 0 Also: d dx ec x = c e cx Spezialfälle: i c = = d dx ex = e x ii c = i = d dx cis x = i cis x. Da mit f = Re f + i Im f auch Re f, Im f diff bar sind, folgt: cos = sin sin = cos 4 x x ist diff bar an jeder Stelle a > 0, denn x a x a = x+ a 2 a. x a

4 . DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 4 In 0 ist x x nicht diff bar, da für x > 0 : x x = x x 0 Bem.: 0 ist zwar kein innerer Punkt des Definitionsbereiches, aber dann definiert man f x eben als einseitigen Limes, falls existent vgl. Def..2 5 fx := x, x R, ist diff bar an jeder Stelle x 0 mit f x = {, x < 0, x > 0. In 0 existiert keine Ableitung: x x divergiert bei x 0. Satz. : f diff bar in x = f stetig in x Umkehrung falsch! Bsp. 5 in x = 0 Beweis: Sei a := f x = δ > 0 mit fx fx a x x δ, x + δ = fx fx + a x x, und da die rechte Seite verschwindet bei x x, folgt lim fx = fx, x x also Stetigkeit von f bei x. Differenzierbarkeit von f bei x bedeutet, dass f lokal bei x gut linear approximierbar ist. Wir wollen das präzisieren:

5 . DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 5 Satz.2 : f : I C ist in x differenzierbar es gibt eine affin lineare Funktion F : R C, so dass mit Rx := fx F x gilt : lim x x Rx = 0, Rx = 0 In diesem Fall gilt: F x = f x x x + fx Beweis: = klar definiere F wie oben und benutze die Def. = : Wir können schreiben F x = ax x + b mit a, b C. Aus Rx = 0 folgt fx = F x = b, also { } 0 = lim x x Rx = lim fx fx x x a = a = fx fx lim x x, d.h. f ist in x diff bar mit f x = a. Bem.: die affin lineare Approximation F ist - wenn existent - eindeutig und sogar optimal in dem Sinn, dass der Rest R schneller gegen 0 geht als x. Definition.2 : einseitige Ableitungen Sei [a, b] Def f. f +a := lim h 0 h f a := lim h 0 h Man setzt fa + h fa fb + h fb rechtsseitige Ableitung, linksseitige Ableitung,

6 . DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 6 vorausgesetzt die Grenzwerte existieren. Entsprechend kann man für innere Punkte x a, b einseitige Ableitungen f ±x definieren. Bem.: x sei ein innerer Punkt; f ist in x diff bar f ±x existieren und sind gleich. In diesem Fall ist f x = f ±x. Beispiel: Sei fx := x f +0 = lim h 0 h h = und f 0 = lim h 0 h h =. Satz.3 : Ableitungsregeln Seien f, g differenzierbar an der Stelle a. Dann sind f ± g, f g und /f falls fa 0 ebenfalls in a differenzierbar, und es gilt: f ± g a = f a ± g a, f g a = f a ga + fa g a, /f a = f a/f 2 a. Beweis: h h { } fa + h ga + h fa ga { } fa + h fa ga + h + h = { } ga h ga fa h 0 f a ga + g a fa und h h 0 { } fa+h fa / f a f 2 a. = h { }/ fa fa + h fa fa + h

7 . DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 7 Beispiele: f, g diff bar in a, ga 0 = beachte: f g a = g 2 a f g = f g f a ga fa g a 2 Polynome P x = n a k x k sind überall diff bar, P x = n k=0 rationale Funktionen auf ihrem Definitionsbereich. k= ka k x k, ebenso 3 tan x = sin cos x = cos 2 x = + tan 2 x, cot x = / tan x = sin 2 x = cot 2 x 4 cosh = sinh, sinh = cosh, tanh = tanh 2, coth = coth 2. Zum Beweis der sog. Kettenregel benötigen wir noch eine andere Beschreibung der Differenzierbarkeit. Satz.4 : f diff bar in x es gibt eine in x stetige Funktion r mit fx = fx + rx x x. Beweis: = setze f x, x = x rx := fx fx, x x fx fx = es gilt = rx für x x, und Stetigkeit von r in x bedeutet Existenz von lim rx =: a. Dann ist f natürlich diff bar in x mit f x = a. x x

8 . DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 8 Satz.5 : Kettenregel Seien f : I R und g : J R. Es gelte: x I, fx J 2 g f sei auf einer Umgebung von x erklärt 3 f x und g fx existieren. Dann ist g f in x diff bar mit g f x = g fx f x. Beweis: Es gibt einen einfachen Beweis im Fall f x 0 = fx + h fx für alle h 0, h genügend klein { } Also: h g fx +h g fx = g fx + h g fx f x + h f x }{{ } h 0 g f x f x + h fx h }{{} h 0 f x Für f x = 0 kann man so nicht argumentieren, in diesem Fall ist fx + h = fx in beliebiger Nähe von x möglich. Wir benutzen Satz.4: Schreibe gy = g fx + Ry y fx, R stetig bei fx fx = f x + rx x x, r stetig bei x = g fx = g fx + R fx fx fx = g fx + R fx rx } {{ } =: Rx x x R ist stetig bei x, Satz.4 liefert Differenzierbarkeit von g f bei x. Offenbar ist g f x = R x = R fx r x = g fx f x, denn trivialerweise ist R fx = g fx, r x = f x.

9 . DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 9 Beispiele: zur Kettenregel: a R : f : 0, x x a fx = e ln x a = e a ln x = Ψϕx mit Ψy = e ay, ϕx = ln x jeweils diff bar = d dx xa = Ψ ϕxϕ x = a e a ln x x = a x xa = d dx xa = a x a 2 f diff bar in x = d dx efx x = f x e fx. Hat f : I R eine Umkehrfunktion f, so gilt f f = Id, also falls f diff bar in y : = f f y = f f y f y, / so dass f y = f x, x = f y. Dies motiviert Satz.6 : Diff barkeit der Umkehrfunktion Sei f : I R injektiv, diff bar in a mit f a 0. / Ist g := f stetig in b := fa, so auch diff bar mit g b = f a. Bemerkungen: f stetig auf I und streng monoton = g stetig Satz 9.4 so dass man in diesem / Fall die Stetigkeit von g in b schon hat. 2 f a 0 = f injektiv nahe bei a 0, x = 0 Gegenbeispiel: fx = x + x 2 cos π x, x 0 = f 0 = Man muß schon etwas mehr über f wissen, um lokale Injektivität zu schließen.

10 . DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 0 Beweis: Satz.4 = fx = fa + rx x a mit r stetig in a, ra = f a ersetze x = gy = y = fa + r gy gy a, y Dg = fi r f ist stetig in b nach Vor. an g, r gb = f a 0 / = r g ist stetig in b, also: gy = a + y fa = gb + rgy rgy y b Satz.4 = g diff bar in b, g b = rgb = f a. Beispiel: d dx arctan x =? tan : π 2, π 2 R streng wachsend, an jeder Stelle x diff bar mit x 2 tan = + tan x > 0 Satz 9.4 = arctan stetig; also sind alle Voraussetzungen erfüllt x arctan = tan y, y = arctan x tan =+tan = 2 arctan x = +x 2, x R Übung: Berechnung der Ableitung von arcsin, arccos, ar sinh... Definition.3 : f : I C heißt differenzierbar auf I : f ist an jeder Stelle x I diff bar. Dann ist die Ableitungsfunktion f : I C definiert f stetig differenzierbar auf I : f : I R stetig 2 f : I C sei diff bar auf I. Ist f dann in x diff bar, so heißt f x die 2 te Ableitung von f in x. Schreibweise: f x, d2 f dx 2 x, d2 f x dx 2

11 . DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 3 rekursiv: f 0 : I R, f 0 := f f n := Ableitungsfunktion von f n, n wenn existent!, f n = n te Ableitung f beliebig oft differenzierbar f n existiert für alle n 4 f : I R n-mal stetig diff bar auf I: f,..., f n existieren auf I und sind stetig. Bezeichnungen: C 0 I = C V.R. der stetigen f : I C C n I = C V.R. der n mal stetig diff baren f : I C C I = C V.R. der beliebig oft diff baren f : I C offenbar: C I = n=0 C n I. Beispiele: Es gibt Funktionen f : I R, die zwar stetig sind, aber nirgendwo differenziert werden können Konstruktion: gx = periodische Fortsetzung von x für x / g hat Periode : g x + = g x g n x := 4 n g4 n x, x R, hat Periode 4 n

12 . DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 2 die g n bekommen immer mehr Zacken mit Höhe 2 4 n. Setze: fx := g n x, x R n=0 konvergent für jedes x, da 0 g n x 2 4 n. Zeige Übung: f ist stetig, aber nirgends diff bar. 2 aus folgt: C I C 0 I einfaches Bspl.: f x = x C 0 I, / C I, t > 0 allgemein: sei sign t = 0, t = 0,, t < 0, d.h. t = sign t t, t R. Setze f n x := n! sign x xn, n N = f n n x = x, so dass f n C n I C n I. 3 a fx = x n, n N, x R f x = n x n, f x = n n x n 2,..., f k x = n n... n k + x n k, k n f l x 0 für l > n b gx = x n, x > 0, n N g x = n x n gemäß d dx xa = a x a, a R g x = n n + x n 2,..., g k x = k n n +... n + k x n k Speziell: d k dx k x = k k! x k Also wegen d dx log x = /x : d k log dx k x = k k! x k Alle betrachteten Funktionen sind C auf ihrem Definitionsbereich.

13 . DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 3 4 exp, cis, sin, cos, tan, cot, sinh, cosh, tanh, coth, Polynome, rationale Funktionen } C auf ihrem Def.bereich außerdem: f C = f C unter entspr. Vor., denn: f = f f Anwendungen: Extremwerte und Diff barkeit Definition.4 : Sei D C und f : D R. f hat in x D a ein globales Minimum: fx fx x D b ein lokales Minimum: Umgebung U von x mit analog: globales/ lokales Maximum fx fx x U D Bem.: in der Def. muß D keine Teilmenge von R sein! Wir wissen: D kompakt, f stetig = globales Max. u. Minimum Satz.7 : Sei I ein Intervall, f : I R habe im inneren Punkt x von I einen lokalen Extremwert Max. oder Min.. Ist f dann diff bar in x, so gilt f x = 0. Beweis: x lokales Max. = ε > 0 mit x ε, x + ε I und fx fx x x ε, x + ε.

14 . DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 4 0 < h < ε = fx + h fx } h {{} f x h 0 ε < h < 0 = fx + h fx } h {{} f x h Also: f x = 0. Bem: x Randpunkt und lokales Extremum = es gelten Ungleichungen für f ± x Verfahren: f : [a, b] R stetig und diff bar auf a, b Globale Extremwerte? Globales Max. und Min. existieren! i berechne fa, fb ii bestimme die x a, b mit f x = 0; das seien endlich viele x,..., x s iii Tabelle: x a x... x s t y fa fx... fx s ft Ablesen des größten und kleinsten Wertes in der y - Zeile. Verallgemeinerung: f ist in t,..., t k a, b nicht diff bar Dann: Vergleich von fx für die Randpunkte x = a, b 2 die Nicht-Diff barkeitsstellen x = t,..., t k

15 . DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 5 3 die kritischen Punkte x, d.h. f x = 0. / Bem.: f x = 0 = x ist lokaler Extremwert! Beispiel: x x 3 in x = 0 Übungen: Beispiele Wir kennen die Z.W.S. für stetige Funktionen [a, b] R. Die Ableitung hat die Zwischenwerteigenschaft, ohne dass man Stetigkeit voraussetzt. Satz.8 : ZWE der Ableitung Folgerung aus Satz.7 Ist f : [a, b] R diff bar einschließlich der Randpnkte mit f a f b, so nimmt f auf a, b jeden Wert zwischen f a und f b an. Beweis: klar, wenn f C! o.e. f a < f b; sei c f a, f b setze gx := fx c x, x [a, b] = g a = f a c < f b c = g b, also: g a < 0 < g b. g stetig = x [a, b] : gx gx für alle x Minimum. Fall : x = a = h gx + h gx 0 für h > 0 = g x 0, also Wspr. zu Fall 2: x = b = gx h gx 0 für h > 0 = h gx h gx 0 = g b 0, Wspr. zu

16 . DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 6 h 0 Daher bleibt nur noch Fall 3: a < x < b = g x = 0, d.h. c = f x, so dass c als Wert von f angenommen wird. Ein Ziel der Differentialrechnung ist es, mit Hilfe der Ableitung etwas über das Verhalten der Funktion selbst auszusagen. Dazu brauchen wir Satz.9 : Mittelwertsatz Folgerung aus Satz.7 Sei f : [a, b] R stetig und diff bar auf a, b. Dann gibt es x a, b mit Satz von Rolle f x = fb fa b a Im Spezialfall fa = fb hat f eine Nullstelle in a, b. Beweis: fx := fx fb fa b a x a erfüllt fa = fa = fb ist stetig auf [a, b] und diff bar auf a, b. Es gibt x und x 2 [a, b] mit fx = max f, fx2 = min f. Fall : x und x 2 Randpunkte = f const = f 0 Fall 2: o.e. x a, b = f x = 0, d.h. f x = Im Fall ist fb fa b a f x = fb fa b a an jeder Stelle x a, b, im Fall 2 haben wir mit x eine Stelle gefunden, wo die Beh. gilt.

17 . DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 7 Folgerungen aus dem Mittelwertsatz I. Monotonieverhalten: f : a, b R diff bar i. f > 0 auf a, b = f streng wachsend auf a, b ii f 0 auf a, b f wachsend auf a, b analog : < fallend Ist f auf [a, b] stetig, so folgt aus dem Vorzeichen von f sogar die entsprechende Monotonie auf [a, b]. / Beweis: i x < y z x, y : fy fx x y = f z, f z > 0 fy > fx ii : h > 0 h fx + h fx 0 = f x > 0 = vgl. i mit statt < analog: die anderen Beweise / Achtung: f streng wachsend = f > 0, denn fx = x 3 wächst streng mit f 0 = 0. II. Kriterien für lokale Extrema: hinreichend f : a, b R sei diff bar, x a, b kritischer Punkt f x = 0. Dann hat f in x ein

18 . DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 8 i lokales Minimum, falls: es gibt ε > 0 mit f 0 auf x ε, x ] und f 0 auf [x, x + ε f 0 x 0 f 0 ii lokales Maximum, falls : ε > 0 mit f 0 auf x ε, x ] und f 0 auf [x, x + ε x 0 f 0 f 0 Beweis: i f monoton fallend auf x ε, x ] fx fx dort f monoton wachsend auf [x, x + ε fx fx dort = fx fx auf x ε, x + ε. ii analog Zusatz: f C 2 a, b, f x = 0 in x a, b f x < 0 = x ist lokales Max f x > 0 = x ist lokales Min Man braucht für die Anwendung natürlich die strenge Ungleichung! Beweis: Sei f x > 0 = f x > 0 auf x ε, x + ε = f stetig f streng wachsend auf x ε, x + ε = f x f x = 0 auf x ε, x ] und f x 0 = f x auf [x, x + ε. Benutze i von oben. Bemerkung: fx = x 4 hat abs. Min. in x = 0, aber f 0 = 0!

19 . DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 9 Die Bedingungen aus dem Zusatz sind also nur hinreichend. { Anwendungen:. Verifikation einer Lipschitz Bedingung II. Schrankensatz 2. Beweis der Aussage d dxf 0 = f const Satz.0 : Sei f C [a, b], C und diff bar auf a, b. Dann gibt es ein ξ a, b mit fb fa f ξ b a. Bemerkungen: f R-wertig:.0 folgt aus M.W.S.! 2 es gilt kein komplexer M.W.S.: wendet man.9 an auf Re f, Im f, so ergeben sich verschiedene Zwischenstellen! Korollar: Ist f C [a, b], C, so ist f auf [a, b] Lipschitz mit fx fy sup f x y für alle x, y [a, b]. [a,b] } {{ } < Zusatz zum Korollar: Dasselbe gilt für f C [a, b], C, wenn f im Innern differenzierbar ist mit beschränkter Ableitung. D.h.: die Ableitung muß nicht stetig sein, Beschränktheit reicht! Korollar und Zusatz folgen aus.0 durch Anwenden auf [x, y] bzw. [y, x]. Beweis von.0: Sei fa fb. Setze c := hat Länge und fb fa = c fb fa ϕ := Re c f ist C [a, b], R und diff bar im Innern = MWS fb fa / fa fb ξ a, b mit ϕb ϕa = ϕ ξb a = fb fa = Re c fb fa = ϕb ϕa =

20 . DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 20 ϕ ξb a = Re c f ξ b a f ξ b a, da c = Bem.: in benutzt man c fb fa R, also darf man Re davorschreiben Aus Satz.0 bzw. den Folgerungen erhalten wir Satz. : Sei I R ein offenes Intervall und f : I C differenzierbar. Dann gilt: f 0 auf I f const Bem.: = gilt auch, wenn I Vereinigung zweier disjunkter offener Intervalle ist, = dagegen nicht! Beweis: = Seien x < y aus I, dann ξ x, y geeignet. fx fy f ξ y x = 0, wobei Hierbei haben wir.0 auf [x, y] angewendet. Beispiele für die Anwendung von.: { f fx := exp x = e x erfüllt = f auf R f0 = f ist die einzige diff bare Funktion mit. Beweis: g erfüllt = d dx e x gx = e x gx + g x e x = 0 = c R : gx = c e x x R. Aus g0 = folgt c =. 2 Sei I R ein Intervall und f : I C. F : I C heißt Stammfunktion zu f auf I F ist differenzierbar mit F = f auf I. Beh.: F, G Stammfunktionen zu f auf I = c C mit G = F + c denn: d dx G F = 0 auf I.

21 . DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 2 Der 2 te Mittelwertsatz, die Regeln von L Hospital zur Berechnung von Limiten Satz.2 : Seien f, g : [a, b] R stetig und diff bar auf a, b. Dann gibt es x a, b mit 2 te MWS g x fb fa = f x gb ga Beweis: hx : = fb fa gx ga gb ga fx fa erfüllt ha = 0 = hb = x a, b mit h x = 0 Rolle Bem.: der M.W.S. folgt mit gx = x. 2 falls erlaubt, kann man schreiben: fb fa gb ga = f x g x. Der alte M.W.S. ergibt fb fa = f x b a, gb ga = g x 2 b a, so dass / fb fa gb ga / = f x g x 2, rechts stehen verschiedene Zwischenstellen x, x 2. Der 2 te MWS sagt nun, dass man x = x 2 wählen kann. Satz.3 : Regeln von L Hospital Seien a < b reell und f, g : a, b R diff bar mit g x 0 für x a, b. Es gelte: i fx 0 und gx bei x a oder ii fx und gx bei x a. Existiert dann lim x a lim x a f x g x fx gx, und zwar mit Wert α. =: α, so auch Entsprechende Versionen gelten für x b, einen inneren Grenzübergang x x a, b oder bei x ±.

22 . DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 22 Interpretation: Fall, dass lim f lim g ein Ausdruck der Form 0 0 oder Die Regeln von L Hospital dienen zur Berechnung von lim fx/gx für den ist, man also nicht mit der Quotientenregel für Grenzwerte arbeiten kann. Der Satz sagt lim fx gx = lim f x g x sofern der rechte Grenzwert existiert. Man achte bei der Anwendung von.3 darauf, dass die Voraussetzungen, i bzw. ii erfüllt sein müssen. Beweis: i Es gelte lim x a fx = 0 = lim x a gx. Da g x 0 ist, muß g auf a, b ein Vorzeichen haben Z.W.E. der Ableitung!, etwa g x > 0 auf a, b. Setzt man fa := 0, ga := 0, so sind f, g C [a, b ] für jedes a < b < b. Nach dem Monotoniekriterium folgt: g streng wachsend auf [a, b ], speziell gx > 0 für x > a. / Wir wenden den 2 ten M.W.S. auf [a, b ] an = fb gb x a, b. Sei ε > 0 gegeben = δ > 0 mit f y g y α < ε y a, a + δ. Für b a, a + δ gehört der Zwischenpunkt x zu diesem Intervall = / fb gb α < ε b a, a + δ, was zu zeigen war. Der Trick fx gx = /gx 0 /fx führt zwar auf 0, aber /g rechts kann man nichts sagen. /f = g f f 2 / = f x g x mit einem g 2, und über den Ausdruck Die Reduktion auf i funktioniert also nicht! Auch können wir jetzt f und g in a nicht mehr stetig ergänzen. Neues Argument: δ > 0, wähle x a, a + δ und wende den 2 ten M.W.S. auf dem Intervall [x, a + δ] an = c x, a + δ : g cfa + δ fx = f c ga + δ gx. g und g sind auf einer einseitigen Umgebung von a ohne Nullstelle δ klein genug fx gx = ga+δ gx f c g c + fa+δ gx ε > 0 gegeben = δ > 0 kann so klein gemacht werden, dass f y g y α ε < y a, a + δ. 2 insbesondere: f c g c α < ε 2. außerdem: δ < δ mit ga+δ gy < fa+δ fy < ε 4, ε 4 α +2ε y a, a + δ.

23 . DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 23 Wählt man also x a, a + δ folgt aus : fx gx α = ga+δ f c gx g c + fa+δ fx α > ε 4 + ga+δ f c gx g c α = ε 4 + f c g c α + ga+δ gx f c g c < ε 4 + ε 2 + ε f c 4 α +2ε 3 4 ε + ε 4 α +2ε g c ε 2 + α = ε. Da zeigt: lim x a fx gx = α. Bemerkungen: lim fx gx =?, wenn fx / 0, gx. Schreibe dann fx gx = gx /fx Typ und wende ii an. D.h.: Oft sind Umformungen vor L Hospital nötig. 2 ist auch f g unbestimmt, so kann man falls erlaubt! f g also L Hospital induktiv anwenden. studieren, usw., 3 L Hospital gilt nicht, wenn kein unbestimmter Ausdruck vorliegt: lim x x 2 x = lim x 2x = 2. Beispiele: a, b R, b 0 lim x o immer von rechts nach links lesen! sinax sinbx = lim x 0 a cosax b cosbx = a b 2 lim x log x x r = lim x /x r x r = 0 für r > 0 3 lim x 0 sin 2 x cosh x = lim x 0 2 sin x cos x sinh x = 2 lim x 0 cos 2 x sin 2 x cosh x = 2 4 lim x 0 x x =? Verallgemeinerung von lim n n /n = x x = exp x ln x = bestimme lim x 0 x ln x

24 . DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 24 lim x ln x = lim x 0 x 0 ln x /x = lim x 0 /x /x 2 = 0 = lim x x x 0 = exp lim x 0 x ln x = e =. Konvexität und Verhalten der Ableitung Satz.4 : Sei f : [a, b] R stetig und diff bar auf a, b. Dann gilt: f konvex f ist auf a, b monoton wachsend Beweis: = Satz 0.4, u < v < w = fv fu v u fw fu w u fw fv w v Seien x < y aus a, b. Man setzt u = x, v = y und w = y + h h > 0 fy fx y x fy+h fx y+h x h fy + h fy = bei h o = fy fx y x f y. 2 Nun setzt man in u = x, v = x + h, w = y h > 0 = h fx + h fx fy fx y x = f x fy fx y x, h 0 woraus sich mit 2 f x f y ergibt. = : Sei 0 < t <, x < y. Z.z.: f t x + ty tfx + t fy [ ] t f tx + ty fx l.s. von = t t y x f x mit x r.s. von = t t y x f x 2 mit x 2 [ ] t fy f t x + ty x, t x + ty tx + ty, y Also: f x f x 2,

25 . DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 25 und das gilt wegen der Monotonie von f. Bemerkungen: f streng wachsend = f streng konvex s. Beweis von = 2 analog: f konkav f monoton fallend Korollar: Es sei f : [a, b] R stetig und 2 mal diff bar auf a, b. Dann gilt: f 0 auf a, b = f konvex ii f > 0 auf a, b = f streng konvex Anwendungen: Kurvendiskussion : f : a, b R sei stetig, x a, b x, fx heißt Wendepunkt von f genauer: der Kurve Graph f : ε > 0 mit i f konvex auf x ε, x ] und konkav auf [x, x + ε oder ii umgekehrt ii ii i i Man kann Wendepunkte durch das Vorzeichen von f bestimmen. anschaulich: die Kurve Graph f ändert in x, fx ihr Krümmungsverhalten d 2 Ungleichungen: 2 e x = e x > 0 auf R = e x streng konvex dx 2 d 2 ln x = /x 2 < 0 auf 0, = ln streng konkav dx 2 Damit beweisen wir: allg. Ungl. zwischen dem arith. und geom. Mittel

26 . DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 26 Seien x,..., x n > 0, λ,..., λ n > 0 mit n i= λ i =. Dann ist x λ xλ xλn n λ x +λ 2 x λ n x n mit Gleichheit genau dann, wenn x = x 2 =... = x n. Spezialfall: λ =... = λ n = /n, n N, x,..., x n > 0 = n x x 2... x n n n x i. i= Beweis der AMG-Ungl.: zunächst beweist man direkt mit Hilfe der Definition, dass für konvexe Funktionen gilt: n f i= t i y i n t i fy i, 0 t i, i= n t i = i= bzw. mit < im Falle strenger Konvexität. analog: f konkav ln ist streng konkav = ln n λ i x i i= n i= ln x i λ i. Nun wende exp auf beiden Seiten an = exp wachsend n λ i x i i= exp n λ i ln x i i= = n expλ i ln x i = i= n i= x λ i i. Die Taylorsche Formel verallgemeinert das Konzept der linearen Approximierbarkeit in folgendem Sinn: f stetig in a f ist in der Nähe von a gut von 0 ter Ordnung approximierbar, nämlich durch die konstante Funktion x fa f diff bar in a f lokal bei a gut von ter Ordnung approx., d.h. fx fa + f ax a.

27 . DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 27 Sei f n-mal diff bar lokal bei a, n N. Wir sagen: Die Polynomfunktion P x = n b k x a k k=0 approximiert f bei a gut, falls P a = fa, P a = f a,..., f n a = P n a. = b k = k! f k a, k = 0,..., n. Definition.5 : Sei f n-mal diff bar auf einer Umgebung von a. Dann heißt T n,a fx := n i=0 i! f i a x a i das Taylorpolynom n ter Ordnung von f in a. Bem.: grad T n,a f n f n a kann ja 0 sein! 2 f Polynom von Grad n = T n,a f = f. fx T n,a fx =: R n,a fx heißt das Restglied n ter Ordnung von f bei a. Um den Fehler abzuschätzen, der bei Ersetzung von f durch T n,a f entsteht, braucht man Restgliedformeln. Satz.5 : Sei I R ein Intervall, a innerer Punkt von I und f sei n + -mal difff bar auf I. Zu x I gibt es dann ein c zwischen a und x mit Restglieddarstellung nach Lagrange fx = T n,a fx + n+! f n+ c x a n+, also R n,a fx = n+! f n+ c x a n+ Bem.: c hängt von x ab! 2 f R-wertig, da wir den MWS benutzen. Satz.6 : Sei f C I. Gibt es ein K 0

28 . DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 28 mit folgt: sup I f n x K für alle n N, so fx = n=0 n! f n a x a n, d.h. die Taylorreihe konvergiert für alle x I und stellt f dar. Bem.: bei der Anwendung von.6: I = kleines Intervall um a 2 Ist f C I und n! f n a x a n an jeder Stelle x I konvergent, so muß n=0 der Reihenwert nicht unbedingt fx sein. Dies folgt nur im Fall R n,a fx 0. Beispiel: f : R R, { 0, x = 0 fx := exp / x, x 0 Übung: f C R mit f n 0 = 0 n = T n,0 fx 0 n, x R a=0 Also ist n=0 n! f n 0 x n 0 auf R, aber f ist nicht die Nullfunktion! Beweis von Satz.6: gelte f n x K auf I mit K 0 unabhängig von n N. x > a : fx n k! f k a x a k Rn,a = fx = n+!.5 k=0 f n+ c x a n+ mit c a, x K n+! x a n+ 0 n x < a : analog!

29 . DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 29 Beweis von Satz.5: Sei zunächst x > a. Auf dem Intervall [a, x] sei gt := fx ft f tx t 2 f tx t 2... n! f n tx t n A x tn+ n+! = fx n k=0 f k tx t k k! A x tn+ n+! = gx = 0. Wähle A R so, dass ga = 0 ist. Rolle = c a, x mit d dt g c = 0 Es gilt: dg dt t = n k=0 d dt f k t k! x t k + f k t k! d dt x tk A n+! d dt x tn+ = n k=0 f k+ t k! x t k + f k t k! kx t k }{{} :=0 für k=0 + A n! x t n = f n+ t n! x t n + A n! x t n t = c = 0 = f n+ c + A, also A = f n+ c. Einsetzen in die Formel für g und ausnutzen von ga = 0 = 0 = fx n f k a x a k k! f n+ c n+! x a n. k=0

30 . DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 30 Analog für x < a. Andere Schreibweise: fa + h = n k=0 f k a k! h k + f n+ a+ϑh n+! h n+ für ein 0 < ϑ < Definition.6 : Seien f, g auf einer Umgebung von a definiert. f und g stimmen in a von n ter Ordnung überein : fx gx = rx x a n r, ra = 0. mit einer in a stetigen Funktion Bem.: Übereinstimmung von n ter Ordnung = Übereinstimmung von kter Ordnung, k < Satz.7 : f n+ sei auf Umg. von a beschränkt = f und T n,a f stimmen auf Umg. von a von n ter Ordnung überein. Beweis: Satz.5 Beispiele: T > 0 : d n dx n e x = e x n = 0 dn dx n e x e T auf [ T, T ] für alle n =.6 e x = n=0 n! x n auf T, T, also auf R wegen der Beliebigkeit von T. Analog: e x = n=0 n! e a x a n für jede Stelle a.

31 . DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 3 2 h > : ln + h =? fx := ln x = f k x = k+ k! x k, k h > 0 : R n, ln + h = n+! f n+ c h n+ mit c, + h = R n, ln + h n+! n! c n h n+ n+ hn+ c> 0, falls h h < h < 0 : c + h, mit R n, ln + h n+ n+ +h h n+ = n+ n+ h +h = n+ n+ h h Hier ist nicht offensichtlich, dass Restglieddarstellung benutzen von Cauchy Immerhin bekommen wir: h = R n, ln + h gegen 0 geht. Man muss eine andere ln 2 = k= k k = ±...